Raciocínio Lógico Prof. Thiago Pacífico

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Raciocínio Lógico

Prof. Thiago Pacífico

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RACIOCÍNIO LÓGICO: Estruturas lógicas. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. Lógica sentencial (ou proposicional). Proposições simples e compostas. Tabelasverdade. Equivalências. Leis de De Morgan. Diagramas lógicos. Lógica de primeira ordem.

BANCA: Cespe CARGO: Analista

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LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL) /

LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM / TABELA VERDADE

INTRODUÇÃO

A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das ideias de George Boole, matemático inglês (1815 – 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. As ideias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.

LÓGICA MATEMÁTICA

A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:

→ PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo alternativa.

→ PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

As proposições são geralmente, mas não obrigatoriamente, representadas por letras maiúsculas.

De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito!", “Que horas são?”, “x é um número par” e “x + 2 = 7”, não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso).

Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F.

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• C: "3 + 5 = 2" (F) • D: "7 + 5 = 12" (V)

• E: "O Sol é um planeta" (F)

• F: "Um pentágono é um polígono de dez lados" (F) SENTENÇA ABERTA: Não pode ser atribuído um valor lógico

Ex.: “X é um número par” → Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), não se pode afirmar. SENTENÇA FECHADA: Pode ser atribuído um valor lógico V ou F.

Ex.: “O professor Thiago Pacífico ensina Matemática” → Sentença Verdadeira (V) Ex.: “A soma 2 + 2 é igual a 5” → Sentença Falsa (F)

SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES)

∼ não ∧ e ∨ ou v ou ... ou → se ... então ↔ se e somente se | tal que ⇒ Implica ⇔ Equivalente ∃ Existe ∃| existe um e somente um ∀ qualquer que seja

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O MODIFICADOR NEGAÇÃO

Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ∼ p. (Lê-se "não p" ). Exemplo 1:

• q: “Thiago Pacífico é magro” • ∼ q: “Thiago Pacífico não é magro”

• ∼ q: “Não é verdade que Thiago Pacífico é magro” Exemplo 2:

• s: “Fernando Castelo Branco é honesto” • ¬s: “Fernando Castelo Branco não é honesto”

• ¬s: “Não é verdade que Fernando Castelo Branco é honesto” • ¬s: “Fernando Castelo Branco é desonesto”

ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS

As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos ∧, ∨, → e ↔, dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p∧q,

p∨q, p→q, p↔q.

Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir: → CONJUNÇÃO: p∧q (lê-se "p e q" )

→ DISJUNÇÃO: p∨q (lê-se "p ou q") → CONDICIONAL: p→q (lê-se "se p então q")

→ BI-CONDICIONAL: p↔q (lê-se "p se e somente se q")

Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.

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CONJUNÇÃO (E)

A

∧

_{B (lê-se “Premissa A e premissa B”)}

A CONJUNÇÃO só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B também for verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjunção toda torna-se falsa.

Exemplo:

Analise a afirmação: “Este final de semana irei à praia e ao cinema”. • A: “Irei à praia” • B: “Irei ao cinema”

TABELA VERDADE

A B A ∧B V V V V F F F V F F F F

Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas.

DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE (OU)

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• A: “Irei à praia” • B: “Irei ao cinema”

TABELA VERDADE

A B A ∨B V V V V F V F V V F F F

Observe que, nesse caso, o “ou” significa que eu irei a “pelo menos” um desses lugares no fim de semana (o fim de semana é longo e nada impede de ir aos dois lugares).

CONCLUSÕES QUE TORNAM A DISJUNÇÃO NÃO-EXCLUDENTE

VERDADEIRA

:

• Sabendo que ele foi à praia, conclui-se que ele pode ter ido ou não ao cinema. • Sabendo que ele não foi à praia, conclui-se que certamente foi ao cinema. • Sabendo que ele foi ao cinema, conclui-se que ele pode ter ido ou não à praia. • Sabendo que ele não foi ao cinema, conclui-se que certamente foi à praia.

DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU...OU)

A v B (lê-se “Ou premissa A, ou premissa B”)

PREMISSAS EXCLUDENTES: São aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o “ou” significa dizer que exatamente uma das premissas deverá ser verdadeira. Caso seja usado “ou...ou”, devemos entender que se trata de disjunção excludente.

Exemplo:

Analise a afirmação: “Este final de semana Renata ou vai à praia, ou vai ao cinema”. • A: “Renata vai à praia”

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TABELA VERDADE

A B A v B V V F V F V F V V F F F

Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo. Então, a afirmação só será verdadeira, se exatamente um das duas premissas for verdadeira.

Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são excludentes ou não excludentes.

CONCLUSÕES QUE TORNAM A DISJUNÇÃO EXCLUDENTE

VERDADEIRA

:

• Sabendo que Renata foi a praia, conclui-se que ela não foi ao cinema. • Sabendo que Renata não foi a praia, conclui-se que ela foi ao cinema. • Sabendo que Renata foi ao cinema, conclui-se que ela não foi a praia. • Sabendo que Renata não foi ao cinema, conclui-se que ela foi a praia.

CONDICIONAL (SE ... ENTÃO)

A

→

_{B (lê-se “Se premissa A, então premissa B”)}

Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja verdadeira.

Exemplo:

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TABELA VERDADE

A B A→B V V V V F F F V V F F V

Observe que a afirmação só será falsa, se EU NASCER EM FORTALEZA E NÃO FOR CEARENSE.

CONCLUSÕES QUE TORNAM O CONDICIONAL

VERDADEIRO

:

• Sabendo que eu nasci em Fortaleza, conclui-se que necessariamente que sou cearense. • Sabendo que eu não nasci em Fortaleza, conclui-se que eu posso ser ou não cearense. • Sabendo que eu sou cearense, conclui-se que eu posso ter ou não nascido em Fortaleza. • Sabendo que eu não sou cearense, conclui-se que necessariamente eu não nasci em

Fortaleza.

BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE)

A

↔

_{B (lê-se “Premissa A, se e somente se a premissa B”)}

Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. Fica ainda implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A também ser.

Exemplo:

Analise a afirmação: “Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”. • A: “Eduardo fica alegre”

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TABELA VERDADE

A B A ↔ B V V V V F F F V F F F V

Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico.

CONCLUSÕES QUE TORNAM O BI-CONDICIONAL

VERDADEIRO

:

• Sabendo que Eduardo fica alegre, conclui-se que Mariana sorri.

• Sabendo que Eduardo não fica alegre, conclui-se que Mariana não sorri. • Sabendo que Mariana sorri, conclui-se que Eduardo fica alegre.

