FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA MESTRADO EM FINANÇAS E ECONOMIA EMPRESARIAL MATHEUS NASCIF DE FARIA

i FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS

ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA MESTRADO EM FINANÇAS E ECONOMIA EMPRESARIAL

MATHEUS NASCIF DE FARIA

ANÁLISE E EXTRAÇÃO DAS EXPECTATIVAS DOS AGENTES DE MERCADO EM TORNO DA DATA DO COPOM

Rio de Janeiro 2014

2 MATHEUS NASCIF DE FARIA

ANÁLISE E EXTRAÇÃO DAS EXPECTATIVAS DOS AGENTES DE MERCADO EM TORNO DA DATA DO COPOM

Dissertação apresentada na Escola de Pós-Graduação da Fundação Getulio Vargas como requisito para obtenção do Grau de Mestre em Finanças e Economia Empresarial.

Orientador: José Valentim Machado

Rio de Janeiro Maio de 2014

4 AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, pelo incentivo e apoio ao longo da minha vida;

A minha esposa, pelo carinho e compreensão durante a jornada do mestrado;

Ao professor orientador José Valentim, pela atenção, sabedoria e comentários essenciais a este trabalho.

Aos meus amigos, pela amizade e cooperação.

5

RESUMO

Este trabalho explora um importante conceito desenvolvido por Breeden & Litzenberger para extrair informações contidas nas opções de juros no mercado brasileiro (Opção Sobre IDI), no âmbito da Bolsa de Valores, Mercadorias e Futuros de São Paulo (BM&FBOVESPA) dias antes e após a decisão do COPOM sobre a taxa Selic. O método consiste em determinar a distribuição de probabilidade através dos preços das opções sobre IDI, após o cálculo da superfície de volatilidade implícita, utilizando duas técnicas difundidas no mercado: Interpolação Cúbica (Spline Cubic) e Modelo de Black (1976). Serão analisados os quatro primeiros momentos da distribuição: valor esperado, variância, assimetria e curtose, assim como suas respectivas variações.

Palavras chaves: Distribuição de probabilidade, Opção Sobre IDI, Breeden & Litzenberger, Black (1976), Interpolação cúbica.

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Abstract

This paper explores an important concept developed by Breeden & Litzenberger in which extract information contained in interest options in the Brazilian IDI Option market. It will be demonstrated the IDI Option Behavior under the Securities, Commodities and Futures Exchange (BM & FBOVESPA) before and after the Central Bank Meetings on the Selic Rate. The method involved determines the probability distribution through the prices of options after calculating the implied volatility surface IDI. It uses two common techniques on the market: Cubic Spline interpolation and Black (1976).

Keywords: Probability distribution, IDI options, Breeden & Litzenberger, Black (1976), Cubic Spline.

7 SUMÁRIO

1. Introdução ... 10

2. Revisão da Arte ... 11

2.1 Futuro DI1 ... 14

2.2 Opções Sobre IDI ... 14

2.3 Black & Scholes/Black ... 16

2.4 Interpolação Cúbica ... 17

2.5 Breeden & Litzenberger (Elemento Básico, Arrow-Debreu) ... 19

3. Dados ... 21 4. Metodologia ... 22 5. Resultados ... 25 6. Conclusão ... 30 7. Referência ... 32 8. Anexos ... 34

8 Tabelas

Tabela 1. Contratos em aberto. ... 13

Tabela 2. Valores de assimetria e curtose, vértice 114 dias úteis. ... 34

Tabela 3. Valores de assimetria e curtose, vértice 114 dias úteis. ... 35

9 Figuras

Figura 1. Variação taxa CDI. ... 12

Figura 2. Exemplo Spline Cubic. ... 18

Figura 3. Skew. ... 24

Figura 4. Tipos de curtose. ... 25

Figura 5. Skew x Taxa CDI. ... 26

Figura 6. Diferentes distribuições do vencimento Janeiro 2013. ... 28

Figura 7. Volatilidade implícita. ... 29

10

1. Introdução

A análise da mudança da expectativa dos participantes em relação à taxa de juros antes e após a reunião do Comitê de Política Monetária (COPOM) é uma tarefa extremamente importante. Entretanto, poucos estudos foram realizados nesse sentido. O foco deste trabalho consiste na analise das alterações dos momentos (média, variância, skew e curtose) das distribuições de probabilidade ao redor da reunião de política monetária.

Rochman e Oliveira (2013) investigaram quais divulgações (decisão e Ata do COPOM, Relatório Trimestral de Inflação, entre outras) teriam papel fundamental na determinação da volatilidade implícita das opções sobre IDI utilizando volatilidades implícitas dos deltas 25%, 50% e 75%, concluindo que a principal variável de destaque é a decisão do Comitê de Política Monetária (COPOM). A proposta do presente estudo será a extração e análise da distribuição de probabilidade neutra ao risco.

Existem diversos métodos para extrair as distribuições neutras ao risco a partir das opções. Breeden e Litzenberger (1978), método adotado neste trabalho, mostram que é possível determinar os preços de estado relacionados a cada estado no futuro utilizando os preços das opções européias de compra (call). Demonstram que a função de densidade de probabilidade neutra ao risco, descontada, é igual à segunda derivada parcial da call em relação ao strike. Especificamente para as opções sobre IDI, Ornelas e Takami (2011) utilizaram três métodos: Shimko, Mistura de Duas Log-Normais e Distribuição Beta generalizada do tipo dois. Tanto o método Shimko como Mistura de Duas Log-Normais apresentaram resultados significativos, porém o segundo método apresentou melhor aderência aos dados das opções sobre IDI.

