Explorar, analisar e resolver vários exemplos, aplicando o. Objectivo:

(1)

Sessão 13

Sessão 13 –– Método das Malhas

Método das Malhas

Objectivos Específicos

No final da formação o formando deverá ser capaz de, utilizando o

material didáctico fornecido e sem erros:

• Definir os conceitos associados ao método das malhas;

• Aplicar o método das malhas na presença de fontes

indepen-dentes de tensão e identificar as particularidades de uma matriz

de resistências no método das malhas;

• Reconhecer as excepções ao método das malhas, por exemplo, a

presença de fontes independentes de corrente ou de fontes

dependentes;

• Explorar, analisar e resolver vários exemplos, aplicando o

método das malhas

método das malhas.

Método das Malhas

Objectivo:

• O método das malhas consiste na escrita da tensão em cada

O método das malhas consiste na escrita da tensão em cada

ramo de uma malha como função das correntes de malha (ou

correntes circulantes);

• O objectivo é obter as tensões nos r ramos do circuito.

Base do método:

• KVL em r - n + 1 malhas.

O método será acompanhado do Exemplo 1:

Método das Malhas na Presença de

Fontes de Tensão Independentes (I)

Algoritmo:

0. Estabelecer um sentido de circulação para as malhas. 1. Escrever as KVL para as malhas do circuito:

v2  v5  e1  0              0 0 0 2 4 3 5 2 4 1 5 2 v v v v e v e v v

2. Escrever as tensões nos ramos em função das correntes nos ramos:

   2  2. 2 i R i R v          5 5 5 4 4 4 3 3 3 . . . i R v i R v i R v v5 R5.i5

(2)

Método das Malhas na Presença de

Fontes de Tensão Independentes (II)

3. Substituindo (2) em (1) obtemos:  R2.i2  R5.i5  e1           0 . . . . . 2 2 4 4 3 3 2 5 5 4 4 i R i R i R e i R i R

4. Expressar as correntes nos ramos em função das correntes de malha ou circulantes, j1, j2, j3: i j “A i l ã d fi id d l          3 1 2 1 1 j i j j i j

i “As correntes circulantes são definidas de tal forma que a corrente num ramo exterior à malha é igual à corrente circulante, enquanto que a

          2 1 5 3 2 4 3 3 j j i j j i j

i _{corrente num ramo interior é obtida por adição}

ou subtracção de correntes circulantes, de acordo com os sentidos.”

i5 j1 j2

Método das Malhas na Presença de

Fontes de Tensão Independentes (III)

5. Substituindo (4) em (3), obtemos:  R2( j1  j3)  R5( j1  j2)  e1               0 ) ( ) ( . ) ( ) ( 1 3 2 2 3 4 3 3 2 1 2 5 3 2 4 j j R j j R j R e j j R j j R

6. Simplificando e escrevendo na forma matricial, temos:

           R₂  R₅  R₅  R₂ j₁ e₁                                  0 2 1 3 2 1 4 3 2 4 2 4 5 4 5 2 5 5 2 e j j j R R R R R R R R R

Matriz de resistências

Para circuitos com elementos resistivos e fontes independentes de tensão

Método das Malhas na Presença de

Fontes de Tensão Independentes (IV)

Uma matriz de resistências tem uma estrutura particular:

• É simétrica;

É simétrica;

• [ ]

_ii

= ∑ resistências na malha i;

• [ ]

_ij

=-∑ resistências percorridas simultaneamente pelas

correntes j

_i

e j

_j

(sinal positivo para as correntes com o mesmo

sentido e sinal negativo para as correntes com sentido

contrário).

Método das Malhas

Método das Malhas ––

exemplo 1 (I)

Exemplo 1 - Circuitos resistivos com fontes de tensão independentes

Resolução:

Calcular a potência de cada umas das fontes de tensão recorrendo ao método das malhas.

