Controle estatístico de processo:
soluções de um estudo de caso usando procedimentos estatísticos
Suzana Russo (URI) – jss@urisan.tche.br
Maria Emília Camargo (UCS) – kamargo@zaz.com.br
Resumo
Embora os gráficos de controle tradicionais de Shewhart servem bem como uma ferramenta fundamental para aplicações do controle estatístico de processo (SPC), suas suposições são desafiadas por muitos ambientes industriais modernos, pois não há nenhuma razão científica para se usar as técnicas tradicionais dos gráficos de controle, em virtude de induzir a conclusões errôneas e facilitar a uma falta de segurança de que o processo esteja sob controle estatístico com falha na identificação de variação sistemática do processo (BOX E LUCENO, 1997; MONTGOMERY, 1997). Por exemplo, quando os limites padrões de controle forem usados em aplicações onde o processo é freqüentemente amostrado, a autocorrelação nas medidas pode resultar em muitos pontos fora dos limites de controle. Enquanto este problema for assunto de pesquisa, os modelos estatísticos de séries temporais podem ajudar às técnicas tradicionais dos gráficos de controle de Shewhart provendo soluções efetivas. Este artigo demonstra o uso de series temporais no software Statistica para a modelagem estatística em conjunto com as técnicas tradicionais dos gráficos de controle de Shewhart.
Palavras chave: Gráfico de controle de Shewhart, Séries temporais 1. Introdução
Um dos resultados principais do estudo de qualidade industrial foi o uso difundido de métodos de controle estatísticos de processo para eliminar causas especiais de variação em processos e reduzir as causas comuns de variação (MONTGOMERY, 1997). Indústrias ao longo do mundo adotaram o uso dos gráficos de controle de Shewhart como o método principal de SPCs. Os gráficos de controle de Shewhart são ensinados e aplicados em grande escala em componentes discretos e contínuos nos processos industriais.
Enquanto o uso das técnicas de Shewhart é notavelmente versátil, não é a melhor solução para toda aplicação de SPC. Segundo Rodriguez (1994), há uma grande consciência por parte de engenheiros de qualidade que os gráficos de controle tradicionais são inconvenientes ou de um valor limitado em várias situações industriais, e algumas questões estão surgindo, tal como, o que se pode fazer com relação a autocorrelação dos dados e se há alguma maneira para se ajustar os gráficos de controle para dados autocorrelacionados?
A maioria destas perguntas serve como assunto de pesquisa e debate, não é nosso objetivo trazer neste estudo soluções definitivas. O propósito é descrever uma abordagem mais indicada a estas soluções, e como pode ser implementado no programa Statistica.
O exemplo usado neste artigo e analisado através do software Statistica pode ser utilizado a uma grande variedade de processos.
2. Autocorrelação dos dados
A autocorrelação nada mais é do que um mecanismo existente no processo, que faz com que os dados não sejam independentes entre si ao longo do tempo. Em qualquer momento durante um processo, o valor de uma variável não é só um valor aleatório. Normalmente, é influenciado pelo seu próprio valor em algum momento no tempo.
A autocorrelação tem sido reconhecida como um fenômeno natural nas indústrias onde parâmetros como temperatura e pressão variam lentamente para a taxa ao qual eles são medidos. Somente em recentes estudos a autocorrelação tem se tornado assunto nas aplicações de SPC, particularmente em setores industriais onde a autocorrelação é vista como um problema que resulta em alarmes falsos nos gráficos de controle. Quando a autocorrelação não é considerada pode viesar a interpretação dos gráficos de controle de Shewhart (RODRIGUEZ, 1994).
Uma razão para esta preocupação é que, nos últimos tempos os dados passaram a ser automatizados, e as amostras tornaram-se mais freqüentemente em alguns locais das indústrias, sendo possível identificar a autocorrelação que previamente não era detectada. Outras discussões deste assunto, pode ser encontrada em Schneider e Pruett (1994) e Woodall (1993).
Os gráficos de controle de Shewhart assumem que o processo x opera em função de uma t
média constante µ , e que x (a medida no tempo t) pode ser estimado através da seguinte t
equação:
t
t e
x =µ+ (1)
onde e é um erro aleatório do processo da média µ . Assume-se que os erros são t
estatisticamente independente na derivação dos limites de controle tradicionais exibidos a três desvios-padrões acima ou abaixo da linha central para a qual representa uma estimativa µ .
Quando os gráficos de controle de Shewhart são construídos para dados autocorrelacionados, os limites de controle tradicionais aumentam a probabilidade de ocorrer alarmes falsos (erro tipo I), e os usuários às vezes comentam que os limites de controle estão muito apertados. Então, a fórmula do cálculo dos limites de controle deve ser alterada para que seja considerado o efeito da autocorrelação dos dados, ou então deve-se modelar a sua estrutura para elimina-la dos dados (Ramos, 2000; Costa et al, 2004). Esta situação é ilustrada na Figura 1 que mostra os dados no gráfico de controle para a média de 211 observações de um processo industrial, sendo considerada a característica da qualidade a resistência da fita de polipropileno, coletadas no período de novembro e dezembro de 2003 e janeiro de 2004.
