ONDAS ESTACIONÁRIAS NUMA CORDA VIBRANTE

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ONDAS ESTACIONÁRIAS NUMA CORDA VIBRANTE

1 Resumo

Ondas estacionárias são geradas numa corda flexível, esticada, e ligada a dois suportes fixos. Estuda-se a dependência da frequência de vibração das ondas estacionárias com a ordem dos modos e os parâmetros que caracterizam a corda: o seu comprimento, a sua densidade linear e a tensão a que está submetida. Analisa-se também a relação entre a ordem dos modos e a tensão na corda.

2 Fundamento teórico

Se vibrarmos uma corda flexível e que está esticada entre dois suportes fixos, ondas estacionárias serão produzidas na corda devido a sobreposição contínua das ondas incidentes e refletidas nas suas duas extremidades. A velocidade das ondas que se propagam na corda depende apenas da tensão na corda, T, e da sua densidade linear, =m/L, ou seja

v

 T



(ver apêndice B). Como v f , pode-se escrever o comprimento de onda,  na forma

  T f 1  (1)

Se a corda estiver esticada ao longo da direção x a função de onda da onda estacionária obedece à seguinte equação

t kx A

y2 sin cos (2) que é o produto da função de x (2A sinkx), por uma função de t (cost); k o número

de onda e  a frequência angular. A Figura 1 mostra um exemplo de um padrão de vibração que pode ocorrer na corda. Em qualquer instante a amplitude do deslocamento transversal de um ponto da corda depende da coordenada x ao longo da corda e em alguns pontos, denominados nodos, este deslocamento é sempre nulo. Além disso, em qualquer ponto x, com exceção dos nodos, o valor do deslocamento transversal altera com o tempo t. Por exemplo, para a posiçãox , o valor de y ₀ (y2Asinkx₀cost) varia ao longo do tempo e se sobrepusermos as imagens da corda nos vários tempos, obtemos as ondas apresentadas na Figura 1. As condições de contorno y=0 (ou deslocamento transversal zero) para os dois pontos fixos da corda situados em x=0 e em x=L respetivamente, limitam os valores do comprimento de onda a

2 n L n 2   (3) onde n é um número inteiro. Significa que estes são os únicos valores permitidos para os comprimentos de onda na corda. Uma vez que a frequência está relacionada com o comprimento de onda,as frequências de vibração ficam restringidas aos valores

 T L n f_n 2  (4)

O índice n se refere aos modos normais de vibração da corda. Portanto a corda não tem somente uma frequência natural mas uma sequência de frequências naturais denominada série harmónica. Chamamos f1 de primeiro harmónico ou frequência fundamental. Todos as outros harmónicos permitidos sãos múltiplas da frequência fundamental, ou

1 nf

f_n  . A equação (3) também pode ser escrita em termos da ordem dos harmónios, n:

T

Lf

n2 _n



₍₅₎

Verifica-se que para cada n, temos n-1 nodos e n antinodos.

O fato de que ondas confinadas numa região do espaço, como é o caso de uma corda com as extremidades fixas, só poderem vibrar em determinadas frequências bem definidas, apesar de haver infinitas possibilidades de valores de frequências, é uma característica geral do movimento ondulatório.

Nodo Antinodo O _L x 0  t 12 / T t 6 / T t 4 / T t 3 / T t 12 / 5T t 2 / T t

Figura 1 Imagens sobrepostas das ondas estacionárias formadas na corda para n=2, nos instantes: t=0,t=T/12, t=T/6, t=T/4, t=T/3, t=5T/12 e t=T/2.

3 Fonte

=5 s

Motor

3 Problemas propostos

Pretende-se estudar a propagação das ondas na corda, as condições para a formação das ondas estacionárias e verificar experimentalmente que:

3.1 a frequência de ressonância da onda estacionária é inversamente proporcional ao comprimento da corda.

3.2 a frequência de ressonância da onda estacionária é diretamente proporcional à ordem dos modos.

3.3 a velocidade da onda na corda depende dos parâmetros que caracterizam a corda. 3.4 a ordem dos modos da onda estacionária depende da tensão na corda.

4 Material

Fio de nylon com 1mm de diâmetro. Fonte de alimentação.

Relógio eletrónico. Dinamómetro (10 N).

Detetor fotoelétrico Motor elétrico (12 V-3 A).

Fios de ligação. Barras de suporte.

Suporte de bancada. Base de apoio.

Cruzetas metálicas. Fita métrica.

Triângulo de apoio de fio. Roldana.