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TABELA VERDADE – RESUMO

Sejam A e B duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos (F) quando falsa e (V) quando verdadeira. Podemos construir a seguinte tabela simplificada:

TABELA VERDADE

A B A ∧B A ∨B A v B A→B A ↔ B V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V

EQUIVALÊNCIAS E NEGAÇÕES (

∼

) ou (¬)

Duas proposições são equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos na tabela verdade, ou ainda, quando podem substituir uma à outra sem perda do sentido lógico.

A negação de uma proposição (A) é outra proposição (∼A) que possui sempre valor lógico contrário, ou seja, sempre que A for verdadeiro então ∼_{A é falso e quando A for falso então}

∼_{A é verdadeiro.}

É comum o aluno confundir antônimo com negação! Mas cuidado, são coisas diferentes. Por exemplo, “rico” e “pobre” são antônimos, mas “João é pobre” não é a negação de “João é rico”, afinal se João não for rico não quer dizer que seja pobre, quer dizer apenas que “João não rico”. Mas existe caso em que o antônimo é a negação, tais como: culpado e inocente, honesto e

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Exemplo:

A: “Aline é bonita” ==> ~A: ”Aline não é bonita” (não significa que ela é feia) B: “Kleyton é alto” ==> ~B: ”Kleyton não é alto” (não significa que ele é baixo) C: “Daniel é magro” ==> ~C: “Daniel não é magro” (não significa que ele é gordo) E: “Karol foi aprovada” ==> ~D: “Karol foi reprovada” (nesse caso, reprovado significa

não aprovado)

F: “Lia é culpada” ==> ~F: “Lia é inocente” (nesse caso, inocente significa

não culpado)

NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A

∧

B)

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NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A v B)

NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A

→

B)

(18)

NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A

↔

B)

EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A

→

B)

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EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A

↔

B)

EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: (A

↔

B)

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EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: [A

∧

(B

∨

C)]

EQUIVALÊNCIA DA PROPOSIÇÃO: [A

∨

(B

∧

C)]

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NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÃO MAIS USADAS (RESUMO)

Negação de uma Proposição Conjuntiva: (p e q)

Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte: 1º Negaremos a primeira (∼p);

2º Negaremos a segunda (∼q);

3º Trocaremos e por ou.

Negação de uma Proposição Disjuntiva: (p ou q)

Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte: 1º Negaremos a primeira (∼p);

2º Negaremos a segunda (∼q);

3º Trocaremos ou por e.

Negação de uma Proposição Condicional: (p

→

q)

Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma:

1º Mantém-se a primeira parte; e 2º Nega-se a segunda.

TAUTOLOGIAS

Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia, ou seja, uma proposição logicamente verdadeira, quando tem o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração.

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CONSIDERE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA:

s:(p∧q)→ (p∨q) onde p e q são proposições simples lógicas quaisquer.

Vamos construir a TABELA VERDADE da proposição s considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos: p q (p∧q) (p∨q) (p∧q)→ (p∨q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V

Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.

Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: → p: O Sol é um planeta (valor lógico F)

→ q: A Terra é um planeta plano (valor lógico F), Podemos concluir que a proposição composta

s: "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é uma proposição logicamente verdadeira.

FIQUE DE OLHO

Será apresentado a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades:

Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são

TAUTOLOGIAS:

1. (p∧q)→p

2. p → (p∨q)

3. [p∧(p → q)]→ q(esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens") 4. [(p → q)∧ ∼ q]→∼p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens")

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Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V.

CONTRADIÇÃO

Dizemos que uma proposição composta é uma contradição, ou seja, uma proposição logicamente falsa, quando tem o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições parciais usadas na sua elaboração.

Ex.:

p∧q: “Thiago Pacífico nasceu em Fortaleza e em São Paulo”

p∧ ∼ q: “Amanhã choverá e amanhã não choverá”

Opostamente a tautologia, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta e verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.

Exemplo:

A proposição composta t:p∧ ∼p é uma contradição, senão vejamos:

p ∼ p p∧ ∼ p

V F F

F V F

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PROPOSIÇÃO COMPOSTA QUALQUER OU CONTINGÊNCIA

Nesse caso, as proposições compostas que não são nem “Tautologia” nem “Contradição” são chamadas de “Contingência”, ou seja, podem assumir valor lógico (V) ou (F), dependendo das demais proposições simples.

Exemplo:

Construindo a tabela verdade da proposição composta t:(p∧q)∨r, teremos:

p q r (p∧q) (p∧q)∨r V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F F

UM POUCO MAIS SOBRE TABELA-VERDADE

Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE.

Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas.

Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso?

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Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade será dado por:

Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2

Nº de proposições

Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade terá 4 linhas, já que 22_{= 4.}

E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p, q e r? Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 23_{= 8.}

E assim por diante.

TAUTOLOGIA:

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.

CONTRADIÇÃO:

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.

CONTINGÊNCIA:

Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição.

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ATENÇÃO! UM POUCO MAIS DE SE...ENTÃO...

Algumas maneiras diferentes de escrever a proposição condicional “Se A então B”:

S →P S →P ⇔∼P →∼ S

A: “Se fizer sol então vou à praia” A: “Se fizer sol, vou à praia” A: “Fazendo sol, vou à praia” A: “Quando fizer sol, vou à praia” A: “Sempre que faz sol, vou à praia” A: “Toda vez que faz sol, vou à praia” A: “Caso faça sol, irei à praia”

A: “Irei à praia, caso faça sol” A: “Irei à praia, se fizer sol”

A: “Fazer sol implica em ir à praia” A: “Irei à praia, pois fez sol”

A: “Irei à praia, desde que faça sol” A: “Fui à praia, porque fez sol”

A: “Fazer sol é condição suficiente para que eu vá à praia”

A: “Ir à praia é condição necessária para ter feito sol”

A: “Se não for à praia então não fez sol” A: “Não ir à praia é condição suficiente para não ter feito sol”

A: “Não fazer sol é condição necessária para não ir à praia”

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SUPER-RESUMO SOBRE O “SE... ENTÃO...” – NEGAÇÃO E EQUIVALÊNCIAS -PROVANDO AS EQUIVALÊNCIAS E A NEGAÇÃO –

MAIS UM POUCO DE TABELA VERDADE

A B ¬A ¬B A → B ¬B → ¬A ¬A ∨ B A ∧ ¬B

V V F F V V V F

V F F V F F F V

F V V F V V V F

F F V V V V V F

NECESSÁRIO x SUFICIENTE

CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer)

CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre)

RESUMINDO:

Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito.

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Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo.

