Capítulo 2 Taxas de Juro

(1)

Capítulo 2 Taxas de Juro

2.1. DEFINIÇÕES E MEDIDAS DE TAXAS

DE JURO

Margarida Abreu EMF - ISEG 1

2.1.1. Valor Actualizado, Valor Futuro

e Juros Compostos

Valor Futuro FV (

Future Value

)

Î É o valor, numa data futura, de um

investimento feito no presente

100€ + 100€(0.05) = 105€

PV + juros = FV

PV + PV*i = FV

Valor Futuro de 100 € daqui a um ano: FV=PV*(1+i) = 105€ PV = Valor Presente ou Actualizado (Present Value) i = taxa de juro

Margarida Abreu _{EMF - ISEG} ₂

Valor Futuro (FV)

FV de 100 € daqui a dois anos:

100€+100€(0.05)+100€(0.05) + 5€(0.05)

=110.25€

FV

2

=PV do investimento inicial

+ Juros do investimento incial no primeiro ano

+ Juros do investimento incial no segundo ano

+ Juros no segundo ano sobre os juros recebidos

no primeiro ano

Valor Futuro

Formula Genérica

FV de um investimento PV a n anos, à

taxa de juro (anualizada) i:

FV

_{n =}

PV*(1+i)

n

? FV de um investimento de PV=100€

daqui a 18 meses?

Valor Presente ou Actualizado

PV (

Present Value)

PV é o valor hoje de um pagamento

que é prometido no futuro

Ou

O montante que deve ser investido

hoje de forma a obter um certo

montante no futuro

Valor actualizado

PV de um montante a receber daqui a

um ano:

Resolvendo a equação de FV:

FV=PV*(1+i)

)

1 (

i

FV

PV

+

=

(2)

Valor actualizado

Exemplo:

100€ a receber daqui a um ano, i=5%

/(

)

PV=100€/(1+.05) = 95.24€

Nota:

FV = PV(1+i) = 95.24€(1.05)=€100

Valor actualizado

Formula Genérica :

n

i

FV

PV

)

1 (

+

=

? Qual o valor actualizado de 100€, a

receber daqui a 2,5 anos, sendo i=8%?

)

(

Valor actualizado

Propriedades importantes:

O valor actualizado é tanto mais

elevado quanto:

q

1. Mais elevado for o valor futuro (FV).

2. Mais curto for o período de tempo até

ao pagamento do valor futuro (n)

3. Mais baixa for a taxa de juro (i)

Qual é o valor actualizado de 250€ a

serem pagos daqui a dois anos, se a

taxa de juro for 15%?

EMF - ISEG 10

Margarida Abreu

Quatro tipos de instrumentos de crédito

1. Empréstimo simples (simple loan)

2. Empréstimo com prestação fixa (fixed

payment loan)

2.1.2.Tipos de instrumentos de crédito

p y

)

3. Obrigação de cupão (coupon bond);

• Ob. Perpétua (consol)

4. Obrigação de cupão zero (discount bond)

2.1.3.Tx Rendimento até à maturidade (Yield

to Maturity) : Empréstimos

Tx Rendimento até à maturidade (Yield to maturity) = taxa de juro que iguala o valor actual (ou preço de mercado) de um título da dívida ao valor actualizado de todos os pagamentos futuros 1. Empréstimo simples (simple loan)

( )1

100, 110, 1 :

110 100 10% 100

Emprestimo de paga a ano LP LP LV LV i i LV − − = ⇒ = ⇔ = =

(

)

: 1 n LP Expressao Geral LV i = +

2. Empréstimo com prestação fixa (Fixed payment loan)

FP FP FP FP

LV = --- + --- + --- + ... +

---(1+i) ---(1+i)2 _(1+i)3 _(1+i)n

€126 €126 €126 €126

€1000 = --- + --- + --- + ... +

---(1+i) ---(1+i)2 (1+i)3 (1+i)25

(i = 12%); LV (loan value); FP (fixed yearly payment); n time to maturity

( )1 ₁₀₀

1+i LV

(3)

