Mecânica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolução de Problemas n o 10

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aquinas: An´

alise dimensional, curvas de

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EXERC´ICIO 1 Resolva o exerc´ıcio 7 das folhas do Prof. Ant´onio Falc˜ao, Turbom´aquinas, Sec¸c˜ao de Folhas da AEIST. Pode consultar a solu¸c˜ao detalhada nessas folhas.

EXERC´ICIO 2 Uma bomba ´e usada para bombear ´agua entre dois reservat´orios atrav´es de uma conduta na qual a perda de carga ´e Hinst = ∆z + aQ2 (m), onde

∆z ´e o desn´ıvel entre os dois reservat´orios (em metros) e a = 85 s2_/m5_{. As}

caracteristicas da bomba podem ser aproximadas pela curva Hbomba = 22.9 +

10.7Q − 111Q2 (m). C´alcule o caudal escoado Q e a altura de eleva¸c˜ao da bomba Hbomba para:

1. Um desn´ıvel de ∆z = 15 m usando apenas uma bomba.

2. Um desn´ıvel de ∆z = 15 m usando duas bombas idˆenticas montadas em paralelo.

3. Um desn´ıvel de ∆z = 25 m usando duas bombas idˆenticas montadas em s´erie.

EXERC´ICIO 3 Considere que pretende transportar ´agua entre dois reservat´orios e que para o efeito disp˜oe de duas bombas geom´etricamente semelnates (bombas 1 e 2) que podem operar em condi¸c˜oes nominais η = ηmax. O diˆametro e velocidade

de rota¸c˜ao das duas bombas s˜ao D1 = 0.25 m e D2 = 0.5 m, e N1 = 1500 rpm e

N2 = 2900 rpm, respectivamente. Qual das duas bombas pode ser colocada a um

n´ıvel mais alto em rela¸c˜ao ao reservat´orio de aspira¸c˜ao sem entrar em cavita¸c˜ao?

EXERC´ICIO 4 Considere as turbinas Kaplan da central hidro-el´ectrica das Trˆes Marias (Brasil). As caracteristicas de cada turbina s˜ao as seguintes: diˆametro da roda D = 4.65 m, altura de queda dispon´ıvel H = 50 m, velocidade de rota¸c˜ao N = 163.6 rpm, potˆencia ao veio P = 67 MW.

1. Sabendo que o rˆendimento das turbinas ´e de 93%, determinte o caudal escoado.

Figura 1: Ex.5.: Curva caracter´ıstica da bomba do exer´ıcio 5.

2. C´alcule a velocidade espec´ıfica e o diˆametro espec´ıfico das turbinas e verifique que o diˆametro das mesmas dado pelo diagrama de Cordier consiste numa boa aproxima¸c˜ao ao valor real.

3. Qual a altura da linha de ´agua em rela¸c˜ao `a posi¸c˜ao das turbinas para que estas n˜ao entrem em cavita¸c˜ao, sabendo que a perda de carga no difusor ´e de Zdif f = 4.45 × 10−5Q2 (m)? Tome para a press˜ao atmosf´erica Patm= 101.3

kPa e para a tens˜ao m´axima do vapor `a temperatura da ´agua Pv = 2.45

kPa.

EXERC´ICIO 5 Uma bomba radial foi ensaiada com ´agua (temperatura 20o

C) `a velocidade de rota¸c˜ao de 1500 rpm e obtiveram-se as curvas caracter´ısticas apresentadas na figura Ex.5, em que H ´e a altura de eleva¸c˜ao (em metros), Q o caudal vol´umico (m3_{/s), e h}

i = Hsi(m). Pretende-se utilizar a mesma bomba (mas

n˜ao necess´ariamente `a mesma velocidade de rota¸c˜ao) para assegurar a circula¸c˜ao de ´agua num permutador de calor em circuito fechado. As caracter´ısticas da instala¸c˜ao s˜ao as seguintes:

• perdas de carga na conduta de aspira¸c˜ao (em metros): 600Q2 _{(Q em m}3_/s).

• perdas de carga na conduta de compress˜ao (incluindo o permutador): 2000Q2 (Q em m3_/s).

• n´ıvel da bomba em rela¸c˜ao `a superf´ıcie livre do reservat´orio: 1 m.

elevado seja de 0.080 m3_{/s (admitindo ausˆencia de cavita¸c˜ao).}

2. Calcule a temperatura m´axima da ´agua na bomba para que n˜ao haja cavita¸c˜ao sabendo que a press˜ao atmosf´erica ´e Patm = 1.013 × 105 Pa e

tome ρ = 1000 kg/m3. Nota: use a curva hi(Q) da figura Ex.5.

SOLUC¸ ˜OES

Ex.2: No caso de se usar apenas uma bomba com um desn´ıvel de ∆z = 15 m a curva da instala¸c˜ao ´e Hinst = 15 + 85Q2. O ponto de funcionamento ´e obtido

atrav´es de Hbomba(Q0) = Hinst(Q0) ⇔ 22.9 + 10.7Q0 − 111Q02 = 15 + 85Q2 ⇔

195Q02− 10.7Q − 7.9 = 0 ⇔ Q0 ₌

10.7 +√10.72_{+ 4 × 195 × 7.9}_{/ (2 × 195) =}

0.23 m3_{/s, e a altura de eleva¸c˜ao resultante ser´a H = H}

inst = 15+85(0.23)2 = 19.5

m.

Usando duas bombas iguais em paralelo o caudal resultante na instala¸c˜ao ´e igual ao dobro do caudal que atravessa cada uma das bombas. Assim, se o caudal total (resultante) se designar por Q00 temos Hbomba(Q00) = Hinst(Q00) ⇔

22.9 + 10.7Q₂00− 111Q₂002 = 15 + 85Q002 ⇔ 112.2Q002 _{− 5.35Q}00_{− 7.9 = 0 ⇔}

Q00 =5.35 +√5.352_{+ 4 × 112.8 × 7.9}_{/ (2 × 112.8) = 0.29 m}3_{/s, e a altura de}

eleva¸c˜ao resultante ser´a H = Hinst = 15 + 85(0.29)2 = 22.1 m.

Usando agora as duas bombas mas em s´erie a altura de eleva¸c˜ao resultante ´e duplicada i.e. Hserie = 2 × Hbomba = 2 × (22.9 + 10.7Q000− 111Q0002) = 45.8 +

21.4Q000 − 222Q0002_{, onde Q}000 _{´e o caudal escoado para esta situa¸c˜ao. Para um}

desn´ıvel de ∆z = 25 m a curva da instala¸c˜ao ´e Hinst = 25 + 85Q0002. O caudal

escoado obt´em-se uma vez mais fazendo Hbomba(Q000) = Hinst(Q000) ⇔ 25+85Q0002=

45.8 + 21.4Q000− 222Q0002 _{⇔ 307Q}002_{− 21.4Q}00_{− 20.8 = 0 ⇔}

Q000 = 21.4 +√21.42_{+ 4 × 307 × 20.8}_{/ (2 × 307) = 0.30 m}3_{/s, e a altura de}

eleva¸c˜ao resultante ser´a H = Hinst = 25 + 85(0.30)2 = 32.5 m.

Ex.3: M´aquinas geometricamente semelhantes tˆem o mesmo coeficiente de caudal e consequentemente tˆem tamb´em o mesmo coeficiente de altura gH1

N2 1D 2 1  =  _gH 2 N2 2D22  , donde H2 H1 =  N2 N1 2 D2 D1 2

= 2900₁₅₀₀2_0.250.52 = 14.95. Por outro lado semelhan¸ca geom´etrica implica que as m´aquinas tˆem a mesma velocidade espec´ıfica, e logo o mesmo diˆametro espec´ıfico:

 D1(gH1)1/4 Q1/2₁  =  D2(gH2)1/4 Q1/2₂  donde se tira Q2 Q1 =  D2 D1 2 H1 H1 1/2

=_0.250.52(14.95)1/2 = 15.45. A velocidade espec´ıfica de aspira¸c˜ao em condi¸c˜oes critcas de cavita¸c˜ao ´e Siη = N Q

1/2

(gHsi)3/4. Uma vez que para bombas

se tem Siη = 3 (igual para as duas bombas), vem Hsi(2) Hsi(1) =  N2 N1 4/3_Q 2 Q1 2/3 =  2900 1500 4/3

Hs > Hsi, e como Hsi(2) > Hsi(1) a bomba 1 pode ser colocada a uma distancia

(altura) da ´aguam maior do que a bomba 2.

Ex.4: O caudal escoado tira-se imediatamente de Q = P/(ηρgH) = 67 × 106/(0.93 × 9.81 × 980 × 50) = 149.9 m3/s. A velocidade espec´ıfica ´e Ω =  N Q1/2 (gH)3/4  ηmax =  163.6(π/30)149.91/2 (9.81×50)3/4  = 2.01, valor que est´a perto dos valores de Ω que caracterizam turbinas Kaplan. Do diagrama de Cordier tiramos ∆ = 2.0, donde o diˆametro ´e D =h_(gH)∆Q1/21/4

i

=h_(9.81×50)∆149.91/21/4

i

= 5.2 m, valor pr´oximo do valor do diˆametro das turbinas (D = 4.65 m).

A velocidade espec´ıfica de aspira¸c˜ao em condi¸c˜oes nominais, no inicio da cavita¸c˜ao ´ e Siη =  N Q1/2 (gHsi)3/4 

. Uma vez que para turbinas temos sempre Siη = 4, vem Hsi =

_{N Q}1/2 Siηg3/4 4/3 = _SN iη 4/3 Q2/3 1_g = 163.6π/30₄ 4/3149.92/3_9.811 = 20.0 m. Ora a altura de aspira¸c˜ao dispon´ıvel ´e Hs = Patm_ρg − es− P_ρgv e para n˜ao haver cavita¸c˜ao temos

de ter Hs > Hsi ⇔ −es> Hsi+P_ρgv−Patm_ρg = 20.0 +2.45×10

3

9.81×980+ 4.45 × 10

−5_(149.92_{) −} 101.3×103

9.81×980 = 9.72 m, ou seja es < −9.72 m i.e. a roda da turbina tem de ser

colocada num n´ıvel de pelo menos 9.72 m abaixo do n´ıvel da ´agua.

Ex.5: Come¸camos por obter o caudal que se escoa na situa¸c˜ao que n˜ao nos interessa mas para a qual temos dados, e que corresponde ao ponto de funcionamento (ponto 1) que se obt´em se se usar a bomba a N1 = 1500 rpm. A

curva da instala¸c˜ao ´e Hinst = ∆z + (600 + 2000)Q2 (m), com ∆z = 1 m. Podemos

aproximar a curva caracetristica da bomba para N1 = 1500 rpm, supondo que esta

pode ser aproximada por Hbomba≈ a − bQ2. Usando os pontos d gr´afico (Q, H) =

(0, 22) e (Q, H) = (0.10, 20) vem a = 22 e b = 200 i.e. Hbomba = 22 + 200Q2.

O ponto de funcionamento que teriamos se ligassemos a bomba `a velocidade de 1500 rpm ´e obtida atrav´es de Hbomba = Hinst ⇔ 22 + 200Q2 = 1 + 2600Q2, donde

Q0 = q22−1₂₈₀₀ = 0.087 m3_{/s. Como queremos funcionar para Q}

2 = 0.080 m3/s

temos de usar informa¸c˜ao de pontos dinˆamicamente semelhantes. Para o ponto 2 podemos calcular H2a partir da curva da instala¸c˜ao: H2 = 1+2600(0.08)2 = 17.64

m. Tomemos uma par´abola que passa pelo ponto 2 e tamb´em por outro ponto (ponto 1), sendo que o ponto 2 est´a na curva da bomba para a velocidade N2

(que n˜ao conhecemos), e o ponto 1 est´a na curva da bomba para N1 (conhecida

= 1500 rpm). Os pontos 1 e 2 s˜ao dinˆamicamente semelhantes e por isso est˜ao sobre uma par´abola H = kQ2_{. A constante pode ser obtida usando os dados}

do ponto 2: k = H2/Q22 = 17.64/0.082 = 2756.3. Podemos agora calcular as

coordenadas do ponto 1: H1 = kQ21 = Hbomba ⇔ 2756.3Q21 = 22 − 200Q21, donde

Q1 =

q

22/(2756.3 + 200) = 0.0863 m3_{/s, e H}

1 = 2756.3(0.0863)2 = 20.38 m.

Usando os dados dos pontos 1 e 2 obtemos N2 tendo em conta que estes pontos

s˜ao dinˆamicamente semelhantes: N1 = N2

_Q

2

Q1



= 1500 ×_0.08630.08  = 1391 rpm. Do gr´afico tiramos Hsi = 3 m. Para impedir cavita¸c˜ao temos de ter Hs > Hsi

⇔ Patm

ρg − Pv

ρg − es− Zs > Hsi. As perdas de carga na conduta de aspira¸c˜ao s˜ao

Zs = 600Q2 = 600 × 0.082 = 3.84 m, e uma vez que o desn´ıvel ´e es = 1 m a tens˜ao

do vapor tira-se de −pv

ρg > 3 + 1 + 3.84 −

1.013×105

1000×9.81 ⇔ Pv < 24.38 kPa. Usando as