Aula 1 Parte 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA P/ O BDMG (TEORIA E EXERCÍCIOS) PROFESSOR: GUILHERME NEVES. 1 Juros Compostos...

Aula 1 – Parte 2

1 Juros Compostos ... 2

1.1 Período de Capitalização ... 2

1.2 Fórmula do Montante Composto ... 3

2 Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta ... 3

3 Convenção Linear e Convenção Exponencial ... 5

4 Taxas Equivalentes ... 20

5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva ... 21

6 Taxa Real e Taxa Aparente ... 23

7 Descontos Compostos ... 34

7.1 Desconto Racional (por dentro) Composto ... 35

7.2 Desconto Comercial (por fora) Composto ... 37

7.3 Demonstração da fórmula dos valores tabelados ... 53

8 Relação das questões comentadas ... 54

1 Juros Compostos

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.

Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação.

Os juros gerados no primeiro ano são


· 10.000  2.000 e o

montante após o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000.

Os juros gerados no segundo ano são


· 12.000  2.400 e o

montante após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400.

Os juros gerados no terceiro ano são


· 14.400  2.880 e o

montante após o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280.

Os juros gerados no quarto ano são _
 · 17.280  3.456 e o montante após o quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.

Os juros gerados no quinto ano são _
 · 20.736  4.147,20 e o montante após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.

1.1 Período de Capitalização

O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital é chamado de período de capitalização.

Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os juros são calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital.

Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma vez por trimestre.

E assim por diante.

Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio”

para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este assunto em seções posteriores (taxas de juros).

1.2 Fórmula do Montante Composto

Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica:

   · 1  

M → montante (capital + juros). C → Capital inicial aplicado. i → taxa de juros

n → número de períodos.

Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres.

Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a relação:

          

2 Comparação entre as Capitalizações Simples e

Composta

Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$

1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos de capitalização:

a) 1 mês b) 15 dias (meio mês) c) 2 meses Resolução a) Capitalização Simples _   · 1   ·    1.000 · 1  0,1 · 1  1.100

Capitalização Composta

   · 1  

  1.000 · 1  0,1  1.100

Observe que, para   1, o montante simples é igual ao montante composto. b) Capitalização Simples    · 1   ·    1.000 · 1  0,1 · 0,5  1.050 Capitalização Composta    · 1     1.000 · 1  0,1,  1.048,81

Observe que, para   0,5, o montante simples é maior do que o montante composto. c) Capitalização Simples    · 1   ·    1.000 · 1  0,1 · 2  1.200 Capitalização Composta    · 1     1.000 · 1  0,1
 1.210

Observe que, para   2, o montante simples é menor do que o montante composto.

Em resumo, temos as seguintes relações

  1 O montante simples é igual ao montante composto.

0    1 O montante simples é maior do que o montante composto.

 1 O montante simples é menor do que o montante composto.

3 Convenção Linear e Convenção Exponencial

Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais vantajoso para o credor cobrar juros simples.

Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização composta, o número de períodos for fracionário.

Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos durante 3 meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim, poderíamos calcular o montante no período fracionário sob o regime simples (para ganhar mais dinheiro obviamente).

Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionário, podemos calcular o montante de duas maneiras:

- Convenção Exponencial

- Convenção Linear

Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado.

- Convenção Exponencial

A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizado no expoente da expressão do montante.

Assim,

M

= ⋅ +

C

(1

i

)

n 3,5

10.000 (1 0,10)

M =

⋅ +

3,5

10.000 1,10

M =

⋅

O valor 1,103,5 = 1,395964 deverá ser fornecido pela questão.

10.000 1, 395964

M =

⋅

13.959, 64

M =

A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período e, sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário.

Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear:

(1

)

Int

(1

_frac

)

M

= ⋅ +

C

i

⋅ + ⋅

i n

Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e nfrac a parte

fracionária do período. 3

10.000 (1 0,10) (1 0,10 0, 5)

M =

⋅ +

⋅ +

⋅

3

10.000 1,10 1, 05

M =

⋅

⋅

13.975, 50

M =

Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que o montante da convenção exponencial.

EC 1. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é

a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 Resolução    · 1     20.000 · 1  0,50
_{ 45.000,00} Letra A

EC 2. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais)

a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33

d) 22.400,00 e) 22.498,00 Resolução    · 1     20.000 · 1,04!

O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais.

1,04 " 1,04  1,0816

1,0816 " 1,04  1,124864 # 1,1249

  20.000 · 1,04! _{ 20.000 · 1,1249  22.498,00}

Letra E

EC 3. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses Resolução

Aplicação a juros compostos:

   · 1  

  12.500 · 1  0,08

  14.580

Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado 14.580 – 12.500 = 2.080.

Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês.

   ·  ·  2.080  10.400 · 0,0125 ·  2.080  130 ·    16 &'('( Letra D

EC 4. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros compostos de 10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta.

a) $ 2.691,43 b) $ 3.691,43 c) $ 4.691,43 d) $ 5.691,43 e) $ 6.691,43 Resolução

Na capitalização composta o montante é dado por    · 1  

10.000   · 1  0, 10

10.000   · 1,61051  _{1,61051  6.209,21}10.000

Não há gabarito compatível e a questão foi anulada.

