Energia Renovável do Oceano

Energia Renovável do Oceano

•

Dinâmica da estrutura em

ondas-Revisão:

•

Equações do movimento do corpo rígido

•

Forças de inércia, amortecimento,

restauração

•

Aproximações úteis para estimativa das

forças de excitação

2

Bibliografia recomendada

Sugestões para estudo:

1. JOURNÉE, J.M.J & MASSIE, W.W. Offshore Hydromechanics, Apostila, Delft University of Tech., Holanda, 1a Ed., 2001;

2. NEWMAN, J.N., Marine Hydrodynamics, MIT Press, 1977.

3. SARPKAYA, T. & ISAACSON, M. Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures. Van Nostrand Reinhold Co., New York,

A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

•

O problema de comportamento em ondas de uma estrutura

(seakeeping) consiste em se estimar os movimentos do corpo

sob ação das forças hidrodinâmicas induzidas pelas ondas.

A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

•

As forças hidrodinâmicas são obtidas pela integração do

campo de pressão:

Ԧ 𝐹 = ඵ 𝑆 𝑝𝑛𝑑𝑆 𝑀 = ඵ 𝑆 𝑝( Ԧ𝑟 × 𝑛)𝑑𝑆

Questão: como tratar o campo de pressão?

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A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

x y z H  _ _ _ _ _ _ ondas A, x y z H  _ _ _ _ _ _ ondas A, h

Seguindo a hipótese de pequenos movimentos do corpo e retendo apenas os efeitos hidrodinâmicos de 1ª ordem (lineares), resultam equações de movimento lineares do tipo:

Suponhamos a condição de regime estacionário do problema, no qual podemos escrever para o corpo rígido (j=1,..6):

𝑴

𝑈 𝑡

ሶ

= Ԧ

𝐹(𝑡) = 𝐹

_𝑆𝑇𝐴

𝑡

+ 𝐹

_𝑅𝐴𝐷

𝑡

+ 𝐹

_𝐸𝑋𝐶

𝑡

𝑈_𝑗(𝑡) = Re( 𝑖𝜔𝜉_𝑗𝑒𝑖𝜔𝑡) 𝑥_𝑗(𝑡) = Re( 𝜉_𝑗𝑒𝑖𝜔𝑡) ሶ 𝑈_𝑗 𝑡 = Re( − 𝜔2𝜉_𝑗𝑒𝑖𝜔𝑡) 𝑥_𝑗(𝑡) = 𝐴_𝑗cos(𝜔𝑡 + 𝜀_𝑗) 𝜉_𝑗(𝑡) = 𝐴_𝑗𝑒𝑖𝜀𝑗 (a determinar)

A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

• Fisicamente, essas forças têm origens e características distintas:

σ_𝑗=16 𝑀_𝑖𝑗𝑈_𝑗ሶ (𝑡) = 𝐹_𝑖 𝑡 = 𝐹_{𝑆𝑇𝐴,𝑖} 𝑡 +𝐹_{𝑅𝐴𝐷,𝑖} 𝑡 + 𝐹_{𝐸𝑋𝐶,𝑖} 𝑡 p/i=1:6 Forças de caráter reativo associadas às velocidades e acelerações do corpo rígido Forças de excitação provocadas pela ação da onda incidente sobre a estrutura fixa (s/movimentos) Forças de caráter reativo associadas aos deslocamentos do corpo e ao campo de pressão hidrostático (restaurações hidrostáticas)

A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

• As forças de radiação são de natureza semelhante às forças inerciais em fluido infinito, mas, em função da presença da superfície-livre, há também parcela que estará em fase com a velocidade do corpo rígido (amortecimento potencial):

• _i(x,y,z): potenciais que representam o escoamento induzido por movimento oscilatório do corpo com frequência  e velocidade unitária no gdl i           = − =           − = =





B B S j i ij j i S j i ij ij dS n f b dS n f a             Im ) Im( 1 ) ( Re ) Re( 1 ) ( _{2 2} 6 ,..., 2 , 1 6 1 , = −



+ = = i U b U a F _{ij j} j j ij i RAD  MASSAS ADICIONAIS AMORTECIMENTOS DE RADIAÇÃO

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A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

A origem física do amortecimento potencial 𝑏_𝑖𝑗 𝜔 :

Exemplo: Corpo axissimétrico em oscilação forçada na direção vertical

x₃(t) A₃(,R) R S_C 𝑥₃(𝑡) = 𝑍₀cos 𝜔𝑡 𝑈₃(𝑡) = 𝜔𝑍₀sen 𝜔𝑡 ሶ 𝑈₃(𝑡) = − 𝜔2 𝑍₀sen 𝜔𝑡

Fluxo de energia média por S_C: _{𝑊 =}ഥ 1

2𝜌𝑔𝐴3

2_{(𝜔, 𝑅)𝑐}

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A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

