MODELOS LINEARES MISTOS PARA CLASSIFICAÇÃO EM JOGOS DE DUPLAS

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MODELOS LINEARES MISTOS PARA

CLASSIFICAÇÃO EM JOGOS DE DUPLAS

Antonio de FREITAS1 Júlio Sílvio de Sousa BUENO FILHO1

RESUMO: Um trabalho de simulação foi conduzido para avaliar a eficiência de modelos mistos para representar torneios de petecas em duplas e classificar os seus jogadores. Para o modelo de simulação, o número de pontos de uma dupla em um jogo de um set seguia uma distribuição Poisson cuja média acomodava efeitos de cada jogador e do jogo em uma variável latente com distribuição normal. O modelo misto foi comparado à forma usual de analisar torneios (números de vitórias e saldo de pontos, em caso de empates). A análise do modelo misto mostrou-se mais correlacionada aos valores simulados que a forma usual de análise. Esta diferença foi maior em favor do modelo misto quando se tomou a raiz quadrada da variável resposta (transformação estabilizadora da variância). Sugere-se que o modelo misto possa ser usado para planejar torneios mais eficientes.

PALAVRAS-CHAVE: Blocos incompletos; modelos mistos; torneios. 1

Introdução

Torneios esportivos são eventos sociais da maior importância e há formas consagradas de analisá-los e interpretar performances de longo prazo de jogadores em diferentes esportes.

Em torneios de jogos individuais é relativamente fácil determinar o melhor jogador, mas, quando os jogos são coletivos, essa tarefa se torna mais complexa. O problema surge quando são organizados torneios de duplas, por exemplo, em que o objetivo é escolher o melhor jogador.

A peteca é um esporte muito difundido em Minas Gerais, praticado em duplas. Muitos dos torneios de peteca seguem um esquema rígido envolvendo 16 jogadores. Isto porque, forma-se um delineamento propício para a seleção do melhor jogador em grupos independentes de quatro jogadores e depois se seleciona o campeão no grupo formado com os melhores de cada grupo.

Embora o problema seja bastante geral, este plano de jogos não é nada flexível e poderia ser facilmente alterado se fosse possível analisar os resultados de torneios como modelos lineares.

Para tanto, imaginou-se um estudo de simulação em que os resultados (números de pontos) de cada dupla em cada jogo fossem emulados seguindo a distribuição Poisson e

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analisados seguindo modelos lineares mistos (Searle et al., 1992), de forma a detectar a adequação desses modelos à análise de tais torneios.

Sabe-se que torneios de duplas são situações análogas a dialelos parciais (Kempthorne e Curnow, 1961) para a escolha de pais em programas de melhoramento genético, tanto para os baseados em linhagens quanto para os baseados em variedades. Nestes casos, o número de jogos possíveis é dado por expressão semelhante ao número de híbridos duplos que se pode obter no cruzamento de n linhagens, ou seja:

(

)(

)

n

n n 1 n 2 n 3

J 3

4

8 −

−

= ×

=

. Por exemplo, com n = 16 jogadores teríamos J =

5.460 jogos, o que excede em muito a capacidade de realização de jogos em um torneio, da mesma forma que o número de cruzamentos possíveis em um dialelo excede em muito o número de cruzamentos que se pode realizar em um determinado período experimental.

Adicionalmente, a interação específica dos jogos pode ser modelada como um efeito aleatório, de forma análoga à recuperação da informação interblocos em blocos incompletos de tamanho dois. A conjunção dessas informações em um estudo de simulação pode motivar abordagens mais criativas como o uso de torneios dinâmicos, planejados seqüencialmente, ou o mesmo esquema para a realização de cruzamentos em programas de melhoramento.

O objetivo deste estudo é determinar em que medida se pode representar com modelos lineares mistos tais torneios, tomando-se por base valores conhecidos de efeitos de jogadores e resultados de análises usuais (baseadas na contagem de números de vitórias e saldo de pontos).