No caso do bi-condicional, sabemos que A implica em B e, ao mesmo tempo, B implica em A, logo tanto A quanto B funcionam simultaneamente como condição necessária e suficiente.

EXEMPLOS

1. Dadas às proposições simples: • A: “Lidiane é arquiteta” • B: “Lidiane gosta de viajar” • C: “Lidiane é feliz”

Traduza para a linguagem natural às proposições dadas a seguir, de acordo com a simbologia. a) ∼ A: “Lidiane não é arquiteta”

b) ∼ (∼ A): “Não é verdade que Lidiane não é arquiteta” c) ∼B: “Lidiane não gosta de viajar”

d) A ∧B: “Lidiane é arquiteta e gosta de viajar” e) A ∨B: “Lidiane é arquiteta ou gosta de viajar”

f) A v B: “Ou Lidiane é arquiteta, ou Lidiane gosta de viajar” g) ∼ A ∨B: “Lidiane não é arquiteta ou gosta de viajar”

h) A∨ ∼B: “Lidiane é arquiteta ou não gosta de viajar”

i) ∼ (A ∨B): “Não é verdade que Lidiane é arquiteta ou gosta de viajar” j) A →B: “Se Lidiane é arquiteta então gosta de viajar”

k) A →B: “Se e somente se Lidiane é arquiteta então gosta de viajar” l) ∼ A →B: “Se Lidiane não é arquiteta então gosta de viajar”

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m) ∼ (A →B): “Não é verdade que se Lidiane é arquiteta, gosta de viajar” n) (A ∧B)→ C: “Se Lidiane é arquiteta e gosta de viajar, então é feliz” o) A → (B∧C): “Se Lidiane é arquiteta, então gosta de viajar e é feliz” p) ∼ A → (B∨C): “Se Lidiane não é arquiteta, gosta de viajar ou é feliz”

2. Dadas às proposições simples: • A: “Thiago é rico”

• B: “Thiago é honesto”

Passe da linguagem natural para a linguagem simbólica, às proposições compostas dadas a seguir.

a) “Thiago é rico, mas é honesto”: A ∧B

b) “Thiago não é rico, mas é honesto”: ∼ A ∧B

c) “Thiago é rico, mas é desonesto”: A∧ ∼B

d) “Não é verdade que Thiago é rico e é honesto”: ∼ (A ∧B)

e) “Thiago é rico ou é honesto”: A ∨B

f) “Thiago não é rico ou é honesto”: ∼ A ∨B

g) “Não é verdade que Thiago é rico ou é honesto”: ∼ (A ∨B)

h) “Se Thiago é rico, então ele é honesto”: A →B

i) “Se Thiago é rico, então ele é desonesto”: A →∼B

j) “Se Thiago não é rico, então ele é honesto”: ∼ A →B

k) “Não é verdade que se Thiago é rico, então ele é honesto”: ∼ (A →B)

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QUESTÕES RESOLVIDAS

(CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬,

∧, ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

1. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬P)∨(¬Q) também é verdadeira.

Solução:

P Q ¬P ¬Q (¬P)∨(¬Q)

V V F F F

Resposta: ERRADO

2. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬T) é falsa. Solução:

T R ¬T R → (¬T)

V F F V

Resposta: ERRADO

3. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição

(P∧R)→ (¬Q) é verdadeira. Solução:

P Q R ¬Q (P ∧R) (P ∧R)→ (¬Q)

V V F F F V

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4. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R)→P é inferior a 9. Solução:

n = 3 (Q, ¬R, P), então 2n_{= 2}3_{= 8 < 9}

Resposta: CERTO

(CESPE) Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS:

Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia.

Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima.

5. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano. Solução:

• Instituído → 100 mil barris/dia • ∼Instituído → 100 mil barris/dia ∼100 mil barris/dia

Se não atingiu a produção de 100 mil barris/dia então não foi instituído.

Resposta: CERTO

6. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/ dia.

Solução:

• Instituído → 100 mil barris/dia • ∼Instituído → 100 mil barris/dia ∼100 mil barris/dia

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7. Se João é rico, Maria é bonita. Se Maria é bonita, José é carpinteiro. Ora, José não é carpinteiro. Logo:

a) Maria é bonita b) João é rico c) José é rico d) João não é rico e) Maria é rica Solução:

Representação por siglas das proposições: • JR: “João é rico”

• MB : “Maria é bonita” • JSC: “José é carpinteiro”

Então:

• João não é rico • Maria não é bonita • José não é carpinteiro

Resposta: D

8. Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Ora, Paula é professora, portanto:

a) Ana é advogada b) Sandra é secretária

c) Ana é advogada ou Paula não é professora d) Ana é advogada e Paula é professora

e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária. Solução:

Representação por siglas das proposições: • AA: “Ana é advogada”

• SS: “Sandra é secretária” • PP: “Paula é professora”

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Então:

• Ana não é advogada • Sandra é secretaria • Paula é professora

Resposta: B

9. Receber dinheiro é condição suficiente para eu viajar. Viajar é condição suficiente para eu ficar feliz. Fazer uma boa ação é condição necessária para eu ficar feliz. Sabendo que eu recebi dinheiro, então:

a) Estou feliz e fiz uma boa ação.

b) Estou feliz, mas não fiz uma boa ação. c) Não estou feliz, mas fiz uma boa ação. d) Não estou feliz e não fiz uma boa ação. Solução:

Representação por siglas das proposições: • RD: “Receber dinheiro”

• EV: “Eu viajar” • BA: “Fazer boa ação” • FF: “Eu ficar feliz”

Então:

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10. (CESPE – UNB) Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma proposição falsa, a proposição (p∧r)→ (q∨s) será:

a) verdadeira, somente se p for verdadeira b) verdadeira, somente se q for verdadeira

c) verdadeira, para qualquer valores lógicos de p e q d) falsa, se p for verdadeira e q falsa

e) falsa, se p e q forem ambas falsas Solução: p q r s p ∧ r q ∨ s (p ∧ r) → (q ∨ s) V V V F V V V V F V F V F F F V V F F V V F F V F F F V Resposta: D

11. (FCC) Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional “se eu ganhar na loteria, então comprarei uma casa”, necessariamente será verdadeira a proposição:

a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa. b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria. c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria; d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria.

e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa. Solução:

• Ganhar na loteria → casa

• Não ganhar na loteria → casa

não casa

Resposta: B

12. (ESAF) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.

P Q ?

