Variedades de Dimensão 4 com Curvatura Biortogonal Positiva

49 

Texto

(1)

Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´

atica

Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica

Variedades de Dimens˜

ao 4 com Curvatura

Biortogonal Positiva

Caroline Martins da Silva Saba

Salvador-Bahia Abril de 2015

(2)

Biortogonal Positiva

Caroline Martins da Silva Saba

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Co-legiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa

Salvador-Bahia Abril de 2015

(3)

Saba, Caroline Martins da Silva.

Variedades de dimens˜ao 4 com curvatura biortogonal positiva/ Caroline Martins da Silva Saba. – 2015.

39 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Salvador, 2015.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria Diferencial. 2. Variedades de dimens˜ao 4(Topologia). 3. Einstein, Variedades de. 4. Variedades riemannianas. I. Costa, ´Ezio de Ara´ujo. II. Universidade Federal da Bahia. Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

CDD - 516.3 CDU - 514.7

(4)

Biortogonal Positiva

Caroline Martins da Silva Saba

Disserta¸c˜ao de mestrado apresentada ao Co-legiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 16 de abril de 2015.

Banca examinadora:

Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa (Orientador) UFBA

Profa. Dra. Ana Lucia Pinheiro Lima UFBA

Prof. Dr. Ernani de Sousa Ribeiro J´unior UFC

(5)

`

A minha m˜ae e ao meu irm˜ao.

(6)

Agrade¸co, primeiramente, a Deus pela vida e por ter me guiado e me dado for¸cas para alcan¸car mais esta conquista: a conclus˜ao do Mestrado em Matem´atica.

`

A minha m˜ae, meu exemplo, por todo amor, carinho, dedica¸c˜ao e apoio a mim e pela forma¸c˜ao da pessoa que hoje sou. Ao meu irm˜ao e `a toda minha fam´ılia, por todo amor e carinho.

Ao professor ´Ezio Costa, por ter aceitado me orientar, pela paciˆencia, pelo apoio e por me conduzir na constru¸c˜ao deste trabalho.

Aos professores da gradua¸c˜ao e do Mestrado que contribu´ıram para a minha forma¸c˜ao acadˆemica. Em especial, `a professora Rita, pelo carinho, aten¸c˜ao e por sempre ter me incentivado a estar aqui. Tamb´em, `a professora Ana Lucia, pelo carinho, apoio, aten¸c˜ao, pelas conversas e pelo incentivo constante na minha forma¸c˜ao.

Ao professor Ernani Ribeiro e `a professora Ana Lucia, por aceitarem participar da banca examinadora da minha disserta¸c˜ao e pelas contribui¸c˜oes dadas para melhorar o meu trabalho.

Ao meu namorado, pelo amor, carinho, companheirismo e pelo apoio e incentivo que tem me dado neste momento.

Aos meus amigos da gradua¸c˜ao. Em especial, `a Julianna, pela amizade, pela ajuda sempre que precisei, pelo apoio e incentivo para chegar at´e aqui. Tamb´em, `a Ana Paula, pelos estudos juntas, pelo apoio, pelo carinho e pela amizade.

Aos meus amigos da p´os-gradua¸c˜ao, da sala 18, pelo carinho, pela amizade, pelas contribui¸c˜oes nos estudos e ajudas com o Tex. Foi muito bom conviver com todos vocˆes nesses dois anos. Em especial, `a Bruno, pela amizade e por todos os estudos juntos nesses anos de Mestrado.

(7)

“Comece fazendo o que ´e ne-cess´ario, depois o que ´e poss´ıvel, e de repente vocˆe estar´a fazendo o im-poss´ıvel.”

(8)

Um problema cl´assico em Geometria Diferencial ´e classificar variedades compactas tanto do ponto de vista topol´ogico, quanto do ponto de vista geom´etrico. Sabemos que a curvatura (sob as formas mais variadas) pode determinar a topologia ou a geometria de tais variedades. Nesse presente trabalho, estudamos um tipo de curvatura (curvatura biortogonal) que ´e intermedi´aria entre a curvatura seccional e a curvatura escalar. Em particular, em dimens˜ao 4, essa no¸c˜ao de curvatura tem propriedades interessantes. Nosso principal objetivo ´e apresentar uma classifica¸c˜ao das variedades Riemannianas compactas e orientadas de dimens˜ao 4, M4, que satisfazem as seguintes propriedades:

1. a m´etrica de M4 ´e anal´ıtica;

2. o tensor de Weyl tem divergˆencia nula;

3. o m´ınimo da curvatura biortogonal (K1⊥) satisfaz K1⊥ ≥ s

2

8(3s + 5λ1)

> 0, onde s ´e a curvatura escalar e λ1 ´e o primeiro autovalor do Laplaciano com respeito a g.

Palavras-chave: Variedades de dimens˜ao 4; curvatura biortogonal; tensor de Weyl; F´ormula de Weitzenb¨ock; variedades de Einstein.

(9)

Abstract

A classic problem in Differential Geometry is to classify compact manifolds from both the topological point of view as the geometric point of view. We know that the curvature (on different forms) can determine the topology or geometry of such manifolds. In this present work, we study a notion of curvature (biorthogonal curvature) that is between the sectional curvature and the scalar curvature. In particular, in dimension 4, this notion of curvature has interesting properties. Our aim is to present a classification of compact oriented Riemannian manifolds of dimension 4, M4, that satisfy the following

properties:

1. the metric of M4 is analitic;

2. the Weyl tensor has null divergence;

3. the minimum of the biorthogonal curvature (K1⊥) satisfies K1⊥ ≥ s

2

8(3s + 5λ1)

> 0, where s is the scalar curvature and λ1 is the first eigenvalue of the Laplacian with

respect to g.

Keywords: Manifolds 4-dimensional; biorthogonal curvature; Weyl tensor; Weitzenb¨ock formula; Einstein manifolds.

(10)

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 No¸c˜oes B´asicas de Geometria Riemanniana . . . 3

1.2 Formas . . . 6

1.3 O operador estrela(Operador de Hodge) . . . 7

2 Tensor de Weyl e Curvatura Biortogonal 10 2.1 Tensor de Weyl . . . 10

2.1.1 Decomposi¸c˜ao do Operador de Curvatura . . . 11

2.2 Curvatura Biortogonal . . . 12

2.3 Rela¸c˜ao entre o Tensor de Weyl e a Curvatura Biortogonal . . . 13

3 F´ormula de Weitzenb¨ock, Desigualdade de Kato e Desigualdade de Poin-car´e 17 3.1 Desigualdade de Poincar´e . . . 17

3.2 Tensor de Weyl Harmˆonico e F´ormula de Weitzenb¨ock . . . 18

3.3 Desigualdade de Kato . . . 20

4 Variedades de Einstein de Dimens˜ao 4 22 5 Variedades de Dimens˜ao 4 com Curvatura Biortogonal Positiva 25 5.1 Demonstra¸c˜ao do Teorema Principal . . . 30

(11)

Introdu¸

ao

Um dos mais belos resultados da Geometria Diferencial Global ´e o Teorema da Esfera que afirma o seguinte:

Teorema: Seja (Mn, g), n ≥ 2, uma variedade Riemanniana compacta,

ori-ent´avel e cuja curvatura seccional satisfaz 1

4 < K ≤ 1. Ent˜ao Mn ´e homeomorfa a uma esfera Sn.

Esse resultado foi obtido por Berger, em 1960 (veja [2]), em dimens˜ao par, e por Klingenberg, em 1961 (veja [10]), em dimens˜ao ´ımpar.

Seaman, em 1991 (veja [13]), apresentou a no¸c˜ao de curvatura biortogonal, que ´e mais fraca do que a curvatura seccional, e generalizou o Teorema da Esfera:

Teorema: Seja (Mn, g), n ≥ 2, uma variedade Riemanniana compacta, ori-ent´avel e cuja curvatura biortogonal satisfaz

1 4 < K

≤ 1.

Ent˜ao Mn ´e homeomorfa a uma esfera Sn.

Nessa disserta¸c˜ao, estudaremos a curvatura biortogonal e utilizaremos essa no¸c˜ao para classificar algumas variedades de dimens˜ao 4 com curvatura biortogonal positiva. Consideremos, ent˜ao, M4 uma variedade Riemanniana compacta, orientada, de dimens˜ao

4. Existem as seguintes conjecturas sobre tais variedades:

Conjectura 1: Se M4 tem curvatura seccional K > 0 ent˜ao M4 ´e homeomorfa `

a esfera S4 ou ao espa¸co complexo projetivo CP2.

Conjectura 2: Se M4 ´e uma variedade de Einstein com K > 0 ent˜ao M4 ´e

isom´etrica `a esfera S4 ou ao espa¸co complexo projetivo CP2.

Em particular, D. Yang provou, em 2000 (veja [14]), que a conjectura 2 ´e verda-deira no seguinte caso:

Teorema (Yang): Seja (M4, g) uma variedade de Einstein compacta orientada de dimens˜ao 4 com curvatura de Ricci igual a 1. Se a curvatura seccional K de (M4, g)

satisfaz a condi¸c˜ao

(12)

K ≥ 0 ≡

1249 − 23

120 ≈ 0.102843,

ent˜ao (M4, g) ´e isom´etrica `a esfera S4 ou ao espa¸co complexo projetivo CP2.

E. Costa provou, em 2004 (veja [3]), que o resultado de Yang dado acima continua verdadeiro sob a condi¸c˜ao

K ≥ 2 − √

2

6 ≈ 0.097631.

E. Ribeiro, em 2014 (veja [12]), melhorou ainda mais esse resultado usando a condi¸c˜ao

K ≥ 1

12 ≈ 0.083333.

Em nossa disserta¸c˜ao, provaremos o teorema dado abaixo, que foi obtido por Costa e Ribeiro, em 2014 (veja [5]), e que ´e uma generaliza¸c˜ao do Teorema de Yang.

Teorema Principal: Seja (M4, g) uma variedade Riemanniana compacta, ori-entada, de dimens˜ao 4, com tensor de Weyl harmˆonico e curvatura escalar positiva s. Se a m´etrica g ´e anal´ıtica e

K1⊥ ≥ s

2

8(3s + 5λ1)

,

onde λ1 representa o primeiro autovalor do Laplaciano com respeito a g. Ent˜ao,

1. M4 ´e conformemente plana,

2. ou M4 ´e isom´etrica ao espa¸co complexo projetivo CP2 com sua m´etrica canˆonica.

