Sociedade de Engenharia de Áudio Artigo de Congresso

Sociedade de Engenharia de Áudio

Artigo de Congresso

Apresentado no 16o Congresso de Engenharia de Áudio da AES Brasil

23 a 25 de Outubro de 2018, Brasília, DF

Este artigo foi reproduzido do original final entregue pelo autor, sem edições, correções ou considerações feitas pelo comitê técnico. A AES Brasil não se responsabiliza pelo conteúdo. Outros artigos podem ser adquiridos através da Audio Engineering Society, 60 East 42nd Street, New York, New York 10165-2520, USA, www.aes.org. Informações sobre a seção Brasileira podem ser obtidas em www.aesbrasil.org. Todos os direitos são reservados. Não é permitida a reprodução total ou parcial deste artigo sem autorização expressa da AES Brasil.

_________________________________

A Importância de Filtros com Singularidades Reais

Parte 2 – Aplicações em Áudio

Sidnei Noceti Filho1 e Homero Sette Silva2 1

LINSE – Laboratório de Circuitos e Processamento de Sinais Departamento de Engenharia Elétrica e Eletrônica, UFSC

Florianópolis, SC, 88040-900, Brasil sidnei@linse.ufsc.br

2

São Pedro, SP, 13520-000, Brasil homerosette@hotmail.com

RESUMO

Na Parte 2 deste trabalho, são apresentadas diversas aplicações em áudio utilizando funções com singularidades reais.

0. INTRODUÇÃO

Como já comentado na Parte 1 deste trabalho, filtros com singularidades reais apresentam importantes aplicações práticas. Neste trabalho, serão consideradas aplicações em áudio, a saber: 1) Crossovers em sistemas com duas vias. 2) Equalizador RIAA.

3) Obtenção de ruído rosa a partir de ruído branco. 4) Pré-ênfase e dê-ênfase em pedais de efeito. 5) Reforço e atenuação em três faixas de áudio. 6) Passa-alta para desacoplamento DC.

1. FILTROS CROSSOVERS DE SEGUNDA ORDEM EM SISTEMAS COM DUAS VIAS 1.1 Introdução

A necessidade de utilizar filtros crossovers [1] na excitação de alto-falantes advém do fato de que nenhum alto-falante existente comercialmente consegue reproduzir com uma qualidade aceitável toda a faixa de frequências dos sons audíveis, normalmente considerada entre 20 Hz e 20 kHz. Os

crossovers são dimensionados de forma a

proporcionar um ótimo desempenho na reprodução de sons em uma faixa de frequência limitada. O espectro total de frequências do sinal sonoro é separado em faixas menores que serão reproduzidas por um alto-falante dedicado.

Os crossovers podem ser implementados com circuitos ativos ou passivos. A Figura 1 mostra um exemplo utilizando dois tipos de crossovers, considerando apenas circuitos de duas vias, onde um alto-falante é responsável pela reprodução das altas frequências (driver ou tweeter) e outro pelas baixas frequências (woofer). Os sons graves e agudos são separados pelos filtros passa-alta (PA) e passa-baixa (PB), ambos com frequência de corte f0, denominada frequência de crossover. Filtro Passa-Alta 1 P Filtro Passa-Baixa Filtro Passa-Alta 3 P Filtro Passa-Baixa 2 P (a) (b) Figura 1 - Sistema de duas vias. (a) Crossover passivo. (b) Crossover ativo.

Os crossovers passivos são conectados entre o amplificador e a caixa acústica e são implementados por filtros com seções LC. Estes apresentam uma impedância às vezes baixa para o amplificador de potência que os alimenta. Os crossovers ativos são ligados antes do amplificador, sendo necessário um deles para cada alto-falante, apresentando as seguintes vantagens:

(i) A impedância dos alto-falantes não afeta a rede do

crossover.

(ii) Cada alto-falante é excitado pelo seu próprio amplificador, tornando mais fácil o ajuste de ganho. (iii) Para um mesmo par de alto-falantes nos sistemas ativo e passivo, a potência necessária para excitá-los no sistema ativo é menor. Em um exemplo particular, pode-se mostrar que, para P1=1125 W, tem-se que P2=125 W e P3=500 W. Neste exemplo particular, a soma das potências necessárias no sistema ativo (P2+ P3) é 55% da potência necessária no sistema passivo.

1.2 Filtros Linkwitz-Riley com Polos Reais

Os filtros Linkwitz-Riley (LR) [2] são formados pela cascata de dois filtros Butterworth (BT) idênticos com máxima atenuação no limite da banda passante Amax=3,0103 dB. Sendo a combinação de dois filtros de mesma ordem em cascata, as funções LR sempre possuem ordem par. Na prática, utilizam-se apenas filtros LR de segunda e quarta ordem.

Consideremos a função LR de ordem 2 que apresenta polos reais, obtida a partir de duas funções BT de ordem 1. As funções de transferência (FT) PB

( )

PB

T s e PA T_PA( )s são dadas por (1) e (2).

(

)

2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 ( ) 2 PB T s s s s σ σ = = + σ + σ + σ (1)

(

)

2 2 2 2 2 0 0 0 ( ) 2 PA s s T s s s s = = + σ + σ + σ (2)

Sob o ponto de vista elétrico, a FT resultante do sistema, T_O( )s , é a soma das FTs PA e PB, como mostrado em (3). Porém, sob o ponto de vista acústico, isso só ocorre em um ponto equidistante das duas fontes sonoras. Para um filtro LR de segunda ordem, é necessário que um dos alto-falantes seja ligado com mudança de fase. Em (3), é prevista essa mudança de fase através do sinal “±” mostrado.

(

)

2 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) O PB PA s T s T s T s s ± σ = ± = + σ (3)

A partir de (3), é possível mostrar a validade de (4).

( )

2 2 02 2 20 0 2 2 2 2 2 0 0 0 j = = j + 2 j + T ω ω ± σ ω σ ω σ ω + σ ω σ ∓ (4) Em um ponto equidistante das duas fontes sonoras, por (4), pode-se concluir que os alto-falantes devem ser instalados fora de fase para não ocorrer

cancelamento dos sinais em ω σ= ₀. A Figura 2 mostra as redes ativas que realizam os crossovers LR de ordem 2 cujas FTs são dadas por (5) e (6).

2 2 2 (1/ ) ( ) 2(1/ ) (1/ ) PB RC T s s RC s RC = + + (5) 2 2 2 ( ) 2(1/ ) (1/ ) PA s T s s RC s RC = + + (6) R C + − + − + − 2 P 3 P C C C R R R − + + −

Figura 2 - Filtros ativos LR de 2a ordem com frequência de

crossover f0=1/ 2πRC e Q=0,5.

Para um exemplo hipotético de f0=1k Hz, a Figura 3 mostra as magnitudes das funções T0(s),

TPB(s) e TPA(s), dadas por (7), (8) e (9),

respectivamente. A função dada por (9) é uma função

all-pass (AP) de ordem 1. A Figura 3 também mostra

a magnitude obtida se não for efetuada uma mudança de fase. 2 1.000 2 1.000 ( ) 2 1.000 2 1.000 PB T s s s π× π× = × + π× + π× (7) ( ) 2 1.000 2 1.000 PA s s T s s s = × + π× + π× (8)

(

)

2 2 2 (2 1.000) 2 1.000 ( ) 2 1.000 2 1.000 O s s T s s s − π× − π× = = + π× + π× (9) PB PA AP

Sem inversão da fase

M agni tu de (dB) Frequência (Hz) −2 −4 −6 −8 −10 0 −1 10 0 105 10 101 102 103 104

Figura 3 – Magnitudes das funções PB, PA, AP e sem inversão da fase.

2. FILTRO EQUALIZADOR RIAA

Na década de 50, a Associação Americana das Indústrias de Gravação (RIAA) criou uma curva padrão com atenuação de graves para a gravação de discos de vinil, trazendo os seguintes benefícios: i) Com os graves atenuados, o tamanho do sulco diminui de largura. Consequentemente, diminui o deslocamento da agulha de corte, na matriz, diminuindo as distorções na captação e evitando a

interferência entre sulcos com grande conteúdo de baixas frequências. Uma vantagem adicional é o aumento do tempo de gravação.

ii) Como as frequências mais altas são amplificadas, elas são atenuadas na reprodução. Junto, são atenuados ruídos de alta frequência gerados na captação, melhorando a relação sinal/ruído.

A entrada phono-magnético dos amplificadores de áudio tem um pré-amplificador que compensa a atenuação dos graves no momento da gravação, com FT dada por (10), que apresenta um zero real em 500 Hz e dois polos reais em 50 Hz e 2120 Hz.

RIAA( ) ₍13320,384(_{2 .50)(}s _{2 .2120)}2 .500) T s s s + π = + π + π (10) A magnitude da resposta é mostrada na Figura 4(a), junto com o diagrama assintótico [Figura 4(b)]. Devido a isso, se um microfone é ligado na entrada phono-magnético, aparece uma realimentação acústica (microfonia) em BF. Por outro lado, se o sinal captado de um disco de vinil é aplicado em um pré-amplificador com resposta plana, o som será desagradavelmente agudo, uma vez que os graves foram atenuados na gravação.

Frequência (Hz) 5 10 1 10 102 103 104 Ma gn it ud e ( dB ) −10 −20 −40 0 10 20 −30 (a) + − 1 C 2 R 1 R 2 C I R ( ) I V s + − ( ) O V s + − (b)

Figura 4 - (a) Resposta em frequência RIAA. (b) Rede

possível para obtenção de equalização RIAA.

A Figura 4(a) mostra a curva obtida com o circuito da Figura 4(b) (exemplo de rede RIAA), onde

1 47 nF

C = , RI =7,32 kΩ , R1=68,1 kΩ , 2 5,76 k

R = Ω e C2=1 nF+12 nF 13 nF= .

3) FILTRO PARA OBTENÇÃO DE RUÍDO ROSA A PARTIR DE RUÍDO BRANCO

O ruído rosa é usado como fonte de sinal na medida das características de sistemas eletroacústicos. Também é chamado de “ruído de excesso” por estar presente em dispositivos eletrônicos junto com outros tipos de ruídos. A razão de se usar ruído rosa (e não ruído branco) é discutida a seguir.

O ruído rosa apresenta uma Densidade Espectral de Potência (DEP) proporcional a 1/f. Ele pode ser obtido a partir da filtragem de um ruído branco, que apresenta DEP constante, o qual é facilmente gerado por um circuito transistorizado. Um sinal de ruído branco aplicado em um filtro PB de 1a _{ordem (que} apresenta uma queda de 6 dB/oitava quando

2

(ωRC) 1), possibilita a obtenção de um ruído

com Densidade Espectral 1/f 2 _{(chamado de ruído} marrom ou vermelho). Mas se o objetivo é obter um ruído rosa com Densidade Espectral 1/f a partir de um ruído branco, é necessário um filtro tal que

( ) 1/

H ω ≅ ω ou H( )ω ≅ ω2 1/ , que apresentaria uma queda de –3 dB/o. Uma resposta que apresenta essa queda não é fisicamente realizável na sua forma exata. Mas é possível obter uma boa aproximação em uma determinada faixa de frequências alternando polos e zeros reais.

Fixando a ordem e as frequências limites de uma banda, existe uma relação ótima (k) entre as frequências das singularidades, tal que a declividade se aproxima de -3 dB/o. A Figura 5 ilustra uma resposta em frequência que mostra uma alternância entre polos e zeros reais, onde z1=k p1,

2 1,

p =kz z₂=k p₂, etc. Quanto maior o número de singularidades convenientemente afastadas, maior será a faixa de frequências na qual se obtém o valor aproximado de -3 dB/o. Resultados obtidos com um programa de otimização mostraram que quando a quantidade de singularidades tende ao infinito, a relação ideal entre as frequências dos polos e zeros tende para k=1,56 [3].

Quando por motivos práticos limitamos o número de singularidades, a melhor relação entre os polos e zeros reais é determinada com auxílio de programas de otimização, procurando a melhor reta aproximada usando o critério do mínimo erro médio quadrático. Um exemplo de FT para um caso de quinta ordem é dada em (11).

A função DEP em uma banda B1 = fs – fi fornece a potência média da função. Então, para a DEP

Sp(f) = Np/f, a integral que fornece a potência média

Pp1 do ruído é dada por (12).

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) K s z s z s z s z s z T s s p s p s p s p s p + + + + + = + + + + + (11) p1 p s pln i f _s f i f df P N N f f =

∫

= (12) A potência média do ruído rosa em uma banda, que é K vezes a banda anteriormente considerada (B2=KB1=Kfs−Kfi), é dada por (13).

Isto indica que a potência média é constante se medidas são feitas em bandas que se relacionam por um fator constante. Com o ruído branco isso acontece se medidas são feitas com largura de banda constante.

−6 dB/o −3 dB/o ω 1 p z1 p2 z2 p3 z3 p4 z4 dB

Figura 5 – Diagrama assintótico (___) e resposta idealizada

(___) de um filtro para obtenção de ruído rosa.

p2 pln s pln s p1 i i Kf f P N N P Kf f = = = (13) Consideremos o caso de medidas na faixa de áudio com bandas de 1/3 de oitava e com frequências aumentando com fator constante K. Chamando a frequência inicial da primeira banda de uma oitava qualquer de fINI, da segunda banda será KfINI, da terceira banda será K2

fINI e a final será K3fINI. Como a frequência final de uma oitava é 2fINI, tem-se que:

3 1/3

INI 2 INI 2 1,26

K f = f ∴ =K ≅ (14) Para uma banda de áudio com f_i=20 Hz e

20 kHz,

s

f = temos 10 oitavas num total de 30 bandas. Se pensarmos em bandas de largura constante com o intuito de utilizar o ruído branco como sinal de entrada para as medidas, tomando como base a largura da primeira banda

1 1,26 20 Hz 20 Hz 5,2 Hz

B = × − = , teríamos um

número aproximado de (20000 20) 5,2− ÷ =3842 bandas. No final da banda, os acréscimos seriam aproximadamente (5,2 20000) 100% 0,026%÷ × = . Se tomássemos valores de banda constantes fixando em 30 o seu número máximo, as bandas teriam a largura de (20000 20) 30 666 Hz− ÷ = . A variação percentual no início da banda seria de

(666 20) 100% 3330%÷ × = . Daí a razão de não se usar medidas com bandas de largura constante.

A Figura 6 mostra um circuito com resposta em frequência com declividade aproximada de

3dB

−

/

oitava na faixa de 20 Hz a 20 kHz, onde somente 5 polos e 5 zeros foram utilizados. O melhor

k e os valores dos componentes da rede foram

obtidos utilizando um programa de otimização, minimizando o erro médio quadrático.

Os valores dos resistores (série E-96) e capacitores (série E-12) são: R1=26,1 kΩ, R2=8,87 kΩ,

3 3,24 k R = Ω, R₄=1,18 kΩ, R₅=324 Ω, I 30,9 k R = Ω, C₁=(270 27) nF+ , 2 (120 22) nF C = + , C₃=47 nF, C₄=18 nF e 5 (4,7 4,7) nF

C = + . A Figura 7 mostra a magnitude da resposta em frequência da rede da Figura 6 cuja FT é dada por (15) com T(0)=1 e Y s_i( ) dada por

(16). I I 1 1/ ( ) (0) (1/ ) n _i( ) i R T s T R Y s = = +

∑

(15) 1 ( ) (1/ ) i i i i s Y s R s R C = + (16) Ruído

Branco RuídoRosa

0 t 0 t 2 R 1 C 1 R 2 C 5 R 5 C I R + − R _A B 548C

Figura 6 – Aplicação do ruído branco em um filtro com singularidades reais para geração de ruído rosa.

Frequência (Hz) 6 10 −2 10 100 102 104 Ma gn it ud e ( dB ) −10 −20 −45 0 −30 −5 −15 −25 −35 −40 3dB / o ≈ −

Figura 7 – Magnitude da resposta em frequência da rede da Figura 3 na faixa de 20 Hz a 20 kHz.

4) FILTROS DE PRÉ-ÊNFASE E DÊ- ÊNFASE

Filtros pré-ênfase e dê-ênfase com singularidades reais são usados para minimizar a magnitude de ruídos e/ou interferências de alta frequência que aparecem, por exemplo, na saída de demoduladores FM e em circuitos que fazem uso de bucket brigade

device (BBD). Os BBD’s são shift-registers analógicos

nos quais pulsos de clock deslocam valores analógicos (cargas) de uma célula para outra (cada célula tem um capacitor armazenador de carga). Exemplos de sistemas com BBD’s são os pedais de efeito (Stomp

Box) Chorus, Flanger e Delays analógicos. No caso

dos BBD’s, ruídos são causados pela transferência de cargas e pela interferência do gerador de clock.

Na pré-ênfase, as frequências altas do sinal são amplificadas antes da entrada do BBD. Na dê-ênfase, a magnitude é atenuada na mesma proporção. Porém, os sinais indesejáveis de frequência alta são atenuados na dê-ênfase. As Figuras 8(a) e 8(b) ilustram a ação dos circuitos. Sem o uso dos filtros de pré-ênfase e dê-ênfase, a simples colocação de um filtro PB na saída reduziria o efeito do sinal de AF, mas também atenuaria as frequências altas do sinal. As Figuras 9(a) e 9(b) mostram redes possíveis de pré-ênfase e dê-ênfase.

Em (17), é mostrada a FT T_PE(s) do filtro de

pré-ênfase. Em (18) e (19), são mostrados os ganhos para

0

s= e s→ ∞ . Em (20), é mostrada a FT T_DE(s) do filtro de dê-ênfase. Em (21) e (22), são mostrados os ganhos para s=0 e s→ ∞ .

É importante observar que T_PE(s)×T_DE(s) 1= , o

que significa que o sinal de interesse não é afetado pela colocação dos dois filtros em cascata.

Sistema Ruído e/ou Interferência (a) Sistema Ruído e/ou Interferência Pré-ênfase Dê-ênfase (b)

Figura 8 – Sistema sujeito a ruídos e/ou interferências em frequências altas. (a) Sem pré-ênfase e dê-ênfase. (b) Com pré-ênfase e dê-ênfase. + − 3 R ( ) I V s + − V sO( ) + − C R R + − 3 R _C R R ( ) I V s+ − V sO( ) + − (a) (b) Figura 9 – Filtros. (a) Pré-ênfase. (b) Dê-ênfase.

(

)

(

)

3 3 3 3 1 ( ) ( ) (s) 1 PE PE PE PE s R R C K s z R R T s p R s R C ⎛ ⎞ + ⎜ ₊ ⎟ + − + ⎝ ⎠ = = + ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (17) (0) ( / ) 1 (0dB) PE PE PE PE T =K z p = − ∴ (18) 3 3 3 ( ) (s) ( 0dB) // PE s PE R R R T K R R R →∞ − + − = = = ∴ > (19)

(

)

(

DE

)

33

(

(

3 3

)

)

+1/ + ( ) = = + ( + ) +1/ ( + ) DE DE DE s R C s z R T s K s p R R s R R C − (20) (0) ( / ) 1 (0dB) DE DE DE DE T =K × z p = − ∴ (21) 3 3 (s) / ( + ) ( 0dB) DE s DE T _→∞ =K = −R R R ∴ < (22)

A seguir, é mostrado um exemplo de projeto onde foram adotados os seguintes valores:

2π410 Hz

PE DE

z = p = , p_PE =z_DE =2π2340 Hz e

20logK_PE =15 dB. Assim, K_PE =1015/20=5,6234. Adotando C=6,8 nF, encontra-se R₃≅10 kΩ para

3 2π2340 Hz=1/ PE DE p =z = R C. Com base em PE K , usando (19), encontra-se R₃≅46,4 kΩ .

5) FILTROS PARA DE REFORÇO E ATENUAÇÃO EM EQUALIZADORES

Equalizadores de áudio são usados para se obter reforço e atenuação de graves [baixas frequências (BF)], médias frequências (MF) e agudos [altas frequências (AF)]. Eles estão presentes em uma grande parte de amplificadores de potência no estágio de pré-amplificação. Frequência (Hz) 5 10 1 10 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 Ma gn it ud e ( dB ) −5 −15 5 10 15 −10 0

Figura 10 - Resposta em frequência das redes de

pré-ênfase (____) e dê-ênfase (____) com os respectivos

diagramas assintóticos (____).

Os equalizadores de graves e agudos são conhecidos como shelving (prateleira) devido ao formato da magnitude da sua curva de resposta que é plana em AF e BF, diferentemente da resposta do equalizador de médias que apresenta picos e vales na frequência de interesse. Ma gn itu de ( dB ) −5 −15 5 10 15 −10 0 Frequência (Hz) 2 10 −2 10 10−1 ₁₀0 ₁₀1 (a) Frequência (Hz) 2 10 −2 10 10−1 ₁₀0 ₁₀1 Ma gn itu de ( dB ) −5 −15 5 10 15 −10 0 (b)

Figura 11 - Magnitude das respostas de equalizadores para

(a) BF. (b) AF. (_____) Boost. (_____) Cut.

Para controle de graves, a FT é do tipo: ( ) ( ) / ( )

CG

T s = +s a s+ (23) b

O ganho em AF ( s→ ∞ ) é unitário, mas para 0

s= depende da relação entre a e b. Se a > b em

BF, tem-se uma amplificação (boost). Se a b< para 0,

s= tem-se uma atenuação (cut). A Figura 11(a)

ilustra as duas situações para exemplos particulares de a=10 e b= 1, e a=1 e b=10.

Para o controle de agudos, a FT é do tipo: ( ) ( 1) / ( 1) CA

T s = cs+ ds+ (24)

O ganho para s = 0 é unitário, mas em AF (s→ ∞ depende da relação entre c e d. Se c d) > em AF, tem-se uma amplificação (boost). Se c d< em AF, tem-se uma atenuação (cut). A Figura 11(b)

ilustra essas duas situações para exemplos particulares de c=10 e d= 1, e c=1 e d=10.

Um equalizador para controle de MF, chamado

bump, de ordem 2, tem sua FT dada por (25). Tanto

para s→ ∞ quanto para s= , o ganho é unitário. 0 O ganho na frequência ω₀= π é dado por (26). 2 f₀

2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 ( / ) ( ) ( / ) Z Z CM P P s Q s s B s T s s Q s s B s + ω + ω + + ω = = + ω + ω + + ω (25) 0 2 2 0 0 0 2 2 ω 0 0 0 -ω ω ω ( ) -ω ω ω Z P CM _{s j} P Z P j B Q T s B Q B j = = ₊+ +₊ = = (26)

Se Q_P>Q_Z, tem-se um reforço (boost) em ω0.

Se Q_P<Q_Z, tem-se uma atenuação (cut) em ω₀. Para um melhor entendimento do que ocorre em frequências no entorno de ω₀, analisemos separadamente o numerador e o denominador da FT. Por simplicidade e sem perda de generalidade, consideremos um exemplo com ω0= , 1 Qz =0,1 (B=10) e Qp=0,5 (B=2) (polos reais). As respostas

do numerador, denominador e total são mostradas na Figura 12(a). Nesse caso, tem-se Q_P>Q_Z, ocasionando um boost em ω₀= . 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( 10 1) ( ) 2 1 CM N D T s T s s s T s s s = = + + + + (27) Consideremos agora ω₀= , 1 Q_z =0,5 (B=2) e 0,1 p

Q = (B=10) (polos reais). As magnitudes são

mostradas na Figura 12(b). Nesse caso, tem-se ,

Z P

Q >Q ocasionando um cut em ω₀= . Um 1

esquema usado por fabricantes para a obtenção de equalizadores é mostrado na Figura 13.

2 2 1 1 ( ) ( ) ( 2 1) ( ) 10 1 CM N D T s T s s s T s s s = = + + + + (28) Frequência (rad/s) 2 10 −2 10 10−1 ₁₀0 ₁₀1 Ma gn itu de ( dB ) −100 60 100 −20 0 20 −60 (a) Frequência (rad/s) 2 10 −2 10 10−1 100 101 Ma gn itu de ( dB ) −100 60 100 −20 0 20 −60 (b)

Figura 12 - Magnitudes da resposta em frequência.

(a) Qz=0,1 e Qp=0,5. (b) Qz=0,5 e Qp=0,1. Numerador

(____). Denominador (____). Função com numerador e

denominador (____).

Dependendo do filtro seletor utilizado, os diversos equalizadores são obtidos. Equalizadores gráficos podem ser obtidos com esse esquema, colocando quanto blocos internos de filtros forem o número de bandas desejadas.

Com a chave S1 na posição “reforço”, tem-se ( ) ( ) ( ) O I I V s =V s +K T s V . Assim, ( ) / ( ) 1 ( ) O I V s V s = +K T s K=R_F/R_G> (29) 0

Na Figura 13(a), com S1 na posição “atenuação”, tem-se V_O=V_I−K T s V( ) _O. Assim, ( ) / ( ) 1/ (1 ( )) O I V s V s = +K T s K=R_F/R_G> (30) 0 G R F R I V O V − + − + F R RF F R Filtros com Polos Reais PB, PF e PA Reforço Atenuação S1 (a) G R O V − + F R RF F R I V − + F R 1 PF C PB R POT R + _ + _ + _ PB C G R RG POT R POT R PA R PA C 2 PF C 1 PF R 2 PF R (b)

Figura 13 – (a) Esquema geral dos equalizadores.

(b) Circuitos para obtenção de reforço e atenuação de graves, médios e agudos.

Consideremos 3 casos de funções ( )T s :

Caso 1: Quando T(s) é PB do tipo

0 0

( ) / ( ), PB

T s = σ s+ σ obtém-se um equalizador shelving. Com S1 na posição “reforço”, a> , tem-b

se um reforço de graves. 0 0 (1 ) ( ) 1 ( ) CG PB s K s a T s KT s s s b + + σ + = + = = + σ + (31) Com S1 na posição “atenuação”, b > a, tem-se uma atenuação de graves. 0 0 1 ( ) 1 ( ) (1 ) CG PB s s a T s KT s s K s b + σ + = = = + + + σ + (32)

Caso 2: Quando T(s) é PA do tipo

0

( ) / ( ), PA

T s =s s+ σ obtém-se um equalizador shelving. Com S1 na posição “reforço”, c > d, tem-se

um reforço de agudos. 0 0 (1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 CA k s cs T s k T s s ds + + σ + = + = = + σ + (33) Com S1 na posição “atenuação”, d>c, obtém-se

0 0 1 1 ( ) 1 ( ) (1 ) 1 CA s cs T s k T s k s ds + σ + = = = + + + σ + (34)

Caso 3: Quando T(s) é PF do tipo

2 2 0 ( ) / ( ω ), PF T s =Bs s +Bs+ obtém-se um equalizador bump.

Com S1 na posição “reforço”, obtém-se Q_P>Q_Z

(B_Z >B_P) e, consequentemente, tem-se um boost.

2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 (1 ) ω ( ) 1 ( ) ω CM PF Z P s K Bs T s KT s s Bs s B s s B s + + + = + = + + + + ω = + + ω (35)

Com S1 na posição “atenuação”, obtém-se

Z P Q >Q (B_P>B_Z) e, consequentemente, tem-se um cut. 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 ω 1 ( ) 1 ( ) (1 ) ω CM Z P s Bs T s k T s s k Bs s B s s B s + + = = + + + + + + ω = + + ω (36)

Se não estiver disponível um potenciômetro com o ponto central aterrado (grounded center-tapped

slider), pode ser utilizado um potenciômetro de

valor relativamente alto, por exemplo, 500 kΩ. Isso garante que quando estiver sendo feito um

feed-forward (reforço), a realimentação (feed-back) seja

substancialmente menor. O mesmo vale para a outra situação extrema. Simulações mostram que os erros são praticamente nulos nos limites das bandas.

Os ganhos máximos e mínimos dos equalizadores podem ser obtidos como mostrado a seguir.

A partir de (32), na Figura 13(a), com S1 na posição “reforço” para o equalizador shelving para graves, têm-se que o ganho na origem é:

0

(0) ( ) / ( ) 1 (0) (1 )

CB O I s

T =V s V s ₌ = +K T = +K (37) A partir de (10), na Figura 13(a), com S1 na posição “reforço” para o equalizador shelving para agudos, têm-se que o ganho no infinito é:

( ) ( ) / ( ) (1 )

CA _s O I _s

T s = _→∞=V s V s = _→∞= +K (38)

A partir de (35), na Figura 13(a), com S1 na posição “reforço” para o equalizador bump, tem-se que o ganho na frequência ω₀= π é: 2 f₀

0 2 2 0 0 0 2 2 ω 0 0 0 -ω (1 ) ω ω _{(1 )} -ω ω ω CM s j K Bj T K Bj = = + +_{+ +} + = + (39)

Como K=R_F/R_G, em todos os três casos acima,

admitindo um ganho máximo de x dB, tem-se:

20log(1 F) dB G R x R + = ₍₁₊ F_{) = 10}x/20 G R R ∴ (40) Para um valor x=12dB, normalmente adotado em equalizadores, R_F/R_G=1012/20− ≅1 2,98. De forma análoga ao ganho máximo calculado igual a (1+K), pode ser mostrado nos três equalizadores que o ganho mínimo é 1/(1+K). Então, para um ganho máximo de 12 dB, o ganho mínimo é −12 dB.

No circuito PB, a função é TPB( )s = σ0/ (s+ σ 0),

onde σ =₀ 1/R C_{PB PB}. Para uma frequência de corte

de 200 Hz, arbitrando R_PB=11 k ,Ω tem-se: 1/ 2 200 11000 71,9 nF PB

C = π× × = (41)

No circuito PA, a função é TPA( )s =s/ (s+ σ 0),

onde σ =₀ 1/R C_{PA PA}. Para uma frequência de corte

de 2000 Hz, arbitrando R_PA=11 k ,Ω tem-se: 1/ 2 2000 11000 7,19 nF PA

C = π× × = (42)

Por simplicidade de projeto, optou-se por usar como estágio PF o circuito obtido pela cascata de um PA e um PB. Para R_PF1 R_PF2, a função

( ) PF

T s pode ser aproximada por:

02 01 02 ( ) PF s T s s s σ ≅ × + σ + σ (43) onde σ =₀₁ 1/R_PF1C_PF1 e σ =02 1/RPF2CPF2.

Arbitrando a frequência de corte inferior e superior como f_C1=200 Hz e f_C2=2000 Hz, para 1 1,1 k PF R = Ω e R_PF2=110 k ,Ω respectivamente, tem-se: 1 1/ 2 200 1,1 719nF PF C = π× × = (44) 2 1/ 2 2000 110.000 0,719nF PF C = π× × = (45) Arbitrando R_F =51,1 kΩ como R_F/R_G=2,98,

obtém-se R_G≅17 kΩ . A Figura 14 mostra as curvas de magnitude obtidas com o circuito da Figura 17 nas situações extremas de máximos reforço e atenuação com R_V =500 kΩ . Ma gn it ud e ( dB ) −5 −15 5 10 15 −10 0 Frequência (Hz) 5 10 0 10 101 102 103 104

Figura 14 - Reforço e atenuação de graves (____), de agudos

(____) e de médias (____) frequências.

6. FILTROS PA PARA DESACOPLAMENTO

Os filtros PA de primeira ordem na entrada e na saída de circuitos eletrônicos possibilitam o seu cascateamento sem que as polarizações sejam afetadas, através do bloqueio dos níveis DC, conforme mostrado na Figura 15.

A Figura 16 apresenta quatro exemplos onde se observa desacoplamentos DC na entrada e na saída dos circuitos. Em todos os casos, ocorre o aparecimento de dois zeros na origem e dois polos reais em baixa frequência.

O polo real criado nas entradas dos circuitos das Figuras 16(a), 16(b) e 16(d) são dados por (46).

0IN 1/R C1 1

O polo real criado na entrada do circuito da Figura 16(c) é dado por (47), onde h_feé o ganho de corrente de pequenos sinais do transistor bipolar.

+ − +− Circuito Eletrônico 1 C C₂ 1 R R₂ Figura 15 - Desacoplamento DC. + − 1 C 2 C 1 R 2 R K R K C L R + − CC V V_CC + − 1 C 1 R 2 C 2 R S R S C L R + − (a) (b) CC V + − 1 C 1 B R R2 _C2 E R L R + − 2 B R F R + − 1 R CC V + F C 1 C 2 C L R CC V + /2 CC V 100 kΩ 100 kΩ (b) (d)

Figura 16 - Exemplos de desacoplamento DC em circuitos.

(a)Válvulas.(b)FET.(c)Transistores bipolares.(d)Amp. Op.

0IN 1/ [RB1//RB2 // (hfe 1) ]R CE 1

σ = + (47) O polo real criado na saída dos circuitos das Figuras 16 (a)-16(d) é dado por:

0IN 1/ (RL//R2)C2

σ = (48) Um caso que merece uma análise mais apurada é referente ao cascateamento de pedais de efeito (Stomp Box), onde invariavelmente são colocados capacitores na entrada e na saída. Os circuitos são normalmente alimentados por uma bateria de 9V com ponto de operação de 4,5V. A colocação do capacitor cria um zero na origem e um polo cujo valor depende da capacitância e da resistência vista pelos seus terminais.

A frequência do polo em baixas frequências criado na saída é dada por f_p=[1/ 2πC R( _IN+R_OUT)]. Supondo que é desejada uma faixa plana (dentro de

0,1dB

≈ − ) para um sinal de guitarra, cuja frequência mais baixa é f_min=82,41 Hz, o polo deve ser cerca de 15% de f_min, ou seja, fp =12,36 Hz.

O pior caso sob o ponto de vista do valor do capacitor é quando (R_IN+R_OUT) é mínimo. O mínimo valor de R_OUT é R_OUT =R_PROT. Alguns

fabricantes de pedais recomendam um valor mínimo de R_IN =10 kΩ como impedância de entrada do circuito a ser excitado. Para R_PROT =470Ω (valor típico usado), o valor mínimo do capacitor deve ser:

1 1 1,23 F 2 _p( _{IN OUT}) 2 .12,36.10,47 C f R R = = = μ π + π (49) Se N pedais de efeito são colocados em cascata, a atenuação do sinal em f_min é aproximadamente

0,1 dB

N× . Assim, com seis acoplamentos, a queda

em f_min é aproximadamente 0,6 dB. A Figura 18(a)

mostra a resposta em frequência para N = 1,...,6. A Figura 18(b) mostra o detalhe da magnitude (em torno de fmin=82,41 Hz) da resposta em frequência

em função do número de acoplamentos (N = 1,...,6). Como muitos fabricantes projetam seus pedais com impedância de entrada da ordem de centenas de kilohoms, normalmente, esta não deve ser uma preocupação dos guitarristas.

VAR R + − OUT R R_IN PROT R C

Figura 17 – Acoplamento típico entre pedais.

N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 N=6 Frequência (Hz) 0 10 101 102 103 Mag nit ud e ( dB ) −20 0 −100 −40 −60 −80 −120 −140 (a) N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 N=6 Frequência (Hz) 2 10 ₁₀3 Mag nit ud e ( dB) −0,2 −0,4 −0,6 −0,8 −1,0 −1,2 −1,4 −0,1 82,41 (b)

Figura 18 – (a) Resposta em frequência para N = 1,...,6.

(b) Detalhe em torno de fmin =82,41 Hz com a variação do

número de pedais em cascata. 6. CONCLUSÕES

Neste trabalho, foram apresentados seis exemplos de aplicações em áudio de funções de transferência com singularidades reais.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] “Crossovers Passivos de 2a _{Ordem em Sistemas} Duas Vias”, Homero S. Silva, Convenção Regional da AES, Porto Alegre, RS, Jan. 2002,

disponível em

https://www.researchgate.net/publication/28270 5500

[2] “Active Crossover Networks for Noncincidents Drivers”, S. H. Linkwitz, Journal of the Audio Engineering Society, vol. 24, no. 1, pp. 2-8, Jan. 1976.

[3] “On the Analog Generation of Pink Noise From White Noise”, Sidnei Noceti F., André L. Dalcastagnê, IEEE International Symposium on Circuits and Systems, Kobe, Japão, pp. 1944-1947, May, 2005.