Escola Secundária Júlio Dantas
Ficha de Avaliação
Matemática A 11º Ano 14 de Outubro 2011/2012 Teste B, versão 1 Grupo IAs cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.
Selecione a alternativa correta para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada. 1. Considere dois quadrados com um lado em comum, ver figura 1. A amplitude
do ângulo , em graus, minutos e segundos, sendo os segundos arredondados à unidades, é aproximadamente:
(A) 63º26'5" (B) 63º26'6" (C) 63º43' 49" (D) 63º43'50"
Figura 1 2. Na figura está representado um quadrado [ABCD de lado 5 cm.
A amplitude do ângulo ABM é 30º.
Os triângulos [AMB], [BNC], [COD] e [DPA] são iguais e retângulos. A área da região a sombreado na figura é igual a:
(A)
3
3
25
-50
cm2 (B)2
3
25
-50
cm2 (C)3
3
25
-100
cm2 (D)6
3
25
-100
cm2 Figura 2 3. Na figura 3 estão representados, em referencial o.n. xOy:• um quarto de círculo, de centro na origem e de raio 1;
• uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1,0); • um ponto A pertencente a esta semirreta;
• um ângulo de amplitude , cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OA.
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de ? (A)
2
tg
4
(B)
tg
2
4
(C)2
tg
2
(D)
tg
2
2
Figura 34. Na figura 4 estão representados o círculo trigonométrico, o ângulo de amplitude
rad
6
5
e um ponto A pertencente à circunferência. O valor de6
5
tg
é: (A)
3
(B)3
3
(C)3
3
(D)3
Figura 4 5. Se4
5
então:(A)
sen
sen
(B)sen
tg
0
(C)sen
cos
0
(D)cos
cos
Grupo II
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efetuar e todas as justificações que entender necessárias.
1. A Ana está num ponto A e vê um castelo (ponto C) e uma casa (pontos B).
Sabe-se que: ●
A
C
ˆ
B
25º
●C
B
ˆ
A
70º
● D é o ponto pertencente a [CB], tal que CB AD . ●CB500mDetermine a que distância está a Ana do castelo.
Apresente o valor
arredondado às unidades.
Figura 5
2. Durante séculos, os moinhos de vento serviram para moer o trigo e obter a farinha com que se fabricava o pão.
A figura 6 apresenta a fotografia de um moinho de vento, de tipo mediterrânico.
O moinho é posto a funcionar pela ação do vento, que faz rodar as suas velas, fixadas e esticadas num conjunto de 8 varas.
Admita que as varas têm todas o mesmo comprimento e que se unem no mesmo ponto.
A figura 7 representa, esquematicamente, uma posição possível das velas do moinho.
O esquema representado na figura 7 tem a forma de um octógono regular, e os pontos O e P assinalam as extremidades de uma das varas.
Os vértices do octógono ao rodar descrevem uma circunferência.
Considere que no início de cada rotação, o ponto P encontra-se na posição indicada na figura e que as velas podem rodar nos dois sentidos.
2.1 Determine, apresentando todos os cálculos eu efetuar, o ponto onde o ponto P irá parar se descrever um arco cuja amplitude é:
2.1.1 4995º 2.1.2
4
203
-
2.2 Considere que o comprimento das varas é 9 m.
2.2.1 Se o ponto P descrever um arco com 15
m de comprimento, qual é a amplitude, em radianos, desse arco?2.2.2 Determine a área do octógono regular. Apresente o valor arredondado às unidades.
Figura 6
Figura 7
3. Mostre que:
tg
.
sen
cos
cos
cos
.
sen
2
)
cos
sen
(
2
, para cos04.
Um farol (ponto F), situado numa ilha, encontra-se a
10km da costa. Nesta, sobre a perpendicular tirada do
farol, está um observador (ponto A). E a luz do farol
descreve sucessivos círculos e tem um alcance de 10km .
Em cada instante, o farol ilumina segundo uma trajetória
retilínea, com extremidade num ponto P, que percorre a
circunferência representada na figura 8.
Na figura FM AP.
Num determinado instante, a amplitude do ângulo BAP é
3
rad.
Determine a distância, d, do ponto P à costa (
d
PB
).
Percorra as seguintes etapas:
• determine, em radianos, a amplitude do ângulo PAF;
• justifique que o triângulo [AFP] é isósceles;
• justifique que
AP
2
AM
; • determined
PB
.Figura 8
5. Para construir um copo de licor efetuou-se um estudo em cartolina. A parte do copo destinada a conter liquido é um cone, ver figura 9.
No estudo foi utilizada uma folha de cartolina, de forma retangular com 10 cm de altura e
10
3
cm de largura.Na figura 10, está representado um esquema de uma possível planificação do cone. Como se pode observar, essa planificação é um sector circular, de raio igual à altura da folha.
5.1 Seja a
amplitude do ângulo BEF. Mostre que
rad
6
.5.2 Determine a capacidade do copo construído de acordo com esta planificação. Apresente o resultado em mililitros, arredondado às unidades.
Nota: Caso efetue arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.
Recorde:
1
dm
3
1
litro
Figura 9
Figura 10
Formulário:
Área
da
base
Altura
3
1
cone
do
Volume
Questão Grupo I Grupo II Total
1 2 3 4 5 1 2.1.1 2.1.2 2.2.1 2.2.2 3 4 5.1 5.2
Escola Secundária Júlio Dantas
Ficha de Avaliação
Matemática A 11º Ano 14 de Outubro 2011/2012 Teste B, versão 2 Grupo IAs cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.