Para atingir nosso objetivo, dedicamos o primeiro cap´ıtulo `as defini¸c˜oes e aos re-sultados b´asicos de Geometria Riemanniana que est˜ao relacionadas com o tema proposto. Nos cap´ıtulos 2 e 3 apresentamos algumas no¸c˜oes e resultados que ser˜ao utilizados na demonstra¸c˜ao do Teorema Principal, dado acima. No cap´ıtulo 4 apresentamos resultados referentes a variedades de Einstein de dimens˜ao 4. E, no cap´ıtulo 5, demonstramos o Teorema Principal.

(13)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo, introduziremos algumas defini¸c˜oes b´asicas de Geometria Rieman-niana e alguns resultados preliminares que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos posteriores. As defini¸c˜oes referentes `a Geometria Riemanniana encontram-se no livro de do Carmo [6].

Seja M = Mn, n ≥ 2, uma variedade diferenci´avel n-dimensional. Denotaremos por X(M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ tangentes a Mn, por D(M ) o anel das fun¸c˜oes reais definidas em M, de classe C∞, e por T M o fibrado tangente de Mn. Para cada p ∈ M , T

pM denotar´a o espa¸co tangente de Mn em p.

1.1

No¸

oes B´

asicas de Geometria Riemanniana

Defini¸c˜ao 1.1.1. Uma m´etrica Riemanniana em M ´e uma correspondˆencia que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno h , ip, no espa¸co tangente TpM , que varia

diferenciavelmente com p no seguinte sentido: Se x : U ⊂ Rn → M ´e um sistema de

coordenadas locais em torno de p, com x(x1, x2, ..., xn) = q e

∂ ∂xi (q) = dx(0, ..., 1, ..., 0), ent˜ao  ∂ ∂xi (q), ∂ ∂xj (q) 

= gij(x1, x2, ..., xn) s˜ao fun¸c˜oes diferenci´aveis em U .

Defini¸c˜ao 1.1.2. Uma variedade Riemanniana ´e uma variedade diferenci´avel com uma dada m´etrica Riemanniana.

Defini¸c˜ao 1.1.3. Sejam X, Y, Z ∈ X(M ) e f, g ∈ C∞. Uma conex˜ao afim em Mn ´e uma aplica¸c˜ao

∇ : X(M ) × X(M ) → X(M ) que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) ∇f X+gYZ = f ∇XZ + g∇YZ

(ii) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ

(iii) ∇Xf Y = f ∇XY + X(f )Y .

(14)

Defini¸c˜ao 1.1.4. Uma conex˜ao afim ´e dita ser compat´ıvel com a m´etrica, se ela satisfaz a regra do produto, ou seja,

XhY, Zi = h∇XY, Zi + hY, ∇XZi.

Defini¸c˜ao 1.1.5. Uma conex˜ao afim ∇ em uma variedade diferenci´avel M ´e dita ser sim´etrica, quando

∇XY − ∇YX = [X, Y ],

para todo X, Y ∈ X(M ).

Defini¸c˜ao 1.1.6. Uma conex˜ao ´e dita Riemanniana, se ela for sim´etrica e compat´ıvel com a m´etrica.

Defini¸c˜ao 1.1.7. A curvatura R de Mn ´e uma correspondˆencia que associa a cada par X, Y ∈ X(M ) uma aplica¸c˜ao R(X, Y ) : X(M ) → X(M ) dada por

R(X, Y )Z = ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ + ∇[X,Y ]Z,

onde Z ∈ X(M ) e [X, Y ] = ∇XY − ∇YX ´e o colchete de Lie de X e Y .

Defini¸c˜ao 1.1.8. O tensor de curvatura de Mn, R : X(M ) × X(M ) × X(M ) × X(M ) →

D(M ), ´e definido por

R(X, Y, Z, W ) = hR(X, Y )Z, W i, onde X, Y, Z, W ∈ X(M ).

Proposi¸c˜ao 1.1.9. O tensor de curvatura R(X, Y, Z, W ) satisfaz as seguintes proprieda-des:

(i) R(X, Y, Z, W ) = −R(Y, X, Z, W ) = R(Y, X, W, Z); (ii) R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ).

Defini¸c˜ao 1.1.10. Sejam σ um subespa¸co bidimensional de TpM e {X, Y } uma base de

σ. A curvatura seccional de σ em p ´e dada por

K(σ) = K(X, Y ) = R(X, Y, Y, X) |X ∧ Y |2 ,

onde |X ∧ Y |2 = |X|2|Y |2 − hX, Y i2.

No caso em que Xi, Xj s˜ao ortonormais,

Kij = K(Xi, Xj) = R(Xi, Xj, Xj, Xi).

(15)

5

Defini¸c˜ao 1.1.11. Seja X ∈ TpM , com |X| = 1. Ent˜ao, a curvatura de Ricci na dire¸c˜ao

de X ´e dada por Ricp(X) = n X i=2 K(X, Xi),

onde {X1 = X, ..., Xn} ´e uma base ortonormal de TpM .

Defini¸c˜ao 1.1.12. A curvatura escalar de Mn em p ´e dada por

s(p) =

n

X

i=1

Ricp(Xi),

onde {X1 = X, ..., Xn} ´e uma base ortonormal de TpM .

Defini¸c˜ao 1.1.13. Sejam X, Y ∈ TpM e fa¸camos

Ric(X, Y ) = tra¸co da aplica¸c˜ao Z 7→ R(X, Z)Y .

Escolhendo X tal que |X| = 1 e uma base ortonormal {Z1, ..., Zn= X} para TpM , temos

o tensor de Ricci definido por

Ric(X, Y ) =

n−1

X

i=1

hR(X, Zi)Y, Zii.

Defini¸c˜ao 1.1.14. Uma variedade Riemanniana Mn, n > 2, com uma m´etrica g, ´e dita ser uma variedade de Einstein, se a mesma tem curvatura de Ricci constante.

Outra defini¸c˜ao equivalente para variedade de Einstein de dimens˜ao n > 2 ´e a seguinte

Defini¸c˜ao 1.1.15. (Mn, g) ´e uma variedade de Einstein se, e somente se, o tensor de

Ricci ´e um m´ultiplo da m´etrica, isto ´e,

Ric = λg, onde λ ´e uma constante.

Defini¸c˜ao 1.1.16. (Mn, h , i) ´e conformemente plana se, para cada x ∈ Mn, existe um difeomorfismo f : V ⊂ Mn→ V0

⊂ Rn, onde V ´e uma vizinhan¸ca de x ∈ Mn e V0 ´e uma

vizinhan¸ca de f (x) ∈ Rn tal que, para todo p ∈ V e todo v

1, v2 ∈ TpMn, se tenha

hv1, v2ip = u(p)hhdfpv1, dfpv2iif (p),

(16)

1.2

Formas

Defini¸c˜ao 1.2.1. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao n ≥ 2, com produto interno h , i. Uma 1-forma em V ´e um funcional linear f : V → R e, como sabemos, existe um ´

unico vetor u ∈ V tal que f (v) = hu, vi, ∀v ∈ V . Ent˜ao, podemos identificar f com um vetor u ∈ V e usar a nota¸c˜ao u(v) = hu, vi.

Defini¸c˜ao 1.2.2. Uma 2-forma em V ´e uma aplica¸c˜ao bilinear antissim´etrica α : V ×V → R. Se u e v s˜ao dois vetores em V , podemos definir uma 2-forma u∧v (bivetor) da seguinte maneira

u ∧ v : V × V → R (u ∧ v)(x, y) = det hu, xi hu, yi hv, xi hv, yi

!

Dessa defini¸c˜ao, seguem algumas propriedades: 1. v ∧ u = −u ∧ v.

De fato,

(v ∧ u)(x, y) = det hv, xi hv, yi hu, xi hu, yi

!

= hv, xihu, yi − hu, xihv, yi = −(u ∧ v)(x, y).

Em particular, u ∧ u = 0. 2. ((λ1u1 + λ2u2) ∧ v) = λ1u1∧ v + λ2u2∧ v. De fato, det hλ1u1+ λ2u2, xi hλ1u1+ λ2u2, yi hv, xi hv, yi ! = = (hλ1u1, xi + hλ2u2, xi) hv, yi − hv, xi (hλ1u1, yi + hλ2u2, yi)

= λ1(hu1, xihv, yi − hv, xihu1, yi) + λ2(hu2, xihv, yi − hv, xihu2, yi)

= λ1(u1∧ v)(x, y) + λ2(u2∧ v)(x, y).

O conjunto das 2-formas em V ´e um espa¸co vetorial denotado por Λ2(V ). Se

{e1, · · · , en} ´e uma base de V , ent˜ao {ei∧ ej}, com i < j, ´e uma base para Λ2(V ).

Podemos definir um produto interno em Λ2(V ) da seguinte forma:

h , i : Λ2(V ) × Λ2 (V ) → R hei∧ ej, er∧ eki = det hei, eri hei, eki hej, eri hej, eki ! .

Dadas as 2-formas α = ei∧ ej, β = er∧ ek ∈ Λ2(V ), o produto exterior de α e β

pode ser definido como a aplica¸c˜ao:

(17)

7

(α ∧ β)(v1, v2, v3, v4) = det(hei, vji).

Dizemos que uma 2-forma α ∈ Λ2(V ) ´e decompon´ıvel, se existem u, v ∈ V , tais

que α = u ∧ v.

Al´em disso, dados α, β, γ ∈ Λ2(V ), temos as seguintes propriedades b´asicas do

produto exterior:

• α ∧ (β + γ) = α ∧ β + α ∧ γ; • (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ); • α ∧ β = β ∧ α;

• Se α ´e diferente de zero, ent˜ao α ´e decompon´ıvel se, e somente se, α ∧ α = 0. Agora, conhecendo o espa¸co Λ2, podemos apresentar a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸c˜ao 1.2.3. Seja M uma variedade Riemanniana de dimens˜ao n. Em cada ponto x ∈ M , vamos considerar V = TxM e Λ2x = Λ2(TxM ). O operador de cuvatura < em x,

< : Λ2

x→ Λ2x ´e definido por

h<(X ∧ Y ), Z ∧ W i = R(X ∧ Y, Z ∧ W ) = R(X, Y, W, Z), onde R ´e o tensor de curvatura.