5 Procedimento experimental

Figura 2 Arranjo experimental da experiência.

Uma corda de nylon esticada, tem uma extremidade ligada a um suporte fixo, e a outra extremidade presa a um dinamómetro. A corda passa em cima do cilindro do motor e sobre o triângulo de suporte. Quando ligamos o motor, o cilindro entra em movimento

4 corda. Ao atingir as extremidades da corda estas ondas sofrem reflexões e combinam-se com as ondas incidentes e para determinados valores de frequências produzem um padrão de onda estacionária. O relógio digital mede o período de rotação do cilindro do motor, e o sistema estará em ressonância se a frequência de rotação se igualar a uma das frequências naturais da corda.

5.1 Determinação da frequência em função do comprimento da corda

5.1.1 Deslocar o triângulo que apoia a corda, de modo a obter a maior distância possível entre os dois suportes. Esta distância corresponde ao comprimento da corda L.

5.1.2 Ajustar o valor da tensão movendo o dinamómetro na vertical, de forma a obter o modo fundamental. Fixar o valor da tensão T.

5.1.3 Fazer a leitura do valor do período de rotação , no relógio eletrónico.

5.1.4 Diminuir o comprimento L mantendo o mesmo valor da tensão T e o modo fundamental, e registar o novo valor do período .

5.1.5 Repetir este procedimento para mais cinco valores diferentes do comprimento L.

5.1.6 Registar na Tabela I todos os resultados obtidos de  para cada L. 5.2 Determinação da frequência em função da ordem dos modos normais

5.2.1 Fixar uma distância entre os suportes, ou seja, fixar um valor de L.

5.2.2 Atribuir um valor de tensão T adequada movendo o dinamómetro na vertical. 5.2.3 Variar lentamente o valor do período  até obter o primeiro harmónico.

5.2.4 Repetir este procedimento a fim de obter os harmónicos superiores (n>1) até a quinta ordem.

5.2.5 Registar na Tabela II o valor do período  para cada modo n.

5.3 Determinação da ordem dos modos normais em função da tensão na corda 5.3.1 Fixar uma distância entre os suportes para 2.75 m, ou seja, o valor do

comprimento L e o valor do período de rotação  no relógio eletrónico. 5.3.2 Atribuir um valor a tensão T de maneira a obter o primeiro modo. 5.3.3 Registe a ordem do modo n obtida.

5.3.4 Mantendo o mesmo valor do período varie a tensão na corda para obter o segundo harmónico. Repita este procedimento até chegar ao harmónico de quinta ordem.

5.3.5 Registar na Tabela III o modo n para cada valor de T.

6 Análise dos Resultados Obtidos

6.1 Frequência de ressonância em função do comprimento da corda

6.1.1 A partir dos valores do período calcular as frequências de ressonância. Registar os resultados na Tabela I.

6.1.2 Com base nos dados da Tabela I elaborar um gráfico da frequência em função do comprimento da corda. Analisar a forma do gráfico.

5 6.1.3 Ajustar ao gráfico precedente uma reta por regressão linear (f aL1b)

obtida através do método dos mínimos quadrados. Determinar os valores dos coeficientes da reta, ae b, e os erros a eles associados.

6.1.4 Tendo como base a Equação 4 calcular os valores teóricos dos coeficientes, at e bt.

6.2 Frequência em função da ordem dos modos

6.2.1 A partir dos valores do período calcular as frequências. Registar os resultados na Tabela II.

6.2.2 Com base nos dados da Tabela II elaborar um gráfico da frequência em função da ordem dos harmónicos. Analisar a forma do gráfico.

6.1.5 Ajustar ao gráfico precedente uma reta por regressão linear(f anb) e determinar os valores dos coeficientes da reta, a e b, e os erros a eles associados.

6.1.6 Tendo como base a Equação 4 calcular os valores teóricos do coeficiente at e bt. 6.1.7 Calcular os valores do comprimento de onda e registar os valores na Tabela II. 6.1.8 Com base nos dados da Tabela II elaborar um gráfico do comprimento de onda

em função da frequência. Analisar a forma do gráfico.

6.1.9 Ajustar ao gráfico precedente uma reta por regressão linear(af1b), e determinar os valores dos coeficientes da reta, a e b, e os erros a eles associados.

6.1.10 Tendo em conta a equação (1) calcular os valores teóricos dos coeficientes, at e bt.

6.3 Ordem dos modos em função da tensão na corda

6.3.1 Com base nos dados da Tabela III elaborar um gráfico da ordem dos modos em função da tensão na corda. Analisar a forma do gráfico.

