O Modelo de McCormack para Mistura de Gases: Problema de Deslizamento Térmico

(1)

O Modelo de McCormack para Mistura de Gases: Problema de

Deslizamento T´

ermico

Rosenei F. Knackfuss

UFSM - Departamento de Matem´atica 97105-900, Santa maria, RS E-mail: knackfus@smail.ufsm.br.

Resumo: Uma vers˜ao anal´ıtica do método de ordenadas discretas (ADO) é usada para en-contrar, de forma concisa e precisa, solu¸cões para o problema de deslizamento térmico de uma mistura gasosa binária em um meio semi-infinito. As equa¸cões cinéticas usadas para descre-ver o fluxo são baseadas no modelo de McCormack para misturas. A intera¸cão gás-superf´ıcie, baseia-se no núcleo de Cercignani-Lampis que apresenta dois coeficientes de acomoda¸cão: o coeficiente de acomoda¸cão tangencial e o coeficiente de acomoda¸cão da energia cinética. Os resultados numéricos, para o coeficiente de deslizamento térmico, são apresentados para uma mistura binária (Ne-Ar) com várias concentra¸cões molares.

Palavras-chave: Coeficiente de deslizamento t´ermico, Modelo de McCormack, N´ucleo de Cer-cignani-Lampis

1 INTRODUC

¸ ˜

AO

A resolu¸cão dos problemas de dinâmica de gases, em geral, é baseada no estado de rarefa¸cão do gás [2]. Este estado pode ser classificado pelo valor do n´umero de Knudsen (Kn), definido como a razão entre o livre caminho m´edio l e um comprimento caracter´ıstico a_∗.

Kn = l

a_∗. (1)

Se o número de Knudsen é muito pequeno, então o livre caminho médio é pequeno, e assim, o fluxo do gás pode ser considerado como meio cont´ınuo e as equa¸cões clássicas da hidrodinâmica, equa¸cões de Navier-Stokes, podem ser aplicadas no escoamento do gás com condi¸cões de contorno de não deslizamento (regime hidrodinâmico). Entretanto, para uma rarefa¸cão moderadamente pequena, associa-se as equa¸cões de Navier-Stokes a condi¸cão de contorno de deslizamento, isto é, a velocidade do gás em contato com a superf´ıcie é diferente de zero na superf´ıcie, mas sua com-ponente tangencial, depende do perfil de velocidade e da distribui¸cão de temperatura perto da superf´ıcie. A condi¸cão de deslizamento, para o gradiente de temperatura, direcionado ao longo da superf´ıcie, é dada através do coeficiente de deslizamento térmico. O coeficiente de desliza-mento térmico pode ser determinado resolvendo-se a equa¸cão de Boltzmann ou as equa¸cões cinéticas que são formas simplificadas da equa¸cão de Boltzmann no que diz respeito ao opera-dor de colisão. Para isso, neste trabalho, apresenta-se a deriva¸cão da solu¸cão do problema de deslizamento térmico para misturas de dois gases nobres, em coordenadas cartesianas ortogo-nais, baseada no modelo de McCormack [5] e desenvolvida em termos de uma versão anal´ıtica do método de ordenadas discretas (ADO) [1] que tem sido aplicado, com ótimos resultados, para derivar solu¸cões em diversos problemas na dinâmica de gases rarefeitos [3, 4, 11].

Para completar o problema, inclui-se a intera¸cão gás-superf´ıcie, baseada no núcleo de Cer-cignani-Lampis [2], que, diferentemente, do núcleo de Maxwell [13], apresenta dois coeficientes de acomoda¸cão: o coeficiente de acomoda¸c˜ao do momento tangencial (αt) e o coeficiente de

(2)

2 FORMULAC

¸ ˜

AO GERAL

O modelo cinético de McCormack [5] é usado, neste trabalho, para definir a formula¸cão do problema de uma mistura de gás bin´ario no espa¸co semi-infinito y∗ ≥ 0 sobre uma superf´ıcie s´olida infinita fixada em y∗ = 0, cujo fluxo é causado por um gradiente constante de temperatura na dire¸cão do fluxo, denominado de problema de Deslizamento Térmico para uma mistura de dois gases. Considera-se que as fun¸cões distribui¸cão hα(y∗, v) para os dois tipos de part´ıculas