Observa¸c˜ao 1.2.4. < ´e uma aplica¸c˜ao linear sim´etrica.

1.3

O operador estrela(Operador de Hodge)

A partir daqui estamos interessados em espa¸cos vetoriais V , de dimens˜ao 4. Seja V um espa¸co vetorial, de dimens˜ao 4, com produto interno h , i. Vamos, ent˜ao, definir o operador estrela ∗. Para isto, considere {e1, e2, e3, e4} uma base ortonormal de V , logo

B = {e1∧ e2, e1∧ e3, e1 ∧ e4, e2∧ e3, e2∧ e4, e3∧ e4}

´e uma base de Λ2(V ).

Defini¸c˜ao 1.3.1. O operador estrela ∗ : Λ2(V ) → Λ2(V ) ´e uma aplica¸ao definida nos

elementos da base B da seguinte forma

∗(e1∧ e2) = e3∧ e4; ∗(e1∧ e3) = e2∧ e4; ∗(e1∧ e4) = e2∧ e3; ∗(e2∧ e3) = e1∧ e4; ∗(e2∧ e4) = e1∧ e3; ∗(e3∧ e4) = e1∧ e2.

(18)

Essa defini¸c˜ao ´e estendida, por linearidade, para os outros elementos de Λ2(V ).

Lema 1.3.2. O operador ∗ : Λ2(V ) → Λ2(V ) satisfaz as seguintes condi¸oes:

(i) ∗ ◦ ∗ = Id;

(ii) ∗ ´e auto adjunto;

(iii) os autovalores de ∗ s˜ao ±1. Prova.

(i) Pela defini¸c˜ao, basta verificar que esta propriedade ´e v´alida para os elementos da base B. Neste caso, temos

∗(∗(e1∧ e2)) = ∗(e3∧ e4) = e1∧ e2, ∗(∗(e1∧ e3)) = ∗(e2∧ e4) = e1∧ e3, ∗(∗(e1∧ e4)) = ∗(e2∧ e3) = e1∧ e4, ∗(∗(e2∧ e3)) = ∗(e1∧ e4) = e2∧ e3, ∗(∗(e2∧ e4)) = ∗(e1∧ e3) = e2∧ e4, ∗(∗(e3∧ e4)) = ∗(e1∧ e2) = e3∧ e4,

o que prova a primeira afirma¸c˜ao.

(ii) Para mostrar que ∗ ´e auto adjunto, tamb´em basta verificar, que essa propri-edade ´e v´alida, para os elementos da base B. De fato, temos

h∗(e1∧ e2), e1∧ e3i = he3∧ e4, e1∧ e3i = det

he3, e1i he3, e3i

he4, e1i he4, e3i

! = 0,

pois, como ei e ej s˜ao ortonormais, temos que hei, eji = δji.

Por outro lado,

he1 ∧ e2, ∗(e1∧ e3)i = he1∧ e2, e2∧ e4i = det

he1, e2i he1, e4i

he2, e2i he2, e4i

! = 0,

pois, como ei e ej s˜ao ortonormais,temos que hei, eji = δ j i.

De maneira an´aloga, conseguimos provar que a propriedade ´e v´alida para os demais elementos da base.

(iii) Temos, por (i), que ∗2 = Id, logo det ∗2 = det Id = 1. Assim, (det ∗)2 = 1.

Portanto, os autovalores de ∗ s˜ao ±1.

 Observa¸c˜ao 1.3.3. O operador ∗ decomp˜oe o espa¸co Λ2(V ) na soma direta ortogonal Λ2(V ) = Λ+(V ) ⊕ Λ(V ), onde Λ± ao os auto espa¸cos de ∗ associados aos autovalores

±1, ou seja

Λ+(V ) = {α ∈ Λ2(V ); ∗α = α},

(19)

9

Sendo dim(V ) = 4, temos que dim(Λ2V ) = 6 e dim(Λ±) = 3. ´E bem conhecido

que Λ+ = span e1∧ e2√+ e3∧ e4 2 , e1∧ e3+ e4∧ e2 √ 2 , e3∧ e2+ e4∧ e1 √ 2  (1.1) e Λ− = span e1 ∧ e2√− e3∧ e4 2 , e1∧ e3− e4∧ e2 √ 2 , e3∧ e2− e4∧ e1 √ 2  (1.2) (veja [12]). Os espa¸cos Λ+(V ) e Λ(V ) s˜ao chamados de parte autodual e parte

(20)

Tensor de Weyl e Curvatura

Biortogonal

Neste cap´ıtulo, apresentaremos as defini¸c˜oes do tensor de Weyl e da curvatura biortogonal e vamos estabelecer algumas rela¸c˜oes entre essas duas no¸c˜oes.

2.1

Tensor de Weyl

Defini¸c˜ao 2.1.1. Seja M4 uma variedade Riemanniana, orientada, de dimens˜ao 4. Em

cada ponto x ∈ M , vamos considerar V = TxM4 e Λ2x = Λ2(TxM4). O tensor de Weyl

em x, W = Wx : Λ2x → Λ2x, ´e definido por

W (X ∧ Y ) = <(X ∧ Y ) − 1

2[Ric(X) ∧ Y + X ∧ Ric(Y )] + s

6(X ∧ Y ), onde s ´e a curvatura escalar de M4, em x,

Ric(Z) =

n

X

i=2

R(Z, Zi)Z,

{Z = Z1, Z2, Z3, Z4} ´e uma base ortonormal de TxM4 e R ´e o tensor de curvatura.

Observa¸c˜ao 2.1.2. W ´e uma aplica¸c˜ao linear sim´etrica.

Em dimens˜ao 4, pela a¸c˜ao do operador estrela ∗ , temos que W pode ser decom-posto na soma direta ortogonal

W = W+⊕ W,

onde W± : Λ± → Λ± ao chamados de parte autodual e anti-autodual de W ,

respectivamente. Logo, por tal decomposi¸c˜ao, temos |W |2 = |W+|2+ |W|2.

(21)

11

Sejam w1±≤ w±2 ≤ w3± os autovalores de W±, respectivamente. Sabemos que tr W±= 3 X i=1 wi± = 0 e |W±|2 = 3 X i=1 (wi±)2.

Podemos caracterizar variedades conformementes planas, utilizando o tensor de Weyl, como segue.

Proposi¸c˜ao 2.1.3. Uma variedade Mn orientada, de dimens˜ao n ≥ 4, ´e conformemente

plana se, e somente se, W ≡ 0.

Prova. Pela defini¸c˜ao de variedade conformemente plana, temos que (Mn, h , i) ´e

con-formemente plana se, e somente se, para cada x ∈ Mn, existe um difeomorfismo conforme

f : V ⊂ Mn → V0

⊂ Rn, onde V ´e uma vizinhan¸ca de x ∈ Mn e V0 ´e uma vizinhan¸ca de

f (x) ∈ Rn tal que, para todo p ∈ V e todo v1, v2 ∈ TpMn, se tenha

hv1, v2ip = u(p)hhdfpv1, dfpv2iif (p),

onde u : Mn → R ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel positiva e hh , ii ´e a m´etrica euclidiana.

Assim, a m´etrica de Mn ´e conforme `a m´etrica do Rn. Sabemos que, em Rn,

W ≡ 0 e a m´etrica conforme preserva o tensor de Weyl. Logo, em Mn, W ≡ 0.

 Em dimens˜ao 4, S4c (c > 0), H4c (c < 0) e R4 (c = 0) s˜ao exemplos de variedades conformemente planas.

Podemos tamb´em definir variedades semiconformemente planas utilizando o ten-sor de Weyl, como na defini¸c˜ao seguinte.

Defini¸c˜ao 2.1.4. Uma variedade M4 orientada, de dimens˜ao 4, ´e semiconformemente plana se, e somente se, W−= 0 ou W+= 0.

O espa¸co complexo projetivo, CP2, possui W− = 0 e W+ 6= 0, ou seja, ´e uma variedade semiconformemente plana.

2.1.1

Decomposi¸

ao do Operador de Curvatura

Considere (M4, g) uma variedade Riemanniana orientada de dimens˜ao 4. Sendo

< o operador de curvatura de M4, a matriz desse operador ´e dada por

< =    W++ s 12Id B B∗ W−+ s 12Id   , onde B : Λ−→ Λ+ α− 7→ α+

(22)

B = Ric − s 4g, em que

• Ric ´e o tensor de Ricci de M4;

• s ´e a curvatura escalar de M4;

• B

: Λ+→ Λ

α+7→ α− ´e o operador adjunto e inverso de B.

Observa¸c˜ao 2.1.5. Como consequˆencia imediata da Defini¸c˜ao 1.1.15, B = 0 se, e so-mente se, (M4, g) ´e uma variedade de Einstein.

2.2

Curvatura Biortogonal

A no¸c˜ao de curvatura biortogonal foi usada em [11] e [13] por M. H. Noronha e W. Seaman, mas a defini¸c˜ao foi feita originalmente por E. A. Costa em [4], como apresentaremos a seguir.

Seja M = Mn uma variedade compacta de dimens˜ao n ≥ 4 e denote por M et(M ) o conjunto das m´etricas Riemannianas em M . Para cada m´etrica g ∈ M et(M ), seja s a curvatura escalar de M na m´etrica g e denote por K a curvatura seccional dessa m´etrica. Para cada x ∈ M , sejam P1e P2 dois subespa¸cos de dimens˜ao 2, do espa¸co tangente TxM ,

que s˜ao mutuamente ortogonais.

Defini¸c˜ao 2.2.1. A curvatura seccional biortogonal K⊥, relativa a P1 e P2 (em x ∈ M ),

´e o n´umero dado por

K⊥(P1, P2) = K(P1) + K(P2) 2 . Se n = 4, escrevemos K⊥(P ) = K(P ) + K(P ⊥) 2 , (2.1)

onde P⊥ ´e o 2-plano ortogonal `a P .