2.1.3.Tx Rendimento até à maturidade (

Yield

to Maturity

) : Obrigações

3. Obrigações de Cupão (Coupon Bond) (taxa de juro de cupão = 10% = C/F)

€100 €100 €100 €100 €1000

P = + + + ... + +

(1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)10 (1+i)10

C C C C F

P = + + + + +

P = + + + ... + +

(1+i) (1+i)2 _(1+i)3 _(1+i)n _(1+i)n

Perpétua ou Consol: Pagamento fixo de C€ para sempre

C C

P = i =

i P

Exercício

Qual o preço de uma obrigação com taxa de

cupão de 10%, valor facial de 1000€ e 2 anos

de maturidade, sendo a taxa de juro de

12,25%?

EMF - ISEG 4-14

Margarida Abreu

2.1.3.Tx Rendimento até à maturidade

(Yield to Maturity): Obrigações

1 (1

)

n

F

P

se n

i

P

−

=

+

4. Obrigação de cupão zero (Discount Bond)

Margarida Abreu EMF - ISEG 15 ⇒

Ex: Obrigação de cupão zero (P = €900, F = €1000), 1 ano

€1000 €900 = (1+i) €1000 – €900 i = = 0.111 = 11.1% €900

(1

+

i

)

P

Relação entre Preço e Tx. de juro

de uma obrigação

Taxa de Rendimento até à maturidade de Obrigações com taxa de cupão de 10%, 10 anos de maturidade e valor facial de 1000€

Preço da Obrigação Tx de Juro

1200 7.13

1100 8.43

1000 10.00

900 11.75

800 13.81

Relação entre Preço e Tx. de juro

de uma obrigação

Taxa de Rendimento até à maturidade de Obrigações com taxa de cupão de 10%, 10 anos de maturidade e valor facial de 1000€

Preço da Obrigação Tx de Juro

1200 7.13

1100 8.43

Elementos interessantes do quadro

1. Preço e Tx de Juro estão negativamente relacionados 2. Quando a obrigação está ao par, a taxa de juro é igual

à taxa de cupão

3. Tx de juro é mais elevada que a taxa de cupão quando o preço da obrigação está abaixo do par

1100 8.43 1000 10.00 900 11.75 800 13.81

2.1.4.Rendimento Corrente

(Current Yield)

Duas características

c

C

i

P

=

1. É uma boa aproximação da taxa de rendimento até à maturidade,

em particular quando o preço está próximo do par e quando a maturidade é longa

2. Alterações do rendimento corrente assinalam sempre alterações na

mesma direcção da taxa de rendimento até à maturidade (yield to maturity)

(4)

2.1.5.Rendimento Actualizado

Yield on a discount basis ou Discount Yield

Obrigação cupão zero, 1 ano, P = €900, F = €1000

360

db

F

P

i

F

dias ate a maturidade

−

=

×

Duas Características

1. Subestima a taxa de rendimento até à maturidade quanto maior a

maturidade, mais importante é a subavaliação

2. Alterações do Rendimento Actualizado assinalam sempre alterações na

mesma direcção da taxa de rendimento até à maturidade (yield to maturity)

1000 900

360

0.099 9, 9%

1000

365

db

i

=

−

×

=

2.1.6.Distinção entre Tx de Juro e Tx de Retorno

Taxa de Retorno

(Rate of Return)

obrigação detida 1 ano

1 t t C

C

P

RET

i

g

P

+

−

=

= +

C

onde: i

_c

= =

Rendimento

Corrente

(current yield)

P

_t

P

_t+1

– P

_t

g =

= Tx mais-valia

(capital gain)

P

_t

C t

g

P

Relação entre Tx de Juro e Tx Retorno

Retorno de um investimento de um ano em obrigações

com diferentes maturidades, quando a taxa de juro sobe

de 10% para 20%

Maturidade

inicial Corrente %Tx.Rendim. Preço inicial€ Preço no anoseguinte € Tx de maisvalia % retorno %Tx de

30 10 1000 503 -49.7 -39.7

20 10 1000 516 -48.4 -38.4 10 10 1000 597 -40.3 -30.3 5 10 1000 741 -25.9 -15.9 2 10 1000 917 -8.3 +1.7 1 10 1000 1000 0 +10 2 3

...

1 (1

)

(1

)

(1

)

n

(1

)

n

C

F

P

i

=

+

+ +

+

2.1.7.Maturidade e Volatilidade

do Retorno das Obrigações

Ideias importantes do quadro 2

1. Só obrigações maturidade=período de detenção da obrigaçãoÎ Tx Retorno = Taxa de juro

2. Obrigações com maturidade > período de detenção: i ↑Î P↓ 3. Quanto maior a maturidade, maior a variação % do preço associada

variação tx. juro

4. Quanto maior a maturidade, maior a variação do retorno devida a alterações da taxa de juro

5. Obrigações com taxa de juro inicial elevada podem ter taxas de retorno negativas se i ↑ muito

Conclusões

1. Preços e retornos são mais voláteis para obrigações de longo prazo porque têm risco de taxa de juro mais elevado

2. Não existe risco de taxa de juro para obrigações se a maturidade for igual ao período de detenção

2.1.8.Tx Juro Real e Nominal

Taxa de Juro Real

Taxa de juro ajustada pelas expectativas (de evolução) do

nível de preços

i

r

= i – π

e

1. Taxa de juro real é um melhor indicador do verdadeiro custo do empréstimo

Margarida Abreu EMF - ISEG 25 2. Quando as taxas reais estão baixas, hà mais incentivos para

contrair empréstimos e menos incentivos para emprestar

se i = 5% e πe_{= 3% então:}

ir= 5% – 3% = 2%

se i = 8% e πe_{= 10% então:}

ir= 8% – 10% = –2%

Tx de juro nominal e real na

área do euro

3 4 5

-1 0 1 2

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

(5)

Capítulo 2 Taxas de Juro

2.2. COMPORTAMENTO DAS TAXAS DE

JURO

2.2. COMPORTAMENTO DAS TAXAS DE JURO

2.2.1. Determinantes da procura de activos

a Riqueza

b Retorno Esperado

c Risco

d Liquidez

Margarida Abreu EMF - ISEG 28 q

2.2.2. Oferta e Procura no Mercado Obrigacionista Procura de Obrigações

Oferta de Obrigações Equilíbrio de Mercado

2.2.3. Oferta e Procura de Obrigações como um espelho da Procura e Oferta de Fundos Disponíveis

2.2.1.Determinantes da procura de activos

2.2.2.Oferta e Procura no Mercado Obrigacionista

Derivação da Curva de Procura de Obrigações

Obrigação de cupão zero a um ano

H: F 1000 Ponto A:

H: F=1000 Ponto A: P = 950 € Bd= 100 € 109

1000€ 950€

0.053 5, 3%

950€

i

=

−

=

Equilíbrio no

Mercado

Obrigacionista

Equilíbrio de Mercado 1. Ocorre quando Bd= Bs, P* = $850, i* = 17.6% 2. Quando P = $950, i = 5.3%, Bs> Bd(excesso de oferta): P↓ para P*, i ↑ para i* 3. Quando P = $750, i = 33.0, Bd> Bs(excesso de procura): P↑ para P*, i ↓ para i*

2.2.3. Oferta e Procura de Obrigações como espelho

da Procura e Oferta de Fundos Disponíveis

1. Procura de Obrigações = Oferta de Fundos disponíveis 2. Oferta de Obrigações = Procura de Fundos Disponiveis

(6)

Modificações da Taxa de Juro de Equilíbrio

1.

Fact. que influenciam a C.Procura de Obrig.

1. Riqueza

A. Crescimento da Economia, riqueza ↑, Bd_{↑, B}d

desloca-se p/direita

2. Expectativa de Retorno (relativo)

p

(

)

A. ie_{↓ (no futuro), R}e_{p/obrigações de longo prazo ↑, B}d

desloca-se p/direita

B. πe_{↓, R}e _{Relativo ↑, B}d_{desloca-se p/direita}

C. Retorno esperado de investimentos alternativos noutros activos ↓, Bd_{↑, B}d_{desloca-se p/direita}

Fact. que influenciam a C.Procura de Obrig.

3. Risco (relativo)

A. Risco das Obrigações ↓, Bd_{↑, B}d_{desloca-se p/direita}

B. Risco de outros activos ↑, Bd_{↑, B}d_desloca-se

p/direita

4. Liquidez (relativo)

A. Liquidez das Obrigações ↑, Bd_{↑, B}d_desloca-se

p/direita

B. Liquidez de outros activos ↓, Bd_{↑, B}d_desloca-se

p/direita

Factores que

influenciam a

Curva de

Procura de

Alteração do factor Deslocação da curva da procura

Aumento da riqueza

Aumento da quantidade procurada

com deslocação da curva da procura para

a direita P i Q 1 D B 2 D B

Aumento da taxa de juro esperada

Diminuição da quantidade procurada

a esquerda P i Q 1 D B 2 D B

Aumento da inflação esperada

com deslocação da d

P i

Procura de

Obrigações

curva da procura para a esquerda Q 1 D B 2 D B

Aumento do risco relativo das obrigações

a esquerda P i Q 1 D B 2 D B

Aumento da liquidez relativa das obrigações Aumento da quantidade procurada

a direita P i Q 1 D B 2 D B

Fact. influenciam a C. da Oferta de Obrigações

1. Expectativa s/Rentabilidade dos Investimentos Produtivos Periodo de expansão, Oportunidades de investimento ↑, Bs↑ Bsdesloca

Bs↑, Bs desloca-se p/direita 2. Expectativa da taxa de Inflação πe_{↑, B}s_{↑, B}s desloca-se p/direita 3. Saldo Orçamental Deficite ↑, Bs_{↑, B}s desloca-se p/direita

Factores

que

influenciam

Alteração do factor Deslocação da curva da oferta

Aumento da rendibilidade dos investimentos

Aumento da quantidade oferecida

com deslocação da curva da oferta para a

direita 1 S B 2 S B

a C. da

Oferta de

Obrigações

Aumento da inflação esperada

direita 1 S B 2 S B

Aumento do défice orçamental

direita 1 S B 2 S B

(7)

Relação entre π

e

_{e i:}

Efeito de Fisher

(Fisher Effect)

Se πe_↑ 1. RETeRelativo

↓ Bd

desloca-Margarida Abreu EMF - ISEG 41

↓, B desloca se p/ esquerda 2. Custo real endividamento ↓, Bs_{↑, B}s desloca-se p/ direita 3. P ↓, i ↑

Evidência do Efeito de Fisher nos EUA

Ciclo de negócios e Tx. juro

Evidencia entre ciclo de negócios e Tx. juro

2.2.4. Abordagem alternativa:

A Teoria da Preferência pela Liquidez

(Liquidity Preference Analysis)

Î

Tx. Juro como Equilíbrio entre a Oferta e Procura no Merc. Moeda

Derivação da Curva da Procura

1. Keynes assume que a moeda tem i = 0

2. i ↑, RETe_{relativo em moeda ↓ (equivalente a uma}

, ( q

subida do custo de oportunidade de deter moeda) ⇒ Md_↓

3. Curva da Procura de Moeda tem uma inclinação negativa

Derivação da Curva da Oferta

1. Assume que o banco central controla Ms 2. Curva Ms_{é vertical}

Equilíbrio

do

Mercado

Monetário

Equilíbrio de Mercado

1.Ocorre quando Md = Ms, em i* = 15% 2.Se i = 25%, Ms > Md (excesso de oferta): Preço das Obrigações ↑, i ↓ para i* = 15% 3.Se i =5%, Md > Ms (excesso de procura): Preço das Obrigações ↓, i ↑para i* = 15%

(8)

Subida do Rendimento e/ou Nível geral de preços

1. Rendimento ↑, Md_↑,

Md_{desloca-se p/}

direita 2. Ms_inalterada

3. i* sobe de i1para i2

Aumento da Oferta de Moeda

(Rise in Money Supply)

1. Ms_{↑, M}s

desloca-se p/ direita 2. Md_inalterada

3. i* cai de i₁para i₂

Alteração do factor Deslocação da curva da procura ou da _oferta

Aumento do rendimento

Aumento da quantidade procurada

com deslocação da curva da procura para a direita com aumento da taxa de juro i 1 D M S M 2 D M i 1 i2 Aumento da i MS

Factores que afectam a oferta ou a Procura de Moeda

Aumento do nível de preços

quantidade procurada com deslocação da curva da procura para a direita com aumento

da taxa de juro 1 D M 2 D M i 1 i2

Aumento da oferta de moeda

direita e descida da taxa de juro D M M i1 i2 1 S M 2 S M i

1. Determinar a taxa de juro de equilíbrio igualando a oferta e a procura de obrigações na abordagem dos fundos disponíveis é equivalente a igualizar a oferta e procura de moeda na abordagem da preferência pela liquidez

Margarida Abreu EMF - ISEG 51 pela liquidez

2. Duas abordagens estão muito relacionadas, mas diferem na pratica porque a abordagem da preferência pela liquidez assume apenas 2 activos, moeda e obrigações, e ignora efeitos nas taxas de juro decorrentes de alterações do retorno esperado de activos reais

Capítulo 2 Taxas de Juro

2.3. ESTRUTURA DAS TAXAS DE JURO

Razões que explicam a existência

de múltiplas taxas de juro

Nível de risco diferente dos activos

financeiros;

Grau de liquidez diferente dos activos

financeiros;

;

Tratamento fiscal diferenciado;

(9)

Risco

Definição

É uma medida de incerteza sobre

o retorno futuro de um

investimento, medida num certo

horizonte temporal e

relativamente a um valor de

referência

Medida de risco

Para medir o risco é preciso:

Lista de todos os resultados possíveis

Probabilidade de ocorrência de cada

um deles

Medida de risco

Exemplo 1

Investimento de 1000€

Resultado

Probabilidade

_Retorno

_{Ret. x Prob.}

#1

½

700€

350€

#2

½

1400€

700€

#2

½

1400€

700€

Valor esperado= Soma dos Ret. X Prob. = 1050€ Valor esperado= ½ (700€) + ½ (1400€) = 1050€

Medida de risco

Exemplo 2

Investimento de 1000€

Resultado

Probabilidade

_Retorno

_{Ret. x Prob.}

#1

0,1

100€

10€

#2

0 4

700€

280€

#2

0,4

700€

280€

#3

0,4

1400€

560€

#4

0,1

2000€

200€

Valor esperado

=

Medida de risco

Dois investimentos:

Mesmo retorno esperado: 50€ para

um investimento de 1000€

Mesma taxa de retorno esperado: 5%

Diferentes níveis de risco

Medida de risco

Um investimento sem risco (

risk-free asset

) é um

investimento cujo valor futuro é conhecido com

certeza e cuja taxa de retorno é a taxa de

retorno de risco nulo (

risk-free rate of return

).

Se a taxa de retorno de risco nulo for 5%, um

investimento sem risco de 1000€ paga 1050€

(=valor esperado garantido).

Se existir alguma possibilidade de o retorno vir

a ser superior ou inferior a 1050€, então o

investimento tem risco.

(10)

Medida de risco

Variância

Îmédia dos quadrados dos desvios entre os

resultados possíveis e o valor esperado,

ponderada pelas probabilidades desses desvios

ocorrerem.

Desvio padrão

Î

Raiz quadrada da variância

Î Vantagem: usa a mesma unidade de medida dos resultados

Calculo da Variância

1. Calcular o valor esperado:

(1400€ x ½) + (700 € x ½) = 1050€

2. Subtrair o valor esperado dos resultados

possíveis:

1400 € -1050 € = 350€

700 € -1050 € = –350 €

3. Calcular o quadrado dos resultados:

350 €

2

_{= 122.500(euros)}

2

(–350 €)

2

_{=122.500(euros)}

2

Medida de risco

4. Multiplicar cada resultado pela sua

probabilidade e adiciona-los

:

½ [122.500(euros)

2

_{] + ½ [122.500(euros)}

2

_{] =}

122.500(euros)

2

Variância =

=½(1400€ -1050€)

2

_{+ ½(700€ -1050€)}

2

= 122.500(euros)

2

Medida de risco

O desvio padrão é a raíz quadrada da

variância:

Desvio padrão (exemplo 1) =350€

p

(

p

)

Desvio padrão (exemplo 2) =528€

Quanto mais elevado o desvio padrão

mais elevado é o risco.

Aversão ao Risco

Um indivíduo avesso ao risco prefere

sempre um investimento com um

retorno certo relativamente a outro,

com o mesmo retorno esperado mas

com o mesmo retorno esperado, mas

com algum grau de incerteza.

Prémio de Risco

Quanto mais elevado o risco de um

investimento,

é

mais elevada é a compensação

requerida peloa investidores para

investirem

Mais elevado é o prémio de risco

(11)

Tipos de risco

Idiossincrático – Risco único

Sistémico – Risco genérico do

sistema ou da economia

Tipos de risco

Existem diferentes tipos de riscos. Entre os

mais importantes destacam-se:

Risco de não cumprimento ou risco de crédito (default risk)

Risco país (country risk)

Risco de liquidez (liquidity risk)

Risco de taxa de juro (interest rate risk)

Risco de mercado (market risk)

Risco cambial (foreign exchange risk)

Risco de insolvência (solvency risk)

Risco operacional (operational risk)

2.3.1. Estrutura por risco de Obrigações

Ex: Obrigações de longo prazo nos EUA

Estrutura por risco em 1990 Ob Gov Local 6 7 %

Ob. Gov.Local 6,7 % Obrig.

Gov.Central 8 % Ob. Priv. Aaa 9 % Ob. Priv. Baa 10 %

Efeito de um aumento do risco (de não

pagamento) de obrigações privadas

Efeito de um aumento do risco de não

pagamento das obrigações privadas

Mercado das Obrigações sector privado

Risco de Obrigações privadas ↑, Dc_{↓, D}c_{desloca-se p/ esq.}

Î Pc_{↓, i}c_↑

Mercado das Obrigações sector público

Risco relativo de Obrigações públicas ↓, DT_{↑, D}T_desloca-se

p/ direita Î PT_{↑, i}T_↓

Resultado:

(12)

2.3.2. Outros Factores justificativos da existência de diferentes taxas de Juro para activos com a mesma maturidade:

a)Liquidez: Obrigações Privadas tornam-se menos líquidas

Obrigações privadas menos líquidas Dc_↓:Pc_{↓, i}c_↑

Obrigações públicas relativamente mais líquidas, DT_{↑, D}T

desloca-Margarida Abreu EMF - ISEG 72

g ç p q , ,

se p/ direita: PT_{↑, i}T_↓

Resultado:

Prémio de risco, ic_{– i}T_{, aumenta}

Prémio de risco reflecte não só risco de obrigações privadas mas também fraca liquidez

b)Regime fiscal diferenciado

2.3.3.Estrutura por prazo das taxas de juro

Evidências empíricas

1. Taxas de juro para diferentes maturidades

movem-se em conjunto ao longo do

tempo

2. Curvas de rendimento (Yield curves) têm

uma inclinação positiva quando as taxas

de curto prazo estão baixas e negativa

quando as taxas de curto prazo estão

elevadas

3. Curvas de rendimento têm em média uma

inclinação ligeiramente positiva

Taxas de Juro para diferentes

maturidades evoluem em conjunto

Três Teorias sobre a Estrutura por Prazo das Taxas de Juro

1. Teoria das Expectativas (Expectations theory)

2. Teoria da Segmentação dos Mercados (Segmented

market)

2.3.3.Estrutura por prazo das taxas de juro

Evidências empíricas

market)

3. Teoria do Prémio de Liquidez (Liquidity Premium)

ÎTeoria das Expectativas explica 1 e 2 mas não 3. ÎT. Segmentação dos Mercados explica 3, mas não 1 e

2.

ÎSolução: Combinação de elementos da T. Expectativas e da T Seg. Mercados na T. Prémio de Liquidez que explica 1, 2 e 3.

(13)

Teoria das Expectativas

Hipótese: Obrigações para diferentes maturidades são substitutos

perfeitos

Implicação: RETe_{de obrigações com diferentes maturidades é igual}

Estratégias de Investimento para um horizonte temporal de 2 anos 1. Investir 1€ em obrigações de 1 ano de maturidade e comprar outra de 1 ano de maturidade no vencimento da 1ª.

2. Investir 1€ numa obrigação de 2 anos de maturidade

Tx. Retorno esperado da estratégia 2

(1 + i2t)(1 + i2t) – 1 ₌ 1 + 2(i2t) + (i2t)2– 1

1

Considerando que (i2t)2é muito pequeno,

Retorno esperado é aproximadamente 2(i2t)

Tx. Retorno esperado da estratégia 1

Considerando que it(iet+1) é muito pequeno, o retorno esperado é 1 1

(1

) (1

) 1

1

e e t t t t

i

+ +

+ + +

−

_{≅ +}

Margarida Abreu EMF - ISEG 79 o retorno esperado é

it+ iet+1

Como o retorno esperado das duas estratégias é igual, 2(i2t) = it+ iet+1 Resolvendo para i2t 1 2

2

e t t t

i

=

+

Generalizando

De modo geral para obrigações de n-períodos:

it+ iet+1+ iet+2+ ... + iet+(n–1)

int= _n

Taxa de juro de obrigação longa = média das taxas de

Margarida Abreu EMF - ISEG 80 curto prazo que se espera ocorram durante a vida da obrigação longa

Exemplo numérico:

Taxa de juro actual de obrigações com 1 ano i_t= 5% Expectativa actual sobre as taxas de juro nos próximos 4 anos:

ie

t+1= 6%, iet+2= 7%, iet+3= 8% e iet+4= 9%:

Taxa de juro actual de obrigações a 2 anos:

i_2t= (5% + 6%)/2 = 5.5%

Taxa de juro actual de obrigações a 5 anos :

i_5t= (5% + 6% + 7% + 8% + 9%)/5 = 7%

Taxas de juro (actuais) de 1 a 5 anos:

i_t= 5%, i_2t= 5.5%, i_3t= 6%, i_4t= 6.5% e i_5t= 7%.

Hipótese das Expectativas e a

Estrutura por Prazo das Tx. Juro

Explica porque é que a curva de rendimentos tem diferentes inclinações:

1. Quando as expectativas são para uma subida das taxas

de juro, a média das futuras taxas de juro de curto prazo

= intestá acima das actuais taxas de juro de curto prazo

Î Curva de rendimentos com declive positivo

2. Quando as expectativas são para a manutenção das

taxas de juro, a média das futuras taxas de juro de curto prazo é a mesma que a actual,

ÎCurva de rendimentos horizontal

3. Quando as expectativas são para a redução das taxas de

curto prazo é que a curva de rendimentos tem uma inclinação negativa

Hipótese das Expectativas e a

Estrutura por Prazo das Tx. Juro

Teoria das Expectativas explica o Facto 1

1. Se i

t

↑ ⇒ i

nt

(média de i

t

e das

i

et+I

) ↑

Î taxas de curto prazo e de longo prazo

p

g p

(14)

1. Quando as tx. curtas estão baixas, a

expectativa é que elas subam,

então as actuais então as tx. longas (=média

das expectativas sobre futuras tx. curtas) estão

acima das actuais tx curtas

Explica o facto 2:

acima das actuais tx. curtas

Îcurva de rendimentos tem inclinação positiva

2. Quando as tx. curtas estão elevadas, a

expectativa é que elas desçam,

então as actuais tx. longas (=média das

expectativas sobre futuras tx. curtas) estão

abaixo das actuais tx. curtas

Î curva de rendimentos tem inclinação negativa

Não explica o facto 3

Ao longo do tempo as taxas de juro

sobem tanto como descem;

Nada justifica que a média das taxas de

curto prazo futuras seja superior as

actuais taxas de curto prazo

Teoria da Segmentação dos Mercados

Princípios: Obrigações de maturidades diferentes não são

substitutos

Implicação: Mercados estão segmentados: a taxa de juro

para cada maturidade é determinada num mercado separado

Explica facto 3:

Pessoas preferem investir em prazos curtos e portanto a procura é mais elevada para obrigações de curto prazo, as obrigações curtas têm então um preço mais elevado e taxa de juro mais baixa que obrigações longas

Não explica facto 1 e facto 2, porque assume que taxas longas e curtas são determinadas separadamente

Teoria do Prémio de Liquidez

(

Liquidity premium

)

Príncipios: Obrigações de diferentes maturidades são

substitutos, mas não são substitutos perfeitos

Implicação: Modifica a T. das Expectativas com

elementos da T. Segmentação dos mercados

Investidores preferem activos curtos a longos ⇒ tem de

Margarida Abreu EMF - ISEG 87 Investidores preferem activos curtos a longos ⇒ tem de ser pago um prémio de liquidez positivo (liquidity premium), l_nt, para que as longas sejam procuradas Resulta na seguinte alteração da T. das Expectativas:

it+ iet+1+ iet+2+ ... + iet+(n–1)

int= _n + lnt

Relação entre T.Prémio de Liquidez e T.

Expectativas

Exemplo numérico

1. Taxa de juro a 1 ano actual: it= 5%

Taxa de juro esperada nos próximos 4 anos, para maturidades de um ano : ie

t+1=6%, iet+2=7%, iet+3=8% e iet+4=9%

2. Preferência dos investidores por deterem taxas de curto prazo = prémio de liquidez para obrigações de 1 a 5 anos:

lt=0%, l2t=0.25%, l3t=0.5%, l4t=0.75% e l5t=1.0%.

Taxa de juro de uma obrigação a 2 anos:

i2t = (it+iet+1)/2 + l2t= (5% + 6%)/2 + 0.25% = 5.75% Taxa de juro de uma obrigação a 5 anos:

i5t = (it+iet+1+iet+2+iet+3+iet+4)/2 + l5t= (5% + 6% + 7% + 8% + 9%)/5 + 1.0% = 8%

Taxa de juro de obrigações entre 1 e 5 anos de maturidade: 5%, 5.75%, 6.5%, 7.25% e 8%.

Comparando com as da T. Expectativas, a T. Prémio de Liquidez produz curvas de rendimento com o declive positivo mais acentuado

Capítulo 2 Taxas de Juro

Capítulo 2 Taxas de Juro

2.1.

DEFINIÇÕES E MEDIDAS DE TAXAS

DE JURO

2.1.1. Valor Actualizado, Valor Futuro

e Juros Compostos

Valor Futuro FV (

)

Î É o valor, numa data futura, de um

investimento feito no presente

100€ + 100€(0.05) = 105€

PV + juros = FV

PV + PV*i = FV

Valor Futuro (FV)

FV de 100 € daqui a dois anos:

100€+100€(0.05)+100€(0.05) + 5€(0.05)

=110.25€

FV

FV

=PV do investimento inicial

+ Juros do investimento incial no primeiro ano

+ Juros do investimento incial no segundo ano

+ Juros no segundo ano sobre os juros recebidos

no primeiro ano

Valor Futuro

Formula Genérica

FV de um investimento PV a n anos, à

taxa de juro (anualizada) i:

FV

PV*(1+i)

? FV de um investimento de PV=100€

daqui a 18 meses?

Valor Presente ou Actualizado

PV (

Present Value)

PV é o valor hoje de um pagamento

que é prometido no futuro

Ou

O montante que deve ser investido

hoje de forma a obter um certo

montante no futuro

Valor actualizado

PV de um montante a receber daqui a

um ano:

Resolvendo a equação de FV:

Resolvendo a equação de FV:

FV=PV*(1+i)

)

1

(

i

FV

PV

+

=

Valor actualizado

Exemplo:

100€ a receber daqui a um ano, i=5%

/(

)

PV=100€/(1+.05) = 95.24€

Nota:

FV = PV*(1+i) = 95.24€*(1.05)=€100

Valor actualizado

Formula Genérica :

n

i

FV

PV

)

1

(

+

=

? Qual o valor actualizado de 100€, a

receber daqui a 2,5 anos, sendo i=8%?

)

(

Valor actualizado

FV = PV(1+i) = 95.24€(1.05)=€100