Avaliação da capacidade preditiva dos modelos das classes ARIMA e de Amortecimento Exponencial sob diferentes aspectos da abordagem SSA na modelagem e previsão de consumo de energia

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Lucas Primo Luz

Avalia¸

c˜

ao da capacidade preditiva dos

modelos das classes ARIMA e de

Amortecimento Exponencial sob diferentes

aspectos da abordagem SSA na modelagem

e previs˜

ao de consumo de energia

Niter´oi - RJ, Brasil 17 de dezembro de 2019

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Universidade Federal Fluminense

Lucas Primo Luz

Avalia¸

c˜

ao da capacidade preditiva

dos modelos das classes ARIMA e de

Amortecimento Exponencial sob

diferentes aspectos da abordagem

SSA na modelagem e previs˜

ao de

consumo de energia

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Mois´es Lima de Menezes

Niter´oi - RJ, Brasil 17 de dezembro de 2019

(3)

(4)

Ficha catalográfica automática - SDC/BIME Gerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Ana Nogueira Braga - CRB7/4776

L979a Luz, Lucas Primo

Avaliação da capacidade preditiva dos modelos das classes ARIMA e de Amortecimento Exponencial sob diferentes aspectos da abordagem SSA na modelagem e previsão de consumo de energia / Lucas Primo Luz ; Moisés Lima de Menezes, orientador. Niterói, 2019.

59 f.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em

Estatística)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matemática e Estatística, Niterói, 2019.

1. Séries Temporais. 2. Singular Spectrum Analysis. 3. Análise Gráfica dos Autovetores. 4. Consumo de energia elétrica. 5. Produção intelectual. I. Menezes, Moisés Lima de, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática e Estatística. III. Título.

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-Resumo

O consumo de energia elétrica no Brasil vem aumentando gradativamente durante os anos. Este aumento no consumo se justifica devido à urbaniza¸cão, ao aumento po-pulacional e também devido aos avan¸cos tecnológicos nas casas, comércios e indústrias. Para atender esta demanda, se faz necessário o desenvolvimento de novas técnicas capazes de prever com uma melhor acurácia o consumo de energia elétrica. Singular Spectrum Analysis (SSA) é um método estat´ıstico que pode, dentre outras coisas, filtrar séries tem-porais eliminando sua componente ruidosa e melhorando a acurácia da previsão. Este projeto propõe fazer a modelagem de Holt-Winters e Box & Jenkins na série de consumo de energia elétrica no Brasil. Além disso, fazer uma filtragem SSA nessa mesma série removendo os ru´ıdos e utilizar os modelos de Holt-Winters e Box & Jenkins para fazer a modelagem com a série filtrada pela metodologia de Análise Gráfica dos Autovetores. Após as modelagens, foram utilizadas as estat´ısticas de aderência para verificar a capaci-dade preditiva de cada modelo. As estat´ısticas de aderência utilizadas foram o Coeficiente de Determina¸cão (R2_{), Erro M´}_{edio Percentual Absoluto (M AP E), Erro M´}_{edio Absoluto}

(M AE), Raiz Quadrada do Erro Quadrático Médio (RM SE) e Critério de Informa¸cão Bayesiana (BIC). Com as análises realizadas, foi verificado que os modelos de Box & Jenkins obteve os melhores resultados quanto as estat´ısticas de aderência tanto na série original quanto na série filtrada. Ao aplicar a filtragem SSA tem-se um ganho preditivo em todos os casos para a previsão de consumo de energia.

Palavras-chaves: Séries Temporais. Singular Spectrum Analysis. Holt-Winters. Box & Jenkins. Análise Gráfica dos autovetores. Consumo de energia elétrica.

(6)

Sum´

ario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdu¸c˜ao p. 11

1.1 Contextualiza¸cão . . . p. 11 1.2 A importância de fazer previsões de consumo de energia . . . p. 12 1.3 Revisão Bibliográfica . . . p. 13 1.4 Objetivos . . . p. 14 1.5 Proposta do Projeto . . . p. 14 1.6 Organiza¸cão . . . p. 15 2 Materiais e Métodos p. 16 2.1 Base de Dados . . . p. 16 2.2 Séries Temporais . . . p. 17 2.3 Modelos de Holt-Winters . . . p. 18 2.4 Modelo de Box & Jenkins . . . p. 19 2.4.1 Processo Autoregressivo . . . p. 19 2.4.2 Processo de Médias Móveis . . . p. 19 2.4.3 Processo Autoregressivos e de Médias Móveis . . . p. 20 2.4.4 Processos Autorregressivos Integrados e de Médias Móveis . . . p. 20 2.4.5 Modelagem SARIM A . . . p. 20 2.4.6 Fun¸cão de Auto Correla¸cão e Fun¸cão de Auto Correla¸cão Parcial p. 21

(7)

2.5 Estat´ıstica de Aderência . . . p. 22 2.5.1 Raiz Quadrada do Erro Quadrático Médio . . . p. 22 2.5.2 Erro Médio Percentual Absoluto . . . p. 23 2.5.3 Critério de Informa¸cão Bayesiano . . . p. 23 2.5.4 Coeficiente de Determina¸cão . . . p. 23 2.6 Singular Spectrum Analysis . . . p. 24 2.6.1 Decomposi¸cão . . . p. 24 2.6.2 Reconstru¸cão . . . p. 25 2.6.3 Análise Gráfica dos Autovetores . . . p. 27 2.7 Resumo da Metodologia . . . p. 27

3 An´alise dos Resultados p. 29

3.1 Método de Holt-Winters . . . p. 29 3.2 Método de Box & Jenkins . . . p. 31 3.3 Análise e modelagem da série sob a abordagem SSA - Análise Gráfica . p. 35 3.3.1 1o _{caso : L = 161} _{. . . .} _{p. 37}

3.3.2 2o _{caso : L = 240} _{. . . .} _{p. 41}

3.3.3 3o _{caso : L = 241} _{. . . .} _{p. 45}

3.3.4 4o _{caso : L = 252} _{. . . .} _{p. 48}

3.3.5 5o _{caso : L = 321} _{. . . .} _{p. 52}

3.3.6 An´alise dos res´ıduos . . . p. 56

4 Conclus˜ao p. 57

(8)

Lista de Figuras

1 Série de consumo de energia elétrica no Brasil em GWh, 1979-2019 . . p. 16 2 Fluxograma da Metodologia . . . p. 28 3 Boxplot da Série . . . p. 29 4 Análise dos Res´ıduos . . . p. 31 5 Correlograma com 1 diferen¸ca . . . p. 32 6 Correlograma com 1 diferen¸ca sazonal . . . p. 33 7 Correlograma com 1 diferen¸ca e transforma¸cão logar´ıtmica . . . p. 34 8 Correlograma com 1 diferen¸ca sazonal da transforma¸cão logar´ıtmica . . p. 34 9 Matriz de correla¸cão ponderada . . . p. 36 10 Diagrama de dispersão dos autovetores sequenciais com L=161 . . . p. 37 11 Os nove autovetores mais significantes com L = 161 . . . p. 38 12 Reconstru¸cão com L = 161 . . . p. 39 13 Diagrama de dispersão dos autovetores sequenciais . . . p. 41 14 Os nove autovetores mais significantes com L = 240 . . . p. 42 15 Diagrama de dispersão dos autovetores . . . p. 43 16 Diagrama de dispersão dos autovetores sequenciais . . . p. 45 17 Os nove autovetores mais significantes com L = 241 . . . p. 45 18 Diagrama de dispersão dos autovetores . . . p. 46 19 Diagrama de dispersão dos autovetores sequenciais . . . p. 48 20 Os nove autovetores mais significantes com L = 252 . . . p. 49 21 Diagrama de dispersão dos autovetores . . . p. 50 22 Diagrama de dispersão dos autovetores sequenciais . . . p. 52

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23 Os nove autovetores mais significantes com L = 321 . . . p. 53 24 Diagrama de dispers˜ao dos autovetores . . . p. 54 25 Correlograma dos res´ıduos do modelo SARIM A(3, 2, 3) × (0, 2, 2) com

(10)

Lista de Tabelas

1 Equa¸cões de atualiza¸cões dos parâmetros do modelos de Holt-Winters . p. 18 2 Propriedades teóricas da F AC e F ACP . . . p. 22 3 Algumas Estat´ısticas Descritivas da série temporal de Consumo de