Agora, seja M uma variedade Riemanniana de dimens˜ao 4 e considere as seguintes fun¸c˜oes em M : K1⊥ = min{K⊥(P ); P ´e um 2-plano de TxM }, (2.2) K3⊥= max{K⊥(P ); P ´e um 2-plano de TxM }, (2.3) e K2⊥ = s 4 − K ⊥ 1 − K ⊥ 3 . (2.4)

(23)

13

2.3

Rela¸

ao entre o Tensor de Weyl e a Curvatura

Biortogonal

Nesta se¸c˜ao, provaremos algumas equa¸c˜oes envolvendo os autovalores da parte autodual e anti-autodual do tensor de Weyl e a curvatura biortogonal.

Considere (M4, g) uma variedade Riemanniana orientada, compacta, de dimens˜ao

4.

Lema 2.3.1. Sejam x ∈ M4 e {X

1, X2, X3, X4} uma base ortonormal orientada de TxM4.

Seja tamb´em α = X1 ∧ X2 ∈ Λ2(TxM4) uma 2-forma unit´aria. Ent˜ao α pode ser

uni-camente escrita como α = α++ α, onde α± ∈ Λ±, respectivamente, com |α+|2 = 1

2 e |α−|2 = 1

2.

Prova. Como |α| = 1, j´a que α ´e unit´aria, temos hα, αi = 1. Al´em disso, supondo α = X1∧ X2, obtemos hα, ∗αi = hX1∧ X2, ∗(X1∧ X2)i = hX1∧ X2, X3∧ X4i = det hX1, X3i hX1, X4i hX2, X3i hX2, X4i ! = 0;

pois X1, X2, X3, X4 s˜ao ortonormais entre si.

Como Λ2

x = Λ+x ⊕ Λ −

x, onde Λ+x ´e o auto espa¸co associado ao autovalor +1 e Λ − x ´e

o auto espa¸co associado ao autovalor −1, temos que α pode ser escrita como α = α++ α,

onde ∗(α+) = α+ e ∗(α) = −α. Da´ı, segue que

1 = hα, αi = hα+ + α−, α++ α−i = |α+|2 + 2hα+, αi + |α|2 = |α+|2 + |α|2,

pois, como α+ ∈ Λ+ e α∈ Λ, temos hα+, αi = 0.

Por outro lado, temos que

0 = hα, ∗αi = hα++ α, ∗(α++ α)i = hα++ α, α+− αi = |α+|2− hα+, αi +

hα−, α+i − |α|2 = |α+|2− |α|2.

Portanto, das equa¸c˜oes acima, obtemos |α+|2 = |α−|2 = 1

2.

Para mostrar a unicidade, suponhamos que existam β+, β− ∈ Λ±, respectivamente, tais

que α = β++ β−. Ent˜ao α++ α− = β++ β− ⇒ α+− β+= β− α− Como α+− β+ ∈ Λ+ x, β −− α∈ Λ− x e Λ+x ∩ Λ − x = {0}, j´a que Λ+x ⊕ Λ − x = Λ2x, temos que α+− β+ = 0 ⇒ α+ = β+ β−− α− = 0 ⇒ β= α

(24)

Portanto, α pode ser unicamente escrita como α = α+ + α. Isto conclui a prova do

Lema.

 Com as nota¸c˜oes do lema acima, a curvatura seccional ´e dada por

K(X1∧ X2) = K(α) = h<(α), αi,

onde α = X1∧ X2 = α++ α−.

Para encontrar a express˜ao para a curvatura seccional K(α), vamos calcular pri-meiramente <(α). <(α) =    W++ s 12Id B B∗ W−+ s 12Id       α+ α−   . Da´ı, obtemos <(α) =    W+(α+) + s 12α ++ Bα− B∗α++ W) + s 12α −   . Logo, K(α) = h<(α), αi = D W+(α+) + s 12α + + +Bα−, B∗α++ W−(α−) + s 12α − , (α+, α−) E = hW+(α+), α+i + s 12|α +|2 + hBα−, α+i + hW+(α+), α−i + + s 12hα +, αi + hBα− , α−i + +hB∗α+, α+i + hW−(α−), α+i + s 12hα − , α+i + hB∗α+, α−i + hW−(α−), α−i + s 12|α −|2.

Por outro lado, observe que • s 12(|α +|2+ |α|2) = s 12, pois |α +|2+ |α|2 = 1; • hW++), αi = 0, pois W++)⊥α, j´a que W++) ∈ Λ+ e α∈ Λ; • hα+, αi = hα, α+i = 0, pois α+⊥α;

• hBα−, αi = hα+, αi = 0 e hBα+, α+i = hα, α+i = 0, ambos pelo item anterior;

• hW−), α+i = 0, pois W)⊥α+, j´a que W) ∈ Λe α+ ∈ Λ+;

• hB∗α+, αi = hα+, Bαi, pois B´e adjunta de B;

• Al´em disso, hW++), α+i = hα+, W++)i, hW), αi = hα, W)i e

(25)

15

Substituindo essas igualdades na express˜ao de K(α), obtemos K(α) = s 12 + hα +, W++)i + hα, W)i + 2hα+, Bαi. Em particular, se α⊥ = X3∧ X4 = α+− α−, temos K(α⊥) = s 12+ hα +, W++)i + h−α, W(−α)i + 2hα+, B(−α)i.

Como W− e B s˜ao aplica¸c˜oes lineares, conclu´ımos que K(α⊥) = s

12 + hα

+, W++)i + hα

, W−(α−)i − 2hα+, Bα−i. Somando as equa¸c˜oes de K(α) e K(α⊥), temos

K(α) + K(α⊥) = 2  s 12 + hα +, W++)i + hα, W)i. Assim, K(α) + K(α⊥) 2 = s 12+ hα +, W++)i + hα, W)i.

Portanto, usando a equa¸c˜ao (2.2), obtemos K1⊥= s 12+ min  hα+, W++)i; |α+|2 = 1 2  + min  hα−, W−(α−)i; |α−|2 = 1 2  . (2.5) Observe que min  hα±, W±(α±)i; |α±|2 = 1 2  = w±1|α±|2 = w ± 1 2 , onde w1± s˜ao os menores autovalores de W±, respectivamente.

Portanto, pela equa¸c˜ao (2.5), temos K1⊥− s

12 =

w1++ w1

2 . (2.6)

Argumentando de forma an´aloga usando a equa¸c˜ao (2.3), e sabendo que max  hα±, W±±)i; |α±|2 = 1 2  = w±3|α±|2 = w ± 3 2 , onde w3± s˜ao os maiores autovalores de W±, respectivamente, temos

K3⊥− s 12 = w3++ w3− 2 . (2.7) Substituindo (2.6) e (2.7) em (2.4), obtemos K2⊥ = s 4 −  s 12+ w1++ w−1 2  − s 12+ w+3 + w3− 2  = s 4 − 2s 12+  −w+ 1 − w + 3 2  + −w − 1 − w − 3 2 

(26)

Finalmente, usando w2±= −w±1 − w3±, conclu´ımos que K2⊥− s

12 =

w+2 + w−2

2 (2.8)

As equa¸c˜oes (2.6), (2.7), e (2.8) relacionam os autovalores da parte autodual e anti-autodual do tensor de Weyl com a curvaturva biortogonal.

Em dimens˜ao 4, podemos caracterizar variedades conformemente planas utili-zando a curvatura biortogonal, como dado na proposi¸c˜ao a seguir.

Proposi¸c˜ao 2.3.2. M4 ´e uma variedade conformemente plana se, e somente se,

K⊥(P ) = s(x)

12 , para todo P ⊂ TxM

4,

onde s ´e a curvatura escalar de M4 em x.

Prova. J´a sabemos que M4 ´e uma variedade conformemente plana se, e somente se,

W ≡ 0.

Por outro lado,

W ≡ 0 ⇔ w+i = wi−= 0. Ent˜ao, usamos (2.6), (2.7) e (2.8) para concluir que

K1⊥ = s 12, K ⊥ 2 = s 12 e K ⊥ 3 = s 12.

Assim, pelas defini¸c˜oes de K1⊥, K2⊥ e K3⊥, dadas pelas equa¸c˜oes (2.2), (2.3) e (2.4), temos que

K⊥ = s

12, como afirmado.

(27)

Cap´ıtulo 3

ormula de Weitzenb¨

ock,

Desigualdade de Kato e

Desigualdade de Poincar´

e

Neste cap´ıtulo, definiremos o Laplaciano de uma variedade, o tensor de Weyl harmˆonico e enunciaremos alguns resultados envolvendo esse tensor e o primeiro autovalor do Laplaciano.

3.1

Desigualdade de Poincar´

e

Nesta se¸c˜ao, definiremos Laplaciano de uma variedade M , seu primeiro autovalor e enunciaremos a Desigualdade de Poincar´e.

Defini¸c˜ao 3.1.1. Seja M uma variedade Riemanniana, de dimens˜ao n. O Laplaciano de M, ∆ : D(M ) → D(M ), ´e definido por

∆f = div grad f, f ∈ D(M )

Defini¸c˜ao 3.1.2. Sejam Mn uma variedade Riemanniana compacta e ∆ o Laplaciano

de Mn. Dizemos que um n´umero λ ´e autovalor de ∆, se existe uma fun¸c˜ao diferenci´avel f : Mn→ R, f n˜ao identicamente nula, tal que

∆f = −λf . ´

E um fato conhecido que os autovalores do Laplaciano satisfazem 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn≤ ...

λ1 ´e chamado de primeiro autovalor de ∆.

(28)

Pela defini¸c˜ao acima, existe f1 6= 0 tal que ∆f1 = −λ1f1, onde λ1 6= 0. Em

particular, se M ´e compacta, temos, pelo Teorema de Stokes, queRM∆f1dVg = 0. Segue

ent˜ao que R

Mf1dVg = 0.

Por outro lado,

f1∆f1 = −λ1f12 (3.1)

e ∆f2

1 = 2f1∆f1+ 2| grad f1|2.

Sendo M compacta temos, novamente por Stokes, que R

M∆f 2 1dVg = 0 e, por-tanto, Z M f1∆f1dVg = − Z M | grad f1|2dVg. (3.2) Segue de (3.1) e (3.2) que −λ1 Z M f12dVg = − Z M | grad f1|2dVg. Logo, λ1 = R M| grad f1| 2dV g R Mf 2 1dVg .

