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(c) f(x, y) = x 2 + y 2. (3) Faça a correspondência entre a função dada e seu o gráfico. Justifique sua resposta.

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Academic year: 2021

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(1)

INSTITUTO DE CI ˆENCIAS EXATAS E BIOL ´OGICAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA Quarta Lista de Exerc´ıcios de C´alculo II - MTM123

Prof. J´ulio C´esar do Esp´ırito Santo (com colabora¸cao do prof. Thiago Morais) 11 de dezembro de 2013 - MET

(1) Determine o (maior) dom´ınio das fun¸c˜oes abaixo. Desenhe-o. (a) f (x, y) =√x + y. (b) g(x, y) = ln(9 − x2− 9y2). (c) h(x, y) =√1 − x2p 1 − y2. (d) j(x, y, z) =p4 − x2− y2− z2. Respostas:

(a) Dom(f ) = {(x, y)| y 6 −x}. (b) Dom(g) = {(x, y)| x2/9 + y2< 1}.

(c) Dom(h) = {(x, y)| − 1 6 x 6 1, −1 6 y 6 1}. (d) Dom(j) = {(x, y, z)| x2+ y2+ z2

> 4}. (2) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao:

(a) f (x, y) = 7.

(b) f (x, y) = 9 − x + 9y.

(c) f (x, y) =px2+ y2. (d) f (x, y, z) = z.

(3) Fa¸ca a correspondˆencia entre a fun¸c˜ao dada e seu o gr´afico. Justifique sua resposta. i) f (x, y) = |x| + |y|.

ii) f (x, y) = |xy|. iii) f (x, y) = 1+x12+y2.

iv) f (x, y) = (x2− y2)2. v) f (x, y) = (x − y)2 vi) f (x, y) = sin(|x| + |y|)

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 1. Figuras do exerc´ıcio 3

(2)

(4) Fa¸ca o mapa de contorno da fun¸c˜ao mostrando v´arias curvas de n´ıvel: (a) f (x, y) = (y − 2x)3. (b) f (x, y) = x − ln y. (c) f (x, y) = yex. (d) f (x, y) = y x2+ y2.

(5) Fa¸ca a correspondˆencia entre a fun¸c˜ao a) e seu gr´afico, b) e seus mapas de contorno. Justifique sua resposta

i) z = sin(xy). ii) z = excos y. iii) z = sin(x − y).

iv) z = sin x − sin y. v) z = (1 − x2)(1 − y2) vi) z = 1+xx−y2+y2

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(3)

(a) I (b) II

(c) III (d) IV

(e) V (f) VI

Figura 3. Curvas de n´ıvel do exerc´ıcio 5

(6) Descreva as superf´ıcies de n´ıvel da fun¸c˜ao f (x, y, z) = x2− y2+ z2. Resposta: hiperboloides de uma ou duas folhas cujo eixo ´e o eixo y. (7) Calcule os limites abaixo, se existir, ou demonstre que o limite n˜ao existe.

a) lim (x,y)→(5,−2)(x 5+ 4x2y2+ 3xy7) b) lim (x,y)→(1,2) 2 + xy 2x2+ 3y3 c) lim (x,y)→(0,0) xy cos y 3x2+ y2 d) (x,y)→(0,0)lim xy p x2+ y2 e) lim (x,y)→(0,0) x2+ y2 1 −px2+ y2+ 1 f ) (x,y,z)→(1,11,−2)lim (x5z + 4x2yz2+ 3y3− z) g) lim (x,y,z)→(3,0,1) e−xysinπz 2  h) lim (x,y)→(1,1) ex+ ey cos x + sin y i) lim (x,y)→(0,1) x4− (y − 1)4 x2− (y − 1)2 j) (x,y)→(0,0)lim (x − 1)43 − (y − 1) 4 3 (x − 1)23 − (y − 1)23 k) lim (x,y)→(1,1) (x − 1)43 − (y − 1)43 (x − 1)23 − (y − 1) 2 3 l) lim (x,y)→(0,0) x2− y2 x2+ y2 m) lim (x,y)→(0,0) x2 x2+ y2 n) (x,y)→(0,0)lim x9y (x6+ y2)2 o) lim (x,y)→(0,0) x2y + xy2 x2+ y2 p) (x,y)→(0,0)lim xy p x2+ y2 q) lim (x,y,z)→(π 3,1,π) sec xy + sec yz

y − sec z r) (x,y,z)→(0,0,0)lim

(ex+ ey+ ez)2 e2x+ e2y+ e2z

(4)