Ener-gia Elétrica no Brasil 1979-2019 . . . p. 29 4 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Holt-Winters . . . p. 30 5 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Box & Jenkins . . . p. 35 6 Agrupamento das componentes . . . p. 38 7 Correla¸cão para a decomposi¸cão do modelo L = 161 . . . p. 38 8 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Holt-Winters com L = 161 p. 39 9 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Box & Jenkins com L = 161 p. 40 10 Agrupamento das componentes . . . p. 42 11 Correla¸cão para a decomposi¸cão do modelo L = 240 . . . p. 42 12 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Holt-Winters, L = 240 . . p. 43 13 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Box & Jenkins com L = 240 p. 44 14 Agrupamento das componentes . . . p. 46 15 Correla¸cão para a decomposi¸cão do modelo L = 241 . . . p. 46 16 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Holt-Winters, L = 241 . . p. 47 17 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Box & Jenkins com L = 241 p. 48 18 Agrupamento das componentes . . . p. 49 19 Correla¸cão para a decomposi¸cão do modelo L = 252 . . . p. 49 20 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Holt-Winters, L = 252 . . p. 50 21 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Box & Jenkins com L = 252 p. 51

(11)

22 Agrupamento das componentes . . . p. 53 23 Correla¸cão para a decomposi¸cão do modelo L = 321 . . . p. 53 24 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Holt-Winters, L = 321 . . p. 54 25 Estat´ısticas de Aderência para os modelos de Box & Jenkins com L = 321 p. 55

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11

1 Introdu¸

c˜

ao

1.1 Contextualiza¸

c˜

ao

Desde o investimento em novas áreas para o crescimento econômico do Brasil no século XIX, até o grande avan¸co tecnológico do século XXI, a produ¸cão e o consumo de energia elétrica são fatores diretamente ligados à economia do pa´ıs. Com o passar das décadas a energia elétrica tornou-se cada vez mais presente nas indústrias, nos meios de transportes, nas moradias e hoje, é praticamente essencial para a maior parte da popula¸cão.

No século XIX, a produ¸cão exportadora de café, principal fonte de gera¸cão de renda do pa´ıs e com alta lucratividade para os investidores, obteve grande aplica¸cão de capital. Esse contexto possibilitou a moderniza¸cão do pa´ıs, que alavancou o setor urbano da eco-nomia e que, paralelamente, gerou o crescimento das cidades, o que levou a uma expansão da indústria de constru¸cão civil e da oferta de infra-estrutura urbana. É nesse movimento que se inserem as primeiras iniciativas de uso da energia elétrica no pa´ıs, à mesma época que essa inova¸cão tecnológica era introduzida na Europa e nos Estados Unidos (ABARCA et al., 2002).

No século XXI, a entrada da tecnologia nos setores de agricultura, produ¸cão indus-trial, pesquisa, entretenimento, entre outros, foi evoluindo juntamente com o aumento do acesso a energia elétrica no pa´ıs. Além desses, atualmente, a crise no setor trabalhista e as demissões em massa ampliaram o número de pequenas empresas e do trabalho no setor informal, o que gera uma maior demanda de energia.

O tipo de gera¸cão de energia elétrica está na pauta de discussões sobre os impactos na natureza causados por este tipo de produ¸cão. A emissão de gases do efeito estufa, o esgotamento de recursos naturais e os preju´ızos à fauna e à flora causados pelas usinas hidrelétricas são alguns dos fatores motivadores para o incentivo à diminui¸cão do consumo desse tipo de energia, em favorecimento ao desenvolvimento sustentável de energia limpa.

(13)

1.2 A importˆancia de fazer previs˜oes de consumo de energia 12

1.2 A importˆ

ancia de fazer previs˜

oes de consumo de

energia

O conhecimento pr´evio, em qualquer instante, dos valores aproximados de potˆencia reativa1 _{requerida pelo sistema ou pelas barras de carga tem uma grande importˆ}_ancia.

A previsão da potência reativa em conjunto com a previsão da demanda se constituem numa ferramenta de extremo valor no monitoramento de Sistemas de Energia Elétrica (CHRISTO; SOUZA, 2006).

A qualidade da proje¸cão futura do consumo de energia a ser realizada pelas distri-buidoras impacta de forma significativa em dois pontos distintos: O primeiro se refere ao próprio planejamento da expansão do sistema elétrico, uma vez que estas proje¸cões são utilizadas pelo Ministério de Minas e Energia para dar suporte às decisões tomadas neste sentido. O segundo ponto está no contexto operacional e financeiro das próprias distribuidoras. O desafio de prever o consumo de energia elétrica no contexto de uma economia estável, com séries temporais razoavelmente estacionárias, já seria um grande desafio. Esse desafio torna-se tanto maior no contexto de uma economia cujas carac-ter´ısticas mudam significativamente em curtos intervalos de tempo, tudo isso agravado pela globaliza¸cão mundial (CAMPOS, 2008).

´

E de grande importância para as empresas que atuam no setor de gera¸cão, transmissão e distribui¸cão de energia elétrica, conhecer a futura demanda deste bem dado que isto seria essencial em várias das atividades diárias efetuadas por estas empresas, especialmente se permitirem otimizar o escalonamento da produ¸cão de energia elétrica e a distribui¸cão de energia, além de permitirem um agendamento de manuten¸cão que não perturbe o fornecimento (RODRIGUES; SILVA; LINDEN, 2006).

Ao se trabalhar com séries temporais, o objetivo mais usual é a predi¸cão de valores futuros. A necessidade de obter previsões precisas de eventos futuros ou suas consequen-cias, sejam climáticas, econômicas, epidemiológicas ou de qualquer natureza, tem levado a um constante desenvolvimento de técnicas de previsão em séries temporais. Os métodos estat´ısticos clássicos para análise de séries temporais encontram-se bem documentados na literatura pertinente. Contudo, boa parte desses métodos requer conhecimento especi-alizado para sua correta aplica¸cão. Sendo assim, o uso adequado dos modelos clássicos exigirá verifica¸cões das suas suposi¸cões, o que demanda esfor¸cos e experiência, na análise exploratória dos dados. Singular Spectrum Analysis (SSA) se apresenta como uma

alter-1_Potˆ_{encia reativa representa parte da potˆ}_{encia que ´}_{e empregada nas cargas capacitativas e indutivas}

(14)

1.3 Revis˜ao Bibliogr´afica 13

nativa relativamente simples e poderosa. SSA pode decompor uma séries em componentes disjuntas como tendência, componentes c´ıclicas ou harmônicas e ru´ıdo, sendo esta última removida para obter uma série menos ruidosa. (ESQUIVEL; SENNA; GOMES, 2012).

1.3 Revis˜

ao Bibliogr´

afica

(MENEZES et al., 2014) utilizaram modelos de Holt-Winter e de Box & Jenkins associados a três metodologias diferentes em SSA para ajustar uma série de demanda de energia elétrica. Na ocasião, eles chegaram a conclusão que a filtragem SSA sob a abordagem de análises gráficas dos autovetores proporcionam uma melhora na qualidade do ajuste e que os modelos de Box & Jenkins são mais apropriados para esta série.

(CAMPOS, 2008) realizou dois estudos de caso: o consumo de energia da cidade de New England (U SA) e a série de consumo do Estado de Minas Gerais (Brasil). Os modelos são comparados usando os ´ındices de desempenho: M P E ( Erro médio percentual ), M AP E ( Erro médio percentual absoluto ) e RM SE ( Raiz Quadrada do Erro Quadrático Médio ). No caso do consumo do Estado de Minas Gerais, como a série temporal é composta por poucas observa¸cões, não existem amostras para realizar a compara¸cão, então é utilizado SSA nas previsões juntamente com a série original de consumo. Os resultados obtidos para os dois estudos de caso mostram que os modelos ARIM A e SARIM A são ferramentas eficientes que podem auxiliar no planejamento e tomadas de decisões no setor elétrico.