Proposi¸c˜ao 3.1.3. O primeiro autovalor do Laplaciano, λ1, satisfaz a seguinte condi¸c˜ao

λ1 = inf  R M | grad f | 2dV g R M f2dVg ; f 6= 0 e Z M f dVg = 0  . Segue da proposi¸c˜ao acima a chamada Desigualdade de Poincar´e:

Z M | grad f |2dV g ≥ λ1 Z M f2dVg, (3.3) onde f 6= 0 eRM f dVg = 0.

Observa¸c˜ao 3.1.4. A desigualdade acima ser´a utilizada na demonstra¸c˜ao do Teorema Principal.

3.2

Tensor de Weyl Harmˆ

onico e F´

ormula de

Weit-zenb¨

ock

Nesta se¸c˜ao, considerando M4 uma variedade Riemanniana orientada de di-mens˜ao 4, definiremos tensor de Weyl harmˆonico e enunciaremos alguns resultados envol-vendo esse tipo de tensor.

Defini¸c˜ao 3.2.1. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e V∗ o espa¸co dual de V , isto ´e, V∗ = {f : V → R} o espa¸co dos funcionais lineares de valores reais em V . Um tensor do tipo (k, l) ´e uma aplica¸c˜ao multilinear

F : V∗× . . . × V∗ | {z } l c´opias × V × . . . × V | {z } k c´opias → R.

(29)

19

Defini¸c˜ao 3.2.2. Um tensor do tipo (0, 4), ou um (0, 4) - tensor, ´e uma aplica¸c˜ao mul-tilinear

F : V∗× V∗× V∗× V∗ → R.

Em particular, o tensor de Weyl de M4, em x, ´e uma aplica¸ao multilinear

W = Wx : Λ2x× Λ 2 x× Λ 2 x× Λ 2 x → R (X, Y, Z, W ) 7→ hW (X ∧ Y ), Z ∧ W i , onde Λ2 x = Λ2(TxM4) ´e o espa¸co dual de TxM4.

Defini¸c˜ao 3.2.3. A divergˆencia formal δ para qualquer (0, 4) - tensor T ´e dada por δT (X1, X2, X3) = −tra¸cog{(Y, Z) 7→ ∇YT (Z, X1, X2, X3)},

onde g ´e a m´etrica de M4

Defini¸c˜ao 3.2.4. O tensor de Weyl de M4 ´e dito harmˆonico se δW = 0.

Pela Proposi¸c˜ao 2.1.3, sobre toda variedade conformemente plana temos que W ≡ 0. Logo, δW = 0. Em particular, S4 tem W ≡ 0.

Toda variedade de Einstein orientada tem tensor de Weyl harmˆonico, pois como consequˆencia da express˜ao (2), em [7], temos, em dimens˜ao 4,

δW = −1 2 d  Ric − s 6g  = −1 2 d  λg − s 6g  = −1 2  λ − s 6  dg = 0, j´a que λ e s s˜ao constantes e dg = 0.

Como W = W+⊕ We, pela Defini¸c˜ao 3.2.4, temos que W ´e harmˆonico se, e

somente se, W± s˜ao harmˆonicos.

Agora, conhecendo o Laplaciano e o tensor de Weyl, podemos enunciar a F´ormula de Weitzenb¨ock (conforme 16.73 em [1]).

Proposi¸c˜ao 3.2.5. Seja M4 compacta. Se o tensor de Weyl de M4 ´e harmˆonico, ent˜ao

a F´ormula de Weitzenb¨ock para W± ´e dada por 1 2∆|W ±|2 + |∇W±|2+ s 2|W ±|2− 18 det W± = 0, onde det W± = w±12w3±.

A seguinte Proposi¸c˜ao foi apresentada por Derdzinski em [8].

Proposi¸c˜ao 3.2.6. Seja (M4, g) uma variedade Riemanniana de dimens˜ao 4, com tensor

de Weyl harmˆonico. Em um ponto p, com Ric(p) 6= 1

4s(p).g, W

+(p) e W(p) tem igual

(30)

3.3

Desigualdade de Kato

Nesta se¸c˜ao enunciaremos a desigualdade de Kato, que tamb´em tem como hip´otese o tensor de Weyl harmˆonico. Antes de enunciar a desigualdade de Kato refinada, mos-traremos o seguinte lema, que ´e a desigualdade de Kato para fun¸c˜oes diferenci´aveis de valores reais.

Lema 3.3.1. Seja u : Rn → R uma fun¸c˜ao diferenci´avel. Se | grad u| 6= 0, ent˜ao | grad | grad u||2 ≤ tr(Hess u)2 .

Prova. Sabemos que

| grad u|2 = n X i=1  ∂u ∂xi 2 . Logo, ∂ ∂xj | grad u|2 = 2 n X i=1 ∂u ∂xi · ∂ 2u ∂xi∂xj .

Derivando o 1o membro, obtemos

2| grad u| · ∂ ∂xj | grad u| = 2 n X i=1 ∂u ∂xi · ∂ 2u ∂xi∂xj .

Isto nos diz que

∂ ∂xj | grad u| = 1 | grad u| n X i=1 ∂u ∂xi · ∂ 2u ∂xi∂xj . Portanto,

| grad | grad u||2 = n X j=1 "  1 | grad u|  n X i=1 ∂u ∂xi · ∂ 2u ∂xi∂xj !#2 ≤ n X j=1 " 1 | grad u|2 · n X i=1  ∂u ∂xi 2 · n X i=1  ∂2u ∂xi∂xj 2# = n X j=1 " 1 | grad u|2 · | grad u| 2 · n X i=1  ∂2u ∂xi∂xj 2# = n X j=1 n X i=1  ∂2u ∂xi∂xj 2

= tr(Hess u)2 , como quer´ıamos demonstrar.

 Em [9], LeBrun e Gursky provaram uma desigualdade de Kato refinada. Mais precisamente, eles mostraram o seguinte resultado.

(31)

21

Proposi¸c˜ao 3.3.2 (Desigualdade de Kato). Se W± s˜ao harmˆonicos, ent˜ao no conjunto P = {p ∈ M4; |W±(p)| 6= 0} temos | grad |W±|| ≤r 3 5|∇W ±| ou |d|W±|| ≤r 3 5|∇W ±|; respectivamente.

(32)

Variedades de Einstein de Dimens˜

ao

4

No cap´ıtulo 1, j´a vimos que (Mn, g), n > 2, ´e uma variedade de Einstein se, e

somente se, o tensor de Ricci ´e um m´ultiplo da m´etrica, isto ´e, Ric = λg, onde λ ´e uma constante.

Neste cap´ıtulo, destacaremos alguns resultados envolvendo variedades de Eins-tein, de dimens˜ao 4. Os exemplos mais simples de variedades de Einstein compactas, de dimens˜ao 4, s˜ao: a esfera S4

c orient´avel, com Ricp = 3c > 0 e K = c > 0; o espa¸co

projetivo real RP4, n˜ao orient´avel, com Ric

p = 3c > 0 e K = c > 0; o espa¸co complexo

projetivo CP2, com curvatura de Ricci constante positiva e o produto de duas esferas S2c× S2c orient´avel, com Ricp = c > 0 e K ≥ 0. Os exemplos mais simples de variedades

de Einstein n˜ao compactas orient´aveis, de dimens˜ao 4, s˜ao: o espa¸co hiperb´olico H4 c, com

RicP = 3c < 0 e K = c < 0 e o produto de dois espa¸cos hiperb´olicos H2c × H2c, com

Ricp = 2c > 0 e K ≤ 0.

O pr´oximo resultado pode ser encontrado em [5].

Proposi¸c˜ao 4.0.3. Seja M4 uma variedade Riemanniana orientada, de dimens˜ao 4. M4

´e uma variedade de Einstein se, e somente se, K(P ) = K(P⊥), para cada x ∈ M4 e para

todo 2 - plano P ⊂ TxM4.

Prova. Seja M4 uma variedade de Einstein. Sejam x ∈ M4 e {e

1, e2, e3, e4} uma base

ortonormal orientada de TxM4. Seja P = [e1, e2] o 2 - plano gerado por e1 e e2 e denote

por P⊥ = [e3, e4] o 2 - plano ortogonal `a P .

Como M4 ´e uma variedade de Einstein, consideremos λ a curvatura de Ricci de

M4. Assim, temos que as curvaturas de Ricci nas dire¸c˜oes de e

1 e e3, respectivamente,

s˜ao dadas por

λ = K(e1, e2) + K(e1, e3) + K(e1, e4),

λ = K(e3, e1) + K(e3, e2) + K(e3, e4).

(33)

23

Subtraindo essas duas equa¸c˜oes e sabendo que K(e1, e3) = K(e3, e1), temos

0 = K(e1, e2) + K(e1, e4) − K(e3, e2) − K(e3, e4). (4.1)

Novamente, as curvaturas de Ricci nas dire¸c˜oes de e2 e e4, respectivamente, s˜ao

dadas por

λ = K(e2, e1) + K(e2, e3) + K(e2, e4),

λ = K(e4, e1) + K(e4, e2) + K(e4, e3).

Subtraindo essas duas equa¸c˜oes e sabendo que K(e2, e4) = K(e4, e2), temos

0 = K(e2, e1) + K(e2, e3) − K(e4, e1) − K(e4, e3). (4.2)

Somando (4.1) e (4.2) e sabendo que K(e2, e3) = K(e3, e2) e K(e4, e1) = K(e1, e4),

obtemos

0 = 2K(e1, e2) − 2K(e3, e4) ⇒ K(e1, e2) = K(e3, e4).

Portanto, como x ´e arbitr´ario, deduzimos que K(P ) = K(P⊥), para cada x ∈ M4

e para todo 2 - plano P de TxM4.

Reciprocamente, suponhamos K(P ) = K(P⊥), para todo 2 - plano P de TxM4

e para cada x ∈ M4. Sejam x ∈ M4 e {X

1, X2, X3, X4} uma base ortonormal de TxM4.