2

Metodologia

2.1 O jogo de peteca

Segundo a Federação Mineira de Peteca, este jogo é disputado em até três sets, sendo vencedora a dupla que vencer dois sets, (FMP, 2005 - www.fempemg.hpg.ig.com.br). Em cada set, será vencedora a equipe que totalizar 12 pontos, ou quando, esgotado um tempo de 20 minutos, aquela que tiver maior número de pontos. Se, esgotado os 20 minutos, houver um empate, haverá a disputa de um ponto, quem o fizer primeiro será a equipe vencedora do set. Cada ponto do jogo de peteca é realizado com tomada de saque, ou seja, a missão de pontuar é da equipe que faz o saque, tendo, esta equipe, 30 segundos para marcar o ponto. Esgotado esse tempo, o saque passa para equipe adversária.

Para este estudo foi considerado um torneio de peteca envolvendo 16 jogadores, divididos em 4 grupos de 4 jogadores, sendo cada jogo realizado em apenas um set. Cada torneio foi realizado em duas etapas. Na primeira etapa, nos quatro grupos, cada jogador formava dupla apenas uma vez com cada um dos outros três jogadores. Desse modo, em cada grupo foram realizados três jogos, num total de doze jogos na primeira etapa. O objetivo era classificar o melhor jogador de cada grupo na primeira etapa. Também foram obtidos o segundo, o terceiro e o quarto classificados de cada grupo.

Na segunda etapa os mesmos 16 jogadores também foram divididos em 4 grupos com 4 jogadores cada, de acordo com a classificação na primeira etapa, da seguinte forma: um grupo, de onde se obteve o melhor jogador, formado pelos melhores jogadores

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de cada grupo; um grupo com os segundos colocados; um grupo com os terceiros colocados e um grupo com os quartos colocados, de acordo com as matrizes X e Z da equação (2.2).

O torneio tem 24 jogos no total. Cada set gera dois resultados, pontos de cada uma das duas duplas. Logo, o vetor y tem dimensão 48.

2.2 Simulação

Para simular torneios que respeitassem as regras da federação no formato descrito, cada resultado (número de pontos no jogo de um só set) de cada dupla foi simulado seguindo uma distribuição Poisson conforme o seguinte modelo hierárquico:

(

)

e

P

y = k

=

− k

k !

, k = 0, 1, 2, 3, ...

em que, o valor de λλλλ é dado pela seguinte equação:

λ = Lθ

em que, L, a matriz formada pelas colunas das matrizes X, Z e W, dadas na equação (2.2), relativas à incidência da média e efeitos de jogos, incidência dos efeitos de jogador e incidência dos efeitos de duplas, respectivamente, e θ θ θ θ t_{= (}_ββββ_,_αααα_,_γγγγ_{), no modelo linear a} seguir:

y ~ P(λλλλ) (2.1)

λλλλ = Xββββ + Zαααα + Wγγγγ (2.2) em que:

λλλλ é o vetor n

×

1 das observações;

ββββ é o vetor (1+g)×1 dos parâmetros de efeitos fixos, média µ e efeitos de jogo;

αααα é o vetor p

×

1 dos parâmetros de efeitos de jogador;

γγγγ é o vetor d

×

1 dos parâmetros de efeitos de dupla;

X é a matriz n ×(1+g) de incidência da média e dos efeitos de jogo; Z é a matriz n

×

p de incidência dos efeitos de jogador;

W é a matriz n

×

d de incidência dos efeitos de dupla. Os vetores ββββ, αααα e γγγγ seguem as seguintes distribuições:

β β β β ~ N(Ø, σ2_I);_αααα_{~ N(Ø,} 2

_I

αααα

σσσσ

); γγγγ ~ N(Ø, 2

_I

γγγγ

σσσσ

), em que Ø é o vetor nulo. 2.3 Análise usual

O número de vitórias e o saldo de pontos de cada um dos jogadores, na primeira são utilizados para a classificação dos jogadores para segunda fase e, na segunda fase, para a classificação final e comparação com as estimativas do modelo misto e com as estimativas dos efeitos de jogador, sendo que o saldo de pontos foi calculado da seguinte forma: diferença entre a soma dos pontos pró e a soma dos pontos contra. Em cada torneio foram

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simulados jogos suficientes para que todos os jogadores fossem classificados e não apenas os quatro primeiros. Para cada situação experimental foram simulados mil torneios. 2.4 Modelo linear misto

Como os torneios foram simulados de forma a que não fosse possível haver repetição de duplas, estimativas de efeitos de duplas seriam muito imprecisas e foram desprezadas. O modelo de análise segue então o modelo de Griffing (1956) para a análise dialélica, desprezando-se efeitos de capacidade específica de combinação. Para a análise do modelo linear foi considerado um modelo misto com efeitos de jogo, ββββ, efeitos de jogador, αααα, sendo o primeiro deles fixo e o segundo aleatório. A equação matricial do modelo é dada por:

y = Xββββ + Zαααα + εεεε (2.3)

em que:

y é o vetor n

×

1 das observações;

ββββ é o vetor (1+g)

×

1 dos parâmetros da média µ e efeitos de jogo; αααα é o vetor p

×

1 dos parâmetros de efeitos de jogador;

εεεε é o vetor aleatório n ×1 dos resíduos;

X é a matriz n

×

(1+g) de incidência dos efeitos fixos; Z é a matriz n ×p de incidência dos efeitos de jogador. Os vetores αααα e εεεε têm as seguintes distribuições:

αααα ~ N(Ø,

σσσσ

_αααα2I); εεεε ~ N(Ø, σσσσ2_I).

Os dados foram submetidos a duas formas de análises, sem transformação e com transformação de dados estabilizadora da variância (raiz quadrada). Em ambos os casos a análise segue a pressuposição de simetria (mas não necessariamente a de normalidade, dado que não se farão testes de hipóteses sobre efeitos fixos, mas apenas se tomará o ordenamento dos efeitos aleatórios).

Como exemplo, os 6 primeiros valores de y, representando os três primeiros jogos, são pontos do primeiro grupo, formado pelos jogadores p1, p2, p3 e p4. Descrevendo o modelo para essas observações, tem-se a seguinte equação:

1 2 3 1 1 4 5 6 1 1 _{0 0} ₀ 2 2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 _{2 2} 1 1 0 0 0 ₁ ₁ 0 0 0 1 0 1 0 0 ₂ ₂ 1 0 1 0 0 ₀ 1 ₀ 1 ₀ 2 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 _{0 0} ₀ 2 2 1 1 0 0 0 2 2 = + + = + + y y y _X _Z y y y β α ε β α ε ββ α εα ε ββ α εα ε β α ε β α ε

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em que X1 e Z1 são as porções das matrizes X e Z referentes ao primeiro grupo. As demais

porções dessas matrizes seguem o mesmo padrão de construção.

Os componentes de variância foram estimadas utilizando o método da Máxima Verossimilhança Restrita (REML) via algoritmo EM (Dempster et al., 1977). Os efeitos do modelo são também estimados pelo mesmo método. As rotinas foram implementadas em linguagem de programação S, versão R-2.0.1 (R Development Core Team, 2004) como se segue:

1) Dado um valor inicial para

ˆ

2

αααα

σσσσ

, como estimativa da componente de variância relativa a αααα e, um valor inicial para a variância do erro,

_σσσσ

ˆ

2_{, calcula-se as soluções de}_β_β_β_β0_e

_αααα

_ˆ_, do seguinte sistema de equações normais (Henderson, 1984):

ˆ ˆ ˆ t t 0 t 2 t t t 2 − = + X X X Z X Y Z X Z Z I Z Y αααα ββββ σσσσ αααα _σσσσ (2.4)

2) Com os valores de ββββ0_e

_αααα

_ˆ_{, os componentes de variância são reestimadas por (Searle et} al. 1992): 0 2 ˆ ˆ ( ) t t t t t n r − − = − Y Y X Y Z Y X β α β α β α β α σσσσ (2.5)

sendo, r(X) o posto da matriz X e n, a dimensão do vetor Y;

ˆ ( )ˆ ˆ2 t tr 22 2 p + = C αααα α αα αα αα α σσσσ σσσσ (2.6)

em que tr(C22) representa o traço de C22, correspondente a parte

ˆ

2 t 2

+

Z Z

I

αααα

σσσσ

da matriz ˆ ˆ t t 2 t t 2 − + X X X Z Z X Z Z I αααα σσσσ σσσσ .

3) Repetem-se os passos 1 e 2, iterativamente, até que se atinja a convergência das soluções e estimativas de componentes da variância.

Apenas para fins de calibração da simulação (devido a diferenças de escala), as correlações intraclasse h2_{, foram calculadas e comparadas com valores de referência} 2

r

h

,

cujas fórmulas de cálculo são:

ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 h = +αααα αααα σσσσ σ σ σ σ σ σ σ σ (2.7)

(6)

em que

ˆ

2

αααα

σσσσ

e

_σσσσ

ˆ

2

são os valores das estimativas do modelo misto; 2 2 r 2 2

h

=

+

αααα

+

α γ αα γγ α γ

σσσσ

σ

λ

σ

λ

σ

λ

(2.8)

em que

σσσσ

αααα2 é a variância dos efeitos de jogador,

σσσσ

γγγγ2 é a variância dos efeitos de duplas e

λ, a média e variância da distribuição Poisson, utilizadas na simulação.

Para a aferição das concordâncias entre as classificações dos jogadores após o torneio empregou-se o coeficiente de correlação de Spearman (Steel e Torrie, 1996). Foram calculadas as seguintes correlações:

a)

r

ˆ

p m, , entre os efeitos simulados de jogadores e as estimativas do modelo linear misto; b)

r

ˆ

p t, , entre os efeitos simulados de jogadores e os resultados do torneio;

c)

r

ˆ

σσσσ

2 para dados não transformados são apresentados na

Tabela 3.1. O valor de referência, 2 r

(7)

Os valores das estimativas de

σσσσ

ˆ

αααα2 (

σσσσ

ˆ

αααα2 ) da Tabela 3.1 foram comparados aos

valores de µ: 2 e 5 e também aos valores simulados de

e a tabela mostra que para µ = 2 os valores de

ˆ

2

αααα

σσσσ

aumentam quando se aumentam os valores de 2

αααα

σσσσ

, resultado consistente com o que se esperava da simulação. Verifica-se na Tabela 3.1 que

h

r2 se aproxima de

_h

ˆ

2_{à medida que são tomados valores cada vez maiores do primeiro. Nota-se} que, quanto maior os valores iniciais de µ e de 2

αααα

σσσσ

maiores as estimativas da correlação intraclasse.

Os resultados referentes às médias das correlações de Spearman, definidas na seção 2.4 são apresentados na Tabela 3.2.

Table 3.1 - Média e desvio-padrão (entre parênteses), das estimativas de componentes da variância (

_σσσσ

ˆ

2_,

_ˆ

2

αααα

σσσσ

) e das correlações intraclasse (

_h

ˆ

2_{) para as oito situações} experimentais. Dados de contagens

µ

2 αααα

σσσσ

2 r

h

_σσσσ

ˆ

2

_ˆ

2 αααα

σσσσ

_h

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O resultado mais interessante nesta tabela é que sempre as correlações entre efeitos simulados e o modelo misto foram maiores que as correlações entre efeitos simulados e a forma usual de análise dos torneios (

r

p m,

>

r

p t, ). Isto indica que a classificação por meio do modelo misto é mais próxima da verdade sobre a força relativa dos jogadores.

Outro fato muito importante é que a correlação entre as duas formas de análise é bem maior que qualquer das correlações entre valores simulados e formas de análise. Ou seja, as formas de análise são muito parecidas, independente de seu grau de acerto sobre a força relativa dos jogadores.

3.2 Análise para dados transformados

Os resultados obtidos das diferentes combinações da média µ, da variância de jogador

σσσσ

αααα2 e variância do erro

σσσσ

2para dados transformados são apresentados na

Tabela 3.3. Os valores de referência, 2 r

h

, dispostos na tabela, foram calculados utilizando-se a equação (2.8).

Os valores de

_σσσσ

ˆ

2_{da Tabela 3.3 foram comparados aos valores de}_µ_{: 2 e 5 e também} aos valores simulados de

σσσσ

_αααα2 (de forma análoga ao que foi feito para os dados de contagens). Nota-se que, aumentando-se os valores de µ os valores de

σσσσ

ˆ

2 diminuem, diferentemente do que ocorre para dados não transformados. Os valores de

ˆ

2

αααα

σσσσ

aumentam quando os valores de 2

αααα

σσσσ

são aumentados. Verifica-se na Tabela 3.3 que 2 r

h

se

aproxima de

_h

ˆ

2_{a medida que são tomados valores cada vez maiores do primeiro. Nota-se} que, quanto maior os valores iniciais de µ e de 2

αααα

σσσσ

maiores as estimativas da correlação intraclasse.

Os resultados referentes às médias das correlações de Spearman, definidas na seção 2.4 são apresentados na Tabela 3.4.

Table 3.3 - Média e desvio-padrão (entre parênteses), das estimativas de componentes da variância (

_σσσσ

ˆ

2

,

ˆ

2

αααα

σσσσ

) e das correlações intraclasse (

_h

ˆ

2_{) para as oito} situações experimentais, considerando-se a transformação raiz quadrada

ˆ

m t, , indicando serem as duas formas de análise muito parecidas.

Nota-se ainda pequena melhora nas correlações decorrente do uso da transformação estabilizadora da variância. Na verdade, era razoável esperar grande melhora destas correlações, dado que se conhece a distribuição da variável resposta. Esses resultados estão ilustrados na Figura 3.1 e sugerem que o modelo misto em sua versão simples pode ser usado ao invés do modelo generalizado misto que melhor representaria o que foi efetivamente simulado.

É claro que não se pretende que torneios sejam de fato analisados como modelos mistos, ou modelos generalizados mistos. Isto implicaria uma mudança cultural fora do escopo de um trabalho científico. A boa concordância com os valores simulados e com a forma de análise usual permite, no entanto, inferir que modelos mistos podem representar torneios. Isto é especialmente importante para planejar torneios mais flexíveis usando-se conceitos de modelos lineares mistos e a teoria de planejamentos ótimos (Bueno Filho e Gilmour, 2003).

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-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0. 0 1. 5 3. 0

Ef. de Jogador e Est. do MLM

correlação de ns id ad e -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0. 0 1. 0 2. 0

Ef. de Jogador e Res. do Torneio

correlação de ns id ad e -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0 2 4 6

Est. do MLM e Res. do Torneio

correlação de ns id ad e -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0. 0 1. 5 3. 0

Ef. de Jogador e Est. do MLM

correlação de ns id ad e -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0. 0 1. 0 2. 0 3. 0

Ef. de Jogador e Res. do Torneio

correlação de ns id ad e -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0 1 2 3 4 5

Est. do MLM e Res. do Torneio

correlação de ns id ad e A) B) C) D)

FIGURA 3.1 - Correlações de Spearman entre valores simulados (p) e estimativas do modelo misto (m) e ordenamento pelo método usual (t), dadas por

r

ˆ

p m, ,

r

ˆ

p t, e

r

ˆ

m t, ,

figuras A, C e E, respectivamente, para os dados de contagem e figuras B, D e F, respectivamente, considerando a transformação raiz quadrada. Simulação com µ

= 2 e

σσσσ

2_α_αα_α= 9.

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Variância do erro variância fr eq üê nc ia 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 40 80 Variância de jogador variância fr eq üê nc ia 0 1 2 3 4 0 20 60 Correlação intraclasse correlação fr eq üê nc ia 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 15 0 Variância do erro variância fr eq üê nc ia 0 2 4 6 8 0 50 10 0 Variância de jogador variância fr eq üê nc ia 0 5 10 15 20 25 30 0 40 80 Correlação intraclasse correlação fr eq üê nc ia 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 15 0 A) B) C) D) E) F)

FIGURA 3.2 - Estimativas de componentes da variância (

σσσσ

ˆ

2,

σσσσ

ˆ_αααα2 ) e das correlações intraclasse (

h

ˆ

2) para para µ = 2 e 2

α αα α

σσσσ

= 9. A, C e E referem-se à análise direta dos dados de contagens e B, D e F referem-se à transformação raiz quadrada.

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Conclusões

Os modelos lineares mistos podem ser usados com precisão aceitável para modelar efeitos de jogadores em torneios com distribuição não normal da variável resposta.

A análise pode ser feita diretamente com as contagens, mas com a transformação de dados adequada, o modelo misto pode ser ainda mais preciso que o modelo usual.

Agradecimentos

O primeiro autor agradece à Capes por concessão de bolsa parcial para o treinamento no nível de Mestrado.

FREITAS, A.; BUENO FILHO, J. S. S. Linear mixed models for ranking players from pairs. Rev. Mat. Est., São Paulo, v.23, n.3, p.19-31, 2005.

ABSTRACT: A simulation study was carried out to evaluate the efficiency of mixed models to represent shuttlecock pair tournaments and to rank their players. In the simulation, the number of points of each pair in a one set game comes from a Poisson distribution whose expectation models accommodated the effects of players and games in a normally distributed latent variable. Mixed models were compared to the usual form of analyzing these tournaments (number of victories and point average in case of draws). Mixed model analysis was more correlated with true simulated values than in usual analysis. The difference was more pronounced when response variables were square rooted (variance stabilizing transformation). Results suggest that mixed models can be used to design more effective tournaments.

KEYWORDS: Incomplete blocks; mixed models; tournaments.

REFERÊNCIAS

BUENO FILHO, J. S. S.; GILMOUR, S. G. Planning incomplete block experiments when treatments are genetically related. Biometrics, Washington, v.59, p.375-381, 2003. DEMPSTER, A. P.; LAIRD, N. M.; RUBIN, D. B. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. J. R. Stat. Soc., London, v. 39, n.1, p.1-38, 1977.

FEDERAÇÃO MINEIRA DE PETECA. Histórico da peteca. Disponível em: <www.fempemg.hpg.ig.com.br>. Acesso em: 2005.

GELMAN, A. et al. Bayesian data analysis. Hudcover: Chapman & Hall, 1995. 526 p. GRIFFING, B. Concept of general and specific combining ability in relation to diallel crossing systems. Aust. J. Biol. Sci., Melbourne, v.9, p.463-493, 1956.

HENDERSON, C. R. Applications of linear models in animal breeding. Guelph: University of Guelph, 1984. 462p.

KEMPTHORNE, O.; CURNOW, R. N. The partial diallel cross. Biometrics, Washington, v.17, p.229-250, 1961.

R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: A language and environment for statistical computing. Vienna: R Foundation for Statistical Computing, 2004. Disponível em: <http://www.R-project.org>. Acesso em: 2004.

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SEARLE, S. R.; CASELLA, G.; McCULLOCH, C. E. Variance Components. New York: Willey, 1992.

STEEL, R. G. D.; TORRIE, J. H. Principles and procedures of statistics: a biometrical approach. New York: McGraw-Hill, 1996. 633 p. (Series in Probability and Statistics).

Recebido em 01.08.2005. Aprovado após revisão em 16.11.2005.