Respostas: a) 1605 b) 13 c) N˜ao existe d) 0 e) − 2 f ) 4169g) 1 i) 0 j) 2 k) 0 l) N˜ao existem) N˜ao existe n) N˜ao existe o) 0 p) 0 q) 1/2 r) 3 (8) Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da fun¸c˜ao:

(a) f (x, y) = (y − 2x)3. (b) f (x, y) = x − ln y. (c) f (x, y) = yex. (d) f (x, y) = y x2+ y2. (e) f (x, y) = 3x − 2y4. (f) f (x, y) = x5+ 4x2y2+ 3xy7. (g) z = xe2y. (h) z = (x − y)17. (i) f (x, y) = x − y x + y. (j) z = sin(xy) cos(x + y). (k) f (x, y, z) = xyz − 5x2y3z4.

(l) f (x, y, z) = ln(3x3+ 4y4+ 5z5). (m) u =px2

1+ x22+ x23.

Respostas:

a) fx= −6(y − 2x)2, fxx= 12(y − 2x), fy= 3(y − 2x)2, fyy = 6(y − 2x)2, fxy= fyx= −12(y − 2x) b) fx= 1, fxx= 0, fy = − 1 y, fyy = 1 y2, fxy= fyx= 0 c) fx= yex, fxx= yex, fy = ex, fyy = 0, fxy= fyx= ex d) fx= − 2xy (x2+ y2)2, fxx= − 2y(y2− 3x2) (x2+ y2)3 = −fyy, fy= x2− x2) (x2+ y2)2, fxy= fyx= − 2x(y2− 3x2) (x2+ y2)3 e) fx= 3, fxx= 0, fy= −8y3, fyy= −24y2, fxy= fyx= 0

f ) fx= 5x4+ 8xy2+ 3y7, fxx= 20x3+ 8y, fy= 8x2y + 21xy6, fyy = 8x2+ 126xy5, fxy= fyx= 16xy + 21y6

g) ∂z ∂x = e 2y, ∂2z ∂x2 = 0, ∂z ∂y = 2xe 2y, ∂2z ∂y2 = 4xe 2y, ∂2z ∂x∂y = 2e 2y h) fx= 2y (x + y)2, fxx= − 4y (x + y)3, fy= − 2x (x + y)2, fyy = − 4x (x + y)3, fxy = fyx= − 2(x − y) (x + y)3 i) ∂z ∂x = 17(x − y) 16, ∂ 2z ∂x2 = 272(x − y) 15, ∂z ∂y = −17(x − y) 16, ∂2z ∂y2 = 272(x − y) 15, ∂ 2z ∂x∂y = −272(x − y) 15 j) ∂z

∂x = y cos(xy) cos(x + y) − sin(xy) sin(x + y), ∂2z

∂x2 = −y 2

sin(xy) cos(x + y) − 2y cos(xy) sin(x + y) − sin(xy) cos(x + y), ∂z

∂y = x cos(xy) cos(x + y) − sin(xy) sin(x + y), ∂2z

∂y2 = −x

2sin(xy) cos(x + y) − 2x cos(xy) sin(x + y) − sin(xy) cos(x + y),

∂2z

∂x∂y = (cos(xy) − xy sin(xy)) cos(x + y) − x cos(xy) sin(x + y)− −y cos(xy) sin(x + y) − sin(xy) cos(x + y)

k) ∂f ∂x = yz − 10xy 3z4, ∂2f ∂x2 = −10y 3z4, ∂f ∂y = xz − 15x 2y2z4, ∂2f ∂y2 = −30x 2yz4, ∂f ∂z = xy − 20x 2y3z3,∂2f ∂z2 = −60x 2y3z2, ∂2f ∂x∂y = z − 30xy 2z4, ∂2f ∂x∂z = y − 40xy 3z3, ∂2f ∂y∂z = x − 60x 2y2z3

(5)

(9) Determine: a) fx(3, 4), onde f (x, y) = ln(x + p x2+ y2) b) f y(1, −1), onde f (x, y) = arctan(xy) c) fxy(2, 0, 1), onde f (x, y, z) = x x + y + z d) fx(−1, 1), onde f (x, y) = x 5 + 4x2y2+ 3xy7 e) zx(1, 1), onde z = xe2y f ) zxy(1, 1), onde z = xe2y g) fxxy(0, 1, 0), onde f (x, y, z) = xyz − 5x2y3z4 h) ux1(1, 0, 0), onde u =

q x2 1+ x 2 2+ x 2 3 Respostas: a) 1 5 b) 1 2 c) 1 27 d) 0 e) e2 f ) 2e2 g) 0 h) 1 (10) Determine (a) fz(π/2, π/2, π), onde f (x, y, z) = p

sin2x + sin2y + sin2z. (b) fxyz(1, 1, 1), onde f (x, y, z) = ln(3x3+ 4y4+ 5z5). Respostas: (a) − √ 2 2 . (b) 25 6. (11) Verifique se uxy= uyx.

