Objetivo Pedagógico e Metas de Ensino de uma Escola Waldorf - Tobias Richter
CÁLCULO E MATEMÁTICA – 6º ao 8º ano
ASPECTOS PRINCIPAIS E METAS PEDAGÓGICAS GERAIS - 1° AO 8° ANO
"NAS ESCOLAS WALDORF, O ENSINO DA MATEMÁTICA É DIVIDIDO EM TRÊS FASES. Na primeira, a qual abrange os 5 primeiros anos da escola, o cálculo é derivado de atividades infantis intimamente ligadas com as funções vitais da criança, sendo ampliado pouco a pouco de dentro para fora. Na segunda fase, do 6° ao 8° ano, predomina o aspecto prático... A transição para a terceira fase, do 9° ano em diante, é caracterizada pelo acréscimo do ponto de vista racionalista". É assim que H. v. Baravalle, primeiro professor de
matemática na escola Waldorf de Stuttgart, descreve a estrutura dessa matéria, em seu livro Rechenunterri-cht und der Waldorfschulplan [O ensino da matemática e o plano de ensino Waldorf.
COM RELAÇÃO À PRIMEIRA FASE
Convém, em primeiro lugar, responder a duas perguntas: 1. Como ocorre a primeira formação de conceitos matemáticos?
2. Como é que ela se enquadra na psicologia do desenvolvimento humano?
R. 1. A observação mais cuidadosa mostra que a formação de conceitos aritméticos e geométricos decorre
de percepções e de atos do organismo motor. Fazer contas já é movimento interiorizado, acom-panhado da percepção do mesmo movimento. E. Schuberth denomina isso de "conteúdo sensorial do ensino
matemático" (Schuberth, Stgt. 1976). Também os resultados das pesquisas de Piaget, relativas ao
desenvolvimento da inteligência infantil, apontam nessa direção: "na fase das operações concretas" (até a idade dos 12, 13 anos), a criança realizamovimentos quando precisa relacionar uma coisa com outra. Esses movimentos dependem também de percepções concretas, das quais a criança ou dificilmente se desliga ou ainda não consegue se desligar.
R. 2. Isso leva à resposta à segunda pergunta: se a formação de conceitos matemáticos está ainda vinculada,
na primeira fase, às percepções concretas, a meta do ensino não é "generalizar e abstrair", mas "concretizar e considerar cada caso isolado" (Cf. E. Schuberth, Op. cit.). Com isso está caracterizado um caminho que possibilita ligar o matematizar com toda a capacidade de vivenciar da criança, em vez de fazer com que ela se defronte com estruturas lógicas e abstratas. Convém, nesta altura, apontar para a relação que existe entre o matematizar e a consciência necessária do movimento das mãos no desenho de formas, no qual este movimento é concretamente treinado e cultivado. Essa experiência ativa da criança é a base para uma vivência correta da "fase da operação formal" (Piaget). A regra "da mão, pelo coração, até a cabeça" (é esse o sentido da "capacidade de vivenciar") permite às crianças fazer uso das suas predisposições. "As melhores perguntas quanto a conceitos e explicações são formuladas por alunos que não as fazem a partir de uma intelectualidade rápida, mas a partir de uma procura emocional de maior clareza no pensar" (B. Ulin, Stgt.1987, p. 276).
No ensino fundamental, essa relação concreta com a matemática requer ainda um outro elemento não ligado ao movimento. É aquele da qualidade, poder-se-ia também dizer da essência de cada número. Se antes, ao contar, a ênfase fora colocada na quantidade enquanto resultado de um movimento o qual momentaneamente cessou ou sobre o próprio movimento, na introdução do conceito número a qualidade deve se acercar da quantidade. Chegamos mais perto do aspecto qualitativo do número ao investigarmos, por meio de muitos exemplos, em que lugar do mundo o número em questão realmente tem uma função ativa; como por exemplo o número 5 na flor de uma rosa (Cf. E. Bindel: Die geistigen Grundlagen der Zahlen [A base espiritual dos números]). Respondemos dessa maneira ao desejo da criança de saber mais a respeito do mundo e das coisas produzidas pelos homens, isto é, de procurar aquilo que está por traz dos
fenômenos. O físico W. Heitler considera isso quando afirma, numa palestra: "Dirigimos a atenção aos fenômenos qualitativos, isto é, às qualidades relacionadas à totalidade a os objetos observados". Rudolf Steiner recomenda partir daí quando se introduzem os números: "No decorrer da civilização chegamos, pouco a pouco, ao ponto de operar com os números de uma maneira sintética. Temos uma unidade, temos uma segunda unidade e uma terceira, e quando contamos e juntamos uma à outra pela adição, as unidades ficam justapostas, uma ao lado da outra. Mas a criança não entende intimamente esse processo; é fácil convencer-se disso. E não foi dessa maneira que a essência do ser humano desenvolveu a operação de contar. O ponto de partida da atividade de contar foi a unidade. Mas o dois não era uma repetição exterior da unidade, ele fazia parte dela. O 1 resulta no 2, e o 2 faz parte do 1. O 1 dividido dá o 3, e o 3 está contido no 1. Quando se começou a escrever o 1, não se abandonou o 1 ao chegar ao 2. Chegar ao 2 era um
processo orgânico interior, o 2 estava contido no 1, o 3 também etc. A unidade continha tudo, e os números eram divisões orgânicas da unidade." (R. Steiner, GA 303, 9a palestra).
