Prof. Daniel I. De Souza, Jr., Ph.D.

CONAMET/SAM 2006

TESTE DE VIDA SEQÜENCIAL APLICADO A UM TESTE DE VIDA

ACELERADO COM UMA DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM WEIBULL

DE TRÊS PARÂMETROS - UMA ABORDAGEM UTILIZANDO-SE O

MÉTODO DO MAXIMUM LIKELIHOOD

Prof. Daniel I. De Souza, Jr., Ph.D.

Universidade Federal Fluminense, Dept. de Eng. Civil, Programa de Pós-Graduação, Niterói, RJ, Brasil & Universidade Estadual do Norte Fluminense, Departamento de Eng. de Produção, Campos, RJ, Brasil.

Email:daniel.desouza@hotmail.com

RESUMO

O mecanismo de teste de vida seqüencial constitui-se em uma alternativa interessante ao d um teste de hipótese com tamanho de amostra fixo devido ao pequeno número de observações necessárias para o seu emprego, principalmente quando a distribuição de amostragem é o modelo Weibull de três parâmetros. Acontece porém que em algumas ocasiões, mesmo com o emprego de um teste de vida seqüencial, o número de itens necessário para se chegar a uma decisão de se aceitar ou rejeitar uma hipótese nula poderá ser muito elevado (De Souza, 2000[1]). Desse modo, um mecanismo de truncagem para essa situação de teste de vida foi desenvolvido por De Souza [2] e uma aplicação prática desse mecanismo foi apresentada por De Souza [3]. Mesmo com a aplicação desse mecanismo de truncagem, em algumas ocasiões o tempo disponível para se realizar um teste de vida poderá ser consideravelmente menor do que a vida esperada de um determinado componente ou produto. Para superar esse problema existe uma alternativa de teste de vida acelerado direcionado a forçar o aparecimento de falhas em componentes, ou seja, testando-os em condições muito mais severas do que as encontradas durante a utilização normal desses componentes. Para se traduzir o valor da taxa de falhas obtido em uma condição mais severa de uso da que o componente deverá encontrar quando em utilização normal para um valor de taxa de falhas obtido em uma condição de uso normal desse componente, necessitaremos de uma modelagem estatística adicional. Esses modelos são conhecidos como modelos acelerados.

Uma possível maneira de se traduzir os resultados de teste obtidos sob condições aceleradas de uso para condições normais de uso poderá ser através da aplicação da conhecida “Maxwell Distributon Law.” Nesse trabalho iremos desenvolver um teste de vida para um novo produto industrial. Para estimarmos os três parâmetros do modelo Weibull, utilizaremos o método do “Maximum Likelihood” em uma situação de truncagem do teste por número de falhas, pois o teste de teste de vida irá terminar no momento em que o ponto de truncagem for alcançado. Assumiremos uma situação de aceleração linear. Para avaliarmos a precisão (significância) dos valores obtidos em uma condição normal de uso para os três parâmetros do modelo Weibull, aplicaremos aos tempos normais de falhas esperados um teste de vida seqüencial com um mecanismo de truncagem desenvolvido por De Souza [2]. Um exemplo irá ilustrar a aplicação desse procedimento.

Palavras Chaves: Modelos Acelerados, Teste de Vida Seqüencial, Mecanismo de Truncagem, Maxwell Distribution Law, Teste de Hipóteses, Componente Metalúrgico, Método do Maximum Likelihood, Aceleração Linear.

1. INTRODUÇÃO

Quando apenas a tensão térmica se constitui em um fator de aceleração, um modelo empírico, conhecido como o modelo de Arrhenius, tem sido utilizado com relativo sucesso como um modelo de aceleração. O modelo de Arrhenius está dado pela equação (1) abaixo:

rate

R = _e!EKTn+C ₍₁₎

Nessa equação, Rrate representa a taxa de reação, E representa a energia de ativação da reação, K é a constante de gás (1,986 calorias por mol), Tn é a temperatura em graus Kelvin (273,16 mais o grau Centígrado correspondente) em condições normais de uso, e C representa uma constante.

