Animação Computacional de Fluidos via Smoothed Particle Hydrodynamics

(1)

LABORAT

ORIO

´

NACIONAL DE

COMPUTAC

¸ ˜

AO

CIENT´

IFICA

INSTITUTO

SUPERIOR DE

TECNOLOGIA EM

CI

ENCIA DA

ˆ

COMPUTAC

¸ ˜

AO

Animac¸ ˜ao Computacional de Fluidos via Smoothed

Particle Hydrodynamics

Algemiro Augusto da Silva Neto

Paulo S ´ergio Silva Rodrigues

Gilson Antonio Giraldi

Ant ˆ

onio Lopes Apolin ´ario Jr.

(2)

Resumo

Este trabalho descreve um método em Dinâmica dos Fluidos Computacional (DFC) para a animação de fluidos e apresenta uma implementação do mesmo. Este método é baseado na técnica Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH). O comportamento do fluido é modelado por um sistema de equações diferenciais parciais (equações de Navier-Stokes) sujeito a cer-tas condições iniciais e de contorno. O SPH é aplicado na discretização dessas equações para simulação computacional do movimento do fluido. O resultado é uma representação através de um sistema de part´ıculas que se movem sob a influência de forças decorrentes da gravidade, pressão e viscosidade. Aliada a técnicas eficientes de visualização de fluidos, pode-se atingir um grau elevado de realismo, uma vez que o método baseia-se em princ´ıpios f´ısicos para rep-resentar o movimento dos fluidos. Resultados preliminares retirados da literatura indicam que esta técnica é promissora.

(3)

Abstract

This works presents an implementation of a Computational Fluid Dynamics (CFD) method for fluid animation. This method is based on the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) technique. The fluid behavior is modeled through Navier-Stokes equations under some initial conditions and constrains. The discretization is performed through SPH The result is a representation of the fluid based on a particles system which moves under the influence of forces, such as gravity and pressure. If combined with efficient techniques for fluid visualiza-tion, this methodology for animation may achieve a high degree of realism, since it is based on physical principles for flow representation. Preliminary results reproduced from the literature show that this is a promising technique.

(4)

Sum ´ario

1 Introduc¸ ˜ao . . . . 5

2 Trabalhos Relacionados . . . . 7

3 Conceitos B ´asicos . . . . 8

3.1 Introdução à Dinâmica dos fluidos . . . 8

3.2 Dinˆamica dos Fluidos Computacional . . . 9

3.3 Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) . . . . 10

3.4 Visualização de Fluidos . . . 11 4 Metodologia . . . . 15 4.1 SPH na animação de fluidos . . . 15 4.2 Simulação . . . 17 5 Implementaç ão . . . . 19 5.1 Modelagem de Software . . . 19 5.2 Sistema de Part´ıculas . . . 19 5.3 Atributos da Part´ıcula . . . 19 5.4 Subdivisão espacial . . . 20

6 Visualizac¸ ˜ao e Resultados . . . . 23

7 Conclus ˜ao . . . . 25

(5)

1 Introduc¸ ˜ao

Aplicações que envolvem Dinâmica dos Fluidos Computacional (DFC) têm sido uti-lizadas crescentemente em diversas áreas. Na indústria cinematográfica, por exemplo, a mode-lagem de fluidos é foco de pesquisa com o intuito de aumentar o realismo das animações. A “ Animação Computacional de Fluidos” pode ser definida como a geração de uma seqüência de imagens digitais contendo fluidos em movimento. Nesse contexto, há um interesse tanto em reproduzir com fidelidade cenas envolvendo fenômenos presentes no mundo real quanto em produzir efeitos satisfatórios na realização de cenas que são fruto da imaginação dos cineastas. Como exemplo de cenas reais, podemos citar: inundações em ambientes abertos ou fecha-dos (Figura 1), enxurradas, avalanches, explosões em áreas urbanas e não urbanas (Figura 3), incêndios e uma infinidade de outras. Dentre as cenas que são fruto da imaginação humana, a divisão de mares e rios (Figura 2), fluidos que assumem formas humanas ou de outros seres animados são bons exemplos.

Figura 1: Dois instantes de uma simulação de inundação real´ıstica em um ambiente fechado.

Figura 2: Dois instantes da cena (imagin´aria) onde o mar se divide no filme “ O Pr´ıncipe do Egito”.

A animação de fluidos possui natureza multidisciplinar, e seu desenvolvimento depende da interação entre profissionais das áreas de computação e engenharia. Para atingir o grau de realismo necessário, é preciso que as equações de fluidos sejam convenientemente tratadas e que as técnicas de visualização de dados utilizadas sejam adequadas às aplicações. Essas técnicas são oriundas da computação gráfica e as equações de fluidos são derivadas de conceitos da mecânica clássica.

Sem dúvida, a geração de efeitos visuais para a indústria de entretenimento representa um grande motivador de pesquisas na área de animação de fluidos. Entretanto, ela não é a única consumidora das técnicas desenvolvidas. No meio cient´ıfico e tecnológico, por exemplo,

(6)

6

Figura 3: Simulação de explosão utilizando um modelo em Dinâmica dos Fluidos Computa-cional. Yngve et al. [37]

há uma crescente demanda por novas técnicas de animação, simulação e visualização de flui-dos, com o intuito de aplicá-las ao estudo de diversos fenômenos. Como exemplo, podemos citar, o comportamento de estruturas mecânicas sujeitas a fortes correntes de ar ou ao movi-mento das marés, o estudo de fenômenos atmosféricos como os tornados, a hidrodinâmica das embarcações, o comportamento de superf´ıcies expostas a grandes variações de temperatura, o escoamento das águas em determinados terrenos, bem como, a predição da trajetória de lava vulcânica após uma erupção e análise do comportamento do fluxo sangü´ıneo no interior das artérias do corpo humano [22].

Para estudar os fenômenos em Dinâmica de Fluidos, os pesquisadores utilizam princ´ıpios f´ısicos juntamente com recursos de análise numérica. O comportamento do fluido pode ser mo-delado por um sistema de equações diferenciais parciais sujeito a certas condições iniciais e de contorno. Dificilmente este sistema apresenta solução anal´ıtica, o que obriga os pesquisadores a lançarem mão dos recursos da análise numérica para discretizar o problema e obter uma solução com um n´ıvel de aproximação aceitável. Basicamente, os pesquisadores têm utilizado esque-mas numéricos fundamentados em Diferenças Finitas [2], Elementos Finitos [12], bem como em métodos Lagrangeanos tais como o Smoothed Particle Hidrodynamics (SPH) [6]. Por outro lado, sistemas distribu´ıdos têm sido explorados para melhorar o desempenho das aplicações [22], [7]. Tal busca por poder computacional pode ser atribu´ıda ao fato de que, atualmente, uma simulação numérica em Dinâmica de Fluidos Computacional pode empregar malhas 3D com um n´ıvel de refinamento da ordem de 2563 pontos para cada instante de tempo simulado e o volume de dados gerado pode facilmente atingir dezenas de GigaBytes.

