Sistemas dinâmicos lineares por partes (em infinitas zonas) : estabilidade estrutural e assintótica

MAYARA DUARTE DE ARAUJO CALDAS

SISTEMAS DINÂMICOS LINEARES POR

PARTES (EM INFINITAS ZONAS):

ESTABILIDADE ESTRUTURAL E

ASSINTÓTICA

CAMPINAS

2019

SISTEMAS DINÂMICOS LINEARES POR

PARTES (EM INFINITAS ZONAS):

ESTABILIDADE ESTRUTURAL E

ASSINTÓTICA

Dissertação apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estatística e Computação Cientí-ca da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a ob-tenção do título de Mestra em Matemática.

Orientador: RICARDO MIRANDA MARTINS

Este trabalho corresponde à versão nal da Dissertação defendida pela aluna Mayara Duarte de Araujo Caldas e orientada pelo Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins.

CAMPINAS

2019

Caldas, Mayara Duarte de Araujo,

C126s CalSistemas dinâmicos lineares por partes (em infinitas zonas) : estabilidade estrutural e assintótica / Mayara Duarte de Araujo Caldas. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

CalOrientador: Ricardo Miranda Martins.

CalDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Cal1. Sistemas lineares por partes. 2. Singularidades (Matemática). 3. Estabilidade estrutural. I. Martins, Ricardo Miranda, 1983-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Linear dynamical systems piecewise (in infinite zones) : structural

and asymptotic stability

Palavras-chave em inglês:

Piecewise linear systems Singularities (Mathematics) Structural stability

Área de concentração: Matemática Titulação: Mestra em Matemática Banca examinadora:

Ricardo Miranda Martins Iris de Oliveira Zeli Kamila da Silva Andrade

Data de defesa: 15-03-2019

Programa de Pós-Graduação: Matemática

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a) - ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-9112-0192

- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/0685513886290359

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). RICARDO MIRANDA MARTINS

Prof(a). Dr(a). IRIS DE OLIVEIRA ZELI

Prof(a). Dr(a). KAMILA DA SILVA ANDRADE

A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, agradeço a Deus pela minha vida, pelo seu amor e por sempre estar ao meu lado me guiando.

Aos meus pais, Acácia e Francisco, agradeço de coração por todo amor, por me permitirem fazer parte de uma família excepcional, pelos ensinamentos ao longo da vida, por todo o cuidado até hoje, por me tornarem a pessoa que sou, por sempre me incentivarem e acreditarem no meu potencial. Sem eles, nada disso seria possível.

À minha irmã, Letícia, sou grata por me tornar a irmã mais velha de uma pessoa maravilhosa, por me permitir cuidar dela, mesmo sendo muitas vezes ela que cuida de mim, por me ensinar várias coisas, pelas artes feitas em casa e por fazer minha vida mais alegre.

Aos demais familiares, agradeço pelo amor e carinho, pelas boas risadas e conversas em volta da mesa, pelo apoio e incentivo ao longo desta jornada.

De forma especial, sou grata ao meu orientador Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins, pela conança depositada no meu trabalho, por todos os conhecimentos trans-feridos nesses anos, pela paciência e disposição em me ajudar no desenvolvimento deste trabalho.

Agradeço a todos os professores, de todos os níveis, por me darem a base necessária para fazer um bom trabalho. Em especial ao Prof. Dr. Yuri Bozhkov, pelos ensinamentos no período em que fui PAD de Cálculo I das suas turmas.

Aos meus amigos da Unicamp e de fora dela, agradeço pela amizade, pelo carinho, pelas boas conversas, pelas risadas e por toda ajuda nesse caminho.

Reservo um agradecimento especial ao Alfredo Vitorino, por todo carinho, companheirismo, compreensão, incentivo e ajuda no decorrer desta jornada, por tornar o caminho mais leve e alegre.

A todos os funcionários da Unicamp, em especial do IMECC, pelo excelente trabalho e por sempre estarem dispostos a ajudar.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoa-mento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de FinanciaAperfeiçoa-mento 001 e também da Fundação de Amparo e Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), processo 2016/21975-8.

foram conquistadas do que parecia impossível. Charles Chaplin

Neste trabalho estudamos sistemas dinâmicos suaves por partes, dando ênfase a uma classe de sistemas que são lineares em innitas zonas do plano, com o objetivo de analisar a estabilidade assintótica de um ponto singular e a estabilidade estrutural de campos vetoriais dentro dessa classe.

No primeiro caso, consideramos as zonas como sendo quadrados abertos de área unitária e denimos em cada quadrado um campo linear homogêneo, denindo no plano um campo vetorial descontínuo. Para este campo, estabelecemos condições sucientes para que a origem seja globalmente assintoticamente estável.

No segundo caso, consideramos a divisão do plano em uma malha retangular não uniforme e denimos um campo vetorial polinomial que, quando restrito ao interior de cada zona, é linear e não-homogêneo. Para esta classe de campos descontínuos, esta-belecemos condições sucientes para que o campo seja estruturalmente estável.

Palavras-chave: Equações Diferenciais Suaves por Partes. Estabilidade Assintótica. Es-tabilidade Estrutural.

ABSTRACT

In this work we study piecewise smooth dynamical systems, in particular a class of planar systems with innitely many zones, to obtain some results on the asymptotic stability of a singular point and the structural stability of vector elds in this class of dynamical systems.

In the rst case, we consider the zones as open unitary squares and we dene in each square a linear homogeneous vector eld, giving rise to a discontinuous vector eld. We establish sucient conditions such that the origin is globally asymptotic stable, for this class of dynamical systems.

In the second case, we consider the plane divided into a non-uniform rectan-gular mesh and we dene a polynomial vector eld that is linear and non-homogeneous in each retangle. We study the structural stability for this class of vector elds.

Keywords: Piecewise Smooth Dierential Equations. Structural Stability. Asymptotic Stability.

Introdução 13

1 Preliminares 15

1.1 Sistemas de Filippov . . . 15

1.1.1 Órbitas e Singularidades . . . 15

1.1.2 Separatrizes, Órbitas Periódicas e Ciclos . . . 27

1.1.3 Equivalência Topológica . . . 30

1.2 Estabilidade Estrutural em Sistemas de Filippov . . . 33

1.3 Regularização Teixeira-Sotomayor . . . 37

1.4 Estabilidade Segundo Lyapunov . . . 39

1.5 O Teorema de Poincaré-Bendixson . . . 41

1.6 Compacticação de Poincaré . . . 42

2 Estabilidade Assintótica 48 2.1 Apresentação do Resultado Principal . . . 48

2.2 A Extensão para R2_{\ S}00 _{. . . 50}

2.3 A Extensão para R2 _{. . . 52}

2.4 Exemplo das Extensões . . . 55

2.5 Prova do Resultado Principal . . . 62

3 Estabilidade Estrutural 68 3.1 Campos Vetoriais Lineares por Partes . . . 68

3.2 Singularidades e Órbitas Periódicas no Innito . . . 71

3.3 Conceitos Complementares . . . 79

INTRODUÇÃO

A Teoria dos Sistemas Dinâmicos Suaves por Partes é um assunto que tem recebido muita atenção nos últimos anos (veja por exemplo [13]). Enquanto os sistemas dinâmicos suaves (de classe Ck_{) já possuem uma teoria sólida desde a década de 60,}

incluindo resultados importantes sobre estabilidade estrutural (veja [14]), somente nas duas últimas décadas os sistemas dinâmicos suaves por partes foram estudados de um ponto de vista matemático.

