Tensões
Duas peças de madeira de seção retangular 80mm x 140mm são coladas uma à outra em um entalhe inclinado, conforme mostra a figura 2. Calcular as tensões na cola para P = 16 kN e para: a) θ = 30o; b) θ = 45o; c) θ = 60o
Resposta: a) σN=357,1 kPa, τN=618,6 kPa ; b) σN= τN=714,3 kPa ;
c) σN=1071,0 kPa, τN=618,6 kPa.
θ
P
P
Calcular o comprimento total 2L da ligação de duas peças de madeira, conforme a figura ??, e a altura h necessária. Dados P =50 kN, b= 250mm, tensão admissível ao corte na madeira 0, 8MPa e à compressão 6, 5 MPa . Resposta: 2L = 500mm ; h= 31mm.
b
L
L
h
P
P
Duas placas são unidas por 4 parafusos cujos diâmetros valem d= 20mm, conforme mostra a figura abaixo. Determine a maior carga P que pode será plicada ao conjunto. As tensões de cisalhamento,de tração e de esmagamento são limitadas a 80, 100 e a 140 MPa, respectivamente. Resposta: P= 90KN.
Um parafuso de 20mm de diâmetro é apertado contra uma peça de madeira exercendo-se uma tensão de tração de 120 MPa como mostra a figura . Calcular a espessura e da cabeça do parafuso e o diâmetro externo d da arruela, dadas as tensões admissíveis 50 MPa, ao corte no parafuso, e 10 MPa, a compressão na madeira
Resposta: e = 12 mm ; d = 72,11 mm.
e
d
Tensões
O Tensor de tensões.M proprio peso empuxo terra de agua de empuxo
Existem forças tentando aproximar ou afastar moléculas no entorno de M, nas três direções ortogonais, gerando tensões normais nestas três direções.
Existem forças tentando deslizar moléculas no entorno de M, nas três direções ortogonais, gerando tensões tangenciais ou
.M proprio peso empuxo terra de agua de empuxo . N σ 90 N τN ρN o M o
Tensões no ponto M num plano de normal ~N A tensão num dado ponto da estrutura depende do plano no qual se
calcula a tensão. Admitindo-se um plano passando por M e que
possui uma normal definida pelo vetor ~N, pode-se dizer que a tensão ~ρN, no ponto M no plano considerado, é a soma vetorial da tensão
normal ~σN com tensão tangencial ~τN, conforme figura . ~ρN = lim
∆A→0
d~F ∆A
. N σ 90 N τN ρN o M o ρx σxx o M N x y z xz τ xy τ (a) Vetor ~ρx o M ρy τyz σ yy τyx x z y N (b) Vetor ~ρy o M ρz σzz τzy τzx y x z N (c) Vetor ~ρz
ρx σxx o M N x y z xz τ xy τ (a) Vetor ~ρx o M ρy τyz σ yy τyx x z y N (b) Vetor ~ρy o M ρz σzz τzy τzx y x z N (c) Vetor ~ρz
Figura :tensões nos três planos ortogonais
σ = ~ρx ~ρy ~ρz = σx τxy τxz τyx σy τyz τzx τzy σz
As tensões normais são indicadas pela letra σ e as tangenciais pela letra τ;
ρx σxx o M N x y z xz τ xy τ (a) Vetor ~ρx o M ρy τyz σ yy τyx x z y N (b) Vetor ~ρy o M ρz σzz τzy τzx y x z N (c) Vetor ~ρz
Figura :Tensões nos três planos ortogonais
σ = ~ρx ~ρy ~ρz = σx τxy τxz τyx σy τyz τzx τzy σz
O primeiro índice identifica o plano considerado, pois indica a direção de sua normal. Exemplo: τxyprimeiro índice x → plano:
ρx σxx o M N x y z xz τ xy τ (a) Vetor ~ρx o M ρy τyz σ yy τyx x z y N (b) Vetor ~ρy o M ρz σzz τzy τzx y x z N (c) Vetor ~ρz
Figura :Tensões nos três planos ortogonais
σ = ~ρx ~ρy ~ρz = σx τxy τxz τyx σy τyz τzx τzy σz
O segundo identifica a direção da componente do vetor tensão. Exemplo:
σ = ~ρx ~ρy ~ρz = σx τxy τxz τyx σy τyz τzx τzy σz τzy τ ’zy τ ’yz τyz σ σ σ σ σ σ τ τ τ τ τ τ τ τ xy x y y z z x xz xy xz yx yx zx zx dx dy dz x y z ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ M
τzy τ ’zy τ ’yz τyz σ σ σ σ σ σ τ τ τ τ τ τ τ τ xy x y y z z x xz xy xz yx yx zx zx dx dy dz x y z ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ M
Convenção de sinais: deve ser de tal maneira que não permita que uma mesma tensão tenha valores algébricos de sinais opostos quando se analisa uma face ou outra do sólido de tensões. Por esta razão, adota-se referenciais opostos para cada uma das faces opostas do sólido em torno do M.
τzy τ ’zy τ ’yz τyz σ σ σ σ σ σ τ τ τ τ τ τ τ τ xy x y y z z x xz xy xz yx yx zx zx dx dy dz x y z ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ M Convenção de sinais:
Para as tensões normais: são positivas quando estão associadas
τzy τ ’zy τ ’yz τyz σ σ σ σ σ σ τ τ τ τ τ τ τ τ xy x y y z z x xz xy xz yx yx zx zx dx dy dz x y z ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ M Convenção de sinais:
Para as tensões tangenciais: quando a normal externa do sólido
de tensões apontar no mesmo sentido do eixo coordenado, as tensões tangenciais são positivas quando apontarem para o mesmo sentido do seu respectivo eixo coordenado. Quando a normal externa do sólido de tensões apontar no sentido contrário do eixo coordenado, as tensões tangenciais são positivas quando apontarem para o sentido contrário do seu respectivo eixo coordenado.