Selecione a alternativa correta para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada. 1. Considere dois quadrados com um lado em comum, ver figura 1. A amplitude
do ângulo , em graus, minutos e segundos, sendo os segundos arredondados à unidades, é aproximadamente:
(A) 63º43'50" (B) 63º43'49" (C) 63º26' 6" (D) 63º26'5"
Figura 1 2. Na figura está representado um quadrado [ABCD de lado 5 cm.
A amplitude do ângulo ABM é 30º.
Os triângulos [AMB], [BNC], [COD] e [DPA] são iguais e retângulos. A área da região a sombreado na figura é igual a:
(A)
3
3
25
-50
cm2 (B)2
3
25
-50
cm2 (C)3
3
25
-100
cm2 (D)6
3
25
-100
cm2 Figura 2 3. Na figura 3 estão representados, em referencial o.n. xOy:• um quarto de círculo, de centro na origem e de raio 1;
• uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1,0); • um ponto A pertencente a esta semirreta;
• um ângulo de amplitude , cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OA.
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de ? (A)
tg
2
2
(B)2
tg
2
(C)
tg
2
4
(D)2
tg
4
Figura 34. Na figura 4 estão representados o círculo trigonométrico, o ângulo de amplitude
rad
6
5
e um ponto A pertencente à circunferência. O valor de6
5
tg
é: (A)3
(B)3
3
(C)3
3
(D)
3
Figura 4 5. Se4
5
então:(A)
cos
cos
(B)sen
tg
0
(C)sen
cos
0
(D)sen
sen
Grupo II
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efetuar e todas as justificações que entender necessárias.
1. A Ana está num ponto A e vê um castelo (ponto C) e uma casa (pontos B).
Sabe-se que: ●
A
C
ˆ
B
25º
●C
B
ˆ
A
70º
● D é o ponto pertencente a [CB], tal que CB AD . ●CB500mDetermine a que distância está a Ana do castelo.
Apresente o valor
arredondado às unidades.
Figura 5
2. Durante séculos, os moinhos de vento serviram para moer o trigo e obter a farinha com que se fabricava o pão.
A figura 6 apresenta a fotografia de um moinho de vento, de tipo mediterrânico.
O moinho é posto a funcionar pela ação do vento, que faz rodar as suas velas, fixadas e esticadas num conjunto de 8 varas.
Admita que as varas têm todas o mesmo comprimento e que se unem no mesmo ponto.
A figura 7 representa, esquematicamente, uma posição possível das velas do moinho.
O esquema representado na figura 7 tem a forma de um octógono regular, e os pontos O e P assinalam as extremidades de uma das varas.
Os vértices do octógono ao rodar descrevem uma circunferência.
Considere que no início de cada rotação, o ponto P encontra-se na posição indicada na figura e que as velas podem rodar nos dois sentidos.
2.1 Determine, apresentando todos os cálculos eu efetuar, o ponto onde o ponto P irá parar se descrever um arco cuja amplitude é:
2.1.1 4995º 2.1.2
4
203
-
2.2 Considere que o comprimento das varas é 9 m.
2.2.1 Se o ponto P descrever um arco com 15
m de comprimento, qual é a amplitude, em radianos, desse arco?2.2.2 Determine a área do octógono regular. Apresente o valor arredondado às unidades.
Figura 6
Figura 7
3. Mostre que:
tg
.
sen
cos
cos
cos
.
sen
2
)
cos
sen
(
2
, para cos04.
Um farol (ponto F), situado numa ilha, encontra-se a
10km da costa. Nesta, sobre a perpendicular tirada do
farol, está um observador (ponto A). E a luz do farol
descreve sucessivos círculos e tem um alcance de 10km .
Em cada instante, o farol ilumina segundo uma trajetória
retilínea, com extremidade num ponto P, que percorre a
circunferência representada na figura 8.
Na figura FM AP.
Num determinado instante, a amplitude do ângulo BAP é
3
rad.
Determine a distância, d, do ponto P à costa (
d
PB
).
Percorra as seguintes etapas:
• determine, em radianos, a amplitude do ângulo PAF;
• justifique que o triângulo [AFP] é isósceles;
• justifique que
AP
2
AM
; • determined
PB
.Figura 8
5. Para construir um copo de licor efetuou-se um estudo em cartolina. A parte do copo destinada a conter liquido é um cone, ver figura 9.
No estudo foi utilizada uma folha de cartolina, de forma retangular com 10 cm de altura e
10
3
cm de largura.Na figura 10, está representado um esquema de uma possível planificação do cone. Como se pode observar, essa planificação é um sector circular, de raio igual à altura da folha.
5.1 Seja a
amplitude do ângulo BEF. Mostre que
rad
6
.5.2 Determine a capacidade do copo construído de acordo com esta planificação. Apresente o resultado em mililitros, arredondado às unidades.
Nota: Caso efetue arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.
Recorde:
1
dm
3
1
litro
Figura 9
Figura 10
Formulário:
Área
da
base
Altura
3
1
cone
do
Volume
Questão Grupo I Grupo II Total
1 2 3 4 5 1 2.1.1 2.1.2 2.2.1 2.2.2 3 4 5.1 5.2