6.3.2 Ajustar ao gráfico precedente uma reta por regressão linear(_n_aT12 _b)_{, e} determinar os valores dos coeficientes da reta, ae b, e os erros a eles associados. 6.3.3 Tendo como base a Equação 5 calcular os valores teóricos dos coeficientes, at e

bt.

7 Apêndice A

Ondas estacionárias

Se deslocarmos a extremidade de uma corda flexível para cima e para baixo, num movimento harmónico simples, ondas sinusoidais irão se propagar ao longo da corda. Estas ondas são denominadas de ondas progressivas. Uma onda progressiva do tipo



x t



k A

y sin v é uma onda de amplitude A, que se propaga para a direita na direção x com uma velocidade v. Podemos expressar a velocidade v na forma v=f, em que  e f correspondem respetivamente ao comprimento de onda e a frequência da onda. A grandeza k2





_{designa-se número de onda. Geralmente escreve-se a função de}

6 suporte fixo. Quando colocarmos a corda em vibração, duas ondas progressivas idênticas vão se propagar em sentidos opostos porque uma onda transversal incidente (para a esquerda) descrita pela função de onda y₁ Asin



kx



t



é refletida na extremidade fixa, produzindo uma nova onda que se propaga em sentido oposto, e que é descrita por y₂ Asin



kx



t



. O deslocamento transversal, de qualquer ponto da corda é o resultado da interferência ou da sobreposição das duas ondas, ou seja

y y1y2Asin



kx



t



Asin



kx



t



_(A.1)

Utilizando a relação trigonométrica a b



a b



₂1



ab



2 1 _cos sin 2 sin sin    a equação acima se reduz a

y2Asinkxcost (A.2) que é o produto de uma função de x, 2A sinkx, por uma função de t,cost. Esta equação não representa uma onda progressiva por que já não temos as expressões do tipo kxt . Matematicamente a Equação A.2 é mais parecida com o movimento harmónico simples do que com o movimento ondulatório. A forma da corda apresenta-se apresenta-sempre apresenta-semelhante mudando apenas o deslocamento transversal dos pontos da corda e eventualmente o sinal. Uma onda desse tipo, que não se propaga, chama-se onda estacionária e o deslocamento transversal de cada ponto x da corda é dado por

2A sinkx (A.3)

Em qualquer instante o deslocamento transversal é nulo (sinkx=0) no ponto fixo. A condição para que isto aconteça é kx=n, onde n corresponde a um número inteiro. Escrevendo este resultado em termos do comprimento de onda obtemos:

 n x 2 1  (A.4)

Estes pontos de deslocamento transversal zero são chamados nodos. Nodos sucessivos são separados pela distância /2. As posições em que o deslocamento transversal dos pontos da corda é máximo (interferência construtiva) são chamadas antinodos e ocorrem quando sinkx 1. Os antinodos adjacentes também são espaçados por /2.

Agora vamos supor que a corda tem um comprimento L e que prendemos também a extremidade direita da corda num outro suporte fixo, de modo que a corda fica esticada entre os dois suportes, como ilustra a Figura A.1a. Quando fazemos a corda vibrar, serão estabelecidas ondas estacionárias na corda devido a sobreposição contínua de ondas progressivas incidentes e refletidas nas duas extremidades fixas da corda. Nesta nova situação além de um nodo no ponto x=0, temos um segundo nodo que situa-se em x= L e nesse caso a condição de deslocamento transversal nulo deve satisfazer também esse ponto, assim sinkL=0 em qualquer instante. Isto ocorre quando kL=n. Escrevendo em termos de , obtemos:  n L 2 1  (A.5) Figura 1

7 Essa condição limita automaticamente os valores permitidos dos comprimentos de onda e as frequências das ondas na corda. Assim

n L n 2   (n1,2,3,...) (A.6) Os padrões naturais de vibração da corda são chamados modos normais e o índice n se refere ao enésimo modo de vibração. As frequências associadas a estes modos, chamadas frequências de ressonância, são obtidas pela relação f v /. Supondo que a densidade linear da corda é =m/L, e que ela está sob uma tensão T, a velocidade das ondas na corda pode ser escrita como v  T  _{(ver Apêndice B). Com essas} considerações obtemos que as frequências permitidas na corda são

 T L n f_n 2  (n1,2,3,...) (A.7)

Figura A.1. (a) Uma corda de comprimento L, esticada entre dois suportes; (b) frequência fundamental; (c) segundo harmónico; (d) terceiro harmónico.

