Movimento da pá em rotação
• Como vimos as pás estão pivotadas na raiz de maneira a aliviar os momentos flectores nesta zona.
Movimento da pá em rotação
aliviar os momentos flectores nesta zona.
• Isto permite às pás subir e descer (batimento)
• As forças aerodinâmicas causam a batimento ascendente. • As forças aerodinâmicas causam a batimento ascendente. • As forças centrifugas provocam o batimento descendente • São geradas forcas inerciais na direcção oposta à • São geradas forcas inerciais na direcção oposta à
respectiva aceleração.
• No movimento horizontal, é encontrada uma posição de • No movimento horizontal, é encontrada uma posição de equilíbrio onde o somatório dos momentos devido a estas três forças é nulo.
Equilíbrio em torno da dobradiça de
batimento
batimento
Eixo de
rotação Direcção de batimento
Dobradiça de batimento
Direcção de batimento positiva
Equilíbrio em torno da dobradiça de
batimento
batimento
• Elemento com massa por unidade de comprimento m • Distanciado de y do eixo de rotação
• Distanciado de y do eixo de rotação
• Fazendo um movimento circular com velocidade Ω • A força centrifuga será :
• A força centrifuga será :
(
)
Ω
=
(
F
CF) (
mdy
)
a
rEquilíbrio em torno da dobradiça de
batimento
batimento
• Assumindo por agora que não existe offset a força • Assumindo por agora que não existe offset a força
centrifuga total é:
=
Ω
=
∫
Rydy
m
F
2 2 2R
mΩ
MΩ
2R
=
• Onde M é a massa total da pá
=
Ω
=
∫
CFm
ydy
F
0 22
R
mΩ
2
R
MΩ
=
• Onde M é a massa total da pá
• Dado que a pá tem um ângulo de “coning” de β a componente da força centrifuga perpendicular à componente da força centrifuga perpendicular à pá é:
(
)
(
)
≈
Ω
2β
(
F
)
sin
β
=
(
mdy
)
y
Ω
2sin
β
Equilíbrio em torno da dobradiça de
batimento
batimento
• O momento em relação à dobradiça de batimento é: • O momento em relação à dobradiça de batimento é:
=
Ω
=
∫
R CFm
y
dy
M
2 2β
Ω
∫
=
Rmdy
y
2 2β
Ω
=
3
3 2R
m
β
=
Ω
=
∫
CFm
y
dy
M
0β
Ω
∫
y
mdy
=
0β
3
β
β
R
F
R
M
CF3
2
3
2 2=
Ω
=
• Ou podemos também escrever:
β
R
F
CF3
3
=
=
R=
Ω
=
∫
R CFy
mdy
M
2β
2I
bΩ
2β
Equilíbrio em torno da dobradiça de
batimento
batimento
• O momento aerodinâmico em relação ao mesmo • O momento aerodinâmico em relação ao mesmo
ponto é:
∫
−
=
RLydy
M
β• No equilíbrio MCF+Mβ=0 por isso :
∫
0∫
R⇒
=
−
Ω
∫
0
2 2 RLydy
R
M
β
=
∫
0Lydy
Rβ
⇒
=
−
∫
0
3
0Lydy
Ω
=
3
2 2 0R
M
oβ
3
Equilíbrio em torno da dobradiça de
batimento
batimento
• Dado que a dobradiça pode ter um offset • Dado que a dobradiça pode ter um offset correspondente a eR(<0.15R) podemos obter a expressão: expressão:
=
Ω
=
∫
R CFm
y
dy
M
2 2β
Ω
(
−
)
=
3
1
3 3 2e
R
m
β
∫
eR CF(
)
( )
2 2 21
e
o
e
R
M
+
+
Ω
=
β
3
• RelembrandoM=m(R-eR)=mR(1-e)( )
3
+
o
e
=
• RelembrandoM=m(R-eR)=mR(1-e)Equilíbrio em torno da dobradiça de
batimento
batimento
• O momento aerodinâmico é: • O momento aerodinâmico é:∫
−
=
RLydy
M
β• E o ângulo de coning de equilíbrio é:
∫
eR R=
∫
Lydy
R eRβ
(
)
Ω
+
=
3
1
2 2e
R
M
eR oβ
3
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
Eixo de rotação M(FdMydLCFinercial) Dobradiça de batimento Direcção de batimento positiva Dobradiça de batimentoMovimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Já obtivemos as expressões para os momentos de : • Já obtivemos as expressões para os momentos de : • E o momento inercial é:
dy
y
m
dM
CF=
Ω
2 2β
dM
β=
−
Lydy
• E o momento inercial é:(
mdy
)
y
2β
dM
inercial=
• Assumindo um offset nulo:
(
mdy
)
y
β
dM
inercial=
0
2 2 2=
−
+
Ω
∫
∫
∫
Rm
y
β
dy
Rmy
β
dy
RLydy
0 0 0∫
∫
∫
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Escrevendo na forma: • Escrevendo na forma:(
)
∫
∫
+
Ω
=
R RLydy
dy
my
2β
2β
• E dado que o primeiro termo é I :
(
)
∫
∫
+
Ω
=
0my
dy
0Lydy
β
β
• E dado que o primeiro termo é Ib :
(
+
Ω
)
=
∫
R 2β
β
(
I
b+
I
bΩ
)
=
∫
Lydy
0 2β
β
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Introduzindo uma mudança de variável • Introduzindo uma mudança de variável
t
Ω
=
ψ
d
β
d
β
d
ψ
d
β
• E tambémdt
d
β
β
=
dt
d
d
d
ψ
ψ
β
=
β
*ψ
β
Ω
=
Ω
=
d
d
• E também 2d
β
β
=
2β
d
2 2dt
d
β
β
=
2 ** 2 2 2β
ψ
β
Ω
=
Ω
=
d
d
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• E a equação do movimento pode ser escrita na • E a equação do movimento pode ser escrita na
forma:
∫
=
+
RLydy
d
21
β
β
(
)
∫
=
+
⇒
RLydy
* *1
β
β
∫
Ω
=
+
bLydy
I
d
d
0 2 21
β
ψ
β
(
)
∫
Ω
=
+
⇒
bLydy
I
2 0 * *1
β
β
• Sabendo que (da TEP)
β
y
v
−
−
=
T i T l TU
v
U
y
cC
U
L
ρ
θ
β
α 2 2 1
T TMovimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Então o momento aerodinâmico é: • Então o momento aerodinâmico é:
=
−
−
=
∫
∫
R i l T Rydy
U
v
U
y
cC
U
Lydy
12ρ
2θ
β
α
∫
∫
T T l TU
U
0 2 0 α=
−
−
Ω
=
∫
R idy
y
v
cC
3 2 1ρ
θ
β
=
Ω
−
Ω
−
Ω
=
l∫
iy
dy
y
v
cC
0 3 2 2 1ρ
θ
β
α
β
4
λ
−
Ω
−
Ω
=
3
4
4 2 8 1 i lR
cC
θ
β
λ
ρ
α
Ω
3
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• E a equação de batimento : • E a equação de batimento :(
)
⇒
−
Ω
−
Ω
Ω
=
+
3
4
1
2 4 8 1 2 * * i lR
cC
I
λ
β
θ
ρ
β
β
α(
)
Ω
Ω
2 8 l3
bI
α(
+
)
=
−
−
⇒
1
*4
4 * *cC
lR
λ
iβ
θ
ρ
β
β
α(
)
−
−
=
+
⇒
3
4
8
1
* * * i b lI
R
cC
λ
β
θ
ρ
β
β
αR
cC
4ρ
• Definindo o número de Lock como:
b l
I
R
cC
4 αρ
γ
=
bI
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• A forma final da equação do movimento de • A forma final da equação do movimento de
batimento é:
−
=
+
+
*4
* *λ
iθ
γ
β
β
γ
β
• Se o momento aerodinâmico não fosse calculado:
−
=
+
+
3
4
8
8
* * *λ
iθ
γ
β
β
γ
β
• Se o momento aerodinâmico não fosse calculado:
γ
β
β
**+
=
M
=
∫
R1
com βγ
β
β
**+
=
M
∫
Ω
=
lLydy
R
cC
M
0 2 41
αρ
βMovimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Comparando a equação obtida: • Comparando a equação obtida:
−
=
+
+
3
4
8
8
* * *λ
iθ
γ
β
β
γ
β
• Com o sistema massa-mola-amortecedor:
3
8
8
F
kx
x
c
x
m
+
+
=
• Podemos concluir que a frequência natural
não-F
kx
x
c
x
m
+
+
=
• Podemos concluir que a frequência natural não-amortecida da pá é: ou
(
k
m
)
=
ϖ
=
(
k
m
)
=
1
/
rev
ouΩ
rad /
s
ϖ
=
1
/
rev
Ω
rad /
s
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Para o estudo da equação de batimento vamos considerar o caso do rotor em vácuo (sem forças aerodinâmicas)
0
* *=
+
β
β
**+
β
=
0
com a soluçãoβ
=
β
ψ
+
β
ψ
β
β
=
β
1ccos
ψ
+
β
1ssin
ψ
• O rotor actua como um giroscópio
• Com a introdução das forças aerodinâmicas o rotor irá • Com a introdução das forças aerodinâmicas o rotor irá entrar em precessão para uma nova orientação até que o equilíbrio é novamente atingido através do amortecimento aerodinâmico