Esse enfoque dos números de acordo com sua essência, leva também à maneira de escrevê-los, à cifra. Esta não é uma imagem no sentido de como as letras são introduzidas no lÜ ano (vide "Língua Materna",
Escrever), mas uma imagem da qualidade do número; a ima-gem esta, portanto, relacionada com a essência do número, não com a forma exterior da cifra (Cf. E. Bindel, Die geistigen Grundlagen der Zahlen [A base espiritual dos números]). Convém apontar aqui para um outro aspecto mais abrangente desse ensino que enfatiza a qualidade. É justamente na época atual, quando nos deparamos com os resultados de uma relação meramente quantitativa com o mundo sob forma de catástrofes e devastação em nosso meio ambiente, que tal enfoque, mesmo no ensino da matemática, pode revestir-se de uma importância maior. A partir de um enfoque concreto e qualitativo dos números e a partir do aspecto dinâmico das operações matemáticas, a criança pode desenvolver um tipo de inteligência capaz de procurar o caminho da realidade, e de encontrá-lo.
Chegamos agora à segunda fase da divisão, acima mencionada, do ensino da matemática. Trata-se da sua aplicação prática.
Se o cálculo tem sido praticado, na primeira fase, de maneira intensiva sob os referidos aspectos, a
matemática "prática" também terá uma conotação qualitativa. As forças da inteligência que usam o cálculo comercial, os juros e as percentagens não são neutras, elas podem implicar numa atitude de observação e de avaliação. Aquilo que é pensado pode e deve ter, em suas conseqüências, um aspecto humano.
Nesse contexto convém mencionar a sugestão de Rudolf Steiner de incluir, no ensino da matemática, elementos de contabilidade. O sentido profundo dessa recomendação resulta da resposta dada à per-gunta seguinte: quais são as capacidades estimuladas pela contabilidade (Cf. M. Brater/C. Munz, Die pãdagogische
Bedeutung der Buchführung [O significado pedagógico da contabilidade] e E. Schuberth, Der
Mathematikunterricht in der 6. Klasse an Waldorfschulen [O ensino da matemática nas escolas Waldorf no 6" ano], Stuttgart 1995). Será possível constatar, em primeiro lugar, que a competência moral para agir pode ser incentivada de maneira decisiva por esse estudo.
De tudo que precede, decorreram ainda outras metas pedagógicas: A elasticidade interior faz nascer, na resolução de problemas matemáticos, a capacidade de fantasia.
Vivenciando as qualidades dos números, a criança sente confiança e segurança: os números, o mundo e o ser humano pertencem a um mesmo todo.
A criança pode ainda ter, pelo cálculo, uma sensação de segurança quando percebe que um problema é resolvido corretamente. Com isso ela conquistou uma certa autonomia. "Por isso, a matemática constitui um campo de exercícios apropriado para livrar os alunos de vínculos de autoridade, mesmo quando eles
dependem, inicialmente, da ajuda do professor." (B. Ulin, Op. cit. p. 240)
E por fim, convém mencionar um resultado pedagógico que não deve ser subestimado e que está relacionado ao que foi exposto acima-. não é possível praticar o cálculo sem um treino constante, o qual constitui, portanto, um meio excelente para treinar a vontade.
Uma descrição detalhada da terceira fase encontra-se no capítulo "Aspectos principais e metas pedagógicas gerais" para o ensino médio, sendo, portanto, omitida aqui.
A Geometria, como parte do ensino da matemática, começa no 5° ou 6° ano, e é ensinada em épocas separadas. Uma das idéias básicas desta matéria é o desenvolvimento e o cultivo da capacidade de formar imagens espaciais.
Na geometria à mão livre é treinada, pela estimativa das proporções e relações, a segurança do movimento; o desenho de formas nos primeiros 4 anos da escola tem sido um bom preparo para isso.
