FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

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FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS

ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

FABIO TIROLLI DE SOUSA

ESTRATÉGIA DE ARBITRAGEM ESTATÍSTICA DA

VARIÂNCIA IMPLÍCITA VERSUS REALIZADA POR

MEIO DA REPLICAÇÃO DINÂMICA DO SWAP DE

VARIÂNCIA NO MERCADO DE AÇÕES BRASILEIRO

SÃO PAULO

2016

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FABIO TIROLLI DE SOUSA

ESTRATÉGIA DE ARBITRAGEM ESTATÍSTICA DA

VARIÂNCIA IMPLÍCITA VERSUS REALIZADA POR

MEIO DA REPLICAÇÃO DINÂMICA DO SWAP DE

VARIÂNCIA NO MERCADO DE AÇÕES BRASILEIRO

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Economia.

Área de concentração: Finanças Quantitativas. Orientador:

Prof. Dr. Juan Carlos Ruilova Terán

SÃO PAULO

2016

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Tirolli de Sousa, Fabio.

Estratégia de arbitragem estatística da variância implícita versus realizada por meio da replicação dinâmica do swap de variância no mercado de ações brasileiro / Fabio Tirolli de Sousa – 2016.

72f.

Orientador: Prof. Dr. Juan Carlos Ruilova Terán.

Dissertação (MPEFQ) – Escola de Economia de São Paulo.

1. Ações (Finanças). 2. Mercado de opções. 3. Swap (Finanças). 4. Derivativos (Finanças). 5. Volatilidade (Finanças). I. Ruilova Terán, Juan Carlos. II. Dissertação (MPEFQ) – Escola de Economia de São Paulo. III. Título.

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FABIO TIROLLI DE SOUSA

ESTRATÉGIA DE ARBITRAGEM ESTATÍSTICA DA

VARIÂNCIA IMPLÍCITA VERSUS REALIZADA POR

MEIO DA REPLICAÇÃO DINÂMICA DO SWAP DE

VARIÂNCIA NO MERCADO DE AÇÕES BRASILEIRO

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Economia.

Área de concentração: Finanças Quantitativas.

Data da Aprovação: / /

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Juan Carlos Ruilova Terán

(Orientador) FGV - EESP

Prof. Dr. André Cury Maialy

FGV - EESP

Prof. Dr. Thiago Barros Martins

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Agradecimentos

Aos meus pais, por todo apoio, incentivo e por fornecerem todas as condições para que eu pudesse alcançar essa importante etapa na minha vida.

Ao Prof. Dr. André Cury Maialy pela orientação e confiança e a todos os professores do MPEFQ pelos diversos conhecimentos transmitidos durante todo o curso.

Aos meus amigos e a todos os alunos da turma MPEFQ-2014 pelo apoio e pela ajuda durante todo o curso.

Ao Luis Fernando Azevedo, pelas várias dicas e recomendações, principalmente na confecção desta dissertação.

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“The greater our knowledge increases the more our ignorance unfolds.” (John F. Kennedy)

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RESUMO

Nos últimos anos, o uso da volatilidade como uma classe de ativo tem ganhado relevância para investidores e gestores de portfólios, e a maneira mais eficaz de se obter proteção ou exposição pura a esse instrumento é através dos derivativos de volatilidade. No entanto, no Brasil, ainda não temos contratos específicos para esses derivativos, sendo uma das principais razões para isto a baixa liquidez no mercado de opções, dado que as opções são os ativos essenciais para se estabelecer um portfólio replicante.

O objetivo deste trabalho é apresentar um modelo para encontrar oportunidades de arbi-tragem estatística entre a variância implícita e a variância realizada das ações preferencias (PN) da Petrobras (PETR4).

Assim que uma oportunidade é identificada durante o período de backtesting, para imple-mentar a operação, compramos ou vendemos um contrato logarítmico (variância implícita) sob o ativo-objeto e utilizamos uma estratégia de replicação dinâmica deste contrato log para capturar a variância realizada do ativo-objeto. Veremos que essa dinâmica replica o

payoff de um swap de variância.

Os resultados obtidos durante o período de backtesting, considerando os custos de transação, demonstram que é possível gerar retornos atrativos.

Palavras-chave: Arbitragem estatística. Replicação dinâmica. Swap de variância.

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ABSTRACT

In recent years, the use of volatility as an asset class has gained relevance for investors and portfolio managers, and the most effective way to get protection or pure exposure to this asset is through the volatility derivatives. However, in Brazil, we still have no specific contracts for these derivatives, and one of the main reasons for that is the low liquidity in the options market, since the options are critical assets to establish a replicating portfolio.

The main purpose of this paper is to present a model to find out statistical arbitrage opportunities between the implied variance and the realized variance on the Petrobras preferred shares (PETR4).

As soon as an opportunity is identified during the backtesting period, to implement the deal, we buy or sell a logarithmic contract (implied variance) of the underlying asset and then we use a dynamic replication strategy of this log contract to capture the underlying asset realized variance. We will see that this dynamics replicates the payoff of a variance swap.

The results obtained during the backtesting period, considering the transaction costs, show that it is possible to generate attractive returns.

Keywords: Statistical arbitrage. Dynamic replication. Variance swap. Volatility. Vega.

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Lista de ilustrações

Figura 1 – Vega de variância de uma call e de um swap de variância. . . . 16

Figura 2 – P&L de um swap de variância. . . . 23

Figura 3 – Replicação do payoff de um contrato logarítmico. . . . 31

Figura 4 – Payoff do portfólio dado pela Equação 3.36 (curva) e do portfólio de opções ponderadas por seus respectivos pesos w() (segmentos de reta). 33

Figura 5 – Comparativo do payoff de um contrato logarítmico sintetizado e de um contrato log. . . . 39

Figura 6 – Evolução do preço de fechamento do ativo-objeto PETR4 ajustado para proventos . . . 43

Figura 7 – Volatilidade implícita e níveis superior e inferior da janela de volatilidade realizada de dois meses. . . 44

Figura 8 – Níveis de volatilidade de uma semana e respectivas ordens de compra/-venda. . . 49

Figura 9 – Níveis de volatilidade de duas semanas e respectivas ordens de compra/-venda. . . 50

Figura 10 – Níveis de volatilidade de três semanas e respectivas ordens de compra/-venda. . . 50

Figura 11 – Níveis de volatilidade de um mês e respectivas ordens de compra/venda. 50

Figura 12 – Níveis de volatilidade de dois meses e respectivas ordens de compra/venda. 51

Figura 13 – Retorno acumulado, sem considerar custos de transação, das operações de swap de variância sintetizadas e dos contratos de swap de variância equivalentes. . . 52

Figura 14 – Retorno acumulado das operações de swap de variância sintetizadas, com custos de transação e sem custos. . . 53

Figura 15 – Diferença entre os níveis superior e inferior para cada janela da volatili-dade histórica. . . 54

Figura 16 – Distribuição acumulada da diferença entre os níveis superior e inferior para cada janela da volatilidade histórica. . . 55

Figura 17 – Retorno acumulado, sem custos de transação, dos swaps de variância sintetizados e dos contratos de swap equivalentes utilizando a estratégia otimizada. . . 56

Figura 18 – Retorno acumulado das operações de swaps de variância sintetizados, com custos de transação e sem custos, utilizando a estratégia otimizada. 57

Figura 19 – Distribuição dos retornos, com os custos de transação, das operações de swap de variância utilizando a estratégia não-otimizada. . . . 58

(11)

Figura 20 – Distribuição dos retornos, com os custos de transação, das operações de swap de variância utilizando a estratégia otimizada. . . . 59

Figura 21 – Retorno acumulado segregando as operações de compra e as de venda de variância durante o período de backtesting. . . . 60

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Lista de tabelas

Tabela 1 – Correspondência entre as volatilidades implícitas nos swaps de variância e as janelas de volatilidade histórica. . . 44

Tabela 2 – Quantidade total de ordens de compra e de venda de variância implícita. 51

