Fundação Getúlio Vargas. Hagen Wolf de Albuquerque Schoof

(1)

0 Fundação Getúlio Vargas

Hagen Wolf de Albuquerque Schoof

Previsão da Taxa de Juros Utilizando o Modelo de Vasicek

São Paulo 2011

(2)

1 Hagen Wolf de Albuquerque Schoof

Previsão da Taxa de Juros Utilizando o Modelo de Vasicek

Dissertação apresentada à Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas como requisito para obtenção do título de Mestre em Economia

Campo de conhecimento Finanças Orientador: Prof. Dr. André Maialy

São Paulo 2011

(3)

2 Schoof, Hagen.

Previsão da Taxa de Juros Utilizando o Modelo de Vasicek

/ Hagen Schoof - 2011.

54 f.

Orientador: André Cury Maialy

Dissertação (mestrado) - Escola de Economia de São Paulo.

1. Taxas de juros -- Modelos matemáticos. 2. Investimentos -- Administração. 3. Swaps. I. Maialy, André Cury. II. Dissertação (mestrado) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título.

(4)

3 Hagen Wolf de Albuquerque Schoof

Previsão da Taxa de Juros Utilizando o Modelo de Vasicek

Dissertação apresentada à Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas como requisito para obtenção do título de Mestre em Economia

Campo de conhecimento Finanças

Data de Aprovação: __/__/____

Banca Examinadora:

________________________ Prof. Dr. André Maialy

________________________ Prof. Dr. Rafael Schiozer

________________________ Prof. Dr. Oswaldo do Valle Costa

(5)

4

Gostaria de dedicar este trabalho à minha querida esposa, companheira e amiga Meey Lee, por todo seu apoio e compreensão durante os dias e noites cedidos para a conclusão deste trabalho.

(6)

5

Minha gratidão à minha família e meus sinceros agradecimentos à família Ferreira, cujo apoio foi essencial à realização deste trabalho. Agradeço também ao professor André pela sua grande dedicação e competência em ensinar. Grato ao Dale Holborow por disponibilizar na internet parte da programação utilizada neste trabalho.

(7)

6

Resumo

Este trabalho estuda a previsão da taxa de juros com foco em uma estratégia de investimento. Inicialmente é feita a parametrização da taxa de juros com o modelo de Vasicek para posterior aplicação do modelo autorregressivo tanto na taxa de juros quanto nos parâmetros do Vasicek. O instrumento financeiro escolhido para verificar a eficácia da metodologia proposta foi o constant matutity swap aplicado em alguns vértices. Os resultados variaram significativamente para os diferentes horizontes de calibragem e períodos de amostragem sem um padrão de desempenho.

Palavras Chave: Juros, Vasicek, Previsão.

Abstract

This work analyses the forecast of the interest rate focusing an investment strategy. First the interest rate is parameterized using the Vasicek model, then the autorregressive model is applied on the interest rate and the parameters of Vasicek’s model. The financial product used to check the performance proposed is the constant maturity swap on some maturities. The results significantly change on the sampling period and the calibration horizon without a standard behavior.

(8)

7 Índice 1 Introdução ... 9 1.1 Motivação ... 9 1.2 Objetivo do Trabalho ... 9 2 Revisão Bibliográfica ... 12 3 Desenvolvimento da Teoria ... 14

3.1 Caracterização do Objeto de Estudo ... 14

3.2 Abordagem do Problema ... 15

3.3 Modelagem ... 16

3.3.1 Desenvolvimento do Vasicek ... 17

3.3.2 Algoritmos Genéticos ... 21

3.3.3 Modelo Autorregressivo ... 22

3.3.4 Constant Maturity Swap ... 23

3.4 Obtenção dos Resultados ... 23

4 Aplicação da Teoria ... 26

5 Apresentação e Discussão dos Resultados ... 28

5.1 Previsão da Taxa de Juros ... 28

5.1.1 Previsão Utilizando os Parâmetros do Vasicek... 28

5.1.2 Previsão Utilizando a Taxa de Juros ... 31

5.2 Interpolação Utilizando o Vasicek ... 33

6 Conclusões ... 34

7 Pesquisas Futuras ... 35

Apêndice A - Exemplos de Parametrização Utilizando o Vasicek ... 36

Apêndice B - Evolução dos Parâmetros do Vasicek ... 39

Apêndice C - Gráficos da rentabilidade acumulada obtida com a aplicação do Constant Maturity Swap nos parâmetros do Vasicek ... 41

Apêndice D - Gráficos da rentabilidade acumulada obtida com a aplicação do Constant Maturity Swap na taxa de juros ... 44

Apêndice E - Gráficos da rentabilidade média obtida com a aplicação do Constant Maturity Swap aplicado aos parâmetros do Vasicek de cada dia até a última data de análise ... 47

(9)

8 Apêndice F- Gráficos da rentabilidade média obtida com a aplicação do Constant

Maturity Swap aplicado à taxa de juros cada dia até a última data de análise ... 50 Referências ... 53

(10)

9

1 - Introdução

1.1 - Motivação

Muitos ramos de estudo em finanças relacionados à taxa de juros foram bem estudados no meio acadêmico, como a interpolaçãoda estrutura a termo da taxa de juros (ETTJ), a precificação dos derivativos de taxa de juros para os vários modelos propostos e a análise comparativa do desempenho dos modelos propostos, explicitando suas vantagens e limitações.

Este trabalho irá estudar um ramo que, apesar de sua relevância, recebeu relativamente pouca atenção no meio acadêmico: a previsão da evolução da taxa de juros.

O auxílio na condução da política monetária e a criação de novas estratégias de investimento são algumas áreas que poderiam se beneficiar com o desenvolvimento do estudo da previsão da taxa de juros.

1.2 - Objetivo do Trabalho

Este trabalho utiliza o modelo de equilíbrio de Vasicek para estudar a previsão da taxa de juros, tendo como finalidade a obtenção de uma estratégia de investimento.

A primeira etapa do trabalho será parametrizar a ETTJ para cada dia em que houve mercado utilizando para isso o modelo de Vasicek. Originalmente o modelo de Vasicek assume três parâmetros constantes ao longo do tempo, porém será necessário variá-los todos os dias para ser possível acomodar todos os formatos de curva apresentados pela ETTJ. A variável no modelo de Vasicek é a taxa de juros instantânea, no entanto ela também será considerada como um parâmetro para permitir maior flexibilidade na parametrização da ETTJ.

Manipulando a equação do modelo de Vasicek (mais detalhes no item 3.3.1), obtém-se a curva analítica para a ETTJ imposta pela modelagem. Essa curva é uma função dos quatro parâmetros do Vasicek (três parâmetros do Vasicek mais a taxa de juros

(11)

10 instantânea, que também será aqui considerada como um parâmetro). Juntos, esses 4 parâmetros são suficientes para reconstruir toda a curva da ETTJ.

A parametrização da ETTJ será realizada utilizando dois métodos complementares. Primeiro será utilizado o método dos mínimos quadrados entre a curva da ETTJ dada pelo Vasicek e os vértices de mercado da ETTJ. Depois de obtidos os parâmetros do Vasicek que mais aproximam a curva do modelo com os vértices de mercado, será aplicado algoritmo genético utilizando os parâmetros mencionados (i.e., obtidos pelo método dos mínimos quadrados) como população inicial para o algoritmo genético. O objetivo de utilizar o algoritmo genético como complemento para o método dos mínimos quadrados é melhorar o resultado da parametrização.

Ao permitir a variação dos parâmetros ao longo do tempo, será obtida uma matriz de quatro colunas (parâmetros do Vasicek) por 1871 linhas (dias em que houve mercado). Com os quatro parâmetros de cada linha da matriz é possível reconstruir a curva da ETTJ que melhor explica os vértices apresentados pelo mercado em cada um dos 1871 dias de análise utilizando o Vasicek.

Uma vez obtidos os parâmetros do Vasicek, basta utilizar a expressão 14 dada no item 3.3.1 para ser possível extrair da ETTJ parametrizada a taxa de juros a vista em qualquer vencimento. Utilizando esta abordagem, foram escolhidos vencimentos de até dois anos separados em 25 vértices (um vértice por mês), resultando em uma matriz de 25 colunas (uma para cada vértice analisado da ETTJ) por 1871 linhas (dias em que houve mercado). Essa matriz será montada pois, além da análise da evolução dos parâmetros do Vasicek, será também analisada a evolução da taxa de juros a vista dos vértices mencionados.

Utilizando a matriz dos parâmetros do Vasicek e a matriz da taxa de juros, serão realizadas duas previsões distinas para a taxa de juros em cada dia de mercado, ambas utilizando o modelo autorregressivo para a previsão. Em uma dessas previsões, o modelo autorregressivo será aplicado na taxa de juros já parametrizada (25 vértices na ETTJ), enquanto que na outra ele será aplicado nos quatro parâmetros do Vasicek (três do modelo mais a taxa de juros instantânea). A aplicação do modelo autorregressivo na matriz de taxa de juros terá taxas de juros

(12)

11 previstas para o período seguinte como resultado, enquanto que a aplicação do modelo autorregressivo na matriz com os parâmetros do Vasicek terá como resultado os parâmetros previstos do modelo.

Com cada conjunto de quatro parâmetros previstos é possível reconstruir uma ETTJ, que por sua vez também fornecerá taxas de juros previstas.

Portanto, serão duas previsões para a taxa de juros: uma obtida diretamente pela aplicação do modelo autorregressivo na taxa de juros, e a outra obtida ao se reconstruir a ETTJ utilizando parâmetros previstos pelo modelo autorregressivo. Essas duas abordagens de previsão terão seu resultado comparado no item 5.

(13)

12

2 - Revisão Bibliográfica

Alguns trabalhos importantes foram realizados sobre previsão da taxa de juros, mas certamente o tema ainda não foi esgotado.

Byers e Nowman (1998) analisam os principais modelos de equilíbrio de um fator aplicando-os nos mercados norte americano e inglês. A conclusão do estudo é que o desempenho para previsão varia muito com os dados considerados e com o período de análise, não sendo possível determinar um único modelo como sendo melhor. Outra abordagem ao problema da previsão da taxa de juros foi feita por Diebold e Li (2006), a qual teve uma versão preliminar datada de 2000, em que os autores não utilizaram os modelos de equilíbrio usualmente escolhidos até então, partindo parametrização da ETTJ dada pelo modelo exponencial de três fatores de Nelson e Siegel (1987). Os resultados obtidos pelos autores foram considerados satisfatórios para a previsão da taxa de juros e serviram de base para a maioria dos trabalhos posteriormente desenvolvidos sobre o assunto.

De Pooter (2007) mostra que a utilização de modelos exponenciais mais flexíveis que os propostos por Nelson e Siegel conseguem melhorar tanto a parametrização quanto a capacidade preditiva da ETTJ. O autor mostra que o modelo de Nelson e Siegel com quatro fatores (adição do fator de dupla curvatura) apresenta resultados particularmente bons para diversos horizontes e maturidades.

Christensen, Diebold, e Rudebusch (2007) desenvolveram uma classe de modelos similares ao proposto em Nelson e Siegel, concluindo que a inclusão de restrições de não arbitragem melhora o desempenho preditivo dos modelos, especialmente para maturidades mais longas.

Muitos dos trabalhos desenvolvidos no Brasil seguiram a linha proposta por Diebold e Li, como Almeida et al. (2008) que estudaram os critérios para otimizar a escolha dos parâmetros que afetam a previsão do modelo paramétrico exponencial. A conclusão do trabalho é de que o horizonte de previsão e o vencimento dos títulos analisados afetam os critérios de otimização dos parâmetros do modelo.

(14)

13 Outro trabalho desenvolvido sobre previsão de taxa de juros no Brasil é o de Leite, Gomes e Vicente (2009) que incorporou três ingredientes: informações macroeconômicas, dados de pesquisa de mercado e prêmio de risco para a taxa a termo Os resultados obtidosforam melhores do que o passeio aleatório e do que modelo proposto por Diebold e Li em termos de erro quadrático médio.

Lima, Ludovice e Tabak (2006), que trabalharam com a previsão da taxa de juros instantânea e com a de seis meses, verificaram que incluir a visão privilegiada do Banco Central de prévio conhecimento da taxa de juros instantânea não melhora o resultado da previsão da taxa de juros de médio e longo prazos.

A maioria dos trabalhos a respeito de previsão da taxa de juros se baseia em alguma variação do trabalho de Diebold e Li, em que a ETTJ é modelada com uma função matemática que não tem nenhuma relação com a dinâmica da taxa de juros, apenas captura bem o formato da ETTJ.

O presente trabalho não segue esta mesma abordagem, pois além de utilizar o modelo de equilíbrio proposto em Vasicek (1977), realiza as previsões tanto na taxa de juros quanto nos parâmetros.

(15)

14

3 - Desenvolvimento da Teoria

Este capítulo está dividido em quatro partes que estabelecem uma conexão entre a teoria utilizada e os resultados que serão apresentados no capítulo 5.

O item 3.1 descreve quais são as variáveis que impactam na previsão da taxa de juros e como essas variáveis podem afetar o resultado final.

O item 3.2 expõe como o problema da previsão da taxa de juros será abordado e que premissas foram adotadas neste trabalho.

No item 3.3, a teoria utilizada ao longo do trabalho é detalhada e a modelagem matemática é explicitada.

A forma de analisar os resultados deste trabalho, apresentados no capítulo 5, será abordada no item 3.4 deste capítulo.

3.1 - Caracterização do Objeto de Estudo

Uma previsão da taxa de juros pode ter seu resultado considerado satisfatório ou muito ruim variando apenas a utilização dessa previsão. Se a previsão for utilizada para gerar uma estratégia de investimento, apenas saber qual será o movimento da taxa de juros pode ser uma informação muito relevante, independente de essa previsão ser próxima ou não do valor realizado. Já para a condução da política econômica, saber apenas a direção da taxa de juros talvez não seja uma informação tão relevante quanto é para uma estratégia de investimento.

Outra variável que influencia considerar se uma previsão é boa ou ruim é o vértice da ETTJ em que a previsão é realizada. Saber qual será a taxa de juros de curto prazo é uma informação que pode ser pouco relevante para a condução da política monetária em alguns mercados1, mas é muito relevante para montar uma estratégia de investimento. Dessa forma, uma previsão que seja boa apenas para prever o comportamento dos vértices mais curtos da ETTJ tem uma utilidade muito maior para uma estratégia de investimento do que para auxiliar na execução da política monetária.

1

Nos principais mercados é o próprio órgão responsável pela execução da política monetária quem decide a taxa de juros instantânea

(16)

15 A frequência com que a previsão é correta, se a previsão acerta mais os grandes movimentos e se a previsão é melhor quando a volatilidade do mercado é maior também são fatores que influenciam na afirmação de que a previsão é boa ou ruim. Com tantos fatores influenciando o desempenho da previsão, é importante definir com muita clareza a aplicação dessa previsão para que esse desempenho seja medido da maneira mais objetiva possível.

Dessa forma, para simplificar e tornar o estudo o mais objetivo possível, este trabalho irá considerar que a previsão será feita para gerar uma estratégia de investimento. A estratégia escolhida para testar o desempenho da metodologia seguida neste trabalho é o Constant Maturity Swap em alguns vértices da ETTJ.

3.2 - Abordagem do Problema

A ETTJ é composta de alguns vértices que podem ser extraídos dos ativos de renda fixa negociados no mercado, sejam eles títulos de dívida ou contratos de derivativos. O primeiro passo do trabalho será pegar esses vértices da ETTJ e realizar a interpolação destes com alguma função de forma a se obter uma curva contínua para facilitar a análise.

A função utilizada neste trabalho para realizar esta interpolação será a curva da ETTJ obtida pela manipulação do modelo de Vasicek. A expressão do Vasicek para a ETTJ possui quatro parâmetros que sintetizam e representam o resultado da interpolação.

A interpolação será obtida primeiro minimizando a diferença entre os vértices extraídos dos ativos negociados no mercado e a curva para a ETTJ do Vasicek. Em seguida esse resultado será melhorado com a utilização de algoritmos genéticos. Depois de obtidas as quatro séries históricas com os parâmetros do Vasicek (cada curva é composta de quatro parâmetros), será realizada a previsão de cada um destes parâmetros utilizando o modelo autorregressivo com um período para realizar a regressão (AR(1)).

(17)

16 A ETTJ será reconstruída com base nestes parâmetros ou taxa previstos e esta será comparada à ETTJ de mercado para se tomar a decisão de realizar ou não o

Constant Maturity Swap.

O Constant Maturity Swap será realizado para cada dia de mercado e seu resultado será acumulado para verificar qual teria sido o desempenho da estratégia de previsão.

Nenhum custo de transação será considerado na realização do Constant Maturity

Swap.

3.3 - Modelagem

Este item irá detalhar os modelos que foram utilizados ao longo do trabalho.

No item 3.3.1 é demonstrado como se obtém a expressão desenvolvida inicialmente por Vasicek que será utilizada na interpolação dos vértices da ETTJ. A demonstração se baseia na construção de um portfólio composto de títulos com vencimentos diferentes e com diferentes pesos no portfólio de maneira a eliminar a incerteza. Com a eliminação da incertezam obtém-se uma equação diferencial que depois de resolvida e manipulada chega-se à expressão utilizada para realizar a interpolação.

No ítem 3.3.2 é explicado a base do funcionamento dos algoritmos genéticos que são utilizados para refinar o resultado da interpolação obtido com a aplicação do método dos mínimos quadrados.

No ítem 3.3.3 é explicado o modelo autorregressivo utilizado para realizar a previsão da taxa de juros após realizada a interpolação da ETTJ.

O item 3.3.4 apresenta o Constant Maturity Swap que é a estratégia de investimento escolhida para testar o resultado do método de previsão proposto.

(18)

17 3.3.1 – Desenvolvimento do Vasicek

Vários modelos foram desenvolvidos para modelar a taxa de juros. Os chamados modelos de equilíbrio partem da descrição matemática da taxa de juros instantânea e todo o desenvolvimento da ETTJ e precificação de derivativos se desenvolve a partir desta descrição. Os modelos de não arbitragem tem esse nome por incorporarem a ETTJ como um de seus argumentos, de forma que o modelo já é naturalmente ajustado à expectativa de mercado da evolução da taxa de juros de curto prazo. A maior parte dos trabalhos sobre previsão da taxa de juros não utiliza nem os modelos de equilíbrio nem os de não arbitragem, mas sim uma classe de funções exponenciais que consegue se ajustar bem à forma da ETTJ com poucos parâmetros. Essas funções exponenciais não possuem nenhuma relação com a evolução da taxa de juros e não tem a finalidade de explicar sua dinâmica, apenas geram uma boa parametrização com poucos parâmetros.

Este trabalho utiliza o modelo de Vasicek, um dos primeiros e mais estudados modelos de equilíbrio descritos na literatura. Ele foi inicialmente estudado em 1977 por Oldrich Vasicek (Vasicek, 1977), que foi o primeiro a incorporar o conceito de reversão à média da taxa de juros. O desenvolvimento das equações deste capítulo seguem a forma apresentada em Munk (2003)

O modelo de Vasicek é um modelo do tipo de difusão que segue a forma:

= , + , (1)

Onde é um processo de Wiener, , é a tendência do processo e , é o desvio padrão do processo .

O preço de um título de renda fixa no instante que paga cupom e amortização em é dado por , com , = 1 .

Aplicando o teorema de Itô a , e utilizando 1 chega-se em:

= , − , (2)

com,

(19)

18

, , = − _, , (4)

Para ser possível resolver a equação 2 é necessário que se elimine . Isso é possível montando uma carteira = − composta de dois títulos com vencimentos e

A variação da carteira é dada por

= , − , − , − , (5)

Para eliminar , basta fazer:

= _{" ,}" ,_# _{$" ,} e = _{" ,}" , #

# $" ,

E a equação 5 fica com a forma:

= % , " , # $% , # " ,

" , # $" , (6)

Dado que = a equação 6 fica

% , " , # $% , # " , " , # $" , = (7) ou de maneira equivalente % , $ " , # = % , # $ " , (8)

A única maneira de 8 se verificar é se a expressão for uma constante em , ou seja

& , =% , , $_{" , ,} (9)

& , é chamado de valor de mercado do risco e representa a quantidade de excesso de retorno sobre a taxa instantânea de juros de um título por unidade de risco.

Substituindo 3 e 4 em 9, chega-se em

(20)

19 Essa é a equação geral para precificar um título cuja taxa de juros é da forma dada em 1.

Vasicek (1977) assume que a taxa e juros de curto prazo segue um processo de Ornstein-Uhlenbeck:

= )*+ − , + - (11)

ou seja, que , = κ*+ − , e , = - na equação geral 1

Esta é a dinâmica sobre a medida de probabilidade real, com ) sendo a velocidade de reversão à média, + a taxa de juros de longo prazo e - o desvio padrão do processo. À medida que o ruído faz a taxa de juros instantânea se afastar da taxa de juros de longo prazo +, é forçada em sua direção com constante de proporcionalidade ).

O modelo de Vasicek é gaussiano com valor esperado da taxa de juros e variância em um instante futuro T dados por

/ , * , = + + − + 0$1* $ ,

23 , * , =4₁ 1 − 0$ 1* $ ,

Sendo gaussiano, uma probabilidade maior que zero é atribuída a valores negativos de taxa de juros2, sendo esta a crítica mais usual ao modelo de Vasicek.

Assumindo que , = κ*+ − , e , = - na função 1, a solução de 10 é da forma , = 0$5 $ $6 $ ₍₁₂₎ com 2

A probabilidade de a taxa de juros ser negativa em um instante T é dada por

(21)

20 B C =₁ 1 − 0$1D 3 C = EF*C − B C , +-_{4) B C} e dado que EF = +H −₂₎ - +H = + − &-/) C = −

O yield do título , é sua taxa interna de retorno e é dada por:

E , = − _$ log , (13)

Aplicando 13 à expressão para o valor do título 12 obtém-se

E , =5 $_$ +6 $_$ (14)

Essa é a expressão que servirá de base para obter os parâmetros do Vasicek que melhor se adequam à ETTJ observada no mercado. Apesar de ser uma variável nas equações anteriores, ela será tratada como um parâmetro quando for realizada a parametrização da curva de mercado visando minimizar o erro da otimização por mínimos quadrados.

A modelagem utilizada para se chegar à expressão do yield no modelo de Vasicek partem da suposição de capitalização contínua da taxa de juros. O padrão de capitalização no mercado brasileiro é de capitalização diária base 252, sendo então necessário fazer o ajuste para capitalização contínua das taxas negociadas no mercado antes de trabalhar com estas no contexto do Vasicek.

A maneira de se fazer essa conversão da taxa de juros em capitalização contínua para a taxa de juros ′ em capitalização diária é dada por:

(22)

21 3.3.2 – Algoritmos Genéticos

Para realizar a estimação dos parâmetros, primeiro será utilizando mínimos quadrados e em seguida algoritmo genético.

Os mínimos quadrados serão aplicados à diferença entre a ETTJ dada pela equação 14 e as taxas observadas no mercado. Depois de ter o erro quadrático minimizado, os valores otimizados serão utilizados como estimativa inicial do algoritmo genético para refinar os resultados dos parâmetros do Vasicek.

Os algoritmos genéticos tiveram seu estudo iniciado por volta da década de 50 por Barricelli (1957) e Fraser (1957) e teve seu desenvolvimento inicial intimamente relacionado ao campo da biologia.

O processo de otimização utilizando algoritmo genético pode ser dividido em algumas etapas iterativas, uma função e seus parâmetros iniciais.

A função é o que se quer otimizar e os parâmetros iniciais são os valores da primeira população que servirá de base para as próximas populações. As populações são os parâmetros da função que evoluem a cada iteração e se aproximam do valor que otimiza a função.

A primeira etapa do algoritmo genético é o cálculo do valor da função com a população atual. A próxima etapa é a seleção dos parâmetros da atual população que mais se aproximam do valor otimizado da função.

A etapa seguinte é onde ocorre a evolução da população atual. São utilizadas regras de cruzamento e de mutação entre as populações selecionadas para que a geração seguinte seja gerada. Tanto os cruzamentos entre as populações quanto as mutações são realizadas aleatoriamente entre as populações selecionadas.

Depois de a nova geração ser criada, o processo se repete até que alguma condição de finalização seja atingida. Algumas das condições podem ser número máximo de iterações ou uma população que possua parâmetros que atinjam um critério mínimo necessário para considerar que a otimização foi realizada.

(23)

22 3.3.3 – Modelo Autorregressivo

Após os parâmetros terem sido estimados utilizando mínimos quadrados e algoritmos genéticos, o método escolhido para realizar a previsão do parâmetro para o instante seguinte foi o modelo autorregressivo.

O modelo autorregressivo associa linearmente o valor futuro de uma função aos valores já realizados mais um fator de incerteza:

ER = ST+ S ER$ + S ER$ + ⋯ + SVER$V+ WR (15)

Onde S são os pesos da função linear que relaciona os valores passados e W_R é o fator de incerteza com distribuição gaussiana de média zero e variância

Sendo assim, o modelo autorregressivo é normalmente distribuído com média

ST+ ∑ SVYZ YER$Y e variância .

A equação 15 representa o modelo autorregressivo dito de ordem m e será chamado de [\ ] daqui em diante. Ele é considerado de ordem ] pois o valor da função no instante seguinte depende dos ] valores já realizados da função.

O [\ ] mais simples é o [\ 1 representado por

ER = ST + S ER$ + WR (16)

A equação acima pode ser reescrita de forma a substituir E_R$ por ^_R e a equação 16 fica da forma

ER = ST + S ^R + WR (17)

Basta então fazer a regressão linear da série com a série atrasada para obter as estimativas de SH_T 0 SH e estimar utilizando o desvio na equação (17).

Neste trabalho foi utilizado o [\ 1 , com janela móvel com três horizontes diferentes para cada um dos quatro parâmetros do modelo Vasicek. Isso foi feito para verificar qual é um bom horizonte para realizar a calibração do [\ 1 , nos parâmetros do Vasicek.

(24)

23 A ETTJ é então recriada com a equação 14 utilizando os parâmetros previstos com a aplicação do modelo [\ 1 .

3.3.4 – Constant Maturity Swap

A ETTJ recriada com os parâmetros previstos é utilizada como a curva de yield prevista e é comparando esta com a ETTJ de mercado que será tomada a decisão de qual será a estratégia de investimento para cada um dos vértices.

A estratégia de investimento escolhida para avaliar a capacidade de previsão da metodologia proposta por este trabalho foi o Constant Maturity Swap, que será abreviado por CMS daqui em diante.

O CMS é uma ferramenta financeira importante, pois permite que os investidores façam apostas focadas no formato da curva de yield, sem se preocupar com a variação na duration do contrato com o passar do tempo.

O payoff de um CMS é dado por:

_ =

`a b c d− `aO b c d (18)

Em que E é a taxa na ETTJ correspondente ao vencimento no momento em que o contrato é firmado e E′ é a taxa na ETTJ no momento correspondente ao vencimento CMS.

3.4 - Obtenção dos Resultados

A abordagem escolhida para avaliar o desempenho da metodologia de previsão da taxa de juros proposta por este trabalho é voltada para estratégia de investimento. O CMS será realizado (liquidado) todos os dias durante todo o período de análise e o resultado dessa estratégia será acumulado para verificar qual foi o ganho com a estratégia.

(25)

24 O CMS é uma operação que não envolve investimento de principal, apenas troca de

payoff. Sendo assim, não é possível calcular rentabilidade se não for arbitrado um

valor de referência para o patrimônio investido.

Foi escolhida, por simplificação, uma unidade monetária como valor aplicado em todos os CMS realizados. Desta forma, se o CMS com duração de um dia tiver como

payoff um centavo de unidade, a rentabilidade neste dia terá sido de 1%. Se no dia

seguinte o ganho também for de um centavo de unidade, a rentabilidade neste dia terá também sido de 1% pois o patrimônio investido é sempre considerado constante e igual a uma unidade monetária.

Uma das implicações de assumir essa abordagem é que a volatilidade dos retornos tem uma tendência de ser maior para CMSs realizados em vencimentos mais longos da curva do que os realizados em vencimentos curtos. Essa tendência de maior volatilidade é causada pela maior duration dos CMSs mais longos3.

O resultado acumulado será feito utilizando a fórmula de capitalização composta da seguinte maneira:

e ;_f_{1 + 1A − 1}

RZ

Sendo _f o payoff do CMS no instante f.

A unidade que divide _f representa o patrimônio investido, então 'R é a rentabilidade do CMS em um período.

O retorno médio anualizado será feito da seguinte maneira:

ge ;_f_{1 + 1A} RZh i $h` j − 1

Esta anualização será feita do dia n=1 até o dia n=T

3

Isso é verdade só no caso de a volatilidade dos vencimentos mais longos não ser muito menor que a volatilidade dos vencimentos mais curtos.

(26)

25 A verificação do desempenho da estratégia de investimento será feita analisando o resultado acumulado da estratégia para todo o período analisado e também o gráfico da evolução do retorno médio anualizado obtido para diversas datas de entrada na estratégia com permanência até o final do período de análise. Desta forma pode-se analisar o retorno total da estratégia e sua consistência para várias datas de entrada.

(27)

26

4 - Aplicação da Teoria

A base de dados utilizada neste trabalho são os valores interpolados dos contratos swap Pré-DI para vários vencimentos fornecidos pela BMF&Bovespa4. Outras alternativas de base de dados seriam os títulos públicos ou os contratos futuros de taxa de juros negociados no mercado, porém para não haver necessidade de lidar problemas relacionados à liquidez, optou-se por utilizar a informação já tratada pela BMF&Bovespa.

Cada dia em que houve mercado fornece alguns vértices na ETTJ que foram interpolados utilizando a expressão (14) deduzida segundo os pressupostos do modelo de Vasicek. O resultado da interpolação são os três parâmetros originais do Vasicek (κ, - 0 +H), além da taxa instantânea que também será tratada como parâmetro.

As análises serão feitas considerando diferentes janelas, diferentes periodicidades de amostragem e diferentes vencimentos da curva de yield para verificar qual combinação teria apresentado os melhores resultados entre o período analisado. As janelas utilizadas serão de cinco, dez e cinquenta observações. A janela é o horizonte de dados históricos que é utilizado para calibrar o modelo [\ 1 utilizado na previsão dos quatro parâmetros do Vasicek.

As periodicidades de amostragem são os intervalos entre uma observação e outra que serão utilizados para calibrar o modelo [\ 1 e são também o período de duração do CMS. Os valores escolhidos na análise são de um dia e de vinte e um dias úteis (um dia e um mês respectivamente).

O CMS será realizado em vinte e cinco vencimentos igualmente espaçados de um mês, compondo dois anos de maturidade para a análise.

Se a análise estiver sendo feita para uma janela de cinco observações e a periodicidade for de vinte e um dias, serão necessários cinco meses de dados antes

4

(28)

27 de se poder realizar a primeira previsão uma vez que serão utilizados cinco períodos de vinte e um dias para calibrar a previsão.

(29)

28

5 - Apresentação e Discussão dos Resultados

Este capítulo irá tratar dos resultados obtidos na previsão da taxa de juros.

No item 5.1 encontram-se os comentários sobre a aplicação do Constant Maturity

Swap e no item 5.2 os comentários sobre o resultado da interpolação utilizando o

Vasicek, o qual, apesar de não ser o foco deste trabalho, é uma etapa relevante para o resultado final.

Para maior clareza na visualização dos resultados, os gráficos mais relevantes foram colocados no corpo do capítulo, além de constarem também nos Apêndices.

5.1 – Previsão da Taxa de Juros

As análises podem ser separadas em previsões realizadas na taxa de juros e previsões realizadas nos parâmetros do Vasicek, ambas utilizando o modelo autorregressivo.

No item 5.1.1 estão as informações relativas à previsão utilizando a própria taxa de juros, ou seja, foram utilizados os valores passados da taxa de juros para prever o valor futuro da taxa de juros.

Já no item 5.1.2 encontram-se os dados da previsão utilizando os parâmetros do Vasicek para tentar prever a taxa de juros futura, em que são utilizados os valores passados dos parâmetros do Vasicek obtidos na interpolação da curva pra estimar os valores futuros destes parâmetros. Depois de obtidos os parâmetros previstos do Vasicek, a curva é reconstruída com estes parâmetros e a taxa de juros prevista é obtida.

5.1.1 – Previsão Utilizando os Parâmetros do Vasicek

Os maiores retornos acumulados da aplicação do CMS utilizando a previsão obtida com os parâmetros do Vasicek (κ, -, +H e ) podem ser vistos no gráfico a seguir.

(30)

29

Gráfico 1: Evolução da rentabilidade acumulada obtida com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem diária e janela de 10 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado nos parâmetros do Vasicek

Estes retornos acumulados foram obtidos ao se utilizar amostragem diária da ETTJ e janela de 10 dias para calibração do modelo autorregressivo.

Apesar de terem sido os maiores retornos, estes não foram consistentes ao longo do período de análise. Este resultado foi obtido com períodos longos de retorno predominantemente positivos seguidos por períodos predominantemente negativos, o que se mostra pouco eficiente para ser utilizado em uma estratégia de investimento.

Essa pouca consistência pode ser observada no gráfico a seguir de rentabilidade anualizada obtida para cada dia (também para amostragem diária e 10 dias para calibrar o modelo autorregressivo).

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 Data R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Rentabilidade Acumulada

(31)

30

Gráfico 2: Evolução da rentabilidade anualizada obtida pela aplicação até o dia 25/02/2011 com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem diária e janela de 10 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado nos parâmetros do Vasicek.

Este gráfico mostra que o retorno anualizado variou muito com a data em que se começou a fazer a operação, sendo inclusive negativo em mais de 1% ao ano para alguns períodos.

O resultado mais consistente foi observado com utilização de amostragem diária e cinquenta dias para realizar a calibração do modelo autorregressivo, como pode ser visto no gráfico a seguir.

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Data de Aplicação R e n ta b ili d a d e A n u a lis a d a

Rentabilidade Anualizada Obtida até o Dia 25/02/2011

(32)

31 A utilização da janela de cinquenta dias e amostragem diária foi a mais consistente entre as combinações estudadas para a previsão realizada nos parâmetros do Vasicek, porém proporcionou resultado negativo. Este resultado pode ser visto no gráfico a seguir.

A melhor alternativa para estratégia de investimento, utilizando a previsão da taxa de juros realizada com os parâmetros do Vasicek, seria obtida com a amostragem diária e janela de cinquenta dias para calibrar o modelo autorregressivo, porém montando a operação oposta no CMS uma vez que a rentabilidade foi negativa.

5.1.2 – Previsão Utilizando a Taxa de Juros

A previsão utilizando a taxa de juros apresentou resultados melhores do que a previsão utilizando os parâmetros do Vasicek.

A utilização de amostragem diária e janela de cinco dias seria a melhor alternativa para montar uma estratégia de investimento, apesar de ter apresentado retorno negativo, como pode ser visto no gráfico a seguir.

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 Data R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Rentabilidade Acumulada

(33)

32

Gráfico 5: Evolução da rentabilidade acumulada obtida com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem diária e janela de 5 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado na taxa de juros.

A consistência deste retorno pode ser vista no gráfico a seguir.

Gráfico 64: Evolução da rentabilidade anualizada obtida pela aplicação até o dia 25/02/2011 com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem diária e janela de 5 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado na taxa de juros.

A rentabilidade obtida teria sido entre 2% e 3% ao ano para os vértices mais longo na maior parte do tempo, sendo necessário montar no CMS a posição inversa ao indicado pelo modelo autorregressivo para obter um retorno positivo.

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 Data R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Rentabilidade Acumulada

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Data de Aplicação R e n ta b ili d a d e A n u a lis a d a

(34)

33

5.2 – Interpolação Utilizando o Vasicek

Os parâmetros do Vasicek mostraram instabilidade ao longo do período de análise, com períodos bem definidos de estabilidade dos parâmetros seguidos por períodos de instabilidade como pode se observar nos gráficos 6, 7, 8 do apêndice B.

Alguns exemplos de resultado da interpolação da ETTJ obtida com o Vasicek podem ser observados nos gráficos 1, 2, 3, 4 e 5 do apêndice A. Apesar da instabilidade dos parâmetros, a interpolação conseguiu acompanhar bem o formato dos dados originais para vários formatos que a ETTJ apresentou ao longo do período de análise.

(35)

34

6 - Conclusões

Este trabalho analisou uma maneira de se prever a evolução da taxa de juros com objetivo de estratégia de investimento utilizando o Constant Maturity Swap.