(α = 1 e 2) denotam perturba¸c˜oes à distribui¸cão Maxwelliana para cada esp´ecie. Aqui, y∗ denota a vari´avel espacial e v = (vx, vy, vz), com magnitude v, é a velocidade da part´ıcula. A

lineariza¸c˜ao da fun¸c˜ao distribui¸c˜ao fα(y∗, v) para cada esp´ecie α, segundo McCormack [5], ´e

feita atrav´es de uma Maxwelliana local [11]. A fun¸c˜ao perturba¸c˜ao hα, seguindo a Ref. [5],

obedece duas equa¸c˜oes de Boltzmann acopladas, que para este problema escreve-se como

Sα(c) + cy

∂ ∂y∗hα(y

∗_{, c) + ω}

αγαhα(y∗, c) = ωαγαLα{h1, h2}(y∗, c), α = 1, 2, (2)

onde o vetor c, com componentes cx, cy, cze magnitude c, ´e uma vari´avel adimensional.

Observa-se que introduz-Observa-se esta velocidade adimensional c diferentemente nas duas equa¸c˜oes, ou seja, seguindo Siewert [11], para o caso α = 1 usa-se a transforma¸c˜ao c = ω1v e para o caso α = 2

usa-se a transforma¸c˜ao c = ω2v. Ainda,

ωα = [ mα 2kT0 ]1/2 , Sα(c) = cz ( c2−5 2 ) Kη, α = 1, 2 (3)

e a freqüência de colis˜ao γα deve ser definida. Tem-se, tamb´em, que k representa a constante

de Boltzmann, mα e nα s˜ao, respectivamente, a massa e a densidade de equil´ıbrio das esp´ecies

1 e 2, T0 ´e a temperatura de referˆencia e Kη ´e o gradiente de temperatura.

O operador de colis˜aoL correspondente ao modelo de McCormack ´e escrito como

Lα{h1, h2}(y∗, c) = 1 π3/2 2 ∑ β=1 ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞e −c′2 hβ(y∗, c′)Kβ,α(c′, c)dc′xdc′ydc′z (4)

e os n´ucleos Kβ,α(c′, c) s˜ao expressos como

Kβ,α = K (1) β,α(c′, c) + K (2) β,α(c′, c) + K (3) β,α(c′, c) + K (4) β,α(c′, c), α, β = 1, 2, (5)

onde as expressões para cada componente na Eq. (5) são listadas no Apêndice A da Ref. [11]. Seguindo a Ref. [11], reescreve-se a Eq. (2) em termos da vari´avel adimenional y como

Sα(c) + cy

∂

∂yhα(y, c) + σαhα(y, c) = σαLα{h1, h2}(y, c), (6)

onde y = y ∗ l0 e σα= γα n1/γ1+ n2/γ2 n1+ n2 ( mα m )1/2 . (7)

Aqui, l0 representa o livre caminho m´edio e γα são expressões definidas na Ref. [11].

Para o problema semi-infinito, suplementa-se a Eq. (2) com as condi¸cões de contorno na superf´ıcie (y = 0). Uma vez que o vetor velocidade ´e dado em coordenadas cartesianas retangu-lares, observa-se da Eq. (2) que h(y, c) = h(y, cx, cy, cz) e expressa-se as condi¸cões de contorno

de Cercignani-Lampis [2] na superf´ıcie, como

hα(0, cx, cy, cz) = ∫ _∞ 0 ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞hα(0, c ′ x,−c′y, c′z)RCLα(c′x,−c′y, c′z: cx, cy, cz)dcx′dc′zdc′y, (8) com RCLα(c′x, c′y, c′z : cx, cy, cz) = 2c′_y πanαatα(2− atα) Tα(c′x : cx)Sα(cy′ : cy)Tα(c′z : cz), α = 1, 2. (9)

(3)

Aqui, Tα(x : z) = exp [ −[(1− atα)z− x]2 atα(2− atα) ] , (10) Sα(x : z) = exp [ −[(1− anα)1/2z− x]2 anα ] b I0 [ 2(1− anα)1/2|xz| anα ] e Ib0(w) = I0(w)e−w. (11)

Ainda, atα representa o coeficiente de acomoda¸cão do momento tangencial de cada espécie

(α = 1, 2), anα é o coeficiente de acomoda¸cão da energia cinética devido a componente normal

da velocidade de cada esp´ecie (α = 1, 2) e I0(w) é a fun¸cão de Bessel modificada.