O presente trabalho utilizará ferramentas largamente difundidas no mercado financeiro, a interpolação cúbica e o modelo Black (1976) para determinar as volatilidades implícitas. Depois será utilizado o método de Breeden e Litzenberger (1978) para extrair a densidade de probabilidade neutra ao risco da taxa de juros. A análise concentrará nas datas próximas e posteriores às datas das reuniões do COPOM.

11 Inicialmente, notou-se extrema flexibilidade da interpolação cúbica para manipular os dados. Foram detectadas algumas superfícies de volatilidade que permitiram arbitragem (valor das opções abaixo do intrínseco), logo um filtro foi utilizado no banco de dados para eliminar esses dados. Após a aplicação do modelo, observou-se alta freqüência de assimetria positiva e caudas com probabilidades elevadas (curtose) nas distribuições de probabilidade. Também se pode checar a transparência por parte do Banco Central em seus sinais como decisão do COPOM (comunicado) e Ata devido às variações de skew nas datas que antecedem e procedem às datas das reuniões do comitê (média da variação de assimetria próxima de zero).

A divisão deste trabalho consiste em uma breve explicação sobre o COPOM e a taxa de juros no mercado brasileiro e os conceitos teóricos aplicados no projeto (Seção 2). Em seguida é descrito o banco de dados e seleção do mesmo (Seção 3). A metodologia adotada é descrita na Seção 4. E nas duas últimas (Seções 4 e 5) são discutidos os resultados e conclusão, respectivamente.

2. Revisão da Arte

Desde o início de 1999, o governo brasileiro tinha a intenção de implementar a condução da política monetária para o regime de metas para a inflação. Isso acontecia devido a um ambiente incerto quanto ao impacto da desvalorização do real (câmbio flutuante) sobre a inflação como o ataque especulativo contra o real em janeiro do mesmo ano cuja política ainda era voltada para o regime de bandas cambiais, iniciado em 1995.

O Brasil passou a adotar formalmente o regime de metas para a inflação em 21 de junho de 1999 através do Decreto 3.088, sendo o Comitê de Política Monetária (COPOM) responsável a cumprir as metas para a inflação definidas pelo Conselho Monetário Nacional (CMN). O Copom teria como objetivos implementar a política monetária definindo a meta da Taxa Selic (taxa media dos financiamentos diários, com lastro em títulos federais, apurados no Sistema Especial de Liquidação e Custódia) e analisar o Relatório de Inflação, sendo que esta taxa vigora por todo o período entre as reuniões do COPOM.

12 Estas reuniões do comitê dividem-se em dois dias sendo que as sessões ocorrem às terças-feiras e quartas-feiras e o comunicado da decisão ocorrendo neste último. São realizadas oito (8) reuniões do COPOM ao ano. A meta para a inflação foi adotada em termos da variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), calculado pelo IBGE. Este índice fora adotado devido a ser uma medida adequada para avaliar a evolução do poder aquisitivo da população (Bogdanski, Tombini e Werlang, 2000).

Há diversos tipos de derivativos de juros no Brasil tendo referência a taxa de Certificado de Depósitos Interfinanceiros (CDI) de um dia, que é uma média dos depósitos interfinanceiros entre os bancos no mercado brasileiro para um dado dia, divulgado pela Câmara de Custódia e Liquidação (CETIP). Os movimentos do CDI acompanham os movimentos da taxa SELIC e observa-se que a taxa do CDI é menor que a taxa SELIC para a mesma data.

Figura 1. Variação taxa CDI.

Evolução da taxa do Certificado de Depósitos Interfinanceiros (ao ano) no período entre 2008 e 2014. Fonte Bloomberg.

Estes produtos são negociados na BM&FBOVESPA, sendo o foco deste trabalho a Opção sobre Índice de Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia (IDI). 6,50% 7,50% 8,50% 9,50% 10,50% 11,50% 12,50% 13,50% 14,50%

CDI

13 As Opções Sobre IDI possuem peculiaridade do ativo objeto uma vez que refletem o comportamento da taxa de juros na data da negociação até o vencimento da opção (path dependence). Este tipo de opção sobre taxa de juros apresenta alta liquidez para vencimentos curtos, Tabela 1.

Contratos % Contratos % Pessoa Jurídic a Financ eira 1.608.115 38,73 1.060.845 25,55

Bancos 1.607.795 38,73 1.060.525 25,54

DTVM'S e Corretoras de Valores 320 0,01 320 0,01

Investidor Instituc ional 2.055.069 49,5 2.197.645 52,93 Invest. Institucional Nacional 2.055.069 49,5 2.197.645 52,93

Investidores Não Residentes 369.245 8,89 774.379 18,65 Inv. Não Residente - Res.2689 369.245 8,89 774.379 18,65

Pessoa Jurídic a Não Financ eira 640 0,02 0 0

Pessoa Físic a 118.605 2,86 118.805 2,86

Total Geral 4.151.674 100 4.151.674 100

Contratos % Contratos % Pessoa Jurídic a Financ eira 3.512.449 39,88 2.910.535 33,04

Bancos 3.512.449 39,88 2.910.535 33,04

Investidor Instituc ional 4.355.424 49,45 4.662.119 52,93 Invest. Institucional Nacional 4.355.424 49,45 4.662.119 52,93

Investidores Não Residentes 834.473 9,47 1.130.692 12,84 Inv. Não Residente - Res.2689 834.473 9,47 1.130.692 12,84

Pessoa Jurídic a Não Financ eira 61.000 0,69 61.000 0,69

Pessoa Físic a 45.000 0,51 44.000 0,5

Total Geral 8.808.346 100 8.808.346 100

Compra V enda

MERCADO DE OPÇÕES DE COMPRA DE ÍNDICE IDI

Compra V enda

MERCADO DE OPÇÕES DE VENDA DE ÍNDICE IDI

Tabela 1. Contratos em aberto.