EC 5. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ 14.400,00. b) R$ 14.560,00. c) R$ 14.580,00. d) R$ 16.000,00. e) R$ 16.400,00. Resolução

Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim, como utilizamos a metade do capital em cada uma das aplicações, então o capital das aplicações será x.

1ª aplicação (Regime Composto)

Sabemos que           

No regime composto, a relação entre o montante e o capital é a seguinte.

   · 1  

A taxa é de 8% ao semestre e o tempo de aplicação é igual a 1 ano (2 semestres).   ) · 1,08
  1,1664 · ) Como     ,   1,1664 · )  )   0,1664 · )

2ª aplicação (Regime Simples)

   ·  · 

Lembrando que a taxa é trimestral e que um ano é composto por 4 trimestres.

  ) · 0,04 · 4

  0,16 · )

A soma dos juros compostos com os juros simples é igual a R$ 4.080,00.

   4.080

0,1664 · )  0,16 · )  4.080 0,3264 · )  4.080

)  12.500

  1,1664 · )

  1,1664 · 12.500  14.580,00 Letra C

EC 6. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de

a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40 Resolução

Temos nesta questão duas aplicações: uma no regime de capitalização simples e outra na capitalização composta. É fato que o

montante na capitalização simples é dado por

M

S

= ⋅ + ⋅

C

(1

i n

)

A taxa de juros e o tempo de aplicação do capital já estão na mesma unidade. Podemos aplicar diretamente a fórmula acima. O enunciado informou que a taxa é de 4% ao mês e o tempo é igual a 3 meses. Dessa forma,

500 (1 0, 04 3)

S

M =

⋅ +

⋅

500 1,12

S

M =

⋅

560

S

M =

Esse montante obtido na capitalização simples será o capital da segunda aplicação.

Teremos agora uma aplicação em juros compostos com capital inicial igual a R$ 560,00, taxa de juros igual a 5% ao mês durante dois meses.

O montante da capitalização composta é dado por

(1

)

n C

M

= ⋅ +

C

i

_. 2

560 (1 0, 05)

C

M =

⋅ +

2

560 1, 05

C

M =

⋅

617, 40

C

M =

Letra E

EC 7. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,0312 = 1,425760) a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00. e) R$ 50 000,00. Resolução

Chamemos o capital total aplicado de 2C. Assim, metade (C) será aplicada a juros compostos e a outra metade (C) será aplicada a juros simples.

Em qualquer um dos dois tipos de regime, o montante sempre é a soma do capital com os juros.

M

= + ⇒ =

C

J

J

M

−

C

Capitalização Composta

Capital aplicado: C

Tempo de aplicação: 12 meses

Assim, o juro da capitalização composta será dado por:

12

(1

)

C

J

=

M

− = ⋅ +

C

C

i

−

C

12

1, 03

C

J

= ⋅

C

−

C

1, 425760

1

C

J

=

⋅ − ⋅

C

C

0, 425760

C

J

=

⋅

C

Capitalização Simples Capital aplicado: C Taxa de juros: 3,5% = 0,035 ao mês

Tempo de aplicação: 12 meses

Assim, o juro da capitalização simples será dado por:

S

J

= ⋅ ⋅

C i n

0, 035 12

S

J

= ⋅

C

⋅

0, 42

S

J

=

⋅

C

As duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02.

21.144, 02

S C

J

+

J

=

0, 42

⋅ +

C

0, 425760

⋅ =

C

21.144, 02

0,84576

⋅ =

C

21.144, 02

21.144, 02

0,84576

C =

25.000

C =

O capital total aplicado é 2 · . Logo,

2

⋅ =

C

50.000

Letra E

EC 8. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses.

a) 4%. b) 5%. c) 5,33%. d) 6,5%. e) 7%. Resolução

Podemos, para facilitar o raciocínio, admitir o que o capital inicial é igual a R$ 100,00. Para que o capital aumente 80%, os juros serão iguais a R$ 80,00 (80% de 100,00). Então o montante será igual a R$ 180,00. A taxa e o tempo estão na mesma unidade.

Apliquemos a fórmula dos juros compostos.

(1

)

n

M

= ⋅ +

C

i

15

180 100 (1

=

⋅ +

i

)

15

1,80

= +

(1

i

)

Foi fornecida uma tabela na prova para o auxílio de questões como essa.

De acordo com essa tabela, a uma taxa de 4% temos

1, 04

15

≅

1,80

.

Letra A

EC 9. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da Administração-SC – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. Informações adicionais: log 3 # 0,48 e log 1,03 # 0,012.

Assinale abaixo a única alternativa correta.

a) 5 meses b) 10 meses c) 20 meses d) 30 meses e) 40 meses Resolução

Já que a taxa de juros é mensal, então diremos que a capitalização também é mensal.

Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montante será o triplo do capital (M = 3.C)

Assim,

M

= ⋅

3

C

.

Ora, mas sabemos que na capitalização composta o montante é dado

por

M

= ⋅ +

C

(1

i

)

n. Temos então:

(1

)

n

3

C

⋅ +

i

= ⋅

C

(1 0, 03)

+

n

=

3

1, 03

n

=

3

log1, 03

n

=

log 3

log1, 03

log 3

n ⋅

=

log 3

log1, 03

n =

0, 48

0, 012

n =

0, 480

0480

480

40 meses.

