(-2+ ( j3 2 1 ) 2. ~-2 + 3v'3] 3..j3) I EXERCfcl OS. a) V ={ [~ ~J com at b, C, d E R Cb = C } donde I'l~' " L3 +:2 v'3

Espaco Veloria! 129

Como virnos, [Y lj1' =

n

::]

11 11

onde )'1 = XI cos U

+

X2 sen 0 = -2 cos

"3

+ 3

sen

"3

11 11

Y2 = -Xl sen 0

+

X2 cos 0 ~ 2 sen

3

+

3 cos 3

~-2

+

3

v'3

]

donde

I

'l~'

"

L

3 +:2

v'3

lIU seja

.

, Y

=

(

-2

+

2

3..j3

)

£ I

+

(3

+

2

2..j3

1

)

£2

4.

8

E

X ERCfcl OS

1. a) Scja V a espalfo vetorial R" , definido no Exernplo 2 de

4

.2.2

.

Qual

e

0 velar nulo de Ve a que

e

-(XIo X2, .• . • x n)? b) Seja W = M(2, 2) (veja 4.2.2 Exemplo 3 i)) descreva a vetor nulo e vetor oposto.

2. Mostre que as seguintes subconjuntos de R4 sao subespacos a) IV

=

{ (x, y, z, t) E

R

"

i

x

+

y

=

0 e z - t = O} b) U =

{

(x ,

y.

z,

t) E

R"

i

2x

+

y - t = 0 e

z

= O]

3. Responda se as subconjuntos abaixo sao subespacos de M (2, 2). Em caso afirmativo exiba geradores

a)

V

={

[~

~

J

com

at

b, C, d E

R

Cb

=

C

}

b) JII

=

{ [

~

d

b

J

com

a,

b. c. d E Re b

=

c

+

I }

4. Cons idere dais vetores (a. b) e (c, d) no plano. Se ad - be

=

0, mostre que eles sao LD. Se ad - be =1= 0, mostre que eles sao LI.

S. Vcrifique se os conjuntos abaixo sao espaco vetonais reais, com as opera­ 90CS usuais. No caso afirmatlvo, exiba uma base e de a

dimensao

.

a) Ma trizes diagonais " X " b) Matrizes escalares " X "

c)

{[~

a;

~:

a,

b E R} d) V

=

{

(a,

a,

.

..

,

a)

E R":

a

E R}

e) {( I, a, b): a, b E R}

f) A reta {(x, x

+

3) : x E R}

g)

{

(a,

2iJ, Ja):

a

E R}

6. Considere 0 subespaco de R4

S ::

{(I,

I,-2,4),(I, I, -I,2),(1,4,-4,8)]

2

u) 0 vetor

(3"'

1, -I , 2) pertence a

S!

b) 0 vetor (0 , 0, I, I) pertence a S?

7. Seja

W

0 subespaco de

M(2

,

2) definido por

a

+

2b

J

.

abE

R

}

IV

=

{

[

~

_a

_-

b . ,

a)

[~

'

-

~J

E W! b)

[

~

n

E hi?

8. Seja W 0 subespaco de M(3 , 2)gerado por

-

0 OJ

_{I I}

[

O

_{0 -l}

I

l

_{J e}

[

0

₀

n

[

~

~

]

_{pertcnce a IV?}

0

vetor

a

o

.

]

0

°

l

9. Me stre que

{[

~

g

].

[

g

~

],

[

~

g

], [

g

m

base de

M(2.

2

).

10. Escreva uma base para 0 espaco vetorial das matcizes n X fl . Qual a dirnen­

sao deste espaco?

II. Quais sao as coordcnadas de x = (I , 0, 0) em relacao

a

base {3 '"' {(I, 1, I), (-I. 1.0), (I , 0, -I)}'l

Esp~ Vetoria! 131

12. Qual seria uma base "natural" para P_n? (Veja

°

Exemplo 4 de 4.2.2). De a di­

mensae deste esparyo vetoria!.

3

13. Mostre que os polinornios I - t , (I - t)2, I - te l geram 0 esparyo dos

polinornios de grau ~ 3.

14. Considerc [-0. oj um intervalo simctrico e C1 [-0. a

1

0 conjunto das funcoes reais definidas no intervale

[

-a.

a

1

que possuem derivad as continuas no

in tervale . Sejarn ainda os subc onj untos V1 = { j(x) E C 1

[-n. oj Ij(-x) =f(x ),

"I

x

E [- a,

a

D

e

V2

=

{f(x) E C

I

[-a, a) I!(-x) = - j(x),

"I

x

E

[

-

a,

a

J}

.

a) Mestre que

c

1

l-«

,

oj

e

um espaco vetorial real.

h) Mestre que V1 e V2 sao subespacos de C1 [-a, a]. c) Mestre que VI

®

V.

=

Cl [-0, oj.

15. Seja V 0 espaco das matr izes 2 X 2 sobre R, e seja W 0 subespaco gerado

por

[

-4

I -5J

2

.

[

-

I

I

~

~

,

[

-5

2

.

;

7

J ,

[I

-

5

-7

I

J

Encontre uma base, e a dimensao de W.

16 . Seja P 0 conjunto de todos os polinornios (de qualquer grau) com coeficien­

tes reais. Existe uma base finita para este espaco? Encon tre urna "base" para

P

e justifique entao por que

P

e

conhecido como urn espayo de dirnensao infin ita.

17. a) Dada uma mat riz A de ordem 111 X n, voce pode considernr as m linhas

como vetores do R" e 0 subespaco

V

.

de

R

n , gerado par estes 111 vetores.

Da mesrna forma para a rnatriz

B,

linha reduzida

a

form a escada de A,

podemos considerar 0 subespaco W gerado pelos 111 vetore s, dados por

suas linh as. Observando que cada linha de B

e

obtida par corn binacao

linear das linhas de A e vice-versa (basta reverter as operaco es com as linhas) ,

justifique que V = IV.

b) Mostre, ainda, que as vetores dados pelas linhas nao nulas de uma rnatrlz­

-linha reduzida

a

forma escada sao LI.

18. Considere

°

subcs paco de R4 gerado pelos vetorc s v I =

(I

,

-I. 0, 0),

)12

=

(0,0, I, 1), l'3

=

(- 2, 2. I, 1) C 1'4 = (1, 0, 0, 0),

a) 0 vetor (2 , -3, 2, 2) E lVI, 1'2 ! 1'3, J'4 1? Justifique,

b) Exiba uma base para [ 1' 1, )12 , I'3. V4

J.

Qual

e

a dimensao?

132 ALGEBRA LINEAR

19. Considere 0 subespaco de R3 gerado pclos vetores 1'1

=

(I. 1,0) ,

v2 :o (0, -l, I) e 1'3 = (l, I, I). [1'1, "2 .1'3]

=

R3 ? Por que?

20. Use 0 exercicio 17 para exlbir uma base para 0 subespaco S, definido no

Exercicio

6

.

Qual

e

a dimensac de

S?

21. Considere 0 sistema linear

2 \" 1 ... 4X2 -

6x

3 = a

(§)

x,

-

X2 '" 4X3

=

b

{ _{6."1:2 - 14X3 = c}

Seja W

=

{(XI' X2, X3) E R3: (XI. X2' X3 )

e

solucao de (§)}. Isto

e,

Jl!

e

0

conjunro-solucao do sistema .

a) Que co ndicocs devernos impor a a. b e e para que W seja subespaco ve­

torial de R3'!

b) Nas condic oes det erminadas em a) encontre uma base pam W.

c) Que relacao existe entre a dimensao de W C 0 grau de Iiberdade do siste­

ma'? Seria este resultado valido para quaisquer sistemas homog encos?

:22. Seja U 0 subespaco de R J. gerado por (I. O. 0) e IV 0 subespaco de R3, ge­

rado par (I . 1,0) e (0. I. I). Mestre que R3 _{= U<±)W.}

23 Demonstr e 0 teorema 4.3.5 , isto e, rnostre que. dados u = WI -t W2 E

E

W,

+

IV2 e v =

w'.

+

w;

E WI

+

W

2 (onde WI .

w;

E WI e W2,

w;

E Hl₂

L

entao u ... v E WI

+ W2

e ku E W• ... W2 para todo k E R.

24

. M

ostre que. se

V

= WI

CD W

2 e 0: = {VI, .... Vk}

e

a base de 11'..

{3 = {W I. ..., wr} C a base de 11'2 entno 'Y

=

{V I . .. .. vk .

w

"

.

."

w

,}

e

base de V.

Mostre com urn exernplo que 0 resultado nao continua verdad eiro se 3 soma

de subespacos nao for uma soma direta.

25. Sejam IV 1 { (x, y. z. t)

I

E

R4

_I

X ... y = 0 e z - t = O} e :0 W2 :0 {(x , y. Z, r) E R4

I x -

y - Z ... ( =

o

j

R4 subespacos de • u) Determine W,

n

IV 2. b) Exiba uma base para 11',

n

W2 • c) Dete rmine WI ... W1 .

d) IV I -t IV2

e

soma diret a? Justifiqu c,

R4?

Espaco Vctori nl

26. Sejurn WI

~

{

[

:

J.

a

~

de

b=

C

}

W1

=

{

[

:.

a

=

Ceb~d

}

IJ ) Determine

win

IV2 e exiba uma base.

) Determin e WI

+

1V 2•

E

soma d

ireta

?

WI

+

W. =

I

H (

2

,2).

27. £1) Dado 0 subespaco V.

=

{Cx. y. z) E RJ I x

+

2y

+

z = O} ache 11 111

subcspaco II . tal que R3 = VI

@

V2•

b

Dc

cxernplos de dois subespacos de dimensao dois de

R

3

_ta

_is

_que

VI j. V₂ = RJ . A

so

ma

c

diretu?

28. llustre

com

um exernplo a proposicao: "Se

U

e IV

sao

subespacos de um

esp:l~o vetorial V que tern dimensao finita. entao:

dim (U + 111) = dim U

+

di

m

IV -

dim (U

n

IV)."

29. Sejam (l

=

{(I, 0) , (0 , J)},

fJ.

= {(-I , I), ( I . I)J.

fJ

2

=

{(v'3. I), (y'J:" -III

e

fJ3

=

(2, 0),

(0

.

2)} bases ordenadas de R2.

a)

Ache as rnatrizcs de rnudaca de base:

i)

lJ

~

I

ii)

I

/

~

I iii )

[1]

~

2

iv)

1

1~

3

b) Quais sao as coordenadas do vetor v

=

(3. -2) em relacao

a

base:

i) (3 ii )

fJ

.

iii) (32 iv)

fl

.

c) As coordenadas de urn vetor v em relacao

a

base

fJ

.

sao dadas por

I

vJfJ l

=

[~]

Quais sao as coorden adas de v em relacao :i base:

i)

fJ

ii)

fJ

2

iii) {3 3 30. Se I

I

I

I

0

]

(

I\

~

=

0 -) I I

a

-I ache

134 ALGEBRA LINEAR

31. Se (3'

e

ob tida de (3, a base canonica de R 2, pela rotaca o por urn angulo

_

!!...

ache

3 '

a)

[l~

'

b)

[

l~

,

32. Sejam (31

=

{(I, 0), (0, 2)}, (32

=

{(-I, 0), (I, In e {3J

=

{(- I, -I), (0, -I)}

tres

bases

orde

nadas

de

R

2_•

a) Ache

i)

[

l~~

ii)

[

J~

~

iii)

[l~

:

iv)

[J~~

•

ll~~

b)

Se

for po

ssiveI

,

de uma

r

elacao

en tre

estas

matrizes de

rnudanca

de base.

33. Seja V 0 espaco vetorial de matri zes 2 X 2 triangulares superiores. Sejam

p

~ {

[~

~

l [

~ ~

l[~

~

J}

e

p

,

~

W

~

l [

~ ~

J.[

~

:

J}

duas bases de V. Ache

[J

~ I

34. Volte a 4.7 .2 e mostre efetivamente que

(IJ~')-I

=

[J~

,

35. Se 0:

e

base de urn espaco vetorial, qual

e

a matriz de rnudanca de base