O fator de aceleração AF2/1 (ou a razão das taxas específicas de reação R2/R1), obtidas em duas distintas temperaturas de aceleração T2 e T1, será dado por: 1 / 2 AF = 1 2 R R = C KT E C KT E 1 2 e e + ! + ! 1 / 2 AF = ! ! " # $ $ % & '' ( ) ** + , -2 1 T 1 T 1 K E exp (2) Aplicando-se o logaritmo natural a ambos os lados dessa equação e após alguma manipulação matemática, obteremos:

(

AF2/1

)

ln = _!! " # $ $ % & 1 2 R R ln = K E !! " # $$ % & ' 2 1 T 1 T 1 (3)

A pergunta que se faz é a de que como uma equação como a equação (3) acima foi desenvolvida? Talvez ela possa ser relacionada com a conhecida “Maxwell Distribution Law”. Essa lei, a qual expressa a distribuição de energias cinéticas de moléculas, é dada pela seguinte equação:

TE

M = M_tot e!E KT (4) Aqui, MTE representa o número de moléculas existentes em uma determinada temperatura absoluta Kelvin T, a qual passa uma energia cinética maior do que E entre o número total de moléculas presente, Mtot.; E é a energia de ativação da reação e K representa a constante de gás (1,986 calorias por mol). A equação (4) exprime a probabilidade de uma molécula de gás possuir uma energia maior do que E. A percentagem do número de moléculas possuindo energia E em duas diferentes temperaturas será dada por:

) 1 ( M ) 2 ( M TE TE ₌ 1 2 KT E KT E e e ! ! .

Aplicando-se o logaritmo natural a ambos os lados dessa equação e após alguma manipulação

matemática, obteremos: _!! " # $$ % & ) 1 ( M ) 2 ( M ln TE TE ₌ K E !! " # $$ % & ' 2 1 T 1 T 1

, a qual é muito parecida com a

equação (3). Através dessa equação (3) poderemos estimar o termo E/K testando o produto ou componente em duas temperaturas aceleradas distintas e calculando o fator de aceleração em relação às distribuições pertinentes. Então;

K E =

(

)

!! " # $$ % & ' 2 1 1 / 2 T 1 T 1 AF ln (5)

O fator de aceleração AF2/1 será dado pela relação θ1/θ2, com θi representando um parâmetro de escala ou ainda um percentual relativo a uma temperatura de tensão Ti. Logo que o termo E/K for calculado, o fator de aceleração AF2/n a ser aplicado em uma temperatura de tensão normal poderá ser obtido da equação (2) através da substituição da temperatura de tensão T1 pela temperatura de tensão normal de uso Tn. Logo:

n / 2 AF = ! ! " # $ $ % & '' ( ) ** + , -2 n T 1 T 1 K E exp (6) 2. A CONDIÇÃO DE ACELERAÇÃO

De Souza [4] mostrou que sob uma condição de aceleração linear, se uma distribuição de vida em um determinado nível de tensão é representada por um modelo Weibull Invertido de três parâmetros, a distribuição de vida em qualquer outro nível de tensão será também representada por um modelo Weibull Invertido de três parâmetros. O mesmo raciocino se aplica a um modelo Weibull de três parâmetros. Assumiremos nesse estudo uma condição de aceleração linear.

Geralmente, os parâmetros de escala e de vida mínima poderão ser estimados pelo uso de dois níveis diferentes de tensão (temperatura ou ciclos ou milhas, etc.), e suas taxas (relações) fornecerão os valores desejados para os fatores de aceleração AFθ e AFϕ. Logo, teremos: AFθ = a n ! ! ₍₇₎ AF_ϕ = a n ! ! ₍₈₎

Novamente, baseado no trabalho de De Souza [4], para o modelo Weibull a função cumulativa em uma situação de teste de vida sob condições

normais de uso Fn(tn−ϕn) em relação a um determinado período de tempo t = tn, será dada por:

(

n n

)

n t F "! = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ' ( AF AF t F n n a

(

n n

)

n t F "! = 1

!

! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & ' ' ' ' ( ) * * * * + , -. / / 0a AFAF t exp a n n (9)

A equação (9) nos informa que, sob uma condição de aceleração linear, se a distribuição de vida em um determinado nível de tensão é representada por um modelo Weibull de três parâmetros, a distribuição de vida em qualquer outro nível de tensão será também representada por um modelo Weibull de três parâmetros. O parâmetro de forma permanece o mesmo, enquanto que o parâmetro de escala acelerado e o parâmetro de vida mínima acelerado serão multiplicados pelo fator de aceleração. A permanência do mesmo parâmetro de forma é uma conseqüência matemática necessária das duas outras afirmações; ou seja, assumindo-se um modelo de aceleração linear e uma distribuição de amostragem Weibull de três parâmetros. Agora, caso diferentes níveis de tensão forneçam amostras com parâmetros de forma muito diferentes entre si, então, ou a distribuição Weibull de três parâmetros não é o modelo adequado para os dados analisados, ou então não temos uma condição de aceleração linear.

Agora, como Rn(tn−ϕn) =1 − Fn(tn−ϕn), teremos:

n t =

(

)

n 1 n n n n ln _{R t}1 ! " " # $ % % & ' (( ) * ++ , -. / 0 + AF n ! ₍₁₀₎

3. ESTIMADOR MAXIMUM LIKELIHOOD PARA O MODELO WEIBULL DE TRÊS PARÂMETROS EM UMA CONDIÇÃO DE TRUNCAGEM POR FALHAS (TIPO II) O método de estimação padrão do Maximum Likelihood quando utilizado na estimação dos parâmetros do modelo Weibull de três parâmetros poderá apresentar problemas, devido ao fato de que as condições de regularidade não serem obtidas: (veja Murthy, et al. [5], Blischke [6] e Zanakis & Kyparisis [7]). Para se resolver esse problema de falta de regularidade, utilizaremos uma modificação proposta por Cohen, et al., [8]. De Souza [4] apresenta uma discussão completa sobre esse assunto quando a distribuição de amostragem é o modelo Weibull Invertido de três parâmetros. O mesmo raciocino se aplica a um modelo Weibull de três parâmetros. A função likelihood para os parâmetros de forma, escala e de vida mínima de uma distribuição de amostragem

Weibull, em uma condição de truncagem por falhas (Tipo II), será dado por:

(

# ;;"!

)

L = k!

_{( )}

! ! " # $ $ % &

'

= r 1 i i t f

[

1 F

( )

tr

]

n r ! !

(

# ;;"!

)

L = k!

_{( )}

! ! " # $ $ % &

'

= r 1 i i t f

[

R

( )

tr

]

n r ! ; t > 0 (11) Com f

( )

ti =

(

)

1 i t !# "! $ " "

(

_{$# "}

)

! $ ti e e com

( )

tr R = _e$

(

tr$# "

)

!_{, obteremos:}

(

# ;;"!

)

L = k! r r ! " !

(

)

1 r 1 i i t ! " # # $ % & & ' ( ) !

*

= × × !=

(

)

" # $ % % r 1 i i t e

(

)

r n r t e ! " # $ % & ' ( ! !* )

A função log likelihood L = ln

_[

L

₍

#;";!

₎

_]

será

então dada por:

L = ln

_{( )}

k + rln

( )

! –r" ln

( )

! +

(

"!1

)

× ×

_!

(

)

= " # r 1 i i t ln –

_!

= " # $ % & ' ( ) * + r 1 i i t –

₍

n !r

₎

"! # $ % & ' ( ) * r t

Para encontrarmos os valores de θ, β e de ϕ que maximizem a função log-likelihood, obteremos as derivadas de θ, β e de ϕ e as faremos iguais a zero. Então, aplicando alguma álgebra, teremos:

! d dL = – ! " r +

(

)

1 r 1 i i t + ! = ! " # $ % !

_&

+ +

(

)(

)

1 r t r n + ! ! " # $ $ ! = 0 (12) ! d L d = ! r – rln

_{( )}

! +

_!

₍

₎

= " # r 1 i i t ln –

_!

= " # $ % & ' ( ) * + r 1 i i t × × ! " # $ % & ' ( ) i t ln –

₍

n !r

₎

"! # $ % & ' ( ) * r t ! " # $ % & ' ( ) r t ln =0(13) ! d L d = –

₍

"!1

₎

(

)

!

= #" r 1 i ti 1 ₊ +

(

)

(

)(

)

! " ! = " ! # $ $ % & ' ' ( ) * " " + * " + !