Exemplo de contratos em aberto por tipo de participantes, dia 28/05/2013. Dados divulgados pela BM&FBOVESPA, Boletim Diário/Contratos em Aberto/Tipo de Participante.

Para entender este tipo de opção, será demonstrado primeiro o modelo do contrato do Futuro de DI1, que é o ativo subjacente da opção.

14 2.1 Futuro DI1

O contrato negocia a taxa de juro efetiva até o vencimento do contrato, definida para esse efeito pela acumulação das taxas diárias de DI no período compreendido entre a data de negociação, inclusive, e o ultimo dia de negociação do contrato, inclusive (Especificações BM&FBOVESPA). O valor em pontos corresponde a 100.000, descontado pela taxa de juro. Cada ponto deste índice equivale a RS 1,00 (um real). Os contratos são negociados em taxa de juro efetiva anual, base 252 dias úteis, com variação mínima de apregoação igual a 0,001 ponta de taxa (base point, BP). O ultimo dia de negociação será o dia útil anterior a data de vencimento e esta ultima será o primeiro dia útil do mês de vencimento.

Estará apta a negociação contratos dos quatro primeiros meses subseqüentes ao mês em que a operação for realizada e a partir daí, os meses que se caracterizam como de inicio de trimestre. A taxa de ajuste de cada vencimento é calculada pela média dos negócios ocorridos entre as 16h10 e 16h35 (Call de ajuste).

2.2 Opções Sobre IDI

O contrato negocia o Índice de Taxa Media de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia (IDI), definido por:

( ) onde:

Índice de Taxa Média de Depósitos interfinanceiros de Um Dia (IDI) na data t, com

duas casas decimais;

Índice de Taxa Média de Depósitos interfinanceiros de Um Dia (IDI) na data t-1, com

duas casas decimais;

Taxa Média de Depósitos interfinanceiros de Um Dia, referente ao dia anterior, calculada pela Cetip, expressa em percentual ao dia (taxa efetiva dia), com até sete casas decimais.

15 Este índice foi reiniciado para o valor de 100.000 (cem mil) pontos em 02 de janeiro de 2003 e é corrigido desde esta data pela fórmula acima. Cada ponto deste índice equivale a RS 1,00 (um real).

Estará apta a negociação contratos dos quatro primeiros meses subseqüentes ao mês em que a operação for realizada e a partir daí, os meses que se caracterizam como de inicio de trimestre, sendo que a liquidez deste contrato encontra-se no primeiro mês de cada trimestre. As opções sobre IDI são negociadas no pregão da BM&FBovespa. O detentor (comprador) da opção de compra (call) tem o direito, e não uma obrigação, de efetuar a compra do ativo objeto na data de expiração do contrato da opção. A put por outro lado, fornece o direito de vender o ativo subjacente na data de vencimento do contrato. O emissor (vendedor) das opções tem a obrigação de executar a ponta oposta do detentor, se houver exercício na data de expiração da opção. O estilo de opção americana se diferencia do europeu, pois permite ao seu detentor realizar o exercício da opção antes da data de vencimento (Hull, 2006). Sendo assim teremos os seguintes payoffs:

onde:

Valor da opção de compra (call) na data T; Valor da opção de venda (put) na data T; K = Valor do strike.

Existe uma óbvia preferência dos agentes do mercado de opções de juros pelas IDI, uma vez que o índice reflete a variação da taxa juros básica decidida pelo COPOM. Assim as diversas operações buscam alcançar o valor projetado do índice IDI. Devido a isso o volume de negócios concentra-se em operações como borboletas, condor e travas.

Diversos modelos de precificação podem ser aplicados às opções Sobre IDI, porém o modelo Black continua sendo largamente implementado.

16 2.3 Black & Scholes/Black

O modelo mais disseminado para precificação de opção tem sido Black e Scholes (1973) deste a sua criação. Este modelo pressupõe que o ativo segue um movimento browniano geométrico resultando que o preço do ativo tenha uma distribuição log-normal, não existam custos operacionais (corretagem, emolumentos, entre outros custos), o ativo não paga dividendos, não há oportunidades de arbitragem (se houvesse o mercado faria a correção), pode-se vender a seco (short selling), qualquer investidor pode tomar emprestado ou emprestar à mesma taxa de juro livre de risco e a taxa de juro livre de risco de curto prazo (r) é constante.

A equação determinística da evolução do preço do ativo é definida por:

Onde:

representa a média da taxa de retorno do ativo; é a volatilidade do avito;

e Z ~ N(0,1)

Aplicando cálculo integral, probabilidade e demais considerações (que não fazem parte do objetivo deste trabalho), obtêm-se as formulas fechadas de Black e Scholes (1973) para o ativo a vista que não paga dividendo. Porém como visto antes, para precificação das opções sobre IDI, utiliza-se uma proxy do futuro do ativo (IDI Forward) sendo necessário utilizar o modelo Black (1976) para futuros, adaptado a IDI:

_{[ ]}

onde:

( ) ( ) √

17 √

De todos os parâmetros utilizados pela formula fechada de Black apenas um não é encontrado diretamente: a volatilidade implícita. Através do preço da call e os demais parâmetros (strike, taxa de juros livre de risco e tempo de expiração) pode-se calcular recursivamente (engenharia reversa) e determinar o valor da volatilidade implícita para dado prêmio da opção. Porém há restrição na diversidade de strikes negociados ao longo do dia, sendo necessária a utilização de uma interpolação para determinar o smile da volatilidade implícita. Um modelo amplamente utilizado é a interpolação cúbica (spline cubic) e será descrito a seguir.