Figure 1. Gráfico de Controle Tradicional de Shewhart
As observações foram colocadas no Statistica. As observações são determinadas pelo variável
X , e o tempo é determinado por t.
X-bar Chart; variable: Resistênc
Histogram of Means 0 5 10 15 20 25 30 35 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 X-bar: 5,4191 (5,4191); Sigma: ,11060 (,11060); n: 2 10 20 30 40 50 60 70 5,2184 5,4191 5,6198
Esta é uma aplicação tradicional dos gráficos de Shewhart.
Identificando e modelando a autocorrelação
Você pode identificar a autocorrelação através do procedimento de um processo ARIMA. A figura 2 nos mostra que os dados são altamente autocorrelacionados com o “lag” 1 no valor de 0,417.
Figura 2. Gráfico da Autocorrelação para os Dados
A autocorrelação parcial mostrada na figura 3 sugere que os dados podem ser modelados com um modelo autorregressivo de primeira ordem, geralmente chamado modelo AR(1):
t t t t x x e xˆ = -µ =φ0 +φ1~ 1+
Figura 3. Gráfico da Autocorrelação Parcial
A equação do modelo encontrado é:
1 ~ 1 0736 , 0 -~ t t x x = + Função de Autocorrelação Resistência da fita de polipropile (Standard errors are white-noise estimate
Conf. Limit -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 0 30 +,100 ,0635 29 +,188 ,0636 28 +,086 ,0638 27 +,100 ,0640 26 +,127 ,0642 25 +,080 ,0643 24 +,081 ,0645 23 +,059 ,0647 22 +,098 ,0648 21 +,159 ,0650 20 +,180 ,0652 19 +,148 ,0654 18 +,130 ,0655 17 +,117 ,0657 16 +,116 ,0659 15 +,175 ,0660 14 +,128 ,0662 13 +,081 ,0664 12 +,056 ,0665 11 +,034 ,0667 10 +,132 ,0669 9 +,194 ,0670 8 +,131 ,0672 7 +,128 ,0674 6 +,201 ,0675 5 +,156 ,0677 4 +,160 ,0679 3 +,280 ,0680 2 +,239 ,0682 1Lag +,417 ,0684Corr. S.E.
0 173,8 0,000 171,3 0,000 162,5 0,000 160,7 0,000 158,3 0,000 154,3 0,000 152,8 0,000 151,2 0,000 150,4 0,000 148,1 0,000 142,1 0,000 134,4 0,000 129,3 ,0000 125,3 ,0000 122,1 ,0000 119,0 ,0000 112,0 ,0000 108,3 ,0000 106,8 ,0000 106,1 ,0000 105,8 ,0000 101,9 ,0000 93,53 ,0000 89,73 ,0000 86,11 ,0000 77,25 ,0000 71,97 ,0000 66,44 ,0000 49,53 ,0000 37,28 ,0000 Q p
Função de Autocorrelação Parcial Resistência da fita de polipropile (Standard errors assume AR order of
Conf. Limit -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 0 30 -,061 ,0688 29 +,112 ,0688 28 -,002 ,0688 27 -,016 ,0688 26 +,100 ,0688 25 +,023 ,0688 24 +,006 ,0688 23 -,076 ,0688 22 -,049 ,0688 21 +,025 ,0688 20 +,085 ,0688 19 +,069 ,0688 18 +,016 ,0688 17 +,038 ,0688 16 -,016 ,0688 15 +,077 ,0688 14 +,096 ,0688 13 +,043 ,0688 12 -,001 ,0688 11 -,090 ,0688 10 -,003 ,0688 9 +,096 ,0688 8 +,045 ,0688 7 -,008 ,0688 6 +,090 ,0688 5 +,075 ,0688 4 -,031 ,0688 3 +,189 ,0688 2 +,078 ,0688 1Lag +,417 ,0688Corr. S.E.
Método
Há discordância considerável em como controlar a autocorrelação dos dados num processo. Segundo Wheeler (1991) os limites de controles habituais só são contagiados pela autocorrelação quando ela se tornar excessiva (de 0.80 ou maior) e que nestas situações o registro freqüente dos dados é muito coerente, pois auxilia na verificação da autocorrelação. Wheeler (1991) conclui que não há necessidade de manter-se aflito com os efeitos de autocorrelação nos gráficos de controle. Alwan e Roberts (1988) são defensores da remoção da autocorrelação dos dados para a construção dos gráficos de controle de Shewhart (ou gráficos EWMA ou gráficos de CUSUM) através dos resíduos (RODRIGUEZ, 1994).
No exemplo aqui proposto, os resíduos são calculados como erros de previsão. Constroem-se então, os gráficos de controle de Shewhart através da série residual. A figura 4 mostra o gráfico de controle para a série residual com 3σde limites.
Figure 4. Residuais do Modelo AR(1)
O gráfico da figura 4 se assemelha a figura 2 de Montgomery e Mastrangelo (1991), que concluem que o processo está sob controle.
Além do gráfico de controle residual, Montgomery e Mastrangelo (1991) sugerem ajustar um modelo Médias Móveis Exponencialmente Ponderada (EWMA) aos dados. Ao se usar este modelo como uma exibição, recai-se ao gráfico de controle tradicional EWMA, que é definido como: 1 -) -1 ( t t t x z z =λ + λ
O gráfico de controle EWMA está baseado na suposição que as x de observações são t
independentes. Porém, no contexto de um processo com dados autocorrelacionados (e mais geralmente numa análise de séries temporais), a estatística EWMA, z , faz um papel t
diferente: é a previsão um-passo-à-frente para um processo que pode ser modelado por um modelo ARIMA(0,1,1) 1 -1 - t- t t t x e e x = + θ
contanto que o parâmetro de peso λseja λ= 1−θ . Esta estatística também é um bom preditor quando o processo pode ser descrito por um subconjunto dos modelos ARIMA para os quais
X-bar Chart; variable: AR
Histogram of Mean 0 5 1015 20 25 3035 40 45 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 X-bar: -,00444 (-,00444); Sigma: ,16013 (,16013); n: 10 20 30 40 50 60 70 -,29449 -,00444 ,28561
o processo é positivamente autocorrelacionado e o processo da média não mude muito depressa (MONTGOMERY e MASTRANGELO, 1991).
Agora, pode-se ajustar um modelo ARIMA(0,1,1) para os dados da resistência da fita de polipropileno,o sumário do modelo ajustado é mostrado na tabela 1.
Parâmetro Estimativa Erro padrão(SE) valor p
Constante 0,0007 0,0015 0,6576
MA1,1 0,8375 0,0968 0
Tabela 1 - Sumário do Modelo Ajustado ARIMA (0,1,1)
O gráfico de controle de Shewhart para os resíduos do modelo ARIMA (0,1,1) pelo uso EWMA está representado na figura 5.
Figura 5. Modelo Residual ARIMA (0,1,1)
A linha central do gráfico de controle da previsão é feita pelo EWMA, para o modelo ARIMA(0,1,1), e se usa os erros padrões de predição para determinar os limites superior e inferior de controle.
A linha central do gráfico EWMA é mostrado na figura 6.
Figura 6. Linha Central do Gráfico de Controle EWMA
EWMA X-bar Chart; variable: MA011
Histogram of EWMA 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08
EWMA X-bar: ,00181 (,00181); Sigma: ,12031 (,12031); n: 2,7432
10 20 30 40 50 60 70
LSC Linha Central LIC
EWMA X-bar Chart; variable: MA011 Histogram of EWMA 0 5 10152025303540 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08
EWMA X-bar: ,00181 (,00181); Sigma: ,12031 (,12031); n:
10 20 30 40 50 60 70 -,04711 ,00181 ,05072
Conclusão
Concluí-se que o processo está em controle. As figuras 4 e 6 não são as únicas figuras que podem ser consideradas ao se analisar dados da resistência, a construção destas figuras ilustra o uso conjunto dos modelos ARIMA e os gráficos de controle tradicionais de Shewhart. Não há nenhuma resposta simples à pergunta de como lidar com a autocorrelação dos dados, e este assunto é um tópico de pesquisa com visões divergentes. Porém, em muitas situações o procedimento de ARIMA é uma ferramenta fundamental por identificar a autocorrelação e modelar as perturbações de processo, e pode ser usado junto com as técnicas tradicionais de Shewart para criar uma variedade de gráficos de controle úteis.
Referências
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COSTA, A. F. B.; EPPRECHT, E. K.; CARPINETTI, L. C. R.. (2004) Controle Estatístico de Qualidade, São Paulo: Atlas.
MONTGOMERY, D. C. (1997), Introduction to Statistical Quality Control, Second Edition, New York: John Wiley & Sons, Inc.
MONTGOMERY, D.C. and MASTRANGELO, C. M. (1991), Some Statistical process Control Methods for
Autocorrelated Data, Journal of Quality Technology, 23, 179-204 (with discussion).
RAMOS, A. W. (2000) CEP para Processos Contínuos e em Bateladas. São Paulo: Editora Edgard Blücher LTDA.
RODRIGUEZ, R.N., (1994) Recent Issues in Statistical Process Control: SAS Solutions Using Statistical
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SCHNEIDER, H. and PRUETT, J. M. (1994), Control Charting Issues in the Process Industries, Quality Engineering, 6, 347-373.
WHEELER, D. J. (1991), Shewhart’s Chart: Myths, Facts, and Competitors, 45th Annual Quality Congress
Transactions, American Society for Quality Control. 533-538.