As capacidades básicas, os conhecimentos e as técnicas são ensinados de acordo com a idade dos alunos (aproveitando eventualmente outras matérias).
• O aluno deve aprender a descobrir relações geométricas, captando-as intelectualmente e aproveitando-as para encontrar soluções práticas por meio de desenhos.
• O uso dos instrumentos de desenho deveria permitir uma construção (apresentação) clara e exata. • O prazer de desenhar deverá desenvolver a paciência, o esmero, a precisão e, de modo geral, a atuação autônoma e criadora.
6° ao 8° ANO
CRITÉRIOS E PRINCÍPIOS GERAIS DE ENSINO:
Se até então as formações de conceitos de situações imaginárias relacionadas à ação haviam sido ancoradas no anímico, por volta do 12° ano de vida aquilo que foi conquistado pode, progressivamente, ser permeado e ordenado com a força da lógica, agora vivenciada como uma capacidade própria. Esse progresso torna-se visível na álgebra: do manejo dos cálculos ele conduz à compreensão dos processos e à percepção de relações mais amplas.
"O sentido de uma fórmula algébrica expressa por meio de letras, é a constatação de que existe uma relação conceituai lógica Isso constitui um progresso maior no desenvolvimento da criança do que o mero uso de fórmulas: é o preparo da transição de um pensar ligado a representações mentais, para um pensar conceitual... A criança deveria ter muitas oportunidades de passar pelo processo que consiste na conscientização de um problema prático (juros), na sua solução, na formulação da lei subjacente e finalmente na aplicação repetida dessa lei." (E. Schuberth, Op. cit. p. 166)
Quando a criança chega à maturidade, o seu mundo de emoções se amplia em todas as direções. A
matemática pode ajudar nesse processo. Não são exigidos opiniões, representações ou conceitos subjetivos, pessoais! A matemática requer que se preste atenção aos números e às figuras, mas também ao próprio raciocínio. Ao se tornar, através do exercício, seguro no uso de leis e funções matemáticas, o aluno adquire auto-confiança. Se isso acontecer, o jovem estará a caminho da meta mais importante do ensino da
matemática: ele terá confiança em seu próprio pensar.
É verdade que esse pensar pode concentrar-se, unilateralmente, em seu produtor: o eu humano. Neste caso ele leva ao egoísmo. Torna-se, portanto, essencial desenvolver interesse pelo mundo, dirigir o pensar para as necessidades e exigências práticas. Por outro lado, é também importante que a busca de soluções para um problema não leve a uma resignação: "não sou capaz de fazer isso!" Neste caso, o ensino da matemática seria contraproducente: em vez da alegria e da segurança, surgem o tédio e o desespero. Quase não existe outra matéria que seja, tal como a matemática, comparada com o saber treinado e com a inteligência ("esperteza"). "Fracassar" nesta matéria e tropeçar em dificuldades significa logo: ser "bobo" e fazer tudo errado.
Por esse motivo, ao lecionar para uma classe não "selecionada", o professor se confronta com problemas e exigências metodológicos e até terapêuticos. No decorrer do ano letivo ele deverá fazer exercícios
diferenciados, embora todos estes exercícios partam de um mesmo princípio matemático ou levam até ele. Calcular através de questões práticas oferece aos alunos um amplo espectro de exercícios e treino, podendo ser estruturado como conhecimento de vida, o qual fornece acesso a muitas áreas de ação. O esforço mental necessário para resolver tais problemas cria um relacionamento ativo com as respectivas áreas. Os
problemas práticos sempre exigem um espírito realista e atuante, mas requerem também que se mostre as relações fundamentais neles existentes.
A matemática implica numa educação da vontade no âmbito do pensar. Por esse motivo, as épocas de matemática são completadas, a partir do 6° ano, por aulas complementares de exercícios.
Na Geometria, a qualidade estética do desenho não provém mais da dinâmica, mas da ordem. Para tal, o aluno precisa aprender o uso correto do compasso, da régua, e de esquadros. Mas essas "ferramentas"
podem criar uma situação problemática: a geometria pode tornar-se algo abstrato — objetivado que não apela mais para o vivenciar elementar. É preciso considerar esse perigo e preveni-10 levando o aluno sempre novamente a uma atitude de admiração. Assim, a primeira geometria do 6° ano, que faz uso do compasso, deve ser uma geometria da admiração. Para que isso aconteça, o aluno precisa aprender a desenhar com precisão. A exatidão e a beleza das figuras geométricas são seus mestres; conduzem-no, ao mesmo tempo, a uma consciência mais elevada. Aquilo que deve ser vivenciado com admiração no 6° ano, deverá ser
permeado de pensamento no 7° e no 8° ano. Procura-se deduzir as leis da geometria e formulá-las. A linguagem usada nas demonstrações geométricas terá que ser vivenciada como algo adequado a essa matéria. É importante que o aluno, ao procurar uma maneira individual de falar e de se expressar, encontre uma linguagem livre da emoção e centrada apenas no que é e não naquilo que deveria ser. Na geometria das seções cônicas que aparece no 8° ano, surge novamente o problema do infinito (ele já havia se manifestado nas paralelas) que não pode e, por enquanto, não deve ser definido.