2.4 Interpolação Cúbica

São funções formadas por polinômios de terceiro grau definidos para cada intervalo entre os pontos de interpolação ( ) de modo que em cada um destes pontos a função seja continua. Ambas as derivadas, primeira e segunda, são continuas suavizando assim a curva evitando picos ou trocas de curvatura abruptas nos nós.

0% 10% 25% 35% 50% _{65% 75%} 90% 100% 0,22% 0,27% 0,32% 0,37% 0,42% 0,47% 0% 20% 40% 60% 80% 100%

Sorriso de Volatilidade (smile) para as opções sobre IDI

18

Figura 2. Exemplo Spline Cubic.

Demonstração de uma interpolação cúbica para as opções sobre IDI. Neste caso, a interpolação ocorreu entre os pares 0-10%, 10-25%, 25-35%, 35-50%, 50-65%, 65-75%, 57-90% e 90-100%.

Sejam os pontos e a interpolação spline cúbica uma função S(x), definida no intervalo [ ] tendo as seguintes propriedades:

são funções continuas no intervalo ( );

Em cada subintervalo [ ], é um polinômio cúbico, i = 1, 2, ...,

n.

Logo, S é composto por n-1 polinômios cúbicos o que resulta em um total de 4n – 4 coeficientes a determinar. Cada polinômio deve satisfazer a condição de continuidade:

, para i = 1, 2, ...1 n-1 e ;

(continuidade de S)

(continuidade da primeira derivada)

(continuidade da segunda derivada)

Neste caso, os valores dos extremos são conhecidos, portanto utiliza-se as seguintes condições de fronteira:

Utilizando-se deste método de interpolação cúbica, cria-se a superfície de volatilidade para as opções a fim de obter-se a densidade de probabilidade do ativo. Para este tipo de extração, será utilizado um método ícone desta área, Breeden e Litzenberger.

19 2.5 Breeden & Litzenberger (Elemento Básico, Arrow-Debreu)

Breeden e Litzenberger (1978) demonstram que é possível determinar os preços de estado relacionados a cada estado no futuro utilizando os preços das opções de compra (call). Ou seja, estes estados são descritos pelo arranjo de valores que um ativo pode assumir no futuro, pois cada valor representa o resultado de ocorrência de um estado especifico da natureza, descrito como elemento básico (derivativo elementar). Este elemento seria um ativo Arrow-Debreu (Arrow (1964) e Arrow-Debreu (1959)). Este tipo de ativo consiste em pagar uma unidade monetária para um estado especifico da natureza e zero para qualquer outro estado. Logo o preço do ativo Arrow-Debreu será o valor presente do lucro esperado (valor presente de uma unidade monetária multiplicada pela probabilidade de ocorrer neste estado especifica).

Breeden e Litzenberger (1978) supõe que o valor do portfólio possui probabilidade discreta no instante T com possíveis valores: M = 1, 2,..., N unidades monetárias, os valores das opções de compra C(x,T) referentes ao ativo objeto S(T), com preços de exercícios 0, 1 e 2 no vencimento (payoff), logo: Ativo Objeto C(0,T) C(1,T) C(2,T) S(T) = 1 1 0 0 S(T) = 2 2 1 0 S(T) = 3 3 2 1 S(T) = 4 4 3 2 … …. … … S(T) = N N N - 1 N - 2

Assim, C(0,T) - C(1,T) resultará em um payoff de uma unidade monetária em cada estado que S > 1 e C(1,T) - C(2,T) resultará em um payoff de uma unidade monetária em cada estado que S > 2.

[ _] [ _] [ _]

20 Para considerar formar um ativo Arrow-Debreu considera-se a carteira [(0,T) - C(1,T)] - [C(1,T) - C(2,T)] que tem payoff de uma unidade monetária se S =1 e zero caso contrário:

[ _] [ _] [ _]

Generalizando o intervalo para possíveis valores de S para ∆S, temos:

C(x,T) - C(x+∆S,T) ,

Para produzir uma carteira cujo payoff seja uma unidade monetária para S e zero caso contrário, será formada por 1/∆S vezes a combinação montada para o caso do intervalo unitário, ou seja:

{[ ] [ ]}

Fazendo o intervalo ∆S tender a zero, os valores de S tendem a assumir uma distribuição continua gerando uma densidade para S em razão do preço do ativo pelo tamanho ∆S tem-se:

{[ ] [ ]}

Assumindo-se que C(x,T) é contínuo em x (duplamente diferençável no ponto x), utilizando-se a segunda derivada da opção de compra em relação ao strike e S = x, resultará no valor da função de estado de preço de S para o caso continuo. Descontando este valor a taxa livre de risco, resultará na probabilidade neutra a risco a ele associada:

21

onde:

representa a função de densidade de probabilidade neutra ao risco; r é a taxa de juros livre de risco;

Este resultado também foi encontrado por COX e ROSS (1976).

3. Dados

Até o ano de 2014, a BM&FBOVESPA não disponibilizava vencimentos seguidos para as opções sobre IDI, sendo negociados apenas quatro prazos (janeiro, abril, julho e outubro). Porém, historicamente, apenas dois destes vencimentos apresentavam liquidez, janeiro e julho. A partir de janeiro de 2014, a bolsa passou a autorizar a negociação de todos os meses do ano, porém a liquidez continua concentrada no início de semestre. Alguns destes vencimentos não possuem nenhum contrato em aberto, ou seja, nenhuma opção fora negociada.