0, 012

0012

12

n =

=

=

=

Letra E

EC 10. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros

a) compostos, sempre.

b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.

c) simples, sempre.

d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo.

e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.

Resolução

O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o montante simples foi maior do que o montante composto).

Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro simples será maior do que o juro composto.

Letra E

EC 11. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que:

a) *  log_. b) *  . c) *  . d) *  √.0 e) * . Resolução Vimos que:

  1 O montante simples é igual ao montante composto.

0    1 O montante simples é maior do que o montante composto.

 1 O montante simples é menor do que o montante composto.

Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do que a convenção exponencial.

Letra E

EC 12. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a

a) R$ 25.500,00 b) R$ 24.932,05 c)) R$ 24.805,00 d) R$ 23.780,00 e) R$ 22.755,00 Resolução

Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital será investido durante 2 anos e 3 meses. Devemos adotar a convenção linear, então a parte fracionária do período (3 meses) será utilizada no regime simples. Como o ano tem 12 meses, 3 meses é igual a 1/4 do ano= 0,25 anos. Assim,

(1

)

Int

(1

_frac

)

M

= ⋅ +

C

i

⋅ + ⋅

i n

2

20.000 (1 0,10)

(1 0,10 0, 25)

M =

⋅ +

⋅ +

⋅

2

20.000 1,10 1, 025

M =

⋅

⋅

24.805, 00

M =

Letra C

EC 13. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a:

a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10 Resolução

De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada a juros compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a juros simples. O período de 10 dias equivale a 1/3 do mês.

   · 1  123_{· 1   ·} 4567   300 · 1  0,10
_{· 81  0,10 ·}1 39   300 · 1,21 · 81 _{309  363 · 81 }1 ₃₀₉1   363 363_{30  363  12,1  375,10} Letra D

EC 14. (AFRF 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502.

a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0% Resolução

Assuma, por hipótese, que o capital aplicado é de R$ 100,00.

Convenção Exponencial

  100 · 1  0,40, _{ 100 · 1,40}, _{ 100 · 1,656502  165,6502} Convenção Linear    · 1  123_{· 1   · 4567}   100 · 1  0,40 _{· 1  0,40 · 0,5}   100 · 1,40 · 1,20  168,00 Cálculo da perda percentual

:;;7;6< 168,00 :4;6< 165,6502  :4;6<_: :;;7;6< ;;7;6<  165,6502  168 168 2,3498168 · 100% 234,98168 % # 1,398% Letra C

EC 15. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento:

I – Juros simples de 2% ao mês. II – Juros compostos de 1% ao mês.

III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses.

Assinale:

a) se todas apresentarem o mesmo retorno.

b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno.

Resolução

I – Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses.    · 1   ·   10.000 · 1  0,02 · 6  11.200 II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses.

   · 1   _{ 10.000 · 1  0,01}> _{ 10.615,20}

Letra D

4 Taxas Equivalentes

Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Essa definição de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto a juros compostos. Só que falar em taxas equivalentes no regime simples é o mesmo que falar em taxas proporcionais.

Essa afirmação não é verdadeira quando se trata de juros compostos.

Exemplo

Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 10% ao mês?

Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então teremos a seguinte equação:

3 1

(1

_m

)

(1

_t

)

C

⋅ +

i

= ⋅ +

C

i

3

(1 0,10)

+

= +

1

i

_t

1

+ =

i

_t

1, 331

0, 331

t

i =

33,1%

t

i =

Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre.

Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores 1  

Exemplo

Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% ao trimestre?

Já que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação: 1  6?6<  1  @5;ABC@56<D

1  _6?6<  1  0,2D

1  6?6<  2,0736

6?6<  1,0736

6?6<  107,36% *E *E

5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais (no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo “24% ao ano com capitalização mensal” significa na realidade “2% ao mês”.

A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é chamada de taxa efetiva.

No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada mensalmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por mês e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva quando o período a que a taxa se refere coincide como período de capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva.

São exemplos de taxas nominais:

- 30% ao mês com capitalização diária.

- 48% ao ano com capitalização bimestral.

Uma taxa de juro é dita efetiva se o período a que ela estiver referenciada for coincidente com o período de capitalização. Assim, uma taxa de juros de 20% ao ano com capitalização anual é uma taxa efetiva.

Nesse caso, podemos dizer simplesmente “taxa efetiva de 20% ao ano” que estará subentendido “20% ao ano com capitalização anual”.

A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contratos financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilização, pode conduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, pois os cálculos não são feitos com taxa nominal !!!

Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula:

F*)* 'G'HI* _{Jú&'LE M' N'LíEME( M' O*NH*KP*çãE OEHME( * H*)* E&*K}F*)* JE&*K

Vejamos alguns exemplos que mostram a conversão de taxa nominal para taxa efetiva.

Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral.

1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será

60%

10% a.b.

6

b

i =

=

Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito de taxas equivalentes.

Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira:

1 6

(1

+

i

_a

)

= +

(1

i

_b

)

6

1

+ = +

i

_a

(1 0,10)

6

1,10

1

a

i =

−

0, 7715

a

i =

77,15%

a

i =

Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá ser utilizada para efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa efetiva) e não 60% (taxa nominal). Já se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada para efeito de cálculo será 10% a.b..

Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominal diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal.

6 Taxa Real e Taxa Aparente

Imagine que Thiago fez uma aplicação financeira durante 2 anos e obteve um rendimento total de 80%. Mas nesse período de 2 anos houve uma inflação total de 60%. Então, na verdade, o ganho real não foi de 80%, pois se assim fosse, não estaríamos levando em conta a perda causada pela inflação!

A taxa de 80% do nosso problema é denominada taxa aparente.

A taxa real é aquela que leva em consideração a perda influenciada pela inflação.

E como calcular a taxa real nessa situação?

Para facilitar o processo mnemônico, utilizaremos as seguintes notações:

A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real

É válida a seguinte relação:

A

= + + ⋅

I

R

I R

No nosso exemplo:

A = 80% = 0,8

I = 60% = 0,6

A

= + + ⋅

I

R

I R

0,8

=

0, 6

+ +

R

0, 6

⋅

R

0,8 0, 6 1, 6 R

−

=

⋅

1, 6

⋅ =

R

0, 2

0, 2

2

0,125

1, 6

16

R =

=

=

12, 5%

R =

Podemos concluir, que a taxa real de juros nesse ambiente inflacionário foi de 12,5%.

A expressão que fornece a taxa real em função da taxa aparente e da inflação é a seguinte:

1

A

I

R

I

−

=

+

No nosso exemplo,

0,8 0, 6

0, 2

12, 5%

1

1 0, 6

1, 6

A

I

R

I

−

−

=

=

=

=

+

+

.

EC 16. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?

a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% Resolução

“ ... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente”.

Já que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 meses), a taxa efetiva bimestral é dada por

40%

20% a.b.

2

b

i =

=

Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcular a taxa efetiva semestral devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes. Lembrando que um semestre é composto por 3 bimestres. 1 3

(1

+

i

_s

)

= +

(1

i

_b

)

3

1

+ = +

i

_s

(1 0, 20)

1, 728 1

0, 728

s

i =

− =

72,8%

s

i =

Letra B

EC 17. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual

equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,5508% c) 12,6825% d) 12,6162% e) 12,4864% Resolução

Já que um ano é composto por 12 meses, a taxa efetiva mensal é:

A  12%_{12  1% *E &}ê(

Devemos fazer a comparação dos fatores 1   para o cálculo da taxa de juros anual.

1  6  1  A

Consultando a tabela financeira:

1  6  1,126825

6  0,126825  12,6825%

Letra C

EC 18. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92 Resolução

Já que um ano é composto por 4 trimestres, a taxa efetiva trimestral é:

@ 24%_{4  6% *E HL&'(HL'}

O tempo de aplicação é de 18 meses, mas como a nossa taxa efetiva é trimestral, então usaremos o fato de que 18 meses equivalem a 6 trimestres.

   · 1  

  20.000 · 1  0,06> _{ 28.370,38}

Letra D

EC 19. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a:

a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre. b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre. c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre. d) 240 % ao ano e 88 % ao ano. e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre. Resolução

Banco X: 80% ao ano com capitalização trimestral (taxa nominal). Logo, a taxa efetiva trimestral é 80% /4 = 20% a.t.

O custo efetivo pago por Maria ao longo de um ano (4 trimestres) foi de:

1  6  1  @D

6  1  @D 1

6 1  0,20D 1  1,0736  107,36%

Banco Y: Já que a taxa efetiva trimestral do banco Y é de 20% a.t., a taxa equivalente semestral será (1+20%)2 – 1 = 0,44 = 44% ao semestre. Como Mário pagará sua dívida ao final de um semestre, seu custo percentual foi de 44%.

Letra E

EC 20. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é

a) 114,70% b) 107,55% c) 109,90% d) 90,00% e) 119,70% Resolução

Lembremos que o quadrimestre é um período de 4 meses e que 1 ano é composto por 3 quadrimestres.

1  6  1  Q!

1  6  2,197

6  1,197  119,70%

Letra E

EC 21. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em

um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por:

a) R1,02S 1T b) U18 · √1,36VW  1X c) U18 · √1,24VY  1X d) U3 · √1,24  1X e) U6 · √1,24Z  1X Resolução

O primeiro passo é calcular a taxa efetiva mensal. O problema forneceu a taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Portanto, a taxa efetiva mensal é de 24%/12 = 2%.