(BIASE; IMACULADA; VINICIUS, 2013) analisaram o consumo de energia elétrica na região Norte do Brasil. Dentre os poss´ıveis modelos, foram ajustados modelos SARIM A sem e com interven¸cões. A sele¸cão do melhor modelo foi realizada por meio dos critérios AIC (Critério de Informa¸cão de Akaike), BIC (Critério de Informa¸cão Bayesiano). O modelo escolhido foi o SARIM A(2, 1, 2) × (0, 1, 1)12 com interven¸cão, que apresentou

valores de previs˜ao relativamente precisos.

(ESQUIVEL; SENNA; GOMES, 2012) apresentou desenvolvimento teórico e aplica¸cões do método SSA para comparar com modelos clássicos. Em seguida analisou duas séries com caracter´ısticas distintas. O método SSA conseguiu representar melhor as varia¸cões existentes nos dados. A previsão com SSA apresentou um comportamento mais próximo à realidade das séries analisadas. Sua utiliza¸cão produziu resultados superiores aos gerados pelos métodos clássicos.

(15)

1.4 Objetivos 14

1.4 Objetivos

Este trabalho teve como objetivo avaliar a capacidade preditiva dos modelos ARIMA e Holt-Winters para a série de consumo de energia no Brasil, avaliar o ganho preditivo ao se fazer uma filtragem SSA, avaliar se há ganho preditivo ao mudar os parâmetros na abordagem SSA e determinar qual o melhor modelo que se ajusta à série.

1.5 Proposta do Projeto

A proposta deste projeto foi de realizar boas previsões da demanda do conumo de energia à partir de diversas abordagens de modelagens, sendo elas: modelagem de amor-tecimento exponencial, modelagem ARIM A, modelagem com filtragem SSA sob diversos aspectos e análise da capacidade preditiva usando as estat´ısticas de aderência.

Inicialmente, a série original de consumo de energia foi modelada pelos métodos ci-tados acima. A modelagem do método de amortecimento exponencial possui várias ver-tentes: sem tendência, sem sazonalidade, com tendência, com sazonalidade. O ARIM A possui várias op¸cões à partir das análises dos correlogramas. Em seguida a série passará por uma filtragem SSA, na ocasião, foram utilizados diversos valores de janela na fase de decomposi¸cão da série. Para cada abordagem SSA, foram ajustados os modelos de Holt-Winters e de Box & Jenkins.

Após as modelagens e devidas análises de res´ıduos e de significância dos parâmetros estimados, as estat´ısticas de aderência são calculadas. Para efeito de verifica¸cão da ca-pacidade preditiva dos modelos, estão sendo consideradas as estat´ısticas: M AP E (Mean Absolute Percentage Error), RM SE (Root Mean Square Error), o critério BIC (Bayesian Information Criterion) e o Coeficiente de Determina¸cão R2_.

Foi considerado o modelo mais adequado aquele que minimizou as estat´ısticas de aderˆencia.

Para cada etapa do desenvolvimento do projeto foram utilizados diversos softwares, sendo eles: F P W (Forecast Pro for Windows) para a modelagem de Holt-Witers e de Box & Jenkins. Cálculo das estat´ısticas de aderência a partir do R, Gretl (Gnu Regression, Econometrics and Time-series Library) e F P W . Os gráficos foram gerados no Microsoft Excel. A filtragem SSA foi feita a partir do programa Caterpillar-SSA e as análises dos res´ıduos no Gretl e F P W .

(16)

1.6 Organiza¸c˜ao 15

Ao final, foi escolhido o modelo que minimizou as estat´ısticas de aderˆencia.

1.6 Organiza¸

c˜

ao

Este projeto foi dividido em 5 cap´ıtulos. O cap´ıtulo 1 é composto pela introdu¸cão. O cap´ıtulo 2 contém os objetivos. No cap´ıtulo 3 foram apresentados os materiais e métodos utilizados. Os resultados no cap´ıtulo 4 e as conclusões no cap´ıtulo 5.

(17)

16

2 Materiais e M´

etodos

2.1 Base de Dados

As análises neste trabalho foram feitas sob uma série de medidas mensais de con-sumo de energia no Brasil no per´ıodo de janeiro de 1979 a fevereiro de 2019. A série foi obtida da base de dados do Banco Central do Brasil e pode ser acessada a partir deste endere¸co: <hwww3.bcb.gov.br/sgspub/localizarseries/localizarSeries.do?method= prepararTelaLocalizarSeriesi> em seguida, siga os passos para chegar à série temporal, clicar em: Atividade econômica − > Setor real − > Energia − > Consumo de ener-gia elétrica − > selecionar Brasil-Total − > Consultar série. Esta série contém 482 observa¸cões. A Figura 1 apresenta o comportamento desta série.

Figura 1: S´erie de consumo de energia el´etrica no Brasil em GWh, 1979-2019

No ano de 2001, o Brasil sofreu a “Crise do Apagão” devido a desconformidade do volume pluviométrico em Minas Gerais, onde era localizado 65% dos reservatórios das usinas hidrelétricas. Com isso, o governo brasileiro elaborou um plano de racionamento

(18)

2.2 S´eries Temporais 17

de energia, na qual falhas na execu¸cão desse projeto geraria uma crise no setor econômico, principalmente pela disponibiliza¸cão irregular de energia para as indústrias e comércios (GOMES, 2019). Tal crise proporcionou o decl´ınio brusco, em 2001, que pode ser obser-vado no gráfico da figura 1.

2.2 S´

eries Temporais

Série Temporal é um conjunto de observa¸cões sobre uma variável ordenada no tempo e registrado em per´ıodos regulares.

O propósito da análise de séries temporais é identificar padrões na série temporal de uma variável de interesse. A observa¸cão deste comportamento pode permitir fazer previsões sobre o futuro, orientando a tomada de decisões (MORETTIN; TOLOI, 2006). Segundo o modelo clássico, as séries temporais são compostas por quatro padrões: tendência, ciclo, sazonalidade e ru´ıdo aleatório.

A tendência é o comportamento do gráfico que se desenvolve em um longo intervalo de tempo e verifica o sentido de deslocamento da série temporal, ao longo de vários anos, podendo aumentar, diminuir ou permanecer constante. No contexto de consumo de energia elétrica, pode ser causada pela expansão demográfica, ou mudan¸ca gradativa de hábitos de consumo, ou qualquer outro aspecto que afete a variável de interesse a per´ıodos extensos.

O ciclo, que se refere às oscila¸cões ao longo de vários anos ou aos desvios em torno da reta de tendência, tem movimento ondulatório, ou seja, é o movimento da série que se repete ao longo dos per´ıodos de tempo. Podem ser resultado de varia¸cões da economia como per´ıodos de crescimento, recessão ou fenômenos climáticos como o El Niño ou La Niña (que se repete com periodicidade superior a um ano).

A sazonalidade, relata as flutua¸cões periódicas de comprimento constante, repetindo em per´ıodos fixos associados. Este per´ıodo se repetem todos os anos, geralmente em fun¸cão das esta¸cões do ano, em fun¸cão de vendas em determinados feriados ou em mudan¸cas climáticas.

Ru´ıdo aleatório ou erro é tudo aquilo que não é explicado pelas outras componentes da série, ou seja, é o que o modelo estimado não consegue captar. Um erro é dito ru´ıdo branco quando possui distribui¸cão normal, a média de seus componentes é zero e a variância constante.

(19)

2.3 Modelos de Holt-Winters 18

A decomposi¸cão clássica é útil tanto para planejamento como para previsão, pois, além de permitir fazer previsões, ela auxilia na tomada de decisão sobre o método mais adequado aos aspectos dos dados dispon´ıveis (REIS, 2017).

2.3 Modelos de Holt-Winters

(HOLT, 1957) e (WINTERS, 1960) desenvolveram um método de amortecimento exponencial para modelagem de séries que apresentam tendência e sazonalidade. Existem dois tipos de procedimento para o método de Holt-Winters: o aditivo e o multiplicativo. O método de Holt-Winters se baseia em três equa¸cões alisadoras, as quais segundo (MORETTIN; TOLOI, 2006), se referem uma para o n´ıvel, outra para tendência e outra para sazonalidade. A suaviza¸cão é também um método estat´ıstico que parte de uma equa¸cão de médias móveis, ponderadas exponencialmente, com o objetivo de produzir ajustes nas varia¸cões aleatórias dos dados da série temporal.

Os métodos de previsão por suaviza¸cão exponencial não depende de nenhuma variável externa para realizar previsões, depende apenas da própria série de dados.