Foram utilizados quatro vencimentos por ano, ao longo dos anos 2010, 2011, 2012 e 2013. Os dados utilizados neste trabalho foram cedidos pela corretora BGC Liquidez e o restante dos dados obtido através de um terminal Bloomberg (agência de informação e cotação).

Para que não houvesse erro significativo na determinação da volatilidade implícita, o prêmio das opções negociadas foi comparado junto aos respectivos futuros de DI1. Para futuros diferentes adotou-se a correção do delta para os preços das opções em relação ao preço de ajuste do DI1.

Devido a grande negociação de estratégias (borboleta, condor, trava simétrica ou assimétrica), utilizou-se da opção mais negociada para aferir os preços de outras. Visando extrair superfície como de mercado, a interpolação cúbica das volatilidades implícitas foi realizada pelos mesmos vértices de delta (IDI projetado/strike): 0, 10, 25, 35, 50, 65, 75, 90 e 100%. Sempre foi utilizado o preço de ajustes dos futuros como parâmetros.

22 Foram encontrados em algumas observações, dados que possibilitaram arbitragem, ou seja, opções com valores abaixo de seus valores intrínsecos, apresentando deformidade ao longo da superfície de volatilidade. Estes tipos de dados foram substituídos por outros de um dia antes ou depois, o qual não possibilitasse arbitragem.

Foram selecionados seis e dois dias úteis antes; dois e seis dias úteis após o COPOM e o segundo dia da reunião do comitê (data do COPOM). Foram analisados vértices que compreendem quatro meses a um ano.

4. Metodologia

As opções sobre IDI são negociadas em intervalos de strike de 100 em 100 pontos (100 reais). Entretanto, ao aplicar Breeden e Litzenberger (1978), teríamos borboletas de 100 pontos, ou seja, ∆S = 100. Para diminuir este intervalo, propôs-se usar a interpolação cúbica nos preços das opções negociadas no dia e determinar assim a curva de volatilidade implícita paras as opções sobre IDI. Considerou-se que os valores extremos da curva, deltas iguais a 0% e 100%, foram assumidos pelo mercado e precificados como prêmio extra devido a ser opções deep-out-of-money (muito fora do dinheiro) e deep-in-the-money (muito dentro do dinheiro). Utilizando essa função contínua da volatilidade implícita, calcularam-se os preços das opções de compra para intervalos de strike iguais a 25 pontos (aproximadamente 0,02% em relação ao strike, em média) em um intervalo de 11.225 pontos, gerando 448 pontos para cada distribuição de probabilidade.

Para cálculo da área sob a curva de densidade de probabilidade, adotou-se o método de diferenças finitas, também utilizada em Castro (2002): ∑[ ]

onde:

representa o valor da distribuição no ponto; representa o strike i.

23 A área de uma distribuição contínua tem valor igual a um, logo os valores obtidos devem se aproximar deste número, visto que as áreas calculadas apresentam erro inferior a 6% (média das áreas próxima de 0,9468). Esta margem de erro é similar à obtida por Castro (2002) e Shimko (1993).

Para estudo da distribuição de probabilidade, foram utilizadas duas medidas: valor esperado, variância, assimetria (skew) e achatamento (curtose). Foi considerada a mesma proposta de Shimko (1993), também adotada por Castro (2002) para cálculo dos quatro primeiros momentos da distribuição, normalizando os valores utilizados. As fórmulas são descritas abaixo:

∑ ( ) [ ] ∑ [ ( ) ] [ ] ∑ * ( ) + [ ] ∑ * ( ) + [ ]

representa o valor da distribuição no ponto; a variância;

representa o strike i.

Uma distribuição é simétrica em torno da média, quando os valores da média, mediana e moda são todas coincidentes, ou seja, o gráfico da curva à esquerda da média é um espelho do gráfico à direita (desvios positivos e negativos tem a mesma preponderância e as caudas da distribuição possuem o mesmo formato para ambos os lados). Neste caso, o valor do skew (terceiro momento da distribuição de probabilidade) será zero, porém a recíproca não é verdadeira. Se o skew for positivo, a distribuição será assimetricamente positiva (cauda à direita mais alongada, média maior que a mediana que por sua vez será maior que a moda). Se negativo, a distribuição será assimetricamente negativa (cauda maior à esquerda, média menor que a

24 mediana que por sua vez será menor que a moda). As assimetrias podem ser observadas na figura abaixo.

Figura 3. Skew. Tipos de assimetria da distribuição.

O achatamento da curva está relacionado ao grau de concentração das observações no centro e nas caudas da distribuição. A curtose é uma medida de dispersão que mede a amplitude da curva de distribuição de probabilidade, refletindo o achatamento da curva em sua moda. Este grau é frequentemente relacionado à distribuição normal. Podem ser classificados em três categorias em relação à média (menos e mais um desvio padrão):

 Mesocúrtica: Concentração das observações ocorre da mesma forma que na distribuição normal;

 Leptocúrtica: Alta concentração de valores no centro e nas caudas, tendo amplitude maior que a distribuição normal;

 Platicúrtica: Baixa concentração de valores no centro, sendo uma distribuição mais achatada.

25

Figura 4. Tipos de curtose. Classificação do tipo de curtose (Achatamento da curva). A distribuição Normal é um exemplo de Mesocúrtica.

Para estudo dos "vértices do COPOM", foi proposto utilizar a variação da assimetria entre seis dias úteis antes e o segundo dia da reunião do COPOM; dois dias antes e depois do COPOM; e por último, a data da decisão e da Ata. Essa variação tende a indicar se houve convergência entre as expectativas dos agentes e aos “sinais” fornecidos pelo Banco Central. A mesma proposta foi utilizada para estudo da curtose das amostras a fim de captar alterações das expectativas dos participantes de mercado em torno da data da decisão sobre a taxa a Selic.