(a) u = xy sin(2x + 3y). (b) u = ln(px2+ y2+ 1). (c) u = xyexy.

Respostas: Sim, sim, sim.

(12) Determine a equa¸c˜ao do plano tangente `a superf´ıcie no ponto especificado: (a) z = 4x2+ y2− 2y no ponto (1, 1, 3). (b) z = 4x2+ y2− 2y no ponto (1, −1, 7). (c) z = y ln(2x2) no ponto√2 2 , 1, 0  . (d) z = ex2+y2 no ponto √ 2 2 , √ 2 2 , e  Respostas: (a) z = 8x − 5. (b) z = 8x − 4y − 5. (c) z = 2x√2 − 2. (d) z = e(x + y)√2 − e. (13) Determine dz dt, onde: (a) z = x2y + xy2, x = 2 + t4, y = 1 − t3. (b) z = u2v + uv2, u = 2 + x4, v = 1 − x3, x = t + t2+ t3. (c) z = sin(x2) cos(y2), x = πt, y =t. (d) z = ln(x2+ y2+ z2), x =t, y = sinh t, z = cosh t. (e) z = arctan(x − y), x = t2, y = 1 − 2t.

Respostas:

(a) 4(2xy + y2)t3− 3(x2+ 2y)t2.

(b) 4(2uv + v2)x3(1 + 2t + 3t2) − 3(u2+ 2uv)x2(1 + 2t + 3t2). (c) 2πx cos(x2) cos(y2) −y tcos(x 2) cos(y2). (d) 1 x2+ y2+ z2  x √ 2+ 2y cosh(t) + 2z sinh(t)  . (e) 2t + 2 1 + (x − y)2 (14) Determine dz dt e dz ds, onde: (a) z = x2y + xy2, x = 2 + t2s2, y = s − t. (b) z = u2v + uv2, u = 2 + x4, v = 1 − x3, x = t + s2. (c) z = sin(θ) cos(φ), θ = πts, φ =√t + s. (d) z = ln(x2+ y2+ w2), x = st, y = ts, w = s2+ t2. (e) z = arctan(x − y), x = st2, y = ts2.

Respostas: a) dz dt = 4ts 2(s − t)(s2t2+ 2) − (s2t2+ 2)2 − 2(s − t)(s2t2+ 2) + 2s2t(s − t)2; dz ds = 4st 2(s − t)(s2t2+ 2) + (s2t2+ 2)2+ 2(s − t)(s2t2+ 2) + 2st2(s − t)2 b) dz dt = 4(1 − (s 2+ t)3)2(s2+ t)3+ 8(1 − (s2+ t)3)((s2+ t)4+ 2)(s2+ t)3

(6)

−3((s + t) + 2) (s + t) − 6(1 − (s + t) )((s + t) + 2)(s + t) ; dz ds = 8s(1 − (s 2+ t)3)2(s2+ t)3+ 16s(1 − (s2+ t)3)((s2+ t)4+ 2)(s2+ t)3 −6s((s2+ t)4+ 2)2(s2+ t)2− 12s(1 − (s2+ t)3)((s2+ t)4+ 2)(s2+ t)2 c) dz dt = πs cos(πst) cos( √ s + t) −sin(πst) sin( √ s + t) 2√s + t ; dz ds = πt cos(πst) cos( √ s + t) − sin(πst) sin( √ s + t) 2√s + t d) dz dt = 4t(s2+ t2) + s2+ 2st (s2+ t2)2+ s2t + st2; dz ds = 4s(s2+ t2) + 2st + t2 (s2+ t2)2+ s2t + st2 e) dz dt = − (s2− 2st (s2t − st2)2+ 1; dz ds = − 2st − t2 (s2t − st2)2+ 1

(15) Determine dz/dt em t = 3, onde z = f (x, y), x = g(t), y = h(t), g(3) = 2, h(3) = 7, g0(3) = 5, h0(3) = −4, fx(2, 7) = 6, fy(2, 7) = −8.

Resposta: 62 (16) Determine:

(a) dz/du, dz/dv, dz/dw; quando u = 2, v = 1, w = 0, onde z = x2+ xy3, x = uv2+ w3, y = u + vew.

(b) dz/du, dz/dv, dz/dw; quando u = 1, v = 2, w = 0, onde z =√r2+ s2, r = v + u cos(w), s = u + v sin(w).

(c) dR/dx, dR/dy; quando x = y = 1, onde R = ln(u2+ v2+ w2), u = x + 2y, v = 2x − y = −w. (d) dR/dx, dR/dy; quando x = 3, y = −1, onde R = uev−w2, u = x + 2y, v = x − y, w = x + y.

Respostas: a) zu(2, 1, 0) = 85, zv(2, 1, 0) = 178, zw(2, 1, 0) = 54 b) zu(1, 2, 0) = 2√10 5 , zv(1, 2, 0) = 3√10 10 , zw(1, 2, 0) = √ 10 5 c) Rx(1, 1) = 14 11, Ry(1, 1) = 8 11 d) Rx(3, −1) = −2, Ry(3, −1) = −3.

(17) Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na dire¸c˜ao indicada pelo ˆangulo entre o semi-eixo positivo x, θ: (a) f (x, y) = x2y3− y4, (2, 1), θ = π 4. (b) f (x, y) = ye−x, (0, 4), θ = 2π3 . (c) f (x, y) = x sin(xy), (2, 0), θ = π3. Respostas: (a) 6√2. (b) 2 + √ 3 2 . (c) 2.

(18) Em cada caso, determine o gradiente de f , o valor do gradiente no ponto P e a taxa de varia¸c˜ao de f em P na dire¸c˜ao do vetor (unit´ario) u.

(a) f (x, y) = y ln x, P = (1, −3), u = −45,35. (b) f (x, y, z) = xe2yz, P = (3, 0, 2), u = 2 3, − 2 3, 1 3. (c) f (x, y, z) =√x + yz, P = (1, 3, 1), u = 27,37,67. Respostas: a) y x, ln x  ; (−3, 0); 12 5 b) e2yz(1, 2xz, 2xy) ; (1, 12, 0); 38 7 c) 1 2√x + yz(1, z, y) ; 1 4(1, 1, 3); 23 28

(19) Determine a derivada direcional da fun¸c˜ao no ponto P dado na dire¸c˜ao do vetor v. (a) f (x, y) = 1 + 2x√y, P = (3, 4), v = (4, −3). (b) f (x, y) = ln(x2+ y2), P = (2, 1), v = (−1, 2). (c) f (x, y, z) =√xyz, P = (3, 2, 6), v = −i − 2j + 2k. (d) f (x, y, z) = xey+ yez+ zex, P = (0, 0, 0), v = 5i + j − 2k. (e) f (x, y, z) = (x + 2y + 3z)32, P = (1, 1, 2), v = 2j − k. Respostas: (a) 2310. (b) 0. (c) −1. (d) 2 √ 30 15 . (e) 9√5 10 . (20) Determine a taxa de varia¸c˜ao m´axima de f no ponto P dado e a dire¸c˜ao em que isso ocorre.

(7)

(b) f (x, y) = ln(x2+ y2), P = (1, 1). (c) f (x, y) = sin(xy), P = (1, 0). (d) f (x, y, z) = tan(x + y + z), P = (−5, 1, 1). Respostas: (a) √2; u = (1, 1). (b) √2; u = (1, 1). (c) 1; u = (0, 1). (d) √14; u = (1, 2, 3).

(21) Determine todos os pontos nos quais a dire¸c˜ao de maior varia¸c˜ao da fun¸c˜ao f (x, y) = x2+ y2− 2x − 4y ´e i + j.

Resposta: Em todos os pontos da reta x − y + 1 = 0

(22) Determine os valores m´aximos e m´ınimos locais e pontos de sela da fun¸c˜ao: (a) f (x, y) = 9 − 2x + 4y − x2− 4y2; (b) f (x, y) = xy − 2x − y; (c) f (x, y) = excos(y); (d) f (x, y) = (x2+ y2)ey2−x2; Respostas: a) M´ax:  −1,1 2  b) Sela: (1, 2) c) Nenhum d) M´ın:(0, 0); Sela: (1, 0) e (−1, 0)

(23) Determine a menor distˆancia entre o ponto (2, −1, 1) e o plano x + y − z = 1. Resposta: √3

(24) Determine os pontos da superf´ıcie de equa¸c˜ao z2 = x2+ y2 que est˜ao mais pr´oximos do ponto (4, 2, 0).

Resposta: (2, 1,√5) e (2, 1, −√5)

(25) Uma caixa de papel˜ao sem tampa deve ter um volume de 32000cm3. Determine as dimens˜oes que minimizem a quantidade de papel˜ao utilizado.

Resposta: Largura: 40cm; Comprimento: 40cm; Altura: 20cm

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