A tabela 1 apresenta as equa¸cões de atualiza¸cão dos parâmetros e de previsão dos modelos de Holt-Winters com sazonalidade aditiva e multiplicativa.

Tabela 1: Equa¸cões de atualiza¸cões dos parâmetros do modelos de Holt-Winters Modelo Aditivo

N´ıvel a(t) = α(Zt− St−12) + (1 − α) × (a(t − 1) + b(t − 1))

Tendˆencia b(t) = β(a(t) − a(t − 1) + (1 − β)b(t − 1) Sazonalidade St= γ(Zt− a(t)) + (1 − γ)St−12

Previs˜ao Z(h) = a(t) + b(t)h + Sb _t−12+h Modelo Multiplicativo N´ıvel a(t) = α[ Zt

St−12] + (1 − α) × (a(t − 1) + b(t − 1))

Tendˆencia b(t) = β(a(t) − a(t − 1) + (1 − β)b(t − 1) Sazonalidade St = γ_a(t)Zt + (1 − γ)St−12

Previs˜ao Z(h) = (a(t) + b(t)h)Sb _t−12+h

Onde:

(20)

2.4 Modelo de Box & Jenkins 19

• a(t) - N´ıvel da s´erie; • b(t) - Tendˆencia;

• St - Componente sazonal;

• bZ(h) - Previs˜ao h passos a frente; • Zt - Valor observado;

• α β γ - Parˆametros de amortecimento do n´ıvel, da tendˆencia e da sazonalidade respec-tivamente.

2.4 Modelo de Box & Jenkins

Os modelos de Box & Jenkins, genericamente conhecidos por ARIM A (Auto Re-gressive Integrated Moving Averages) e na literatura em português por Auto-regressivos Integrados de Médias Móveis, são modelos matemáticos que visam captar o comporta-mento da correla¸cão seriada ou autocorrela¸cão entre os valores da série temporal, e com base nesse comportamento realizar previsões futuras. Se essa estrutura de correla¸cão for bem modelada, fornecerá boas previsões. Se o processo não é estacionário, pode-se torná-lo estacionário por meio de sucessivas diferencia¸cões na série original.

2.4.1 Processo Autoregressivo

Seja {t} um processo puramente aleatório com média zero e variância σ2.

Um processo Zt ´e chamado de processo autoregressivo (AR) de ordem p, ou AR(p)

se,

Zt= φ1Zt−1+ ... + φpZt−p+ t

Em que φ1, ..., φp s˜ao constantes reais e t ´e i.i.d com t∼ RB(0, σ2).

2.4.2 Processo de M´

edias M´

oveis

Um processo Zté chamado de processo de médias móveis (M A) de ordem q, ou M A(q)

(21)

Zt= t− θ1t−1− ... − θqt−q,

em que θ1, ..., θq s˜ao constantes reais e t´e i.i.d com t∼ RB(0, σ2).

2.4.3 Processo Autoregressivos e de M´

edias M´

oveis

Os processos autoregressivos e de médias móveis (ARM A) são uma generaliza¸cão dos modelos AR e M A.

Um processo Zté chamado de processo autorregressivo e de médias móveis, ARM A(p, q)

se,

Zt= φ1Zt−1+ ... + φpZt−p+ t− θ1t−1− ... − θqt−q,

em que φ1, ..., φp e θ1, ..., θq s˜ao constantes reais e t´e i.i.d com t∼ RB(0, σ2).

2.4.4 Processos Autorregressivos Integrados e de M´

edias M´

oveis

O processo autoregressivo integrado e de médias móveis (ARIM A), denotado por ARIM A(p, d, q), considera a tendência da série temporal. Os parâmetros (p, d, q) são números inteiros e não negativos. Sua representa¸cão é dada por:

φ(B)(1 − B)dZt = θ(B)t,

sendo, φ(B) = 1 − φ1(B) − φ2(B)2 − ... − φpBp o polinˆomio autoregressivo de ordem p;

θ(B) = 1 − θ1(B) − θ2(B)2 − ... − θqBq o polinômio de médias móveis de ordem q; B

o operador de retardo tal que, Bi_Z

t = Zt−i ; d o n´umero de diferen¸cas necess´arias para

retirar a tendência da série e transformá-la em estacionária.

2.4.5 Modelagem SARIM A

(BOX; JENKINS, 1970) generalizaram o modelo ARIM A para lidar com a sazona-lidade de uma determinada série temporal. Tais modelos são importantes, pois levam em considera¸cão a sazonalidade estocástica dos dados. Definiram um modelo ARIM A

(22)

sazonal multiplicativo, denominado SARIM A de ordem (p, d, q) × (P, D, Q)s, onde s ´e o

número de fatores sazonais. Então SARIM A(p, d, q) × (P, D, Q)s é dado por

φ(B)Φ(Bs)Wt= θ(B)Θ(B)t onde, φ(B) = 1 − φ1(B) − ... − φpBp Φ(B) = 1 − Φ1(Bs) − ... − ΦPBP s Wt= ∆d∆Ds Zt θ(B) = 1 − θ1(B) − ... − θqBq Θ(B) = 1 − Θ1(Bs) − ... − ΘQBQs,

φ(B) é o operador auto regressivo AR(p), θ(B) é o operador de médias móveis M A(q), Φ(B) é o operador AR sazonal de ordem P , Θ(B) é o operador M A sazonal de ordem Q, ∆d _´_{e o operador de diferen¸cas, ∆}D

s ´e o operador de diferen¸ca sazonal e t ´e um ru´ıdo

branco com m´edia zero e variˆancia σ2.

2.4.6 Fun¸

c˜

ao de Auto Correla¸

c˜

ao e Fun¸

c˜

ao de Auto Correla¸

c˜

ao

Parcial

A fun¸cão de autocorrela¸cão (F AC) mede o grau de correla¸cão de uma variável, em um dado instante, consigo mesma, em um instante de tempo posterior. Ela permite que se analise o grau de irregularidade de um sinal.

A fun¸cão de autocorrela¸cão parcial (F ACP ) é uma medida da correla¸cão entre as observa¸cões de uma série temporal que são separadas por k unidades de tempo (yt e yt–k).

Utilizamos a F AC e F ACP para identificarmos a ordem p da parte auto-regressiva e a ordem q da parte média móvel de um modelo ARM A, sendo indispensável para o cálculo da previsão da série. A F AC é definida como a razão entre a autocovariância e a variância para um conjunto de dados.

Dadas as observa¸cões Z1, ..., ZT, a fun¸cão de autocorrela¸cão é estimada por

ρk =

γk

γ0

,

(23)

2.5 Estat´ıstica de Aderˆencia 22

dada por

γk = E(Zt− µ)(Zt−k− µ).

A Tabela 2 mostra as propriedades teóricas das fun¸cões de autocorrela¸cão e auto-correla¸cão parcial para alguns processos estacionários como auxiliar na identifica¸cão do modelo.

Tabela 2: Propriedades te´oricas da F AC e F ACP

Processo F AC F ACP

Ru´ıdo Branco 0 0

AR(1), φ1 > 0 decaimento exponencial 0, k ≥ 2

AR(1), φ1 < 0 decaimento oscilat´orio 0, k ≥ 2

AR(p) decaimento para zero 0, k > p

MA(1) 0, k > 1 decaimento oscilat´orio

ARMA(p,q) decaimento a partir de q decaimento a partir de p

2.5 Estat´ıstica de Aderˆ

encia

As estat´ısticas de aderência medem o quanto a série ajustada reconhece o padrão da série original. Essas estat´ısticas são obtidas a partir da medida de erro de previsão, portanto o objetivo é que sejam minimizadas.

2.5.1 Raiz Quadrada do Erro Quadr´

atico M´

edio

A raiz quadrada do erro quadrático médio (RM SE) é a medida da magnitude média dos erros estimados, tem valor sempre positivo e quanto mais próximo de zero, maior a qualidade dos valores medidos ou estimados. O RM SE é obtido por (2.1):

RM SE = v u u t N X t=1 (zt−bzt) 2 N (2.1)

onde N é o número de observa¸cões, zt representa o valor observado no instante t, zbt representa o valor estimado no instante t.

(24)

2.5 Estat´ıstica de Aderˆencia 23

2.5.2 Erro M´

edio Percentual Absoluto

O erro médio percentual absoluto (M AP E) mostra, em média, o quanto está errando no n´ıvel de agrega¸cão de cálculo, com valores variando entre 0 e 100%. O M AP E é obtido por (2.2): M AP E = PN t=1 zt−bzt zt N × 100, (2.2)

onde N é o número de observa¸cões, zt representa o valor observado no instante t, zbt representa o valor estimado no instante t.

2.5.3 Crit´

erio de Informa¸

c˜

ao Bayesiano

O conceito fundamental que sustenta o critério de informa¸cão bayesiano (BIC) é o Princ´ıpio da Parcimônia, o qual determina que o modelo selecionado deva ser aquele que apresente a menor complexidade e ao mesmo tempo tenha uma elevada capacidade para modelar os dados de treinamento. O BIC é obtido por (2.3):

BIC = −2 log Lp+ [p + 2] log n, (2.3)

onde Lp é a fun¸cão de máxima verossimilhan¸ca do modelo e p é o número de variáveis

explicativas no modelo.

O BIC aumenta conforme o SQE1aumenta, além disso, penaliza modelos com muitas variáveis. Quanto menor o valor do BIC, melhor será o modelo.

2.5.4 Coeficiente de Determina¸

c˜

ao

O coeficiente de determina¸c˜ao (R2_{), ´}_{e uma medida de ajustamento de um modelo}

estat´ıstico. Neste caso ser´a utilizado o R2 _{ajustado, pois ele penaliza a inclus˜}_{ao de}

regres-sores pouco explicativos.

O R2 _{varia entre 0 e 1, indicando, em percentagem, o quanto o modelo consegue}

explicar na varia¸c˜ao dos valores observados. Quanto maior o R2, mais explicativo ´e o

1_{SQE ´}_{e a soma dos quadrados dos erros e ´}_{e obtida por: SQE =}PN

t=1 (zt−bzt)

2

(25)

2.6 Singular Spectrum Analysis 24

modelo, melhor ele se ajusta `a amostra. O R2 ´e obtido por (2.4):

R2 = 1 − PT t=1(Zt− bZt)2 PT t=1(Zt− Zt)2 ! . (2.4)

2.6 Singular Spectrum Analysis

Singular Spectrum Analysis (SSA), é uma técnica não paramétrica que permite de-compor uma série temporal em sinal e ru´ıdo. É uma técnica útil para filtrar dados de séries temporais. (MENEZES et al., 2014) utilizaram três metodologias na abordagem SSA: Análise de componentes principais (ACP), ACP associado com Análise de Clus-ter e Análise Gráfica dos Vetores Singulares. Em seu artigo é mostrado que o melhor método em SSA é a Análise Gráfica dos vetores singulares, que foi utilizado neste projeto. SSA é um método recente e poderoso em séries temporais que incorpora elementos de análise clássica de séries temporais, estat´ıstica multivariada, geometria multivariada, sis-temas dinâmicos e processamentos de sinais (Elsner & Tsonis, 1996) (ELSNER; TSONIS, 1996). SSA tem sido aplicada com sucesso em diversas áreas: na matemática e f´ısica a economia e matemática financeira, na meteorologia e oceanografia a ciências sociais (GOLYANDINA; NEKRUTKIN; ZHIHGLJAVSKY, 2001).

O método SSA é um procedimento que pode ser utilizado, dentre outras aplica¸cões, na remo¸cão de ru´ıdo e de séries temporais (GOLYANDINA; NEKRUTKIN; ZHIHGL-JAVSKY, 2001), (HASSANI; HERAVI; ZHIGLZHIHGL-JAVSKY, 2012). A versão básica do método SSA pode ser dividida em duas etapas: decomposi¸cão e reconstru¸cão.

2.6.1 Decomposi¸

c˜

ao

Segundo (GOLYANDINA; NEKRUTKIN; ZHIHGLJAVSKY, 2001), a etapa de de-composi¸cão pode ser subdividida em duas partes: Incorpora¸cão e decomposi¸cão em valores singulares (SVD – Singular Value Decomposition).

Seja Zt= [z1, . . . zT]1×T uma s´erie temporal (HAMILTON, 1994) e considere L tal que

2 ≤ L ≤ T de modo que L é um parâmetro a ser estimado e é chamado de comprimento da janela. Entende-se por Incorpora¸cão o procedimento no qual uma série temporal ZT é

levada a uma matriz X = [z1, . . . , zk]L×T, para todo k ∈ [1, . . . , K], onde K = T − L + 1.

A matriz X, conhecida como matriz trajetória é uma matriz Hankel, ou seja, os elementos de xi,j tal que i + j = constante são iguais.

(26)

Considere S = XX0. Os autovalores de S dispostos em ordem de significância λ1 ≥ · · · ≥ λL ≥ 0 são obtidos e os respectivos autovetores U1, . . . , UL são encontrados.

Considere V0 = (X0UL)/

√

λ, como S é positivo semi-definido, então a matriz trajetória X pode ser expressa pela decomposi¸cão em valores singulares (SVD) apresentada em (2.5):

X = E1+ E2+ · · · + EL, (2.5)

onde El =

√

λUlVl0, para todo l = 1, . . . , L. A cole¸c˜ao (

√

λl, Ul, Vl) ´e conhecida como

auto-tripla da expansão SVD de X. Os elementos da autotripla são definidos respectivamente por: valor singular, vetor singular à esquerda e vetor singular à direita de X (MENEZES et al., 2014). A contribui¸cão de cada componente em (2.5) pode ser mensurada pela razão de autovalores λl/

PL

l=1λl.

2.6.2 Reconstru¸

c˜

ao

Segundo (GOLYANDINA; NEKRUTKIN; ZHIHGLJAVSKY, 2001), a etapa de re-constru¸cão está subdividida em duas partes: agrupamento e média diagonal. A etapa de agrupamento consiste no procedimento de agrupar algumas sequências de matrizes ele-mentares resultantes da decomposi¸cão SVD em grupos disjuntos e, após isso, somá-las, gerando novas matrizes elementares.

Considere a sequencia PL

l=1El de matrizes elementares da expans˜ao de SVD. Agrupe

as mesmas em m grupos disjuntos utilizando algum método, por exemplo, por meio de análise de componentes principais ou análise gráfica de vetores singulares e assumir que o conjunto de ´ındices gerado é dado por {I1, . . . , Im}, de modo que a expansão (2.5) pode

ser reescrita como em (2.6), sendo XIi arbitr´aria tal queXIi =

Ppi j=1XIij. X = L X l=1 El = m X i=1 XIi (2.6)

O objetivo do agrupamento é diminuir o número de componentes na expansão da matriz trajetória X. A contribui¸cão de cada componente é mensurada pela razão (2.7).

Ppi

j=1λIij

PL

l=1λl

. (2.7)

(27)

Considere x(i)_l,k um elemento na linha l e coluna k na matriz XIi. O elemento z

(i) t da

componente hz(i)_t i

1×T

da série temporal [zt]1×T é calculado por meio da média diagonal

da matriz elementar XIi definida em (2.8), a partir da matriz elementar XIi.

z(i)_t =                  t P l=1 x(i)_l,t−l+1 t , se 1 ≤ t < L ∗ L∗ P l=1 x(i)_l,t−l+1 L∗ , se L ∗ _{≤ t < K}∗ T −K∗+1 P l=t−K∗+1 x(i)_l,t−l+1 T −K∗₊₁ , se K∗ ≤ t ≤ T (2.8)

Cada componente hz_t(i)i

1×T

concentra parte da energia da s´erie temporal original [zt]_1×T que pode ser mensurada pela raz˜ao de autovalores

pi P j=1 λIij/ d P l=1 λl. De acordo com

(HASSANI; HERAVI; ZHIGLJAVSKY, 2012), podemos classificar as componentes SSA h

z_t(i)i

1×T

de uma série temporal arbitrária [zt]1×T em três categorais: tendência,

compo-nentes harmˆonicas (ciclo e sazonalidade) e ru´ıdo (GOLYANDINA; NEKRUTKIN; ZHIH-GLJAVSKY, 2001).

De acordo com (HASSANI; HERAVI; ZHIGLJAVSKY, 2012), um dos principais con-ceitos estudados em SSA é a propriedade de separabilidade. Tal propriedade caracteriza quão bem separados estão as diferentes, componentes, umas das outras. Uma boa me-dida de separabilidade é a Correla¸cão Ponderada. Por correla¸cão ponderada w-correla¸cão (weighted correlation), podemos entender como uma fun¸cão que quantifica a dependência linear entre duas componentes SSA Z_T(1) e Z_T(2) definida em (2.9).

ρ(w)_ij = Z_T(i), Z_T(j) w ||Z_T(i)||w||Z (j) T ||w . (2.9) onde ||Z_T(i)||w = r Z_T(i), Z_T(i) w ; ||Z_T(j)||w = r Z_T(j), Z_T(j) w ;Z_T(i), Z_T(j) w = T P k=1 wkz (i) k z (j) k e wk= min{k, L, T − k}.

Através da separabilidade, pode-se verificar estatisticamente se duas componentes SSA estão bem separadas, em termos de dependência linear. Se o valor absoluto da w-correla¸cão é pequeno, então as componentes SSA correspondentes são classificadas como w-ortogonais (ou quase w-ortogonais); caso contrário, são ditas mal separadas. Salienta-se que comumente utiliza-se a correla¸cão ponderada na fase de agrupamento SSA (GOLYAN-DINA; NEKRUTKIN; ZHIHGLJAVSKY, 2001).

(28)

2.7 Resumo da Metodologia 27

2.6.3 An´

alise Gr´

afica dos Autovetores

A análise das coordenadas da série temporal na base definida pelos vetores singulares resultantes da SVD permite identificar as componentes de tendência e da sazonalidade da série. O problema geral aqui consiste em identificar e separar as componentes oscilatórias das componentes que fazem parte da tendência. De acordo com GOLYANDINA et al. (2001) a análise gráfica de tais coordenadas aos pares permite identificar por meio visual as componentes harmônicas da série.

As coordenadas da série temporal em duas componentes ortogonais podem ser dispos-tas em um diagrama de dispersão. Considere um harmônico puro com frequência igual a ω, fase igual a δ, amplitude igual a ξ e per´ıodo ρ = _ω1 definido como um divisor do tama-nho da janela L e K. Se o parâmetro ρ assume um valor inteiro, então ρ é classificado como per´ıodo do harmônico. Por exemplo, as fun¸cões seno e o cosseno com frequências, amplitudes e fases iguais resultam em um diagrama de dispersão que exibe um padrão circular. Por sua vez, se ρ = _ω1 é um inteiro, então o diagrama de dispersão exibe um pol´ıgono regular com ρ vértices. Para uma frequência ω = m_n < 0, 5 com m e n inteiros e primos, os pontos são vértices de um pol´ıgono regular de n vértices (GOLYANDINA et al., 2001). Dessa forma, a identifica¸cão dos componentes que são gerados por um harmônico é reduzida à análise pictórica do padrão determinado nos diferentes pares de componentes.

2.7 Resumo da Metodologia

Este trabalho realizaou modelagens de uma série temporal de consumo de energia no Brasil a partir de diversas abordagens. Em princ´ıpio, a série original foi modelada via Holt-Winters sob diversos aspectos e via Box & Jenkins a partir das análises de fun¸cões de autocorrela¸cão e autocorrela¸cão ponderada, bem como a partir dos testes de normalidade e de estacionariedade. Em um segundo momento, a série passa por uma filtragem SSA, onde foram consideradas várias abordagens diferentes, levando em considera¸cão diversos tamanho de janela (L) e diversas formas de agrupamentos de autovetores. Após cada fil-tragem SSA, a série filtrada foi modelada via Holt-Winters e via Box & Jenkins conforme os aspectos citados anteriormente. Ao final, todos os modelos considerados adequados pelas análises dos res´ıduos foram comparados pelas estat´ısticas de aderência. Aquele que minimizou foi o modelo escolhido. A figura 2 resume os passos seguintes da execu¸cão deste projeto.

(29)

2.7 Resumo da Metodologia 28

(30)

29

3 An´

alise dos Resultados

No experimento computacional, considerou-se a série temporal de consumo de energia elétrica no Brasil, medida em GWh (com frequência mensal) apresentada na figura 1.

A tabela 3 apresenta as principais estat´ısticas descritivas para este banco de dados.

Tabela 3: Algumas Estat´ısticas Descritivas da s´erie temporal de Consumo de Energia El´etrica no Brasil 1979-2019

Estat´ıstica GWh Média 24063,00 Desvio Padrão 9843,75 M´ınimo 7859,00 1o _Quartil _15913,00 Mediana 23630,00 3o Quartil 32291,00 Máximo 41911,00

Figura 3: Boxplot da S´erie

Inicialmente, a s´erie foi modelada via Modelos de Amortecimento Exponencial de Holt-Winters utilizando o software F P W .

3.1 M´

etodo de Holt-Winters

Para a modelagem de Holt-Winters foram considerados modelos sem e com tendência linear e sem e com sazonalidade, que pode ser aditiva ou multiplicativa. Para todos os casos, as estat´ısticas de aderência foram calculadas. A tabela 4 apresenta os resultados obtidos com estas modelagens para a Série Original.

(31)

3.1 M´etodo de Holt-Winters 30

Tabela 4: Estat´ısticas de Aderˆencia para os modelos de Holt-Winters

Modelo R2 MAPE MAE RMSE BIC

Constante e sem sazonalidade 0,9961 0,02080 463,4 612,0 616,0 Constante e com sazonalidade aditiva 0,9971 0,01836 396,7 531,9 538,8 Constante e com sazonalidade multiplicativa 0,9971 0,01774 388,9 524,6 531,4

Linear e sem sazonalidade 0,9962 0,02035 456,1 608,2 616,0

Linear e com sazonalidade aditiva 0,9971 0,01795 387,7 525,8 536,0 Linear e com sazonalidade multiplicativa 0,9972 0,01724 379,1 518,6 528,7

De acordo com a Tabela 4, o modelo que melhor se ajustou via Holt-Winters foi o que apresentou tendˆencia linear e sazonalidade multiplicativa, uma vez que possui o maior R2

e o menor BIC. Os parˆametros ajustados neste modelo foram: N´ıvel = 0,78612

Tendˆencia = 0,00259 Sazonalidade = 0,48516

Fatores sazonais = 1,00775; 1,00109; 1,01287; 1,01097; 0,98700; 0,97282; 0,97099; 0,99162; 1,00446; 1,01541; 1,02080; 1,00568.

Com o intuito de realizar análise de res´ıduos para ver a adequa¸cão dos modelos, o correlograma dos res´ıduos foi estudado. Conforme apresentado na figura 4, percebe-se que a série de res´ıduos apresenta o comportamento de um ru´ıdo branco com média zero e variância constante e isso coincide com i.i.d. (independente e identicamente distribu´ıda), visto que as correla¸cões não são significantes.

(32)

3.2 M´etodo de Box & Jenkins 31

Figura 4: An´alise dos Res´ıduos

Portanto, o modelo tem um bom ajuste.

3.2 M´

etodo de Box & Jenkins

Em um primeiro momento foi feito o teste de Doornik-Hansen, teste de Shapiro-Wilk, teste de Lilliefors e o teste de Jarque-Bera. Esses têm como objetivo verificar a normalidade da Série Original utilizando o software Gretl. Suas hipóteses são compostas por:

(

H0 : Os dados seguem uma distribui¸c˜ao Normal

H1 : Os dados n˜ao seguem uma distribui¸c˜ao Normal

Ao realizar o teste de normalidade da s´erie, temos que:

Teste de Doornik-Hansen = 59, 0791, com p-valor 1, 48295e−013 Shapiro-Wilk = 0,943685, com p-valor 1, 47662e−012

Teste de Lilliefors = 0, 0897621, com p-valor = 0

Teste de Jarque-Bera = 31, 0616, com p-valor 1, 79908e−007

De acordo com os testes realizados anteriormente rejeita-se a hip´otese nula em to-dos os tipos de teste de normalidade. Para contornar esse problema, foi realizada uma

(33)

transforma¸cão logar´ıtmica nos dados a fim de normalizar a série. Em seguida foi feito o teste de raiz unitária.

O teste de raiz unitária de Dickey-Fuller Aumentado (teste ADF ) é utilizado para saber se a série é estacionária ou não.

(

H0 : Tem raiz unitária ( não é estacionário )

H1 : Não tem raiz unitária ( é estacionário )

Fazendo o teste utilizando o software Gretl, temos: p-valor assintótico = 0, 9404. Com isso, não rejeita-se a hipótese nula, logo, aplica-se a primeira diferen¸ca.

Acrescentando a primeira diferen¸ca e refazendo o teste de raiz unitária, obtem-se p-valor assintótico = 1, 734e−009. A partir disso, rejeita-se a hipótese nula, então a série é estacionária com uma diferen¸ca. Assim, até o momento se tem:

ARIM A(p, d = 1, q)

Com a análise do correlograma é poss´ıvel definir os poss´ıveis valores de p e q para testar e verificar qual modelo irá se ajustar melhor.

Figura 5: Correlograma com 1 diferen¸ca

´

(34)

s˜ao significativos.

O correlograma pode sugerir um AR(1) sazonal (devido ao lag 12 significativo na F ACP ) ou uma n˜ao estacionariedade sazonal (devido ao decaimento na F AC).

No primeiro caso, o modelo seria: SARIM A(0, 1, 0) × (1, 0, 0)

No caso da n˜ao estacionariedade sazonal, faz-se uma diferen¸ca sazonal.

Figura 6: Correlograma com 1 diferen¸ca sazonal

O resultado mostrado no correlograma da Figura 6, indica que possamos ter um MA(1) sazonal com ARMA(1,1) simples.

No segundo caso, o modelo seria: SARIM A(1, 1, 1) × (0, 1, 1)

Aplicando a transforma¸c˜ao logar´ıtmica nos dados teremos outro poss´ıvel modelo a ser testado.

(35)

Figura 7: Correlograma com 1 diferen¸ca e transforma¸c˜ao logar´ıtmica

´

E poss´ıvel perceber que novamente h´a uma interferˆencia sazonal. O resultado mos-trado no correlograma da Figura 7, indica que possamos ter um AR(1) sazonal com ARM A(1, 1) simples.

No terceiro caso, o modelo seria:

SARIM A(1, 1, 1) × (1, 0, 0) com transforma¸c˜ao logar´ıtmica.

No caso da n˜ao estacionariedade sazonal para a transforma¸c˜ao logar´ıtmica, faz-se uma diferen¸ca sazonal.

(36)

3.3 Análise e modelagem da série sob a abordagem SSA - Análise Gráfica 35

O resultado mostrado no correlograma da Figura 8, indica que possamos ter um M A(2) sazonal com ARM A(1, 1) simples.

No quarto caso, o modelo seria:

SARIM A(1, 1, 1) × (0, 1, 2) com transforma¸c˜ao logar´ıtmica.

Para as modelagens de Box & Jenkins, as estat´ısticas de aderˆencia foram encontradas. A Tabela 5 apresenta os resultados obtidos.

Tabela 5: Estat´ısticas de Aderˆencia para os modelos de Box & Jenkins

SARIM A(0, 1, 0) × (1, 0, 0) 0,9968 0,01920 421,7 557,3 560,8 SARIM A(1, 1, 1) × (0, 1, 1) 0,9973 0,01654 369,5 513,3 523,3 SARIM A(1, 1, 1) × (1, 0, 0) 0,9970 0,01791 406,3 561,4 553,1 SARIM A(1, 1, 1) × (0, 1, 2) 0,9974 0,01604 365,5 525,9 511,8

Pelos resultados obtidos na tabela 5, o modelo que melhor se ajustou via Box & Jenkins foi o SARIM A(1, 1, 1) × (0, 1, 2), pois ele possui o maior R2 e o menor BIC.

Por fim, uma filtragem SSA será feita na série original a partir da abordagem com análise gráfica dos autovetores.

3.3 An´

alise e modelagem da s´

erie sob a abordagem

SSA - An´

alise Gr´

afica

Na abordagem SSA - Análise gráfica segundo (GOLYANDINA; NEKRUTKIN; ZHIH-GLJAVSKY, 2001), os melhores valores para o comprimento de janela L são valores próximos a T₂, múltiplos do número de fatores sazoais próximos a T₂ e também, L = T₃ e L = 2T₃ . Como a série é mensal e ciclo anual, então o número de fatores sazonais é igual `

a 12 e T = 482, pois a s´erie vai de janeiro de 1979 a fevereiro de 2019. Logo, s˜ao 5 casos a se testar, sendo eles:

• 1o _{caso :} T

3 = L = 161.

• 2o _{caso : L = 240, o maior multiplo de 12 menor que 241.}

• 3o _{caso :} T

(37)

• 4o _{caso : L = 252, o menor multiplo de 12 maior que 241.}

• 5o _{caso :} 2T

3 = L = 321.

Para cada caso é feito uma decomposi¸cão da série em três componentes, sendo elas: tendência, harmônica e ru´ıdo. Para decidir os autovetores que formarão cada uma das componentes, a análise gráfica do comportamento de cada autovetor e do diagrama de dispersão de dois autovetores consecutivos indica a componente a qual ele (ou eles) per-tence(m). Nesta análise, se um autovetor tem comportamento crescente ou decrescente, ele pertence a componente de tendência, se ele tem um comportamento suave e/ou o diagrama de dispersão dos pares consecutivos apresentam formas de pol´ıgonos regulares, então eles pertencem à componente harmônica e se não possuem nenhuma destas carac-ter´ısticas e o diagrama de dispersão dos pares consecutivos apresenta uma forma caótica, então eles pertencem a componente ruidosa.

Logo após feito a separa¸cão das componentes verificamos a matriz de correla¸cão pon-derada (W-correlation matrix) sendo apresentado na figura 9. Quanto mais escura é a imagem, maior é a correla¸cão entre as componentes e quanto mais clara, menor esta cor-rela¸cão de modo que a parte preta indica correla¸cão igual a 1 e a parte branca indica correla¸cão igual ou próximo de zero.

Figura 9: Matriz de correla¸c˜ao ponderada

Se a correla¸cão entre as coponentes for menor ou igual a 0,05, estará garantido que as componentes foram bem separadas. Assim, foram formadas as recontru¸cões com as

(38)

componentes Tendˆencia e Harmˆonica excluindo a componente Ru´ıdosa.

Por fim, foram feitas as modelagens de Holt-Winters e Box & Jenkins para a s´erie filtrada via SSA.

3.3.1

1

o

caso : L = 161

Verificando-se os pares de diagrama de dispersão para ver se há pares de autovetores pertencentes a componente harmônica. A figura 10 apresenta os 9 primeiros pares de autovetores sequenciais.

Figura 10: Diagrama de dispers˜ao dos autovetores sequenciais com L=161

´

E poss´ıvel perceber que não há pares de autovetores que tenham um formato que se aproxime de um pol´ıgono regular. Dessa forma, momentaneamente não se tem pares de autovetores pertencentes a componente harmônica.

(39)

Figura 11: Os nove autovetores mais significantes com L = 161

Na figura 11 é poss´ıvel perceber que o primeiro autovetor pertence à componente tendência. Já os autovetores 2, 3, 4 e 5 pertencem à componente harmônica e o restânte pertencem a componente ruidosa.

No 1o caso, tem a seguinte decomposi¸c˜ao:

Tabela 6: Agrupamento das componentes Tendˆencia Harmˆonica Ru´ıdo

1 2 - 5 6 - 161

Sua matriz de correla¸c˜ao ´e dada na tabela 7.

Tabela 7: Correla¸cão para a decomposi¸cão do modelo L = 161 Correla¸cão Tendência Harmônica Ru´ıdo

Tendˆencia 1,000 0,005 0,000

Harmˆonica 0,005 1,000 0,042

Ru´ıdo 0,000 0,042 1,000

Pode-se perceber na tabela 7 que as correla¸cões são baixas. Portanto, foi garantido uma boa separa¸cão entre as componentes. A partir de então, foi feita a reconstru¸cão.

(40)

A figura 12 apresenta a s´erie original e a recontru¸c˜ao com L = 161.

Figura 12: Reconstru¸c˜ao com L = 161

Com a s´erie reconstru´ıda, foram feitas as modelagens via Holt-Winters e Box & Jen-kins.