V V F

V F V

F V F

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A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) P∧Q b) P → Q c) ∼ (P → Q) d) P ↔ Q e) ∼ (P ∧Q) Solução: P Q P∧Q P→Q ~(P→Q) P↔Q ∼(P∧Q) V V V V F V F V F F F V F V F V F V F F V F F F V F V V Resposta: C

13. Dizer que: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. Solução:

Para resolver essa questão lembre-se que a negação do condicional A →B é

∼ (A →B) = A∧ ∼B

Logo

∼ (∼ (A →B)) =∼ (A∧ ∼B)

Ou ainda,

A →B =∼ A ∨B

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VERIFICAÇÃO ATRAVÉS DA TABELA VERDADE

Dado

AA∨ ∼BB: "André é artista ou Bernardo não é engenheiro"

TABELA VERDADE AA ∼BB AA∨ ∼BB V V V V F V F V V F F F

Observe, que apenas a premissa composta

B → AA: "Se Bernardo é engenheiro, então André é artista"

tem os mesmos valores lógicos de AA∨ ∼BB. Onde ∼BB é a negação de BB, logo eles terão valores lógicos contrários.

TABELA VERDADE AA BB BB → AA V F V V V V F F V F V F Resposta: D

14. Aponte o item abaixo que mostra a negação de “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”.

a) Não é verdade que Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa b) Rosélia não viajará para Londres ou não comprará uma casa

c) Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa d) Rosélia viajará para Londres e comprará uma casa

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Solução:

Sabemos que a negação de A ∨B é

∼ (A ∨B) =∼ A∧ ∼B

Portanto, as possíveis negações para “Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa”, são

∼ (A ∨B): “Não é verdade que Rosélia viajará para Londres ou comprará uma casa” Ou então

∼ A∧ ∼B: “Rosélia não viajará para Londres e não comprará uma casa”

Resposta: C

15. Sabendo que “Chover em Guaramiranga é condição suficiente para fazer frio”, podemos logicamente concluir que a única afirmação falsa é:

a) Se chover em Guaramiranga então fará frio.

b) Se não fizer frio em Guaramiranga é porquê não choveu. c) choveu em Guaramiranga e não fez frio.

d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio.

e) Faz frio em Guaramiranga é condição necessária para chover. Solução:

A proposição composta dada, é equivalente a

A →B: “Se chover em Guaramiranga então faz frio” Portanto, sua negação será

∼ (A →B) = A∧ ∼B

Ou ainda

∼ (A →B): “Não é verdade que se chover em Guaramiranga então faz frio” Que por sua vez equivale a

A∧ ∼B: “Choveu em Guaramiranga e não fez frio”

(39)

QUESTÕES DE CONCURSOS – CESPE

Considere que as letras P Q e S representam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e ∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam “não”, “e” e “ou” respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (va-lor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.

1. (CESPE) ¬[(¬P∨Q)∨(¬R∨S)] é verdadeira. ( ) Certo ( ) Errado

2. (CESPE) [P∧(Q ∨S)]∧[(¬R∨Q)∨(P∧S)] é verdadeira.

( ) Certo ( ) Errado

Mariana é uma estudante que tem grande apreço pela matemática, apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo suficiente para estudar, Mariana é aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada Introdu-ção à Matemática Aplicada. No entanto, ela não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nessa disciplina.

A partir das informações apresentadas nes-sa situação hipotética, julgue os itens a se-guir, acerca das estruturas lógicas.

3. (STJ – CESPE – 2015) Considerando-se como p a proposição “Mariana acha a matemática uma área muito difícil” de valor lógico

ver-tem grande apreço pela maver-temática” de va-lor lógico falso, então o vava-lor lógico de

p → ¬q é falso.

4. (STJ – CESPE – 2015) Designando por p e q as proposições “Mariana tem tempo sufi-ciente para estudar” e “Mariana será apro-vada nessa disciplina”, respectivamente, en-tão a proposição “Mariana não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nesta disciplina” é equivalente a ¬p∧ ¬q. ( ) Certo ( ) Errado

5. (CESPE) Seja S a seguinte proposição com-posta: [P∧ ∼ (Q ∨R)]→[R∧(P ↔ Q)]. Se Q for uma proposição verdadeira, então, inde-pendentemente dos valores lógicos de P e R, a proposição S será sempre verdadeira. ( ) Certo ( ) Errado

6. (CESPE) Considere que o seguinte enunciado é verdadeiro: “Se uma mulher está grávida, então a substância gonadotrofina coriônica está presente na sua urina”. Duas amigas, Fá-tima e Mariana, fizeram exames e constatou--se que a substância gonadotrofina coriônica está presente na urina de Fátima e não está presente na urina de Mariana.

Utilizando a proposição enunciada, os re-sultados dos exames e o raciocínio lógico dedutivo garante-se que: Mariana não está grávida e não se pode garantir que Fátima está grávida.

(40)

7. (CESPE) A proposição “Se roteirista não for diretor, então dublador não será maquia-dor” é logicamente equivalente à proposi-ção “Se algum dublador for maquiador, en-tão algum roteirista será diretor”.

8. (CESPE) A proposição “Se Marcos não estu-da, João não passeia” é logicamente equiva-lente a dizer que “Marcos estudar é condi-ção necessária para João passear”.

9. (CESPE) A proposição “Se as reservas inter-nacionais em moeda forte aumentam, en-tão o país fica protegido de ataques espe-culativos” pode também ser corretamente expressa por “O país não ficar protegido de ataques especulativos é condição suficiente para que as reservas internacionais não au-mentam”.

10. (CESPE) São dadas as seguintes proposi-ções:

• p: Computadores são capazes de pro-cessar quaisquer tipos de dados.

• q: É possível provar que ∞ + 1 = ∞. Se p implica em q, então o fato de não ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é condição suficiente para que os computadores não sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados.

11. (CESPE) Caso sejam falsas as proposições “Um empresário tem atuação antieconô-mica ou antiética” e “Ele merece receber a gratidão da sociedade”, então a proposição P₄ também será falsa.

Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V.

I – Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade.

II – Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomí-nio.

III – Jorge não foi ao centro da cidade. A partir dessas proposições, é correto afir-mar que a proposição

12. (CESPE) “Carla pagou o condomínio” tem valor lógico F.

13. (CESPE) “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor lógico V.

14. (CESPE) “Tânia não estava no escritório” tem, obrigatoriamente, valor lógico V.

15. (CESPE) Ao investigar um assalto, a polícia levantou três proposições acerca das carac-terísticas dos possíveis responsáveis pelo delito: os envolvidos conheciam a vítima

(41)

tes argumentos (o símbolo lógico ¬ indica negação):

I – se p ou ¬q ou r, então o suspeito 1

par-ticipou do crime;

II – se p ou ¬_{r, então o suspeito 2}

partici-pou do crime;

III – se q ou r, então o suspeito 3 não partici-pou do crime;

IV – o suspeito 4 participou do crime se, e somente se, p e ¬q.

Ao final da investigação, a polícia verifi-cou a veracidade ou não das hipóteses p,

q e r e, seguindo os argumentos I, II, III e

IV, todos válidos, conseguiu identificar o(s) suspeito(s) participante(s) do crime. Se o suspeito 1 não participou do crime, então apenas o suspeito 2 participou do crime. ( ) Certo ( ) Errado

16. (CESPE) Considere que as seguintes afirma-ções sejam verdadeiras:

• Se é noite e não chove, então Paulo vai ao cinema.

• Se não faz frio ou Paulo vai ao cinema, então Márcia vai ao cinema.

Considerando que, em determinada noite, Márcia não foi ao cinema, é correto afirmar que, nessa noite, fez frio, Paulo não foi ao cinema e não choveu.

17. (CESPE) A formação das escalas na divisão dos trabalhos da semana, obedece às se-guintes proposições:

• Carlos fiscaliza a empresa A e João não fiscaliza a empresa B.

• João fiscaliza a empresa B ou Maria não fiscaliza a empresa D.

• Augusto fiscaliza a empresa D se e so-mente se Maria não fiscaliza a empresa B.

Com base nas proposições acima, conside-rando que cada funcionário deve fiscalizar apenas uma empresa e que todas as em-presas devem ser fiscalizadas, então nessa semana Carlos fiscaliza a empresa A, Maria fiscaliza a empresa B, Augusto fiscaliza a empresa C e João fiscaliza a empresa D. ( ) Certo ( ) Errado

18. (CESPE) A negação da proposição “Não di-rija após ingerir bebidas alcoólicas ou você pode causar um acidente de trânsito” é, do ponto de vista lógico, equivalente à afirma-ção “Dirija após ingerir bebidas alcoólicas e você não causará um acidente de trânsito”. ( ) Certo ( ) Errado

19. (CESPE) A negação da proposição “A ginás-tica te transforma e o futebol te dá alegria” está assim corretamente enunciada: “A gi-nástica não te transforma nem o futebol te dá alegria”.

20. (CESPE) A negação da proposição “O presi-dente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente” é “O pre-sidente é o membro mais novo do tribunal ou o corregedor não é o vice-presidente”. ( ) Certo ( ) Errado

21. (CESPE) A proposição equivalente à negação de “Comi feijoada com couve, mas não bebi vinho” é “Não comi feijoada ou não comi couve ou bebi vinho”.

(42)

P1: Se a impunidade é alta, então a crimina-lidade é alta.

22. (CESPE) A negação da proposição P1 pode ser escrita como “Se a impunidade não é alta, então a criminalidade não é alta.” ( ) Certo ( ) Errado

23. (CESPE) A negação da sentença “Ou estudo para concurso ou trabalho”, é equivalente a “Estudo para concurso, se e somente se, trabalho”.

24. (CESPE) A negação da sentença “Ou estudo para concurso ou trabalho”, é equivalente a “Se estudo para concurso, trabalho; porém, quando trabalho, estudo para concurso”. ( ) Certo ( ) Errado

25. (CESPE) A negação da proposição “Ou Mau-ro gosta de Mau-rock ou João gosta de samba” pode ser corretamente expressa por “Se Mauro gosta de rock, então João gosta de samba e se Mauro não gosta de rock, então João não gosta de samba”.

26. (CESPE) A negação da proposição “A Terra é redonda se e somente se o céu não é azul” é equivalente a “A Terra é redonda e o céu é azul, ou o céu não é azul e a Terra não é redonda”.

28. (CESPE) A negação da sentença “A inflação não é controlada e não há projetos de de-senvolvimento.” É equivalente a proposição “Se a inflação não é controlada, então há projetos de desenvolvimento”.

29. (CESPE) As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a ope-ração agarra não será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedi-da” são equivalentes.

30. (CESPE) A proposição “um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvol-vimento dos trabalhos” é equivalente a “se um papel tem serventia para o desenvol-vimento dos trabalhos, então é um rascu-nho”.

31. (CESPE) Considerando como proposição P: “Se Ricardo não contribui com o INSS, então a sua família está segurada”, logo a proposi-ção “Não é verdade que Ricardo não contri-bui com o INSS nem que sua família esteja segurada” é equivalente a P.

32. (CESPE) A proposição “Caio é segurado do regime geral de previdência social se, e somente se, for participante de previdên-cia complementar fechada” é logicamente equivalente a “Caio é segurado do regime

(43)

Com base na proposição P: “Quando o clien-te vai ao banco solicitar um empréstimo, ou ele aceita as regras ditadas pelo banco, ou ele não obtém o dinheiro”, julgue os itens que se seguem.

33. (CESPE) Se for falsa a proposição “O clien-te vai ao banco solicitar um empréstimo”, então a proposição P também será falsa, independentemente dos valores lógicos das demais proposições constituintes de P. ( ) Certo ( ) Errado

34. (CESPE) A negação da proposição “Ou o cliente aceita as regras ditadas pelo banco, ou o cliente não obtém o dinheiro” é logi-camente equivalente a “O cliente aceita as regras ditadas pelo banco se, e somente se, o cliente não obtém o dinheiro”.

35. (CESPE) A proposição “Ou o cliente aceita as regras ditadas pelo banco, ou o cliente não obtém o dinheiro” é logicamente equiva-lente a “Se não aceita as regras ditadas pelo banco, o cliente não obtém o dinheiro”. ( ) Certo ( ) Errado

Considerando que o símbolo lógico ∧ corres-ponda à conjunção “e”; ∨ , à disjunção “ou”;

→, à condicional “se..., então”; ↔, à bicon-dicional “se, e somente se”; ∼_{corresponda à}

negação “não”; P, Q e R sejam proposições simples; e S seja a seguinte proposição com-posta: [P∧ ∼ (Q ∨R)]→[R∧(P ↔ Q)], julgue os próximos itens.

36. (CESPE) Se Q for uma proposição verdadei-ra, então, independentemente dos valores lógicos de P e R, a proposição S será sempre verdadeira.

37. (CESPE) A negação de S pode ser corretamen-te expressa por [∼P∨(Q ∨R)]∧[(∼R)∨ ∼ (P ↔ Q)].

38. (CESPE) Se P for uma proposição verdadeira e se Q e R forem falsas, então as proposi-ções S e [P → (Q ∨R)]∧(P ↔ Q) terão valo-res lógicos diferentes.

Ao comentar a respeito das profissões de al-guns suspeitos, um delegado federal fez as seguintes afirmações:

P1: Se Clara é policial e João é analista de sis-temas, Elias não é contador.

P2: Se Clara é policial e Elias é contador, João é analista de sistemas.

P3: Se João é analista de sistemas e Elias é contador, Clara não é policial.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

39. (CESPE) A proposição P1 é logicamente equi-valente a “Se Elias é contador, Clara não é policial nem João é analista de sistemas”. ( ) Certo ( ) Errado

40. (CESPE) A proposição P2 é logicamente equi-valente a “Clara não é policial ou Elias não é contador, ou João é analista de sistemas”. ( ) Certo ( ) Errado

41. (CESPE) Se P3 for falsa, então João é analista de sistemas, Elias é contador e Clara é poli-cial.

(44)

Considerando que a proposição P: “Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja verdadeira, julgue os itens seguintes.

42. (CESPE) A negação da proposição P pode ser expressa corretamente por “Se o compra-dor escritura o imóvel, então ele o registra”. ( ) Certo ( ) Errado

43. (CESPE) A proposição P é logicamente equi-valente à proposição “O comprador escritu-ra o imóvel, ou não o registescritu-ra”.

44. (CESPE) Um comprador que tiver registrado o imóvel, necessariamente, o escriturou. ( ) Certo ( ) Errado

45. (CESPE) Se A for o conjunto dos comprado-res que escrituram o imóvel, e B for o con-junto dos que o registram, então B será sub-conjunto de A.

46. (CESPE) As proposições “Não precisa mais capturar ou digitar o código de barras” e “Não precisa mais capturar nem digitar o código de barras” são equivalentes.

Com base na proposição P: “A empresa não garante que o serviço por ela prestado não será interrompido, ou que seja livre de er-ros”, julgue o item subsequente.

Considerando a sentença “Se o radar não estiver danificado ou desligado, o motorista levará uma multa”, julgue os itens subsecu-tivos.

48. (CESPE) A sentença “o radar não está dani-ficado ou desligado” é logicamente equiva-lente à sentença “o radar não está danifica-do e também não está desligadanifica-do”.

49. (CESPE) Se forem falsas as afirmações “o radar estava desligado” e “o motorista le-vou uma multa”, então a sentença “se um motorista passou em excesso de velocidade por um radar e este não estava danificado ou desligado, então o motorista levou uma multa” será verdadeira, independentemen-te dos valores lógicos das outras proposi-ções simples que a compõem.

50. (CESPE) Se forem verdadeiras a afirmação do enunciado e a sentença “um motorista levou uma multa”, então, do ponto de vis-ta lógico, é correto concluir que vis-tal moto-rista passou em excesso de velocidade por um radar, que o radar não está danificado e também que o radar não está desligado. ( ) Certo ( ) Errado

Julgue os itens a seguir, relativos a raciocí-nio lógico.

51. (INSS – CESPE – 2016) Para quaisquer pro-posições p e q, com valores lógicos quais-quer, a condicional p → (q→p) será, sem-pre, uma tautologia.

(45)

posição “Aposentados são idosos, logo eles devem repousar” será falso.

53. (INSS – CESPE – 2016) Dadas as proposições simples p: “Sou aposentado” e q: ”Nunca faltei ao trabalho”, a proposição composta “Se sou aposentado e nunca faltei ao traba-lho, então não sou aposentado” deverá ser escrita na forma (p∧q)→∼p, usando-se os conectivos lógicos.

Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado país, um jornalista fez a seguinte colocação: “Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar”. Acerca desse comentário, que constitui uma disjunção exclusiva, julgue os itens seguintes.

54. (CESPE) Caso o ministro da Fazenda perma-neça no cargo e a cotação do dólar mante-nha sua trajetória de alta, a proposição do jornalista será verdadeira.

55. (CESPE) A negação da colocação do jornalis-ta é equivalente a “Cai o ministro da Fazen-da se, e somente se, cai o dólar”.

56. (CESPE) A proposição do jornalista é equiva-lente a “Se não cai o ministro da Fazenda, então cai o dólar”.

( ) Certo ( ) Errado P1: Não perco meu voto.

P₂: Se eu votar no candidato X, ele não for eleito e ele não me der um agrado antes da eleição, perderei meu voto.

P₃: Se eu votar no candidato X, ele for elei-to e eu não for atingido por uma benfeielei-toria

que ele faça depois de eleito, perderei meu voto.

P4: Eu voto no candidato X.

C: O candidato X me dará um agrado antes da eleição ou serei atingido por uma benfei-toria que ele fizer depois de eleito.

A partir das proposições de P1 a P4 e da pro-posição C apresentadas acima, julgue os itens seguintes, que se referem à lógica sen-tencial.

57. (CESPE) A negação da proposição “Eu voto no candidato X, ele não é eleito e ele não me dá um agrado antes da eleição” está corretamente expressa por “Eu não voto no candidato X, ele é eleito e ele me dá um agrado antes da eleição”.

58. (CESPE) Se as proposições P1 e P4 e a pro-posição “o candidato X é eleito” forem ver-dadeiras, a proposição P3 será verdadeira, independentemente do valor lógico da pro-posição “não sou atingido por uma benfei-toria que o candidato faça após eleito”. ( ) Certo ( ) Errado

59. (CESPE) Caso as proposições P1, P2 e P4 se-jam verdadeiras, será verdadeira a proposi-ção “o candidato X é eleito ou ele me dá um agrado antes da eleição”.

60. (CESPE) A proposição C é equivalente à se-guinte proposição: “Se o candidato X não me der um agrado antes da eleição, serei atingido por uma benfeitoria que ele fizer após ser eleito”.

(46)

61. (CESPE) A proposição “Se as reservas interna-cionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de ataques espe-culativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem”.

Considerando que P seja a proposição “Con-ceder-se-á auxílio-moradia a servidor se este atender a todos os requisitos”, julgue os itens seguintes.

62. (CESPE) Se a proposição “O servidor atende a todos os requisitos” for falsa, então a pro-posição P será verdadeira, independente-mente do valor lógico da proposição “Con-ceder-se-á auxílio-moradia a servidor”. ( ) Certo ( ) Errado

63. (CESPE) A proposição P é equivalente a “Se o servidor atender a todos os requisitos, en-tão conceder-se-á auxílio moradia a ele”. ( ) Certo ( ) Errado

64. (CESPE) Considere que Carlos seja um servi-dor do INSS. Dessa forma é correto concluir que a ele será concedido auxílio moradia. ( ) Certo ( ) Errado

65. (CESPE) Um servidor que atenda a todos os requisitos, mas para o qual não seja conce-dido auxílio moradia é um contraexemplo para a proposição considerada.

67. (CESPE) Se A for o conjunto dos servidores que atendem a todos os requisitos, e B for o conjunto dos servidores para os quais foi concedido auxílio-moradia, então A será subconjunto de B.

Considerando que P seja a proposição “A es-cola não prepara com eficácia o jovem para a vida, pois o ensino profissionalizante não faz parte do currículo da grande maioria dos centros de ensino”, julgue os itens seguin-tes.

68. (CESPE) A proposição P estaria corretamen-te representada por R → Q, em que R e Q são proposições lógicas convenientemente escolhidas.

69. (CESPE) A proposição P é equivalente a "Se o ensino profissionalizante não faz parte do currículo da grande maioria dos centros de ensino, então a escola não prepara com efi-cácia o jovem para a vida".

70. (CESPE) A proposição P é equivalente a "O ensino profissionalizante não faz parte do currículo da grande maioria dos centros de ensino ou a escola prepara com eficácia o jovem para a vida".

71. (CESPE) “A escola preparar com eficácia o jovem para a vida" é condição suficiente para que “o ensino profissionalizante fazer

(47)

72. (CESPE) A negação da proposição P está cor-retamente expressa por "O ensino profissio-nalizante não faz parte do currículo da gran-de maioria dos centros gran-de ensino, e a escola não prepara com eficácia o jovem para a vida".

Tendo como referência a proposição P: “O contribuinte individual ficará isento do re-colhimento de sua contribuição previden-ciária desde que preste serviço a outro contribuinte individual ou a uma empresa” e considerando apenas a proposição nele contida e os aspectos desse mandamento atinentes à lógica, julgue os seis itens sub-sequentes.

73. (CESPE) A proposição P é logicamente equi-valente a “Se o contribuinte individual pres-ta serviço a outro contribuinte individual ou a uma empresa, então ele ficará isento do recolhimento de sua contribuição previden-ciária”.

74. (CESPE) De acordo com a proposição P, ficar isento do recolhimento de sua contribuição previdenciária é condição suficiente para o contribuinte individual prestar serviço a um outro contribuinte individual ou a uma em-presa”.

75. (CESPE) Supondo-se que a proposição P e as proposições “O contribuinte individual pres-ta serviço a outro contribuinte individual” e “O contribuinte individual presta serviço a uma empresa” sejam verdadeiras, é correto concluir que também será necessariamen-te verdadeira a proposição “O contribuinnecessariamen-te individual ficará isento do recolhimento de sua contribuição previdenciário”.

76. (CESPE) A negação da proposição “O con-tribuinte individual presta serviço a outro contribuinte individual ou a uma empresa” pode ser expressa corretamente como “O contribuinte individual não presta serviço a outro contribuinte individual nem a uma empresa”.

77. (CESPE) A tabela-verdade correspondente à proposição P tem mais de 5 linhas.

78. (CESPE) A negação da proposição P é logica-mente equivalente a “O contribuinte indivi-dual prestou serviço a outro contribuinte in-dividual ou a uma empresa ou ele não ficou isento do recolhimento de sua contribuição previdenciária”.

Ao comentar sobre as razões da dor na re-gião lombar que seu paciente sentia, o mé-dico fez as seguintes afirmativas.

P₁: Além de ser suportado pela estrutura óssea da coluna, seu peso é suportado tam-bém por sua estrutura muscular.

P₂: Se você estiver com sua estrutura mus-cular fraca ou com sobrepeso, estará com sobrecarga na estrutura óssea da coluna. P3: Se você estiver com sobrecarga na

es-trutura óssea da coluna, sentirá dores na região lombar.

P4: Se você praticar exercícios físicos

regu-larmente, sua estrutura muscular não esta-rá fraca.

P₅: Se você tiver uma dieta balanceada, não estará com sobrepeso.

Tendo como referência a situação acima apresentada, julgue os itens seguintes, con-siderando apenas seus aspectos lógicos.

(48)

79. (CESPE) A proposição P₁ pode ser correta-mente representada pela forma simbólica

P∧Q, em que P e Q são proposições conve-nientemente escolhidas e o símbolo ∧ re-presenta o conectivo lógico denominado conjunção.

80. (CESPE) Se a proposição “Você está com sua estrutura muscular fraca” for verdadeira e as proposições “Você está com sobrepeso” e “Você está com sobrecarga na estrutura óssea da coluna” forem falsas, então a pro-posição P₂ será verdadeira.

81. (CESPE) A negação da proposição P2 é equi-valente à proposição “Você não está com sua estrutura muscular fraca nem com so-brepeso, mas está com sobrecarga na estru-tura óssea da coluna”.

82. (CESPE) De acordo com as informações apresentadas, estar com a estrutura mus-cular fraca ou com sobrepeso é condição suficiente para o paciente sentir dores na região lombar.

83. (CESPE) Se todas as afirmações feitas pelo médico forem verdadeiras, também será verdadeira a afirmação “Se você não sentis-se dor na região lombar, então não estaria com sobrecarga na estrutura óssea da colu-na”.

Considere que, no argumento apresentado abaixo, as proposições P, Q, R e S sejam as premissas e T, a conclusão.

P: Jornalistas entrevistam celebridades ou políticos.

Q: Se jornalistas entrevistam celebridades, então são irônicos ou sensacionalistas. R: Ou são irônicos, ou perspicazes. S: Ou são sensacionalistas, ou sagazes. T: Se jornalistas são perspicazes e sagazes, então entrevistam políticos.

A respeito dessas proposições, julgue os itens seguintes.

84. (CESPE) Suponha que as proposições “Jor-nalistas são irônicos” e “Jor“Jor-nalistas são sensacionalistas” sejam falsas. Nesse caso, também será falsa a proposição “Se jorna-listas entrevistam celebridades, são irônicos ou sensacionalistas”.

85. (CESPE) Caso sejam falsas as proposições “Jornalistas são perspicazes” e “Jornalistas são sagazes”, então também será falsa a conclusão do argumento.

86. (CESPE) A proposição Q é logicamente equi-valente a “Se jornalistas não são sensacio-nalistas e não são irônicos, então não entre-vistam celebridades”.

87. (CESPE) A conclusão do argumento é uma proposição logicamente equivalente a

(49)

“Jor-Considere que as seguintes proposições se-jam verdadeiras.

• Quando chove, Maria não vai ao cine-ma.

• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema.

• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio.

• Quando Fernando está estudando, não chove.

• Se é noite, faz frio.

Tendo como referência as proposições apre-sentadas, julgue os itens subsecutivos.