_,

r 1 r 1 i 1 i n r t t =0 (14)

Da equação (12), teremos: θ =

(

)

(

)(

)

! ! = ! "" " " " " # $ %% % % % % & ' ( ) ) + ( )

*

1 r r 1 i i r t r n t (15)

Note que quando β = 1, a equação (15) se reduzirá ao estimador Maximum Likelihood para a distribuição exponencial de dois parâmetros. Substituindo agora a equação (15) θ nas equações (13) e (14) e aplicando alguma álgebra, as equações (13) e (14) se transformam em:

! r +

_!

₍

₎

= " # r 1 i i t ln –

(

) (

) (

)(

) (

)

(

) (

)(

)

!

!

= " " = " " # $ $ + # $ % % & ' ( ( ) * # $ # $ $ + # $ # $ + r 1 i i r r 1 i i i r r t r n t t ln t r n t ln t r = 0 (16) –

(

) (

)(

)

! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & ' ( ( + ' (

)

= * * r t r n t r 1 i i r

₍

_"!1

₎

_× ×

(

)

!

= #" r 1 i ti 1 + β × ×

₍

₎

₍

₎₍

₎

! ! " # $ $ % & ' ( ( + ' ( )( = ( )

*

r 1 r 1 i 1 i n r t t = 0 (17)

Para se resolver esse problema de falta de regularidade, um dos métodos propostos por Cohen et al. [8] é o de se substituir a equação (17) pela equação

( )

! E = !_n = t₁− ! " 1n n !!" # $$ % & + ' ( 1 1 (18) Na equação (18) t1 representa a primeira ordem estatística de uma amostra de tamanho n. Na resolução das equações resultantes da aplicação do método Maximum Likelihood, iremos utilizar esse método proposto por Cohen et. al [8]. A derivação da equação (18) poderá ser encontrada em De Souza [2-3].

4. O TESTE DE VIDA SEQÜENCIAL

A função densidade da distribuição Weibull de três parâmetros é dada por

( )

t f = ! " t #"!1 $ % & ' ( ) * ! ! ! " # $ $ % & ' ( ) * + , -. / / 0 t exp ; t ≥ 0

As situações de teste de hipótese foram dadas por Kapur and Lamberson [9], e De Souza [1].

1. Para o parâmetro de escala θ: H0: θ ≥ θ0; H1: θ < θ0

A probabilidade de se aceitar a hipótese nula H0 será dada por (1−α) no caso de θ = θ0. Agora, se θ = θ1 onde θ1 < θ0, então a probabilidade de se aceitar H0 será fixada em um nível inferior γ. 2. Para o parâmetro de forma β:

H0: β ≥ β0; H1: β < β0

A probabilidade de se aceitar a hipótese nula H0 será também dada por (1−α) caso de β = β0. Agora, no caso de β = β1 onde β1 < β0, então a probabilidade de aceitarmos H0 será também fixada em um nível inferior γ.

3. Para o parâmetro de localização ϕ: H0: ϕ ≥ ϕ0; H1: ϕ < ϕ0

Novamente, a probabilidade de se aceitar a hipótese nula H0 será dada por at (1-α) no caso de ϕ = ϕ0. Agora, no caso de ϕ = ϕ1 onde ϕ < ϕ0, então a probabilidade de aceitarmos H0 será também fixada em um nível inferior γ.

A relação probabilística seqüencial (RPS) será dada por RPS = L1,1,1,n / L0,0,0,n. De acordo com De Souza [2], para o modelo Weibull de três parâmetros, teremos: ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ' ( ) ( ' ' ' ₀ 0 0 1 1 1 ln n −

(

)

_! " # $ % & ' ( ) 1 ln < X_i < < ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ' ( ) ( ' ' ' 0 0 0 1 1 1 ln n +

(

)

_! " # $ % & ' ( ) 1 ln (19) i X =

_!

(

)

(

)

= " " _## # # $ % & & & & ' ( ) * + + ) * + " " n 1 i 0 0 0 0 i 1 1 1 1 i t t −

(

"₁!1

)

×

_!

(

)

= " # n 1 i i 1 t ln +

(

"₀ !1

)

_!

(

)

= " # n 1 i i 0 t ln (20)

5. TAMANHO ESPERADO DA AMOSTRA DE UM TESTE DE VIDA SEQÜENCIAL PARA O PROPÓSITO DE TRUNCAGEM De acordo com Mood and Graybill [10], uma expressão aproximada para o tamanho esperado da amostra de um teste de vida seqüencial E(n) será dado por:

( )

n E =

( )

[

( )

]

( )

w E B ln , P 1 A ln , P"! + # "!

De acordo com De Souza [2], para o modelo Weibull de três parâmetros, teremos:

( )

w E = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ' ( ) ( ' ' ' 0 0 0 1 1 1 ln +

(

"₁!1

)

× ×

(

)

_! " # $ % & ' ( ₁ t ln E −

(

"₀ !1

)

(

)

_! " # $ % & ' ( ₀ t ln E – 1 1 1 ! "

(

)

! ! " # $ $ % & ' ( ₁ )1 t E + 0 0 1 ! "

(

)

! ! " # $ $ % & ' ( ₀ ) 0 t E (21) A =

(

"!

)

# 1 ; B =

(

)

! " # 1

A solução de cada componente da equação (21) poderá ser encontrada em De Souza {2-3}.

6. EXEMPLO

Estamos tentando determinar os valores dos parâmetros de forma, escala e vida mínima de um modelo de amostragem Weibull, representando o ciclo de vida de um novo componente metalúrgico. Uma vez que se determine a curva de vida para esse componente, teremos condição de verificar se novas unidades produzidas terão as características necessárias requeridas através de um teste de vida seqüencial. Acontece que o tempo disponível para se realizar esse teste de vida é consideravelmente menor do que a vida esperada do componente. Então, teremos de depender de um mecanismo de teste de vida acelerado para podermos obter tempos de falhas, os quais serão utilizados no processo de estimação dos três parâmetros. Esse componente metalúrgico possui uma temperatura normal de operação de 295 K (cerca de 22 graus Centígrados). Sob uma temperatura de tensão acelerada de 450 K, 12 unidades desse componente metalúrgico foram colocadas em teste, com o teste sendo truncado no momento de ocorrência da nona falha. A Tabela I apresenta esses tempos de falhas (em horas). Agora, sob uma temperatura de tensão acelerada de 480 K, 12 unidades desse componente foram novamente colocadas em teste, com o mesmo sendo truncado por ocasião da ocorrência

da nona falha. A Tabela II mostra esses tempos de falhas (em horas).

Tabela I. Tempo de Falhas (horas) dos componentes metalúrgicos testados sob uma temperatura de tensão acelerada de 450 K.

707,3 750,5 590,6

806,3 677,6 730,0

667,8 775,3 638,1

Tabela II. Tempo de Falhas (horas) dos componentes metalúrgicos testados sob uma temperatura de tensão acelerada de 480 K.

493,2 595,4 559,6

461,3 515,3 478,5

597,7 531,2 561,1

Utilizando-se o método de estimação do “maximum likelihood” para os parâmetros de forma β, de escala θ e vida mínima ϕ do modelo Weibull em uma situação de truncagem por falhas (Tipo II), obtivemos os seguintes valores para esses três parâmetros em condições de teste aceleradas.

Com temperatura de 450 K. β1 = βn = β = 9,2; θ1 = 629,7 horas; ϕn1 = 109,89 horas

Com temperatura de 480 K. β2 = βn = β = 9,198 ≈ 9,2 θ2 = 495,1 horas; ϕ2 = 86,4 horas

O parâmetro de forma não se alterou com β = 9,2 O fator de aceleração para o parâmetro de escala AFθ2/1 será dado por AF!21 =

2 1 !! = 495,1 7 , 629

Utilizando-se a equação (5), poderemos estimar o termo E/K. Logo:

K E =

(

)

!! " # $$ % & ' 2 1 1 / 2 T 1 T 1 AF ln =

(

)

! " # $ % & ' 480 1 450 1 1 , 495 7 , 629 ln = 1.731,48

Empregando-se agora a equação (6), o fator de aceleração para o parâmetro de escala a ser aplicado na temperatura de tensão normal AFθ2/n será dado por:

n / 2 AF = ! ! " # $ $ % & '' ( ) ** + , -2 n T 1 T 1 K E exp n / 2 AF = _! " # $ % & ' ( ) * + , -480 1 295 1 48 , 731 . 1 exp = 9,604

Desse modo, o valor estimado do parâmetro de escala do componente quando operando na temperatura de tensão normal será dado por:

n

! = AF_2/n × θ2 = 9,604 × 495,1

n

! = 4.754,9 horas

O fator de aceleração para o parâmetro de vida mínima AFφ2/1 será igual à:

1 2 AF! = 2 1 !! = 86,4 89 , 109

Empregando-se novamente a equação (5), poderemos mais uma vez estimar o termo E/K. Então: K E =

(

)

!! " # $$ % & ' 2 1 1 / 2 T 1 T 1 AF ln =

(

)

! " # $ % & ' 480 1 450 1 4 , 86 89 , 109 ln = 1.731,54

Novamente utilizando-se a equação (6), poderemos calcular o fator de aceleração para a vida mínima AFφ2/n a ser aplicado na temperatura de tensão normal. Desse modo, teremos:

n / 2 AF = ! ! " # $ $ % & '' ( ) ** + , -2 n T 1 T 1 K E exp n / 2 AF = _! " # $ % & ' ( ) * + , -480 1 295 1 54 , 731 . 1 exp = 9,605 Como esperávamos, AFθ = AFϕ = AF = 9,604

Finalmente, o valor estimador do parâmetro de vida mínima do componente quando operando na temperatura de tensão normal será dado por:

n

! = AF_2/n × φ2 = 9,605 × 86,4 = 829,8 horas Desse modo, a vida do componente metalúrgico quando utilizado em uma situação normal de operação, poderá ser representada por um modelo Weibull de três parâmetros possuindo um parâmetro de forma β de 9.2; um parâmetro de escala θ de 4,754.9 horas e um parâmetro de vida mínima φ igual à 829.8 horas.

Para avaliarmos a precisão (significância) dos valores obtidos em uma condição normal de uso para os três parâmetros do modelo Weibull aplicaremos aos tempos normais de falhas esperados um teste de vida seqüencial com um mecanismo de truncagem desenvolvido por De Souza [2]. Esses tempos esperados de falhas sob uma condição normal de uso serão gerados através da multiplicação dos nove tempos de falhas obtidos sob uma condição de teste acelerado a temperaturas de 480 K, dados pela Tabela (2), pelo fator de aceleração AF de 9,6.

Para esse teste de vida seqüencial, decidiu-se que α seria de 0,05 e que γ seria de 0,10. Nesse exemplo, escolheu-se os seguintes valores para os parâmetros das hipóteses alternativa e nula:

parâmetro de escala alternativo θ1 = 4.200 horas, parâmetro de forma alternativo β1 = 8,8 e parâmetro de vida mínima alternativo ϕ1 = 800 horas; parâmetro de escala nulo θ0 = 4.755 horas, parâmetro de forma nulo β0 = 9,2 e parâmetro de vida mínima nulo ϕ0 = 830 horas. Fazendo agora P(θ,β,ϕ) ser igual a 0,01, poderemos então calcular o tamanho esperado da amostra com propósito de truncagem E(n) para esse teste de vida seqüencial. Utilizando-se a equação (21) e a expressão para E(n), teremos:

( )

w E = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ' ( ) ( ' ' ' 0 0 0 1 1 1 ln +

(

"₁!1

)

× ×

(

)

_! " # $ % & ' ( ₁ t ln E −

(

"₀ !1

)

(

)

_! " # $ % & ' ( ₀ t ln E – 1 1 1 ! " #

(

)

! ! " # $ $ % & ' ( ₁ )1 t E + 0 0 1 ! "

(

)

! ! " # $ $ % & ' ( ₀ ) 0 t E

Resolvendo-se a equação acima, obteremos:

( )

w E = 4,434 + 7,8 × 7,273387 − 8,2 ×7,131712 – – 2,928 + 1,0 = 0,758 Agora, com P

₍

# ,,"!

₎

= 0,01, ln

_{( )}

B =

(

)

_! " # $ % & ' ( ) 1 ln = =

(

)

_! " # $ % & ' 05 . 0 10 . 0 1 ln = 2,890 e também com

( )

A ln = ! " # $ % & ' ( ) 1 ln = ! " # $ % & ' 050. 1 10 . 0 ln = −2,2513, teremos:

( ) ( )

, lnA

[

1 P

( )

,

]

ln

( )

B P "! + # "! = = "0,01!2,2513+0,99!2,8904 = ≈ 2,839 Logo: E

_{( )}

n =

( )

[

( )

]

( )

w E B ln , P 1 A ln , P"! + # "!

( )

n E = 758 , 0 839 , 2 = 3,745 ≈ 4 itens

Desse modo, poderíamos tomar a decisão de se aceitar ou se rejeitar a hipótese nula H0 após a análise da observação de número 4.

Utilizando-se as equações (19) e (20) e multiplicando-se os nove tempos de falhas obtidos sob uma condição de teste de vida acelerado a uma temperatura de 480 K dados pela Tabela II, pelo fator de aceleração AF de 9,6, poderemos então calcular os limites para o teste de vida seqüencial. A Figura 1 seguinte apresenta o teste de vida seqüencial para o modelo Weibull de três parâmetros.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 PONTO DE TRUNCAGEM REJEITE Ho ACEITE Ho V A L O R E S D E X NÚMERO DE ITENS

Figura 1. Teste de vida seqüencial para o modelo Weibull de três parâmetros

De acordo com Kapur e Lamberson [9], quando o ponto de truncagem é alcançado, traça-se uma linha dividindo o gráfico seqüencial, conforme apresentado na Figura 1 acima.

Essa linha será traçada passando pela origem do gráfico e paralela às linhas de aceitação e de rejeição. A decisão de se aceitar ou de se rejeitar a hipótese nula H0 dependerá apenas do lado dessa linha no qual a última observação se encontra. Obviamente esse procedimento irá alterar os níveis α e γ do teste de vida original; entretanto, ainda de acordo com Kapur e Lamberson [9], essa mudança será insignificante se o ponto de truncagem não for muito pequeno (< 3 observações). Como podemos notar na Figura 1, a hipótese nula H0 deverá ser aceita pois a última observação (observação número 4) se encontra no lado da linha divisória relacionada com a aceitação de H0.

7. CONCLUSÃO

Existem duas importantes limitações ao uso da equação de Arrhenius: inicialmente, para todo a faixa de temperatura utilizada no teste torna-se necessária a obtenção de taxas lineares específicas de variação. Isso acarreta a necessidade de que a taxa de reação, indiferentemente se a mesma é medida ou representada, permaneça constante durante o período de tempo no qual o processo de envelhecimento é avaliado. Agora, se a taxa esperada de reação vier a variar durante a realização do teste de vida, então não será possível se identificar uma taxa específica que seja referida a uma temperatura específica. Se o mecanismo de reação for diferente em temperaturas mais elevadas ou menos elevadas, isso também deverá alterar o valor do parâmetro de forma da distribuição de vida do componente sendo testado.

Em Segundo lugar, torna-se necessário que a energia de ativação seja independente da temperatura, ou seja, permaneça constante em todo o intervalo das temperaturas utilizadas durante o teste. Acontece que, de acordo com Chornet e Roy [11], “a aparente energia de ativação não é sempre

constante, especialmente quando existe mais de um processo se desenvolvendo durante o teste de vida.” Comentários adicionais sobre as limitações do uso da equação de Arrhenius poderão ser encontrados em Feller [12].

Nesse trabalho realizamos um teste de vida com um novo produto industrial, utilizando um mecanismo de aceleração. Para estimarmos os três parâmetros do modelo Weibull, empregamos o método do “Maximum Likelihood” em uma situação de truncagem do teste por número de falhas, pois o teste de teste de vida se encerrou no momento em que o ponto de truncagem for alcançado. Assumimos uma situação de aceleração linear. O parâmetro de forma permanece o mesmo, enquanto que o parâmetro de escala acelerado e o parâmetro de vida mínima acelerado serão multiplicados pelo fator de aceleração. A permanência do mesmo parâmetro de forma é uma conseqüência matemática necessária das duas outras afirmações; ou seja, assumindo-se um modelo de aceleração linear e uma distribuição de amostragem Weibull de três parâmetros. Agora, caso diferentes níveis de tensão forneçam amostras com parâmetros de forma muito diferentes entre si, então, ou a distribuição Weibull de três parâmetros não é o modelo adequado para os dados analisados, ou então não temos uma condição de aceleração linear.