5. Resultados

Para compilação dos resultados foram criadas três variáveis que correspondem as diferença dos valores entre as datas selecionadas, sendo A, a variável equivalente à diferença dos valores entre a data do COPOM e seis dias antes; B, a diferença entre seis dias após e a data do COPOM; e C, a diferença entre dois dias após e antes da data do COPOM. Essas variáveis foram utilizadas em todas as decisões do comitê no presente trabalho. Também foram selecionados os vértices para estudo, sendo escolhidos três vértices: 114; 148 e 240 dias úteis. Os resultados, análise estatística das variações de assimetria e curtose para os vértices escolhidos, obtidos estão apresentados em três tabelas contidas no Anexo.

Note que os valores das médias para a assimetria (skew) dos dados são baixos, próximos de zero. Pode se concluir que há consenso entre as expectativas dos agentes, indicando haver transparência por parte do Banco

26 Central, sendo essa convergência avaliada na tomada de decisão sobre a taxa de juros, no comunicado e na divulgação da Ata. Também como esperado, as médias da curtose são positivas, indicando haver probabilidade de eventos raros. Esta probabilidade pode ser atribuída a tentativa dos agentes de mercado anteciparem um evento futuro.

Como averiguado por Ornelas e Takami (2011), observou-se skew positivo na maioria dos dados. Isto acontece devido aos agentes de mercado possuir aversão maior, ou atribuírem uma maior probabilidade, ao movimento de alta da taxa CDI ao invés da queda da taxa de juros.

Nota-se também que em períodos onde há tendência de alta da taxa Selic, existe consenso dos agentes, o que causa aumento da assimetria (skew) conforme se pode notar na Figura 5:

Figura 5. Skew x Taxa CDI.

O gráfico acima mostra a relação entre a taxa CDI, DI1 e o skew do vencimento Janeiro 2014. Note que mesmo antes da alta da taxa CDI, a expectativa dos agentes era uma possível elevação da taxa, visto no dia 19/11/2012. Outra observação é a extrapolação da expectativa quando em tendência de alta, visto no dia 04/09/2013.

Muitas vezes esse consenso também vem acompanhado de extrapolação de taxas futuras maiores por parte dos agentes, como observado

-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 9,00 9,50 10,00 10,50 31/05/2012 29/08/2012 27/11/2012 25/02/2013 26/05/2013 24/08/2013 22/11/2013 Skew Tax a CD I/ D I1

27 nos dias 04 e 05 de Setembro de 2013, onde valores de skew foram extrapolados (próximos de 2,66 e 2,35, respectivamente).

No dia 07 de Março de 2012, data do segundo dia da reunião do COPOM, tanto a assimetria do vencimento julho 2012 como janeiro 2013 eram negativos. Entretanto, a curtose de julho 2012 mostrou-se mais alta indicando uma possibilidade de valor mais baixo para a taxa de juros (a taxa Selic já havia sido cortada quatro vezes seguidas). Neste dia, o COPOM alterou a meta da taxa de Selic de 10,50% para 9,75% (variação -0,75%).

Três distribuições pós-Ata foram comparadas (mesmo vencimento, janeiro 2013). A assimetria estava negativa e a curtose alta, logo os agentes do mercado atribuíram a possibilidade de um novo corte de 0,75% ou ainda mais agressivo. O COPOM repetiu a mesma queda (-0,75%) na reunião do dia 18/04/2012. No pós-Ata desta reunião, observou-se que a assimetria estava ainda mais negativa, porém os valores de curtose e dispersão mais baixos, concluindo que a expectativa dos participantes de mercado era um novo corte da taxa de juros.

No dia 30/05/2012, um novo corte foi realizado, porém de magnitude mais baixa que a anterior, 0,50%. Visto que os valores de curtose e dispersão estavam mais baixos e de skew próximo de zero, conclui-se que expectativa do mercado era mais um ajuste na taxa (valor esperado mais baixo), entretanto, sem viés de outros cortes.

Após essa nova mínima histórica da taxa Selic, a nova regra de remuneração da poupança, anunciada pelo governo no início de Maio, passou a valer. Esta regra corrigia os depósitos por um percentual correspondente a 70% da taxa Selic mais a Taxa Referencial (TR), sempre que a taxa Selic estivesse abaixo de 8,5% ao ano.

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Figura 6. Diferentes distribuições do vencimento Janeiro 2013.

Distribuição pós-Ata do vencimento janeiro 2013. Após o corte de 75 basis points (bp), ocorrido no dia 07/03/2012, os agentes do mercado passaram a admitir uma possibilidade maior de corte (skew negativo e curtose alta). No dia 26/04/2012 (após novo corte de 75 bp), o skew estava mais negativo, indicando a possibilidade de novos cortes na taxa de juros. Note que, no dia 08/06/2012 (após corte de 50bp), o skew é próximo de zero e a dispersão é menor.

É interessante notar como a assimetria negativa e a curtose elevada são observadas na superfície de volatilidade. Há uma forte inclinação entre os deltas 75 e 100% (neste caso, delta call). Isso mostra a aversão a cortes futuros ou de maior magnitude, aumentando assim o valor da volatilidade implícita nessa região (probabilidade alta das puts fora do dinheiro).

0,000 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 144500 145000 145500 146000 146500 147000 147500 148000 148500

Distribuições de Probabilidades Pós Ata

abr/12 mar/12 jun/12

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Figura 7. Volatilidade implícita.