   · 1        · 1      · 1  _{ }    · R1  _{ 1T}   25.000 · R1  0,02S_{ 1T}   25.000 · R1,02S_{ 1T} Letra A

EC 22. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflação no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de

a) 12,00% b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20%

e) 13,20%

Resolução

Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de:

A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real

É válida a seguinte relação:

[  \  ]  \ · ] 0,2320  0,10  ]  0,10 · ] 0,2320  0,10  1,10 · ] 1,10 · ]  0,1320 ]  0,12  12% Letra A

EC 23. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o

capital de

R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de

a) R$ 27.060,00 b) R$ 27.000,00 c) R$ 26.460,00 d) R$ 26.400,00 e) R$ 25.800,00 Resolução

Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de:

A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real

É válida a seguinte relação:

[  \  ]  \ · ]

^  _, _`a  _, b_  _, _`a · _, b_  _, b`ca  b`, ca% Então o montante resgatado pelo investidor é dado por

   · 1  _{ 24.000 · 1  0,1275} _{ 27.060,00}

Letra A

EC 24. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período em que a inflação foi de 20%, equivale a uma rentabilidade real de:

a) 20% b) 44% c) 50% d) 55% e) 60% Resolução

Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de:

A → taxa aparente I → inflação no período R → taxa real

É válida a seguinte relação:

[  \  ]  \ · ] 0,80  0,20  ]  0,20 · ]

0,60  1,20 · ] ] 0,60_{1,20  0,50  50%} Letra C

EC 25. (BNB 2004 ACEP) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100%, qual a inflação medida no mesmo período?

b) 200% ao período c) 300% ao período d) 400% ao período e) 500% ao período Resolução

O problema já nos deu diretamente o valor de R (taxa real): 100% = 1.

Calculemos a taxa de juros aparente no período.

(1

)

n

M

= ⋅ +

C

A

O valor de n é igual a 1, pois a taxa real foi dada para todo o período de 2 anos (biênio).

1

40.000

=

5.000 (1

⋅ +

A

)

8 1 A

= +

7

A =

Para calcular a inflação no período, vamos utilizar a fórmula descrita anteriormente.

A

= + + ⋅

I

R

I R

7

= + + ⋅

I

1

I

1

6

= +

I

I

3

I =

Para transformar a inflação em termos percentuais devemos multiplicar por 100%.

3 100%

300%

I = ⋅

=

Letra C

2

⋅ =

I

6

EC 26. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando-se totalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação foi de a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85% Resolução

Para calcular a inflação acumulada podemos utilizar a seguinte fórmula:

d  b  eb · b  e` · f · b  eg  b

Dessa forma, a inflação acumulada nos dois anos foi de: \  1  0,05 · 1  0,04  1  0,092

Para o cálculo da taxa aparente, consideraremos   1, pois queremos calcular a taxa real no período de 2 anos.

   · 1   98.280  80.000 · 1  [ [  0,2285 [  \  ]  \ · ] 0,2285  0,092  ]  0,092 · ] 0,1365  1,092 · ] ] 0,1365_{1,092  0,125  12,5%} Letra B

EC 27. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito a seguir: “A partir de 1º de abril de 2007,

após a aplicação do percentual correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor – INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 (trezentos e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no período foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de:

a) 5,2%. b) 4,8%. c) 5,0%. d) 5,8%. e) 5,5%. Resolução

Vejamos primeiramente qual foi o aumento aparente do salário mínimo. :;;7;6< 350 e :4;6<  380 [ :4;6<_: :;;7;6< ;;7;6<  380  350 350  8,57%

A inflação no período considerado, medido pelo INPC, foi de 3,4%.

Calculemos o aumento real:

[  \  ]  \ · ]

0,0857  0,034  ]  0,034 · ] 0,0517  1,034 · ] ] 0,0517_{1,034  0,05  5%} Letra C

7 Descontos Compostos

A operação de desconto foi estudada na aula passada. Foi visto que desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. Os principais elementos de uma operação de desconto são:

Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N)

É o valor que está escrito no título. É o valor que deve ser pago na data do vencimento.

Valor Atual, Valor Presente, Valor Líquido, Valor Descontado

(A)

O valor líquido é obtido pela diferença entre o valor nominal e o desconto.

Desconto (D)

Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociada antes da data de vencimento. É a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o

desconto.

[  J  h

Os elementos da operação de desconto composto são os mesmos dos elementos da operação de desconto simples. A única coisa que irá mudar é a natureza da taxa.

O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto racional, também chamado de desconto por dentro. O desconto racional é o desconto “teoricamente” correto. Existe também o desconto comercial ou desconto por fora. É o desconto sem fundamentação teórica, mas muito praticado no mercado financeiro.

Desconto composto é aquele obtido pela aplicação do regime de capitalização composta. Pode ser, também, de dois tipos (por fora e por dentro).

Nesta aula estudaremos o Desconto Racional Composto e o Desconto Comercial Composto.

Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber qual é a modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime da operação (simples ou composto).

7.1 Desconto Racional (por dentro) Composto

A operação de desconto racional composto, por definição, é equivalente a uma operação de juros compostos.

Enquanto que na operação de juros compostos, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional composto teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.

O desconto composto por dentro ou desconto composto racional é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título.

Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros simples, podemos fazer um desenho comparativo.

O valor atual do desconto racional composto corresponde ao capital inicial da operação de juros compostos.

Capital Inicial JUROS COMPOSTOS Juros Montante Valor Atual 0 (Data zero) Linha do tempo Desconto Valor Nominal DESCONTO RACIONAL

O valor nominal do desconto racional composto corresponde ao montante da operação de juros compostos.

O desconto da operação de desconto racional composto corresponde ao juro da operação de juros compostos.

Correspondência entre os elementos das operações

Juros Compostos Desconto Racional Composto (por dentro)

Capital Inicial (C) Valor Atual (A)

Montante (M) Valor Nominal (N)

Juro (J) Desconto (D)

Vamos então “deduzir” a fórmula da operação de desconto racional simples (por dentro).

Juros Compostos:

(1

)

n

M

= ⋅ +

C

i

Desconto Racional Simples:

Vejamos um esquema comparativo entre o regime simples e o regime composto.

Desconto Racional Simples (por dentro)

Desconto Racional Composto (por dentro)

(1

)

N

= ⋅ + ⋅

A

i n

₍₁

₎

n

N

= ⋅ +

A

i

A única coisa que mudou foi o “lugar do n”. Ao passarmos do regime simples para o regime composto, o n (número de períodos) foi para o expoente.

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

O mais importante de tudo é lembrar que a operação de desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos.

7.2 Desconto Comercial (por fora) Composto

Vimos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Na operação de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital inicial. Obviamente, no desconto racional composto (que equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor atual.

O desconto comercial composto não é o “teoricamente” correto. A taxa no desconto comercial composto incide sobre o valor nominal.

Vimos a semelhança entre os descontos racionais simples e composto.

Desconto Racional Simples (por dentro)

Desconto Racional Composto (por dentro)

(1

)

N

= ⋅ + ⋅

A

i n

₍₁

₎

n

N

= ⋅ +

A

i

Qual é a diferença entre as duas fórmulas? Que no desconto composto o “n” foi para o expoente. O mesmo acontecerá com o desconto comercial composto.

Desconto Comercial Simples (por fora)

Desconto Comercial Composto (por fora)

(1

)

A

=

N

⋅ − ⋅

i n

₍₁

₎

n

A

=

N

⋅ −

i

Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto.

EC 28. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto

racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de

a) R$ 21.780,00 b) R$ 21.600,00 c) R$ 20.702,00 d) R$ 19.804,00 e) R$ 19.602,00 Resolução

Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto equivale à operação de juro composto.

Assim, J  [_i · 1   j J  20.000 · 1  0,10
 24.200

A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de desconto comercial composto é a seguinte:

[  J1  

[  24.200 · 1  0,1
 19.602,00

Letra E

EC 29. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racional composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mês. Dado que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo do valor nominal do título?

a) R$ 100 000,00. b) R$ 107 561,00. c) R$ 102 564,00. d) R$ 97 561,00. e) R$ 110 000,00. Resolução

A operação de desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos.

N  A · 1  0,05

N  1,1025 · A

O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

J  [  10.000 1,1025 · A  [  10.000 0,1025 · A  10.000 A  97.560,98 N  97.560,98  10.000  107.560,98 # 107.561,00 Letra B

EC 30. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com o valor de R$ 50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto comercial de 20% ao ano. O valor do desconto composto é, então,

a) R$ 10.000,00 b) R$ 18.000,00 c) R$ 22.653,86 d) R$ 24.000,00 e) R$ 20.000,00 Resolução

No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual e o valor nominal do título é dada pela expressão

[  J · 1  

[  50.000 · 1  0,2
_{ 32.000}

Assim, o desconto composto é igual a D = 50.000 – 32.000 = 18.000,00.

Letra B

EC 31. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e compostos, analise as afirmativas a seguir:

I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada por: h'(OEHE op_;, em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é a taxa de juros.

II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d), ambas no regime de juros simples, é expressa por

M _{1  ,} Em que n é o número de períodos.

III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juros compostos e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por:

:q  :r s 1  M_,

Em que n é o número de períodos.

Assinale

a) se somente a afirmativa III estiver correta.

b) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. c) se todas as afirmativas estiverem corretas.

d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.

Resolução

I. Falsa.

A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente a uma operação de juros simples.

Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.

O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o vencimento do título.

O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital inicial da operação de juros simples.

O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montante da operação de juros simples.

O desconto da operação de desconto racional simples corresponde ao juro da operação de juros simples.

Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma operação de juros simples em que o juro é igual ao desconto racional simples!!

Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional simples (por dentro).

Juros Simples:

J

= ⋅ ⋅

C i n

Desconto Racional Simples:

II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de desconto comercial (d), ambas no regime de juros simples, é expressa por

M _{1  ,} Em que n é o número de períodos.

Vejamos: Para fazermos uma comparação entre as taxas, devemos ter o mesmo valor atual e o mesmo valor nominal. Dessa forma, os descontos também são iguais.

hi  h [ s  s   J s M s  [ s   J s M Lembrando que J  [ s 1   s  j [ _{1   s}J J 1   s  s   J s M

D

= ⋅ ⋅

A i n

1 1   s  s   M  1   s   M A proposição II, portanto, é verdadeira.

III. Verdadeira. A taxa de desconto comercial composto é aplicada no valor nominal (valor futuro).

Letra D

EC 32. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto de 3% ao mês.

a) R$ 140,00 b) R$ 104,89 c) R$ 168,00 d) R$ 93,67 e) R$ 105,43 Resolução A = 840,00.