1. Escrever as KVL , expressando as tensões em função das correntes nos ramos:

            0 ) ( 8 ) ( 6 6 40 ) ( 8 2 a b c b b b a a i i i i i i i i  4ic  6(ic  ib)  20

(3)

Método das Malhas

Método das Malhas ––

exemplo 1 (II)

2. Simplificando e escrevendo na forma matricial, temos:

     10  8 0 ia 40                                    20 0 10 6 0 6 20 8 c b a i i i

3. Usando a Regra de Cramer consegue obter-se os valores para as correntes: • Potência da fonte A  40x(-ia) = - 224 W

• Potência da fonte B  20x(ic) = -16 W

• iaa=28/5=5.6 A

• ib=2 A

• icc=-4/5=-0.8A/5 0.8

Método das Malhas

Método das Malhas ––

exemplo 1 (III)

•Para aplicar a Regra de Cramer basta considerar as seguintes matrizes:            a1 a2 a3 ia c1 l l d d d d A                          3 2 9 8 3 6 5 4 c c i i a a a a a a c b

•Para calcular a corrente ia, o denominador é o determinante da matriz A e, no

determinante do numerador, substitui-se a primeira coluna da matriz pelo vector c:

3 2 1 a a c 9 8 3 6 5 2 3 2 1 a a c a a c i_a  9 8 7 6 5 4 3 2 1 a a a a a a a a a a 9 8 7

Método das Malhas

Método das Malhas ––

exemplo 1 (IV)

•

Para calcular a corrente ic, no determinante do numerador, tem que se substituir

a terceira coluna da matriz pelo vector c:

2 5 4 1 2 1 c a a c a a 3 2 1 3 8 7 a a a a a a c a a ic  9 8 7 6 5 4 a a a a a a

Método das Malhas na Presença de

Fontes Independentes de Corrente (I)

Exemplo 2

Resolução:

1. Escrever as KVL , expressando as tensões em função das correntes nos ramos, mas i) tendo em conta a super-malha e ii) expressando a fonte de corrente a evitar em função das correntes circulantes:

Malha 3 R (i i ) R i R (i i ) 0 Malha 3 KVL Super-malha Fonte de Corrente                 2 1 2 5 3 2 3 3 1 1 2 3 3 3 2 1 3 1 . ) ( ) ( 0 ) ( . ) ( i i i v i R i i R i i R i i R i R i i R s s 

(4)

Método das Malhas na Presença de

Fontes Independentes de Corrente (II)

2. Escrever as KVL , expressando as tensões em função das correntes nos ramos:

                                                         s v i i R R R R R R R R R R 0 0 0 0 0 1 1 ) ( 2 1 3 1 5 3 1 3 2 1 3 1         1  1 0 i3 0 is

Nota: A matriz 3x3 não é uma matriz simétrica.

Método das Malhas com

Fontes Dependentes (I)

Exemplo 3

Com fontes dependentes procede-se de modo idêntico ao relativo às fontes i d d

independentes:

• Nas fontes dependentes de tensão, expressa-se a tensão em função das correntes nas malhas;

correntes nas malhas;

• Nas fontes dependentes de corrente, expressa-se a corrente em função das correntes nas malhas.

Método das Malhas com

Fontes Dependentes (II)

Resolução:

1. Escrevem-se as KVL , expressando as tensões em função das correntes nos ramos ramos: KVL Malha 1        ) ( 3 ) ( 2 4 ) ( 8 ) ( 2 ) ( 1 2 1 3 i i i i i i i i i i i i Super-malha 2 Adi i l t t t b l d dê i d i l ti t à               3 ) ( 3 ) ( 2 4 ) ( 3 2 1 1 1 3 2 1 2 i i i i i i i i i i _x

2. Adicionalmente, tem que se estabelecer a dependência de ixrelativamente às

correntes circulantes:

1 i ix 

Método das Malhas com

Fontes Dependentes (III)

3. Resultando o seguinte sistema de equações:

3i1  i2  2i3  8              3 3 2 4 3 8 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 i i i i i i i i i 4. E a solução é a seguinte:  2 3   A 240 i          A 7 6 A 7 2 1 i i       7 A 6 3 7 3 i

(5)

Em suma

Em suma…

• Em circuitos só com fontes de tensão independentes, o método das

malhas envolve a escrita de r-n+1 KVL linearmente independentes;

• Na presença de fontes de corrente ocorrem excepções:

- se as fontes de corrente estiverem em ramos exteriores ao circuito, o problema simplifica-se, dado que a corrente circulante associada fica imediatamente determinada;

- se as fontes de corrente estiverem em ramos interiores ao circuito, terá que se escrever uma KVL para a super-malha, uma circulação que não inclui o ramo com a fonte de corrente e, adicionalmente, terá que se relacionar o valor da fonte de corrente com as correntes circulantes associadas.