A origem física do amortecimento potencial 𝑏_𝑖𝑗 𝜔 :

Exemplo: Corpo axissimétrico em oscilação forçada na direção vertical

ഥ

𝑊 = 1

2𝜌𝑔𝐴3

2 _{𝜔, 𝑅 𝑐}

𝑔 2𝜋𝑅 = 𝑏33𝑈3(𝑡) 𝑈3(𝑡)

O fluxo de energia provocado pelas ondas irradiadas para fora de S_C retira energia do movimento do corpo:

No caso dos WECs, haverá sempre outros mecanismos de conversão da energia do movimento do corpo em, contribuindo para o amortecimento do sistema dinâmico

A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

• As forças de restauração hidrostática também são forças reativas, proporcionais aos deslocamentos do corpo rígido:

• onde: c_ij: coeficientes que só dependem da geometria do casco e de seus parâmetros inerciais

• e, portanto, as equações de movimento do corpo podem ser rescritas na forma:

𝐹_{𝑆𝑇𝐴,𝑖} = − σ_𝑗=16 𝑐_𝑖𝑗𝑋_𝑗(𝑡) p/i=1,6

σ_𝑗=16 (𝑀_𝑖𝑗+𝑎_𝑖𝑗(𝜔)) ሶ𝑈_𝑗(𝑡) + 𝑏_𝑖𝑗(𝜔)𝑈_𝑗(𝑡) + 𝑐_𝑖𝑗𝑋_𝑗(𝑡) = 𝐹_{𝐸𝑋𝐶,𝑖}(𝑡) p/i=1:6

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A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

x y z H  _ _ _  _  ondas A, x y z H  _ _ _  _  ondas A, h

Exemplo: movimento de heave (j=3), desconsiderando acoplamentos com outros gdl:

(𝑚 + 𝑎₃₃) ሷ𝑋₃ 𝑡 + 𝑏₃₃𝑋ሶ₃ 𝑡 + 𝑐₃₃𝑋₃ 𝑡 = 𝐹_{𝐸𝑋𝐶,3} 𝑡

(𝜌∇ + 𝑎₃₃) ሷ𝑋₃ 𝑡 + 𝑏₃₃𝑋ሶ₃ 𝑡 − 𝜌𝑔𝐴_𝑊𝑋₃ 𝑡 = 𝐹_{𝐸𝑋𝐶,3} 𝑡

E, considerando que a estrutura esteja em equilíbrio hidrostático:

Mostrando que a frequência natural do movimento vertical é dada por: 𝜔_𝑛,3 = 𝜌𝑔𝐴𝑊

A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

• Observação: A abordagem dinâmica no domínio da

frequência

• Dada a linearidade do problema dinâmico, a solução em regime estacionário (steady-state) das equações de movimento pode ser feita também no chamado domínio-da-frequência.

( 𝑀 + 𝐴 ) ሷ𝑋(𝑡) + 𝐵 𝑋(𝑡) +ሶ [𝐶] 𝑋(𝑡) = 𝐹_𝐸𝑋𝐶(𝑡)

−𝜔2( 𝑀 + 𝐴 ) 𝜉𝑒𝑖𝜔𝑡 + 𝑖𝜔 𝐵 𝜉𝑒𝑖𝜔𝑡 + [𝐶] 𝜉𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝜒𝑒𝑖𝜔𝑡

A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

• Através desta solução definem-se as chamadas funções de transferência lineares de movimento (ou Response Amplitude

Operators, RAOs) :

𝜉(𝜔, 𝛽)

𝐴 = 𝑖𝑛𝑣{−𝜔

A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

• Nota:

Mesmo no caso dos WECs do tipo OWC, a equação do movimento da coluna d’água corresponderá ao de um oscilador do tipo massa-mola-amortecedor:

câmara

A Interação Ondas-Estruturas Flutuantes

• Nota:

Mesmo no caso dos WECs do tipo OWC, a equação do movimento da coluna d’água corresponderá ao de um oscilador do tipo massa-mola-amortecedor:

z(t) Qual a massa de água envolvida? Que força garantirá a restauração da coluna?

Que tipos de amortecimento estarão envolvidos?

Aproximação em ondas longas

• No final da década de 1940, pesquisadores da UCLA/Berkeley propuseram um método aproximado para se estimar a força de excitação horizontal em estacas de sustentação de piers, usando teoria de faixas: h D x z 𝐹_𝐸𝑋𝐶 𝑡 = න −ℎ 𝜁(𝑡) 𝑓_{𝐸𝑋𝐶,𝑥} 𝑡 𝑑𝑧

In: Morison, J.R., O’Brien, M.P., Johnson, J.W., Schaaf, S.A., “The force exerted by surface waves on piles”, Petrol. Trans., AIME, Vol.189, 1950.