O método SPH é baseado em part´ıculas e vem sendo aplicado com sucesso em proble-mas de engenharia, tais como simulação de fluidos compress´ıveis para o estudo de explosões e descrição da dinâmica de materiais. Recentemente, o método SPH foi explorado para animação computacional de fluidos [20].

O presente trabalho descreve a metodologia usada em [20] bem como nossa implementa-ção da mesma. Na seimplementa-ção seguinte, apresentamos os principais trabalhos relacionados com animação de fluidos. Na Seção 3, apresentamos os conceitos básicos relacionados à DFC necessários ao entendimento do trabalho. A Seção 4 apresenta a metodologia que estamos usando na implementação. A Seção 5 reproduz alguns resultados discutidos na referência [20] com o objetivo de ressaltar a qualidade das cenas que podem ser geradas. Finalmente, na Seção 6 apresentamos as conclusões e as perspectivas futuras.

(7)

2 Trabalhos Relacionados

A Dinâmica dos Fluidos Computacional (DFC) possui uma longa história. Em 1822, Claude Navier, e em 1845, George Stokes formularam a famosa equação de Navier-Stokes que descreve a conservação do momento. Além desta equação, duas equações adicionais, uma de-las descrevendo a conservação de massa e a outra descrevendo a conservação de energia são necessárias para simular fluidos (ver Sessão 3.1). Uma vez que essas equações são conheci-das e existe tecnologia de hardware para resolvê-las numericamente, uma grande quantidade de métodos tem sido proposta na literatura de DFC para simular o comportamento de fluidos computacionalmente.

Há quase duas décadas, técnicas de simulação de fluido com propósitos espec´ıficos vêm sendo desenvolvidas no campo da computação gráfica. Em 1983, T. Reeves [26] introduziu sis-temas de part´ıculas como uma técnica para modelar uma classe de objetos fuzzy. Desde então, tanto a abordagem Lagrangeana, não dependente de malhas, quanto a abordagem Euleriana, baseada em malhas, têm sido usadas para simular fluidos em computação gráfica (Seção 3.2). Desbrun e Cani [5] e Tonnesen [34] usam part´ıculas para animar objetos deformáveis. Part´ıculas também têm sido usadas para animar superf´ıcies [15] e para animar fluxos de lava [32]. Nos últimos anos, a abordagem Euleriana tem sido mais popular para a simulação de fluidos em geral [31], água [8], [3], [33], objetos deformáveis [23] e efeitos de derretimento [18]. Existem poucas técnicas dispon´ıveis para uso em sistemas interativos. O método apresentado por Stam [31], baseado em malha, foi certamente um passo importante rumo a simulação de fluidos em tempo real. Técnicas de animação interativas também estão dispon´ıveis para o caso especial das ondas do oceano, em [4]. Ondas de água têm sido modeladas usando-se uma grande variedade de abordagens, incluindo modelos estocásticos [25], [9] e modelos cinemáticos [19], [35]. Sis-temas de part´ıculas foram adicionados aos modelos cinemáticos para modelar espuma e sprays para obtenção de efeito de ondas quebrando [24]. Também foram usados sistemas de part´ıculas para modelar rastros de navio [11], e cascatas d’água [30].

(8)

3 Conceitos B ´asicos

Nesta seção, serão apresentados os conceitos básicos necessários à compreensão geral do trabalho.

3.1 Introduç ão à Din âmica dos fluidos

Considerando-se os três estados da matéria, sólido, l´ıquido e gasoso, entende-se por fluido, a matéria em dois desses estados: l´ıquido e gasoso. Em um n´ıvel microscópico, as moléculas de uma substância estão constantemente em vibração. Esta vibração descreve a ener-gia interna da matéria, e conseqüentemente determina seu estado. Em um sólido, a enerener-gia é pequena o bastante (vibração molecular pequena) de maneira que as moléculas mantêm suas posições relativas umas às outras, mantendo assim, um arranjo regular ou estrutura que dá ao sólido sua rigidez. Em um l´ıquido, há energia suficiente para que as moléculas se movam, porém, não o bastante para separá-las completamente. Desta forma, o l´ıquido restringe-se a um volume finito. Em um estado gasoso, as vibrações são fortes o bastante para que as moléculas sejam separadas completamente e possam mover-se livremente. Utiliza-se o termo fluidos compress´ıveis com referência aos gases e o termo fluidos incompress´ıveis com referência aos l´ıquidos. Pode-se dizer que: Dinâmica dos fluidos é o estudo do movimento do fluido em reação

a forc¸as como gravidade e tens˜oes internas [27].

A Pressão média p sobre uma área do fluido é definida como a força F normal que atua sobre a superf´ıcie do mesmo dividida pela área A da superf´ıcie sobre a qual a força age, dada por:

p = F

A (3.1)

A densidade m´ediaρde um volume de fluido ´e definida como a massa contida em um volume V dividida por esse volume.

ρ= m

V (3.2)

´

E natural formular as leis de conservação sob a hipótese de que o fluido é um meio “ continuum” (Hipótese da Continuidade) [36]. Propriedades f´ısicas do fluido, tais como den-sidade e velocidade, podem então ser descritas como campos escalares e campos vetoriais em ℜ3_{, ambos dependentes do tempo. Por exemplo}_ρ_{(t, x) e u(t, x) .}

A Dinâmica dos fluidos é governada pelas leis de conservação da f´ısica clássica, chamadas conservação de massa, conservação de energia e conservação do momento. Equações dife-renciais parciais são derivadas destas leis e, simplificadas sob circunstâncias apropriadas. A conservação de massa é assegurada pela “ Equação de Continuidade” dada por:

∂ρ

∂t +~∇· (ρ~v) = 0 (3.3)

onde ~v ´e a velocidade do fluido.

A equação de conservação para energia possui a seguinte forma diferencial: ∂

∂t(ρE) +~∇· (ρ~vE) = ~∇· (κ

~_∇_{T ) +~}_∇_{· ( ¯¯}_σ_{·~v) +}_ρ_~f

(9)

9

onde E é a energia total por unidade de massa,κ é o coeficiente de condutividade térmica, T é a temperatura absoluta e ( ¯¯σ·~v), ~fe e qH são fontes de variação da energia interna devido às tensões internas, forças de volume e fontes de calor, respectivamente.