Neste trabalho calcula-se grandezas f´ısicas relacionadas com as velocidades das part´ıculas e fluxo de calor que são definidas, segundo a Ref. [11], como

vα(y) = π−3/2 ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞e −c′2 hα(y, cx, cy, cz)cxdcxdcydcz, (12)

para o perﬁl de velocidade,

pα(y) = π−3/2 ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞e −c′2 hα(y, cx, cy, cz)cxczdcxdcydcz (13)

para o perﬁl de tens˜ao de cisalhamento e

qα(y) = π−3/2 ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞e −c′2 hα(y, cx, cy, cz)(c2− 5/2)cxdcxdcydcz. (14)

para o perﬁl de ﬂuxo de calor.

Observa-se que v(y), p(y) e q(y) s˜ao as quantidades f´ısicas básicas de interesse, e assim, na verdade não precisa calcular a fun¸cão distribui¸c˜ao completa h(y, cx, cy, cz). Ao invés disso,

pode-se obter os resultados a partir de vários momentos ou integrais da fun¸cão distribui¸cão. Para iniciar o desenvolvimento, multiplica-se a Eq. (6) por

ϕ1(cx, cz) = 1 πe −(cx2+cz2)_c z e ϕ2(cx, cz) = 1 π(cx 2_{+ c} z2− 2)cze−(cx 2_+c z2) ₍₁₅₎

e, em ambos os casos, integra-se sobre todo cx e cz. Considera-se a nova vari´avel ξ = cy e

deﬁne-se g2α−1(y, ξ) = ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞ϕ1(cx, cz)hα(y, cx, ξ, cz)dcxdcz (16) e g2α(y, ξ) = ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞ϕ2(cx, cz)hα(y, cx, ξ, cz)dcxdcz, (17)

para α = 1, 2. Assim, obt´em-se quatro equa¸c˜oes de balan¸co, que s˜ao escritas em uma forma vetorial, para as componentes de G(y, ξ) dadas pelas Eqs. (16) e (17),

S1(ξ) + ξ

∂

∂yG(y, ξ) + ΣG(y, ξ) = Σ

∫ _∞ −∞ψ(ξ ′_)K s(ξ′, ξ)G(y, ξ′)dξ′, (18) com Σ = diag{σ1, σ1, σ2, σ2} , ψ(ξ) = π−1/2e−ξ 2 e S1(ξ) = Kη      (1/2)(ξ2− 1/2) 1 (1/2)(ξ2− 1/2) 1     . (19)

As componentes ki,j(ξ′, ξ) do n´ucleo Ks(ξ′, ξ) s˜ao deﬁnidas no Apˆendice B da Ref. [11].

A metodologia usada na obten¸cão da Eq. (19) é também aplicada nas condi¸cões de contorno, Eq. (8), obtendo-se

G(0, ξ) = D

∫ _∞ 0

(4)

onde D = diag {(1 − at1), (1− at1)3, (1− at2), (1− at2)3} (21) e F(ξ′, ξ) = diag {f1(ξ′, ξ), f1(ξ′, ξ), f2(ξ′, ξ), f2(ξ′, ξ)}. (22) Aqui, fα(ξ′, ξ) = 2ξ′ anα exp [ −[(1− anα)1/2ξ− ξ′]2 anα ] b I0 [ 2(1− anα)1/2ξ′ξ anα ] (23) para ξ, ξ′ ∈ (0, ∞) e α = 1, 2.

Baseado na nota¸cão vetorial, expressa-se as grandezas f´ısicas de interesse para cada espécie (α = 1, 2), o perfil de velocidade, Eq. (12), o perfil de tens˜ao de cisalhamento, Eq. (13), e o perfil de fluxo de calor, Eq. (14), respectivamente, como

vα(y) = ∫ _∞ −∞ψ(ξ)g2α−1(y, ξ)dξ , pα(y) = ∫ _∞ −∞ψ(ξ)g2α−1(y, ξ)ξdξ (24) e qα(y) = ∫ _∞ −∞ψ(ξ)[(ξ 2_{− 1/2)g} 2α−1(y, ξ) + g2α(y, ξ)]dξ. (25)