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Assumindo uma velocidade induzida uniforme • Assumindo uma velocidade induzida uniforme
(em voo horizontal) e uma pá idealmente torcida:
∫
∫
= + = 1 2 1 1 R U U U θ• Substituindo U e U com as expressões obtidas
∫
∫
Ω Ω + Ω = Ω = 0 0 2 4 2 1 1 dr R U R U R U r ydF R cC M z T P T l θ ρ α β• Substituindo UT e UP com as expressões obtidas com TEP e calculando o integral
(
ψ ψ)
θ(
ψ ψ)
θ + µ + µ2 2 + + µ + µ2 2 − =(
)
(
)
(
ψ)
β(
ψ)
βµ ψ(
ψ)
λ ψ ψ θ ψ ψ θ µ µ µ µ µ µ µ β sin cos sin sin sin sin sin sin 4 6 1 6 8 1 * 4 6 1 2 6 4 10 1 2 4 3 8 1 2 2 + − + + + − − + + + + + = tw M(
ψ)
β(
ψ)
βµ ψ(
ψ)
λ 6 + 4 sin + 8 + 6 sin − cos 6 + 4 sin −
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Em voo horizontal µ≠0 e a equação de batimento não tem uma solução analítica
• Em voo horizontal µ≠0 e a equação de batimento não tem uma solução analítica
• O termo de amortecimento (associado com β*) é de origem aerodinâmica. de origem aerodinâmica.
(
µ
ψ
)
γsin
1
34 8+
• Para voo pairado e sabendo que por exemplo γ=8 obtemos um amortecimento de 50% do valor crítico. Concluímos que o movimento de
(
3)
8
crítico. Concluímos que o movimento de batimento é amortecido e estável.
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Para resolver a equação podemos : • Para resolver a equação podemos :
– Prescrever os valores de:
• Ângulo de picada colectivo θ0
• Ângulo de picada colectivo θ0
• Cíclico lateral θ1c
• Cíclico Longitudinal θ1s
• Rácio da velocidade induzida λi
– Integrar numericamente
– No entanto não nos dá a percepção de como o batimento da pá é afectado pelos vários parâmetros.
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Alternativamente podemos: • Alternativamente podemos:
– Encontrar uma solução periódica
• Solução periódica estável na forma de uma série de Fourier • Solução periódica estável na forma de uma série de Fourier • Não é válida para situações transientes tais como manobras.
• Assumindo a primeira solução harmónica :
( )
ψ
β
β
ψ
β
ψ
β
( )
ψ
=
β
+
β
cos
ψ
+
β
sin
ψ
β
=
0+
1ccos
+
1ssin
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Encontrando o par harmónico da parte constante e • Encontrando o par harmónico da parte constante e
periódica em ambos os lados da equação:
(
)
(
)
−
+
+
+
+
=
65 2 1 6 10 2 8 06
1
1
0µ
µ
µ
θ
γ
β
θ θ λ s tw(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
−
+
+
−
−
=
+
+
−
=
−
2 2 2 1 0 3 4 1 1 6 1 6 10 8 01
1
6
µ
θ
µθ
λ
θ
µ
θ
β
µ
µβ
θ
β
s c s(
)
[
]
(
)
−
+
+
−
−
=
+
21 2 4 3 1 4 3 4 3 0 3 8 1 1θ
µ
θ
λ
µθ
θ
1
µ
β
c s s tw
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• A pairar µ=0:
=
+
=
−
0
0
1 1s cθ
β
θ
β
• A pairar µ=0:• E se assumirmos que o movimento de picada tem
=
+
10
1cθ
sβ
• E se assumirmos que o movimento de picada tem a forma: • A resposta de batimento é:
ψ
θ
ψ
θ
θ
θ
=
0+
1ccos
+
1ssin
• A resposta de batimento é:( )
ψ
β
0θ
1cos
(
ψ
π2)
θ
1sin
(
ψ
π2)
β
=
+
c−
+
s−
• Ou seja a resposta de batimento tem um atraso de 90º em relação à variação de entrada do ângulo de
( )
ψ
β
0θ
1cos
(
ψ
2)
θ
1sin
(
ψ
2)
β
=
+
c−
+
s−
90º em relação à variação de entrada do ângulo de picada.