A Equação de Navier-Stokes é a equação de conservação do momento, ou equação de movimento, a qual, para este trabalho, será escrita na forma simplificada abaixo:

ρ∂_∂~v

t +~v ·~∇~v

= −~∇p +ρg + µ~∇2~v (3.5) onde g ´e um campo de forc¸a externo e µ a viscosidade do fluido.

3.2 Din ˆamica dos Fluidos Computacional

Os modelos matemáticos obtidos por meio das equações de conservação descritas acima dificilmente possuem solução anal´ıtica. Dessa forma, os modelos precisam ser discretizados para realização de simulações numéricas. O resultado desta discretização é a substituição do meio continuum inicial do modelo por um conjunto discreto e finito de pontos no espaço e no tempo, nos quais as derivadas que aparecem nas equações serão aproximadas.

Duas abordagens podem ser adotadas para formular as versões discretas das equações do modelo: A Euleriana e a Lagrangeana.

A abordagem Euleriana pode ser exemplificada pelos métodos tradicionais de Elementos Finitos e Diferenças Finitas, onde o conjunto de pontos é conectado seguindo uma topologia conveniente, dando origem a uma malha que pode ser de dois tipos:

1. Malha Estruturada: Cada ponto interno possui a mesma quantidade de pontos vizi-nhos.

2. Malha N˜ao-Estruturada: Cada ponto interno possui quantidade vari´avel de pontos vizinhos.

Figura 3: Malha Estruturada.

A abordagem Lagrangeana é independente de malhas. Neste caso, no lugar das malhas, são utilizadas part´ıculas para formulação das versões discretas dos modelos. O método adotado neste trabalho para animação de fluidos é baseado na abordagem Lagrangeana. A seção seguinte apresenta uma descrição deste método e a seção 4.1 mostra como ele foi aplicado em simulação de fluidos.

(10)

10

Figura 4: Malha N˜ao-Estruturada.

3.3 Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)

Este método foi desenvolvido por Lucy [17] e por Gingold e Monaghan [10] para a simulação de problemas astrof´ısicos.

Ao contrário das abordagens baseadas em malha, a abordagem baseada em part´ıculas tem inerente a conservação da massa, tornando dispensável a utilização da equação de con-tinuidade no esquema numérico. Outro aspecto interessante desta abordagem é que as part´ıculas podem ser diretamente usadas para “ renderizar” a superf´ıcie do fluido.

Os fundamentos do método SPH estão na teoria de interpolação. Com o SPH, valores de campos que são definidos apenas nas posições (discretas) das part´ıculas, podem ser avalia-dos em qualquer posição no espaço via interpolação. Para este propósito, o SPH distribui as grandezas em uma vizinhança local a cada part´ıcula através do uso de uma função W , chamada de núcleo de suavização (Smoothing Kernel). De acordo com o método SPH, uma grandeza escalar A é interpolada na posição r por uma soma ponderada das contribuições de todas as part´ıculas em sua vizinhança:

AS(r) =

∑

j mj Aj ρj W (r − rj, h) (3.6)

onde j itera sobre todas as part´ıculas, mj é a massa da part´ıcula j, rj é a posição,ρja densidade e Ajo valor da grandeza na posição rj.

A função W (r, h) é o núcleo de suavização e deve ser normalizada da seguinte forma:

Z

W (r, h)dr = 1 (3.7)

onde a constante h é usada para definir o suporte do núcleo de suavização.

A massa e a densidade da part´ıcula aparecem na Equação (3.6), uma vez que cada part´ıcula i representa um determinado volume Vi= mi/ρi . Enquanto a massa mi é constante para toda a simulação e, nesse caso espec´ıfico, a mesma para todas as part´ıculas, a densidade ρi varia e deve ser calculada a cada instante de tempo. Particularizando a Equação (3.6) para o caso da densidade obtemos:

ρS(r) =

∑

j mj ρj ρj W (r − rj, h) =

∑

j mjW (r − rj, h) (3.8)

Nas equações de fluidos apresentadas anteriormente, aparecem derivadas das grandezas envolvidas. No método SPH, pode-se demonstrar que tais derivadas podem ser calculadas a

(11)

11

partir de derivadas do núcleo de suavização. Em particular, o gradiente de A é simplesmente [14]: ∇AS(r) =

∑

j mj Aj ρj ∇W (r − rj, h) (3.9) Enquanto o Laplaciano de A ´e dado por:

∇2_A S(r) =

∑

j mj Aj ρj ∇2_{W (r − r} j, h) (3.10) ´

E importante perceber que o método SPH apresenta alguns problemas. Quando é uti-lizado nas equações de fluidos, por exemplo, não é garantido que estas equações satisfaçam certos princ´ıpios f´ısicos como a simetria de forças e a conservação do momento. Na Seção 4.1 é apresentado o modelo proposto por Müller et al.[20] para animação de fluidos via SPH e a solução adotada para esses problemas.

3.4 Visualizac¸ ˜ao de Fluidos

Os dados gerados via simulações numéricas precisam ser analisados de alguma forma. Um recurso de particular importância na análise desses dados são as Técnicas de Visualização. Técnicas de Visualização de campos escalares (rendering de volume, isosuperf´ıcies, splatting, etc.), campos vetoriais (linhas de corrente, superf´ıcies de corrente, traçado de part´ıculas, tex-turas, etc.) e campos tensoriais vêm sendo aplicadas para auxiliar a análise dos campos gerados nas simulações numéricas [1].

O desenvolvimento das técnicas de visualização cient´ıfica em DFC, aliado aos próprios métodos de modelagem e simulação de fluidos, propiciou as pesquisas em animação computa-cional de fluidos. A seguir descrevemos uma técnica para visualização de campos escalares baseada em extração de isosuperf´ıcies.

No caso espec´ıfico da mecânica de flu´ıdos, tem-se basicamente dois campos escalares: o campo de pressão e a densidade volumétrica de massaρ. Podemos juntar a estes os campos definidos pelo módulo da vorticidade e da velocidade. Os métodos mais comumente utiliza-dos para a visualização destes campos são baseautiliza-dos em isosuperf´ıcies e rendering (direto) de volume.

No caso das técnicas usando isosuperf´ıcies a idéia é gerar uma aproximação poligonal da superf´ıcie (isosuperf´ıcie) definida por uma equação do tipo:

F(x1, x2, x3) =λ (3.11)

onde F ´e o campo escalar F :∇→ℜ, com∇⊂ℜ3eλ´e uma constante.