POSSÍVEIS CONTEÚDOS DE ENSINO:
6° ANO
• Continuar constantemente com os cálculos mentais.
• Recapitulação: cálculos com números naturais, números decimais positivos e frações. • Regra de três direta e indireta.
• Porcentagem; inclusive nos cálculos comerciais (juros, descontos, câmbio, lucro/perda, impostos) e introdução da fórmula geral j = c.i.t / 100.
Geometria
• Partindo do círculo, descobrir as mais importantes figuras: triângulo, hexágono, quadrado, losango, paralelogramo, trapézio, figuras de Pitágoras com simetria axial.
• Transformações (através da observação); problemas básicos: perpendicular pelo ponto médio, bissetriz, traçados de perpendiculares, descolamento de paralelas.
• Os diversos ângulos.
• Construção de triângulos; teoremas de congruência (pelo menos caso LLL). • Teorema de Tales. • Círculo inscrito e circunscrito ao triângulo.
• A demonstração geométrica (p. ex. pela soma dos ângulos).
7° ANO
• Exercitar constantemente o cálculo mental.
• Recapitulação: as 4 operações básicas com números naturais e racionais positivos. • Introdução à contabilidade (preparação para os números negativos).
• Números inteiros e números racionais. • Introdução dos números inteiros negativos. • As 4 operações com os inteiros negativos Q. • Ampliação para o âmbito dos números racionais.
• As 4 operações com os racionais e sentenças matemáticas que as combinam (introdução do parêntese). • Álgebra: Igualdades lineares com uma variável no âmbito dos números racionais. Cálculo com termos. Cálculo com potências. Conhecimento das fórmulas para (a ± b)2 e (a + b) (a - b) e cálculos com elas.
• Calcular com quadrados perfeitos e radicais de números quadrados. • Problemas.
• Eventualmente cálculos de áreas.
Geometria
• Medidas de ângulos em graus.
• Construção de triângulos com descrições. • Os teoremas de congruência do triângulo.
• Os vários tipos de ângulos: adjacentes, opostos pelo vértice, ângulos colaterais e alternos-internos, etc. • Lugares geométricos
• Libertar figuras da sua rigidez e transformá-las: Processos de transformação de áreas de triângulos e quadriláteros por meio de recortes (Cf. A. Bernhard, Geometrie für 7. und 8. Klassen na Waldorfschulen, [Geometria para 7° e 8° anos em escolas Waldorf], Stuttgart 1993).
• Tangentes.
• Pentágono, decágono, polígonos.
• Comparação de áreas a partir da figura de Gnomon e por meio de paralelogramos usados para completar figuras.
• Teorema de Pitágoras sob o aspecto da observação das áreas.
• Fenômenos simples de perspectiva e sua respectiva contração (em conjunto com a História Moderna e Contemporânea).
8° ANO
Recapitulação:
• Frações.
• Elevar ao quadrado, extrair a raiz quadrada. • Equações.
• Exercícios práticos. Álgebra elementar:
• Multiplicação e divisão de polinômios. • Equações lineares.
• Problemas com uma variável (incógnita).
• Transformação de fórmulas e trabalho com as que já foram desenvolvidas na geometria: áreas volumes de quadrados, retângulos, paralelogramos, triângulos, cubos, prismas, pirâmides
Geometria:
• Transformações congruentes e transferência de ângulos, ângulos complementares, suplementares, opostos, colaterais e alternos-internos.
• Linhas de lugares geométricos com descrição dos processos. • Construção de triângulos, com altura, mediana e bissetriz.
• Descrições de construções geométricas: Como continuação do trabalho com o Teorema de Pitágoras, podem ser tratados os teoremas de catetos e alturas no triângulo retângulo ou em triângulo qualquer. (Cf. A. Bernhard, Op. cit.) Eventualmente: Teoremas do perímetro e do ângulo central (ou no 9° ano).
• Ampliação das leis para o lugar geométrico para as seções cônicas, só a definição geométrica (muitas vezes dado somente no 9° ano).
