CÁLCULO I. Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição.

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Aula no _{24: A Integral de Riemann}

Objetivos da Aula

• Denir a integral de Riemann;

• Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição.

1 O Problema da Área

O Problema da Área foi apresentado na aula introdutória do curso de cálculo, mas se faz necessário relembrarmos de algumas ideias importantes vistas nesse tema.

Problema 1. Como calcular a área da região limitada pela função y = 4, o eixo x e as retas x = 0 e x = 5? A região cuja área queremos calcular é a seguinte:

Como podemos notar, a região é um retângulo de base 5 e altura 4. Logo, sua área é dada por Área = Base × Altura = 5 × 4 = 20 unidades de área

Problema 2. Como calcular a área da região limitada pela função y = x, o eixo x e as retas x = 0 e x = 2?.

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A região cuja área queremos calcular é vista na gura abaixo:

Como é fácil ver, a região é um triângulo de base 2 e altura 2, logo, sua área é calculada por: Área = Base × Altura

2 =

2 × 2

2 = 2unidades de área

Quando as regiões são as guras planas cujas fórmulas de área são conhecidas, ca fácil determinar as suas medidas de área. Contudo, o próximo problema nos ensina um modo de determinar a área de regiões mais gerais, através da ferramenta matemática chamada INTEGRAL.

Problema 3. Como medir a área A delimitada pelo gráco da função f(x) = x2_{, o eixo x e as retas x = 0}

e x = 1? A região cuja área queremos calcular é a seguinte:

Vamos adotar a seguinte estratégia para resolver este problema:

1. Vamos dividir o intervalo [0, 1] em 4 subintervalos, cujo comprimento será: ∆x = 1 − 0

4 =

1 4 Teremos, então, os seguintes subintervalos:

0,1 4 , 1 4, 1 2 , 1 2, 3 4 e 3 4, 1

2. Vamos construir quatro retângulos de base ∆x e altura igual ao valor de f(x) nas extremidades à esquerda dos subintervalos.

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Figura 1: Veja que: A = 1 4 · (0) 2₊1 4 · 1 4 2 +1 4 · 1 2 2 + 1 4· 3 4 2 = 7 32 = 0, 21875. Na gura 1 vemos que a área é maior que 0,21875:

A > 0, 21785 (1)

Podemos repetir esse procedimento com um número maior de retângulos. A gura 2 mostra o que acontece quando sob a região A construímos oito retângulos com a mesma largura.

Figura 2: Calculando a soma da área desses retângulos, temos que

A > 0, 2734375

Podemos obter estimativas melhores aumentando o número de retângulos. A tabela abaixo mostra os resultados de cálculos semelhantes ao anterior, utilizando o Geogebra para calcular as áreas.

n An 10 0,2850000 20 0,3087500 30 0,3168519 50 0,3234000 100 0,3283500 1000 0,3328335

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Logo, utilizando os resultados obtidos na tabela acima, é possível conjecturarmos que a área é 1 3.

Observação 1. Podemos substituir os extremos à esquerda pelos extremos à direita dos subintervalos no procedimento realizado acima e obteremos o mesmo resultado.

2 Integral de Riemann

Consideremos uma função não negativa y = f(x) denida em um intervalo [a, b]. Chamamos de uma partição do intervalo [a, b] ao conjunto de pontos x0, x1, ..., xn∈ [a, b] tais que

a := x0< x1 < x2 < ... < xn−1< xn:= b

a gura abaixo ilustra essa denição

Agora, note que os pontos da partição dividem o intervalo [a, b] em n subintervalos fechados I1 = [x0, x1], I2= [x1, x2], ..., In−1= [xn−2, xn−1], In= [xn−1, xn]

como mostra a gura abaixo:

com os seus respectivos comprimentos ∆x1, ∆x2, ..., ∆xn dados por:

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Dessa forma, escolheremos em cada subintervalo um ponto λ1∈ I1, λ2 ∈ I2, ... , λn∈ In

e traçamos o valor de f(λi), para cada i = 1, ..., n, assim como na gura seguinte

Dessa forma, construiremos n retângulos cujas bases são o comprimento ∆xi de cada subintervalo e a

altura é o valor de f(λ1), para todo i = 1, 2, ..., n, como ilustrado abaixo:

A soma da área desses retângulos é dada por

Sn= f (λ1)∆x1+ f (λ2)∆x2+ ... + f (λn)∆xn= n

X

i=1

f (λi)∆xi

A soma Sn é chamada Soma de Riemann, para cada n, e é apenas uma aproximação para a área da

região que queremos. Logo, fazendo n → +∞, estaremos subdividindo o intervalo [a, b] cada vez mais e, como mostrado anteriormente, conseguimos uma aproximação melhor para a área da região desejada. Logo, a área A que queremos calcular é dada por

A = lim n→+∞An=n→+∞lim n X i=1 f (λi)∆xi (2)

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O número A é o limite das somas de Riemann e é chamado integral de Riemann da função f sobre o intervalo [a, b]. Em nossos cálculos, esse limite será representado pelo símbolo:

A = Z b a f (x) dx = lim n→+∞ n X i=1 f (λi)∆xi

Se o limite à direita existir para todo x ∈ [a, b], e independente da escolha de λ1, ..., λn, dizemos que

a função f é integrável em [a, b]. Essa denição nos propõe um problema: o de saber quando o limite das somas de Riemann existe. Como essa é uma questão delicada e foge do objetivo de um curso de cálculo, enunciaremos e utilizaremos o seguinte resultado:

Teorema 1. Toda função contínua em um intervalo fechado [a, b] é integrável neste intervalo.

Nos seguintes exemplos, onde buscamos apenas exemplicar, com alguns cálculos, a integral de funções contínuas em um intervalo [a, b] utilizando a denição, admitiremos que os comprimentos dos subintervalos são xos, ou seja,

∆x1 = ∆x2 = ... = ∆xn= ∆x =

b − a n

e escolheremos o ponto λi como sendo o extremo esquerdo da partição. Desse modo, podemos sintetizar o

procedimento para calcular a integral de uma função contínua f, não negativa, em um intervalo [a, b], da seguinte forma:

(1) Dividi-se o intervalo [a, b] em n subintervalos Ii,i = 1, ..., n, todos de comprimento igual a ∆x =

b − a n . Sejam a = x0 < x1< x2 < ... < xn−1< xn= b, os pontos que dividem o intervalo.

(2) Em cada um destes subintervalos escolhemos um ponto λi como sendo o extremo esquerdo de cada

subintervalo Ii

(3) Formamos então n retângulos com base ∆x e altura f(λi), i = 1, 2, 3, ..., n.

(4) Calculamos a soma Sndas áreas dos retângulos:

Sn= f (λ1).∆x + f (λ2).∆x + ... + f (λn).∆x = n

X

i=1

f (λi).∆x.

(5) Calculamos o limite lim

n→+∞Sn

Antes de fazermos os exemplos, vamos listar algumas propriedades que envolvem somatórios: Proposição 1. Sejam c, x1, ..., xn, y1, ..., yn∈ R. Então, valem as seguintes propriedades:

(i) n X i=1 cxi= c n X i=1 xi (ii) n X i=1 (xi+ yi) = n X i=1 xi+ n X i=1 yi

Demonstração (a) De fato, note que

n X i=1 cxi = cx1+ cx2+ ... + cxn−1+ cxn = c (x1+ x2+ ... + xn−1+ xn) = c n X i=1 xi !

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(b) Observe que n X i=1 (xi+ yi) = (x1+ y1) + (x2+ y2) + ... + (xn−1+ yn−1) + (xn+ yn) = (x1+ x2+ ... + xn−1+ xn) + (y1+ y2+ ... + yn−1+ yn) = n X i=1 xi ! + n X i=1 yi ! Nos próximos exemplos também utilizaremos algumas fórmulas que serão apenas apresentadas, pois suas demonstrações fogem do objetivo do nosso curso. Elas são

n X i=1 i = n(n + 1) 2 (3) n X i=1 i2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 (4) n X i=1 i3 = n(n + 1) 2 2 (5) Vejamos alguns exemplos de cálculo de integral pela denição.

Exemplo 1. Calcule Z 7

3

c dx, em que c ∈ R.

Solução: Primeiramente, calculamos a soma de Riemann da função no intervalo descrito, que é dada por

n X i=1 f (λi) 7 − 3 n = n X i=1 c 4 n = c4 n n X i=1 1 Agora note que

n X i=1 1 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 | {z } n vezes = n Então, n X i=1 f (λi) 7 − 3 n = 4c n n = 4c Portanto, Z 7 3 c dx = lim n→+∞4c = 4c Exemplo 2. Calcule Z 3 1 x dx.

Solução: Primeiramente, dividiremos o intervalo [1, 3] em n subintervalos de comprimentos iguais, ou seja, ∆x = 2

n. Logo, temos que

x0 = 1, x1 = 1 + ∆x, x2 = 1 + 2∆x, ..., xn−1= 1 + (n − 1)∆x, xn= 3

Logo, como λi= xi−1, i = 1, ..., n, temos que

λ1 = 1, λ2 = 1 +

2

n, ..., λn= 1 + (n − 1) 2 n

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Logo, as somas de Riemann são dadas por n X i=1 f (λi)∆x = n X i=1 λi 2 n = 2 n n X i=1 λi = 2 n 1 + 1 + 2 n+ 1 + 2 2 n+ ... + 1 + (n − 1) 2 n = 2 n n + 2 n+ 2. 2 n+ 3. 2 n+ ... + (n − 1) 2 n = 2 + 2 n 2 n+ 2. 2 n+ 3. 2 n+ ... + (n − 1) 2 n = 2 + 4 n2(1 + 2 + 3 + ... + (n − 1))

Pela fórmula (3), temos que

1 + 2 + ... + n = n(n + 1) 2 = n2 2 + n 2 Logo, 1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) = n 2 2 + n 2 − n = n2 2 − n 2 = n(n − 1) 2 Logo, temos que

n X i=1 f (λi)∆x = 2 + 4 n2 (1 + 2 + 3 + ... + (n − 1)) = 2 + 4 n2 n(n − 1) 2 = 2 +2(n − 1) n Calculando o limite da soma de Riemann, temos que

lim n→+∞2 + 2(n − 1) n = n→+∞lim 2 + 2 limn→+∞ n − 1 n = 2 + 2 lim n→+∞ 1 − 1 n = 2 + 2 = 4 Exemplo 3. Calcule Z 1 0 x2dx.

Solução: Utilizando o procedimento prático, dividimos o intervalo [0, 1] em n subintervalos de comprimento ∆x = 1 − 0

n =

1 n Note que essa partição é dada por:

x0 = 0, x1 = 0 + ∆x = ∆x, x2 = 0 + 2∆x = 2∆x ... ... ... xi = i∆x ... ... ... xn−1 = (n − 1)∆x xn = 1

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Como λi = xi−1, temos que λ1 = 0 λ2 = ∆x λ3 = 2∆x ... ... ... λi = (i − 1)∆x ... ... ... λn = (n − 1)∆x

Desse modo, as somas de Riemann são dadas por Sn = n X i=1 f (λi)∆x = ∆x n X i=1 f (λi) = ∆x 02+ 12(∆x)2+ 22(∆x)2+ 32(∆x)2+ ... + (n − 1)2(∆x)2 = (∆x)3 12+ 22+ 32+ ... + (n − 1)2

Agora, note que pela fórmula (4), temos que

12+ 22+ 32+ ... + (n − 1)2+ n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 = n3 3 + n2 2 + n 6 Logo, 12+ 22+ 32+ ... + (n − 1)2= n 3 3 + n2 2 + n 6 − n 2₌ n3 3 − n2 2 + n 6 = 2n3− 3n2_{+ n} 6 Desse modo, temos que

Sn= (∆x)3 2n3_{− 3n}2_{+ n} 6 = 2n3_{− 3n}2_{+ n} 6n3 Logo, lim n→+∞Sn = n→+∞lim 2n3_{− 3n}2_{+ n} 6n3 = lim n→+∞ n3 2 −_n3 +_n12 6n3 = 2 6 = 1 3 Por m, exibiremos uma lista de propriedades da integral de Riemann. Omitiremos a demonstração, por acreditar que foge ao objetivo de um curso de cálculo. São elas:

Teorema 2. Sejam f e g uma função contínua em [a, b] e c uma constante real. 1. Z a b f (x) dx = − Z b a f (x) dx 2. Z a a f (x) dx = 0 3. Z b a c dx = c(b − a)

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4. Z b a [f (x) + g(x)] dx = Z b a f (x) dx + Z b a g(x) dx 5. Z b a c.f (x) dx = c. Z b a f (x) dx 6. Z b a f (x) dx = Z c a f (x) dx + Z b c f (x) dx, com c ∈ (a, b)

7. Se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], então Z b a f (x) dx ≥ 0 8. Se f(x) ≥ g(x), entãoZ b a f (x) dx ≥ Z b a g(x) dx. Resumo

Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.

Aprofundando o conteúdo

Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 5.2 do livro texto.

Sugestão de exercícios