Os modos normais formam uma série harmónica, e as várias frequências são chamadas de harmónicos. Observamos que as condições de contorno impostas às duas extremidades da corda levam à quantização dos comprimentos de onda e das frequências. A frequência mais baixa (f1) é o primeiro harmónico (ou frequência fundamental). As frequências harmónicas possíveis são todas múltiplas da fundamental, ou seja, fn =n f1. A frequência fn é o n-ésimo harmónico. Quando a corda vibra em

qualquer uma dessas frequências ela absorve energia da força motriz que gera as ondas e o deslocamento transversal de um ponto x da corda aumenta até que atinge um valor máximo originando uma onda estacionária e dizemos que o sistema está em ressonância. Por esse motivo fn são também denominadas de frequência de ressonância.

(a)

(b)

(c)

8 extremidades fixas, para o primeiro, o segundo e o terceiro harmónicos, respetivamente. Pode-se observar que além dos nodos x=0 e x=L existem outros nodos (interferência destrutiva), paran1. Por exemplo, no segundo harmónico, temos mais um nodo central e no terceiro harmónico mais dois nodos. Generalizando, temos para cada harmónico de ordem n, n-1 nodos. A amplitude do deslocamento transversal, excetuando os nodos, depende do tempo. Além disso pode-se notar que n é o número de antinodos. Verifica-se também que na ressonância e em qualquer instante aparece o padrão estacionário. Além de ilustrar os três primeiros harmónicos, a Figura A.1 mostra para cada um deles a variação do deslocamento transversal de um ponto da corda com o tempo. Em t=0 este deslocamento é máximo.

8 Apêndice B

Velocidade de ondas transversais em cordas

Um aspeto do comportamento das ondas mecânicas é que a velocidade da onda é determinada pelas propriedades do meio no qual a onda se propaga. Utilizaremos um modelo simplificado para determinar a expressão da velocidade de uma onda transversal que se desloca numa corda. Suponha um pulso que se desloca numa corda elástica esticada e perfeitamente uniforme, submetida à uma tensão T e que possui uma altura pequena se comparada ao comprimento da corda. Considere que o pulso move-se para a direita com uma velocidade constante v , medida em relação a Terra. Primeiro analisaremos o problema a partir dum referencial que se move junto com o pulso e que tem a mesma velocidade. Neste sistema de referência o pulso permanece em repouso, e a corda se desloca para a esquerda com velocidade v como mostra a Figura B.1. Consideremos o que acontece a um pequeno segmento da corda, s. Este segmento forma um arco aproximado dum círculo de raio R. Enquanto o segmento da corda se desloca através do arco com velocidade v , fica sujeito a uma aceleração centrípeta,

R 2

v , devido a tensão T na corda. As componentes horizontais da tensão Tse anulam, portanto a força resultante sobre o segmento é uma força dirigida para o centro do círculo e igual a F 2Tsin . Como o segmento é pequeno, o ângulo  também é pequeno, o que possibilita a aproximação sin  e consequentemente F 2T . Esta força é igual a aceleração centrípeta F_c mv2 R. De acordo com a Figura B.1 o comprimento do segmento s é R(2) . Portanto podemos escrever a massa do segmento com ms2R, onde  é a massa por unidade de comprimento, ou densidade linear.

Igualando as expressões de F e F obtemos _c

R R R m T 2 2 2 2    v  v (B.1)

9

v



A resolução para v nos dá

 T



v (B.2)

Como v independe de r e de  esse resultado é válido para todos os segmentos da corda. Uma vez que a dedução depende do fato do angulo  ser pequeno esta relação só será válida se e a altura do pulso for pequena comparada com o comprimento da corda. Além disso a tensão T não é afetada pela presença do pulso, o que significa que T é a mesma em todos os pontos da corda. Voltamos ao referencial original (a Terra), em que a corda está fixa e o pulso é que se desloca. Não se supõe nenhuma forma particular do pulso, de modo que podemos concluir que um pulso com qualquer forma vai se propagar ao longo da corda com velocidade

v

 T



sem mudar a sua forma.

Bibliografia

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Paul Tripler, Physics for Scientists and Engineers, (W.H. Freeman - Company)

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Serway Jewett

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Physics for Scientists and Engineers (Thomson Books/Cole).

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Alonso Finn

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Physics (Addison-Wesley).

Ana Maria Rodrigues - 2012

Figura B.1 Movimento de um pequeno seguimento de corda num sistema de referência em movimento.