Adição de velocidades

(1)

(2)

A C TA B TB TC

T

B

= K

BA

T

A

K

CA

= K

CB

K

BA

T

C

= K

CA

T

A

= K

CB

T

B

= K

CB

K

BA

T

A

(3)

A C TA B TB TC

(K

CA

)

2

=(K

CB

)

2

(K

BA

)

2 VCB + VBA VCA = 1+ VCB VBA c2

VCA = Velocidade de C vista por A

VCB = Velocidade de C vista por B

VBA = Velocidade de B vista por A

1+VCA/c 1-VCA/c = 1+VCB/c 1-VCB/c 1+VBA/c 1-VBA/c

(4)

200.000.000 m/s 200.000.000 m/s VCB + VBA VCA = 1+ VCB VBA c2 V = 1+ 200.000.000 + 200.000.000 200.000.000 x 200.000.000 300.000.0002 V = 276.923.077 m/s A C B

(5)

200.000.000 m/s 200.000.000 m/s VCB + VBA VCA = 1+ VCB VBA c2 V = 1+ 200.000.000 + 200.000.000 200.000.000 x 200.000.000 300.000.0002 V = 276.923.077 m/s A C B

(6)

(7)

t x t’ x’ O S Q P R L’ L L = tQO + t’OS 2 c = K(-v) t’PO + K(v) t’OR 2 c = 2 c (K(-v) + K(v)) t’PO Nota: t’PO = t’OR = (K(-v) + K(v)) _L’ _ou L = L ⌅ 1 v2 c2 d2 = L2 + t v 2 ⇥2 t = _⇤ t 1 v2 c2 4 2

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

v

d

2

= L

2

+

t v

2 ⇥

2

t =

⇤

t

1

v2 c2

4

t’ , o tempo medido em terra, é maior do que

t , o tempo medido na nave.

L’ , o comprimento medido em terra, é menor

do que L , o comprimento medido na nave.

L = L ⌅ 1 v2 c2 d2 = L2 + t v 2 ⇥₂ t = ⇤ t 1 v2 c2 4 ,

(14)

Paradoxos

Pedro Vieira

Albert-Einstein-Institute, Max-Planck-Institut

Centro de Física do Porto

Paradoxos

Pedro Vieira

Albert-Einstein-Institute, Max-Planck-Institut

Centro de Física do Porto

(15)

Regras de ouro

Não confiar em frases que incluam “ao mesmo

tempo”, “nesse mesmo instante” ...

Desenhar um diagrama de

espaço-tempo.

(16)

(17)

1,2 ...

... 3!

0.87c

(18)

1,2 ...

... 3!

0.87c

(19)

1,2 ...

... 3!

0.87c

(20)

(21)

Queremos colocar 20 m Barra de borracha dentro de Garagem 10 m

(22)

Facil, basta correres a 260.000.000 m/s para a barra ficar com 10 metros. Depois, assim que entrares na garagem, eu fecho a porta.

0.87c

(23)

0.87c

20 m _{5 m}

Calma!, para mim é a garagem que vem em minha direcção a 260.000.000 m/s por isso ela é que fica mais pequena, com apenas 5 metros!

(24)

Conseguimos

colocar a barra

na garagem?

(25)

(26)

10 metros

6 metros

Bora fazer uma brincadeira que é mesmo mesmo divertida? Ainda por cima claramente nada pode correr mal. É assim...

(27)

Tu vens a correr. Por isso ficas com 5 metros.

0.87c

(28)

Quando estiveres dentro da garagem eu fecho as portas...

(29)

Quando estiveres dentro da garagem eu fecho as portas...

... e abro logo de seguida para nem sequer lhes tocares. Completamente seguro! O que é que pode correr mal!?

(30)

10m 3m 0.87c

Será que preciso de te fazer um desenho?!

(31)

Corro?!

(32)

Sim

(33)

Paradoxo dos Gémeos

0:00 0:00

(34)

Se eu, na nave, a 240.000.000 m/s (0.8c), jogar um jogo de xadrez de 120 minutos, um espectador, na terra, dirá que o jogo demorou 200 minutos.

20 anos

V = 0.8c

12 anos

12 anos _{12 anos a afastar e}

12 anos a aproximar

Dois gémeos com 17 anos. Um fica na Terra. Quando o outro regressa tem 41 anos enquanto que o que ficou tem 57!

(35)

Qual iguais! São bem diferentes!

(36)

0h 0h

(37)

0h 0h

20h 12h

0.8c

20h

(38)

0h 0h

Faz sentido. A distância era igual a 16h-luz por isso a 0.8c chegou lá em 20h. Devido à dilatação do tempo para ele só passaram 12h.

20h 12h

0.8c

20h

(39)

0h 0h

Faz sentido. A distância era igual a 16h-luz por isso a 0.8c chegou lá em 20h. Devido à dilatação do tempo para ele só passaram 12h.

20h 12h 0.8c 20h 40h 24h 0.8c 40h

Faz sentido. Demorou o mesmo que a ir e para ele foi menos devido à dilatação do tempo.

Nestas imagens temos acontecimentos simultâneos para o sapo verde!

(40)

0h 0h

(41)

0h 0h 7,2 12h 0.8c 20h 0.8c 33

(42)

0h 0h

7,2 12h

0.8c

20h

0.8c

Quanto ao meu relógio: No panfleto dizia que a distância em repouso entre o sapo verde e a estação era igual a 16h-luz. Como eles se movem esta distância é contraída para 9.6h-luz. A estação vinha a 0.8c logo demorou 12h a chegar.

(43)

0h 0h

7,2 12h 0.8c

20h 0.8c

O relógio da estação é mais subtil: Como eles se estão a mover o relógio da estação está adiantado 12.8h. E de facto 20h=7.2h (dilatação do tempo) + 12.8h (dessincronização)

12h , 20h

+7.2h

+12.8h

Metade da viagem (até à estação), visto pelo sapo azul.

(44)

0h 0h

7,2 12h 0.8c

20h 0.8c

O relógio da estação é mais subtil: Como eles se estão a mover o relógio da estação está adiantado 12.8h. E de facto 20h=7.2h (dilatação do tempo) + 12.8h (dessincronização)

Faz sentido. 24h porque a estação e o sapo percorreram cada um 8h-luz a 0.8c. 40h devido à dilatação do tempo mais dessincronização dos relógios

40h 24h 0.8c 0.8c 12h , 20h +7.2h +12.8h Metade da viagem (até à estação), visto pelo sapo azul.

(45)

12h , 20h

+7.2h

+12.8h

Metade da viagem (até à estação), visto pelo sapo azul.

12h, 20h

+7.2h

+12.8h

Metade da viagem (regresso à terra), visto pelo sapo azul.

40h, 24h

+12h

Viagem vista pelo sapo verde

+12h

Resumo

(46)

v

barco,água

+ v

água

= v

barco

Relatividade Restrita

(47)

A C TA B TB TC

(K

CA

)

2

=(K

CB

)

2

(K

BA

)

2 VCB + VBA VCA = 1+ VCB VBA c2

VCA = Velocidade de C vista por A

VCB = Velocidade de C vista por B

VBA = Velocidade de B vista por A

1+VCA/c 1-VCA/c = 1+VCB/c 1-VCB/c 1+VBA/c 1-VBA/c 36

(48)

200.000.000 m/s 200.000.000 m/s VCB + VBA VCA = 1+ VCB VBA c2 V = 1+ 200.000.000 + 200.000.000 200.000.000 x 200.000.000 300.000.0002 V = 276.923.077 m/s A C B 37

(49)

Taquião

(50)

Taquião

m

2 _<0

v>c

(51)

(52)

v

vida_=u

(53)

v v

vida_=u

vvolta _=u

(54)

v v vida_=u vvolta _=u vvolta ₌ u-v 1-uv/c2 39

(55)

v v vida_=u vvolta _=u t = tida + tvolta = u L + u v 1 uv/c2 ⇥ 1 L t < 0 para u > ⇤ 1 v2 c2 + 1 v c c vvolta ₌ u-v 1-uv/c2 39

t = tida + tvolta = L/u + L/ u v 1 uv/c2