Superfície de volatilidade do vencimento janeiro 2013 no dia 15/03/2012, dia da Ata após o corte de 75bp. Note a forte inclinação entre os deltas 50 e 100% (referência delta call). Semelhante à ocorrência de assimetria negativa e curtose elevada.

Figura 8. Skew x Taxa CDI.

O gráfico acima mostra a relação entre a taxa CDI , DI1 e o skew do vencimento janeiro 2013. Note que o skew passou a indicar valores mais baixos de taxa de juros (valor IDI projetado mais baixo), porém quando a taxa Selic fez nova mínima histórica (8,00% a.a), iniciou-se a nova remuneração da poupança. Agentes atribuíram possibilidade de alta na taxa básica de juros (assimetria positiva).

0,1800% 0,1900% 0,2000% 0,2100% 0,2200% 0,2300% 0,2400% 0,2500% 0,2600% 0,2700% 0% 10% 25% 35% 50% 65% 75% 90% 100%

Janeiro 2013

30 Um fato observado é a variação da densidade de probabilidade, que algumas vezes resulta das anomalias na superfície de volatilidade implícita, declives ou até mesmo pico. Isso acontece devido a maior parte do volume negociado das opções sobre IDI serem operações de payoff, sem se preocupar com a variação ao longo do prazo. Estratégias como condor, borboletas e travas (simétricas ou não), onde o range desejado irá refletir as esperadas decisões do COPOM.

Ainda sobre este tipo de estratégia, os agentes convergem tanto para um vencimento específico como para uma estruturara específica. Logo, existe uma "pressão" sobre estes pontos na superfície da volatilidade implícita.

Outro fato interessante ocorre devido aos negócios das opções com prazos próximos dos vencimentos concentrarem em apenas dois ou três strikes (desvio padrão com decaimento quadrático).

6. Conclusão

Este trabalho estudou a variação das distribuições de probabilidade neutras ao risco, implícitas nos preços das opções de compra sobre IDI, negociadas na BM&FBOVESPA, em torno da data da reunião COPOM nos anos de 2010, 2011, 2012 e 2013, utilizando uma metodologia direta de derivação da distribuição desenvolvida por Breeden & Litzenberger (1978). O modelo de precificação para as opções utilizadas foi o Black (1976).

Foi possível observar que os agentes possuem maior aversão a alta de taxa de juros (assimetria positiva), além de extrapolar movimentos maiores (curtose) nessa tendência. Nota-se, ainda, através das variações da assimetria, independente do período em torno do COPOM utilizado, que as decisões e comunicados mostram transparência por parte do colegiado, ou seja, a convergência da expectativa dos agentes.

Constatou-se a diminuição do espectro de strikes ao longo da vida útil das opções, caracterizado por uma diminuição quadrática da volatilidade das opções e, assim, uma forte concentração de negócios em poucos strikes (dois ou três) no curto prazo.

31 Um fato curioso trata-se do mercado das opções sobre IDI estar concentrado em operações como borboletas, condor e travas, não sendo freqüente a negociação de opções secas (call ou put). Devido a isso, ocorre uma deformação da superfície de volatilidade do vencimento para que as operações sejam precificadas com valor de mercado. Esta seria a explicação para as anomalias apresentadas em algumas superfícies de volatilidade da amostra.

Futuros trabalhos devem considerar períodos maiores para que seja investigada alguma variável fidedigna da expectativa dos agentes e, assim, auxiliar a tomada de decisão por parte do Banco Central e dos gestores de riscos.

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7. Referência

Especificações BM&F Bovespa,

http://www.bmf.com.br/bmfbovespa/pages/contratos1/Financeiros.

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Black, F.; Scholes, M.; The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 1973, 81, 637-659.

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DeCarlo, L.; On the Meaning and Use of Kurtosis. Psychological Methods, 1997, Vol. 2, No. 3, 292-307.

Debreu, G.; Theory of Value. Cowles Foundation Monograph 17. EUA: John Wiley & Sons, 1959.

33 Hull, J.; Options, Futures and Other Derivatives. 6.ed. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall, 2006.

Rochman, R.; e Oliveira, P. Determinantes da Volatilidade Implícita das Opções de Juros (IDI): a Influência do COPOM. EnANPAD, 2013.

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8. Anexos

A B A+B C A B A+B C

Antes Pós-Ata Limites Em torno Antes Pós-Ata Limites Em torno 0,5601 0,6429 1,2030 -0,6277 4,7882 3,2337 8,0219 0,3098 0,6833 0,9309 1,6142 0,8430 3,9106 6,6724 10,5830 5,9938 -0,7160 0,0486 -0,6675 -0,2727 -2,6511 0,8657 -1,7854 -0,6603 0,0574 0,8339 0,8913 0,4696 0,0093 2,0721 2,0815 1,5137 0,4315 0,7142 1,1457 0,0509 -2,3964 -0,6798 -3,0762 -1,7506 -0,1557 0,0928 -0,0629 0,3297 -1,2317 -0,5976 -1,8293 -1,8447 0,1871 1,2532 1,4404 0,8249 -0,9373 8,2411 7,3038 2,7740 0,3937 0,4073 0,8010 0,2072 0,5436 -0,2037 0,3399 -0,4614 -0,0141 -0,3625 -0,3766 -0,1178 0,0770 -1,3866 -1,3096 -0,5194 0,1589 -0,4724 -0,3135 -1,4262 -0,5358 -1,5990 -2,1348 -3,3493 0,1793 -0,0385 0,1408 0,0724 -2,1979 0,2877 -1,9101 -1,7139 -0,1422 -0,2217 -0,3638 -0,0559 -0,0672 0,6191 0,5519 -0,2485 0,1583 -0,3673 -0,2091 -0,4994 2,2617 7,1755 9,4372 5,1210 1,0655 -0,0010 1,0645 0,3874 3,3449 -0,0062 3,3387 -1,6824 0,2935 0,2837 0,5772 0,0672 0,5530 0,5523 1,1052 0,1731 -0,3277 0,0176 -0,3100 -0,0933 -0,4529 -0,0189 -0,4718 -0,1640 0,1758 0,2351 0,4109 0,0100 Média 0,3136 1,5767 1,8904 0,2182 41,91% 51,44% 75,82% 55,99% D. P. 222,19% 311,73% 533,91% 252,93% 0,0737 0,1209 0,3115 0,0056 0,6968 4,9151 5,6119 0,5519 Vértice 114 dias utéis (n=16)

