FENÔMENOS DIDÁTICOS NA SALA DE AULA DE MATEMÁTICA
Anna Paula de Avelar BRITO LIMA (UFRPE - Recife) Fernando Emílio Leite de ALMEIDA (IFPE – Pesqueira) Marcus BESSA DE MENEZES (UFCG – Sumé) INTRODUÇÃO
Esse texto discute, de maneira sintética, a proposta do Ateliê: Fenômenos Didáticos na sala de aula de matemática, em consonância com a Conferência ministrada pela professora Claude Comiti, intitulada: Importância e metodologia de observação de classes em pesquisas em didática e relações entre problemática de pesquisa, quadro teórico no qual se coloca o pesquisador e modelagem necessária à análise de observações; e com o ateliê: A observação de aulas nas pesquisas em didática: a instalação dos dispositivos e a análise, igualmente conduzido pelos conferencistas.
Apresentaremos os pesquisadores que proporão o ateliê sobre os fenômenos didáticos, bem como a proposta metodológica do ateliê. Os responsáveis por esse ateliê têm uma origem comum, no âmbito da pesquisa em fenômenos didáticos, e hoje trabalham com formação de professores em diferentes pólos da região nordeste do Brasil.
Breve história dos pesquisadores
A professora Anna Paula Brito Lima é psicóloga, e atua em Recife, tanto em cursos de licenciatura, quanto numa pós-graduação (mestrado e doutorado) em Ensino das Ciências e Matemática. O professor Marcus Bessa de Menezes, licenciado em matemática, atua em Sumé - Cariri Paraibano - na formação de professores, inclusive no âmbito da Educação do Campo. Na pós-graduação, é colaborador de um Programa no Ensino das Ciências e Matemática em Caruaru, no Campus do Agreste da UFPE. O professor Fernando Emílio Almeida, também licenciado em matemática, atua no IFPE da cidade de Pesqueira, região agreste de Pernambuco, na formação inicial de professores.
Os três professores trabalham conjuntamente há mais de dez anos articulando o aporte da Psicologia e da Didática da Matemática, para lançar um olhar privilegiado para as relações que se estabelecem na sala de aula de matemática e os fenômenos que naquele espaço emergem e são identificados. Estão também vinculados ao grupo de pesquisa em Fenômenos Didáticos na Classe de Matemática, credenciado ao CNPq, que desenvolve pesquisas há cerca de uma década.
A matéria-prima das pesquisas do grupo e desses pesquisadores em particular são as aulas de matemática. Nesse cenário, os três pesquisadores têm conduzido
investigações sobre o contrato didático, as praxeologias matemáticas e didáticas, apontando, essencialmente, na direção da interrrelação entre os fenômenos didáticos e tendo o olhar direcionado tanto ao saber matemático, quanto aos parceiros da relação didática: o professor e o aluno.
A articulação entre a Psicologia e da Didática da Matemática possibilita, no nosso entendimento, um olhar minucioso sobre os fenômenos que emergem da/na relação didática. Da Psicologia, tomamos como um dos aportes fundamentais a análise clínica e estudo de caso (SCHLIEMANN ET AL., 2006; BRITO MENEZES, 2006), que define, em certo sentido, o método de observação das relação didática e de investigação dos fenômenos na sala de aula. Também desse campo levamos em consideração a ideia da sala de aula como um palco de negociação de significados (BRITO MENEZES, 2006), o que nos permite analisar a dinâmica contratual daquele cenário. Da Didática da Matemática, conforme já mencionamos, consideramos a produção teórica e de pesquisa, notadamente vinculadas à Teoria das Situações Didáticas (BROUSSEAU, 2006), à noção de Contrato Didático (BROUSSEAU, 1990), à Transposição Didática e Teoria Antropológica do Didático (BOSCH E GASCÓN, 2007, 2009; CHEVALLARD, 1985, 2007), bem como os estudos que se debruçam sobre a sala de aula de matemática (COMITI, 2011; CÂMARA DOS SANTOS, BLANCHARD-LA VILLE E BERDOT, 1997).
PROPOSIÇÃO DO ATELIÊ
A proposta do ateliê é de integrar as discussões teóricas e pesquisas em fenômenos didáticos na sala de aula de aula de matemática a partir de situações que foram investigadas pelos propositores da oficina. Serão contempladas situações oriundas de quatro pesquisas: duas delas com foco nas questões relacionadas ao contrato didático na introdução à álgebra no 7o. Ano do Ensino
Fundamental brasileiro. Em ambas as situações, embora analisando o triângulo didático, será privilegiado fundamentalmente o pólo do professor, analisando como o mesmo negocia as cláusulas do contrato didático, como reage às rupturas de contrato, como são produzidos efeitos de contrato (BRITO MENEZES, 2006; ALMEIDA, 2009; ALMEIDA E BRITO LIMA, 2013). A terceira situação de sala de aula, com foco na noção de transposição didática (BESSA DE MENEZES, 2010) considerará o aporte da TAD e centrará seu olhar nas diferenças entre o que o professor ensina e o que efetivamente o aluno produz a partir da aula do professor, tendo como conteúdo a equação do segundo grau, no 9o. ano do
Ensino Fundamental. Por fim, a quarta situação (ALMEIDA, 2016) terá como objetivo investigar as interrelações entre o contrato didático e a TAD, com base na análise das negociações (CD) entre professor e alunos nas organizações matemáticas e didáticas, em aulas de equação do segundo grau a uma incógnita, no 9o. ano do Ensino Fundamental.
Síntese dos estudos
Apresentaremos, de maneira resumida, os estudos que serão contemplados no Ateliê.
Estudo 1: O primeiro estudo é oriundo de uma tese de doutorado em Educação, concluído em 2006 (BRITO MENEZES, 2006). Esse estudo teve por objetivo investigar as interrelações entre contrato didático e transposição didática na introdução à álgebra na 6a. série (atualmente 7o. ano) do Ensino Fundamental.
Participaram do estudo um professor, licenciado em matemática, e seu alunos, de uma escola do Recife. O desenho metodológico contemplou as seguintes etapas: a) Gravação em áudio e vídeo (videografia) das aulas de introdução à álgebra
(sete aulas);
b) Elaboração de um Diário de Campo para anotação das observações realizadas em sala de aula, durante a etapa de videografia. O diário foi elaborado pela pesquisadora, que esteve presente em todas as etapas da pesquisa;
c) Entrevista com o professor, buscando investigar alguns elementos sobre suas concepções acerca da álgebra e suas escolhas didáticas;
d) Entrevista de confrontação, em que o professor assistia em vídeo recortes de até cinco minutos de suas aulas, previamente selecionados pela pesquisadora, com o objetivo de que o professor falasse sobre o que foi chamado no estudo de “momentos críticos”, em que se evidenciavam rupturas do contrato didático, renegociações e efeitos de contrato.
O recorte do estudo que será feito para o Ateliê diz respeito justamente à etapa de Análise de Situações, com a entrevista de confrontação, uma vez que discutiremos, a partir dessa produção, como os momentos críticos que tencionam a relação didática e obrigam a renegociação do contrato são analisados pelo professor.
Segue, abaixo, um dos extratos (recorte de aula que foi apresentado na entrevista de confrontação) que será tratado no ateliê, e que aponta para a tentativa do professor de se desvencilhar da tensão que se estabelece quando tenta negociar com os alunos uma técnica de resolução de problema algébrico e os alunos relutam em aceitar essa negociação:
P – Por favor, gente, palmas pra ele! Ele fez o certo, como todos estão fazendo o certo, certo? Não está melhor nem pior do que qualquer forma, qualquer procedimento que vocês usam. A única coisa que tem diferente do que ele fez... o que é que ele fez que tá diferente aqui?
Al – Ele faz dos dois lados, ele faz como uma balança.
P – Ele faz como uma balança mesmo, ele utiliza um princípio que ele vai morrer e nunca vai esquecer que ele entendeu isso aqui. O problema é que quando a gente não entende um mecanismo, por mais que a gente tente explicar, vai acontecer como... quem não ouviu: ‘ah, porque a gente aprendeu
assim. É um bizu’. Não existe ‘a gente aprendeu assim, é um bizu’... matemática se
Mas quando você entende é melhor. E eu acho que vocês deveriam partir pra tentar entender, depois você até usa o mecanismo do que você quiser. Mas eu queria que vocês entendessem. ‘Ah, agora eu entendi porque do outro lado é a
operação inversa; agora eu entendi’. É um procedimento tão mais trabalhoso do
que esse? Não! Ele só tinha menos dezessete, adicionou, adicionou, ficou com isso, tirou o dezessete com o menos dezessete, ficou sete n igual a duzentos e
dezessete. Dividiu, dividiu... Um n. E esse um nem precisa. N é igual a trinta e um.
Acabou! Gente, dessa forma é difícil? É só...
Al – Mais complicada.
P – Não. Parece que dá mais trabalho, mas se você tentar, você vai ver que não é, não. Acaba você ficando mais seguro do que está fazendo.
A seguir será apresentado um resumo do segundo estudo a ser contemplado na atividade.
Estudo 2: O segundo estudo (ALMEIDA, 2009) trata de recorte de uma dissertação de mestrado que teve por objetivo analisar como se estabelece o contrato didático na relação entre professor e alunos do 7º ano do Ensino Fundamental, quando o saber algébrico está em jogo, especificamente na passagem da linguagem natural para a linguagem algébrica e na resolução da equação. Na referida dissertação foram analisados dois professores, um professor com formação em licenciatura em matemática e uma professora que, além de licenciada, possuía formação em normal médio, contemplando os seguintes elementos:
a) Videografia das aulas de ambos os professores (seis aulas de cada, totalizando doze aulas);
b) Transcrição de todas as aulas;
c) Análise do contrato didático, contemplando os seguintes critérios: cláusulas (implícitas e explícitas), negociações, rupturas, renegociações, efeitos de contrato.
d) Análise comparativa do contrato didático nas aulas de ambos os professores. Para o Ateliê serão contempladas apenas as aulas da professora. O recorte a seguir será trabalhado na oficina e mostra como a professora introduz a ideia de “sentença”, a partir de ditados populares. Esse recorte servirá de subsídio para analisar as escolhas didáticas e os efeitos de contrato que decorrem de algumas delas.
Registro da professora no quadro
De poeta e de louco todo mundo tem um pouco.
Mais difícil de encontrar uma agulha no palheiro é encontrar duas. Quem não tem cão caça com um gato.
Al ( R ): Quem não tem cão caça com gato...
P - Que significado tem essa expressão aqui o..., quem não tem cão caça com gato, "G" (referindo-se a uma aluna)... Olha, é tão fácil, quem não tem cão caça com gato...
Al ( G ) - quem não caçar com cão, não tem o cão, caça com o gato...
P - Se não tem cão caça com gato, caça com louro, caça com que tiver, é a arma que você tem. Aí vejam bem, eu sei que têm algumas dessas frases que são ditados populares, eu sei que têm algumas dessas frases colocadas no quadro, vocês já ouviram, já comentaram até, já viram no para-choque de caminhão e isso aqui você pode estar associando, é são frases que eu já conheço, mas o que tem isso haver com a matemática?... Isso aqui, né. Isso aqui são ditados populares que eu posso associar da seguinte forma, isso aqui é uma frase que tem sentido completo? Isso aqui eu estou passando uma informação para você com essa frase? Ela tem sentido completo? (...)
Al: não...
(...)
P - Eu estou dizendo que, nós todos, nós, um pouquinho a gente tem de poeta um pouquinho a gente tem de louco, às vezes a gente tem umas crises assim né, amnióticas, assim meio inesperadas e isso faz com que a gente mostre que no momento de fúria a gente também dá uma de louquinha, não é?... E poeta? O poeta quando a gente tá inspirado, a gente faz versos como a nossa amiga ”G”, a gente escreve frases bonitas, românticas, isso é, ela é poetiza, não é?... ”R” é poeta, cada um escreve alguma coisa de acordo com a sua inspiração.
(...)
P - Isso aqui a gente chama de “sentença”. “O que é sentença?” É toda frase que tem sentido completo. Toda vez que eu passo para alguém uma informação que tem sentido completo eu chamo de sentença. Aí a gente vai caminhando um pouquinho, aqui a gente tem um conjunto de palavras que tem sentido completo, aí vamos para estas palavras que eu vou transformá-las numa “linguagem matemática”. "R", eu tenho... "R"...
Estudo 3: O terceiro estudo é também oriundo de uma tese de Doutorado em Educação, concluída em 2010 (BESSA DE MENEZES, 2010). A pesquisa de tese propôs a refletir sobre as semelhanças e diferenças entre as práticas de professores e de alunos, no trabalho com equações de segundo grau. Os resultados da pesquisa apontam, inicialmente, que a relação do aluno com o objeto de saber “equações de segundo grau” faz com que ele reorganize, de modo particular, o conhecimento construído em sala de aula. Foi percebido que as técnicas utilizadas pelos alunos para resolução das atividades foram diferentes das apresentadas pelo professor.
Outra questão que permeou o trabalho gira em torno das relações institucionais e pessoais com o saber envolvido, e como essas intencionalidades influenciaram nas escolhas dos alunos. Quanto ao desenho metodológico, foram feitas as seguintes escolhas:
a) Análise do livro didático utilizado pelo professor em sala de aula;
b) Gravação em áudio e vídeo (videografia) das aulas de equações de segundo grau (nove aulas);
c) Entrevista com o professor, buscando investigar alguns elementos sobre suas concepções sobre o conteúdo de equações de segundo grau e suas escolhas didáticas;
d) Entrevista com os alunos durante a resolução das atividades proposta na pesquisa.
O recorte do estudo que será feito para o Ateliê diz respeito justamente à etapa de análise das praxeologias, com a confrontação entre elementos praxeológicos identificados na apresentação do conteúdo pelo professor e atividades realizadas pelos alunos. Nessa análise, em conjunto com as entrevistas, são percebidas as diferenças e aproximações entre as estratégias que resolução das atividades que permeiam a conformidade institucional e a intencionalidade de personagem em cena no jogo didático.
Segue, abaixo, um dos extratos que será tratado no ateliê, e que aponta para as diferentes praxeologias entre professor e alunos, resultado das negociações em sala de aula:
Organização Matemática – Resolução do Professor
TAREFA RESOLUÇÃO DO ALUNO TÉCNICAS ELEMENTOS
TECNOLÓGICOS T1 – Resolver uma equação do 2° grau Tipo de Tarefa (T14) (x + a).(x + b) = 0 Ativ.solicitada (x + 5).(x + 2) = 0 BAS – Fórmula de Báskara. POI - Propriedades das operações inversas em R (conjunto dos números reais) ou leis da transposição de termos; PR – Propriedade da radiciação. SUBTÉCNICAS DRE – Desenvolver ou reduzir expressões; TTC - Transpondo termos, invertendo as operações. Organizações Praxeológicas – Resolução do Aluno
Estudo 4: O quarto e último estudo a ser contemplado no ateliê é produto de uma tese de doutorado (ALMEIDA, 2016) que buscou investigar as relações
TAREFA RESOLUÇÃO DO PROFESSOR TÉCNICAS TECNOLÓGICOS ELEMENTOS
T – Resolver uma equação do 2° grau Tipo de Tarefa (T4) (x + a).(x + b) = 0 x b b x a x a x b x a x 0 0 0 ) )( ( TPN – Produto nulo, igualando os fatores à zero. PPN - Propriedade do Produto Nulo;
POI - Propriedades das
operações inversas em R (conjunto dos números reais) ou leis da transposição de termos. SUBTÉCNICAS TTC - Transpondo termos, invertendo as operações.
entre o contrato didático e as organizações matemáticas e didáticas no ensino de equações do segundo grau a uma incógnita no 9o. ano, considerando dois
professores. Para o desenvolvimento do estudo, a investigação contou com o seguinte delineamento metodológico:
(a) Análise a priori das organizações matemáticas que dizem respeito ao ensino das equações do segundo grau a uma incógnita;
(b) Videografia das aulas dos dois professores; (c) Transcrição dos recortes das aulas;
(d) Análise do contrato didático nas aulas; (e) Identificação das organizações matemáticas; (f) Identificação dos momentos didáticos.
(g) Análise das relações entre contrato didático, organizações matemáticas e momentos didáticos.
Um dos recortes do estudo que terá lugar no Ateliê diz respeito a uma negociação do professor com seus alunos sobre a técnica de transposição de termos e coeficientes, invertendo operações, bem como, desenvolver e reduzir. Além dessa negociação, outras estão envolvidas, como por exemplo, o primeiro encontro propriamente dito com o tipo de tarefa e a exploração do tipo de tarefa e elaboração da técnica. Um aspecto a ser destacado diz respeito à relação identificada entre as regras de contrato e a enunciação, pelo professor, das técnicas de resolução da equação, conforme extrato de aula abaixo (que será contemplado no ateliê).
(P): Como é? G (aluno) dá um toque aqui de mágica... rapaz, tu é o cara da classe, rapaz...
(P): Oi... nove mais um igual a dez... termine, some... nove mais um, dez igual a dez...
(A): Pronto, mais alguma coisa?
(P): Bom... resolveu mentalmente, como na questão pedi para resolver mentalmente... só faltou um detalhe... parabéns para ele que fez... palmas para o aluno....
(P): Mas, a gente vai resolver por outro processo...
(Als): Ahhhh ...
(P): Ele poderia resolver assim... mostra que ele tem um raciocínio na matemática lógica. Ele sabe que substituindo o três, jogando o três aqui elevado ao quadrado dá nove, somado com um vai dar dez... né verdade? Só que ele
esqueceu um detalhe que a gente vinha fazendo antes aqui... se eu colocar também aqui menos três ao quadrado ele vai dá nove positivo também... né verdade?
(A): É...
(P): Então... lembre-se que na raiz quadrada sempre existe duas raízes... Na equação do segundo grau sempre existe duas raízes para a incógnita x (...) Qualquer incógnita que venha aparecendo ou apresentando uma equação do segundo grau... ok, G (aluno)?
(P): Vamos ver isso aqui resolvido de outra maneira...
(P): X ao quadrado é igual a dez menos um. O que foi que aconteceu? Eu deixei sempre o valor de x antes da igualdade, e o que não tem x para depois da igualdade. Então... vai ficar x ao quadrado é igual a dez menos um... dá quanto? (A): Nove...
(P): Nove... ok! E aí eu vou dizer que x é igual a mais ou menos, olha o mais ou menos de novo, raiz quadrada de nove, então, x é igual a quem? Mais ou menos, raiz quadrada de nove?
(Als): Três...
(P): Três... então, a solução para esse problema será quem? Mais três ou menos três...
(P): O nosso amigo ali G (aluno) resolveu certo? Sim, resolveu porque resolveu mentalmente, no seu conhecimento, só que ele esqueceu que menos três ao quadrado também vai dá um nove positivo.
Esses são apenas exemplos do que será contemplados no ateliê. A proposta de desenvolvimento da oficina é de articulação entre os elementos teóricos com as pesquisas produzidas, focalizando o papel das observações na análise dos fenômenos didáticos na classe de matemática. O quadro a seguir resume a intervenção planejada para o ateliê.
Metodologia de trabalho Ateliê
Apresentamos, em linhas gerais, a proposição do trabalho a ser realizado no ateliê:
(1) Abertura: apresentação dos pesquisadores, do grupo de participantes e da metodologia de trabalho do ateliê: GT/GD – Grupos de Trabalho/Grupo de Discussão
(2) Atividade inicial: discussão sobre O que são Fenômenos Didáticos, a partir de situação problematizadora.
(3) Estudo 1 e 2: Parte I - Apresentação do estudo, entrega de material para os GTs (recortes das aulas e entrevistas) para discussão nos grupos de trabalho, a partir de roteiro estruturado. Parte II – Retorno ao Grupo de Discussão (GD) para debate.
(4) Estudo 3: Parte I - Apresentação do estudo, entrega de material para os GTs (recortes das aulas), para discussão nos grupos de trabalho, a partir de roteiro estruturado. Parte II – Retorno ao Grupo de Discussão (GD) para debate. (5) Estudo 4: Parte I - Apresentação do estudo, entrega de material para os GTs
(recortes das aulas), para discussão nos grupos de trabalho, a partir de roteiro estruturado. Parte II – Retorno ao Grupo de Discussão (GD) para debate. (6) Plenária final: Parte I - Articulação das discussões nos diversos GDs. Parte II -
Proposição das relações entre o Ateliê e a Conferência sobre Observações em sala de aula.
CONSIDERAÇÕES
A proposta dos pesquisadores que ministrarão esse ateliê é a de que os fenômenos didáticos só podem ser compreendidos de forma mais ampla quando a sala de aula é analisada a partir de múltiplos referenciais, de preferência de maneira interrelacionada.
A escolha pelos quatro estudos se deu em função de que, a partir deles, podem ser contemplados os três pólos da relação didática: o pólo do saber (álgebra), notadamente a ideia de equações e sua resolução; o pólo do professor e as negociações em torno do saber com os alunos, bem como todas as consequências dessas negociações: rupturas, efeitos, etc.; o pólo do aluno e a produção do saber em conformidade com a instituição.
Além dos aspectos conceituais que podem ser contemplados a partir dos estudos em questão, é necessário levar em conta que a investigação desses fenômenos requer um olhar cuidadoso, apoiado em observações, em estudos de caso, no método clínico, na microanálise das interações discursivas, naquilo que é dito e, sobretudo, no que está implícito. Esse olhar não é desenvolvido apenas em função das leituras e estudo das teorias. Ele é fundamentalmente construído a partir da ação e observação, do árduo trabalho diário do pesquisador no cenário de pesquisa.
REFERÊNCIAS
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