Nas aplicações de nosso interesse, os campos escalares estão discretizados e portanto, a solução de (3.11) será obtida via uma busca dos pontos que aproximem suficientemente a superf´ıcie procurada. As soluções encontradas na literatura para este problema estão vinculadas ao tipo de método utilizado na discretização.

Para o caso de métodos baseados em malhas regulares de hexaedros (Diferenças Finitas, por exemplo), um algoritmo comumente usado na geração de isosuperf´ıcies é o algoritmo dos cubos marchantes [16]. Vejamos uma descrição deste algoritmo.

Inicialmente, consideremos um cubo da malha e façamos uma enumeração binária dos seus vértices, da seguinte forma: é dado o valor “ 1” para os vértices, cujos valores do campo

(12)

12

forem maiores ou iguais ao valorλda isosuperf´ıcie procurada e “ 0” para os demais. Assim, as arestas dos hexaedros que tiverem um v´ertice com valor “ 1” e outro com valor “ 0” s˜ao aquelas cortadas pela superf´ıcie procurada.

Uma vez que um cubo tem 8 vértices, temos um total de 28= 256 configurações poss´ıveis. Diremos que duas configurações são equivalentes quando uma for idêntica à outra a menos de rotações simples. Se considerarmos apenas as classes de equivalência correspondentes, obtere-mos um total de 22 configurações básicas, como obtere-mostra a figura a seguir:

Figura 5: Configurações básicas para a interseção entre um cubo e uma superf´ıcie. Cada uma destas configurações, será representada por um ´ındice de 8 bits constru´ıdo através dos estados dos vértices correspondentes. Cada um destes ´ındices será um ponteiro em uma tabela que fornece todas as arestas cortadas pela superf´ıcie para cada configuração básica. Tal procedimento pressupõe uma enumeração dos vértices e das arestas do cubo, tal como a apresentada na Figura 6.

A Tabela 1 representa os casos 0, 1 e 2 da Figura 5. Procedendo analogamente, podemos montar a tabela para os 22 casos básicos da Figura 5. Esta tabela será fundamental para o cálculo dos pol´ıgonos que concatenados definirão a superf´ıcie.

Tomemos um cubo qualquer da malha. Uma vez analisados os valores de campo em seus vértices, teremos uma das 256 poss´ıveis configurações para o mesmo e poderemos identificar a configuração básica correspondente.

(13)

13

Figura 6: Enumeração das arestas e lados do cubo juntamente com o indice da configuração correspondente.

Indice Arestas Cortadas 0 0 0 0 0 0 0 0 Nenhuma aresta e cortada 0 0 0 0 0 0 0 1 e1, e4, e9

0 0 0 0 0 0 1 1 e2, e4, e9, e10

Tabela 1: Índice da configuração básica e arestas para os casos 0, 1 e 2 da Figura 5. Feito isso, teremos o ´ındice correspondente na Tabela 1 e conseqüentemente as arestas cortadas. Basta então tomar os valores de campo nos vértices destas arestas para, via interpolação, estimar os pontos de interseção sobre as mesmas. Estes pontos definirão um pol´ıgono que aproximará a superf´ıcie no interior do cubo. Uma vez executado este procedimento para todos os cubos da malha, teremos uma aproximação poligonal da superf´ıcie em questão.

Para a visualização da superf´ıcie poligonal, será necessário calcular o vetor normal nos pol´ıgonos que a definem. Se quisermos uma suavização da mesma, precisaremos estimar o vetor normal nos vértices, o que pode ser feito por diferenças finitas. Outra possibilidade é ajustar uma superf´ıcie paramétrica (splines, por exemplo) aos vértices da superf´ıcie poligonal, o que pode trazer problemas de performance para grandes massas de dados.

O método de geração de isosuperf´ıcies apresentado acima deixa aparente uma limitação desta técnica para visualização em grandes massas de dados: o número de pol´ıgonos formando

(14)

14

a superf´ıcie pode se tornar muito alto trazendo problemas de performance para a etapa de

ren-dering.

Quando isto acontece, podemos lançar mão de técnicas para simplificação de superf´ıcies poligonais [13] o que por sua vez implica em problemas referentes à preservação da topologia das isosuperf´ıcies e poss´ıvel perda de detalhes importantes. Por outro lado, técnicas baseadas em isosuperf´ıcies têm a vantagem de serem robustas e apresentam boa performance para massas de dados de pequeno e médio porte. A Figura 11- (c), no Cap´ıtulo 6, apresenta alguns resultados obtidos por meio desta técnica para animação de fluidos.

(15)

4 Metodologia

4.1 SPH na animac¸ ˜ao de fluidos

Esta sessão apresenta o modelo baseado em SPH proposto por Müller et al.[20], adotado neste trabalho para a animação de fluidos.

Seguindo a metodologia apresentada na Seção 3.6, serão calculadas as forças de pressão e viscosidade. Para permitir interatividade em tempo-real serão utilizados núcleos de suavização espec´ıficos que procuram manter o realismo necessário sem comprometer o custo computa-cional.

Na formulação Euleriana, fluidos isotérmicos são descritos por uma velocidade ~v, uma densidadeρe uma pressão p. A evolução dessas grandezas através do tempo é dada por duas equações. Pela Equação de Continuidade (3.3), que garante a conservação de massa, e pela Equação de Navier-Stokes (3.5) que garante a conservação do momento. O uso de part´ıculas no lugar de uma malha simplifica a resolução destas equações. Como o número de part´ıculas é constante e cada part´ıcula possui massa constante, a equação de continuidade pode ser comple-tamente omitida. Além disso, a expressão ∂_∂~v_t+~v ·∇~v pode ser substitu´ıda pela derivada material d~v

dt, uma vez que o movimento das part´ıculas ´e usado para simular o fluido.

Existem três tipos de forças no lado direito da Equação (3.5): aquelas que modelam a pressão (−~∇p), as forças externas (ρg) e a viscosidade (µ~∇2~v) . A soma dessas forças determina a alteração do momentoρD~v_Dt das part´ıculas. Como aceleração da part´ıcula i, temos:

ai= d~vi dt = ~fi ρi (4.1)

onde ~vi é a velocidade da part´ıcula i e ~fi representa a força (na verdade, força por unidade de volume) resultante sobre esta part´ıcula. A seguir, serão abordadas as forças decorrentes da pressão e viscosidade, modeladas através da metodologia apresentada na Seção 3.3, além das forças externas e de superf´ıcie.