Para podermos traduzir os resultados do teste de vida obtidos em uma condição de aceleração para uma condição de uso normal, seguimos a lógica fornecida pela lei de Maxwell, conhecida como “The Maxwell Distribution Law.” Para avaliarmos a precisão (significância) dos valores obtidos em uma condição normal de uso para os três parâmetros do modelo Weibull, aplicamos aos tempos normais de falhas esperados um teste de vida seqüencial com um mecanismo de truncagem desenvolvido por De Souza [2]. Esses tempos esperados de falhas sob uma condição normal de uso foram gerados através da multiplicação dos nove tempos de falhas obtidos sob uma condição de teste acelerado a temperaturas de 480 K, dados pela Tabela II, pelo fator de aceleração AF de 9,6. Como vimos na Figura 1, aceitaremos a hipótese nula de que a vida do componente metalúrgico quando utilizado em uma condição normal de uso, poderá ser representado por um modelo Weibull de três parâmetros, possuindo um parâmetro de forma β de 9,2; um parâmetro de escala θ de 4.754,9 horas e um parâmetro de vida mínima φ de 829.8 horas.

8. REFERÊNCIAS

1. De Souza, Daniel I. “Further Thoughts on a Sequential Life Testing Approach Using a Weibull Model”, Foresight and Precaution, ESREL 2000 Congress, Cottam, Harvey, Pape & Tait (eds), Edinburgh; Scotland; 14–17 May 2000; Vol 2, pp. 1641-1647, Rotterdam,: Balkema.

2. De Souza, Daniel I, “Sequential Life Testing with a Truncation Mechanism for an Underlying Three-Parameter Weibull Model”,

ICHEAP-6, Chemical Engineering

Transactions, 2003, Vol 3, pp. 557-562, Sauro Pierucci (ed), Pisa, Italy.

3. De Souza, Daniel I., “Application of a Sequential Life Testing with a Truncation Mechanism for an Underlying Three-Parameter Weibull Model”, ESREL 2004 – PSAM 7 Conference, Spitzer, Schmoker and Dang (eds.), Berlin, Germany, 14-18 June 2004, Vol 3; pp. 1674-1680, Springer-Verlag publishers.

4. De Souza, Daniel I., “A Maximum Likelihood Approach Applied to an Accelerated LifeTesting with an Underlying Three-Parameter Inverse Weibull Model”, COMADEM 2005 Conference, Mba and Rao (eds.), Cranfield, UK, August 31-September 07 2005, Vol 1, pp. 63-72, Cranfield University Press publisher.

5. Murthy, D. N. P.; Xie, M. and Hang, R., Weibull Models, Wiley Series in Probability and Statistics, 2004, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, USA.

6. Blischke, W. R., “On non-regular estimation II. Estimation of the Location Parameter of the Gamma and Weibull Distributions”, Communications in Statistics, 1974, No 3, pp. 1109-1129

7. Zanakis, S. H. and Kyparisis, J., “A Review of Maximum Likelihood Estimation Methods for the Three Parameter Weibull Distribution”, Journal of Statistical Computation and Simulation, 1986, No 25, pp. 53-73.

8. Cohen, A. C.; Whitten, B. J. and Ding, Y, “Modified Moment Estimation for the Three-Parameter Weibull Distribution”, Journal of Quality Technology, 1984, 16, pp.159-167

9. Kapur, Kailash and Lamberson, Leonard R., Reliability in Engineering Design. New York: 1977, John Willey & Sons, Inc.

10. Mood, A. M. and Graybill, F. A., Introduction to the Theory of Statistics, Second Edition, New York: 1963, McGraw-Hill.

11. Chornet and Roy, “Compensation of Temperature on Peroxide Initiated Cross linking of Polypropylene”, European Polymer Journal, 1980, 20, pp. 81-84

12. Feller, Robert L., Accelerated Aging, Photochemical and Thermal Aspects, The Getty Conservation Institute. Printer: Edwards Bross., 1994, Ann Harbor, Michigan, USA.