Lista de Exercícios 5

Introdu¸c˜ao `a Teoria de Probabilidade. Informatica Biomedica.

Departamento de F´ısica e Matem´atica. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales

22 de junho de 2006.

Lista de Exerc´ıcios 5

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Modelos Probabil´ısticos Discretos

85. Sabe-se que os parafusos produzidos por uma certa companhia s˜ao defeitu-osos com probabilidade 0,01, independentemente uns dos outros (isto ´e, a fra¸c˜ao n˜ao-conforme de parafusos na produ¸c˜ao ´e 0,01). A companhia vende os parafusos em pacotes de dez unidades e oferece uma garantia de devolu¸c˜ao do dinheiro caso existam dois ou mais parafusos defeituosos no pacote com dez parafusos. (i) Qual a propor¸c˜ao de pacotes vendidos para os quais a companhia deve efetuar devolu¸c˜ao de dinheiro? (ii) Supondo que o n´umero de parafusos defeituosos num determi-nado pacote ´e independente dos demais pacotes, qual a probabilidade de que uma pessoa que compra dez pacotes de parafusos tenha que retornar `a companhia para devolu¸c˜ao do dinheiro?

86. Suponha que o n´umero de erros tipogr´aficos em uma ´unica p´agina de um livro tem distribui¸c˜ao Poisson(1/2). (i) Calcule a probabilidade de existir exatamente dois erros tipogr´aficos em uma p´agina. (ii) Calcule a probabilidade de que exista pelo menos um erro em uma p´agina. (iii) Suponha agora que o livro em quest˜ao possui 200 p´aginas. Qual a probabilidade de n˜ao existir erros tipogr´aficos neste livro?

87. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma m´aquina seja defeituoso ´e 0,1. Determine a probabilidade de que uma amostra de dez itens conter´a no m´aximo um item defeituoso. Compare os resultados obtidos pelas dis-tribui¸c˜oes binomial e Poisson.

88. _{Seja X uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao Poisson(λ). Determine P (X ∈} A), onde A = {0, 2, 4, . . .}.

e Var(cos(πX)).

90. Seja X uma vari´avel aleat´oria binomial com parˆametros n e p. Mostre que P (X = k) atinge o valor m´aximo para k = [(n + 1)p] ([x] denota o maior enteiro menor ou igual a x).

91. Suponha que ensaios independentes, cada um tendo probabilidade p de su-cesso, 0 < p < 1, s˜ao realizados at´e que um total de R sucessos seja acumulado. Seja X o n´umero de ensaios necess´arios para se obter o total de R sucessos. Deter-mine a distribui¸c˜ao de X (dizemos, neste caso, que X possui distribui¸c˜ao binomial negativa com parˆametros R e p).

92. _{Considere a vari´avel aleat´oria X do exerc´ıcio anterior. Determine E[X] e} Var(X). [Observe que X = Y1+ Y2+ . . . + YR, onde Yi tem distribui¸c˜ao geom´etrica

de parˆametro p, 1 ≤ i ≤ R.]

93. Se ensaios independentes, cada um deles resultando em suceso com probabi-lidade p, s˜ao realizados indefinidamente, qual a probabiprobabi-lidade de que R sucessos ocorram antes de M fracasos?

94. Sejam X e Y vari´aveis aleat´orias binomiais com parˆametros (n, p) e (m, p), respctivamente. (i) Determine a distribui¸c˜ao de X + Y . (ii) Determine a distri-bui¸c˜ao condicional de X dado X + Y = n.

95. Sejam X e Y vari´aveis aleat´orias Poisson com parˆametros λ e µ. Mostrar que: (i) X + Y ´e Poisson(λ + µ), (ii) a distribui¸c˜ao condicional de X dado X + Y = n ´e binomial. Encontrar os parˆametros da distribui¸c˜ao em (ii).

96. _{Se X ∼ geometrica, ent˜ao P (X = n + k|X > n) = P (X = k) para k, n ≥ 1.} (i) Esto ´e interpretado como perda de mem´oria, por que? (ii) Mostre que n˜ao existe outra distribui¸c˜ao nos enteiros com ista propriedade.

97. _{Uma urna contem N bolas das quais b s˜ao azuis e r (= N − b) s˜ao vermelhas.} Uma amostra aleat´oria de n bolas e retirada sem reposi¸c˜ao da urna. Mostrar que on n´umero B de bolas azuis na amostra the distribui¸c˜ao

P (B = k) =µ b k ¶µN − b n − k ¶, µN n ¶ .

98.†† _{(i) Mostrar que se X toma valores enteiros n˜ao negativos, ent˜ao} E[X] = ∞ X n=0 P (X > n).

(ii) Uma urna contem b bolas azuis e r vermelhas. As bolas s˜ao removidas ao acaso at´e aparecer a primeira bola azul. Mostrar que o n´umero esperado de bolas removidas ´e (b + r + 1)/(b + 1).