4.1.1 Forc¸a de press ˜ao

A aplicação da Equação (3.6) sobre o termo da pressão (−~∇p) leva a f_ipress= −~∇p(ri) = −

∑

j mj pj ρj ~_∇_{W (r} i− rj, h) (4.2)

Infelizmente, esta força não é simétrica, como pode ser visto quando apenas duas part´ı-culas interagem. Neste caso, uma vez que o kernel tem gradiente nulo no centro e a part´ıcula i usa apenas a pressão na posição da part´ıcula j para computar a força de pressão, e vice-versa, as forças de pressão não serão simétricas caso a pressão seja diferente nas posições das part´ıculas. Diferentes modos de simetrização da Equação (4.2) têm sido propostos na literatura. Neste trabalho, será adotada a solução proposta por Müller et al. [20].

f_ipress= −

∑

j mj pi+ pj 2ρj ~_∇_{W (r} i− rj, h) (4.3)

(16)

16

Esta forma é simétrica, já que usa uma média aritmética das pressões das part´ıculas que estão interagindo.

Uma vez que as part´ıculas apenas carregam três grandezas: massa, posição e velocidade; a pressão nas posições das part´ıculas deve ser avaliada primeiro. Isto é feito em duas etapas. A Equação (3.8) calcula a densidade da part´ıcula na posição r. Então, a pressão pode ser calculada por uma equação de estado do tipo gás ideal, dada por:

p = k(ρ−ρ0) (4.4)

onde k é um parâmetro (dependente da temperatura no gás ideal) eρ0a densidade inicial.

4.1.2 Forc¸a de viscosidade

A aplicação da regra descrita na Equação (3.6), sobre o termo de viscosidade (µ~∇2~v) pode produzir novamente forças assimétricas:

~fvisc i = µ~∇2~v(r) = µ

∑

j mj ~vj ρj ~_∇2_{W (r} i− rj, h) (4.5)

Como a força de viscosidade depende apenas das diferenças de velocidade e não da velocidade absoluta, existe uma maneira natural de simetrizar as forças de viscosidade usando as diferenças de velocidades: ~fvisc i = µ

∑

j mj ~ vj−~vi ρi ~_∇2_{W (r} i− rj, h) (4.6)

4.1.3 Forc¸as Externas

Neste trabalho, estamos considerando a força gravitacional e as forças de colisão com a fronteira do dom´ınio como forças externas. A força gravitacional na posição da part´ıcula j é dada por:

~fgrav

j =ρj~gj, (4.7)

a densidadeρj ´e dada pela express˜ao (3.8).

A força de colisão é modelada indiretamente. Por exemplo, quando uma part´ıcula colide com a parede de um objeto sólido, a componente da velocidade, normal à superf´ıcie r´ıgida, é refletida para o interior do fluido.

4.1.4 Forc¸as de Superf´ıcie

As forças de superf´ıcie não estão presentes na Equação (3.5), entretanto, foram mode-ladas em [20] explicitamente baseadas nas idéias de Morris [21]. As moléculas de um fluido estão sujeitas às forças atrativas de suas moléculas vizinhas. Dentro do fluido, essas forças in-termoleculares são iguais em todas as direções e, portanto, balanceadas. Ao contrário, as forças que atuam sobre as moléculas da superf´ıcie livre (fronteira entre o fluido e o meio externo) não são balanceadas. As forças de tensão de superf´ıcie livre atuam na direção normal à superf´ıcie do fluido. A superf´ıcie do fluido pode ser obtida usando-se uma quantidade adicional que as-sume valor unitário nas posições das part´ıculas e zero em qualquer outra parte. Este campo é denominado “ campo de cor” na literatura e sua versão suavizada é dada pela expressão:

(17)

17 cS(r) =

∑

j mj 1 ρj W (r − rj, h) (4.8)

A normal e curvaturas da superf´ıcie livre podem ser obtidas por:

~n = ~∇cS,κ= −~∇2_c

S

|~n| (4.9)

Finalmente, as forc¸as na superf´ıcie livre s˜ao modeladas por:

tsup=σκ~n

|~n| (4.10)

ondeσ é um parâmetro que controla a influência desta força. O objetivo final é reproduzir o efeito de minimização da curvatura, observado para este tipo de força. De fato, se considerarmos uma superf´ıcie inicial S, que se movimenta de acordo com uma equação do tipo:

∂S

∂t =σκ

~n

|~n| (4.11)

observamos, exatamente, uma evolução que suaviza pontos onde a curvatura é mais elevada [29].

4.1.5 N ´

ucleos de suavizac¸ ˜ao

A estabilidade, precisão e velocidade do método SPH são influenciadas pela escolha dos núcleos de suavização. Em Müller et al. [20], foram propostos os seguintes núcleos de suavização: Wcor(d, h) = 315 64πh9 ( (h2− d2)3, 0 ≤ d ≤ h, 0, cc. (4.12) Wpress(d, h) = 15 πh6 ( (h − d)3, 0 ≤ d ≤ h, 0, cc. (4.13) Wvisc(d, h) = 15 2πh3 ( −d3 2h3 + d2 h2 + h 2d− 1, 0 ≤ d ≤ h, 0, cc. (4.14)

A última expressão, 4.14, foi escolhida por possuir Laplaciano positivo em todo dom´ınio. Esse Laplaciano é dado pela seguinte expressão:

∆Wvisc(d, h) = ( 45 πh6(h − d), 0 ≤ d ≤ h 0, cc. (4.15)

4.2 Simulac¸ ˜ao

As equações de Navier-Stokes dadas pela Expressão (3.5) são discretizadas, substituindo-se cada termo do substituindo-segundo membro pela sua versão obtida via núcleo de suavização; ou substituindo-seja, pelas Expressões (4.3) - (4.6) - (4.7), com a densidadeρdada pela equação (3.8), e usando-se no primeiro membro a derivada material d~v_dt. Desta forma, obtém-se o seguinte esquema numérico:

(18)

18 d~vi dt = Q t i (4.16) onde Qt_i= −∑_jmj pt_j+pt_i 2ρt_j ~∇W (r t i− rtj, h) +ρtj~gj+∑jmj ~ vjt−~vit ρt j ∇2_W 2(rti− rtj, h) ρt j (4.17) e, seguindo as equac¸˜oes (3.8)-(4.4), reproduzidas abaixo:

ρt j=

∑

k

mkW (rtj− rtk) (4.18)

pt_j= k(ρt_j−ρ0_j) (4.19)

Uma vez resolvida a Equação (4.16), o campo de acelerações

d~vi dt

obtido é final-mente utilizado para atualizar a velocidade e posição das part´ıculas, de acordo com o seguinte esquema: ~vit+∆t = ~vit+ δt 2Q t i (4.20) rt+_i ∆t= rt_i+δt~vit+∆t (4.21) Este esquema, denominado Leap-Frog, é um método iterativo de segunda ordem. Em [20], usou-se um intervalo de tempo constante deδt = 10−2segundos.