88. (DPU – CESPE – 2016) Se Maria foi ao cine-ma, então Fernando estava estudando. ( ) Certo ( ) Errado

89. (DPU – CESPE – 2016) É noite e não chove. ( ) Certo ( ) Errado

O casal Cássio e Cássia tem as seguintes pe-culiaridades: tudo o que Cássio diz às quar-tas, quintas e sextas-feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos outros dias da semana; tudo o que Cássia diz aos do-mingos, segundas e terças-feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ela nos ou-tros dias da semana.

A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos.

90. (CESPE) Se, em certo dia, ambos disserem “Amanhã é meu dia de mentir”, então essa afirmação terá sido feita em uma terça-fei-ra.

91. (CESPE) Na terça-feira, Cássia disse que iria ao supermercado no sábado e na quarta--feira, que compraria arroz no sábado. Nesse caso, a proposição “Se Cássia for ao

supermercado no sábado, então comprará arroz” é verdadeira.

92. (CESPE) Se, em uma sexta-feira, Cássio dis-ser a Cássia: “Se eu te amasse, eu não iria embora”, será correto concluir que Cássio não ama Cássia.

P1: O consumidor terá acesso a taxas mais baixas para financiar a compra de veículo se e somente e se possuir histórico de pagamentos em dia ou o prazo do financiamento for curto. P2: Se o consumidor possuir histórico de pagamentos em dia, então ele terá discipli-na para poupar.

P3: Se o consumidor tiver disciplina para poupar, então ele não precisará financiar o veículo.

P4: Se o prazo do financiamento for curto, então este não precisará financiar o veículo. Conclusão: Se o consumidor não precisa financiar o veículo, então ele tem acesso a taxas mais baixas para financiamento. Considerando as informações apresenta-das, julgue os itens que se seguem.

93. (CESPE) A premissa P1 pode ser simbolica-mente representada por A ↔[B∨C], em que A, B e C sejam proposições adequada-mente escolhidas e os símbolos ↔ e ∨ re-presentem, respectivamente, a bicondicio-nal e a disjunção.

94. (CESPE) A conclusão do argumento do jor-nalista também pode ser expressa da se-guinte forma: “O consumidor precisa finan-ciar o veículo ou ele tem acesso a taxas mais baixas para financiamento”.

(50)

Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecen-tes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir:

Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário;

Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido;

Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a dro-ga.

Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário.

Considerando a situação hipotética apre-sentada acima, julgue os itens a seguir.

95. (PF – CESPE) Se P e Q representam, respec-tivamente, as proposições “Eu não sou tra-ficante” e “Eu sou usuário”, então a premis-sa 1 estará corretamente representada por

P∧Q.

96. (PF – CESPE) A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equi-valente a “Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi”.

97. (PF – CESPE) Se a proposição “Eu não sou traficante” for verdadeira, então a premissa 2 será uma proposição verdadeira, indepen-dente dos valores lógicos das demais propo-sições que a compõem.

Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar por desonesto.

A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições:

• Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P1)

• Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P₂)

• Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P₃) Com referência às proposições P₁, P₂ e P₃ acima, julgue os itens a seguir.

98. (CESPE) A negação da proposição “O síndico troca de carro ou reforma seu apartamen-to” pode ser corretamente expressa por “O síndico não troca de carro nem reforma seu apartamento”.

99. (CESPE) Se a proposição “Dizem que o sín-dico usou dinheiro do condomínio em be-nefício próprio” for falsa, então, indepen-dentemente do valor lógico da proposição “O síndico fica com fama de desonesto”, a premissa P₂ será verdadeira.

100. (CESPE) A proposição P3 é equivalente a “Se você quiser ser síndico, não queira manter sua fama de honesto”.

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casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma deci-sões ruins.

P2: Se não tem informações precisas ao to-mar decisões, então o policial toma deci-sões ruins.

P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar deci-sões.

P4: Se teve treinamento adequado e se de-dicou nos estudos, então o policial tem in-formações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições. julgue os itens a seguir.

101. (CESPE) A proposição formada pela conjun-ção de P1 e P2 é logicamente equivalente à proposição “Se se deixa dominar pela emoção ou não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins”.

102. (CESPE) Admitindo-se como verdadeiras as proposições “O policial teve treinamento adequado” e “O policial tem informações precisas ao tomar decisões”, então a pro-posição “O policial se dedicou nos estudos” será, necessariamente, verdadeira.

103. (CESPE) A negação de P4 é logicamente equivalente à proposição “O policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas não tem informações preci-sas ao tomar decisões”.

Considerando que R e T são proposições ló-gicas simples, julgue os itens a seguir, acer-ca da construção de tabelas-verdade.

104. (CESPE) Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R → T) ↔R, a tabela-verdade cor-respondente será a seguinte.

R T (R → T) ↔ R V V V V F F F V V F F F ( ) Certo ( ) Errado

105. (CESPE) Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R∧ T)∨(¬R), a tabela-verdade cor-respondente será a seguinte.

R T (R ∧ T)∨(¬R) V V V V F F F V V F F V ( ) Certo ( ) Errado

106. (CESPE) A tabela de interpretação de

(P → ¬Q)→ ¬P é igual à tabela de inter-pretação de P → Q. P Q (P → ¬Q)→ ¬P V V V F F V F F ( ) Certo ( ) Errado

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Considerando as proposições simples p e q e a proposição composta r:p∨q→p∧q, julgue o item abaixo.

107. (CESPE) Considerando todos os possíveis valores lógicos das proposições p e q, é correto afirmar que a proposição r possui 3 valores lógicos F.

108. (CESPE) Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma propo-sição falsa, a propopropo-sição (p∧r) ↔ (q∨s)

será verdadeira, somente se p for verda-deira. ( ) Certo ( ) Errado P Q R S V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

A tabela acima corresponde ao início da construção da tabela-verdade da proposi-ção S, composta das proposições simples P, Q e R. Julgue o item seguinte a respeito da tabela-verdade de S.

109. (CESPE) Se S = (P → Q)∧R, então, na

últi-Considerando que P, Q e R sejam proposi-ções simples, a tabela abaixo contém ele-mentos para iniciar a construção da tabela--verdade da proposição P ↔ (Q ∧R). P Q R P ↔ (Q ∧R) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

A partir dessas informações, julgue o próxi-mo item.

110. (CESPE) Completando-se a tabela, a coluna correspondente à proposição P ↔ (Q ∧R). Conterá, na ordem em que aparecem, de cima para baixo, os seguintes elementos: V, F, F, F, V, V, V, V. ( ) Certo ( ) Errado P Q R ① V V V ② F V V ③ V F V ④ F F V ⑤ V V F ⑥ F V V