99.† Em 1710, J. Arbuthnot observou que o n´umero de meninos nascidos em Lon-dres superou ao n´umero de meninas em 82 anos sucessivos. Supondo que os dois sexos podem ocorrer na mesma propor¸c˜ao, e que 2−82 _{´e pequeno, Arbuthnot}

atri-buiu a diferen¸ca observada `a Providencia Divina. Suponhamos que o nascimento de uma menina tem probabilidade de 0, 485 e que sexo resultante em cada nas-cimento ´e independente dos outros. (i) Mostrar que a probabilidade de que a minimas sejam mais numerosas que os meninos em 2n nascimentos ´e

µ2n n

¶

pnqn q q − p.

onde q = 1 − p. (ii) Suponha que nasceram 20.000 pessoas em 82 anos sucessivos. Mostrar que a probabilidade de que os meninos superem o n´umero de meninas em cada ano ´e ao menos 0,99.

100.Sejam X e Y vari´aveis aleat´orias Bernoulli(1/2) independentes. Mostrar que X + Y e |X − Y | s˜ao dependentes mas n˜ao correlacionadas.

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Modelos Probabil´ısticos Cont´ınuos

101. Se X ´e uniformemente distribu´ıda no intervalo (0,20), calcule a probabili-dade de: (i) X < 3, (ii) X > 12, (iii) |X − 3| < 4.

102. Se X ´e uma vari´avel aleat´oria normal com µ = 3 e σ2

= 9, determine: (i) P (2 < X < 5), (ii) P (X > 0).

Respostas

(ii) P (X = k|X + Y = n) = P (X = k, X + Y = n)_{P (X + Y = n)} = P (X = k)P (Y = n − k) P (X + Y = n) = µn k ¶ λk_µn−k (λ + µ)n,

e ent˜ao a distribui¸c˜ao e Binomial(n, λ/(λ + µ)). 96. P (X = n + k|X > n) = P (X = n + k, X > n)_{P (X > n)} = p(1 − p) n+k−1 ∞ X j=n+1 p(1 − p)j−1 = p(1 − p)k−1= P (X = k).

(i) Seja X o tempo de espera at´e ocorrer o evento A. Se o tempo de espera ´e geometrico, ent˜ao a “perda da mem´oria” tem a seguinte interpreta¸c˜ao: dado que A n˜ao ocorreu at´e o tempo n, o tempo a ser esperado a partir de 0 tem a mesma distribui¸c˜ao do tempo a ser esperado quando ja transcorreu n. (ii) N˜ao. Segue-se da resposta acima que qualquer processo deste tipo satisfaz G(k + n) = G(k)G(n), onde G(n) = P (X > n). Ent˜ao G(k + 1) = {G(1)}k+1_{, logo X ´e geometrica.}

94. (i) P (X + Y = k) = k X j=0 P (X = k − j, Y = j) = k X j=0 µ m k − j ¶ pk−jqm−k+jµn j ¶ pjqn−j = pkqm+n−k k X j=0 µ m k − j ¶µn j ¶ = pkqm+n−kµm + n k ¶ ,

a qual representa a Binomial(m + n, p). 97. Existem¡b

k¢ maneiras de eleger k bolas azuis, e ¡ N −b

n−k¢ maneiras de eleger n −k

bolas vermelhas. O n´umero total de maneiras de elegir n bolas ´e¡N

n¢. O resultado

98. (i) E[X] = ∞ X m=0 mP (X = m) = ∞ X m=0 m−1 X n=0 P (X = m) = ∞ X n=0 ∞ X m=n+1 P (X = m) = ∞ X n=0 P (X > n).

(ii) Seja N o n´umero de bolas retiradas. Segue-se da resposta em (i), E[N ] = r X n=0 P (N > n) = r X n=0

P (primeiras n bolas s˜ao vermelhas)

= r X n=0 r b + r r − 1 r + b − 1. . . r − n + 1 b + r − n + 1 = r X n=0 r! (b + r)! (b + r − n)! (r − n)! = r! b! b + r! r X n=0 µn + b b ¶ = b + r + 1 b + 1 , utilizando a identidade combinat´oria

r X n=0 µn + b b ¶ =µr + b + 1 b + 1 ¶ , (j´a que¡ x r−1¢ + ¡ x r¢ = ¡ x+1 r ¢).

99. (i) O n´umero G de meninas tem distribui¸c˜ao binomial(2n, p). Ent˜ao, P (G ≥ 2n − G) = P (G ≥ n) = 2n X k=n µ2n k ¶ pkq2n−k ≤µ2n n ¶ ∞ X k=n pk_q2_n−k =µ2n n ¶ pn_qn q q − p, onde foi utilizado o resultado ¡2n

k

¢

≤ ¡2n

n¢ para tudo k. Se agora p = 0, 485 e

n = 104

, ent˜ao podemos utilizar a aproxima¸c˜ao de Stirling (a qual resulta ´util para calcular n! se n ´e grande: n! ≈√2πnn+1/2_e−n_{), isto ´e,}

µ2n n ¶ pnqn q q − p ≤ 1 √ nπ£(1 − 0, 03)(1 + 0.03)¤ n0, 515 0, 03 = 0, 515 3√π ³ 1 − 9 104 ´104 ≤ 1.23 × 10−5_.

100. _{X + Y e |X − Y | n˜ao estam correlacionadas j´a que}

cov(X + Y, |X − Y |) = E£(X + Y )|X − Y |¤ − E£X + Y ¤E£|X − Y |¤ = 1 4+ 1 4− 1 · 1 2 = 0. Mas, 1 4 = P (X + Y = 0, |X − Y | = 0) 6= P (X + Y = 0)P (|X − Y | = 0) = 1 4· 1 2 = 1 8,