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Vimos que o movimento de batimento tem a • Vimos que o movimento de batimento tem a
forma:
( )
ψ
β
β
ψ
β
ψ
β
=
0+
1ccos
+
1ssin
• Em que o termo β é a média ou o valor médio do
( )
ψ
β
β
ψ
β
ψ
β
=
0+
1ccos
+
1ssin
• Em que o termo β0 é a média ou o valor médio do movimento de batimento e é independente para posição azimutal da pá.
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• O termo β1c é a amplitude do movimento (co-• O termo β1c é a amplitude do movimento (co-seno) Representa a inclinação longitudinal do plano de trajectória das pontas das pás.
plano de trajectória das pontas das pás.
Veio do rotor
Inclinação longitudinal
pura (sem coning) Inclinação longitudinal (com coning)
rotor
Veio do rotor
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• O termo β1s é a amplitude do movimento em seno. • O termo β1s é a amplitude do movimento em seno. Representa a inclinação lateral do plano de trajectória das pontas das pás.
trajectória das pontas das pás.
Inclinação lateral pura (sem
coning) Inclinação Lateral (com coning)
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Podemos fazer uma análise semelhante para o • Podemos fazer uma análise semelhante para o
caso de existir um offset na dobradiça. • As diferenças são:
• As diferenças são:
– A força inercial meR) dy actua a uma distância (y-eR) da dobradiça
β
eR) da dobradiça
– A força centrifuga myΩ2dy actua a uma distância
(y-eR)β da dobradiça eR)β da dobradiça
– A forças aerodinâmicas Ldy actuam a uma distancia (y-eR) da dobradiça
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• A equação dos momentos em relação à dobradiça: • A equação dos momentos em relação à dobradiça:
(
)
(
)
2(
)
0 2 = − − − + − Ω∫
∫
∫
R m y y eR βdy R m y eR βdy R L y eR dy• Neste caso o momento de inércia em relação ao
(
)
∫
(
)
∫
(
)
∫
eR eR
eR
• Neste caso o momento de inércia em relação ao eixo da dobradiça é:
(
)
∫
−
=
R bm
y
eR
dy
I
b∫
2Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• A equação de batimento da pá é: • A equação de batimento da pá é:(
)
(
)
∫
∫
− R R dy eR y m eR∫
(
)
∫
− = + Ω + eR b eR b L y eR dy I Iβ
2 1β
• ou {
}
1 R • ou{
}
∫
(
−)
Ω = + R eR b v L y eR dy Iβ
** β2β
12 eRMovimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Nesta expressão(
)
R dy eR y m eR∫
− + = 2 • Nesta expressão• E com a análoga com o sistema
mass-mola-b eR I v
∫
+ = 1 2 β• E com a análoga com o sistema mass-mola-amortecedor, a frequência não amortecida do rotor
é: 3e 3e
é:
• Dados os valores de e serem pequenos a
(
)
2 3 1 1 2 3 1 e e e v n ≈ + − + = =ϖ
β• Dados os valores de e serem pequenos a frequência natural não amortecida é ligeiramente
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Isto também quer dizer que o atraso entre a • Isto também quer dizer que o atraso entre a entrada e resposta em batimento do rotor tem que ser menor do que 90º. Nesta caso como a equação ser menor do que 90º. Nesta caso como a equação de batimento é:
β β
β
γ
β
**+
v
2=
M
• A resposta de batimento ao uma entrada do ângulo de picada é:
(
v
2−
)
+
=
1
β
γ
γ
θ
β
de picada é:(
)
(
)
=
−
−
=
+
−
s c cv
v
2 1 1 2 11
8
8
1
θ
γ
γ
β
β
θ
γ
γ
β
β
β(
)
sv
−
−
1c=
1s 2 18
8
1
β
γ
γ
θ
β
βMovimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• O que dá o ângulo longitudinal de batimento • O que dá o ângulo longitudinal de batimento
(
2)
8
1
−
+
−
θ
(
v
)
θ
(
)
2 1 2 1 18
8
1
−
+
−
=
θ
γ
θ
β
βv
c s c(
2)
8
21
1
−
+
γ
βv
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• E o ângulo lateral de batimento • E o ângulo lateral de batimento
(
2)
8
1
−
+
θ
θ
(
v
)
(
)
2 1 2 1 18
8
1
−
+
=
θ
γ
θ
β
βv
s c s(
2)
8
21
1
−
+
γ
βv
Movimento de batimento da pá
Movimento de batimento da pá
• Finalmente a frequência forçada 1/rev é menor • Finalmente a frequência forçada 1/rev é menor que a frequência natural de batimento e pode ser demonstrado que o atraso (menor que 90º) é dado demonstrado que o atraso (menor que 90º) é dado por: