Capítulo 7
Trigonometria
7.1 Introdução
O número π
Dada uma circunferência de raio r, diâmetro d = 2r, o número π é denido como a razão do comprimento C
da circunfeência pelo seu diâmetro d, isto é,
π =
C
d
=
C
2r
(7.1)
O comprimento de uma circunferência
Pela denição do número π na equação (7.1) observamos que o comprimento da circunferência é dado por
C = π d = 2 π r
(7.2)
Medida de ângulos
Existem 2 unidades usuais
1
para a medida de ângulos.
•
Grau: 1 grau, denotado 1
o
, é um ângulo correspondente a
1
360
de uma volta completa da circunferência.
Conseqüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360
o
- Figura 7.1(a).
•
Radiano: 1 radiano, denotado 1 rad, é um ângulo correspondente a um arco de mesmo comprimento do
raio da circunferência - Figura 7.1(b).
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ......... ... ... ... ... ...
q
0
oou 360
oq
90
oq
180
oq
270
o(a)
A denição de grau
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
q
q
... ... ... ... ... ... ... ... ...r
s = r
1
rad
(b)
A denição de radiano
Figura 7.1:
Medidas de ângulo
1
Uma outra medida, menos usual, para ângulos é o grado. 1 grado corresponde a
1O comprimentro de um arco
Em uma circunferência de raio r, seja θ um ângulo qualquer, medido em radianos, e s o arco correspondente
-Figura 7.2(a). O valor s do comprimento do arco é obtido por uma regra de 3 simples
1
rad
r
=
θ
rad
s
∴
s = r θ
Conversão grau-radiano
Determinamos o valor do ângulo, em radianos, para uma volta completa na circunferência por uma regra de 3
simples
1
rad
r
=
x
rad
2 π r
∴
x = 2 π
Isto é, uma volta completa na circunferência corresponde a um ângulo de medida 2 π radianos - Figura 7.2(b).
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
q
q
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ...r
s = r θ
θ
rad
(a)
O comprimento de um
arco
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ...q
0
o= 0
rad ou 360
o= 2 π
rad
q
90
o=
π 2rad
q
180
o= π
rad
q
270
o=
3π 2rad
θ
(b)
Conversão grau-radiano
Figura 7.2:
Comprimento de arco e a conversão grau-radiano
Dado um ângulo θ em graus, sua medida x em radianos é obtida por uma regra de 3 simples
π
rad
180
o
=
x
rad
θ
o
∴
x =
θ
180
π
rad
Exemplo 7.1 Determine a medida do ângulo 155
o
em radianos.
π
rad
180
o
=
x
rad
155
o
∴
x =
155
180
π =
31
35
π
rad
Exemplo 7.2 Determine a medida do ângulo
3
4
π
rad em graus.
π
rad
180
o
=
3
4
π
rad
x
∴
x =
3
4
π
180
π
= 135
o
Classicação de triângulos
Triângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classicá-los de duas maneiras:
•
quanto aos tamanhos dos lados:
equilátero - 3 lados de mesmo comprimento,
isóceles - 2 lados de mesmo comprimento,
escaleno - 3 lados de comprimentos diferentes;
acutângulo - 3 ângulos agudos (menores que 90
o
graus),
retângulo - 1 ângulo reto (90
o
graus),
obtusângulo - 1 ângulo obtuso (maior que 90
o
graus).
7.2 Triângulo retângulo
7.2.1 Teorema de Pitágoras
Em um triângulo retângulo, Figura 7.3(a), os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado
oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados
pelo Teorema de Pitágoras
a
2
= b
2
+ c
2
.
(7.3)
©©
©©
©©
©©
©
b
c
a
(a)
Um triângulo retângulo.
©©
©©
©©
©
A
A
A
A
A
A
A
©©
©©
©©
©A
A
A
A
A
A
A
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
(b)
O Teorema de
Pitágo-ras.
Figura 7.3:
Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.
Uma prova bastante simples do Teorema de Pitágoras pode ser obtida através da Figura 7.3(b): a área do
quadrado externo é igual à soma da área do quadrado interno mais a área dos 4 triângulos retângulos, isto é:
a
2
+ 4
bc
2
= (b + c)
2
∴ a
2
+ 2bc = b
2
+ 2bc + c
2
∴ a
2
= b
2
+ c
2
.