3 SOLUC

¸ ˜

AO EM ORDENADAS DISCRETAS

A equa¸cão que define o problema de Deslizamento Térmico, Eq. (18), não é homogênea, sendo assim, tem-se a solu¸cão geral definida como

G(y,±ξi) = Gp(y,±ξi) + Gh(y,±ξi). (26)

A solu¸c˜ao particular Gp, segundo a Ref. [11], ´e dada por

Gp(y,±ξ) =      E(ξ2− 1/2 − sω) 2E F (ξ2− 1/2 − rω) 2F     . (27)

Aqui, s = (m2/m1)1/2, r = (m1/m2)1/2, E e F s˜ao encontrados na Ref. [11].

Para encontrar a solu¸c˜ao da parte homogˆenea da Eq. (18), Gh_{, utiliza-se a vers˜}_{ao anal´ıtica}

do método de ordenadas discretas (ADO) que consiste em substituir o termo integral da Eq. (18) por um esquema de quadratura numérica e procurar solu¸cões da forma

Gh(y, ξ) = Φ(ν, ξ)e−y/ν (28)

Assim, chega-se a um problema de autovalores, onde cada ν ´e o inverso quadrado de cada autovalor encontrado.

A solu¸cão da equa¸cão homogˆenea Gh, em ordenadas discretas, é encontrada, segundo [11] como Gh(y,±ξi) = A1G1+ 4N ∑ j=2 AjΦ(νj,±ξi)e−y/νj, (29)

para i = 1, 2, . . . , N . As constantes arbitr´arias Aj, j = 1, . . . , 4N , s˜ao determinadas a partir das

condi¸c˜oes de contorno do problema. A solu¸c˜ao exata G1 aparece devido um autovalor tender a

zero, assim deve-se desprezar este autovalor (uma solu¸c˜ao) encontrando-se

G1=      1 0 s 0     . (30)

(5)

Para completar a solu¸cão do problema, substitui-se a Eq. (26) na versão em ordenadas discretas da condi¸cão de contorno encontrada a partir da Eq. (20) , obtendo-se, assim, um sistema de equa¸c˜oes com 4N equa¸cões alg´ebricas lineares e 4N inc´ognitas, {Aj} para j =

1, . . . , 4N .

Considerando a deriva¸c˜ao acima, escreve-se, para as duas esp´ecies (α = 1, 2), o perﬁl de velocidade, respectivamente, v1(y) = A1− sωE + 4N ∑ j=2 AjNv,1(νj)e−y/νj e v2(y) = sA1− rωF + 4N ∑ j=2 AjNv,2(νj)e−y/νj, (31)

o perﬁl de tens˜ao de cisalhamento

pα(y) = 4N ∑ j=2

AjNp,α(νj)e−y/νj. (32)

e o perﬁl de ﬂuxo de calor, respectivamente,

q1(y) = 5 2E + 4N ∑ j=2 AjNq,1(νj)e−y/νj e q2(y) = 5 2F + 4N ∑ j=2 AjNq,2(νj)e−y/νj (33) Aqui, tem-se Nv,α(νj) = FTα N ∑ k=1 ωkψ(ξk)[Φ(νj, ξk) + Φ(νj,−ξk)], (34) Np,α(νj) = FTα N ∑ k=1 ωkψ(ξk)ξk[Φ(νj, ξk) + Φ(νj,−ξk)] (35) e Nq,α(νj) = N ∑ k=1 ωkψ(ξk)FTq,α(ξk)[Φ(νj, ξk) + Φ(νj,−ξk)], (36)

onde o sobrescrito T signiﬁca a opera¸c˜ao transposta,

F1 =      1 0 0 0      , F2=      0 0 1 0      , Fq,1=      ξ2− 1/2 1 0 0      e Fq,2=      0 0 ξ2− 1/2 1     . (37)

Segundo a Ref. [11], os coeficientes de deslizamento térmico para cada esp´ecie (α = 1, 2), são dados, respectivamente, como

ζ1= A1− sωE e ζ2= sA1− rωF. (38)

4 RESULTADOS NUM´

ERICOS

A implementa¸cão computacional, para avaliar os resultados numéricos, foi desenvolvida através de programa em linguagem FORTRAN. Para implementar as solu¸cões, inicialmente, define-se o esquema de quadratura associado ao método de ordenadas discretas anal´ıtico (ADO). Neste sentido, para muitos problemas na dinâmica de gases rarefeitos, a utiliza¸cão do procedimento a seguir, tem se mostrado adequado [1, 3, 4]. Objetivando-se calcular integrais no intervalo [0,∞), usa-se a transforma¸cão n˜ao-linear u(ξ) = e−ξ para mapear ξ ∈ [0, ∞) sob u ∈ [0, 1], e então usa-se o esquema de quadratura de Gauss-Legendre mapeado linearmente no intervalo [0, 1].

Tendo definido o esquema de quadratura, o próximo passo é a determina¸cão dos autova-lores (constantes de separa¸cão) e autovetores. A seguir, encontra-se as constantes arbitrárias, resolvendo-se o sistema linear, assim, as quantidades f´ısicas de interesse são encontradas.

(6)

Os resultados num´ericos s˜ao apresentados na Tabela 1 para duas misturas de gases nobres, obtidos com N = 80 pontos de quadraturas.

Para a obten¸cão dos resultados numéricos apresentados na Tabela 1, considera-se a seguinte mistura de gases: Neônio (Ne) e Argônio (Ar). Os casos referidos na Tabela 1 são os seguintes: Ne-Ar: m1 = 20.183, m2 = 39.948 e d2/d1 = 1.406 (d1 e d2 representam, respectivamente, os

diâmetros moleculares dos gases Neônio e Argônio).

caso I: αt1= 0.849, αt2= 0.916, αn1 = 0.10, αn2= 0.40

caso II: αt1= 0.31, αt2= 0.67, αn1 = 0.10, αn2 = 0.40

caso III: αt1= 0.849, αt2= 0.916, αn1= 0.082, αn2 = 0.222

Os valores para os coeficientes de acomoda¸cão do momento tangencial para os casos II são reproduzidos de valores experimentais encontrados no trabalho de Lord [12]. Para os caso I e III, os valores experimentais são provenientes de [8] que segue o trabalho experimental de Porodnov

et al. [7].

Em rela¸cão ao coeficiente de acomoda¸cão normal, escolhe-se valores numéricos baseados no coeficiente de acomoda¸cão térmico dos gases, por não apresentar, na literatura, valores expe-rimentais. Para isto, usa-se os resultados experimentais apresentados no trabalho de Thomas [12].

Os resultados encontrados, para os dois casos, foram desenvolvidos em termos da concen-tra¸cão molar definidos em rela¸cão a primeira part´ıcula como

C = n1/n2

1 + n1/n2

. (39)

caso I caso II caso III

C ζ1 ζ2 ζ1 ζ2 ζ1 ζ2 0.0 5.75582(–1) 5.46294(–1) 5.61156(–1) 5.25998(–1) 5.73804(–1) 5.43792(–1) 0.1 5.77622(–1) 5.50330(–1) 5.55385(–1) 5.19046(–1) 5.75952(–1) 5.47982(–1) 0.2 5.79435(–1) 5.54133(–1) 5.49355(–1) 5.11814(–1) 5.77878(–1) 5.51943(–1) 0.3 5.80966(–1) 5.57630(–1) 5.43009(–1) 5.04229(–1) 5.79523(–1) 5.55604(–1) 0.4 5.82079(–1) 5.60636(–1) 5.36271(–1) 4.96191(–1) 5.80759(–1) 5.37358(–1) 0.5 5.82563(–1) 5.62864(–1) 5.28956(–1) 4.87446(–1) 5.81368(–1) 5.61183(–1) 0.6 5.82178(–1) 5.63982(–1) 5.20812(–1) 4.77648(–1) 5.81113(–1) 5.62484(–1) 0.7 5.80593(–1) 5.63530(–1) 5.11455(–1) 4.66262(–1) 5.79664(–1) 5.62223(–1) 0.8 5.77350(–1) 5.60871(–1) 5.00251(–1) 4.52402(–1) 5.76564(–1) 5.59764(–1) 0.9 5.71811(–1) 5.55108(–1) 4.86103(–1) 4.34528(–1) 5.71175(–1) 5.54212(–1) 1.0 5.63059(–1) 5.44951(–1) 4.66978(–1) 4.09777(–1) 5.62582(–1) 5.44280(–1)

Tabela 1: Coeﬁciente de Deslizamento T´ermico ζ: para a mistura Ne-Ar.

5 CONSIDERAC

¸ ˜

OES FINAIS

O problema de Deslizamento Térmico foi resolvido para o caso de uma mistura gasosa binária. A solu¸cão é baseada na versão anal´ıtica do método de ordenadas discretas, que produziu resultados com alta precisão para o coeficiente de deslizamento térmico e para as grandezas f´ısicas, tais como: velocidade, temperatura e tensão de cisalhamento. A facilidade de uso e, em particular, os resultados precisos obtidos justificam a confian¸ca de que o método possa ser usado em outros problemas na dinâmica de gases rarefeitos. Outros resultados simulados neste trabalho, com coeficientes de acomoda¸cão similares, foram comparados com os resultados obtidos na Ref. [10].

(7)

Agradecimentos

O autor agradece ao FIPE/UFSM pelo apoio ﬁnanceiro dado a este trabalho.

Referˆ

encias

[1] L. B. Barichello and C. E. Siewert, A Discrete-Ordinates Solution for a Non-Grey Model with Complete Frequency Redistribution, Journal of Quantitative Spectroscopy and

Radia-tive Transfer, 62 (1999) 665.

[2] C. Cercignani and M. Lampis, Kinetic Model for Gas-Surface Interaction, Transport Theory

and Statistical Physics, 1 (1971) 101.

[3] R. F. Knackfuss and L. B. Barichello, On the Temperature-Jump Problem in Rareﬁed Gas Dynamics: The Eﬀect of the Cercignani-Lampis Boundary Conditions, SIAM Journal on

Applied Mathematics, 66 (2006) 2149.

[4] R. F. Knackfuss and L. B. Barichello, Surface Eﬀects in Rareﬁed Gas Dynamics: An Analy-sis Based on the Cercignani-Lampis Boundary Conditions, European Journal of Mechanics

B/Fluids, 25 (2006) 113.

[5] F. J. McCormack, Construction of linearized kinetic models for gaseous mixtures and molec-ular gases, Physics of Fluids, 16 (1973) 2095.

[6] S. Naris and D. Valougeorgis and D. Kalempa and F. Sharipov, Gaseous Mixture Flow between two parallel plates in the whole range of the gas rarefaction, Physica A, 336 (2004) 294.

[7] B. T. Porodnov, P. E. Suetin, S. F. Borisov and V. D. Akinshin, Experimental Investiga-tion of Rareﬁed Gas Flow in Diﬀerent Channels, Journal of Quantitative Spectroscopy and

Radiative Transfer, 64 (1974) 417.

[8] F. Sharipov, Data on the Velocity Slip and Temperature Jump Coeﬃcients, Proceeding of

the 5th Annual International Conference on Thermal and Mechanical Simulation Experi-ments in Micro-Electronics and Micro-Systems, Brussels, Belgium, 899 (2004) 243.

[9] F. Sharipov and D. Kalempa, Velocity Slip and Temperature Jump coeﬃcients for gaseous mixtures. II. Thermal Slip Coeﬃcient, Physics of Fluids, 16 (2004) 760.

[10] C. E. Siewert, Viscous-slip, thermal-slip, and temperature-jump coeﬃcients as deﬁned by the linearized Boltzmann equation and the Cercignani-Lampis boundary condition , Physics

of Fluids, 15 (2003) 1696.

[11] C. E. Siewert and D. Valougeorgis, Concise and Accurate Solutions to Half-Space Binary-Gas Flow Problems Deﬁned by the McCormack Model and Specular-Diﬀuse Wall Condi-tions, European Journal of Mechanis B/Fluids, 23 (2004) 709.

[12] L. B. Thomas, A collection of Some Controlled Surface Thermal Accommodation Coeﬃcient Measurements, in Rareﬁed Gas Dynamics” C. L. Brundin, ed., pp. 155, Academic Press, New York, 1967.

[13] M. M. R. Williams, A Review of the Rareﬁed Gas Dynamics Theory Associated with Some Classical Problems in Flow and Heat Transfer, Zeitschrift f¨ur Angewandte Mathematik und Physik, 52 (2001) 500.