Variação Skew Variação Curtose

Tabela 2. Valores de assimetria e curtose, vértice 114 dias úteis.

Foram utilizadas as variáveis A, B e C criadas para estudar as diferenças dos coeficientes no período de decisão do COPOM.

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A B A+B C A B A+B C

Antes Pós-Ata Limites Em torno Antes Pós-Ata Limites Em torno -0,1800 0,4478 0,2678 -0,3223 0,8329 0,5583 1,3912 -1,9503 0,2192 -0,2280 -0,0087 0,0981 1,4203 -0,7937 0,6266 1,2053 -0,0426 -0,3983 -0,4410 -0,0530 0,0511 -0,6370 -0,5859 -0,1009 -0,2494 0,2227 -0,0267 0,0833 1,0944 -1,3532 -0,2588 1,6469 0,2774 0,6682 0,9455 0,6142 0,7712 2,5048 3,2760 1,7610 0,0666 -0,3811 -0,3145 -0,0159 0,1928 -0,1523 0,0406 0,3690 -0,1487 0,0884 -0,0603 0,0315 -0,3254 0,6619 0,3365 0,4809 -0,1002 0,5141 0,4138 -0,7513 0,8810 0,5412 1,4222 -0,2217 -0,0216 0,6753 0,6538 0,6754 -0,0746 -0,3234 -0,3980 -0,3232 -0,3076 -0,0613 -0,3688 -0,1211 0,6697 1,5609 2,2305 0,0229 0,6459 -0,1483 0,4976 0,3484 1,9195 -2,1085 -0,1890 0,4711 -0,0002 -0,0316 -0,0318 -0,0515 -0,0003 -0,0219 -0,0222 0,1956 0,1311 -1,0274 -0,8963 -0,0826 1,0063 1,2889 2,2952 0,3967 -0,1830 0,0013 -0,1817 0,0230 -0,2781 0,0057 -0,2724 0,1144 0,1218 0,1045 0,2262 0,0179 0,2197 0,3634 0,5831 0,3105 -0,0674 0,1394 0,0720 0,0010 -0,4161 0,6834 0,2674 0,4438 -0,6134 0,4149 -0,1985 0,1068 0,5274 -1,2733 -0,7459 0,8429 -0,0266 0,0589 0,0467 0,0354 Média 0,4995 0,0885 0,5881 0,3332 27,44% 43,35% 45,50% 32,20% D. P. 65,72% 114,41% 180,13% 83,47% -0,0073 0,0255 0,0212 0,0114 0,3283 0,1013 0,4296 0,2782

Vértice 148 dias utéis (n=17)

Variação Skew Variação Curtose

Tabela 3. Valores de assimetria e curtose, vértice 114 dias úteis.

Foram utilizadas as variáveis A, B e C criadas para estudar as diferenças dos coeficientes no período de decisão do COPOM.

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A B A+B C A B A+B C

Antes Pós-Ata Limites Em torno Antes Pós-Ata Limites Em torno 0,9071 1,0665 1,9736 0,3906 4,0567 6,9411 10,9978 1,9241 -0,1439 0,1027 -0,0413 -0,3717 -1,0207 0,2116 -0,8091 -1,7695 0,0629 0,1357 0,1986 0,1177 0,2023 0,6317 0,8340 0,4020 -0,3094 0,2693 -0,0400 0,0428 -0,2950 -0,2019 -0,4970 0,3636 -0,1901 0,0465 -0,1436 -0,1256 -0,1802 0,0853 -0,0949 -0,3088 0,2045 0,0020 0,2065 0,1906 0,3600 -0,0756 0,2844 0,3319 -0,0002 0,1660 0,1658 0,1660 -0,0006 0,2866 0,2861 0,2868 -0,0369 0,1441 0,1072 0,0000 0,1924 2,0528 2,2451 -0,0009 -0,0002 0,0100 0,0099 -0,0242 0,0000 0,2030 0,2031 0,9259 -0,0053 -0,0559 -0,0612 -0,0700 -0,1073 -0,0826 -0,1899 -0,1908 -0,0002 -0,0002 -0,0004 -0,0001 -0,0001 -0,0001 -0,0002 -0,0001 0,0444 0,1715 0,2159 0,0287 Média 0,2916 0,9138 1,2054 0,1786 31,64% 31,13% 62,77% 19,56% D. P. 130,01% 209,37% 339,38% 89,21% 0,0140 0,0534 0,0674 0,0056 0,3791 1,9132 2,2923 0,1593

Vértice 240 dias utéis (n=11)

Variação Skew Variação Curtose

Tabela 4. Valores de assimetria e curtose, vértice 114 dias úteis.

Foram utilizadas as variáveis A, B e C criadas para estudar as diferenças dos coeficientes no período de decisão do COPOM.