Aproximação em ondas longas

• E a expressão da força seccional inclui um termo inercial somado (de forma ad hoc) a um termo de arrasto viscoso:

• com as velocidades e acelerações obtidas da teoria linear de ondas (onda incidente não perturbada):

𝑓_{𝐸𝑋𝐶,𝑥} 𝑡 = 𝜌𝐴_𝑠𝐶_𝑀 ሶ𝑢 0, −𝑧, 𝑡 + 1 2𝜌𝐷𝐶𝐷𝑢(0, −𝑧, 𝑡) 𝑢(0, −𝑧, 𝑡) 𝑢 𝑥, 𝑧, 𝑡 = 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠ℎk(z + h) sinh(𝑘ℎ) cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) ሶ𝑢 𝑥, 𝑧, 𝑡 = 𝜔2𝐴𝑐𝑜𝑠ℎk(z + h) sinh(𝑘ℎ) sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Aproximação em ondas longas

• A aproximação é válida no regime de ondas longas (kD<<1), quando o espalhamento de ondas pela estrutura é pequeno.

• E, lembrando da relação de dispersão:

• Vemos que a condição de ondas longas estará associada, em geral, a ondas de baixa frequência

𝑘𝐷 = 2𝜋 𝐷 𝜆 ≪ 1

kh

g

k

tanh

2



=

Aproximação em ondas longas

• Devemos lembrar, porém, que, para cada seção:

• e no regime de ondas longas, muitas vezes KC não será pequeno, implicando que os efeitos viscosos serão pronunciados (quadro a seguir) 𝐾𝐶 = 𝐾𝐶 𝑧 = 𝑈𝑇 𝐷 = 2𝜋 𝐴 𝐷 𝑒 𝑘𝑧

Cilindro circular vertical de diâmetro D=2a

Zonas de domínio das

forças de diferentes origens junto a z=0

KC=pA/D

A/D

Extraida de McCormick, M. E. – Ocean Eng. Mech

Regime de ondas longas

Aproximação em ondas longas

• Escolha de C_M e C_D: dados experimentais de força em cilindros

circulares em fluido infinito

Extraida de Sarpkaya, T. – Wave Forces on Offshore Struct. Círculo de

diâmetro D KC=UT/D

Aproximação em ondas longas

• Escolha de C_M e C_D: dados experimentais de força em cilindros

circulares em fluido infinito

Aproximação em ondas longas

• Aproximação da solução potencial: Quando KC é baixo, a força

será dominada pelo termo inercial, e o valor do coeficiente C_M tenderá ao valor teórico obtido por escoamento potencial:

• e, no caso da seção circular:

• Obs: para se manter a coerência com a teoria linear de ondas, neste caso fazer:

• A partir dessa aproximação, podemos estimar as forças e movimentos de estruturas esbeltas em ondas no regime de ondas longas.

𝑓_{𝐸𝑋𝐶,𝑥} 𝑡 ≅ 𝜌𝐴_𝑠𝐶_{𝑀,𝑝𝑜𝑡} ሶ𝑢 0,0, −𝑧, 𝑡 𝐶_{𝑀,𝑝𝑜𝑡} = 𝜌𝐴𝑆 + 𝑚11 𝜌𝐴_𝑆 = 2,0 𝐹_𝐸𝑋𝐶 𝑡 = න −ℎ 0 𝑓_{𝐸𝑋𝐶,𝑥} 𝑡 𝑑𝑧

Aproximação em ondas longas

• Estruturas flutuantes esbeltas: é comum empregarmos o método

relacionado à formula de Morison (tanto para seções horizontais como verticais) para estimar as forças e movimentos de estruturas esbeltas flutuantes com bons resultados.

• Exemplo: Turbina eólica flutuante

Figuras extraídas de:

Lucas Henrique de Souza Carmo, Trabalho de Formatura PNV2511-12, 2016

Aproximação em ondas longas

Turbina Eólica Flutuante OC4

Aproximação em ondas longas

Extraídas Lucas Henrique de Souza Carmo, Trabalho de Formatura PNV2511-12, 2016 Turbina Eólica Flutuante OC4

RAOs para ondas com incidência de 45 graus

Aproximação em ondas longas

Extraídas Lucas Henrique de Souza Carmo, Trabalho de Formatura PNV2511-12, 2016 Turbina Eólica Flutuante OC4

RAOs para ondas com incidência de 45 graus