Ent˜ao, temos que

Ric(Xj, Xj) = n X i=2 hR(Xj, Xi)Xj, Xii = n X i=2 (−hR(Xj, Xi)Xi, Xji) . Ou seja, −Ric(Xj, Xj) = n X i=2 hR(Xj, Xi)Xi, Xji.

Em particular, obtemos que

−Ric(X1, X1) = hR(X1, X2)X2, X1i + hR(X1, X3)X3, X1i + hR(X1, X4)X4, X1i = K12+ K13+ K14; −Ric(X2, X2) = hR(X2, X1)X1, X2i + hR(X2, X3)X3, X2i + hR(X2, X4)X4, X2i = K12+ K23+ K24; −Ric(X3, X3) = hR(X3, X1)X1, X3i + hR(X3, X2)X2, X3i + hR(X3, X4)X4, X3i = K13+ K23+ K34; −Ric(X4, X4) = hR(X4, X1)X1, X4i + hR(X4, X2)X2, X4i + hR(X4, X3)X3, X4i = K14+ K24+ K34.

(34)

Como, por hip´otese, K(P ) = K(P⊥), para cada x ∈ M4 e para qualquer 2 -plano P de TxM4, temos K12= K34 K13= K24 K14= K23. (4.3) Seja −Ric(X1, X1) = K12+ K13+ K14= λ(x), para cada x ∈ M4.

Como hX1, X1i = |X1|2 = 1, segue que

−Ric(X1, X1) = λ(x) = λ(x)hX1, X1i.

Sabendo que, hXj, Xji = |Xj|2 = 1, podemos usar (4.3) para concluir que

−Ric(X2, X2) = K12+ K23+ K24= K12+ K14+ K13= λ(x) = λ(x)hX2, X2i;

−Ric(X3, X3) = K13+ K23+ K34= K13+ K14+ K12= λ(x) = λ(x)hX3, X3i;

−Ric(X4, X4) = K14+ K24+ K34= K14+ K13+ K12= λ(x) = λ(x)hX4, X4i.

Logo, Ric(Xj, Xj) = λ(x)hXj, Xji, para qualquer Xj, e, portanto, pela Defini¸c˜ao

1.1.15, temos que M4 ´e uma variedade de Einstein, o que finaliza a prova da proposi¸c˜ao.

 No teorema seguinte, cuja demonstra¸c˜ao encontra-se em [1], Hitchin classificou as variedades de Einstein compactas, semiconformemente planas, com curvatura escalar n˜ao negativa.

Teorema 4.0.4 (Hitchin). Seja M4 uma variedade de Einstein compacta, orientada,

semiconformemente plana, de dimens˜ao 4. Ent˜ao, se s > 0, M4 ´e isom´etrica a S4 ou

(35)

Cap´ıtulo 5

Variedades de Dimens˜

ao 4 com

Curvatura Biortogonal Positiva

Nesse cap´ıtulo, demonstraremos o Teorema Principal. Inicialmente, citaremos alguns exemplos de variedades de dimens˜ao 4, com curvatura biortogonal positiva.

• CP2, K⊥ 1 =

s

24 > 0, onde s ´e a curvatura escalar de CP

2; • S4 c, K ⊥ = c > 0; • S2 c × S2c, 0 ≤ K ⊥ ≤ c; • RP4 c, K⊥ = c > 0;

• Variedade conformemente plana, com curvatura escalar positiva s. Isso decorre do fato de que K1⊥ = s

12.

Teorema 5.0.5 (Teorema Principal). Seja (M4, g) uma variedade Riemanniana

com-pacta, orientada, de dimens˜ao 4, com tensor de Weyl harmˆonico e curvatura escalar positiva s. Se a m´etrica g ´e anal´ıtica e

K1⊥ ≥ s

2

8(3s + 5λ1)

,

onde λ1 representa o primeiro autovalor do Laplaciano com respeito a g, ent˜ao

1. M4 ´e conformemente plana, ou

2. M4 ´e isom´etrica ao espa¸co complexo projetivo CP2 com sua m´etrica canˆonica.

Observa¸c˜ao 5.0.6. As variedades conformemente planas satisfazem a hip´otese K1⊥= s

12 ≥

s2

8(3s + 5λ1)

(36)

do teorema acima, e o mesmo vale para o CP2 pois, nessa variedade, temos K1⊥ = s 24 ≥ s2 8(3s + 5λ1) .

Antes de apresentarmos a demonstra¸c˜ao do Teorema Principal, provaremos alguns Lemas auxiliares.

Lema 5.0.7. O valor m´aximo da fun¸c˜ao f (x, y, z) = xyz, sujeita `as condi¸c˜oes x+y+z = 0 e x2+ y2+ z2 = 1, ´e 1

54.

Prova. Considere g(x, y, z) = x + y + z e h(x, y, z) = x2+ y2+ z2− 1. Usando o m´etodo

dos multiplicadores de Lagrange, temos

grad f (x, y, z) = λ grad g(x, y, z) + µ grad h(x, y, z). Logo, temos o seguinte sistema de equa¸c˜oes

                 ∂f ∂x = λ ∂g ∂x + µ ∂h ∂x ∂f ∂y = λ ∂g ∂y + µ ∂h ∂y ∂f ∂z = λ ∂g ∂z + µ ∂h ∂z ⇔        yz = λ + 2µx xz = λ + 2µy xy = λ + 2µz. (5.1)

Al´em disso, temos

(

x + y + z = 0

x2+ y2+ z2 = 1. (5.2)

Multiplicando as equa¸c˜oes em (5.1) por x, y e z, respectivamente, temos        xyz = λx + 2µx2

xyz = λy + 2µy2

xyz = λz + 2µz2. Somando as trˆes equa¸c˜oes acima, temos

3xyz = λ(x + y + z) + 2µ(x2+ y2+ z2). (5.3) Substituindo (5.2) em (5.3), encontramos

3xyz = 2µ ⇒ µ = 3xyz 2 . Agora, substituindo o valor de µ em (5.1), obtemos        yz = λ + 3x2yz (i) xz = λ + 3xy2z (ii) xy = λ + 3xyz2 (iii)

(37)

27

Fazendo (i) − (ii), temos

yz − xz = 3xyz(x − y) ⇒ z(y − x) − 3xyz(x − y) = 0 ⇒ z(y − x) + 3xyz(y − x) = 0 ⇒ (y − x)(z + 3xyz) = 0. Logo, y − x = 0 ou z + 3xyz = 0. Vamos analisar os dois casos acima.

Caso 1: y − x = 0.

Se y − x = 0, temos y = x.

Ent˜ao, fazendo y = x em x + y + z = 0, obtemos z = −2x. Substituindo essas igualdades em x2+ y2+ z2 = 1, temos

x2+ x2+ (−2x2) = 1 ⇒ 6x2 = 1 ⇒ x = ± √ 6 6 . Portanto, y = x = ± √ 6 6 e z = −2x = ∓ 2√6 6 = ∓ √ 6 3 . Neste caso, f (x, y, z) = ± √ 6 6 ! ± √ 6 6 ! ∓ √ 6 3 ! = ±6 √ 6 6 · 18 = ± √ 6 18 = ± 1 √ 54. Caso 2: z + 3xyz = 0.

Se z + 3xyz = 0, temos z(1 + 3xy) = 0, ou seja, z = 0 ou 3xy + 1 = 0.

Se z = 0, temos f (x, y, z) = 0 e, como no caso 1 j´a encontramos um valor positivo para f , 0 n˜ao ´e valor m´aximo.

Se 3xy + 1 = 0, temos xy = −1

3. Assim, f (x, y, z) = − 1

3z e isto implica que grad f (x, y, z) = (0, 0, −1

3) 6= (0, 0, 0). Logo, f n˜ao possui pontos cr´ıticos nesse caso. Portanto, tendo analisado os casos 1 e 2, podemos concluir que o valor m´aximo de f (x, y, z) ´e √1

54.

 Lema 5.0.8. Se w1± ≤ w2± ≤ w3± s˜ao os autovalores dos tensores W±, respectivamente, ent˜ao

|W±|2 ≤ 6(w± 1)2.

Prova. Sejam w±1 ≤ w2± ≤ w±3 os autovalores de W±, respectivamente. J´a sabemos que esses autovalores satisfazem a equa¸c˜ao

(38)

Da´ı, segue que

−w1± = w±2 + w±3 ⇒ (−w1±)2 = (w2±+ w±3)2

⇒ (w1±)2 = (w2±)2+ 2w2±w±3 + (w3±)2 ⇒ (w1±)2− 2w±2w3±= (w2±)2+ (w3±)2. Somando a equa¸c˜ao acima com (w1±)2, obtemos

2(w±1)2− 2w2±w±3 = (w1±)2+ (w±2)2+ (w±3)2. Sabemos que |W±|2 = (w± 1 )2 + (w ± 2)2 + (w ± 3)2. Logo, |W±|2 = 2(w± 1)2− 2w ± 2w ± 3.

Como w±1 ≤ w±2 ≤ w±3 e w1±+ w2±+ w3± = 0, devemos ter w1± ≤ 0 e w±3 ≥ 0. Sendo assim, se w2±≤ 0, temos w2±w±3 ≤ 0, logo −2w±2w3±≥ 0.

Assim, obtemos |W±|2 = 2(w± 1)2 − 2w ± 2w ± 3 ≤ 2(w ± 1)2 ≤ 6(w ± 1)2.

Por outro lado, como w1±≤ w±

2, temos −w± 2 ≤ −w ± 1. (5.4) De w±1 + w2±+ w±3 = 0, tamb´em temos w±3 = −w±1 − w2±. (5.5) Segue de (5.4) e (5.5) que w3±= −w±1 − w2± ≤ −w1±− w±1 = −2w±1. (5.6) E, por (5.4) e (5.6), segue que

−2w2±w3± ≤ −2w1±w±3 ≤ −2w±1(−2w±1) = 4(w1±)2. Aplicando esta desigualdade em |W±|2 = 2(w±

1)2− 2w ± 2w ± 3, temos |W±|2 = 2(w± 1) 2− 2w± 2w ± 3 ≤ 2(w ± 1) 2+ 4(w± 1 ) 2 = 6(w± 1) 2.

Assim, em todos os casos, temos |W±|2 ≤ 6(w±

1)2, como quer´ıamos concluir.

 Lema 5.0.9. Se M4 ´e uma variedade Riemanniana orientada, de dimens˜ao 4, com

cur-vatura escalar positiva s, ent˜ao:

|W+| + |W| ≤ √ 6s 6− 2K ⊥ 1  . (5.7)

(39)

29

Prova. Sejam w±1 autovalores de W±. Pela equa¸c˜ao (2.6), temos K1⊥− s

12 =

w+1 + w1

2 se, e somente se, w

+ 1 + w − 1 = 2K1⊥− s 6. Assim, pelo Lema 5.0.8 e pela defini¸c˜ao, obtemos

|W+| + |W| ≤ ±√ 6 w+1 + w−1 = −√62K1⊥− s 6  , pois w+1 + w1−< 0 e |W+| + |W| > 0. Logo, |W+| + |W| ≤ √ 6s 6 − 2K ⊥ 1  .  Lema 5.0.10. Se K1⊥≥ s 2 8(3s + 5λ1) e a = 5 6λ1+ s 2, ent˜ao √ 6 s 6− 2K ⊥ 1  ≤ 4a2 25 9 λ 2 1 4√6a . (5.8) Prova. Seja K1⊥≥ s 2 8(3s + 5λ1)

. Multiplicando essa desigualdade por −2, temos

−2K1⊥ ≤ −2s 2 8(3s + 5λ1) = −s 2 4(3s + 5λ1) . Somando s

6 a esta desigualdade, obtemos s 6− 2K ⊥ 1 ≤ s 6 − s2 4(3s + 5λ1) .

Agora, multiplicando por √6, temos √ 6s 6 − 2K ⊥ 1  ≤ √6 s 6− s2 4(3s + 5λ1)  = √6 2s(3s + 5λ1) − 3s 2 12(3s + 5λ1)  = √6 6s 2+ 10sλ 1− 3s2 12(3s + 5λ1)  = √6 3s 2+ 10sλ 1 12(3s + 5λ1)  . Logo, √ 6s 6− 2K ⊥ 1  ≤√6 3s 2+ 10sλ 1 12(3s + 5λ1)  .

(40)

Como a = 5 6λ1 +

s

2, temos s =

6a − 5λ1

3 . Substituindo s na desigualdade anterior, obtemos √ 6s 6 − 2K ⊥ 1  ≤ √6 3s 2+ 10sλ 1 12(3s + 5λ1)  = √6      3 6a − 5λ1 3 2 + 10 6a − 5λ1 3  λ1 12(6a − 5λ1+ 5λ1)      = √6    36a2− 25λ2 1 3 12(6a)   = ( √ 6)2    36a2− 25λ2 1 3 12√6(6a)    = 36a 2− 25λ2 1 36√6a = 4a2 25 9 λ 2 1 4√6a , como quer´ıamos. 

5.1

Demonstra¸

ao do Teorema Principal

Nesta se¸c˜ao, demonstraremos o Teorema Principal.

Demonstra¸c˜ao. Seja (M4, g) uma variedade Riemanniana compacta, orientada, de

di-mens˜ao 4, com tensor de Weyl harmˆonico. Logo, a f´ormula de Weitzenb¨ock para W+ e

W− nos diz que 1 2∆|W ±|2 + |∇W±|2+ s 2|W ±|2− 18 det W± = 0. (5.9) Al´em disso, considere |W±| 6= 0 e w±1 ≤ w2± ≤ w±3 os autovalores de W±, respectivamente. Sejam x± = w ± 1 |W±|, y ±= w ± 2 |W±| e z ±= w ± 3 |W±|, respectivamente. Como tr W± = 3 X i=1

wi± = 0, temos que x± + y±+ z± = 0. Tamb´em temos que

x2+ y2+ z2 = 1, pois |W±|2 = 3

X

i=1

(wi±)2. Logo, x, y e z satisfazem as hip´oteses do Lema 5.0.7. Portanto, x±· y±· z± 1 54 ⇒ w1± |W±| · w2± |W±|· w±3 |W±| ≤ 1 √ 54 = √ 6 18.

(41)

31

Como det W± = w1±· w±2 · w3±, segue que det W± ≤

√ 6 18|W

±|3. (5.10)

Como a m´etrica g ´e anal´ıtica, temos que |W±|2 ao anal´ıticas, pois fun¸c˜ao

dife-renci´avel em variedade de m´etrica anal´ıtica ´e anal´ıtica. Como os zeros de fun¸c˜ao anal´ıtica em compactos s˜ao finitos, temos que o conjunto

Σ = {p ∈ M4; |W+|(p) = 0 ou |W−|(p) = 0} ´e finito, desde que W±6≡ 0.

A ideia principal da demonstra¸c˜ao ´e provar que W− = 0 ou W+ = 0, ou seja, que a variedade ´e semiconformemente plana e, em seguida, usar o Teorema de Hitchin. Vamos ent˜ao supor, por contradi¸c˜ao, que (M4, g) n˜ao ´e semi-conformemente plana. Logo,

|W+| 6≡ 0 e |W| 6≡ 0. Ent˜ao Z M |W+|dV g > 0 e Z M |W−|dVg > 0. Seja t = ...R M |W+|dV g... R M |W−|dV g > 0 tal que Z M (|W+| − t|W−|)dVg = 0.

Considerando a express˜ao (5.9) para W− multiplicada por t2, temos

t2 2∆|W −|2+ t2|∇W|2+ s 2t 2|W|2− 18t2det W− = 0. (5.11) A f´ormula de Weitzenb¨ock para W+ ´e dada por

1 2∆|W

+|2+ |∇W+|2+ s

2|W

+|2− 18 det W+ = 0. (5.12)

Somando as equa¸c˜oes (5.11) e (5.12), obtemos  t2 2∆|W −|2+ 1 2∆|W +|2  + |∇W+|2+ t2|∇W|2 + +s 2 |W +|2+ t2|W|2 − 18 det W++ t2det W = 0.

Calculando a integral sobre M na equa¸c˜ao acima, obtemos 0 = Z M ∆ t 2 2|W −|2 +1 2|W +|2  dVg + Z M |∇W+|2+ t2|∇W−|2 dVg + Z M s 2 |W +|2+ t2|W|2 dV g− Z M 18 det W++ t2det W− dVg.

(42)

Pelo Teorema de Stokes, Z M ∆ t 2 2|W −|2 + 1 2|W +|2  dVg = 0. Logo, Z M |∇W+|2+ t2|∇W|2 dV g+ Z M s 2 |W +|2+ t2|W|2 dV g− − Z M 18 det W++ t2det W− dVg = 0 (5.13)

Como W ´e harmˆonico, W± tamb´em s˜ao harmˆonicos, logo, pela desigualdade de Kato, dada na Proposi¸c˜ao 3.3.2, ´e v´alido que

|d|W+|| ≤ r 3 5|∇W +| ⇒ |d|W+||2 3 5|∇W +|2 5 3|d|W +||2 ≤ |∇W+|2 Logo, Z M 5 3|d|W +||2dV g ≤ Z M |∇W+|2dV g. (5.14)

De forma an´aloga, usando a desigualdade de Kato para W− multiplicada por t2, obtemos Z M 5 3t 2|d|W||2dV g ≤ Z M t2|∇W−|2dV g. (5.15) Somando (5.14) e (5.15), temos 5 3 Z M |d|W+||2+ t2|d|W||2 dV g ≤ Z M |∇W+|2+ t2|∇W|2 dV g. (5.16)

Por outro lado, pela desigualdade dada em (5.10), temos para W+

Z M −18 det W+dV g ≥ Z M −√6|W+|3dV g. (5.17)

Analogamente, temos para W−, Z M −18t2det W− dVg ≥ Z M −√6t2|W−|3dV g. (5.18) Somando (5.17) e (5.18), Z M −√6 |W+|3+ t2|W|3 dV g ≤ Z M −18 det W++ t2det W dV g. (5.19)

Logo, aplicando (5.16) e (5.19) em (5.13), temos 5 3 Z M |d|W+||2+ t2|d|W||2 + Z M s 2 |W +|2 + t2|W|2 dV g −√6 Z M |W+|3+ t2|W−|3 dVg ≤ Z M |∇W+|2+ t2|∇W−|2 dVg + Z M s 2 |W +|2+ t2|W|2 dV g − Z M 18 det W++ t2det W− dVg = 0. (5.20)

(43)

33

Por outro lado, observamos que

|d(|W+| − t|W|)|2+ |d(|W+| + t|W|)|2 = |d|W+|| − t|d|W||2 + |d|W+|| + t|d|W−||2 = |d|W+||2− 2t|d|W+|| · |d|W|| + t2|d|W||2+ |d|W+||2 + 2t|d|W+|| · |d|W|| + t2|d|W||2 = 2 |d|W+||2 + t2|d|W||2 . Logo, |d|W+||2 + t2|d|W−||2 = 1 2 |d(|W +| − t|W|)|2 + |d(|W+| + t|W−|)|2 ≥ 1 2|d(|W +| − t|W|)|2 . (5.21)

Al´em disso, fazendo f = |W+| − t|W−| na desigualdade de Poincar´e, dada por

(3.3), e multiplicando a mesma por 1

2, temos 1 2 Z M |d(|W+| − t|W−|)|2dVg ≥ λ1 2 Z M |W+| − t|W−|2 dVg. (5.22) Segue de (5.21) e (5.22) que Z M |d|W+||2 + t2|d|W||2 dV g ≥ λ1 2 Z M |W+| − t|W|2 dVg. (5.23)

Portanto, comparando (5.23) com (5.20), obtemos 0 ≥ 5 6λ1 Z M |W+| − t|W−|2 dVg+ Z M s 2 |W +|2 + t2|W−|2 dVg −√6 Z M |W+|3+ t2|W|3 dV g. Ent˜ao, 0 ≥ 5 6λ1 Z M |W+|2− 2t|W+||W| + t2|W|2 dV g+ Z M s 2 |W +|2+ t2|W|2 dV g −√6 Z M |W+|3+ t2|W|3 dV g.

A desigualdade acima pode ser reescrita como 0 ≥ Z M  |W−|2 5 6λ1 + s 2 − √ 6|W−|  t2− 5 3λ1|W +||W|  t +|W+|2 5 6λ1+ s 2− √ 6|W+|  dVg. (5.24) Fazendo 5 6λ1 + s

2 = a, n´os podemos escrever o integrando acima como P (t) = |W−|2a −6|W|

t2− 5 3λ1|W

(44)

Por (5.24), temos que 0 ≥RMP (t)dVg. Observe que P (t) ´e um polinˆomio de grau

2 em t e seu discriminante ∆ ´e dado por ∆ = 25 9 λ 2 1|W+|2|W −|2− 4|W+|2|W|2a −6|W+| a −6|W| .

Vamos mostrar que P (t) ≥ 0. Para isso, precisamos mostrar que o coeficiente de t2, A = |W−|2 a −6|W| ´e positivo e que ∆ ´e menor ou igual a zero.

Como |W−|2 ≥ 0, para mostrarmos que A ´e positivo, basta mostrar que



a −√6|W+|> 0. Vamos mostrar que a −√6|W±| > 0.

Pelo Lema 5.0.9, temos que ´e v´alida a espress˜ao (5.7), dada novamente abaixo |W+| + |W| ≤ √ 6s 6 − 2K ⊥ 1  .

Al´em disso, usando a hip´otese sobre a curvatura biortogonal, K1⊥, mostramos no Lema 5.0.10 que ´e v´alida a express˜ao (5.8), dada abaixo

√ 6s 6 − 2K ⊥ 1  ≤ 4a2 25 9 λ 2 1 4√6a . Segue das express˜oes (5.7) e (5.8) que,

|W+| + |W| ≤ 4a 2 25 9 λ 2 1 4√6a . (5.25) Como |W+|, |W| ≥ 0, tamb´em temos

|W±| ≤ |W+| + |W| ≤ 4a 225 9 λ 2 1 4√6a . Logo, √ 6|W±| ≤ 4a 2 4a − 25 9 λ 2 1 4a = a − 25λ21 36a < a. Isto implica que a −√6|W±| > 0, como quer´ıamos mostrar.

Portanto, o coeficiente de t2, A = |W|2 a −6|W| ´e positivo. Assim, para

mostrar que P (t) ≥ 0, falta mostrar que ∆ ≤ 0. Temos ∆ = 25 9 λ 2 1|W +|2|W|2 − 4|W+|2|W|2a −6|W+| a −6|W| = 25 9 λ 2 1|W +|2|W|2 − 4|W+|2|W|2a2− a6|W| − a√ 6|W+| + 6|W+||W| = 25 9 λ 2 1|W +|2|W|2 − 4a2|W+|2|W|2+ 4a6|W+|2|W|2 |W| + |W+| −24|W+|2|W|2|W+||W| = |W+|2|W|2 25 9 λ 2 1− 4a 2+ 4a6 |W| + |W+| − 24|W+||W|  .

(45)

35 Consideremos θ = 25 9 λ 2 1 − 4a2 + 4a √ 6 (|W−| + |W+|) − 24|W+||W|.

Como |W+|2|W|2 ≥ 0, ent˜ao, para ∆ ser menor ou igual a zero, devemos ter

θ ≤ 0.

Vamos, ent˜ao, mostrar que θ ≤ 0. Usando a express˜ao (5.25), temos que

θ ≤ 25 9λ 2 1− 4a 2+ 4a6    4a225 9 λ 2 1 4√6a   − 24|W +||W| = 25 9 λ 2 1− 25 9 λ 2 1− 4a 2+ 4a2− 24|W+||W| = −24|W+||W−| ≤ 0, j´a que |W+|, |W−| ≥ 0. Portanto ∆ ≤ −24|W+|3|W|3 ≤ 0, como quer´ıamos.

Assim P (t) ≥ 0 e j´a t´ınhamos, por (5.24), 0 ≥RMP (t)dVg, logo

0 ≥ Z

M

P (t)dVg ≥ 0.

Ent˜ao, P (t) ≡ 0, ou seja, t ´e raiz de P (t). Logo, 0 = ∆ ≤ −24|W+|3|W|3 ≤ 0.

Neste caso, temos |W+| · |W| = 0 em M4.

Mas, sendo Σ = {p ∈ M4; |W+|(p) = 0 ou |W|(p) = 0} finito, chegamos a uma

contradi¸c˜ao.

Portanto, conclu´ımos que M4 ´e semiconformemente plana e, assim, W+ = 0 ou W−= 0.

Finalmente, n´os definimos os seguintes conjuntos A =  p ∈ M4; Ric(p) 6= s(p) 4 g  e B = p ∈ M4; |W+|(p) = |W|(p) , onde Ric − s 4g 

representa o operador de Ricci sem tra¸co de (M4, g).

Se A ´e vazio, pela Defini¸c˜ao 1.1.15, conclu´ımos que M4 ´e uma variedade de

Einstein. Nesse caso, como M4´e semiconformemente plana, pelo Teorema de Hitchin(veja

T. 4.0.4), podemos concluir que M4 ´e isom´etrica a S4 ou isom´etrica ao CP2, com suas

m´etricas canˆonicas.

Caso contr´ario, se A ´e n˜ao vazio, ent˜ao existe um ponto p ∈ M4 e um conjunto aberto U tal que p ∈ U ⊂ A. Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 3.2.6, temos que W+(p) e W(p)

tem igual espectro, ou seja, tem os mesmos autovalores. Logo

|W+|(p) = v u u t 3 X i=1 (w+i )2 = v u u t 3 X i=1 (wi−)2 = |W|(p),

(46)

onde w±i s˜ao os autovalores de W±, respectivamente. Portanto, conclu´ımos que U ⊂ A ⊂ B.

Considere f = |W+|2− |W|2, que ´e anal´ıtica, pois |W±| s˜ao anal´ıticas. Temos

que f = 0 em U , que ´e aberto. Assim, como U ⊂ A ⊂ B, onde B ´e fechado, e f ´e anal´ıtica, temos que f ≡ 0 em M4, o que implica |W+|2 = |W|2. Como j´a conclu´ımos

que |W+| = 0 ou |W| = 0, temos |W+| = |W| = 0, logo W ≡ 0. Portanto, pela

Proposi¸c˜ao 2.1.3, M4 ´e conformemente plana.

 Pela Proposi¸c˜ao 4.0.3, sabemos que uma variedade orientada M4 ´e uma variedade

de Einstein se, e somente se, K⊥= K. Vimos tamb´em que toda variedade de Einstein M4 tem tensor de Weyl harmˆonico e m´etrica anal´ıtica. Ent˜ao, uma consequˆencia do Teorema anterior ´e o seguinte corol´ario.

Corol´ario 5.1.1. Seja (M4, g) uma variedade de Einstein compacta, orientada, de di-mens˜ao 4, com curvatura de Ricci igual a ρ > 0. Suponha

K ≥ 2ρ

2

12ρ + 5λ1

.

Ent˜ao, ou M4 ´e isom´etrica a S4, com sua m´etrica canˆonica, ou M4 ´e isom´etrica ao CP2, com sua m´etrica canˆonica(Fubini-Study).

No in´ıcio, vimos que D. Yang provou, em [14], que se uma variedade de Einstein compacta, orientada, de dimens˜ao 4, (M4, g), com curvatura de Ricci igual a 1, satisfaz a condi¸c˜ao

K ≥ 0 ≡

1249 − 23

120 ≈ 0.102843,

ent˜ao M4 ´e isom´etrica a esfera S4, com sua m´etrica canˆonica, ou ao espa¸co complexo

projetivo CP2, com a m´etrica Fubini-Study.

D. Yang observou que se ρ = 1 e K ≥ 0 ≡

√ 1249 − 23 120 , ent˜ao λ1 = 80 + 2 3. ´

E f´acil ver que, sob essas condi¸c˜oes,

K ≥ 0 = 2ρ2 12ρ + 5λ1 . Prova. Seja λ1 = 80+ 2 3. Temos 2ρ2 12ρ + 5λ1 = 2ρ 2 12ρ + 5  80 + 2 3  = 2ρ2 12ρ + 400+ 10 3 . Fazendo ρ = 1 e 0 = √ 1249 − 23

120 na equa¸c˜ao acima, obtemos 2ρ2

12ρ + 5λ1

(47)

37

Portanto, o Corol´ario 5.1.1 ´e o resultado obtido por Yang quando ρ = 1 e 0 ≡

1249 − 23

(48)

[1] Besse, A., Einstein manifolds, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1983).

[2] Berger, M., Les vari´et´es Riemannienes (1/4)-pinc´ees, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14(1960), 161-170.

[3] Costa, E., On Einstein four-manifolds. Journal of Geometry and Physics. 51(2004), 244-256.

[4] Costa, E., A modified Yamabe invariant and a Hopf conjecture. arXiv[math.DG]: 1207.7107v1, (2012).

[5] Costa, E., Ribeiro Jr., E., Four-dimensional compact manifolds with nonnegative biorthogonal curvature. Michigan. Math. J. 63 (2014), 747-761.

[6] Carmo, M. do, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA, 5a

edi¸c˜ao, 2011.

[7] Derdzinski, A., Riemannian manifolds with harmonic curvature. Lecture Note in Math. 1156, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1984).

[8] Derdzinski, A., Riemannian metrics with harmonic curvature on 2-sphere bundle over compact surfaces. Bull. Soc. Math. France. 116(1988), 133-156.

[9] Gursky, M., LeBrun, C., On Einstein manifolds of positive sectional curvature. Ann. Global Anal. Geom. 17(1999), 315-328.

[10] Klingenberg, W., ¨Uber Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver Kr¨ummung, Comm. Math. Helv. 35(1961), 47-54.

[11] Noronha, M., Positively curved 4-manifolds and the nonnegatively of isotropic cur-vatures. Michigan. Math. J. 44(1997), 211-229.

[12] Ribeiro Jr., E., Rigidity of four-dimensional compact manifolds with harmonic Weyl tensor. arXiv[math.DG]: 1410.3398v2, (2014).

(49)

39

[13] Seaman, W., Orthogonally pinched curvature tensors and applications. Math. Scand. 69(1991), 5-14.

[14] Yang, D., Rigidity of Einstein 4-manifolds with positive curvature. Inventiones Mathematicae 142(2000), 435-450.

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Referências

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