Sabemos que a operação de desconto racional composto equivale à operação de juros compostos; onde o valor nominal equivale ao montante e o valor descontado equivale ao capital inicial. Temos a seguinte expressão:

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

4

840 (1 0, 03)

N =

⋅ +

4

840 1, 03

N =

⋅

Para calcular o valor de 1,034, calcularemos primeiramente 1,032 e em seguida multiplicaremos 1,032 por 1,032

1,034 = 1,032 x 1,032 = 1,0609 x 1,0609 = 1,1255088 4

840 1, 03

840 1,1255088

945, 43

N =

⋅

=

⋅

≅

_.

Como estamos interessados no valor do desconto, utilizaremos o fato de que em qualquer tipo de desconto o valor do desconto é igual à diferença entre o valor nominal e o valor atual.

D

=

N

−

A

945, 43 840 105, 43

D =

−

=

Letra E

EC 33. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze os centavos. a) R$ 11.255,00 b) R$ 11.295,00 c) R$ 11.363,00 d) R$ 11.800,00 e) R$ 12.000,00 Resolução

Quando o enunciado diz que o título é descontado por R$ 10.000,00 quer dizer que o valor atual é R$ 10.000,00.

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

4

10.000 (1 0, 03)

N =

⋅ +

4

10.000 1, 03

10.000 1,1255088

N =

⋅

=

⋅

11.255, 00

N =

Letra A

EC 34. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. (dado que 1,054 = 1,215506) a) R$ 25.860,72 b) R$ 28.388,72 c) R$ 30.000,00 d) R$ 32.325,90 e) R$ 36.465,18 Resolução

Temos a seguinte expressão que relaciona o valor nominal e o valor descontado no desconto racional composto.

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

O que acontece aqui é que o problema nos forneceu o valor do desconto. O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

Assim,

6.465,18

N

− =

A

Substituindo o valor de N por A.(1+i)n temos:

(1

)

n

6.465,18

A

⋅ +

i

− =

A

4

(1 0, 05)

6.465,18

A

⋅ +

− =

A

Lembre-se que A em álgebra significa 1.A (um vezes A).

4

1, 05

1

6.465,18

A

⋅

− ⋅ =

A

Podemos então colocar A em evidência:

4

(1, 05

1)

6.465,18

4

6.465,18

6.465,18

1, 05

1

1, 215506 1

A =

=

−

−

6.465,18

30.000, 00

0, 215506

A =

=

Letra C

EC 35. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale

a) 399,00 b) 398,00 c) 397,00 d) 396,00 e) 395,00 Resolução Dados do problema: N = 24.200,00 n = 2 meses i = 10% a.m. = 0,10 a.m.

1º) Desconto comercial composto (D)

Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto comercial composto:

(1

)

n

A

=

N

⋅ −

i

2

24.200 (1 0,10)

A =

⋅ −

2

24.200 0, 90

24.200 0,81

A =

⋅

=

⋅

19.602, 00

A =

E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que

D = 24.200 – 19.602

D = 4.598,00

2º) Desconto racional composto (d)

Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto racional composto:

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

2

24.200

= ⋅ +

A

(1 0,10)

24.200

= ⋅

A

1, 21

24.200

20.000, 00

1, 21

A =

=

E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que

d = 24.200,00 – 20.000,00

d = 4.200,00.

Dessa forma, a diferença D – d = 4.598,00 – 4.200,00 = 398,00

Letra B

EC 36. (MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao mês.

a) R$ 600,00 b) R$ 620,15

c) R$ 624,47 d) R$ 643,32 e) R$ 672,00 Resolução

Temos nessa questão, novamente, dois tipos de desconto. Um desconto comercial simples e um desconto racional composto. Dois regimes: simples e composto. Duas modalidades: comercial e racional.

1º) Desconto Comercial Simples

Sabemos, pela teoria exposta na aula passada, que a taxa do desconto comercial simples é incidida sobre o valor nominal !

Assim, temos que

D

=

N i n

⋅ ⋅

672

=

N

⋅

0, 03 4

⋅

672

=

N

⋅

0,12

672

672, 00

67.200

5.600

0,12

0,12

12

N =

=

=

=

Assim, o valor nominal é igual a R$ 5.600,00.

2º) Desconto Racional Composto

Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Temos a seguinte relação:

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

Assim,

(1

)

n

N

A

i

=

+

4

5.600

(1 0, 03)

A =

+

Para efetuar esse cálculo você terá duas saídas.

i) Efetuar o cálculo na base da mão.

4

5.600

5.600

4.975, 53

(1 0, 03)

1,1255088

A =

=

=

+

ii) Utilizando tabelas financeiras.

Nessa prova do MDIC realizada pela ESAF, foram fornecidas duas tabelas.

Uma que fornece os valores de (1+i)n.

Essa tabela não ajuda muito. Pois o nosso real problema é efetuar 5.600

1,125508.

Essa tabela será utilizada na aula sobre Série de Pagamentos e na aula sobre Sistemas de Amortização.

E no presente momento, para que nos serve?

Para utilizarmos um artifício.

O artifício serve para calcular os valores de

(

)

1 1+i n . No nosso caso, para calcular 4 4

5.600

1

5.600

(1 0, 03)

(1 0, 03)

A =

=

⋅

+

+

Temos a seguinte relação:

(

)

( 1)

1

1+i n =an i¬ −an− ¬i

Os valores de

a

n i¬ constam na tabela acima.