(19)

5 Implementac¸ ˜ao

Este cap´ıtulo descreve a implementação do método SPH, desenvolvida neste trabalho, para a simulação de fluidos. A modelagem do sistema é apresentada na seção 5.1 através de um diagrama de classes. Com base nesse diagrama as seções seguintes descrevem os principais tópicos do sistema proposto. Entre eles, as propriedades das part´ıculas (Seção 5.3), a subdi-visão espacial (Seção 5.4), a atualização das forças (Seção 5.4.2) e o tratamento de colisões (condições de contorno) (Seção 5.4.1).

5.1 Modelagem de Software

O Diagrama de classes da Figura 9 representa, de forma estruturada, a implementação da metodologia proposta neste trabalho. Nesta seção descrevemos brevemente, a funcionalidade das principais classes presentes nesta modelagem.

A Classe Solver é responsável pela solução das equações do modelo (Seção 4.1) e por determinar a posição das part´ıculas no instante t +δt, através do esquema Leap-Frog, descrito

na Seção 4.2. A Classe ParticleSystem representa o fluido por meio de um Sistema de part´ıculas. A Classe Particle define as part´ıculas do sistema. As Seções 5.2 e 5.3 descrevem mais detalhes a respeito das duas últimas classes.

A Classe Boundary modela as fronteiras do fluido por meio de uma malha poligonal composta pelas Classes Vertice e Face. Os vértices compõem as faces e são uma especialização da classe auxiliar 3DCoordinate. A Classe mathVector também é uma especialização da Classe

3DCoordinate e é utilizada na definição de grandezas vetoriais, bem como, algumas operações

entre tais grandezas que são necessárias à aplicação.

A Classe SpatialSubdivision modela uma subdivisão espacial do dom´ınio. A Seção 5.4 exemplifica essa estrutura.

5.2 Sistema de Part´ıculas

O fluido é modelado como sendo um conjunto organizado de part´ıculas. As part´ıculas representam elementos de pequeno volume do fluido, que interagem de acordo com as leis da Dinâmica dos Fluidos. A viscosidade do fluido, bem como a força externa que atua sobre o mesmo, são atributos do sistema de part´ıculas.

5.3 Atributos da Part´ıcula

Os atributos das part´ıculas s˜ao os seguintes: 1. massa

2. cor 3. estado

Seu estado é composto por: 1. posição

2. normal 3. press˜ao 4. velocidade

(20)

20

Figura 9: Diagrama de classes do Projeto 5. densidade

6. condic¸˜ao

Massa, cor, pressão e densidade são valores em ℜ. Posição, normal e velocidade são grandezas vetoriais. A condição da part´ıcula está relacionada com a posição que ela pode assumir no dom´ınio, e é dividida em:

1. Part´ıcula de fronteira 2. Part´ıcula de superf´ıcie 3. Part´ıcula interna 4. Posic¸˜ao indefinida

Os atributos cor, normal e condição são utilizados na etapa de visualização do fluido. Os demais são necessários à simulação.

5.4 Subdivis ˜ao espacial

Com base no fato de que os núcleos de suavização possuem suporte limitado, dado por

h, usamos uma subdivis˜ao espacial, com c´elulas (cubos) de lado h, onde o conjunto de part´ıculas

(21)

21

Figura 10: Subdivis˜ao espacial regular

Dessa forma, dada uma part´ıcula i, as part´ıculas candidatas a participarem com a mesma durante o cálculo das quantidades em questão, estarão na mesma célula da part´ıcula i, ou nas células vizinhas a esta célula.

Inicialmente, optamos por uma subdivisão espacial regular. Essa estrutura permite a redução do custo computacional de O(n2) para O(nm) onde n é o total de part´ıculas e m o número médio de part´ıculas na vizinhança h. Outra vantagem da utilização dessa estrutura é a redução do número de verificações de colisão de uma part´ıcula com a fronteira da geometria, através da identificação das células que são “ cortadas” por esta fronteira. Uma vez identificadas tais células, as verificações de colisão são efetuadas apenas para as part´ıculas presentes nas mesmas. Uma subdivisão espacial adaptativa está prevista na modelagem do sofware, como pode ser observado na Figura 9, e será empregada futuramente com o objetivo de diminuir ainda mais o número de verificações de colisão.

5.4.1 Condic¸ ˜

oes de contorno

Inicialmente, utilizamos um cubo para delimitar as fronteiras do fluido. Entretanto, o algoritmo utilizado ´e gen´erico o bastante para que outras geometrias possam ser modeladas.

As condições de contorno são implementadas seguindo uma metodologia simples, inspi-rada na interpretação do fluido como um sistema de part´ıculas. Ou seja, quando uma part´ıcula colide com a parede de um objeto sólido, a componente da velocidade, normal à superf´ıcie r´ıgida, é refletida para o interior do fluido.

O primeiro passo para este propósito é verificar a posição da part´ıcula com relação à geometria definida. Isto pode ser feito de forma eficiente usando a subdivisão espacial de acordo com a descrição da seção anterior. Em seguida, a componente normal da velocidade é refletida e a part´ıcula evoluida nesta direção, para o interior do fluido.Propostas mais elaboradas para condições de contorno podem ser encontradas em [28].

(22)

22

5.4.2 Din ˆamica

Nesta seção, esquematizamos o cálculo das forças via equações da Seção 4.1, bem como a atualização da densidade e pressão das part´ıculas, dadas respectivamente pelas equações 4.18 e 4.19, e, por último, a atualização da velocidade e posição das part´ıculas dadas respectivamente pelas Equações (4.20) e (4.21).