A tabela 8 apresenta as estat´ısticas de aderˆencia para modelagem via Holt-Winters. Tabela 8: Estat´ısticas de Aderˆencia para os modelos de Holt-Winters com L = 161

Constante e sem sazonalidade 0,9999 0,0033250 71,860 83,110 83,650 Constante e com sazonalidade aditiva 0,9999 0,0033250 71,860 83,110 84,190 Constante e com sazonalidade multiplicativa 0.9999 0,0033250 71,860 83,110 84,190

O modelo que melhor se ajustou via modelagem Holt-Winters com janela L = 161 foi o modelo Linear sem Sazonalidade, pois possui o maior R2 e o menor M AP E, M AE, RM SE e BIC .

Ap´os a modelagem de Holt-Winters vem a modelagem via Box & Jenkins. Ao realizar o teste de Normalidade, temos:

Teste de Doornik-Hansen = 61,6619, com p-valor 4, 07658e−014 Shapiro-Wilk W = 0,933368, com p-valor 7, 70005e−014

(41)

Teste de Lilliefors = 0,08576, com p-valor ≈ 0

Teste de Jarque-Bera = 31,9186, com p-valor 1, 17211e−007

De acordo com os testes realizados rejeita-se a hipotese nula, então a série não é normal. Contornando este problema aplica-se a transforma¸cão logar´ıtmica a fim de nor-malizar a série. Logo após, faz-se o teste de ra´ız unitária de Dickey-Fuller Aumentado (ADF ).

De acordo com o teste, p-valor assintótico = 0,9994. Com isso, não se rejeita a hipótese nula, logo, aplica-se a primeira diferen¸ca. Acrescentando a primeira diferen¸ca e refazendo o teste de raiz unitária, obtém-se p-valor assintótico = 0, 1676 que não rejeita novamente a hipótese nula. Aplicando a segunda diferen¸ca se obtém p-valor assintótico = 1, 18e−005 que rejeita a hipótese nula.

A partir disso, a série é estacionária com duas diferen¸cas. Assim, temos até o mo-mento:

ARIM A(p, d = 2, q)

Foram realizados v´arios testes de Box & Jenkins com d = 2. Os modelos que apre-sentaram os melhores resultados encontram-se na tabela 9.

Tabela 9: Estat´ısticas de Aderˆencia para os modelos de Box & Jenkins com L = 161

SARIM A(1, 2, 3) × (0, 2, 3) 1 0,00003265 0,892 2,312 1,484 SARIM A(1, 2, 3) × (1, 2, 2) 1 0,00003300 0,893 2,303 1,502 SARIM A(1, 2, 3) × (2, 2, 3) 1 0,00003263 0,892 2,317 1,508 SARIM A(2, 2, 3) × (0, 2, 3) 1 0,00003254 0,893 2,311 1,495 SARIM A(3, 2, 2) × (0, 2, 3) 1 0,00003239 0,889 2,310 1,490 SARIM A(3, 2, 2) × (0, 2, 2) 1 0,00003313 0,900 2,302 1,512 SARIM A(3, 2, 3) × (0, 2, 2) 1 0,00003199 0,860 2,287 1,507 SARIM A(3, 2, 3) × (0, 2, 3) 1 0,00003221 0,874 2,294 1,491

O modelo que melhor se ajustou via modelagem Box & Jenkins com janela L = 161 foi o modelo SARIM A(1, 2, 3) × (1, 2, 2) com transforma¸c˜ao logar´ıtmica, pois possui o maior R2 _{e o menor BIC.}

(42)

3.3.2

2

o

caso : L = 240

Figura 13: Diagrama de dispers˜ao dos autovetores sequenciais

´

(43)

Na figura 14 é poss´ıvel perceber que o primeiro autovetor pertence à componente tendência. Já os autovetores 2, 3, 4, 5 e 6 pertencem à componente harmônica e o restânte pertencem a componente ruidosa.

No 2o caso, tem a seguinte decomposi¸c˜ao:

1 2 - 6 7 - 240

Tendˆencia 1,000 0,003 0,000

Harmˆonica 0,003 1,000 0,031

Ru´ıdo 0,000 0,031 1,000

Pode-se perceber na tabela 11 que as correla¸cões são baixas. Portanto, foi garantido uma boa separa¸cão entre as componentes. A partir de então, foi feita a reconstru¸cão.

(44)

Figura 15: Diagrama de dispers˜ao dos autovetores

A tabela 12 apresenta as estat´ısticas de aderˆencia para modelagem via Holt-Winters. Tabela 12: Estat´ısticas de Aderˆencia para os modelos de Holt-Winters, L = 240

O modelo que melhor se ajustou via modelagem Holt-Winters com janela L = 240 foi o modelo Linear sem Sazonalidade, pois possui o maior R2 e o menor M AP E, M AE, RM SE e BIC .

(45)

A partir disso, a série é estacionária com duas diferen¸cas. Sendo assim, tem-se:

ARIM A(p, d = 2, q)

Modelo R2 _MAPE _MAE _RMSE _BIC

O modelo que melhor se ajustou via modelagem Box & Jenkins com janela L = 240 foi o modelo SARIM A(3, 2, 2) × (0, 2, 3) com transforma¸c˜ao logar´ıtmica, pois possui o maior R2 e o menor BIC.

(46)

3.3.3

3

o

caso : L = 241

Figura 16: Diagrama de dispers˜ao dos autovetores sequenciais

´

Logo ap´os, verificasse os autovetores um a um para ver a qual componente ele pertence.

(47)

Na figura 17 é poss´ıvel perceber que o primeiro autovetor pertence à componente tendência. Já os autovetores 2, 3, 4 e 5 pertencem à componente harmônica e o restânte pertencem a componente ruidosa.

No 3o _{caso, tem-se a seguinte decomposi¸c˜}_ao:

1 2 - 6 7 - 241

Tendˆencia 1,000 0,003 0,000

Harmˆonica 0,003 1,000 0,031

Ru´ıdo 0,000 0,031 1,000

Pode-se perceber na tabela 15 que as correla¸cões são baixas. Portanto, foi garantido uma boa separa¸cão entre as componentes. A partir de então, é feita a reconstru¸cão.

(48)

A tabela 16 apresenta as estat´ısticas de aderˆencia para modelagem via Holt-Winters. Tabela 16: Estat´ısticas de Aderˆencia para os modelos de Holt-Winters, L = 241

O modelo que melhor se ajustou via modelagem Holt-Winters com janela L = 241 foi o modelo Linear sem Sazonalidade, pois possui o maior R2 _{e o menor M AP E, M AE,}

RM SE e BIC .

A partir disso, a série é estacionária com duas diferen¸cas. Sendo assim, tem-se:

(49)

O modelo que melhor se ajustou via modelagem Box & Jenkins com janela L = 241 foi o modelo SARIM A(3, 2, 2) × (0, 2, 3) com transforma¸c˜ao logar´ıtmica, pois possui o maior R2 e o menor BIC.

3.3.4

4

o

caso : L = 252

(50)

3.3 Análise e modelagem da série sob a abordagem SSA - Análise Gráfica 49 ´

Logo ap´os, verificasse os autovetores um a um para ver a qual componente ele pertence.

Na figura 20 é poss´ıvel perceber que o primeiro autovetor pertence à componente tendência. Já os autovetores 2, 3, 4, 5 e 6 pertencem à componente harmônica e o restânte pertencem a componente ruidosa.

No 4o _{caso, tem-se a seguinte decomposi¸c˜}_ao:

1 2 - 6 7 - 252

Tendˆencia 1,000 0,003 0,000

Harmˆonica 0,003 1,000 0,032

(51)

Pode-se perceber na tabela 19 que as correla¸cões são baixas. Portanto, foi garantido uma boa separa¸cão entre as componentes. A partir de então, é feita a reconstru¸cão.

A tabela 20 apresenta as estat´ısticas de aderˆencia para modelagem via Holt-Winters.

Tabela 20: Estat´ısticas de Aderˆencia para os modelos de Holt-Winters, L = 252

O modelo que melhor se ajustou via modelagem Holt-Winters com janela L = 252 foi o modelo Linear sem Sazonalidade, pois possui o maior R2 _{e o menor M AP E, M AE,}

RM SE e BIC .