A demonstração desta relação se encontra no final desta aula.

( 1) 4 4

5.600

1

5.600

5.600

(1

)

(1

)

n i n i

A

a

a

i

i



¬ − ¬



=

=

⋅

=

⋅

_

−

_

+

+

[

4 3% 3 3%

]

5.600

A

=

⋅

a

_¬

−

a

_¬

Esses valores são tabelados.

[

]

5.600 3, 717098 2,828611

A =

⋅

−

5.600 0,888487

A =

⋅

4.975, 53

A =

.

Agora que sabemos utilizar essa tabela vamos resolver novamente essa questão uma maneira um pouco mais rápida.

2º) Desconto Racional Composto

Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operação de juros compostos. Temos a seguinte relação:

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

Assim, ( 1)

5.600

5.600

(1

)

n

(1

)

n n i n i

N

A

a

a

i

i



¬ − ¬



=

=

=

⋅

_

−

_

+

+

[

4 3% 3 3%

]

5.600

A

=

⋅

a

_¬

−

a

_¬

Esses valores são tabelados.

[

]

5.600 3, 717098 2,828611

A =

⋅

−

5.600 0,888487

A =

⋅

4.975, 53

A =

.

Ou seja, utilizando esse artifício, trocamos uma divisão de um número natural por um número com 6 casa decimais para efetuar

uma subtração e uma multiplicação.

O novo desconto será d = N – A = 5.600 – 4975,53 = 624,47

Letra C

EC 37. (APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu

vencimento. Calcule o valor mais próximo do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês.

a) R$ 92,73 b) R$ 84,86 c) R$ 87,33 d) R$ 90,00 e) R$ 82,57 Resolução

Valor de face é o mesmo que valor nominal.

Vejamos a expressão do desconto racional composto:

(1

)

n

N

= ⋅ +

A

i

(1

)

n

N

A

i

=

+

( 1)

1

1.000

1.000

(1

)

n n i n i

A

a

a

i



¬ − ¬



=

⋅

=

⋅

_

−

_

+

[

3 3% 2 3%

]

1.000

A

=

⋅

a

_¬

−

a

_¬

Vejamos a tabela fornecida na prova.

[

3 3% 2 3%

]

1.000

A

=

⋅

a

_¬

−

a

_¬

[

]

1.000 2,828611 1, 913469

A =

⋅

−

1.000 0, 915142

A =

⋅

915,14

A =

Dessa forma, o valor do desconto é 1.000 – 915,14 = 84,86

Letra B

EC 38. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva  ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

a) R$ 40.000,00 b) R$ 36.000,00 c) R$ 34.000,00 d) R$ 32.000,00 e) R$ 30.000,00 Resolução

1º) Desconto Racional Composto J  [ · 1  

J  25.000 · 1  

2º) Desconto Comercial Composto [  J · 1  

J _{1  }[ _ J _{1  }23.040

Como o valor nominal é o mesmo nos dois descontos, podemos igualar as duas expressões obtidas:

25.000 · 1  
_ 23.040 1  
1  
_{· 1  
} 23.040 25.000 t1  
_{· 1  
 u}2.304 2.500 1   · 1   48₅₀ 1  
_{ 0,96} 
_{ 0,04}   0,2 Sabemos que: J  25.000 · 1  
J  25.000 · 1  0,2
_{ 36.000} Letra B

7.3 Demonstração da fórmula dos valores tabelados

Queremos mostrar que ( 1)

1

(1

)

n i n i n

a

a

i

¬

−

− ¬

=

₊

. 1 ( 1) 1

(1

)

1

(1

)

1

(1

)

(1

)

n n n i n i n n

i

i

a

a

i

i

i

i

− ¬ − ¬ −

+

−

+

−

−

=

−

⋅ +

⋅ +

Para subtrair frações de denominadores diferentes, devemos calcular o m.m.c. dos denominadores. Em seguida, dividir o m.m.c. por cada denominador e multiplicar pelo numerador. Observe que

1 (1 ) 1 (1 ) n n i i i i i − ⋅ + = + ⋅ + 1 1 ( 1) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n i n i n n n i i i i i a a i i i i i i − − ¬ − ¬ −   + − − + − ⋅ + + − + − _{ } − = − = ⋅ + ⋅ + ⋅ +

( 1)

(1

)

1 (1

)

(1

)

(1

)

(1

)

1 1

(1

)

(1

)

n n n n n i n i n n

i

i

i

i

i

i

a

a

i

i

i

i

¬ − ¬

+

− − +

+ +

+

− +

− + +

−

=

=

⋅ +

⋅ +

( 1)

(1

)

(1

)

1 1

(1

)

(1

)

n n n i n i n n

i

i

i

i

a

a

i

i

i

i

¬ − ¬

+

− +

− + +

−

=

=

⋅ +

⋅ +

( 1) 1 (1 ) n i n i n a a i ¬ − − ¬ = ₊

8 Relação das questões comentadas

EC 1. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é

a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00

EC 2. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais)

a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00

EC 3. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses