ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS
11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A
Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II
Tarefa n.º 5
Trabalho de uma força
No dia-a-dia, usamos a palavra “trabalho” quando nos referimos a actividades de natureza muscular ou intelectual.
Em Física, no entanto, a palavra “trabalho” tem um sentido específico: é uma grandeza construída a partir de uma força e de um deslocamento.
Assim, um rebocador que puxa um navio realiza trabalho; um operário que empurra um caixote realiza trabalho; uma empilhadora que levanta um saco realiza trabalho; uma pessoa que empurra um carro realiza trabalho...
Em todas estas situações há forças que provocam deslocamentos, e portanto, realiza-se trabalho.
Os físicos utilizam, para calcular o trabalho (W) realizado por uma força no decurso do deslocamento do seu ponto de aplicação, a seguinte fórmula:
W F d cos= × × θ
em que F representa a intensidade da forçaFG, d é o comprimento do deslocamento e θ é a amplitude do ângulo formado pelas direcções da força e do deslocamento.
Se o comprimento d estiver expresso em metros (m) e a intensidade da força F em newtons (N), então o trabalho W exprime-se em joules (J).
1. O Carlos trabalha na recepção de um hotel e transporta as bagagens dos clientes.
1.1. Observe a figura seguinte que representa o Carlos a deslocar o carro “porta-malas” do ponto A ao ponto B.
F F
A d B
A força aplicada pelo Carlos tem de intensidade 24N, é paralela ao deslocamento no plano horizontal e a distância de A a B é 4m.
Calcule o trabalho realizado pela força F.
1.2. No caso seguinte, o Carlos desloca uma mala, mas a força aplicada com intensidade de 32N não é paralela ao deslocamento, fazendo com a direcção deste um ângulo de 30º e sendo o deslocamento d de 6m.
Qual o trabalho realizado pela força aplicada pelo Carlos para puxar a mala?
D d C
1.3. Uma cliente chegou ao hotel e o Carlos não estava disponível para lhe prestar apoio. Assim, a cliente transportou a sua bagagem, fazendo-a deslizar sobre uma superfície plana ao longo de 7,5m, aplicando uma força de 25N de intensidade que produziu um trabalho de 159J (energia transferida para a bagagem).
Determine a amplitude do ângulo
α
formado pela direcção da força e a direcção do deslocamento.2. O Rui, o Pedro e o João vão às compras ao supermercado e cada um vai buscar o seu carrinho de compras.
Supõe-se que as forças que aplicam nos carrinhos
têm igual intensidade e fazem com a direcção do deslocamento ângulos de 60º, 30º e 0º, respectivamente, conforme mostra a figura.
F
F30º
d
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS
11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A
Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II
Tarefa n.º 5 – proposta de resolução
Trabalho de uma força
Um rebocador que puxa um navio realiza trabalho; um operário que empurra um caixote realiza trabalho; uma empilhadora que levanta um saco realiza trabalho; uma pessoa que empurra um carro realiza trabalho...
Em todas estas situações há forças que provocam deslocamentos, e portanto, realiza-se trabalho. Os físicos utilizam, para calcular o trabalho (W) realizado por uma força no decurso do deslocamento do seu ponto de aplicação, a seguinte fórmula:
W F d cos= × × θ (*)
em que F representa a intensidade da forçaF, d é o comprimento do deslocamento e
θ
é a amplitude do ângulo formado pelas direcções da força e do deslocamento.Se o comprimento d estiver expresso em metros (m) e a intensidade da força F em newtons (N), então o trabalho W exprime-se em joules (J).
1. O Carlos trabalha na recepção de um hotel e transporta as bagagens dos clientes.
1.1. Da observação da figura seguinte que representa o Carlos a deslocar o carro “porta-malas” do ponto A ao ponto B concluímos que a força exercida pelo Carlos e o deslocamento têm a mesma direcção e o mesmo sentido. O ângulo dos dois vectores é então 0º
F F
A d B
A força aplicada pelo Carlos tem de intensidade 24N, é paralela ao deslocamento no plano horizontal e a distância de A a B é 4m.
O trabalho realizado pela força F é dado por W 24 4 cos0º 96 J= × × = de acordo com a fórmula (*).
1.2. No caso seguinte, o Carlos desloca uma mala, mas a força aplicada com intensidade de 32N não é paralela ao deslocamento, fazendo com a direcção deste um ângulo de 30º e sendo o deslocamento d de 6m.
O trabalho realizado pela força aplicada pelo Carlos para puxar a mala é 3 W 32 6 cos30º 192 96 3 J 2 = × × = × = ou aproximadamente 166,28 J. D d C
1.3. Uma cliente chegou ao hotel e o Carlos não estava disponível para lhe prestar apoio. Assim, a cliente transportou a sua bagagem, fazendo-a deslizar sobre uma superfície plana ao longo de 7,5m, aplicando uma força de 25N de intensidade que produziu um trabalho de 159J (energia transferida para a bagagem).
A amplitude do ângulo
α
formado pela direcção da força e a direcção do deslocamento é dada pela solução da equação 159 25 7,5 cos= × × α .1
159 159
159 25 7,5 cos cos cos 32º
187,5 187,5
α α α − α
= × × ⇔ = ⇔ = ⇔ ≈
O ângulo é então, aproximadamente, 32º.
2. O Rui, o Pedro e o João vão às compras ao supermercado e cada um vai buscar o seu carrinho de compras.
Supõe-se que as forças que aplicam nos carrinhos têm igual intensidade e fazem com a
F
F30º
d
Atendendo a que os jovens partiram no mesmo instante A, vamos explicar porque o Rui começa a ficar para trás.
De facto o trabalho realizado por cada um deles ao percorrerem a mesma distância é diferente.
O Rui produz W F d cos 60º 1Fd 2
= × × =
O Pedro produz W F d cos30º 3Fd 2
= × × =
e o João produz W F d cos 0º Fd= × × =
Então o trabalho produzido pelo Rui é menor que o trabalho produzido por cada um dos outros e isto resulta de o co-seno ser decrescente em
]
0º,90º . Havendo menos trabalho ele demora[
mais tempo a percorrer o mesmo espaço e fica para trás.Daqui concluímos a definição de produto escalar de dois vectores:
.
Produto escalar de dois vectores u e vG G é um número real que se representa por u.vG G e resulta da fórmula seguinte:
u.vG G= uG × vG ×cosα
em que