7.2.2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Para cada ângulo agudo de um triângulo retângulo dene-se 6 razões trigonométricas (conhecidas como seno,
cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) da seguinte maneira
•
seno =
cateto oposto
hipotenusa
•
cosseno =
cateto adjacente
hipotenusa
•
tangente =
cateto oposto
cateto adjacente
•
cotangente =
cateto adjacente
cateto oposto
•
secante =
hipotenusa
cateto adjacente
•
cossecante =
hipotenusa
cateto oposto
A Figura 7.4 ilustra as 6 razões trigonométricas para os ângulos α e β de um triângulo retângulo.
Razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis
Na Figura 7.5(a) traçamos a diagonal de um quadrado de lado a e então determinamos as razões trigonométricas
para o ângulo de 45
o
obtido:
cos(45
o
) =
a
a
√
2
=
1
√
2
=
√
2
2
,
sen(45
o
) =
a
a
√
2
=
1
√
2
=
√
2
2
,
tg(45
o
) =
a
a
= 1.
©©
©©
©©
©©
©©
... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..b
c
a
α
β
cossecante:
secante:
cotangente:
tangente:
cosseno:
seno:
csc(α) =
a
c
sec(α) =
a
b
ctg(α) =
b
c
tg(α) =
c
b
cos(α) =
b
a
sen(α) =
c
a
csc(β) =
a
b
sec(β) =
a
c
ctg(β) =
c
b
tg(β) =
b
c
cos(β) =
c
a
sen(β) =
b
a
Figura 7.4:
As razões trigonométricas.
Na Figura 7.5(b) traçamos a altura de um triângulo equilátero de lado a e então determinamos as razões
trigonométricas para os ângulos de 30
o
e 60
o
obtidos:
cos(30
o
) =
a
√
3/2
a
=
√
3
2
,
sen(30
o
) =
a/2
a
=
1
2
,
tg(30
o
) =
a/2
a
√
3/2
=
1
√
3
=
√
3
3
.
cos(60
o
) =
a/2
a
=
1
2
,
sen(60
o
) =
a
√
3/2
a
=
√
3
2
,
tg(60
o
) =
a
√
3/2
a/2
=
√
3.
A tabela 7.1 resume estes resutados.
ângulo
30
o45
o60
osen
1 2 √ 2 2 √ 3 2cos
√3 2 √ 2 2 1 2tg
√3 31
√
3
Tabela 7.1: Valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30
o
, 45
o
e 60
o
.
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
a
a
a
√
2
... ... ... ... ... ...45
o(a)
Ângulo de 45
o.
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢¢
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
a
a√3 2a/2
a/2
c
... ... ... ... ... ...60
o ... ... ... ... ... ... ...30
o(b)
Ângulos de 30
oe 60
o.
7.3 Algumas identidades trigonométricas
Na Figura 7.4 temos que b = a cos(α) e c = a sen(α); obtemos então as seguintes identidades:
tg(α) =
c
b
=
a sen(α)
a cos(α)
∴ tg(α) =
sen(α)
cos(α)
(7.4a)
cotg(α) =
b
c
=
a cos(α)
a sen(α)
∴ cotg(α) =
cos(α)
sen(α)
(7.4b)
sec(α) =
a
b
=
a
a cos(α)
∴ sec(α) =
1
cos(α)
(7.4c)
csc(α) =
a
c
=
a
a sen(α)
∴ csc(α) =
1
sen(α)
(7.4d)
Usando o Teorema de Pitágoras obtemos
b
2
+ c
2
= a
2
∴ a
2
cos
2
(α) + a
2
sen
2
(α) = a
2
∴ a
2
£
cos
2
(α) + sen
2
(α)
¤
= a
2
donde
cos
2
(α) + sen
2
(α) = 1
(7.4e)
A identidade (7.4e) é chamada de identidade fundamental: o quadrado do cosseno mais o quadrado do seno de
qualquer ângulo é sempre igual a um. A partir da identidade fundamental obtemos outras duas importantes
identidades:
cos
2
(α) + sen
2
(α)
cos
2
(α)
=
1
cos
2
(α)
∴ 1 +
sen
2
(α)
cos
2
(α)
=
1
cos
2
(α)
∴ 1 + tg
2
(α) = sec
2
(α)
(7.4f)
cos
2
(α) + sen
2
(α)
sen
2
(α)
=
1
sen
2
(α)
∴
cos
2
(α)
sen
2
(α)
+ 1 =
1
sen
2
(α)
∴ cotg
2
(α) + 1 = csc
2
(α)
(7.4g)
Exemplo 7.3 Para um dado ângulo θ sabe-se que cos(θ) =
1
5
. Determine as outras razões trigonométricas
para θ.