Tabela 3 – Valores limites para considerar uma data como "não-crise". . . 55

Tabela 4 – Quantidade total de ordens de compra e de venda de variância implícita na estratégia otimizada. . . 56

Tabela 5 – Retorno acumulado total (over CDI) de cada estratégia no período de

backtesting. . . . 58

Tabela 6 – Estatísticas dos retornos das operações de swap de variância realizadas, utilizando ambas as estratégias. . . 59

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Sumário

1 Introdução. . . 14

1.1 Motivação para o trabalho . . . 14

1.2 Objetivos do trabalho. . . 16

2 Revisão Bibliográfica . . . 18

3 Desenvolvimento do Modelo / Teoria . . . 22

3.1 Caracterização do problema . . . 22

3.2 Abordagem do problema . . . 24

3.2.1 Estratégia dinâmica auto-financiável . . . 24

3.2.1.1 Contrato Logarítmico . . . 27

3.2.2 Replicando o contrato logarítmico e precificando um swap de variância 28 3.3 Modelagem . . . 33

3.3.1 Custos de transação . . . 34

3.3.2 Replicação do contrato de swap de variância . . . 36

3.3.3 Estimando os níveis de volatilidade . . . 39

3.4 Obtenção do resultados . . . 41

4 Aplicação Prática da Metodologia . . . 42

4.1 Descrição e coleta de dados . . . 42

4.1.1 Cálculo dos níveis de volatilidade . . . 44

4.1.2 Custos de transação . . . 45

4.2 Aplicação da teoria ao caso . . . 45

5 Apresentação e Discussão dos Resultados . . . 49

5.1 Análise da estratégia de arbitragem estatística entre a variância implícita e a realizada . . . 49

5.2 Análise dos resultados e otimização da estratégia . . . 52

5.3 Análise da estratégia otimizada . . . 55

6 Conclusão . . . 61

7 Pesquisas Futuras. . . 63

Referências . . . 65

Apêndices

67

APÊNDICE A Apreçamento de um contrato logarítmico . . . 68

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APÊNDICE B Replicação de payoffs europeus generalizados . . . 69

APÊNDICE C Replicação de um contrato logarítmico . . . 70

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1 Introdução

1.1 Motivação para o trabalho

A volatilidade e a variância nada mais são do que uma medida do nível de variação do preço de um ativo durante um intervalo de tempo. Apesar do termo mais utilizado e conhecido no mercado financeiro ser a volatilidade, veremos que a volatilidade de um ativo é, na verdade, derivada de sua variância - o segundo momento da distribuição dos retornos dos ativos.

Com o passar do tempo, cada vez mais investidores estão considerando a volatilidade de um determinado ativo - definida da forma mais simples como a raiz quadrada da variância (desvio-padrão) - como uma classe de ativo. Dentre os seus principais usos podemos citar: assumir um posicionamento direcional1, diversificar o retorno dos investimentos, fazer o

hedge de riscos indesejáveis2 ou explorar ineficiências dos mercados.

Desde o início dos anos 90, gestores e investidores de países desenvolvidos têm conseguido administrar de forma mais eficiente o risco de volatilidade dos ativos de suas carteiras. Isso se deve ao fato da crescente liquidez de produtos que têm como ativo-objeto a volatidade e da criação de alguns índices de volatilidade, sendo o mais conhecido deles, o VIX.3 _{Desta maneira, o mercado de derivativos de volatidade nesses países se desenvolveu}

consideravelmente e a modelagem tem evoluído a cada dia.

Conforme observado por (LUTERMAN, 2013), apesar de não termos visto essa mesma evolução no mercado brasileiro, algumas iniciativas já foram tomadas, como a criação do índice de volatilidade FXvol4 e das operações de volatilidade da BM&F (VTC, VCA, VID, VOI e VTF). Porém, utilizando essas estratégias de volatilidade5_{, não}

conseguimos fixar a volatilidade de um determinado ativo-objeto para fazer uma aposta contra a sua volatilidade realizada, cuja estratégia é o objetivo deste trabalho.

Devido a essas limitações no mercado doméstico, umas das formas mais utilizadas para se ter exposição à volatidade é através da compra de opções no mercado financeiro,

1 _{Através de estudos macroeconômicos, por exemplo, podemos comprar volatilidade ou variância antes}

de uma possível recessão ou vender durante picos de volatilidades temporários.

2 _{A volatilidade normalmente aumenta quando o mercado está em queda (bear market), logo possuir}

uma posição comprada em volatilidade pode ajudar a proteger uma carteira de ações.

3 _{Calculado pela Chicago Board Option Exchange (CBOE) e representa a medida da volatilidade}

implícita nas opções de S&P 500 com vencimento em 30 dias.

4 _{Permite medir a incerteza da taxa de câmbio que está embutida na negociação das opções de dólar,}

que são negociadas na BM&F. Esse índice foi construído com as mesmas características dos principais índices de volatilidade disponíveis no exterior.

5 _{As operações de volatilidade da BM&F são equivalentes à compra de opções com delta-hedge, conforme}

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Capítulo 1. Introdução 15

pois as mesmas possuem um vega6 _{positivo e seria como se estivéssemos montado uma}

posição comprada em volatilidade ou, também, através de uma posição em straddles7_.

Porém, essas estratégias geram uma exposição ao ativo-objeto (o delta não é neutro) e vegas que variam de acordo com o preço do ativo-objeto, características que são indesejáveis8 para o trading da volatilidade implícita do ativo-objeto versus a realizada.

Para isso, suponha que, em t, possuímos uma opção de compra com strike K e vencimento em T , o seu valor é dado pela fórmula de Black Scholes, CBS(S, K, σ

√

τ ), onde S é o valor atual do ativo-objeto, τ é o tempo até o vencimento (T − t), σ é a volatilidade

dos retornos do ativo-objeto e σ2 é a variância. Para fins de simplicidade, vamos assumir que a taxa livre de risco é zero. Diferenciando a fórmula de Black Scholes dessa opção com relação a variância, podemos notar que existe uma dependência do vega de variância (V ) com relação ao valor do ativo-objeto. Essa dependência ocorre no termo de moneyness

da opção, log_KS, conforme podemos ver abaixo:

V = ∂CBS ∂σ2 = S√τ 2σ exp (−d21 2 ) √ 2π onde, d1 = log(S/K) + (σ2τ )/2 σ√τ

Notamos que d1 depende somente de duas combinações S/K e σ

√

τ . Portanto, V

diminui rapidamente conforme S se afasta do strike K.

Para ilustrar melhor o exposto acima, segue abaixo o perfil de vega de variância de um swap de variância9 e de uma call com K = 20.

6 _{Mede a sensibilidade do preço da opção com relação à sua volatilidade implícita, ou seja, é a derivada}

do preço da opção com relação à sua volatilidade implícita.

7 _{Um straddle é estruturado através da compra simultânea de uma call (opção de compra) e de uma} put (opção de venda) ambas com o mesmo strike. Essa posição replica uma posição comprada em

volatilidade.

8 _{Não conseguimos fixar a volatilidade de um determinado ativo para fazer uma aposta contra a sua}

volatilidade realizada.

9 _{Swap de variância é um contrato futuro sobre a variância realizada. Seu payoff é dado por (σ}2₋ Kvar) × Nvariance. Sendo que, Nvariance é o notional, σ2é a variância realizada anualizada e Kvar é o

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Figura 1 – Vega de variância de uma call e de um swap de variância.

Podemos observar que o vega de variância do swap de variância permanece constante conforme o preço do ativo-objeto oscila, enquanto o da call decai rapidamente quando o preço do ativo-objeto se afasta do strike K da opção.

Logo, para conseguirmos fixar um determinado valor da variância do ativo-objeto para estruturarmos uma aposta contra a sua variância realizada, os swaps de variância são a opção mais adequada, já que eles não apresentam a dependência mostrada acima.