Algorithm 1 : Calculo das forc¸as de Press˜ao, Externa e de Viscosidade

CalculaForc¸as()

numP = Total de part´ıculas for i = 1 to numP do

CalculaGradienteWpress(particula i); Calcula Forc¸a de Press˜ao;

Calcula Forc¸a Externa;

CalculaLaplacianoWvisc(particula i); Calcula Forc¸a de Viscosidade;

Algorithm 2 : Atualização da Densidade e Pressão das part´ıculas

Atualiza Densidade e Press˜ao(); numP = Total de part´ıculas for i = 1 to numP do

CalculaDensidade(part´ıcula i) CalculaPress˜ao(part´ıcula i)

Algorithm 3 : Atualização da Velocidade e Posição das part´ıculas

Atualiza Velocidade e Posic¸˜ao(); numP = Total de part´ıculas for i = 1 to numP do

Atualiza velocidade(part´ıcula i); Atualiza posic¸˜ao(part´ıcula i);

Algorithm 4 : Condic¸˜oes de Contorno

Condic¸˜oes de Contorno(); numPF = Part´ıculas de fronteira for i = 1 to numPF do

VerificaColis˜ao(part´ıcula i); EfetuaReflex˜ao(part´ıcula i);

(23)

6 Visualizac¸ ˜ao e Resultados

Em [20] são utilizadas técnicas baseadas em superf´ıcies e técnicas baseadas em nuvens de pontos para efetuar a visualização. Em ambos os casos, a idéia é fazer uso do campo de cor, dado pela Expressão (4.8), e de seu gradiente, para identificar part´ıculas da superf´ıcie livre do fluido e encontrar sua normal. Primeiramente, uma part´ıcula será considerada na superf´ıcie se:

|~n| > l, (6.1)

onde l é o limiar a ser escolhido previamente. Assim, a normal a uma part´ıcula de superf´ıcie na posição ri é dada por:

−~n(ri), (6.2)

Desta forma, obtem-se um conjunto de pontos, com suas normais, entretanto, sem informações de conectividade. Estes são os elementos necessários para efetuar o rendering via point splatting [38]. Contudo, devemos ficar atentos com relação à quantidade de pontos de superf´ıcie. Usualmente, as técnicas de splatting são aplicadas para nuvens de pontos obtidas via scanners, com tipicamente 10.000 a 100.000 pontos. Em Müller et al., usa-se apenas algumas centenas de part´ıculas para evitar um custo computacional que impossibilite a interatividade em tempo-real. Considerando-se ainda que a quantidade de pontos de superf´ıcies é apenas uma fração deste montante, fica a dúvida com relaçào à qualidade visual da cena.

Figura 11: Resultados da utilização de splatting (b) e marching cubes (c) em Muller et al. [20]. Na Figura 11, temos um exemplo da utilização de splatting nesta aplicação. A água no copo foi amostrada com 2200 part´ıculas. A Figura 11-(a) mostra as part´ıculas individualmente. A Figura 11-(b) mostra um resultado obtido pela utilização de splatting para a renderização da superf´ıcie livre da água. A Figura 11-(c) exibe um resultado mais realista, obtido com o algoritmo Marching-Cubes, descrito na Seção 3.4. Neste caso, a superf´ıcie alvo seria uma isosuperf´ıcie do campo de cor suavizado, dado pela Expressão (4.8). Escolheu-se uma malha regular, fixa, e usou-se Marching-Cubes para obter uma representação poligonal da superf´ıcie em questão. A implementação usada em [20] inicia a busca pelas células que contém part´ıculas de superf´ıcie, varrendo recursivamente as células próximas a estas. Usa-se uma tabela hash para

(24)

24

evitar que uma mesma c´elula seja visitada mais de uma vez. Contudo, o custo computacional torna-se mais elevado. Nestes exemplos, usou-se em [20] um Pentium IV com 1.8 GHz e placa gr´afica Gforce 4. Para o splatting, conseguiu-se uma taxa de 20 frames por segundo, enquanto que, com Marching-Cubes, a taxa diminuiu para 5 frames por segundo.

A Figura 12 mostra um outro exemplo, onde o usu´ario interage com o fluido, via mouse, gerando um campo externo que faz a ´agua se mover. Neste caso, a superf´ıcie livre foi ren-derizada via splatting. Usou-se 1300 part´ıculas, conseguindo-se uma taxa de 25 frames por segundo com a arquitetura descrita acima.

(25)

7 Conclus ˜ao

Neste Trabalho, foi apresentada uma metodologia para animação de fluidos baseada em um modelo f´ısico. A implementação do método foi conclu´ıda, entretanto a etapa de visualização está sendo desenvolvida. Ainda com relação à visualização, optamos, inicialmente, por utilizar o algoritmo descrito na Seção 3.4. Essa escolha foi feita com base nos resultados encontrados na literatura, principalmente naqueles obtidos por Müller et al. [20] mostrados na Seção 6.

Esse trabalho faz parte de um sistema mais amplo que encontra-se em fase de desen-volvimento no LNCC. O sistema em questão dará suporte à simulações de fluidos por meio de diversas metodologias além da apresentada aqui. Além disso, a visualização dos resultados poderá ser feita através de diferentes técnicas. Essas caracter´ısticas do sistema o tornam flex´ıvel e pass´ıvel de ser empregado para o desenvolvimento de aplicações de simulação e visualização de fluidos com propósitos mais gerais.

Os resultados obtidos em [20], reproduzidos na Seção 6, mostram que o modelo f´ısico baseado em SPH pode representar de forma satisfatória o movimento dos fluidos.

Para a implementação deste modelo, constru´ımos o diagrama apresentado na Figura 9. Como pode ser observado neste diagrama, a implementação apresenta uma boa modularização do código, o que facilita alterações no mesmo. Tal caracter´ısca se faz bastante conveniente, uma vez que, conclu´ıda a etapa de visualização, alterações no modelo podem ser sugeridas para otimizar a simulação ou mesmo a própria visualização.

Como perspectivas futuras para este trabalho podemos citar:

• A exploração de técnicas de visualização com o intuito de aplicá-las a sistemas que exijam interatividade em tempo real, aumentando o realismo visual da cena sem comprometer o realismo f´ısico da simulação.

• A exploração de técnicas de processamento paralelo em ambientes distribu´ıdos (i.e., grade computacional), uma vez que, acredita-se que a adoção dessas técnicas possa trazer ganhos substanciais no tempo de execução dos algoritmos de simulação numé-rica bem como no tempo de execução dos algoritmos de visualização.

• A exploração de novas metodologias para simulação do comportamento de fluidos, com o intuito de aumentar a gama de aplicações do sistema de Animação Computa-cional de Fluidos em desenvolvimento.

(26)

Refer ˆencias Bibliogr ´aficas

[1] L. Rosemblum at all. Scientific Visualization: Advances and Challenges. Academic Press, 1994.

[2] C. Chapra and R.P. Canale. Numerical Methods for Engineers. MacGraw-Hill Interna-tional Editions, 1988.

[3] S. Marschner D. Enright and R. Fedkiw. Animation and rendering of complex water sur-faces. In Proceedings of the 29th annual conference on Computer graphics and interactive

techniques, pages 736–744. ACM Press, 2002.

[4] F. Neyret D. Hinsinger and M. P. Cani. Interactive animation of ocean waves. In

Proceed-ings of the ACM SIGGRAPH symposium on Computer animation, pages 161–166. ACM

Press, 2002.

[5] M. Desbrun and M. P. Cani. Smoothed particles: A new paradigm for animating highly deformable bodies. In Proceedings of EG Workshop on Animation and Simulation, pages 61–76. Springer-Verlag, 1996.

[6] Hidenori Takeda et al. Numerical simulation of viscous flow by smoothed particle hydro-dynamics. Progress of Theoretical Physics, 92(5), November 1994.

[7] V. Fontes, B. Schulze, M. Dutra, F. Porto, and A. Barbosa. Codims-g: a data and program integration service for the grid. In Proceedings of the 2nd workshop on Middleware for

grid computing, pages 29–34, Toronto, Ontario, Canada, October 2004.

[8] N. Foster and R. Fedkiw. In Proceedings of the 28th annual conference on Computer

graphics and interactive techniques, pages 23–30. ACMPress, 2001.

[9] P. Watterberg G. Mastin and J.Mareda. Fourier synthesis of ocean scenes. IEEE Computer

Graphics and Applications, 7(3):16–23, March 1987.

[10] R. A. Gingold and J. J. Monaghan. Smoothed particle hydrodynamics: theory and applica-tion to non-spherical stars. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, (181):375– 398, 1977.

(27)

27

[11] M.E. Goss. A real time particle system for display of ship wakes. IEEE Computer

Graph-ics and Applications, 10(3):30–35, May 1990.

[12] C. Hirsch. Numerical Computation of Internal and External Flows: Fundamentals of

Numerical Discretization. John Wiley & Sons, 1988.

[13] D. Manocha G. Turk H. Weber F. Brooks J. Cohen, A. Varshney and W. Wright. Simpli-fication envelopes. Technical report, http://www.cs.unc.edu/ geom/envelope.html, 1996. [14] M.B. Liu, G.R. Liu, and K.Y. Lamb. Constructing smoothing functions in smoothed

par-ticle hydrodynamics with applications. Journal of Computational and Applied

Mathemat-ics, 155, 2003.

[15] J. C. Lombardo and C. Puech. Oriented particles: A tool for shape memory objects mod-elling. Graphics Interface, pages 255–262, May 1995.

[16] W. E. Lorensen and H. E. Cline. Marching cubes: A high resolution 3d surface construc-tion algorithm. Computer Graphics, 21(4), July 1987.

[17] L. B. Lucy. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis. The

Astronomi-cal Journal, (82):1013–1024, 1977.

[18] III R. B. Van Horn M. Carlson, P. J. Mucha and G. Turk. Melting and flowing. In ACM Press, editor, Proceedings of the ACM SIGGRAPH symposium on Computer animation, pages 167–174, 2002.

[19] N. Max. Vectorized procedural models for natural terrain: Waves and islands in the sunset. In Computer Graphics (SIGGRAPH ’81 Proceedings), volume 15, pages 317–324, August 1981.

[20] M. M¨uller, D. Charypar, and M. Gross. Particle-based fluid simulation for interactive applications. In Proceedings of ACM SIGGRAPH symposium on Computer animation, 2003.

[21] J. P. Morris. Simulating surface tension with smoothed particles hydrodynamics.

Interna-tional Journal for Numerical Methods in Fluids, 33(3):333–353, 2000.

[22] A. Neto, G. Giraldi, R. Silva, and V. Fontes. Particles tracing in grid environment. In

Eletronical Proceedings of SIBGRAPI Symposium on Computer Graphics and Image Pro-cessing, October 2004.

[23] D. Nixon and R. Lobb. A fluid-based soft-object model. IEEE Computer Graphics and

Applications, pages 68–75, July/August 2002.

[24] D. R. Peachy. Modeling waves and surf. In Computer Graphics (SIGGRAPH’86

Proceed-ings), volume 20, pages 65–74, August 1986.

[25] K. Perlin. An image synthesizer. volume 19, pages 287–296, July 1985.

[26] W. T. Reeves. Particle systems - a technique for modeling a class of fuzzy objects. ACM

Transactions on Graphics, 2(2):91–108, 1983.

[27] T. M. Roy. Physically-based fluid modeling using smoothed particle hydrodynamics. Mas-ter’s thesis, University of Illinois, 1995.

(28)

28

[28] Brian Schlatter. A pedagogical Tool using Smooth Particle Hydrodynamics to model Fluid

flow past a System of Cylinders. PhD thesis, June 1999.

[29] J. A. Sethian. Level Set Methods:Evolving Interfaces in Geometry, Fluid Mechanics,

Com-puter Vision and Materials Sciences. Cambridge University Press, 1996.

[30] K. Sims. Particle animation and rendering using data parallel computation. In Computer

Graphics (SIGGRAPH ’90 Proceedings), volume 24, pages 405–413, August 1990.

[31] J. Stam. Stable fluids. In Proceedings of the 26th annual conference on Computer graphics

and interactive techniques, pages 121–128. ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co.,

1999.

[32] Dan Stora, Pierre-Olivier Agliati, Marie-Paule Cani, Fabrice Neyret, and Jean-Dominique Gascuel. Animating lava flows. In Graphics Interface, pages 203–210, 1999.

[33] A. Kunimatsu T. Takahashi, U. Heihachi and H. Fujii. The simulation of fluid-rigid body interaction. ACM Siggraph Sketches & Applications, July 2002.

[34] D. Tonnesen. Dynamically Coupled Particle Systems for Geometric Modeling,

Recon-struction, and Animation. PhD thesis, University of Toronto, november 1998.

[35] P. Y. Ts’o and B. A. Barsky. Modeling and rendering waves:wave-tracing using beta-spline and reflective and refractive texture mapping. ACM Transactions on Graphics, 6(3):191– 214, July 1987.

[36] P. Wesseling. Principles of Computational Fluid Dynamics. Springer, 2000.

[37] G. D. Yngve, J. F. O’Brien, and J. K. Hodgins. Animating explosions. In Proceedings of

SIGGRAPH 2000. ACM, 2000.

[38] Matthias Zwicker, Hanspeter Pfister, Jeroen van Baar, and Markus Gross. Surface splat-ting. In In Proceedings of the 28th annual conference on Computer graphics and