A interpolação da ETTJ foi feita utilizando o modelo de Vasicek em todos os dias em que houve mercado entre as datas 08/08/2003 e 25/02/2011 com os dados fornecidos pela BMF&Bovespa para o mercado brasileiro.

Para realizar a previsão, foi utilizado o modelo autorregressivo com diferentes janelas para sua calibração, aplicado tanto diretamente na taxa de juros quanto nos parâmetros do Vasicek obtidos na parametrização da ETTJ.

A previsão utilizando a taxa de juros apresentou melhores resultados quando comparada à previsão realizada nos parâmetros do Vasicek. Este fato confirma como acertada a escolha da grande maioria dos trabalhos que estudaram a previsão da taxa de juros de utilizar a taxa de juros para fazer a previsão, e não os parâmetros da função de interpolação.

Não foi levado em consideração o efeito dos custos envolvidos para a realização do Constant Maturity Swap. Os resultados poderiam ser diferentes caso estes tivessem sido considerados.

Não foi utilizada alavancagem no Constant Maturity Swap. Certamente seria possível algum nível de alavancagem dado o curto prazo de duração das operações feitas, o que poderia melhorar consideravelmente o resultado obtido.

Para montar o Constant Maturity Swap, seria necessário ter uma contraparte que aceitasse as mesmas taxas que as obtidas com a interpolação da ETTJ feita com o Vasicek, o que poderia ser difícil de se verificar na prática.

Os resultados obtidos neste trabalho indicam que seria possível utilizar o modelo autorregressivo e a interpolação da ETTJ com o Vasicek para a previsão da taxa de juros.

A utilização de amostragem diária e janela de calibração de cinco dias, combinada com a previsão utilizando a taxa de juros (e não os parâmetros do Vasicek) proporcionaram o resultado mais consistente, porém negativo. Para utilizar este resultado como estratégia de investimento seria necessário realizar o CMS inverso ao indicado pelo modelo autorregressivo para se obter um retorno positivo.

(36)

35

7 – Pesquisas Futuras

Este trabalho analisou uma das formas de se tentar prever a taxa de juros entre um universo de alternativas. Foi utilizado o modelo proposto por Vasicek para o movimento da taxa de juros. Existem vários outros modelos que estão bastante retratados na literatura e que poderiam ser utilizados com algumas pequenas adaptações no lugar do Vasicek.

O método de previsão escolhido foi o modelo autorregressivo, porém existem outras alternativas mais sofisticadas que poderiam apresentar resultados melhores, como o vetor autorregressivo.

Não foi considerada nenhuma outra variável macroeconômica além da taxa de juros. A incorporação de outras variáveis como a inflação ou a taxa de juros de outros países, por exemplo, poderiam melhorar os resultados apresentados. Os aspectos macroeconômicos precisariam ser melhor estudados para embasar a escolha do Vasicek. Outro ponto importante que também não foi levado em consideração é se as características estatísticas das séries estudadas permitem a aplicação do modelo autorregressivo.

Dois fatores importantes que não foram considerados são os custos envolvidos e além da disponibilidade de encontrar uma contraparte disponível para montar a operação do Constant Maturity Swap. Incorporar esses dois pontos nas analises certamente mudaria os resultados obtidos.

Considerar qualquer um destes fatores anteriormente mencionados poderia afetar consideravelmente os resultados, porém a abordagem ideal seria primeiro conseguir resultados satisfatórios com uma abordagem mais simples e menos restritiva para depois considerar estes outros aspectos e sofisticar a análise.

(37)

36

Apêndice A - Exemplos de Parametrização Utilizando o Vasicek

Gráfico 7: Comparação entre ETTJ de Mercado e a Interpolada pelo Vasicek para o dia 08/08/2003 (primeiro dia de análise).

Gráfico 8: Comparação entre ETTJ de Mercado e a Interpolada pelo Vasicek para o dia 25/02/2011 (último dia de análise). 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.2 0.205 0.21 0.215 0.22 0.225 0.23 0.235 0.24 0.245 0.25

Comparação entre ETTJ de Mercado e a Interpolada pelo Vasicek

Vencimento em Anos T a x a d e J u ro s ETTJ de Mercado ETTJ Interpolada 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.11 0.115 0.12 0.125 0.13 0.135

Vencimento em Anos T a x a d e J u ro s ETTJ de Mercado ETTJ Interpolada

(38)

37

Gráfico 9: Comparação entre ETTJ de Mercado e a Interpolada pelo Vasicek para o dia 16/09/2008 (quebra da Lehman Brothers).

Gráfico 10: Comparação entre ETTJ de Mercado e a Interpolada pelo Vasicek para o dia 29/08/2005 (Furacão Katrina nos EUA).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.134 0.136 0.138 0.14 0.142 0.144 0.146

Vencimento em Anos T a x a d e J u ro s ETTJ de Mercado ETTJ Interpolada 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.18 0.182 0.184 0.186 0.188 0.19 0.192 0.194 0.196 0.198

Vencimento em Anos T a x a d e J u ro s ETTJ de Mercado ETTJ Interpolada

(39)

38

Gráfico 11: Comparação entre ETTJ de Mercado e a Interpolada pelo Vasicek para o dia 27/12/2004 (Tsunami na Ásia). 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.18 0.182 0.184 0.186 0.188 0.19 0.192 Vencimento em Anos T a x a d e J u ro s

Comparação entre ETTJ de Mercado e a Interpolada pelo Vasicek ETTJ de Mercado ETTJ Interpolada

(40)

39

Apêndice B - Evolução dos Parâmetros do Vasicek

Gráfico 12: Evolução do parâmetro r0 da função de Vasicek para todo o período de análise.

Gráfico 13: Evolução do parâmetro Beta da função de Vasicek para todo o período de análise.

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Data V a lo r d a V a ri á v e l

Evolução do Parâmetro r0 da Função de Vasicek

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Data V a lo r d a V a ri á v e l

(41)

40

Gráfico 14: Evolução do parâmetro Kappa da função de Vasicek para todo o período de análise.

Gráfico 15: Evolução do parâmetro Beta da função de Vasicek para todo o período de análise.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Evolução do parâmetro Kappa da Função de Vasicek

Data V a lo r d a V a ri á v e l

0 5 10 15 20 25 30 Data V a lo r d a V a ri á v e l

(42)

41

Apêndice C – Gráficos da rentabilidade acumulada obtida com a

aplicação do Constant Maturity Swap nos parâmetros do Vasicek

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 Data R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Rentabilidade Acumulada

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 Data R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Rentabilidade Acumulada

(43)

42

Gráfico 8: Evolução da rentabilidade acumulada obtida com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem mensal e janela de 5 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado nos parâmetros do Vasicek

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 Data R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Rentabilidade Acumulada

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 Data R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Rentabilidade Acumulada

(44)

43

Gráfico 20: Evolução da rentabilidade acumulada obtida com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem mensal e janela de 10 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado nos parâmetros do Vasicek

Gráfico 21: Evolução da rentabilidade acumulada obtida com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem mensal e janela de 50 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado nos parâmetros do Vasicek

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.05 0 0.05 0.1 Data R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Rentabilidade Acumulada

Jan02 Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 Jan12 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Data R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Rentabilidade Acumulada

(45)

44

Apêndice D – Gráficos da rentabilidade acumulada obtida com a

aplicação do Constant Maturity Swap na taxa de juros

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 Data R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Rentabilidade Acumulada

(46)

45

Gráfico 25: Evolução da rentabilidade acumulada obtida com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem mensal e janela de 5 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado na taxa de juros. 3.8 3.85 3.9 3.95 4 4.05 x 104 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 Rentabilidade Acumulada R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Data

(47)

46

Gráfico 9: Evolução da rentabilidade acumulada obtida com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem mensal e janela de 10 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado na taxa de juros.

Gráfico 10: Evolução da rentabilidade acumulada obtida com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem mensal e janela de 50 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado na taxa de juros.

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Data R e n ta b ili d a d e A c u m u la d a Rentabilidade Acumulada

(48)

47

Apêndice E – Gráficos da rentabilidade média obtida com a aplicação

do Constant Maturity Swap aplicado aos parâmetros do Vasicek de

cada dia até a última data de análise.

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

(49)

48

Gráfico 31: Evolução da rentabilidade anualizada obtida pela aplicação até o dia 25/02/2011 com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem mensal e janela de 5 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado nos parâmetros do Vasicek.

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

(50)

49

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

(51)

50

Apêndice F – Gráficos da rentabilidade média obtida com a aplicação

do Constant Maturity Swap aplicado à taxa de juros cada dia até a

última data de análise

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

(52)

51

Gráfico 14: Evolução da rentabilidade anualizada obtida pela aplicação até o dia 25/02/2011 com a aplicação do CMS nos 25 vértices utilizando amostragem mensal e janela de 5 dias para calibração do modelo autorregressivo aplicado na taxa de juros.

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

(53)

52

Jan04 Jan06 Jan08 Jan10 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

(54)

53

Referências

ALMEIDA, Caio et al. Does Curvature Enhance Forecasting? Brasilia: Banco Central do Brasil. Working Paper Series n. 155, 2007

ALMEIDA, Caio et al. Movimentos da Estrutura a Termo e Critérios de Minimização do Erro de Previsão em um Modelo Paramétrico Exponencial. Rio de Janeiro:

Revista Brasileira de Economia n. 62, 2008.

BYERS, S.L., NOWMAN, K.B. Forecasting U.K. and U.S. Interest Rates Using Continous Time Term Structure Models. International Review of Financial Analysis, n. 7, 1998

BARRICELLI, Nils Aall. Symbiogenetic evolution processes realized by artificial methods. Methodos n. 9, 1957.

CHRISTENSEN, Jens H. E.; DIEBOLD, Francis X.;RUDEBUSCH, Glenn D. The Affine Arbitrage-Free Class of: Nelson-Siegel Term Structure Models. Philadelphia:

PIER Working Paper. n. 07-29, 2007.

DAI, Qiang; SINGLETON, Kenneth J. Specification Analysis of Affine Term Structure Models. The Journal of Finance, Vol. 55, No. 5 (Oct., 2000), pp. 1943-1978, 2000. DIEBOLD, Francis X.; LI, Canlin. Forecasting the term structure of government bond yields. Journal of Econometrics, Vol 130, pp. 337–364, 2006.

DUFFEE, Gregory R. Term premia and interest rate forecasts in affine models”.

Journal of Finance. Vol 57, pp. 405-443, 2002.

JONG, Frank de. Time Series and Cross Section Information in Affine Term Structure Models. Journal of Business & Economic Statistics, Vol. 18, No. 3 (Jul., 2000), pp. 300-314, 2000.

POOTER, Michiel de. Examining the Nelson-Siegel Class of Term Structure Models: In-Sample Fit Versus Out-of-Sample Forecasting Performance. Tinbergen Institute

Discussion Paper. Technical Report 043/4, 2007.

LEITE, André Luis; GOMES, Romeu Braz Pereira; VICENTE, José Valentim Machado. Previsão da Curva de Juros: um modelo estatístico com variáveis macroeconômicas. Brasília: Banco Central do Brasil. Trabalhos para Discussão nº

186, 2009.

LIMA, Eduardo J. A.; LUDOVICE, Felipe; TABAK, Benjamin M., Banco Central do Brasil. Working Paper Series n. 120, 2006 (2006)

(55)

54 MUNK, Claus. Fixed Income Analysis: Securities, Pricing, and Risk Management. Odense, 2003. Disponível em <http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi= 10.1.1.129.9912&rep=rep1&type=pdf>. Acesso em 5 fev. 2011.

NELSON, Charles R.; SIEGEL Andrew F. Parsimonious Modeling of Yield Curves.

The Journal of Business, Vol. 60, No. 4. (Oct., 1987), pp. 473-489., 1987

VARGA, G. Brazilian (Local) Term Structure Forecast in a Factor Model. VII Encontro

Brasileiro de Finanças, 2007

VASICEK, Oldrich. (1977). An Equilibrium Characterization of the Term Structure. Berkeley: North-Holland Publishing Company. Journal of Financial Economics, Vol 5. pp. 177-188, 1977.

VICENTE, Jose; TABAK, Benjamin M. Forecasting Bond Yields in the Brazilian Fixed Income Market. Brasília: Banco Central do Brasil. Working Paper Series n. 141, 2007.