Universidade Federal da Paraíba Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq. Processo: /2006-3

(1)

Universidade Federal da Para´ıba

Conselho Nacional de Desenvolvimento

Cient´ıfico e Tecnol´

ogico - CNPq

Relat´

orio

Processo: 200648/2006-3

P´

os-Doutorado no Exterior (PDE)

Jo˜ao Marcos Bezerra do ´

O

(2)

Sum´

ario

Identifica¸c˜ao 3

Resumo 5

Introdu¸c˜ao 6

Projetos de Pesquisa 7

(3)

Identifica¸c˜

ao

Dados do Pesquisador

Jo˜ao Marcos Bezerra do ´

O

Professor Associado IV - UFPB

Matr´ıcula - SIAPE - 0335874

CPF: 133 135 844 20

Doutor - UNICAMP - 95

Pos-Doc. New York University - COURANT - 1998/1999

Pos-Doc. University of British Columbia - 2006/2007

e-mail: jmbo@mat.ufpb.br

(4)

Dados do Plano de Trabalho

T´ıtulo:

Existˆencia e Multiplicidade

de Solu¸c˜oes para Problemas El´ıpticos

´

Area de Conhecimento:

An´alise

Sub-´area de Conhecimento:

An´alise N˜ao-Linear e

Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais

Supervisor

:

Nassif Ghoussoub.

Local de execu¸c˜ao

:

Departamento de Matem´atica.

Universidade de British Columbia

Canad´a

(5)

Resumo

Este é o relatório do nosso projeto de pós-doutorado, processo 200648/2006-3, o qual teve como principal objetivo a pesquisa em Matemática, mais precisamente, na sub-área de Equa¸cões Diferenciais Não-lineares. Visávamos com este projeto atualizar e criar novas linhas de pesquisas para os projetos cient´ıficos do nosso grupo de pesquisa.

Pesquisamos sobre questões relacionadas com existênica, não-existência, multiplicidade e comportamento assintótico de solu¸cões para algumas classes de problemas de valores de fronteira envolvendo equa¸cões diferenciais parciais el´ıpticas não-lineares de segunda e quarta ordem que modelam problemas originados na Geometria Diferencial, Matemática Aplicada, F´ısica, Biologia, dentre outros.

Estudamos algumas classes de sistemas el´ıpticos usando a Teoria dos Lagrangeanos anti auto-adjuntos (Anti-Selfdual Lagrangians) que vem sendo desenvolvida nos últimos anos por Ghoussoub. Esta teoria tem a grande vantagem de poder resolver variacionalmente muitos tipos de equa¸cões que não podem ser obtidas como equa¸cões de Euler-Lagrange de um funcional energia.

Além disso, para dar continuidade a pesquisa que estávamos realizando, aplicamos também outros métodos da Análise Não-Linear tais como: Teoria dos Pontos Cr´ıticos, Teoria do Grau e Teoremas de Ponto Fixos, dentre outras técnicas.

(6)

Introdu¸c˜

ao

Nosso projeto de pesquisa versou sobre Matemática na sub-área de Análise, mais precisamente, em Equa¸cões Diferenciais Não-lineares. O plano inicial era desenvolver cinco projetos porém, conseguimos realizar ao longo do per´ıodo deste estágio oito projetos que apresentaremos, a seguir, de forma suscinta, exibindo seus objetos de estudo, bem definidos, as equipes de colaboradores envolvidas, metodologia e resultados que obtivemos.

O tema central de todos estes projetos foi o estudo e o desenvolvimento de novas técnicas ligadas aos métodos “Variacionais e Topológicos”e suas aplica¸cões nas equa¸cões diferenciais parciais não-lineares que modelam problemas advindos de vários ramos da Ciência, tais como: Matemática Aplicada, Geometria Diferencial, F´ısica Matemática, Biologia, Qu´ımica, Economia, Engenharias dentre outros.

Mais especificamente, nosso interesse recaiu sobre problemas modelados por equa¸cões diferenciais el´ıpticas não-lineares, que são uma das principais ferramentas para compreender certos fenômenos f´ısicos, qu´ımicos ou biológicos estacionários, ou até mesmo, processos evolutivos que tendem a um estado estacionário.

Nos últimos anos, tem-se desenvolvido intensa pesquisa sobre problemas modelados por Equa¸cões Diferenciais Não Lineares, o que tem levado à procura de novos métodos para a resolu¸cão destas classes de equa¸cões e tem contribu´ıdo de forma substancial para o desenvolvimento da Matemática e, mais especificamente, da Análise Não-Linear.

Em nossa pesquisa, desenvolvemos e usamos novas ferramentas que estão diretamente ligadas a dois métodos: Variacional e Topológico. Estes métodos estão dentre as mais frut´ıferas ferramentas matemáticas para lidar com problemas envolvendo equa¸cões diferencias. Em particular, usamos bastante a Teoria dos Pontos Cr´ıticos.

(7)

Projetos de Pesquisa

A seguir resumiremos o desenvolvimento de nossa pesquisa durante o per´ıodo deste est´agio em formato semelhante ao que apresentamos no nosso plano de trabalho.

Projeto de pesquisa 1:

Sistemas El´ıpticos via a Teoria dos Lagrangeanos anti

auto adjuntos (Anti-Selfdual Lagrangians)

Projeto em andamento em conjunto com os professores: Nassif Ghoussoub

Abbas Moameni

Department of Mathematics University of British Columbia Vancouver, Canad´a

Objetivos Gerais:

O principal objetivo deste projeto é aplicar a teoria dos Lagrangeanos anti auto adjuntos (anti-selfdual lagrangians) para estudar questões relacionadas com existência de solu¸cões para certas classes de problemas de valores de fronteira envolvendo sistemas de equa¸cões el´ıpticas semi-lineares de segunda ordem. Natureza do Projeto:

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise Matemática, mais especificamente, em Equa¸cões Diferenciais Parciais, fazendo uso de métodos variacionais e mais precisamente de um princ´ıpio variacional para o fluxo gradiente.

(8)

A teoria dos Lagrangeanos anti auto-adjuntos vem sendo desenvolvida por Ghoussoub e colaboradores nos artigos [23], [24], [25], [26] [27], [28] e se mostra inerente a muitos problemas advindos da F´ısica Matemática, Geometria riemanniana, Equa¸cões Diferenciais, dentre outros. Esta teoria fornece formula¸cões variacionais e resolu¸cões para uma grande classe de problemas de valores de fronteira que não são do tipo potencial e não admitem uma formula¸cão na teoria de Euler-Lagrange. As solu¸cões nesta teoria são m´ınimos de funcionais da forma onde é um Lagrangeano anti auto-adjunto e é um operador anti-simétrico. Porém, assim como a equa¸cão autodjunta (e anti-autodajunta) na teoria quântica dos campos (por exemplo, Yang-Mills), as equa¸cões associadas a tais m´ınimos não são obtidos como pontos cr´ıticos do funcional, mas como zeros do Lagrangeano. A grande vantagem deste método é poder ser utilizado para resolver variacionalmente muitas equa¸cões e sistemas que não podem ser obtidos como equa¸cões de Euler-Lagrange de um funcional energia, uma vez que podem envolver operadores que não são auto-adjuntos ou não são do tipo potencial. Pretendemos aplicar esta teoria no estudo de certas classes de sistemas el´ıpticos que não podem ser resolvidos por métodos clássicos como, por exemplo, via a teoria de Euler-Lagrange.

Benef´ıcios Esperados

Acreditamos que esta nova teoria é muito promissora e pretendemos envolver nossos alunos e colegas do nosso grupo de pesquisa, nesta nova frente de pesquisa, abrindo assim novas possibilidades para nossos trabalhos conjuntos. Portanto, com o presente projeto, vamos dar in´ıcio a uma forte intera¸cão entre os grupos de pesquisa em equa¸cões dos dois departamentos de matemática das universidades envolvidas. Além disso, temos os benef´ıcios naturais esperados com a realiza¸cão deste projeto, ou seja, a contribui¸cão dos resultados obtidos para o desenvolvimento da pesquisa em equa¸cões diferenciais;

(9)

Projeto de pesquisa 2:

Estimativas a priori para equa¸c˜

oes el´ıpticas n˜

ao-lineares

envolvendo crescimento exponencial

Projeto em conjunto com os professores: Djairo Guedes de Figueiredo

Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica UNICAMP

Bernhard Ruf

Departamento de Matem´atica

Universidade de Milão, Milão, Itália.

Sobre este projeto publicamos o artigo abaixo e no momento estamos escrevendo uma generaliza¸c˜ao do mesmo que ser´a submitido ainda em 2007.

do O, Joao Marcos; de Figueiredo, Djairo de; Ruf, Bernhard. Semilinear

elliptic systems with exponential nonlinearities in two dimensions. Advanced

Nonlinear Studies, San Antonio, Texas 78269, U.S., v. 06, n. 02, p. 199-213, (2006).

Objetivos Gerais:

Obter estimativas a priori para solu¸c˜oes positivas para uma classe de sistemas el´ıpticos em subdom´ınios limitados do plano euclidiano com n˜ao linearidades com crescimento exponencial.

Natureza do Projeto:

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise Matemática, em Sistemas de Equa¸cões Diferenciais Parciais.

Delimita¸c˜ao do Tema da Pesquisa

Neste projeto, vamos considerar uma classe de sistemas semilineares de equa¸c˜oes el´ıpticas da forma:

           −∆u = g(x, u, v) em Ω −∆v = f (x, u, v) em Ω u > 0 , v > 0 em Ω u = v = 0 sobre ∂Ω (1)

onde Ω é um sobconjunto limitado de R2 _{e as fun¸cões g(x, u, v) e f (x, u, v) são}

(10)

Problemas deste tipo surgem em uma variedade de situa¸cões, tais como em Geometria Diferencial, Teoria de difusão linear gerada por fontes não-lineares, de igni¸cão térmica e combustão de misturas de gases quimicamente ativas, e de equilibrio gravitacional de estrelas politrópicas.

Estamos interessados aqui em obter estimativas a priori para o sistema (1). Este tipo de informa¸cão é fundamental para obtermos existência de solu¸cões bem como informa¸cões sobre a estrutura do conjunto de solu¸cões. Recentemente, vários autores têm trabalhado neste tipo de questão. Em [11], de Figueiredo, Lions e Nussbaum obtiveram estimativas a priori para um problema do tipo

−∆u = f (x, u) em Ω,

sob a hip´otese f (x, u)/uσ _{→ 0 quando u → ∞ para algum σ > 0. Cl´ement, de}

Figueiredo e Mitidieri, em [CFM1], obtiveram estimativas a priori para solu¸cões positivas de uma classe de sistemas el´ıpticos via o método de Brezis-Turner combinado com interpola¸cão e inequa¸cões do tipo Hardy-Sobolev.

Para equa¸cões el´ıpticas não-lineares envolvendo crescimento cr´ıtico veja [6] e [7]. Enquanto que equa¸cões el´ıpticas não-lineares em subdom´ınios de R2

envolvendo crescimento exponencial têm sido estudadas por vários autores utilizando métodos variacionais, inclusive pelos participantes deste projeto (cf. [12], [13], [14], [15], [10], [17]). Com o objetivo se obter resultados mais gerais, todas as nossas pesquisas neste tema converge para a necessidade de conseguir estimativas a priori para as solu¸cões desta classe de problemas. Para tanto, a idéia é tentar os métodos usados em dimensão superior, como por exemplo: “moving planes”, desigualdades de Hardy-Sobolev e “Blow-up”. A nossa pesquisa está mostrando que a utiliza¸cão de “moving planes”de Serrin-Aleksandrov dará um melhor resultado no sentido de considerarmos crescimentos maiores. Usaremos também técnicas desenvolvidas no artigo [9], bem como aquelas desenvolvidas por Berzis-Merle em [8].

Resultados Obtidos e Esperados

Publicamos um artigo e estamos escrevendo um segundo artigo sobre este tema. Deste modo damos continuidade à forte intera¸cão já existente entre o nosso grupo de pesquisa e o grupo da UNICAMP liderado por Djairo de Figueiredo e Bernhard Ruf da Itália.

(11)

Projeto de pesquisa 3:

Ondas solit´

arias para equa¸c˜

oes de Schr¨

odinger quase

lineares: o caso Trudinger-Moser

Projeto em conjunto com os professores: Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki

Departamento de Matem´atica Universidade Federal de Vi¸cosa Sergio Henrique Monari Soares Departamento de Matem´atica

Universidade de S˜ao Paulo, S˜ao Carlos, SP.

Sobre este projeto publicamos o artigo abaixo e no momento estamos escrevendo um segundo artigo considerando o caso com crescimento cr´ıtico do tipo Brezis-Nirenberg.

Objetivos Gerais:

O presente projeto tem por objetivo a obten¸cão de resultados de existência de solu¸cões de energia m´ınima para uma classe de equa¸cões el´ıpticas quaselineares em R2_.

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise Matemática, mais especificamente, em equa¸cões diferenciais parciais, fazendo uso de métodos variacionais e mais precisamente da Teoria dos Pontos Cr´ıticos. Delimita¸cão do Tema da Pesquisa

Esta parte do projeto é dedicada ao estudo de solu¸cões de energia m´ınima para a seguinte classe de equa¸cões el´ıpticas quase-lineares

−∆u + V (x)u − (∆(u2_{))u = f (u) em R}2

Solu¸cões deste tipo estão relacionadas com a existência de ondas solitárias estáveis para equa¸cões de Schrödinger da forma

(12)

sendo V = V (x), x ∈ RN_{, uma fun¸c˜ao potencial dada, κ ´e uma constante real e}

f e h s˜ao fun¸c˜oes reais a valores reais. O caso semilinear corresponde a κ = 0 e

tem sido intensivamente estudado nos ´ultimos anos por v´arios autores [5], [22], [54].

Equa¸cões quaselineares como estas aparecem mais naturalmente em f´ısica matemática, mais especificamente, em modelos que descrevem fenômenos f´ısicos correspondentes a vários tipos de fun¸cões f e h ([30], [31], [36], [48], [41]). Na literatura matemática, há poucos resultados conhecidos sobre estas equa¸cões. A nossa principal referência é o trabalho [37], onde os autores estabelecem a existência de ondas solitárias para a equa¸cão de Schrödinger no caso em que

N ≥ 3 e as fun¸c˜oes h e f se comportam como potˆencias. Como um modelo, eles

consideraram h(s) = s e f (s) = s(p−1)/2 _{e k > 0. Neste projeto, consideraremos o}

caso N = 2 cr´ıtico, cuja situa¸c˜ao modelo ´e h(s) = s, k > 0 e f (s) = exp(4s2_{− 1).}

Para lidar com esta classe de problemas surgem algumas dificuldades. A primeira é que há três diferentes escalas na equa¸cão, causando problemas para utilizar métodos de minimiza¸cão com v´ınculos. Por outro lado não existe um espa¸co de fun¸cões natural no qual o funcional energia esteja bem definido. É necessário, pois, introduzir uma nova formula¸cão variacional proposta em [37] e então reformular o problema em um espa¸co de Orlicz. Uma nova dificuldade surge devido a presen¸ca agora da não linearidade do tipo exponencial (veja detalhes em [13], [16], [47], [55]). Usaremos também técnicas devidas a Lions [42], [43] e Rabinowitz [50].

Resultados Obtidos e Esperados

Publicamos um artigo e estamos escrevendo um segundo artigo sobre este tema. Além dos benef´ıcios naturais esperados com a realiza¸cão deste projeto, iniciamos uma forte intera¸cão entre os grupos de pesquisa em equa¸cões dos dois departamentos de matemática das universidades envolvidas.

(13)

Projeto de pesquisa 4:

Solu¸c˜

oes Positivas para uma Classe de Sistemas El´ıpticos

com Multiparˆ

ametros

Projeto em conjunto com os professores: Pedro Ubilla

Departamento de Matem´atica y Ciencias de la Computacion Universidad de Santiago de Chile, Chile

Sebastian Lorca

Departamento de Matemáticas Universidad de Tarapacá, Chile Justino Sánchez

Departamento de Matem´aticas Universidad de la Serena, Chile

Sobre este projeto publicamos o artigo abaixo:

Objetivos Gerais:

O presente projeto tem por objetivo obter resultados de existência, não-existência e multiplicidade de solu¸cões positivas para uma classe de sistemas el´ıpticos envolvendo equa¸cões ordinárias de segunda ordem com multiparâmetros. Natureza do Projeto:

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise Matemática, mais especificamente, em Equa¸cões Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem. Pretendemos usar métodos topológicos tais como teoria do grau de Leray-Schauder, Teorema de Ponto Fixo de Krasnoselkii, método de sub-super solu¸cões e Índice de Ponto Fixo.

Estudamos questões relacionadas com a existência, não existência e multiplicidade de solu¸cões positivas para a seguinte classe de sistemas el´ıpticos envolvendo equa¸cões diferencias ordinárias de segunda ordem:

   −u00 _{= g} 1(t, u, v, a, b) in (0, 1) , −v00 _{= g} 2(t, u, v, a, b) in (0, 1) , u(0) = v(0) = u(1) = v(1) = 0 . (Sab)

(14)

onde a e b são parametros e h,g são o fun¸cões cont´ınuas.

Introduzimos novas versões da no¸cão de superlinearidade para não-linearidade que podem, em um certo sentido, ser singulares.

O tema deste projeto de pesquisa tem sua motiva¸cão em certas classes de problemas el´ıpticos definidos em dom´ınios euclidianos com simetria radial, por exemplo, sistemas el´ıpticos em dom´ınios anulares e dom´ınios exteriores. Aplicamos também nossos resultados abstratos a problemas envolvendo equa¸cões diferencias ordinárias de quarta ordem, tais como as equa¸cões da viga elástica. Nossos resultados incluiem, em particular, as seguintes classes de problemas el´ıpticos:

I. Sistemas de equa¸c˜oes el´ıpticas de segunda ordem em dom´ınios euclidianos anulares com condi¸c˜ao de fronteira de Dirichlet:

       −∆u = k1(|x|, u, v), in r1 < |x| < r2, ∆v = k2(|x|, u, v), in r1 < |x| < r2, (u, v) = (0, 0), in |x| = r1, (u, v) = (a, b), in |x| = r2. (2)

II. Sistemas de equa¸c˜oes el´ıpticas de segunda ordem em dom´ınios euclidianos exteriores com condi¸c˜ao de fronteira de Dirichlet:

      

−∆u = f (|x|, u, v) , for |x| > 1 and x ∈ RN_,

−∆v = g(|x|, u, v ) , for |x| > 1 and x ∈ RN_,

(u, v) = (a, b) , for |x| = 1, (u, v) −→ (0, 0) as |x| → +∞ .

(3)

III. Equa¸c˜oes de quarta ordem:    w(IV ) _{= f (t, w, w}00_), _{in l = (0, 1),} w(0) = a in w(1) = b, w00_{(0) = 0 in w}00_{(1) = 0.} (4)

Observamos que, aplicando mudan¸cas de variáveis adequadas, podemos transformar as equa¸cões dos problemas acima em sistemas de equa¸cões diferencias ordinárias de segunda ordem do tipo (Sab)) definido anteriormente. Problemas

de valores de fronteira modelados por estas classes de sistemas têm atra´ıdo o interesse de muitos pesquisadores. Alguns são advindos de diversas áreas da Matemática Aplicada e da F´ısica.

(15)

de Pohozaev [49] mostra que, de fato, este tipo de restri¸cão não é devido apenas ao método. Prova-se que, neste caso, não existem solu¸cões positivas para não-linearidades com crescimento acima do cr´ıtico. Quando o dom´ınio de defini¸cão da equa¸cão é um anel ou um dom´ınio exterior, não podemos aplicar mais a identidade de Pohozaev para se obter este tipo de resultado de não-existência. De fato, resultados de existência e multiplicidade podem ser obtidos como, por exemplo, usando teoremas de ponto fixo, método de sub-super solu¸cões e teoria de ´ındice de ponto fixo.

Neste contexto, o estudo de equa¸cões el´ıpticas semi-lineares em dom´ınios anulares tem obtido consideráveis avan¸cos, devido a expressiva aten¸cão que tem recebido por vários pesquisadores da área.

Um modelo simples desta classe de problemas, no caso escalar, ´e dado por

−∆u = f (u) onde f (u) é uma fun¸cão cont´ınua não-decrescente e superlinear no

zero e no infinito, isto ´e, f (t)/t → +∞ quando t → +∞ e f (t)/t → 0 quando

t → 0. Esta classe de problemas foi estuda por Bandle, Coffman e Marcus

em [3] e no caso particular em que f (t) = t(N +2/(N −2) _{foi estudada por Bandle e}

Peletier em [4]. Usando o chamado ”Shooting Method”, os resultados de [4] foram estendidos por Lee e Lin em [34] para não-linearidades f (t) que são convexas e são superlineares no zero e no infinito. Usando argumentos da teoria do grau e o método de sub-super solu¸cões, Hai em [29] estendeu e complementou alguns dos resultados contidos em [4] e [34] para não-linearidades localmente Lipschitzianas. Fazemos ainda referência ao artigo [18] para resultados sobre o problema escalar para equa¸cões definidas em dom´ınios anulares com condi¸cões de fronteira não homogêneas e sem restri¸cões do tipo convexidade ou localmente Lipschitzianas.

Há vários artigos, publicados recentemente, que tratam sobre questões de existência e multiplicidade de solu¸cões radiais e positivas para sistemas de equa¸cões el´ıpticas em dom´ınios euclidianos anulares com condi¸cões de fronteira de Dirichlet ou Newmann. Para condi¸cões homogêneas, veja [20], [21] e suas referências. Para condi¸cões de fronteira não homogêneas, veja [19].

Sobre problemas exteriores, indicamos as referˆencias [32], [33], [51], [52], [53] e para problemas de quarta ordem relacionados com o nosso projeto, indicamos as referˆencias [1], [2], [35], [38], [44], [40].

Resultados Obtidos:

Neste projeto concluimos o artigo:

do ´O, J. M.; Lorca, S.; S´anchez, J.; Ubilla, P. Positive solutions for a class of multiparameter ordinary elliptic systems. J. Math. Anal. Appl. 332 (2007), no. 2, 1249–1266.

(16)

Projeto de pesquisa 5:

Sistemas n˜

ao lineares envolvendo operadores do tipo

curvatura m´

edia ou perturba¸c˜

oes do p-Laplaciano

Projeto em conjunto com os professores: Pierluigi Benevieri

Dipartimento di Matematica Applicata Universit`a degli Studi di Firenze, Italy Everaldo Souto de Medeiros

Departamento de Matem´atica Universidade Federal da Para´ıba

Objetivos Gerais:

Estudamos existência de solu¸cões periódicas para sistemas de equa¸cões diferenciais ordinárias não lineares envolvendo operadores do tipo curvatura média ou perturba¸cões do operador p-Laplaciano. Para isto, usamos métodos topológicos, mais precisamente, Teoria do Grau de Laray-Schauder.

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em Matemática, na área de Análise, em sistemas de equa¸cões diferenciais ordinárias, fazendo uso de métodos topológicos.

Recentemente, surgiram muitos trabalhos de pesquisa com o objetivo de estudar existência de solu¸cões para vários problemas de valores de fronteira envolvendo equa¸cões diferencias parciais ou ordinárias de segunda ordem, no caso de perturba¸cões não-lineares do operador p−Laplaciano u 7→ ∆pu, definido por

∆pu := (|u0|p−2u0)0, se N = 1 e ∆pu := div(|∇u|p−2∇u) se N ≥ 2. Veja por

exemplo [16], [45], [46] e [56], [57].

(17)

ser tamb´em, um homeomorfismo sobre o RN _{e pertence a uma classe de}

homeomorfismos que incluem, em particular, a aplica¸c˜ao ψp definida por

ψp(u) = |u|p−2u se u 6= 0 e ψp(0) = 0,

onde u = (u1, . . . , uN) ∈ RN, |u| = (

P

u2

i)1/2 e p ∈ (0, +∞). Como

conseqüência, seus resultados se aplicam a uma classe de operadores que incluem em particular, o p-Laplaciano. Notamos que, no caso particular em que p = 2, temos o problema clássico

u00_{= f (t, u, u}0_{), u(0) = u(T ), u}0_{(0) = u}0_{(T ).}

Condi¸cões de fronteira tipo do periódica têm uma dificuldade extra em rela¸cão as condi¸cões de fronteira de Dirichlet u(0) = u(T ). Notemos que o problema de Dirichlet homogêneo

ψp(u0))0 = h(t), u(0) = u(T ) = 0 (6)

possui solu¸cão única em L1 _{e, conseqüêntemente, o problema não-linear}

ψp(u0))0 = f (t, u, u0), u(0) = u(T ) = 0

é equivalente a determinar um ponto fixo de um operador obtido da composi¸cão do operador solu¸cão com o operador de Nemytski associado a fun¸cão não linear

f (t, u, u0_{). No caso de condi¸c˜ao de fronteira peri´odica, o problema correspondente}

ψp(u0))0 = h(t), u(0) = u(T ), u0(0) = u0(T ), (7)

em geral, não possui solu¸cão e quando possui não é única. Além disso, o problema (5) não tem em geral uma estrutura variacional e, portanto, é natural usar métodos topológicos para se obter solu¸cões de (5).

Estudamos o problema (5) no caso em que a aplica¸cão ϕ não é sobrejetiva, o que é motivado pelo modelo envolvendo o operador curvatura média.

Usamos t´ecnicas da Teoria do Grau com o objetivo de estender e complementar os resultados em [45], de modo a incluirmos problemas envolvendo operadores do tipo curvatura m´edia

Lu = Ã u0 p 1 + |u0_|2 !₀

perturba¸c˜oes do operador p-Laplaciano

Lu = u00_{+ (|u}0_|p−2_u0₎0 _{com p ∈ (1, +∞) e p 6= 2}

ou, mais geralmente, do tipo:

(18)

Usamos a invariˆan¸cia por homotopia do grau, mais precisamente, a partir de uma decomposi¸c˜ao do espa¸co L1 _{= L}1

m+ F , onde F ' RN e L1m ´e o espa¸co das

fun¸cões integráveis com média nula, estabelecemos uma homotopia que é uma perturba¸cão da identidade por um operador de posto finito.

Formalmente, podemos verificar que o problema (5) é equivalente ao seguinte problema u0_{(t) = ϕ}−1 µ a + Z _t 0 f (s, u(s), u0_(s))ds ¶ (8) Uma vez que o nosso homeomorfismo ϕ não é sobrejetor, tivemos que determinar condi¸cões adquadas sobre a não-lineariridade f (t, u, u0_{) de modo que}

o operador dado pelo lado direito de (8) fosse bem definido. Resultados Obtidos:

Neste projeto concluimos os artigos:

• Benevieri, Pierluigi; do ´O, Jo˜ao Marcos; de Medeiros, Everaldo Souto Nonlinear systems with mean curvature-like operators. Fixed Point Theory and its Applications, Banach Center Publications, Institute of Mathematics Polish Academy of Sciences, 77 (2007), 35-48.

• Benevieri, Pierluigi; do ´O, Jo˜ao Marcos; de Medeiros, Everaldo Souto Periodic solutions for nonlinear equations with mean curvature-like operators. Appl. Math. Lett. 20 (2007), no. 5, 484–492.

• Benevieri, Pierluigi; do ´O, Jo˜ao Marcos; de Medeiros, Everaldo Souto Periodic solutions for nonlinear systems with mean curvature-like operators. Nonlinear Anal. 65 (2006), no. 7, 1462–1475.

(19)

Outros projetos realizados

Os projetos a seguir foram desenvolvidos no per´ıodo do estágio e que não faziam parte do plano apresentado ao CNPq e a UFPB. Estamos incluindo estes resultados no relatório não só pelo compromisso que temos com as institui¸cões que nos apoiaram, mas também, pelo valor técnico e cient´ıfico que al¸camos em tais trabalhos. Ressaltamos ainda que para cada projeto submetemos para publica¸cão um artigo em revista de circula¸cão internacional.

Projeto de pesquisa 6:

Existˆ

enica e concentra¸c˜

ao de ondas solit´

arias para uma

classe de equa¸c˜

oes de Schr¨

odinger quaselineares no plano

envolvendo crescimento cr´ıtico

Projeto em conjunto com os professores: Abbas Moameni Department of Mathematics University of British Columbia

Vancouver, Canad´a Uberlandio Severo

Departamento de Matem´atica Universidade Federal da Para´ıba

Neste projeto estudamos a existência e propriedades qualitativas de solu¸cões positivas de energia m´ınima para a seguinte classe de equa¸cões de Schrödinger

−ε2_{∆u + V (x)u − ε}2_{[∆ (u}2_{)] u = f (u) no plano euclidiano. Desenvolvemos um}

método variacional baseado em um método de penaliza¸cão e em uma versão da inequa¸cão de Trudinger-Moser, em um contexto não standard de espa¸cos de Orlicz, para construirmos uma fam´ılia de solu¸cões a um parâmetro de solu¸cões clássicas de energia m´ınima para a concentra-se, quando o parâmetro se aproxima de zero, em torno de um ponto de m´ınimo local do potencial.

O principal aspécto deste projeto é que o termo f (u) pode ter crescimento cr´ıtico do tipo exponencial e também a presen¸ca do termo de segunda ordem não homogeneo −ε2_{[∆ (u}2_{)] u o qual não permite trabalhar no espa¸co de Sobolev}

clássico. Equa¸cões de Schrödinger deste tipo tem sido estudado como modelo de vários fenômenos f´ısicos. Este caso considerado aqui corresponde a equa¸cão motivada pela F´ısica do Plasma.

(20)

Projeto de pesquisa 7:

Existˆ

encia de solu¸c˜

oes para uma classe de equa¸c˜

oes de

Schr¨

odinger quasilineares singulares dependendo de um

parˆ

ametro

Projeto em conjunto com o professor:

Abbas Moameni Department of Mathematics University of British Columbia

Vancouver, Canad´a

Estabecemos existência de solu¸cões positivas de energia m´ınima para uma classe de equa¸cões Schrödinger quasilineares singulares da forma

i∂ψ

∂t = −∆ψ + ψ + $(|ψ|

2_{)ψ − λρ(|ψ|}2_{)ψ − κ∆ρ(|ψ|}2_)ρ0_(|ψ|2_)ψ, _{x ∈ Ω, (9)}

onde $(τ2_{)τ → +∞ quando τ → 0 e, λ > 0 é um parâmetro e Ω é uma bola}

do RN_{. Este problema é estudado em coneçcão com o seguinte problema de}

autovalores quaselineares

− ∆Ψ − κ∆ρ(|Ψ|2_)ρ0_(|Ψ|2_{)Ψ = λ}

1ρ(|Ψ|2)Ψ, x ∈ Ω, (10)

Estabelecemos a existência de solu¸cões para o problema (9) quando λ pertence a uma vizinhan¸ca do primeiro autovalor λ1 de (10). O principal aspécto deste

projeto é que a não linearidade $(|ψ|2_{)ψ é não limitada em torno da origem e}

também a presen¸ca do termo de segunda ordem não linear. Nossa análise mostra a importância do papel do parâmetro λ combinado com o termo não linear e não homogênio −∆ρ(|ψ|2_)ρ0_(|ψ|2_{)ψ. Nossa prova é baseada em várias técnicas}

(21)

Projeto de pesquisa 8:

Existˆ

encia e concentra¸c˜

ao de ondas solit´

arias para uma

classe de equa¸c˜

oes de Schr¨

odinger quaselineares em R

N

with N ≥ 3

Projeto em conjunto com os professores: Daniele Cassani

Dip. di Matematica “F. Enriques”, Universit`a degli Studi, Milano, Italy Abbas Moameni

Department of Mathematics University of British Columbia Vancouver, Canad´a

Neste projeto consideramos existência e propriedades qualitativas de solu¸cões positivas de energia m´ınima para a seguinte classe de equa¸cões de Schrödinger quaselineares em RN _{with N ≥ 3:}

i∂ψ ∂t = −ε

2_{∆ψ + W (x)ψ − η(|ψ|}2_{)ψ − ε}2_κ∆ρ(|ψ|2_)ρ0_(|ψ|2_)ψ ₍₁₁₎

onde ψ : R × RN _{→ C, κ ´e uma constante positiva, W : R}N _{−→ R ´e um potencial}

dado e η, ρ : R+_{→ R s˜ao fun¸c˜oes satisfazendo certas propriedades. Introduzimos}

em (11) o parâmetro ε > 0 com o objetivo de estudar o fenomeno de concentra¸cão destas solu¸cões quando ε → 0, o chamado limite semi-clássico.

Equa¸cões quasilineares da forma (11) surgem em vários ramos da F´ısica corresondendo a diferentes tipos de fun¸cões ρ. Aqui consideramos o caso em que ρ(s) = s e para uma classe de não linearidades η do tipo superlinear e subcr´ıtico. Procuramos por ondas solitárias de (11) explorando a invarian¸ca de Lorentz desta equa¸cão, tomando-se ψ(t, x) = e−iξt_{u(x), onde ξ ∈ R e u > 0 é}

uma fun¸cão real. Deste modo obtém-se a equa¸cão el´ıptica correspondente com estrutura variacional:

− ε2_{∆u + V (x)u −}ε2

2 £

∆¡u2¢¤_{u = f (u),} _{u > 0,} _{x ∈ R}N ₍₁₂₎

para um termo n˜ao linear f : R+ _{−→ R satisfazendo certas propriedadas, onde}

(22)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] A.R. Aftabizadeh, Existence and uniqueness theorems for fourth-order

boundary value problems, J. Math. Anal. Appl. 116, (1986), 415–426.

[2] Z. Bai, H. Wang, On positive solutions of some nonlinear fourth–order beam

equations, J. Math. Anal. Appl. 270, (2002), 357–368.

[3] C. Bandle, C.V. Coffman and M. Marcus, Nonlinear Elliptic Problems in

Annular Domains, J. Diff. Eq., 69 (1987) 322–345.

[4] C. Bandle and L. A. Peletier, Nonlinear elliptic problems with critical

exponent in shrinking annuli, Math. Ann. 280 (1988) 1–19.

[5] H. Berestycki and P.-L. Lions, Nonlinear scalar field equations, I, Existence of grund state, II, Existence of infinitely many solutions, Arch. Rational Mech. Anal. 82 (1983), 313-345; 347-375.

[6] H. Brezis, Nonlinear elliptic equations involving the critical Sobolev exponent - Survey and perspectives, Directions in partial differential equations, Ed. Crandall etc. (1987), 17-36.

[7] H. Brezis and L. Nirenberg, Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical exponents, Comm. Pure Appl. Math. 36, 1983, 437-477. [8] H. Brezis and F. Merle, Uniform estimates and blow-up behavior for solutions

of −∆u = V (x)eu _{in two dimensions, Comm. Partial Differential Equations}

16 (1991), 1223–1253.

[9] Wen Xiong Chen and Congming Li, A priori estimates for solutions to

nonlinear elliptic equations, Arch. Rational Mech. Anal. 122 (1993), 145–

(23)

[12] D. G. de Figueiredo, O. H. Miyagaki and B. Ruf, Elliptic equations in R2

with nonlinearities in the critical growth range, Calc. Var. 3, 139-153 (1995). [13] D. G. de Figueiredo, Jo˜ao Marcos do ´O and B. Ruf, On an inequality by N. Trudinger and J. Moser and related elliptic equations, Comm. Pure Appl. Math. 55 (2002), 135–152..

[14] de Figueiredo, Djairo G.; do ´O, Jo˜ao Marcos; Ruf, Bernhard Critical and subcritical elliptic systems in dimension two. Indiana Univ. Math. J. 53 (2004), 1037–1054.

[15] de Figueiredo, Djairo G.; do ´O, Jo˜ao Marcos; Ruf, Bernhard An Orlicz-space approach to superlinear elliptic systems, J. Func. Analysis, 224 (2005), 471-496.

[16] Jo˜ao Marcos B. do ´O, Existence of solutions for quasilinear elliptic equations, J. Math. Anal. Appl. 207 (1997), 104–126.

[17] Jo˜ao Marcos B. do ´O, Semilinear Dirichlet problems for the N−Laplacian in RN _{with nonlinearities in critical growth range, Diff. and Int. Eq. 9, (1996),}

967-979.

[18] J. M. do ´O, S. Lorca and P. Ubilla, Local superlinearity for elliptic systems

involving parameters, J. Diff. Eq. 211 (2005), 1–19.

[19] J. M. do ´O, S. Lorca and P. Ubilla, Multiparameter Elliptic Equations in

Annular Domains, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their

Applications, 66, (2005), 233-246, Birkhauser Verlag

[20] D. R. Dunninger and Haiyan Wang, Existence and multiplicity of positive

solutions for elliptic systems, Nonlinear Anal. 29 (1997), 1051–1060.

[21] D. R. Dunninger, and Haiyan Wang, Multiplicity of positive radial solutions for an elliptic system on an annulus, Nonlinear Anal. 42 (2000), 803–811. [22] A. Floer, A. Weinstein, Nonspreading wave packets for the cubic Schr¨odinger

equation with a bounded potential, J. Funct. Anal. 69 (1986), 397-408. [23] N. Ghoussoub, A theory of anti-selfdual Lagrangians: stationary case, C. R.

Math. Acad. Sci. Paris, 340 (2005), 245-250.

[24] N. Ghoussoub, A theory of anti-selfdual Lagrangians: dynamical case, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 340 (2005), 325–330.

[25] N. Ghoussoub, Anti-selfdual Lagrangians: Variational resolutions of non

(24)

[26] N. Ghoussoub and A. Moameni, Selfdual variational principles for periodic

solutions of Hamiltonian and other dynamical systems, preprint.

[27] N. Ghoussoub, L. Tzou, A variational principle for gradient flows. Math. Ann. 330 (2004), 519-549. [GM] J.V.A. Gon¸calves e O.H. Miyagaki, Three solutions for a strongly resonant elliptic problem, Nonlinear Analysis TMA 24(2) (1995), 265-272.

[28] N. Ghoussoub and A. Moameni, Selfdual variational principles for periodic solutions of Hamiltonian and other dynamical systems, preprint.

[29] D.D. Hai, Positive solutions for semilinear elliptic equations in annular domains, Nonlinear Anal. 37, (1999), 1051–1058.

[30] S. Kurihura, Large-amplitute quasi-solitons in superfluid films, J. Phys. Soc. Jpn 50 (1981), 3262-3267.

[31] E. W. Laedke, K. H. Spatschek, L. Stenflo, Evolution theorem for a class of

perturbed envelope solitons, J. Math. Phys. 24 (1983), 2764-2769.

[32] Y.H. Lee, A multiplicity result of positiveradial solutions for a multiparameter elliptic systems on an exterior domain, Nonlinear Anal. 45

(2001), 597-611.

[33] Y.H. Lee, Eingenvalues of singular boundary valueproblems and existence

results for positive radial solutions of semilinear elliptic problems in exterior domains, Differential Integral Equations, 13 (2000), 631–648.

[34] M.G. Lee and S.S. Lin, On the positive solution for semilinear elliptic equations on annular domain with non–homogenuous Dirichlet boundary conditions, J. Math. Anal. Appl. 181 (1994), 348-361.

[35] Y. Li, Positive solutions of fourth–order boundary value problems with two

parameters, J. Math. Anal. Appl. 281, (2003), 477–484.

[36] A. G. Litvak, A. M. Sergeev, One dimensional collapse of plasma waves, JETP Lett. 27 (1978), 517-520.

[37] Liu, Jia-quan; Wang, Ya-qi; Wang, Zhi-Qiang, Soliton solutions for

(25)

[40] R. Ma, C. Tisdell, Positive solutions of singular sublinear fourth–order

boundary value problems, Appl. Anal. 84 (2005), 1199–1220.

[41] V. G. Makhankov, V. K. Fedyanin, Non-linear effecrs in

quasi-one-dimensional models of condensed matter theory, Phys. Rep. 104 (1984), 1-86.

[42] P.-L. Lions, The concentration compactness principle in the calculus of variations. The limit case, part 1 Rev. Mat. Iberoamericana 1 (1985), 145-201.

[43] P.-L. Lions, The concentration compactness principle in the calculus of variations. The limit case, part 2 Rev. Mat. Iberoamericana 1 (1985), 145-201.

[44] R. Ma, On a conjecture concerning the mulitplicity of positive solutions of elliptic problems, Nonlinear Analysis, 27 (1996), 775-780.

[45] R. Man´asevich; J. Mawhin, Periodic solutions for nonlinear systems with

p-Laplacian-like operators, J. Differential Equations 145 (1998), 367–393.

[46] R. Man´asevich; J. Mawhin, Boundary value problems for nonlinear perturbations of vector p-Laplacian-like operators, J. Korean Math. Soc. 37

(2000), 665–685.

[47] J. Moser, A sharp form of an inequality by N. Trudinger, Ind. Univ. Math. J. 20, 1077-1092 (1971).

[48] A. Nakamura, Damping and modification of exciton solitary waves, J. Phys. Soc. Jpn 42 (1977), 1824-1835.

[49] S. I. Pohozaev, Eigengunctions of the equation ∆u+λf (u) = 0, Soviet Math. Dokolady, 6 (1965), 1408-1411.

[50] P. H. Rabinowitz, On a class of nonlinear Schr¨odinger equations, Z. angew Math. Phys (Zamp) 43, 270-291 (1992).

[51] R. Stanczy, Decaying solutions for sublinear elliptic equations in exterior

domains, Topol. Methods Nonlinear Anal. 14 (1999), 363–370.

[52] R. Stanczy, Bounded solutions for nonlinear elliptic equations in unbounded

domain, J. Appl. Anal. 6 (2000), 129-138.

[53] R. Stanczy, Positive solutions for superlinear elliptic equations, J. Math. Anal. Appl. 283, (2003), 159–166.

[54] W, A. Strauss, Existence of solitary waves in higher dimension, Comm. Math. Phys. 55 (1977), 149-162.

(26)

[55] N. S. Trudinger, On the imbedding into Orlicz spaces and some applications, J. Math. Mech. 17, 473-484 (1967).

[56] P. Ubilla, Multiplicity results for the 1-dimensional generalized p-Laplacian, J. Math. Anal. Appl. 190 (1995), 611–623.

[57] P. Ubilla, Multiplicity results for quasilinear elliptic equations, Comm. Appl. Nonlinear Anal. 3 (1996), 35–49.

Joao Pessoa 25 de agosto de 2007 Jo˜ao Marcos Bezerra do ´O