1.2 Objetivos do trabalho

O objetivo principal deste trabalho é encontrar oportunidades de arbitragem es-tatística10 _{da variância implícita versus a variância realizada das ações preferenciais da}

Petrobras (PETR4), utilizando uma estratégia de replicação dinâmica, que definiremos nas próximas seções, de um contrato logarítmico sob o ativo-objeto escolhido. Veremos que essa dinâmica replica o payoff de um contrato de swap de variância, ou seja, quando identificarmos uma oportunidade de arbitragem estatística, na realidade, estaremos ven-dendo ou comprando a variância implícita do ativo-objeto através de um contrato de swap de variância.

Conforme já comentamos na seção anterior, no mercado brasileiro não existe um contrato de swap de variância. Portanto, temos que replicá-lo utilizando os produtos financeiros disponíveis no mercado. Considerando que o apreçamento e a replicação de um derivativo de volatilidade demanda maior liquidez no mercado de opções, a escolha do ativo PETR4 se apresentou como uma das melhores alternativas para esse estudo.

10 _{O termo arbitragem estatística reune uma variedade de estratégias de investimentos, as quais possuem}

como principais características, o uso de ferramentas estatísticas para gerar excessos de retorno e os sinais para se iniciar uma operação são baseados em regras pré-definidas, ao invés de fundamentos. Nessas estratégias o retorno não é garantido, mas é estatisticamente provável que tenhamos lucro.

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Espera-se que o maior desafio para a replicação de um contrato de swap de variância sob as ações da Petrobras esteja relacionado com a baixa liquidez do mercado brasileiro de opções. Devido à esse motivo, optamos por operações de curto prazo com vencimento de no máximo 35 dias úteis.

Seguimos uma estratégia de arbitragem estatística da variância baseada em níveis superior e inferior da volatilidade histórica (cones de volatilidade) e na volatilidade implícita do ativo-objeto no momento em que estruturamos a operação.

Baseado nessa estratégia e utilizando os contratos de swap sintetizados, realizamos um backtesting nos últimos oito anos, comprando ou vendendo a variância implícita e considerando os custos de transação envolvidos em cada operação.

A principal forma de avaliar o resultado será através do retorno acumulado de todas as operações durante o período do backtesting. Espera-se que a estratégia adotada gere retornos positivos, mas, dado as características do mercado, esses resultados devem ser voláteis. Portanto, iremos considerar na análise do resultado as estatísticas descritivas da distribuição dos retornos das operações.

Iremos avaliar a consistência da replicação dos contratos de swap, comparando o retorno acumulado final com o retorno gerado pelo contrato de swap de variância equivalente e também analisaremos o impacto dos custos de transação no retorno total da estratégia utilizada.

Por fim, vamos separar as operações de compra e de venda de variância realizadas no período de backtesting e analisar separadamente o retorno acumulado das compras e das vendas. Espera-se que as operações de venda gerem ganhos frequentes, mas, ocasionalmente, pode acontecer alguma perda muito grande.

Com o intuito de facilitar o entendimento do trabalho e a leitura, este estudo está divido em sete capítulos, incluindo este introdutório. O segundo capítulo apresenta uma breve exposição da teoria e conceitos básicos envolvidos, além de fazer uma extensa revisão da bibliografia sobre o assunto, situando o presente trabalho na literatura existente até o momento. O próximo capítulo discute todo o arcabouço teórico, definindo a metodologia utilizada para resolver o problema e a forma como os resultados serão avaliados. No capítulo quatro, aplicamos todo o framework teórico apresentado no capítulo anterior à um caso prático, detalhando os parâmetros utilizados no modelo, a base de dados e as premissas assumidas. O capítulo cinco contém os resultados das simulações e a discussão dos seus resultados. No sexto capítulo, provemos a conclusão do estudo proposto, listando resumidamente o que foi feito e as implicações dos resultados obtidos. E no último capítulo são detalhadas futuras implicações do trabalho desenvolvido.

(19)

18

2 Revisão Bibliográfica

Muitos estudos e pesquisas têm sido direcionados em uma maneira de prever a volatilidade de diferentes variáveis macroecômicas, por exemplo, índices de ações, taxas de juros e de câmbio. Porém, dado que temos um view para investir em volatilidade e queremos fazer uma aposta pura nesta classe de ativos, notamos que, comparativamente, poucos estudos têm sido realizado nesta área. Segundo (CARR; MADAN,2002), essa ausência de estudos, provavelmente, se devia à crença de que a volatilidade era complicada de se operar. Porém, nos últimos dez anos, os estudos nesta área cresceram consideravelmente.

Entre as formas mais utilizadas e simples para assumir uma posição em volatilidade, podemos citar um straddle ou uma compra/venda de opções com um delta-hedging dinâmico. Essas duas formas sofrem a influência do nível do ativo-objeto e, consequentemente, nossa exposição à volatilidade irá depender desse nível. Logo, não conseguimos fixar um determinado valor da volatilidade do ativo-objeto para fazermos uma aposta contra a sua volatilidade realizada.

Devido a essas limitações, os swaps de variância surgiram como uma das maneiras mais utilizadas pelos portfolio managers para operar a variância, ou seja, um produto que paga a diferença entre a variância realizada durante um periodo T e um strike pré-definido (variância implícita). Com esse instrumento, o vega se mantém constante com a variação

do valor do ativo-objeto.

Segundo (GATHERAL; LYNCH, 2002), os swaps de volatilidade surgiram com a crise envolvendo o fundo LTCM (Long-Term Capital Management) no final de 1998. Esse início se deu, provavelmente, pela disparada da volatilidade implícita gerada por essa crise quando comparada com níveis históricos nunca antes observados. Então os hedge-funds observaram uma oportunidade de trading direcional de volatilidade, vendendo a variância implícita através de swaps de variância.

Conforme observado por (GANGAHAR,2006) em uma matéria do Finantial Times publicada em 2006, a volatilidade tem se tornado uma classe de ativos em seu próprio direito. Uma variedade de produtos derivativos estruturados, particularmente os swaps de variância, são a maneira preferida de muitos hedge-funds e mesas proprietárias para fazerem apostas em volatilidade.

Sob a perspectiva de um market-marker1_{, o swap de variância precisa ser sintetizado}

com ativos disponíveis no mercado financeiro e um dos primeiros trabalhos nesta direção foi o de (NEUBERGER,1994), onde ele demostra que o payoff de um contrato logarítmico

1 _{É uma empresa ou um indivíduo que estão prontos para comprar ou vender um determinado ativo de}

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Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 19

delta-hedged depende somente da diferença entre a volatilidade realizada e a volatilidade

implícita do ativo-objeto no início da operação.

Mas ainda tinhamos um problema, pois não existe um contrato com payoff logarít-mico no mercado financeiro. Isso foi tratado de maneira pioneira por (DEMETERFI et al.,

1999), por meio da construção de um portfólio replicante com posições estáticas em opções e em um contrato forward sob o ativo-base. A partir deste momento, poderiámos precificar um contrato de swap de variância, inclusive na presença de um skew de volatilidade. Primeiramente, os autores explicam como uma opção exótica (contrato log) sob uma ação pode ser replicado por um portfólio de opções plain-vanilla de ações com diferentes strikes e o custo dessas opções seria o preço do swap de variância. Logo em seguida, demonstram que o delta-hedging dinâmico de um contrato log gera um instrumento com uma exposição constante à variância realizada do ativo-objeto. As fórmulas para a construção do portfólio replicante com opções também são apresentadas, especialmente para o caso prático onde há um número finito de strikes disponíveis. Também dedicam uma seção detalhando os impactos para casos práticos onde temos um número limitado de strikes e quando ocorre um jump no preço do ativo-objeto.

Ainda relacionado ao apreçamento de derivativos de volatilidade, podemos citar alguns trabalhos de qualidade, por exemplo, (CARR; MADAN, 2002) comparam três abordagens diferentes (uma posição estática em opções, uma estratégia dinâmica somente em futuros e uma combinação das duas primeiras) para se operar a volatilidade. Chegam a conclusão que a última é a que gera exposição somente à volatilidade do ativo-base. Também precificam uma opção calendar spread somente assumindo a continuidade nos preços do ativo-base. Essa opção gera exposição à volatilidade entre dois vencimentos. Em (CARR; LEE, 2008), foram precificados diferentes payoffs de variância realizada sob a hipótese de que a volatilidade do ativo-objeto fosse independente e, caso essa hipótese fosse relaxada, os modelos ainda seriam válidos, em primeira ordem, quando a correlação fosse diferente de zero.

Com a contribuição desses autores, o mercado de derivativos de volatilidade tem evoluído consideravelmente, principalmente com a criação dos índices de volatilidade e derivativos sob os mesmos. O principal índice de volatilidade, o VIX, é um indicador da volatilidade do índice S&P 500 para os próximos 30 dias. Ele é calculado pela Chicago

Board Option Exchange (CBOE) como uma média ponderada das volatilidades implícitas

nas opções de S&P 500 com vencimento em 30 dias.

Em (ALLEN; EINCHCOMB; GRANGER, 2006), os autores abordam de forma mais profunda os swaps de variância, descrevendo o mercado, mecanismos, precificação e usos. É dada uma maior ênfase nas propriedades de um swap de variância, na descrição desse mercado nos Estados Unidos e na Europa e quais são as diversas estratégias de

(21)

sob um ponto de vista mais prático.

Toda essa evolução no mercado offshore de derivativos de volatilidade não tem acontecido no mercado brasileiro. Uma das iniciativas, segundo (LUTERMAN, 2013), foram as operações de volatilidade da BM&F (VTC, VCA, VID, VOI, VTF) e a criação do índice FXvol. Conforme já explicado na seção anterior, eles ainda não apresentam eficácia na proteção à volatilidade, pois não conseguimos fixar a volatilidade de um determinado ativo-objeto para fazer o hedge contra a sua volatilidade realizada.

Um dos primeiros trabalhos sobre swaps de variância para o mercado brasileiro foi o de (KAPOTAS; SCHIRMER; MANTEIGA, 2003), onde eles apresentam o valor justo de um swap de variância como sendo o valor esperado da variância realizada a termo (variância implícita) de um ativo do IBOVESPA. Neste trabalho, os autores não fazem nenhum teste para a comprovação de que a variância esperada poderia ser um preditor e/ou um termômetro de risco e nem abordam os efeitos da falta de liquidez nos ativos utilizados para a replicação e hedge dos swaps de variância.

Outra referência sobre o mercado brasileiro é o trabalho de (DARIO, 2006), onde ele calibra um modelo de Heston para o mercado de opções de dólar negociadas na BM&F e obtém os parâmetros para a precificação dos swaps de volatilidade e de variância.

O trabalho de (JUNIOR; LAURINI, 2010) utiliza o modelo de (DEMETERFI et al.,1999) para testar sob quais circunstâncias as opções plain-vanilla europeias de câmbio, disponíveis na BM&F, poderiam formar aproximadamente um portfólio replicante para um swap de variância. Os autores dão uma maior ênfase em mostrar a viabilidade de hedge para esses swaps quando há apenas liquidez em alguns strikes das opções utilizadas para compor o portfólio replicante.

Um dos últimos trabalhos desenvolvidos neste área para o mercado brasileiro foi o de (LUTERMAN, 2013), onde ele apresenta um modelo para se apreçar e replicar swaps de volatilidade sob a taxa de câmbio BRL/USD. Ele apresenta vários modelos para medir a volatilidade realizada, utiliza diferentes taxas de referência do preço do ativo-objeto e dois modelos para a replicação do swap de volatilidade. São feitas várias combinações entre esses métodos e um backtesting utilizando cada uma delas. A melhor combinação é selecionada, ou seja, a que possui maior aderência a um swap de volatilidade seguindo as métricas adotas no trabalho para a avaliação dos resultados.

Podemos notar que o principal foco dos trabalhos desenvolvidos para o mercado brasileiro é a precificação e replicação dos swaps de volatilidade e variância para a taxa de câmbio BRL/USD, verificando a viabilidade principalmente devido à falta de liquidez nos ativos necessários para a sintetização do contrato no mercado local. Em nenhum desses trabalhos são considerados custos de transação para tal replicação e também não são avaliadas estratégias de trading de variância ou volatilidade.

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O trabalho aqui proposto pretende preencher essa lacuna, pois o grande objetivo é avaliar uma estratégia de arbitragem estatística da variância implícita versus a realizada de uma ação do IBOVESPA considerando os custos de transação e, por consequencia, também surge a necessidade de fazermos a precificação e replicação dos contratos de swap de variância e verificar a sua viabilidade devido a falta de liquidez dos ativos necessários para tal replicação.

Esse estudo pode ser entendido como uma junção dos trabalhos desenvolvidos até o momento para o mercado brasileiro, que abordam o assunto de forma mais técnica e do trabalho de (ALLEN; EINCHCOMB; GRANGER,2006), que aborda o assunto sob um ponto de vista mais prático, porém somente para os mercados europeu e americano.

Em suma, a grande contribuição deste trabalho está no fato de estruturarmos uma estratégia de trading utilizando a replicação dinâmica do swap de variância de um ativo do mercado de ações brasileiro, com o objetivo de encontrarmos oportunidades de arbitragem estatística entre a variância implícita e a realizada deste ativo e lucrar com essas operações.

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22

3 Desenvolvimento do Modelo / Teoria

O objetivo deste capítulo é apresentar com maiores detalhes a metodologia descrita sucintamente no capítulo 1. Para isso, o capítulo está divido em quatro partes. A primeira contém a descrição do problema a ser resolvido, logo em seguida, apresentaremos as teorias e modelos utilizados para resolver o problema. Na terceira parte, mostraremos como o problema será resolvido utilizando a metodologia definida anteriormente e, finalmente, especificaremos como os resultados serão avaliados.

3.1 Caracterização do problema

Conforme mencionado no capítulo1, um swap de variância é um contrato futuro sobre a variância realizada, ou seja, o quadrado da volatilidade realizada. Seu payoff é dado por:

payof f = (σ2− Kvar) × Nvariance (3.1)

onde, Nvariance é o notional, σ2 é a variância realizada anualizada e Kvar é o strike

do swap, que será definido nas próximas seções.

A variância realizada, σ2_{, é definida por uma medida RMS (root-mean-square), que}

consiste em um cálculo parecido com o do desvio padrão, mas assumindo o valor zero para a média dos retornos. Podemos considerar a média dos retornos como sendo zero, pois ela é muito pequena e, consequentemente, estatisticamente insignificante, como são os casos de muitos ativos financeiros.

A variância realizada é dada por:

σ2 = 252 n × n X i=1 log Si Si−1 !2 × 10.000 (3.2)

onde, Si é o preço de fechamento do ativo-objeto na data i, Si−1 é o preço de

fechamento do ativo-objeto na data i − 1, n é o número de observações e log é o logarítmo natural.

Por convenção, a volatilidade é multiplicada por um fator de 100. Por exemplo, um strike de 20 representa uma volatilidade de 20%.

Como podemos notar, os swaps de variância são instrumentos que oferecem aos investidores uma exposição direta e pura à variância de um ativo-objeto, por exemplo, de uma ação ou de um índice. Eles são contratos de swap onde as partes concordam em

(24)

Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 23

trocar uma variância pré-determinada (Kvar) por uma variância realizada (σ2) durante

um período de tempo especificado (Figura 2).

Figura 2 – P&L de um swap de variância. Fonte: (ALLEN; EINCHCOMB; GRANGER, 2006)

O resultado de cada operação, no vencimento, também pode ser calculado da seguinte maneira: P &L = σ 2_{− K} var 2√Kvar ! × Nvega = (σ2− K2) × Nvariance (3.3)

onde, Nvariance representa o variance-notional e, segundo (ALLEN; EINCHCOMB;

GRANGER, 2006), é dado por:

Nvariance =

Nvega

2√Kvar

O notional de um swap de variância pode ser expresso como um variance-notional ou um vega-notional. O variance-notional é, de certa forma, o notional "verdadeiro", pois representa o P &L para cada ponto de diferença entre a variância pré-determinada (Kvar)

e a variância realizada. Porém, como a variância não é uma quantidade intuitiva para os investidores, muitos preferem pensar em termos de volatilidade. Logo, o notional é normalmente expresso em vega-notional. O vega-notional representa o ganho ou perda média para uma mudança de 1% (1 vega) na volatilidade, fornecendo, desta maneira, um maior significado econômico da exposição do swap de variância à volatilidade.

Para a implementação da estratégia de arbitragem estatística, na replicação dinâ-mica, os swaps de variância vão ter como ativo-objeto as ações preferenciais da Petrobras (PETR4) e terão um vencimento de no máximo 35 dias úteis. O valor de Kvar será a

variância implícita1 _{do ativo-objeto no início da operação, ou seja, é o valor esperado da}

variância futura que será realizada no decorrer da operação.

1 _{Nas próximas seções veremos que essa variância implícita pode ser interpretada como uma média}

(25)

3.2 Abordagem do problema

Conforme descrito nas seções anteriores, o objetivo principal deste trabalho será encontrar oportunidades de arbitragem estatística entre a variância implícita e a realizada do ativo-objeto PETR4.

Como não existe no mercado brasileiro um contrato que ofereça exposição única e exclusivamente à variância, teremos que replicar este derivativo utilizando uma estratégia dinâmica auto-finaciável com os produtos disponíveis no mercado local.

3.2.1 Estratégia dinâmica auto-financiável

A derivação da estratégia dinâmica auto-financiável apresentada abaixo é baseada em (CARR, 2005).

Segundo o autor, primeiramente vamos assumir que todas as premissas do modelo de Black Scholes permanecem verdadeiras, exceto a de que a volatilidade é conhecida. Vamos assumir também que não há jumps na evolução dos preços do ativo-objeto, que não há arbitragem e que existe uma taxa livre de risco constante r ≥ 0 e uma dividend

yield constante q ≥ 0 durante um período [0, T ]. Suponha que a evolução do preço do

ativo-objeto {St, t ∈ [0, T ]} é continua e dada por:

dSt

St

= µtdt + σtdWt (3.4)

Para qualquer constante σ, vamos supor que V (S, t, σ) é a única função C2,1 _que

resolve a equação diferencial parcial de Black Scholes:

∂ ∂tV (S, t, σ) + 1 2σ 2_S2 ∂ 2 ∂S2V (S, t, σ) + (r − q)S ∂ ∂SV (S, t, σ) − rV (S, t, σ) = 0 (3.5)

sujeita à condição final:

lim

t→TV (S, t, σ) = f (S) (3.6)

onde, f () deve ser uma função contínua, mas não necessariamente diferenciável em todos os pontos.

Vamos supor que em t = 0, vendemos um derivativo de estilo europeu com payoff

f (ST) e, cujo preço de mercado V (S0, 0, σi) é dado pelo modelo de Black Scholes, onde σi

(26)

e σh a volatilidade assumida no momento em que é feito o delta-hedge do derivativo. O

valor em caixa em t ∈ [0, T ] é dado por, βt. Vamos definir o portfólio Πt, como sendo:

Πt = −Vt+ ∆tSt+ ϕtBt

sendo que,

∆t= Nt=

∂

∂SV (St, t, σh) (3.7)

Para fazer o delta-hedge referente à venda do derivativo, inicialmente compramos

N0 ações do ativo-objeto pelo preço S0. O valor em caixa em t = 0 é então dado pela

diferença entre o cash recebido com a venda do derivativo e do custo de comprar as ações.

Π0 = 0 =⇒ β0 = ϕ0B0

| {z }

valor em caixa inicial

= −∆0S0+ V (S0, 0, σi) (3.8) β0 = − ∂ ∂SV (S0, 0, σh)S0 + V (S0, 0, σi) = " − ∂ ∂SV (S0, 0, σh)S0+ V (S0, 0, σh) # + [V (S0, 0, σi) − V (S0, 0, σh)] (3.9)

A partir deste momento, vamos seguir uma estratégia onde todas as compras de ações do ativo-objeto são financiadas tomando dinheiro emprestado ou com o dinheiro disponível em caixa e todas as vendas diminuem esse montante emprestado ou aumentam o valor em caixa. O valor em caixa em t, definido como βt, é corrigido pelo custo de

carregamento, ou seja, irá crescer à taxa livre de risco r durante a operação. Além disso, a posição em ações paga dividendos, que aumenta o valor em caixa. Logo para cada t, a variação do valor em caixa, é dado por:

dβt= −dNt(St+ dSt)

| {z }

custo de comprar ações

+ rβtdt | {z } juros + NtqStdt | {z } dividendos

O primeiro termo pode ser representado como a variação responsável por ganhos de capital sobre a posição inicial de ações menos a varição no valor da posição de ações:

dβt = NtdSt

| {z }

ganhos de capital na posição inicial de ações

− d(NtSt) | {z } variação no valor da posição em ações + rβtdt | {z } juros + NtqStdt | {z } dividendos (3.10)

Relembrando que, a quantidade de ações que possuímos (Nt) é a calculada pelo

(27)

Pelo Lemma de Itô, temos que:

dV (St, t, σh) = " ∂ ∂tV (St, t, σh) + 1 2σ 2 tS 2 t ∂2 ∂S2V (St, t, σh) # dt + ∂ ∂SV (St, t, σh)dSt (3.11)

subtraindo a Equação3.5 (usando σ = σh) da Equação 3.11, obtemos:

dV (St, t, σh) = (σt2− σ2h) S_t2 2 ∂2 ∂S2V (St, t, σh)dt + r " V (St, t, σh) − St ∂ ∂SV (St, t, σh) # dt + qSt ∂ ∂SV (St, t, σh)dt + ∂ ∂SV (St, t, σh)dSt (3.12)

Resolvendo para os últimos dois termos da Equação 3.12 e substituindo esse resultado e o da Equação 3.7 na Equação 3.10, temos:

dβt= −d " St ∂ ∂SV (St, t, σh) # + rβtdt + dV (St, t, σh) −(σ2 t − σ 2 h) S2 t 2 ∂2 ∂S2V (St, t, σh)dt − r " V (St, t, σh) − St ∂ ∂SV (St, t, σh) # dt

A solução dessa equação é dada por:

βτ = " β0+ S0 ∂ ∂SV (S0, 0, σh) − V (S0, 0, σh) # erτ − Sτ ∂ ∂SV (Sτ, τ, σh) + V (Sτ, τ, σh) − Z τ 0 er(τ −t)(σ_t2− σ2 h) S_t2 2 ∂2 ∂S2V (St, t, σh)dt

Substituindo o valor em caixa inicial dado pela Equação3.9e utilizando o resultado das Equações 3.6 e 3.7, temos que no vencimento t = T , o valor em caixa é dado por:

βT = " β0+ S0 ∂ ∂SV (S0, 0, σh) − V (S0, 0, σh) # erT − f0(ST) + f (ST) − Z T 0 er(T −t)(σ2_t − σ_h2)S 2 t 2 ∂2 ∂S2V (St, t, σh)dt (3.13)

onde, f0(ST) deve ser uma função generalizada. As Equações 3.6 e 3.7 também

indicam que a quantidade final de ações no portfólio é:

NT =

∂

∂SV (ST, T, σh) = f

0

(28)

sendo que o valor de cada ação é ST. Então, o P&L final é dado por:

(P &L)T = NTST + βT − f (ST) (3.14) (P &L)T = [V (S0, 0, σi) − V (S0, 0, σh)]erT + Z T 0 er(T −t)(σ_h2− σ2 t) S2 t 2 ∂2 ∂S2V (St, t, σh)dt (3.15) 3.2.1.1 Contrato Logarítmico

Ainda segundo (CARR,2005), se o derivativo que vendemos na estratégia dinâmica auto-finaciável descrita acima, possuir um payoff dado por:

VT = V (T, ST) = 2 log(ST)

o valor em t do derivativo, é dado por:

Vt= e−r(T −t) " 2 log(St) + 2 r − q − 1 2σ 2 h ! (T − t) # (3.16) Para maiores detalhes sobre a dedução da Equação3.16, ver o ApêndiceA. O delta é dado por:

∆ = ∂ ∂St V (St, t, σh) = e−r(T −t) 2 St (3.17) e o gamma, Γ = ∂ 2 ∂S2 t V (St, t, σh) = −e−r(T −t) 2 S2 t (3.18) Substituindo as Equações3.16 e 3.18 na Equação 3.15, temos:

(P &L)T = (σh2− σ 2 i)(T − t) + Z T 0 (σ_t2− σ2 h)dt = Z T 0 σ2_tdt − σ_i2(T − t) (3.19) E, coincidentemente, o P&L final corresponde ao payoff de um swap de variância, onde a volatilidade implícita (fixa) é dado por σi:

(P &L)T =

Z T

0

(29)

3.2.2 Replicando o contrato logarítmico e precificando um swap de variância

Conforme vimos na seção anterior, para sintetizarmos um swap de variância preci-samos negociar um contrato logarítmico. Como este contrato não existe no mercado local, teremos que replicá-lo.

Para a replicação deste contrato, assumiremos que o leitor já está familiarizado com o modelo de (BLACK; SCHOLES, 1973), mantendo como premissa somente o pressuposto da evolução contínua do ativo-objeto, ou seja, sem jumps. Portanto, vamos assumir que a evolução do preço da ação é dada por:

dSt

St

= µ(t, . . . )dt + σ(t, . . . )dZt (3.21)

Consideramos que o drift µ e a volatilidade σ são funções arbitrárias do tempo e de outros parâmetros e que Z é um processo de Wiener.

A definição teórica da variância realizada de uma série de preços históricos é uma integral contínua, dada por:

V = 1 T

Z T

0

σ2(t, . . . )dt (3.22)

Na maioria dos contratos de swaps de variância são utilizados retornos diários, ou seja, o cálculo da variância é em tempo discreto.

O valor de um contrato forward F sobre a variância futura realizada com strike K é dado, em um mundo neutro ao risco, pelo valor presente esperado do payoff do contrato no vencimento:

F = E[e−rT(V − K)] (3.23) onde, r é a taxa de desconto livre de risco esperada em T e E[ ] é a esperança. Portanto, o valor justo da variância futura realizada é o strike, Kvar, para o qual o

contrato tenha valor presente zero:

Kvar = E[V ] (3.24)

Se a volatilidade futura na Equação 3.21 fosse conhecida, então uma forma de calcular o valor justo da variância seria:

V = 1 TE " Z T 0 σ2(t, . . . )dt # (3.25) Porém, ninguém sabe com certeza qual será o valor da volatilidade futura.

(30)

Para replicarmos esse contrato, vamos imaginar uma posição que no próximo instante de tempo gera um payoff proporcional ao incremento da variância do ativo-objeto durante esse período.

Aplicando o lema de Itô em log(St), temos:

d(log St) = µ − 1 2σ 2 dt + σdZt (3.26)

Subtraindo a Equação 3.26 da Equação3.21, obtemos:

dSt St − d(log St) = 1 2σ 2_dt _(3.27)

Integrando a Equação 3.27 para todos os instantes entre 0 e T , temos que a taxa média da variância realizada é dada por:

V ≡ 1 T Z T 0 σ2dt = 2 T " Z T 0 dSt St − log ST S0 # (3.28) Assim, temos que o portfólio que replica a variância é composto por duas posi-ções ponderadas por 2/T . A primeira pode ser interpretada como o resultado de um rebalanceamento contínuo de uma posição em um determinado ativo-objeto, sendo que sempre estaremos comprado em 1/St ativos-objeto de valor equivalente a uma unidade

monetária. A segunda posição representa uma posição estática vendida em um contrato que, no vencimento, paga o logarítmo do retorno total do ativo-objeto. Seguindo essa estrátegia de rebalanceamento contínuo, conseguimos capturar a variância realizada do preço do ativo-objeto do início da operação até o vencimento T .

A Equação 3.28garante que a variância pode ser capturada independentemente do caminho que o preço do ativo-objeto seguir, contanto que seja contínuo.

Ao invés de calcularmos a variância dada pela Equação 3.25, vamos utilizar a Equação 3.28 para obter o valor esperado da variância futura em mundo neutro ao risco, ou seja, vamos calcular diretamente o custo de replicação do swap.

Kvar = 2 TE " Z T 0 dSt St − logST S0 # (3.29) O valor esperado do primeiro termo da Equação 3.29é o custo de rebalanceamento. Em um mundo neutro ao risco, com uma taxa livre de risco r e uma dividend yield q, a evolução do preço do ativo-objeto é dada por:

dSt

St

(31)

logo, o valor, em um mundo neutro ao risco, do termo de rebalanceamento da Equação 3.29 é: E " Z T 0 dSt St # = (r − q)T (3.31)

Como o contrato logarítmico não existe no mercado, este precisa ser sintetizado. A metodologia de replicação deste contrato apresentada a seguir é a utilizada por ( DEME-TERFI et al., 1999).

O payoff logarítmico pode ser replicado, em todos os níveis de preço do ativo-objeto no vencimento, através de sua decomposição em um termo linear e outros não lineares. O termo linear pode ser sintetizado por um contrato forward sobre o ativo-objeto com vencimento em T , e os outros termos de ordem quadrática ou superior podem ser replicados com opções plain-vanilla sob o ativo-objeto utilizando todos os strikes disponíveis para o mesmo vencimento T .

Conforme demonstrado no apêndice B, qualquer payoff que possa ser diferenciado duas vezes pode ser replicado estaticamente por um portfólio de opções europeias, sendo a quantidade de cada opção equivalente a segunda derivada do payoff desejado calculada no valor referente ao strike da opção correspondente.

Por questões de liquidez, vamos replicar o log payoff com opções líquidas, ou seja, com uma combinação de calls e puts fora do dinheiro. Para isso, criamos um novo parâmetro S∗2 para definir a fronteira entre calls e puts.

O payoff logarítmico pode se reescrito da seguinte maneira:

log ST S0 = logST S∗ + logS∗ S0 (3.32) O segundo termo log(S∗/S0) é constante, independente do valor final ST do

ativo-objeto. Portanto, o primeiro termo é o único que necessita ser sintetizado.

A identidade matemática a seguir, que é verdadeira para todos os valores futuros de ST, expõe a decomposição do payoff logarítmico da seguinte maneira:

2 _S

∗ é um valor do ativo-objeto e é definido como sendo o melhor strike disponível. Segundo (HULL,

2008), esse valor tende a ser o strike com valor igual ou imediatamente inferior ao futuro do ativo-objeto com mesmo vencimento do contrato de swap.

(32)

Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 31 − logST S∗ = −ST − S∗ S∗ (contrato futuro) + Z S∗ 0 1

K2 max(K − ST, 0)dK (opções de venda) (3.33)

+

Z ∞

S∗

1

K2 max(ST − K, 0)dK (opções de compra)

No apêndiceC, há maiores detalhes da derivação da equação acima.

A Equação 3.33 demonstra que para a replicação de um posição vendida em um contrato logarítmico, são necessárias as seguintes posições:

• uma posição vendida em (1/S∗) contratos futuros de preço S∗;

• uma posição comprada em (1/K2_{) opções de venda com strike K, para cada strike}

K entre 0 e S∗;

• uma posição comprada em (1/K2_{) opções de compra com strike K, para cada strike}

K entre S∗ e ∞.

Todos os contratos possuem o mesmo vencimento em T .

O gráfico a seguir ilustra a replicação do payoff de um contrato log para S∗ = 24,

conforme a metodologia descrita acima.

Figura 3 – Replicação do payoff de um contrato logarítmico.

Podemos notar que a replicação do payoff do contrato log, representado no gráfico pela linha "Log sintetizado", replica com exatidão o contrato original.

O autor também demonstra que o valor justo da variância futura realizada pode ser relacionada com o valor esperado no mundo neutro ao risco de cada termo da Equação

(33)

Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 32 Kvar = 2 T (r − q)T − S0 S∗ e(r−q)T − 1 ! − logS∗ S0 + erT Z S∗ 0 1 K2P (K)dK (3.34) + erT Z ∞ S∗ 1 K2C(K)dK !

onde, P (K) e C(K) são os preços das calls e puts com strike K e vencimento T . Se utilizarmos os preços de mercado dessas opções, obtemos uma estimativa do preço de mercado atual da variância futura.

A Equação 3.34fornece uma relação direta entre o custo das opções e a estratégia para capturar a variância futura realizada, mesmo quando há um skew de volatilidade, onde a fórmula de Black Scholes não é válida.

Se fosse possível comprar as opções em todos os strikes entre zero e infinito, o valor justo da variância seria dado pelo Equação 3.34, mas na prática isso não é possível. Somente alguns strikes possuem liquidez e, segundo (DEMETERFI et al.,1999), utilizando essa equação com apenas alguns strikes conduz a erros consideráveis.

Para resolver esse problema, vamos começar pela definição da variância justa dada pela Equação 3.29, que pode ser reescrita como:

Kvar ≡ 2 TE " Z T 0 dSt St −ST − S∗ S∗ − logS∗ S0 +ST − S∗ S∗ − log ST S∗ #

Substituindo os respectivos valores esperados de cada termo da equação acima, temos: Kvar = 2 T " (r − q)T − S0 S∗ e(r−q)T − 1 ! − log S∗ S0 # + erTΠCP (3.35)

onde ΠCP é o valor presente do portfólio de opções, cujo payoff no vencimento é

dado por: f (ST) = 2 T ST − S∗ S∗ − logST S∗ ! (3.36) O autor então sugere uma aproximação para replicar o portfólio de opções ΠCP,

que consiste em ajustar a quantidade alocada em cada opção de 1/K2 _{por pesos w(K}

i).

Com esse ajuste, o valor presente desse portfólio é dado por:

ΠCP ∼= X i w(Kip)P (S, Kip) + X i w(Kic)C(S, Kic) (3.37)

(34)

onde, Kip são os strikes de valor igual ou inferior a S∗ das puts do portfólio ΠCP,

Kic são os strikes de valor igual ou superior a S∗ das calls do mesmo portfólio e w() é a

quantidade alocada em cada opção desse portfólio.

As quantidades w() representam a inclinação de uma reta entre o payoff do portfólio

f () com relação a cada strike, conforme podemos ver nas equações abaixo e na Figura 4:

wc(K0) = f (K1c) − f (K0) K1c− K0 (3.38) wp(K0) = f (K1p) − f (K0) K0− K1p (3.39) wc(Kn, c) = f (Kn+1, c) − f (Kn, c) Kn+1, c− Kn, c − n−1 X i = 0 wc(Ki, c) (3.40) wp(Km, p) = f (Km+1, p) − f (Km, p) Km, p− Km+1, p − m−1 X i = 0 wp(Ki, p) (3.41)

sendo que, wc(Kn, c) representa a quantidade alocada em uma call, para todo n no

intervalo 0 > n ≥ N , onde N é o número total de calls utilizadas. E wp(Km, p) representa

a quantidade alocada em uma put, para todo m no intervalo 0 > m ≥ M , onde M é o número total de puts utilizadas.

Figura 4 – Payoff do portfólio dado pela Equação 3.36 (curva) e do portfólio de opções ponderadas por seus respectivos pesos w() (segmentos de reta).

Fonte: (DEMETERFI et al., 1999)

3.3 Modelagem

O problema a ser resolvido é replicar o swap de variância para explorarmos as oportunidades de arbitragem estatística que surgirem no decorrer do período de backtesting.

(35)

O payoff desse swap de variância é dado por:

P &L = (σ2− Kvar) × Nvariance (3.42)

Para isso, utilizaremos as ferramentas apresentadas nas seções anteriores, ou seja, replicaremos um derivativo que paga o logarítmo de um ativo-objeto utilizando a metodologia proposta por (DEMETERFI et al., 1999) e aplicaremos a estratégia dinâmica auto-financiável (comprando ou vendendo esse derivativo) para finalmente replicarmos o

payoff de um swap de variância dado pela Equação 3.42.

3.3.1 Custos de transação

Antes de iniciarmos a modelagem para sintetizar um contrato de swap de variância, temos que definir quais são os custos de transação envolvidos nesse processo. Eles são incorporados na modelagem da seguinte maneira:

• O custo de corretagem é uma taxa fixa cobrada por cada ordem de compra ou venda de um determinado ativo;

• Emolumentos, taxa de liquidação CBLC e taxa registro (somente para opções) são cobradas sobre o valor presente de cada ativo negociado;

• A taxa de aluguel do ativo-objeto é cobrada sobre o valor atual desses ativos, mas somente quando temos uma posição vendida no ativo-objeto. Na prática, a cobrança ocorre quando desfazemos a posição vendida no ativo, mas para simplificar os cálculos e a implementação, a cobrança ocorrerá todo final de dia e será referente ao intervalo

dt. Portanto, o custo de aluguel em t, sendo 0 < t < T , é dado por:

CustoAluguelt= ∆t St e−adt (3.43)

onde, a é a taxa de aluguel expressa ao ano e dt é dado por:

dt = T

N (3.44)

sendo que, N é o número de rebalanceamentos e T é a quantidade de anos da operação.

Quando identificamos uma oportunidade de compra ou venda de variância, deve-mos efetuar o delta-hedge da exposição ao ativo-objeto gerada pelo contrato logarítmico sintetizado, e esse hegde deve ser calibrado constantemente (neste modelo, é calibrado todo final de dia), capturando, desta maneira, a variância realizada do ativo-objeto e

(36)

mantendo a exposição ao variance-vega constante. O problema é que ao compramos ou vendermos uma delta quantidade do ativo-objeto para ajustarmos o delta-hedge da opera-ção, incorremos em custos de transação. Por exemplo, corretagem, emolumentos e taxas de liquidação, existindo a probabilidade de eliminar qualquer ganho potencial gerado pela nossa estratégia, ou ainda pior, há a possibilidade de até reverter o resultado em perdas consideráveis. A situação pode piorar ainda mais se for necessária uma posição vendida no ativo-objeto, pois precisamos alugar o ativo antes de poder vendê-lo e o custo de aluguel é significativo, principalmente quando o mercado está em queda.

Todos esses custos afetam o nosso resultado final, portanto devemos incorporá-los no modelo, conforme abaixo:

• Os custos relacionados ao trading do ativo-objeto, para t = 0, é dado por:

DeltaCost0 = S0 ×

| ∆0 |

T × (txLiqU A + txEmolU A) + corretagem (3.45)

onde, ∆0 é calculado pela Equação 3.17, txLiqU a é a taxa de liquidação cobrada

pela CBLC, txEmolU a são os emolumentos cobrados pela BM&FBOVESPA e T é calculado pela razão entre os dias úteis até o vencimento da operação e os dias úteis no ano, ou seja, DU/252.

E para t, onde 0 < t < T ,

DeltaCostt= St×

| ∆t− ∆t−1 |

T × (txLiqU a + txEmolU a) + corretagem (3.46)

onde, ∆t também é calculado pela Equação 3.17.

• Os custos relacionados ao trading de opções é dado por:

OptCost = (N + M ) × corretagem + N X i=1 C(Kci) + M X i=1 P (Kpi) ! × txOpt (3.47) sendo que, N é o número de calls do portfólio que sintetiza o contrato log, M é o número de puts, C(Kci) é preço atual da call com strike Kci, P (Kpi) é preço atual

da put com strike Kpi e txOpt é composto pelas taxas abaixo:

txOpt = txLiqOpt + txEmolOpt + txRegOpt

onde , txLiqOpt é a taxa de liquidação das opções, txEmolOpt são os emolumentos cobrados pela BM&FBOVESPA e txRegOpt é a taxa de registro cobrada nas operações de opções.

(37)

3.3.2 Replicação do contrato de swap de variância

Vamos assumir as seguintes premissas para a modelagem da sintetização do contrato de swap de variância:

• Podemos tomar dinheiro emprestado ou aplicar o valor excedente em caixa pela mesma taxa livre de risco r, que será constante durante cada operação;

• O ativo-objeto paga uma dividend yield constante no decorrer da operação;

• Podemos comprar ou vender quantidades arbitrárias do ativo-objeto, ou seja, a liquidez do ativo-objeto não é considerada no modelo;

• Consideramos os custos de transação dos ativos negociados. Na seção 3.3.1, detalha-mos a metodologia e quais custos incorporadetalha-mos no modelo;

• Para a replicação do contrato log, vamos manter como premissa do modelo de Black

Scholes, somente o pressuposto da evolução contínua do ativo-objeto, ou seja, sem jumps.

1a _{Etapa - replicação do contrato logarítmico:}

• Calcular os pesos w(Ki) de cada opção que compõe o portfólio dado pela Equação

3.37. Podemos notar que nesta replicação a put com menor strike e a call com maior

strike não entram na composição do portfólio replicante dado pela Equação 3.37 e, consequentemente, diminui o intervalo de preço do ativo-objeto onde a replicação do

payoff do contrato log é robusta.

Para contornar este problema, incluímos um strike sintético de valor correspondente à 90% do último strike disponível para uma put e um strike sintético de valor correspondente à 110% do último strike disponível para uma call. Desta maneira, incorporamos os strikes disponíveis dos extremos e aproveitamos para atribuir um peso maior para eles, com o intuito de aumentar o intervalo onde a replicação é robusta.

• Obter a variância implícita no swap de variância dado pela Equação3.35, ou seja, calcular o strike do contrato dado por Kvar;

• Uma posição em BuySell × 2

T ×

1

S∗

contratos futuros de preço S∗ = S0e(r−q)T.

Neste ponto, definimos uma nova váriavel no modelo, chamada de BuySell, que assume o valor 1 se compramos a variância implícita através de um swap de variância e o valor −1 se vendemos a variância implícita.

(38)

• Neste momento, temos que o payoff do contrato log sintetizado é dado por:

LogRepT = BuySell × 2 T × log ST S∗ = BuySell 2 T × ST − S∗ S∗ (contrato futuro) − M X i=0

w(Kip) max(K − ST, 0)dK (opções de venda) (3.48)

− N X i=0 w(Kic) max(ST − K, 0)dK ! (opções de compra)

onde, M é o número de puts e N é o número de calls do portfólio replicante. A ponderação pelo termo (2/T ) é explicado na Equação 3.28, onde o portfólio que replica a variância é composto por posições ponderadas por esse termo.

• O valor da Equação 3.48 em um dado instante de tempo t, é dado por:

LogRept = BuySell × 2 T × log St S∗ = BuySell " 2 Te −r(T −t) S0 S∗ e(r−q)(T −t)− 1 ! − ΠCP t # (3.49)

onde, ΠCP t é o valor do portfólio de opções no instante de tempo t. Para maiores

detalhes de como deduzimos a Equação 3.49, verificar o ApêndiceD. 2a _{Etapa: Estratégia dinâmica auto-financiável descrita na seção} _3.2.1_.

• Se desejarmos comprar a variância implícita (BuySell = 1), devemos vender um contrato logarítmico, e se quisermos vender (BuySell = −1), devemos comprar o contrato logarítmico;

• Para realizarmos o rebalanceamento do portfólio, e assim mantê-lo delta-neutral, fazemos o hedge com o delta de um contrato logarítmico, dado por:

∆t= BuySell × 2 T × e −r(T −t) 1 St ! (3.50) Essa posição deve ser continuamente rebalanceada para que sempre tenhamos a quantidade ∆t de ações. O rebalanceamento neste trabalho é feito todo final de dia;

(39)

• Em suma, a estratégia dinâmica auto-financiável consiste na compra/venda em

t = 0 do contrato log sintetizado, comprar/vender ações do ativo-objeto para manter

sempre uma quantidade ∆t (delta do contrato log) e remunerar/descontar o caixa

resultante dessas operações pela taxa livre de risco. Todo esse processo se resume nas equações abaixo:

β0 = −∆0S0+ V (S0, 0, σi) − DeltaCost0− OptCost (3.51)

onde, β0 é o valor em caixa inicial, V (S0, 0, σi) é o valor do contrato log sintetizado

e dado pela Equação 3.49, DeltaCost0 é dado pela Equção 3.45 e OptCost pela

Equação 3.47.

O valor em caixa em t, onde 0 < t < T , é dado por:

βt= βt−1erdt− (∆t− ∆t−1)St+ ∆t−1St−1(eqdt− 1)

−DeltaCostt− CustoAluguelt (3.52)

onde, βt é o caixa no instante de tempo t, r é a taxa livre de risco, q é a dividend

yield do ativo-objeto, DeltaCostt é dado pela Equação3.46 e CustoAluguelt é dado

pela Equação 3.43.

• No vencimento, o P&L da operação é dado pela Equação 3.14, onde NT é o número

final de ações na carteira (último delta calculado), βT é o valor final em caixa e

f (ST) é o payoff do contrato logarítmico replicado e dado pela Equação 3.48.

Conforme demonstrado por (DEMETERFI et al., 1999), se o portfólio de opções contivesse todos os strikes de zero à infinito, ponderadas por 1/K2_{, para replicar exatamente}

o payoff de um contrato logarítmico e considerando que o preço do ativo-objeto evoluísse de forma contínua, ou seja, sem jumps, a variância seria inteiramente capturada qualquer que fosse o intervalo de preços do ativo-objeto.

Porém, isso não acontece na prática, primeiramente só temos liquidez em um número restrito de strikes das opções, o que é insuficiente para replicar o payoff logarítmico precisamente. Segundo, pode haver jumps no preço da ação. Ambos os efeitos fazem com que a estratégia capture uma quantidade que não é igual a variância realizada.

No gráfico abaixo, demonstramos o efeito no payoff do contrato log sintetizado quando o preço desse ativo termina fora do intervalo de strikes utilizados na replicação.

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Figura 5 – Comparativo do payoff de um contrato logarítmico sintetizado e de um contrato

log.

A área destacada no gráfico demonstra o efeito de quando fazemos a replicação deste contrato log com um número limitado de strikes.

3.3.3 Estimando os níveis de volatilidade

Para a implementação da nossa estratégia de arbitragem estatística da variância através da replicação dinâmica dos swaps de variância, primeiramente precisamos definir em quais níveis estruturamos uma posição comprada, vendida ou ficamos "zerado" em variância.

Para isso, vamos definir um nível superior e um inferior de volatilidade, ou seja, se a volatilidade implícita atual dada por √Kvar estiver acima do nível superior definido,

montamos uma posição vendida em variância e, se estiver abaixo do nível inferior, montamos um posição comprada em variância. Se√Kvarnão atinge nenhum desses níveis, não fazemos

nenhuma operação (ficamos "zerado"). A razão para adotarmos essa estratégia foi baseada na característica de reversão à média da volatilidade.

A metodologia descrita acima é conhecida como cones de volatilidade e foi, pri-meiramente, exposta no paper de (BURGHARDT; LANE, 1990). Conforme mencionado no trabalho dos autores, a proposta dos cones de volatilidade é ilustrar os intervalos de volatilidade para diferentes horizontes de trading e constatam que ter somente a previsão do valor da volatidade não é suficiente para tomarmos uma decisão de trading. O importante é colocar essa previsão em um contexto de intervalo de volatilidade.

O método utilizado para estimar esses níveis se baseará no cálculo da volatilidade dos preços de fechamento históricos da ação preferencial da Petrobras (PETR4) para o período entre 02/01/2008 e 11/05/2016.