Da identidade fundamental obtemos
µ
1
5
¶
2
+ sen
2
(θ) = 1
∴
sen
2
(θ) = 1 −
1
25
∴
sen(θ) =
r
24
25
=
2
√
6
5
.
Logo:
•
pela identidade (7.4a): tg(θ) =
2
√
6/5
1/5
=
2
√
6
5
5
1
= 2
√
6;
•
pela identidade (7.4b): cotg(θ) =
1/5
2
√
6/5
=
1
5
2
√
5
6
=
√
6
12
;
•
pela identidade (7.4c): sec(θ) =
1
1/5
= 5;
•
pela identidade (7.4d): csc(θ) =
1
2
√
6/5
=
5
2
√
6
.
7.4 Triângulos quaisquer
7.4.1 A Lei dos Cossenos
Vimos que para triângulos retângulos as medidas dos lados estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. Para
triângulos quaisquer os comprimentos dos lados estão relacionados pela Lei dos Cossenos (Figura 7.6).
A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo α pode ser obtida a partir da Figura 7.7. No triângulo
retângulo da esquerda temos
cos(γ) =
x
@
@
@
@
©©
©©
©©
a
©©
b
c
Para o ângulo γ:
c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab cos(γ
)
Para o ângulo β:
b
2
= a
2
+ c
2
− 2ac cos(β
)
Para o ângulo α:
a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos(α
)
... ... ... ... .
γ
... ... ... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ...β
... ... ....α
Figura 7.6:
A Lei dos Cossenos.
a
2
= x
2
+ H
2
∴ H
2
= a
2
− x
2
.
(7.5b)
No triângulo retângulo da direita temos
c
2
= H
2
+ (b − x)
2
= H
2
+ b
2
− 2bx + x
2
(7.5c)
Substituindo (7.5a) e (7.5b) em (7.5c) obtemos
c
2
= a
2
− x
2
+ b
2
− 2ab cos(γ) + x
2
c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab cos(γ)
que é a Lei dos Cossenos para o ângulo γ.
@
@
@
@
©©
©©
©©
a
©©
b
c
x
H
... ... ... ... .γ
Figura 7.7:
A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ.
7.4.2 A Lei dos Senos
Outra relação entre os comprimentos dos lados e os ângulos de um triângulo qualquer é a Lei dos Senos (Figura
7.8), cuja demonstração ca a cargo do leitor (Problema Teórico 7.1).
@
@
@
@
@
©©
©©
©©
a
©©
b
c
sen(β)
b
=
sen(α)
a
=
sen(γ)
c
... ... ... ... .γ
... ... ... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ...β
... ... ....α
Figura 7.8:
A Lei dos Senos.
7.5 Círculo Trigonométrico e Funções Circulares
Círculo trigonométrico é o circulo
2
de raio unitário e centro na origem do sistema cartesiano - Figura 7.9(a).
No triângulo OP Q da Figura 7.9(b) (lembrando que OP = 1 ) observamos que
cos(θ) = OQ/OP = x/1 = x
e
sen(θ) = P Q/OP = OR/OP = y/1 = y,
2
Um termo mais apropriado seria circunferência trigonométrica, mas o termo círculo trigonométrico é tradicionalmente utilizado
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ......... ... ... ... ... ...
q-x
6
y
(1, 0)
(a)
O circulo trigonométrico
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
-6
¡
¡
¡
¡
q
O
q
P (x, y)
q
Q
q
R
θ
(b)
Seno e cosseno
Figura 7.9:
O seno e o cosseno no círculo trigonométrico
de modo que as coordenadas cartesianas do ponto P são dadas por
P = (x, y) =
µ
cos(θ), sen(θ)
¶
.
Raciocinando no sentido inverso, seja P (x, y) um ponto qualquer sobre o círculo unitário e θ o ângulo
correspondente, medido no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo das abscissas. Denimos o cosseno
deste ângulo como o valor da abscissa de P e seu seno como o valor da ordenada de P . Esta denição do seno e
cosseno no círculo trigonométrico nos permite calcular os valores das razões trigonométricas para ângulos dados
por qualquer número real, e não apenas para ângulos agudos como no caso de triângulos retângulos. A Figura
7.10 ilustra este raciocínio para ângulos no segundo, terceiro e quarto quadrantes.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ...
-6
@
@
@
@
q
O
q
P (x, y)
q
Q
q
R
θ
(a)
Ângulo no 2
oquadrante
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...