Considerando as aplicações existentes, o estudo formal dos sistemas dinâmicos suaves por partes (ou descontínuos) começou com o caso dos sistemas planares lineares por partes, ou então no caso um pouco mais geral de sistemas planares polinomiais por partes, porém cuja descontinuidade estava sobre uma reta. Nesse sentido, os primeiros resultados sólidos sobre estabilidade estrutural e bifurcações podem ser encontrados em [7].

Paralelamente, alguns autores começaram a abordar situações mais gerais, como sistemas suaves por partes denidos em variedades, como podemos ver em [2], sistemas planares com duas linhas de descontinuidade ou sistemas tridimensionais des-contínuos sobre um ou mais planos, conforme [10]. Além disso, muita ênfase foi dada ao estudo da existência de ciclos limite para tais sistemas, devido à forte relação com a teoria de controle, como visto em [1].

Nesta dissertação, estudamos dois casos relevantes de sistemas suaves por par-tes. No primeiro caso, estudamos uma classe de sistemas suaves por partes, que são lineares no interior de innitos quadrados unitários no plano R2_{. Temos o campo denido em R}2

com exceção do conjunto dos pontos nas fronteiras dos quadrados, que denotamos por S, e estabelecemos condições para que a origem seja globalmente assintoticamente estável. No segundo caso, dividimos o plano em uma malha não uniforme (Γ, ∆) e denimos um campo vetorial polinomial que, restrito ao interior de cada zona da malha, é linear não-homogêneo. Denotamos por ΞΓ,∆o espaço de todos os campos desta forma e apresentamos

condições para que um campo em ΞΓ,∆ seja estruturalmente estável.

O estudo de sistemas suaves por partes cuja região de descontinuidade é uma malha, seja nita ou innita, introduz um complicador extra na teoria. A convenção de Filippov precisa ser aplicada várias vezes, e o procedimento de regularização (em particular a regularização de Sotomayor-Teixeira) não tem aplicação tão imediata.

Teorema A: Seja X um campo vetorial descontínuo Hurwitz em R2_{\ S, isto é, todos os}

autovalores da matriz jacobiana DF (x) têm parte real negativa em cada ponto x ∈ R2_,

com δ(X) < 0, onde δ(X) é o supremo da parte real dos autovalores das matrizes que denem o campo X no interior de cada quadrado de área unitária no plano. Então, a origem é globalmente assintoticamente estável para X.

Teorema B: Para o conjunto ΣΓ,∆ dos campos vetoriais que satisfazem as condições

apresentadas por Garcia e Sotomayor em [15] de (Γ, ∆)-singularidades, de (Γ, ∆)-órbitas periódicas e não possuem (Γ, ∆)-conexões de separatrizes, valem as seguintes armações:

1. ΣΓ,∆ é aberto em ΞΓ,∆,

2. ΣΓ,∆ é denso em ΞΓ,∆,

3. Todo X ∈ ΣΓ,∆ é estruturalmente estável.

O Teorema A se encontra em [11] e o Teorema B pode ser visto em [15] e na dissertação [8].

A estrutura desta dissertação é dada da seguinte forma. No Capítulo 1, exibi-mos as ferramentas necessárias para a demonstração dos teoremas acima. No Capítulo 2, descrevemos com detalhes um campo vetorial denido em R2_{\ S e apresentamos algumas}

denições e resultados importantes para a demonstração do Teorema A. Já no Capítulo 3, descrevemos os campos vetoriais pertencentes a ΞΓ,∆, estudamos as singularidades, órbitas

periódicas e conexões de separatrizes para estes campos, denimos quais são as condições mencionadas no Teorema B e apresentamos uma demonstração deste resultado.

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

Este capítulo tem como objetivo apresentar algumas noções e ferramentas que são importantes para o desenvolvimento deste trabalho.

Na primeira seção, estudamos Sistemas de Filippov, com base nas referências [5], [7] e [9]. O comportamento genérico local desses sistemas é abordado na segunda seção, na qual também estudamos a estabilidade estrutural destes sistemas. A terceira seção trata da regularização de campos vetoriais lineares por partes, desenvolvida por Teixeira e Sotomayor em [11] e [16]. Nas duas seções seguintes enunciamos o Teorema de Lyapunov e o Teorema de Poincaré-Bandixon, que podem ser vistos em [3] e [20]. Por m, na última seção exibimos a Compacticação de Poincaré para a qual [6] e [19] são boas referências.

1.1 Sistemas de Filippov

Nesta seção, abordamos os conceitos básicos em Sistemas Dinâmicos por Par-tes, também conhecidos por Sistemas de Filippov. O estudo da dinâmica nesses sistemas não pode ser determinado propriamente pela teoria clássica de sistemas dinâmicos suaves, por conta da existência de uma variedade de descontinuidade. Dessa forma, os concei-tos são adaptados com o intuito de manter as características importantes existentes em sistemas suaves.

Inicialmente, denimos trajetórias, órbitas e singularidades, exibindo alguns exemplos para uma melhor compreensão. Em seguida, trabalhamos com separatrizes, ór-bitas periódicas e ciclos. Por m, denimos equivalência topológica para esse tipo de sistema.

1.1.1 Órbitas e Singularidades

Sejam X e Y campos vetoriais suaves denidos em um subconjunto aberto e conexo U ⊂ R2 e, sem perda de generalidade, assuma que a origem pertença a U.

funções continuamente diferenciáveis de ordem r), para o qual 0 é valor regular. Então, a curva Σ = f−1_{(0) ∩ U é uma subvariedade de dimensão 1 e divide o aberto U em dois}

conjuntos abertos,

Σ+= {(x, y) ∈ U : f (x, y) > 0} e Σ− = {(x, y) ∈ U : f (x, y) < 0}.

Um Sistema Planar de Filippov é um campo vetorial suave por partes denido da seguinte forma:

Z(x, y) = (

X(x, y), (x, y) ∈ Σ+,

Y (x, y), (x, y) ∈ Σ−, (1.1.1) denotado por Z = (X, Y ), a m de identicar as componentes do campo. Além disso, assumiremos que X e Y são campos de classe Ckcom k > 1 em Σ+e Σ−, respectivamente,

onde Σ± denota o fecho de Σ±_.

Denotamos por Zk _{o espaço dos campos vetoriais desse tipo, que pode ser}

tomado como Zk _{= X}k _{× X}k_{, onde, por abuso de notação, X}k _{denota o conjunto dos}

campos vetoriais de classe Ck denidos em Σ+ e Σ−. Consideramos Zk com a topologia

produto Ck_.

Para estabelecer a dinâmica dada por um campo vetorial de Filippov Z = (X, Y ) em U, precisamos denir a trajetória local por um ponto p ∈ U, isto é, devemos denir o uxo ϕz(t, p) de (1.1.1). Se p ∈ Σ±, então a trajetória por p é dada pelos

campos X e Y de maneira usual. Porém, se p ∈ Σ, devemos ter mais cuidado ao denir a trajetória. A m de estender a denição de trajetória para Σ, dividiremos a subvariedade de descontinuidade Σ no fecho de três regiões disjuntas, dependendo para onde o campo vetorial aponta:

1. Região de Costura: Σc_{= {p ∈ Σ : Xf (p) · Y f (p) > 0}},

2. Região de Deslize: Σs_{= {p ∈ Σ : Xf (p) < 0, Y f (p) > 0},}

3. Região de Escape: Σe_{= {p ∈ Σ : Xf (p) > 0, Y f (p) < 0},}

onde Xf(p) = hX(p), ∇f(p)i e Y f(p) = hY (p), ∇f(p)i são as derivadas de Lie de f com respeito ao campo X em p e de f com respeito ao campo Y em p, respectivamente. Essas três regiões são abertos da topologia induzida em Σ e podem ter mais que uma componente conexa. A Figura 1.1 ilustra exemplos das três regiões.

Σc

(a) Região de Costura

Σs

(b) Região de Deslize

Σe

(c) Região de Escape

pontos de tangência, ou seja, os pontos p ∈ Σ para os quais Xf(p) = 0 ou Y f(p) = 0. Esses pontos estão nas fronteiras das regiões Σc_{, Σ}s _{e Σ}e_{, que serão denotadas por ∂Σ}c_,

∂Σs e ∂Σe, respectivamente.

Observe que, se X(p) = 0, então Xf(p) = 0, logo os pontos críticos de X em Σ também estão incluídos nos pontos de tangência. Agora, se X(p) 6= 0 e Xf(p) = 0, temos que a trajetória de X passando por p é, de fato, tangente à Σ.

Podemos distinguir os tipos de tangências entre um campo suave e uma va-riedade, dependendo do modo como se dá o contato entre a trajetória do campo e a variedade. A seguir, denimos dois tipos de tangências.

Denição 1.1.1. Um campo vetorial suave X possui uma dobra ou tangência quadrática com Σ = {(x, y) ∈ U : f(x, y) = 0} em um ponto p ∈ Σ se Xf(p) = 0 e X2_{f (p) 6= 0,}

sendo X2_{f (p) = hX(p), ∇Xf (p)i}.

Denição 1.1.2. Um campo vetorial suave X possui uma cúspide ou tangência cúbica com Σ = {(x, y) ∈ U : f(x, y) = 0} em um ponto p ∈ Σ se Xf(p) = X2_{f (p) = 0 e}

X3_{f (p) 6= 0}, sendo X3_{f (p) = hX(p), ∇X}2_{f (p)i}.

Vamos denir a trajetória passando por um ponto p em Σc, Σse Σe. Se p ∈ Σc,

os campos vetoriais X e Y apontam ambos para Σ+_{ou Σ}−_{e, portanto, é suciente justapor}

as trajetórias de X e Y que passam por p. Agora se p ∈ Σs _{∪ Σ}e_{, temos que os campos}

apontam para direções opostas, sendo assim, não podemos concatenar as trajetórias. Desse modo, a órbita local é dada pela convenção de Filippov. Denimos assim o campo vetorial deslizante

Zs(p) = 1

Y f (p) − Xf (p)(Y f (p)X(p) − Xf (p)Y (p)). (1.1.2) Observe que Zs representa a combinação linear convexa de X(p) e Y (p) de modo que

Zs(p) seja tangente à Σ, além disso, sua trajetórias estão contidas em Σs ou Σe. Sendo assim, a trajetória por p é a trajetória denida pelo campo vetorial deslizante em (1.1.2). A Figura 1.2 mostra um campo vetorial deslizante da forma Zs.

Σ X(p)

Y (p) p

Zs(p)

Observação 1.1.1. Recorde que o uxo ϕX(t, p)de um campo vetorial suave autônomo

X denido em um conjunto aberto U satisfaz    d dtϕX(t, p) = X(ϕX(t, p)), ϕX(0, p) = p (1.1.3) e está denido para t ∈ I ⊂ R, onde I = I(p, X) é um intervalo que depende do ponto p ∈ U e do campo X. Para facilitar a notação, deixaremos implícita a dependência do intervalo. Como estamos trabalhando com campos vetoriais autônomos, podemos escolher a origem no tempo t = 0.

Denição 1.1.3. A trajetória local (ou solução orbital) de um campo vetorial de Filippov da forma (1.1.1) por um ponto p é denida da seguinte forma:

1. Para p ∈ Σ+e p ∈ Σ−_{, tais que X(p) 6= 0 e Y (p) 6= 0, respectivamente, as trajetórias}

são dadas por ϕZ(t, p) = ϕX(t, p) e ϕZ(t, p) = ϕY(t, p), respectivamente, para t ∈

I ⊂ R.

2. Para p ∈ Σc, temos dois casos:

a) Se Xf(p), Yf(p) > 0e tomando a origem do tempo em p, a trajetória é denida

por

ϕZ(t, p) =

(

ϕX(t, p), t ∈ I ∩ {t ≥ 0},

ϕY(t, p), t ∈ I ∩ {t ≤ 0}.

b) Se Xf(p), Yf(p) < 0e tomando a origem do tempo em p, a trajetória é denida

por

ϕZ(t, p) =

(

ϕY(t, p), t ∈ I ∩ {t ≥ 0},

ϕX(t, p), t ∈ I ∩ {t ≤ 0}.

3. Para p ∈ Σs_{∪ Σ}e _{tal que Z}s_{(p) 6= 0 denimos ϕ}

Z(t, p) = ϕZs(t, p), para t ∈ I, onde

Zs _{é o campo vetorial deslizante denido em (1.1.2).}

4. Para p ∈ ∂Σc_{∪ ∂Σ}s_{∪ ∂Σ}e tal que as denições de trajetórias para pontos em Σ em

ambos os lados de p podem ser estendidas para p e coincidem, a trajetória por p é esta trajetória estendida. Neste caso, chamaremos p um ponto de tangência regular. 5. Para os pontos p que não se enquadram nos itens acima, denimos ϕZ(t, p) = p,

∀t ∈ R. Este é o caso dos pontos de tangência não regulares, chamados tangên-cias singulares, os pontos críticos de X e Y em Σ± _{e os pontos críticos do campo}

deslizante Zs em ∂Σs_{∪ ∂Σ}e.

Denição 1.1.4. A órbita local de um ponto p ∈ U é o conjunto γ(p) = {ϕZ(t, p) : t ∈ I}.

Como estamos tratando de sistemas autônomos, utilizaremos os termos órbita e trajetória indistintamente, quando não houver perigo de confusão.

dos sistemas dinâmicos suaves: cada ponto pertence a uma única órbita e o espaço de fase é decomposto como a união disjunta de todas as órbitas. Note que existe outra convenção sobre a estrutura das órbitas, veja [7].

Denição 1.1.5. Os pontos p ∈ Σs _{∪ Σ}e _{que satisfazem Z}s_{(p) = 0, isto é, os pontos}

críticos do campo vetorial deslizante, são chamados de pseudo-equilíbrios de Z ou equilí-brios singulares. Decorre da denição de Zs que, neste caso, X(p) e Y (p) são linearmente

dependentes.

Ainda mais, chamaremos de pseudonó estável qualquer ponto p ∈ Σs _{tal que}

Zs(p) = 0 e (Zs)0(p) < 0, de pseudonó instável qualquer ponto p ∈ Σe tal que Zs(p) = 0 e (Zs₎0_{(p) > 0 e de pseudo-sela qualquer ponto p ∈ Σ}s _{tal que Z}s_{(p) = 0 e (Z}s₎0_{(p) > 0 ou}

p ∈ Σe tal que Zs(p) = 0 e (Zs)0(p) < 0.

Denição 1.1.6. As singularidades do Sistema de Filippov (1.1.1) são:

1. p ∈ Σ± _{tal que p é um equilíbrio de X ou de Y , isto é, X(p) = 0 ou Y (p) = 0,}

2. p ∈ Σs_{∪ Σ}e _{tal que p é um pseudo-equilíbrio, isto é, Z}s_{(p) = 0,}

3. p ∈ ∂Σc_∪∂Σs_∪∂Σe_{, isto é, os pontos p tais que X}

f(p) = 0 ou Yf(p) = 0(tangências

singulares ou regulares).

Qualquer outro ponto é chamado de ponto regular.

Em sistemas dinâmicos suaves, as singularidades, sendo zeros de campos ve-toriais, correspondem a pontos críticos e, consequentemente, a trajetória passando por um desses pontos é somente o próprio ponto. Todavia, em sistemas de Filippov exis-tem singularidades (tangências regulares) cuja órbita γ(p) 6= {p}. Por essa circunstância, classicaremos as singularidades como:

1. Singularidade Distinguida: pontos p tais que γ(p) = {p}. Elas fazem o papel dos pontos críticos nos sistemas dinâmicos suaves.

2. Singularidade Não Distinguida: pontos p ∈ Σ que são pontos de tangência regu-lares e então, mesmo que eles não sejam pontos reguregu-lares, suas órbitas locais são homeomorfas a R.

Denição 1.1.7. Uma singularidade distinguida é um ponto p tal que γ(p) = {p} e pode ser classicada como:

1. um equilíbrio de X ou de Y , isto é, X(p) = 0 ou Y (p) = 0, respectivamente, para p ∈ Σ±;

2. um pseudo-equilíbrio, isto é, Zs_{(p) = 0, para p ∈ Σ}s_{∪ Σ}e_;

As componentes X e Y do campo vetorial de Filippov Z = (X, Y ) são de-nidas em vizinhanças abertas de Σ+ e Σ−, respectivamente. Então, como em campos

vetoriais suaves, X e Y podem possuir pontos críticos que não pertençam a Σ+ e Σ−,

respectivamente. Vamos nos referir a esses pontos críticos como pontos críticos não ad-missíveis, e aos pontos que são críticos do campo vetorial de Filippov nos referiremos por pontos críticos admissíveis. Analogamente, objetos invariantes (órbitas periódicas, varie-dades estáveis e instáveis) dos campos vetoriais X e Y que não pertencem a Σ+ e Σ−,

respectivamente, também serão chamados de não admissíveis. A Figura 1.3 mostra um exemplo de ponto crítico não admissível.

Σ Σ+

Σ− p

Figura 1.3: Exemplo de um ponto crítico não admissível de um Sistema de Filippov: X(p) = 0com p ∈ Σ−.

Mesmo que tenhamos escolhido a denição de órbita que nos garante unici-dade, um ponto p ∈ Σ pode pertencer ao fecho de muitas outras órbitas. Sendo assim, adotaremos a denição a seguir.

Denição 1.1.8. Dada uma trajetória ϕZ(t, q) ∈ Σ+ ∪ Σ− e um ponto p ∈ Σ, dizemos

que p é um ponto de partida de ϕZ(t, q)se existe t0 < 0 tal que lim t→t+₀

ϕz(t, q) = pe diremos

que é um ponto de chegada de ϕZ(t, q) se existe t0 > 0 tal que lim t→t−₀

ϕZ(t, q) = p.

De acordo com a Denição 1.1.3, se p ∈ Σc _{então p é um ponto de partida de}

ϕz(t, q) para qualquer q pertencente à órbita γ+(p) = {ϕz(t, p) : t ∈ I ∩ [0, ∞)} e é um

ponto de chegada de ϕz(t, q) para qualquer q pertencente à órbita γ−(p) = {ϕz(t, p) : t ∈

I ∩ (−∞, 0]}. Assim, a órbita por um ponto p ∈ Σc _{é a união do ponto com suas órbitas}

de partida e chegada, isto é, {p} ∪ γ+_{(p) ∪ γ}−_(p).

Exibimos agora alguns exemplos de pontos de tangência para ilustrar as de-nições dadas e as escolhas feitas nesta subseção. Considere U = R e f : R2

→ R dada por f (x, y) = y para os exemplos a seguir.

Z1(x, y) =            X1 = 1 x2 , y > 0, Y1 = 1 1 ! , y < 0. (1.1.4) Temos que X1f (x, 0) = hX1(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(1, x2), (0, 1)i = x2, X₁2f (x, 0) = hX1(x, 0), ∇X1f (x, 0)i = h(1, x2), (2x, 0)i = 2x, X₁3f (x, 0) = hX1(x, 0), ∇X12f (x, 0)i = h(1, x 2_{), (2, 0)i = 2.} Mais ainda, Y1f (x, 0) = hY1(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(1, 1), (0, 1)i = 1.

Desse modo, obtemos que X1f (x, 0) · Y1f (x, 0) = x2 = 0 se, e somente se,

x = 0. Então, o único ponto de tangência de Z1 é p = (0, 0) que é um ponto de cúspide de

X1 com Σ. Além do mais, X1f (x, 0) · Y1f (x, 0) > 0 se x 6= 0, logo, Σ \ {p} = Σce p ∈ ∂Σc.

A Figura 1.4 mostra o retrato de fase do campo Z1.

Σ Σ+

Σ− p

Figura 1.4: Retrato de fase do campo Z1.

Assim, de acordo com a Denição 1.1.3, a órbita passando por p é a união de suas órbitas de partida e chegada, como acontece com os pontos de Σc_.

Exemplo 1.1.2. Seja p = (0, 0) e Σ = {(x, 0) ∈ R2 _{: x ∈ R}. Considere}

Z2(x, y) =              X2 = 1 2x ! , y > 0, Y2 = 2 7x ! , y < 0. (1.1.5) Temos que X2f (x, 0) = hX2(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(1, 2x), (0, 1)i = 2x, X₂2f (x, 0) = hX2(x, 0), ∇X2f (x, 0)i = h(1, 2x), (2, 0)i = 2.

Mais ainda,

Y2f (x, 0) = hY2(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(2, 7x), (0, 1)i = 7x,

Y₂2f (x, 0) = hY2(x, 0), ∇Y2f (x, 0)i = h(2, 7x), (7, 0)i = 14.

Desse modo, obtemos que X2f (x, 0) · Y2f (x, 0) = 14x2 = 0 se, e somente se,

x = 0. Então, o único ponto de tangência de Z2 é p = (0, 0) que é um ponto de dobra de

X2 e Y2. Além do mais, X2f (x, 0) · Y2f (x, 0) > 0 se x 6= 0, logo, Σ \ {p} = Σc e p ∈ ∂Σc.

A Figura 1.5 mostra o retrato de fase do campo Z2.

Σ Σ+

Σ− p

Figura 1.5: Retrato de fase do campo Z2.

Assim, de acordo com a Denição 1.1.3, a trajetória passando por p é dada por ϕZ2(t, p) = ϕX2(t, p). Exemplo 1.1.3. Seja p = (0, 0) e Σ = {(x, 0) ∈ R2 : x ∈ R}. Considere Z3(x, y) =              X3 = 1 −x2 ! , y > 0, Y3 = 1 1 ! , y < 0. (1.1.6) Temos que X3f (x, 0) = hX3(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(1, −x2), (0, 1)i = −x2, X₃2f (x, 0) = hX3(x, 0), ∇X3f (x, 0)i = h(1, −x2), (−2x, 0)i = −2x, X₃3f (x, 0) = hX3(x, 0), ∇X32f (x, 0)i = h(1, −x 2_{), (−2, 0)i = −2.} Mais ainda, Y3f (x, 0) = hY3(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(1, 1), (0, 1)i = 1.

Desse modo, obtemos que X3f (x, 0) · Y3f (x, 0) = −x2 = 0 se, e somente se,

x = 0. Então, o único ponto de tangência de Z3 é p = (0, 0) que é um ponto de cúspide de

X3 com Σ. Mas, se x 6= 0, obtemos que X3f (x, 0) < 0 e Y3f (x, 0) > 0, logo, Σ \ {p} = Σs

e p ∈ ∂Σs_{. A Figura 1.6 mostra o retrato de fase do campo Z} 3.

Σ Σ+

Σ− p

Figura 1.6: Retrato de fase do campo Z3.

Assim, de acordo com a Denição 1.1.3, a trajetória passando por p é dada pelo campo vetorial deslizante de Z3, que é dado por

Z₃s(x, 0) = 1

1 + x2(1 · (1, −x

2_{) + x}2_{· (1, 1)) = (1, 0).}

Então, ϕZ3(t, p) = ϕZ3s(t, p) = (t, 0).

Exemplo 1.1.4. Seja p = (0, 0) e Σ = {(x, 0) ∈ R2 _{: x ∈ R}. Considere}

Z4(x, y) =              X4 = 1 2x ! , y > 0, Y4 = −2 −7x ! , y < 0. (1.1.7) Temos que X4f (x, 0) = hX4(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(1, 2x), (0, 1)i = 2x, X₄2f (x, 0) = hX4(x, 0), ∇X1f (x, 0)i = h(1, 2x), (2, 0)i = 2. Mais ainda, Y4f (x, 0) = hY4(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(−2, −7x), (0, 1)i = −7x,

Y₄2f (x, 0) = hY4(x, 0), ∇Y4f (x, 0)i = h(−2, −7x), (−7, 0)i = 14.

Desse modo, obtemos que X4f (x, 0) · Y4f (x, 0) = −14x2 = 0 se, e somente

se, x = 0. Então, o único ponto de tangência de Z4 é p = (0, 0) que é um ponto de

dobra de X4 e Y4. Além do mais, se x > 0 temos que X4f (x, 0) > 0 e Y4f (x, 0) < 0,

enquanto, se x < 0 temos que X4f (x, 0) < 0 e Y4f (x, 0) > 0. Logo, Σs = {(x, 0) : x > 0},

Σe _{= {(x, 0) : x < 0} e p ∈ ∂Σ}s_{∪ ∂Σ}e_{. A Figura 1.7 mostra o retrato de fase do campo}

Z4.

Assim, de acordo com a Denição 1.1.3, a trajetória passando por p é dada pela trajetória do campo vetorial deslizante de Z4, que é dado por

Z₄s(x, 0) = 1 −7x − 2x(−7x · (1, 2x) − 2x · (−2, −7x)) =  1 3, 0  . Então, ϕZ4(t, p) = ϕZ4s(t, p) = t 3, 0
.

Σ Σ+

Σ− p

Figura 1.7: Retrato de fase do campo Z4.

Os exemplos acima ilustram o fato de que pontos de tangência regulares, mesmo sendo singularidades, podem ser tomados como pontos regulares de Σ. Mostrare-mos a seguir alguns exemplos de tangência que são singularidades distinguidas, ou seja, suas órbitas são somente as próprias singularidades. O conjunto desses pontos pode ser classicado em três grupos.

O primeiro grupo dos pontos de tangência singular é formado por pontos em ∂Σc que não são pontos de partida nem de chegada de nenhuma trajetória, de modo que as órbitas em torno desses pontos comportam-se como um foco clássico.

Exemplo 1.1.5. Seja p = (0, 0) e Σ = {(x, 0) ∈ R2 _{: x ∈ R}. Considere}

Z5(x, y) =              X5 = 1 −2x ! , y > 0, Y5 = −1 −x + x2 ! , y < 0. (1.1.8) Temos que X5f (x, 0) = hX5(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(1, −2x), (0, 1)i = −2x, X₅2f (x, 0) = hX5(x, 0), ∇X5f (x, 0)i = h(1, −2x), (−2, 0)i = 2. Mais ainda, Y5f (x, 0) = hY5(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(−1, −x + x2), (0, 1)i = −x + x2,

Y₅2f (x, 0) = hY5(x, 0), ∇Y5f (x, 0)i = h(−1, −x + x2), (−1 + 2x, 0)i = 1 − 2x.

Desse modo, obtemos que p = (0, 0) é um ponto de dobra de X5 e Y5. Além

do mais, se x ∈ (0, 1) temos que X5f (x, 0) < 0 e Y5f (x, 0) < 0, enquanto, se x ∈ (−1, 0)

temos que X5f (x, 0) > 0 e Y5f (x, 0) > 0. Logo, ao redor do ponto p temos uma região de

costura. A Figura 1.8 mostra o retrato de fase do campo Z5.

As trajetórias de Z5 espiralam em torno do ponto p, como ocorre em um foco

Σ Σ+

Σ− p

Figura 1.8: Retrato de fase do campo Z5.

O próximo exemplo representa o segundo grupo, formado por pontos de tan-gência singulares que pertencem a ∂Σc_{∩ ∂Σ}s _{ou a ∂Σ}c_{∩ ∂Σ}e_.

Exemplo 1.1.6. Seja p = (0, 0) e Σ = {(x, 0) ∈ R2 _{: x ∈ R}. Considere}

Z₆±(x, y) =              X₆±= ±1 x ! , y > 0, Y6 = 0 1 ! , y < 0. (1.1.9) Temos que X₆±f (x, 0) = hX₆±(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(±1, x), (0, 1)i = x, (X₆±)2f (x, 0) = hX₆±(x, 0), ∇X₆±f (x, 0)i = h(±1, x), (1, 0)i = ±1. Mais ainda, Y6f (x, 0) = hY6(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(0, 1), (0, 1)i = 1.

Desse modo, obtemos que p = (0, 0) é um ponto de dobra de X±

6 em Σ. Além

do mais, se x > 0 temos que X±

6 f (x, 0) > 0 e Y6f (x, 0) > 0, enquanto, se x < 0 temos

que X±

6 f (x, 0) < 0 e Y6f (x, 0) > 0. Logo, Σc = {(x, 0) : x > 0}, Σs = {(x, 0) : x < 0} e

p ∈ ∂Σc_{∩ ∂Σ}s_{. A Figura 1.9 mostra os retratos de fase do campos Z}+ 6 e Z

− 6 .

Assim, de acordo com a Denição 1.1.3, a trajetória passando por p é dada pelo campo vetorial deslizante de Z±

6 que é dado por

Z₆s(x, 0) = 1 1 − x(1 · (±1, x) − x · (0, 1)) =  ± 1 1 − x, 0  . Então, ϕZ₆±(t, p) = ϕZs 4(t, p) = t 3, 0
.

Dessa maneira, para os pontos de Σ à esquerda de p suas órbitas são dadas pelo campo vetorial deslizante Zs

6 e para os pontos à direita de p as órbitas são dadas

pelas órbitas de chegada e partida do ponto, que são as trajetórias de X±

6 e Y6, dado

que esse ponto pertence a Σc_{. Portanto, a denição de órbitas em ambos os lados de p}

não coincidem, resultando que p é uma tangência singular para ambos os campos Z+ 6

e Z−

6. Note que, invertendo a orientação do campo vetorial Y6, caímos no caso em que

Σ Σ+ Σ− p Σ Σ+ Σ− p

Figura 1.9: Retratos de fase dos campos Z+ 6 e Z

− 6 .

O terceiro grupo é formado por pontos de tangência singulares em ∂Σc_{que são}

pontos de partida e de chegada de duas trajetórias diferentes de X e Y . Como diferentes trajetórias de X e Y partem (ou chegam) deste ponto, não temos unicidade de solução. Sendo assim, a única escolha que pode ser feita para manter a unicidade é considerar o próprio ponto como sua órbita.

Exemplo 1.1.7. Seja p = (0, 0) e Σ = {(x, 0) ∈ R2 _{: x ∈ R}. Considere}

Z7(x, y) =              X7 = 1 x ! , y > 0, Y7 = −1 x ! , y < 0. (1.1.10) Temos que X7f (x, 0) = hX7(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(1, x), (0, 1)i = x, X₇2f (x, 0) = hX7(x, 0), ∇X7f (x, 0)i = h(1, x), (1, 0)i = 1. Mais ainda, Y7f (x, 0) = hY7(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(−1, x), (0, 1)i = x,

Y₇2f (x, 0) = hY7(x, 0), ∇Y7f (x, 0)i = h(−1, x), (1, 0)i = −1.

Desse modo, obtemos que X7f (x, 0) · Y7f (x, 0) = x2 = 0 se, e somente se,

x = 0. Então, o único ponto de tangência de Z2 é p = (0, 0) que é um ponto de dobra

visível de X7 e Y7. Além do mais, X7f (x, 0) · Y7f (x, 0) > 0 se x 6= 0, logo, Σ \ {p} = Σc e

p ∈ ∂Σc. A Figura 1.10 mostra o retrato de fase do campo Z7.

Assim, temos um par de órbitas para o qual p é um ponto de chegada, e outro par de órbitas para o qual p é um ponto de partida.

Até esse momento, denimos a trajetória local e a órbita local por um ponto. Desse modo, podemos estabelecer a denição de órbita maximal. Dependendo do ponto, esta pode ser uma órbita regular, uma órbita deslizante ou uma singularidade distinguida.

Σ Σ+

Σ− p

Figura 1.10: Retrato de fase do campo Z7.

Denição 1.1.9. Uma órbita regular maximal de Z é uma curva suave por partes γ tal que:

1. γ ∩ Σ+ _{e γ ∩ Σ}− _{é uma união de órbitas dos campos vetoriais suaves X e Y ,}

respectivamente,

2. a intersecção γ ∩ Σ é composta apenas por pontos de costura e pontos de tangências regulares de ∂Σc_,

3. γ é maximal com respeito a essas condições.

Observe que uma órbita regular nunca atinge Σs _{ou Σ}e_.

Denição 1.1.10. Uma órbita deslizante (ou órbita singular) maximal de Z é uma curva suave γ ⊂ Σs_{∪ Σ}e que é uma órbita maximal do campo vetorial suave Zs.

1.1.2 Separatrizes, Órbitas Periódicas e Ciclos

Nesta subseção, generalizamos os conceitos de separatrizes e órbitas periódicas para Sistemas Planares de Filippov.

Denição 1.1.11. Seja p ∈ U um ponto de sela, de X em Σ+ ou de Y em Σ−, ou uma

singularidade distinguida em Σ. Desse modo, temos dois casos de separatrizes instáveis: 1. Se p ∈ Σ± _{é um ponto de sela para X em Σ}+, então a separatriz instável de p é a

variedade invariante instável, denotada por Wu_{(p), dada por}

Wu(p) = {q ∈ U : ϕZ(t, q) está denido para t ∈ (−∞, 0) e lim

t→−∞ϕZ(t, q) = p}.

Analogamente, se p é um ponto de sela para Y em Σ−, podemos denir Wu_(p).

2. Se p ∈ Σ é uma singularidade distinguida, então a separatriz instável é uma órbita regular que possui p como ponto de partida. Denotaremos essa separatriz por Wu

±(p),

onde o subscrito ± signica que a órbita está contida em Σ±_.

Analogamente, denimos as separatrizes estáveis Ws_{(p) e W}s ±(p).

A Figura 1.11 mostra exemplos de separatrizes instáveis e estáveis. Podemos observar que, no primeiro caso, a trajetória sobre a separatriz alcança p em um tempo innito, como acontece nos sistemas suaves. Já no segundo caso, a trajetória pode alcançar a singularidade p em tempo nito.

Σ+ Σ Σ− p Ws_(p) Wu_(p) ff11 Σ+ Σ Σ− p Ws +(p) Wu +(p) Ws −(p)

Figura 1.11: Exemplos de separatrizes instáveis e estáveis de uma sela regular (à esquerda) e de uma singularidade distinguida (à direita).

Denição 1.1.12. Se uma separatriz é simultaneamente estável e instável, dizemos que ela é uma conexão de separatrizes.

A Figura 1.12 mostra um exemplo de conexão de separatrizes entre duas selas pe q, onde p ∈ Σ+ e q ∈ Σ−.

Em Sistemas de Filippov, além das órbitas periódicas de X em Σ+ _{e de Y em}

Σ−, existem outras órbitas que intersectam a variedade de descontinuidade e apresentam comportamentos semelhantes. As denições a seguir generalizam o conceito de órbita periódica para Sistemas de Filippov.

Denição 1.1.13. Uma órbita periódica é uma órbita regular γ = {ϕZ(t, p) : t ∈ R} que

pertence a Σ+_{∪ Σ}−_{∪ Σ}c e satisfaz ϕ

Z(t + T, p) = ϕZ(t, p) para algum T > 0.

Denição 1.1.14. Dizemos que γ é uma órbita periódica de costura se é uma órbita periódica regular e ∅ 6= γ ∩ Σ ⊂ Σc. Caso γ ⊂ Σ+ _{∪ Σ}−_{, dizemos que γ é uma órbita}

periódica padrão.

Denição 1.1.15. Dizemos que γ é um ciclo limite se é uma órbita periódica regular e existe uma vizinhança V de γ tal que γ(q) não é órbita periódica regular, para todo q ∈ V , onde γ(q) é a órbita que passa por q. Em outras palavras, γ é uma órbita periódica isolada.

A Figura 1.12 ilustra um exemplo de ciclo limite do tipo costura. Denição 1.1.16. Uma órbita periódica deslizante é uma órbita periódica de Zs_.

A órbita periódica deslizante aparece quando Σ é homeomorfa a T1 _{= R \ Z}

e Σ = Σs _{ou Σ = Σ}e_{. A Figura 1.13 ilustra um exemplo de sistema com variedade de}

descontinuidade Σ = Σs _{homeomorfa a um círculo.}

Devido as denições de trajetórias e trajetórias maximais, não podem existir órbitas periódicas que sejam combinadas por movimentos regulares e deslizantes, ou seja, formadas por pontos de Σ+_∪Σ−_{e por pontos de Σ}s_∪Σe, simultaneamente, pois uma órbita

não pode interceptar tais conjuntos. Sendo assim, para lidar com movimentos periódicos que envolvam ao mesmo tempo movimentos regulares e deslizantes, denimos os ciclos.

Σ+ Σ Σ− p q Σ+ Σ Σ− Figura 1.12: Exemplos de conexão de separatrizes (à esquerda) e de ciclo limite de costura (à direita).

Σ+

Σs Σ−

Figura 1.13: Exemplo onde a variedade de descontinuidade Σ = Σs _{é homeomorfa a S}1_.

Denição 1.1.17. Um ciclo é o fecho de um conjunto nito de pedaços de órbitas, γ1, . . . , γn, tal que γ2k é um pedaço de órbita deslizante e γ2k+1 é uma órbita regular

maximal e os pontos de partida e chegada de γ2k+1 pertencem a γ2k e γ2k+1,

respectiva-mente.

Denimos o período do ciclo como a soma dos tempos gastos em cada pedaço de órbita γi, i = 1, . . . , n.

Além dos ciclos e das órbitas periódicas, existe um outro objeto geométrico que é importante quando se estuda equivalências topológicas.

Denição 1.1.18. Denimos um pseudociclo como o fecho de um conjunto de órbitas regulares γ1, . . . , γn, tais que as extremidades, isto é, pontos de chegada e partida, de

qualquer γi coincide com uma extremidade de γi−1 e outra de γi+1 (e também entre γ1 e

γn) formando uma curva homeomorfa a T1 = R \ Z, de modo que, em algum ponto, dois

pontos de chegada ou partida coincidem.

A Figura 1.14 mostra exemplos de ciclo e de pseudociclo, que foram denidos acima.

Σ+ Σ Σ− Σ+ Σ Σ− Figura 1.14: Exemplo de ciclo (à esquerda) e de pseudociclo (à direita).

Na próxima subseção, denimos equivalência topológica e Σ-equivalência, e mostramos que os objetos denidos até agora devem ser preservados por essas equivalên-cias.

1.1.3 Equivalência Topológica

Exibimos agora duas noções de equivalência topológica para Sistemas de Filip-pov. Para estabelecê-las, consideramos dois campos vetoriais de Filippov Z e ˜Z denidos em conjuntos abertos U e ˜U, possuindo curvas de descontinuidade Σ e ˜Σ, respectivamente. Denição 1.1.19. Dois sistemas de Filippov Z, ˜Z ∈ Zr _{denidos em abertos U e ˜U, com}

curvas de descontinuidade Σ ⊂ U e ˜Σ ⊂ ˜U, respectivamente, são Σ-equivalentes se existe um homeomorsmo h : U → ˜U que preserva orientação e que leva órbitas de Z em órbitas de ˜Z e Σ em ˜Σ.

Perceba que qualquer Σ-equivalência leva órbitas regulares em órbitas regulares e singularidades distinguidas em singularidades distinguidas. Além disso, como ela leva pontos de chegada em pontos de chegada e pontos de partida em pontos de partida, temos que Σc, Σs, e Σe são preservados e, portanto, leva órbitas deslizantes em órbitas

deslizantes, e preserva separatrizes, conexões de separatrizes, órbitas periódicas, ciclos e pseudociclos.

A denição de Σ-equivalência é natural, pois em algumas aplicações é impor-tante preservar a variedade de descontinuidade. Porém, do ponto de vista topológico, não é necessário que Σc seja preservado para que Z e ˜_Z tenham um comportamento

seme-lhante, pois o comportamento do uxo em um ponto da região de costura e em um ponto regular em Σ+_∪Σ−_{é o mesmo. Assim, consideramos o conceito de equivalência topológica}

para Sistemas de Filippov.

Denição 1.1.20. Dois sistemas de Filippov Z, ˜Z ∈ Zr denidos em abertos U e ˜U, com curvas de descontinuidade Σ ⊂ U e ˜Σ ⊂ ˜U, respectivamente, são topologicamente equivalentes se existe um homeomorsmo h : U → ˜U que preserva orientação e que leva órbitas de Z em órbitas de ˜Z.

Das Denições 1.1.19 e 1.1.20, é óbvio que se dois Sistemas de Filippov são Σ-equivalentes, então são topologicamente equivalentes, mas a recíproca não é verdadeira.

sequentemente também preservam Σ ∪ Σ ∪ Σ e, dessa forma, levam órbitas regulares em órbitas regulares, órbitas deslizantes em órbitas deslizantes e singularidades distingui-das em singularidades distinguidistingui-das. Mais ainda, também preservam separatrizes, conexões entre separatrizes, órbitas periódicas, ciclos e pseudociclos.

Observação 1.1.3. Recordemos que dois campos suaves X e ˜X em Rn_{, com seus}

respec-tivos uxos ϕX(t, p)e ϕ_X˜(t, p), são Cr-conjugados se existe um difeomorsmo h ∈ Cr(Rn),

tal que h(ϕX(t, p)) = ϕ_X˜(t, h(p)). Derivando a expressão com relação a t, em t=0, temos

d dth(ϕX(t, p))    t=0 = d dtϕX˜(t, h(p))    t=0 Dh(ϕX(t, p)) d dtϕX(t, p)    t=0 = d dtϕX˜(t, h(p))    t=0 Dh(p)X(p) = X(h(p)).˜

Assim, dado q ∈ Rn_{, temos que ˜X(q) = Dh(h}−1_(q))X(h−1_{(q)), e portanto h}

∗X = ˜X, onde

h∗X(p) = Dh(h−1(p))X(h−1(p)). Desse modo, concluímos que h é somente uma mudança

de coordenadas.

Para campos descontínuos não utilizaremos uma versão análoga e sim conju-gações aplicadas às componentes suaves X e Y do Sistema de Filippov Z = (X, Y ). Proposição 1.1.1. Consideremos qualquer difeomorsmo h : U → ˜U que conjuga simul-taneamente por um lado X em Σ+_{⊂ U e ˜X em ˜Σ}+ _{⊂ ˜U e por outro lado Y em Σ}−_{⊂ U}

e ˜Y em ˜Σ− _{⊂ ˜U. Então, h conjuga os campos vetoriais deslizantes Z}s _{e ˜Z}s e, portanto,

h é uma equivalência topológica entre Z = (X, Y ) e ˜Z = ( ˜X, ˜Y ).

Demonstração. Temos que h conjuga os campos separadamente em Σ+ e Σ−_{, então pela}

observação anterior

h∗X(˜p) = ˜X(˜p), ∀˜p ∈ ˜Σ+,

h∗Y (˜p) = ˜Y (˜p), ∀˜p ∈ ˜Σ−.

Como h é bijetiva, temos que h(Σ) = ˜Σ, já que h mapeia Σ+ _{em ˜Σ}+ _{e ˜Σ}− _em

Σ−. Então sendo Σ = {p ∈ U : f(p) = 0}, temos que ˜Σ = {˜p ∈ ˜U : f ◦ h−1(˜p) = 0}. Lembremos que, se g : V ⊂ Rn _{→ R é uma função denida em um aberto V}

de Rn_{, então h}

∗g = g ◦ h−1.

Queremos mostrar que h conjuga os campos deslizantes Zs _{e ˜Z}s_{, ou seja,}

˜ Zs _{= h}

onde ˜f = f ◦ h−1. Temos que h∗Xf (˜p) = Xf (h−1(˜p)) = hX(h−1(˜p)), ∇f (h−1(˜p))i = hIn· X(h−1(˜p)), ∇f (h−1(˜p))i = h(Dh−1(˜p) · Dh(h−1(˜p))) · X(h−1(˜p)), ∇f (h−1(˜p))i = hDh−1(˜p) · (Dh(h−1(˜p)) · X(h−1(˜p))), ∇f (h−1(˜p))i = hDh−1(˜p) · h∗X(˜p), ∇f (h−1(˜p))i = hh∗X(˜p), (Dh−1(˜p))tr· ∇f (h−1(˜p))i = hh∗X(˜p), ((∇f (h−1(p)))tr· Dh−1(˜p))tri = hh∗X(˜p), (D(f ◦ h−1)(˜p))tri = hh∗X(˜p), ∇(f ◦ h−1)(˜p)i = hh∗X(˜p), ∇(h∗f )(˜p)i = h∗Xh∗f (˜p) = ˜X ˜f (˜p).

Analogamente, h∗Y f (˜p) = ˜Y ˜f (˜p). Com isso, basta agora mostrar que ˜Zs(˜p) = h∗Zs(˜p),

∀˜p ∈ ˜Σ. Temos que h∗Zs(˜p) = Dh(h−1(˜p))Zs(h−1(˜p)) = Dh(h−1(˜p)) 1 Y f (h−1_{(˜p)) − Xf (h}−1_(˜p))(Y f (h −1 (˜p))X(h−1(˜p)) − Xf (h−1(˜p))Y (h−1(˜p))) = Dh(h−1(˜p)) 1 h∗Y f (˜p) − h∗Xf (˜p) (h∗Y f (˜p)X(h−1(˜p)) − h∗Xf (˜p)Y (h−1(˜p))) = Dh(h−1(˜p)) 1 ˜ Y ˜f (˜p) − ˜X ˜f (˜p)( ˜Y ˜f (˜p)X(h −1_{(˜p)) − ˜X ˜f (˜p)Y (h}−1_(˜p))) = 1 ˜ Y ˜f (˜p) − ˜X ˜f (˜p)( ˜Y ˜f (˜p)Dh(h −1 (˜p))X(h−1(˜p)) − ˜X ˜f (˜p)Dh(h−1(˜p))Y (h−1(˜p))) = 1 ˜ Y ˜f (˜p) − ˜X ˜f (˜p)( ˜Y ˜f (˜p)h∗X(˜p) − ˜X ˜f (˜p)h∗Y (˜p)) = 1 ˜ Y ˜f (˜p) − ˜X ˜f (˜p)( ˜Y ˜f (˜p) ˜X(˜p) − ˜X ˜f (˜p) ˜Y (˜p)) = ˜Zs(˜p).

Portanto, h conjuga os campos deslizantes, levando as trajetórias de Zs _em

trajetórias de ˜Zs_.

Observação 1.1.4. Todas as equivalências topológicas denidas usando a proposição acima preservam Σ e, portanto, são também Σ-equivalências. Assim, para construir equi-valências topológicas que não preservam Σ, é necessário utilizar outras técnicas.

Observação 1.1.5. Repare que, se retirarmos a hipótese de diferenciabilidade da Pro-posição 1.1.1, isto é, se considerarmos h somente um homeomorsmo, a proPro-posição não é

˜ Z(x, y) =              ˜ X = −1 −1 ! , y > 0, ˜ Y = −1 1 ! , y < 0 e Z(x, y) =              X = 0 −1 ! , y > 0, Y = 0 1 ! , y < 0, com os retratos de fase ilustrados na Figura 1.15.

Σ Σ+ Σ− Σ Σ+ Σ−

Figura 1.15: Retratos de fase dos campos Z e ˜Z. Nesse caso, Σ = Σs _{= ˜Σ = ˜Σ}s _{e o homeomorsmo h é dado por}

h(x, y) =      (x − y, y), se y > 0, (x, y), se y = 0, (x + y, y), se y < 0.

Podemos observar que h é C0_{, mas não é C}1_{, e que conjuga X com ˜X para y > 0 e}

Y com ˜Y para y < 0. Porém, não é uma equivalência topológica entre Z e ˜Z, pois os campos deslizantes são dados por Zs _{= (−1, 0)} e ˜_Zs _{= (0, 0)}, e portanto não podem ser

topologicamente equivalentes.

1.2 Estabilidade Estrutural em Sistemas de Filippov

Nesta seção, estudamos o comportamento genérico local dos sistemas planares de Filippov. Caracterizamos os sistemas planares de Filippov que são localmente estrutu-ralmente estáveis, para isso classicamos os pontos regulares e singularidades genéricas de um campo vetorial Z ∈ Zk e, em cada caso, apresentamos uma forma normal C0 e

estabelecemos o homeomorsmo que fornece a Σ-equivalência topológica entre um sistema genérico e sua forma normal.

Vamos inicialmente considerar os pontos regulares, ou seja, os pontos que não são singularidades, que pertencem às órbitas regulares ou deslizantes. Temos que em torno dos pontos regulares em Σ± _{basta aplicar o Teorema do Fluxo Tubular, desse}

modo, basta estudar o comportamento dos pontos na variedade de descontinuidade. A seguir, enunciamos proposições que fornecem formas normais para os pontos regulares pertencentes à Σc_{∪ Σ}s_{∪ Σ}e_.

Notação 1.2.1. Consideramos dois campos vetoriais suaves X e Y . Denotamos por X(p) k Y (p) o fato de X e Y serem paralelos no ponto p e por X(p) ∦ Y (p) o fato de X e Y não serem paralelos no ponto p.

Proposição 1.2.1. Seja Z = (X, Y ) ∈ Zk com curva de descontinuidade Σ tal que

(0, 0) ∈ Σc. Então, em uma vizinhança U de (0, 0), Z é Σ-equivalente à forma normal

˜ Z(x, y) =              ˜ X = 0 α ! , y > 0, ˜ Y = 0 α ! , y < 0,

denida em uma vizinhança ˜U de (0, 0) e é topologicamente equivalente à forma normal contínua ˜ Z(x, y) =  0 α  , _{∀(x, y) ∈ R}2, onde α = sgn(Xf(0, 0)).

Demonstração. Consideremos ϕX, ϕY, ϕ_X˜ e ϕ_Y˜, os uxos dos campos X, Y , ˜X e ˜Y ,

respectivamente. Como a origem pertence à Σc _{e ˜Σ}c_{, temos que os campos Z e ˜Z são}

transversais à Σ ∩ U e ˜Σ ∩ ˜U, respectivamente.

Assim, dado p ∈ Σ+_{∩ U}, pelo Teorema da Função Implícita existe um único

t = t(p) ∈ R tal que ϕX(t(p), p) ∈ Σ e a aplicação p 7→ t(p) é contínua. Analogamente

para p ∈ Σ−_{∩ U. Então, construímos a Σ-equivalência como segue:}

h(p) =      ϕ_X˜(−t(p), ϕX(t(p), p)), se p ∈ Σ+∩ U, p, se p ∈ Σ ∩ U, ϕ_Y˜(−t(p), ϕY(t(p), p)), se p ∈ Σ−∩ U.

Claramente, h é contínua, pois as aplicações envolvidas são contínuas e coin-cidem em Σ, além disso, satisfaz h(ϕZ(t, p)) = ϕ_Z˜(t, h(p)).

Proposição 1.2.2. Seja Z = (X, Y ) ∈ Zk com curva de descontinuidade Σ tal que

(0, 0) ∈ Σs e X(0, 0) ∦ Y (0, 0). Então, em uma vizinhança U de (0, 0), Z é Σ-equivalente à forma normal ˜ Z(x, y) =              ˜ X = α −1 ! , y > 0, ˜ Y = α 1 ! , y < 0,

respectivamente. Como a origem pertence à Σ e ˜Σ , temos que os campos Z e ˜Z são transversais à Σ ∩ U e ˜Σ ∩ ˜U, respectivamente.

Por hipótese X(0, 0) ∦ Y (0, 0), então a origem é ponto regular do campo desli-zante Zs_{, ou seja, Z}s_{(0, 0) 6= (0, 0). Além disso, note que ˜Z}s_{(x, y) = (α, 0), em particular}

˜

Zs_{(0, 0) = (sgn(π}

1(Zs(0, 0))), 0) 6= (0, 0). Assim, pelo Teorema do Fluxo Tubular, existe

um homeomorsmo ˜h : Σ → ˜Σ que conjuga os campos Zs _{e ˜Z}s_.

Agora, tomando p ∈ Σ+_{∩ U, segue pelo Teorema da Função Implícita que}

existe um único t = t(p) ∈ R tal que ϕX(t(p), p) ∈ Σ e a aplicação p 7→ t(p) é contínua.

Analogamente para p ∈ Σ−_{∩U. Então, construímos a Σ-equivalência da seguinte maneira:}

h(p) =      ϕ_X˜(−t(p), ˜h(ϕX(t(p), p))), se p ∈ Σ+∩ U, ˜ h(p), se p ∈ Σ ∩ U, ϕ_Y˜(−t(p), ˜h(ϕY(t(p), p))), se p ∈ Σ−∩ U.

Pelo modo como foi construída, h é contínua e h(ϕZ(t, p)) = ϕ_Z˜(t, h(p)).

Proposição 1.2.3. Seja Z = (X, Y ) ∈ Zk com curva de descontinuidade Σ tal que

(0, 0) ∈ Σe e X(0, 0) ∦ Y (0, 0). Então, em uma vizinhança U de (0, 0), Z é Σ-equivalente à forma normal ˜ Z(x, y) =              ˜ X = α 1 ! , y > 0, ˜ Y = α −1 ! , y < 0,

denida em uma vizinhança ˜U de (0, 0), onde α = sgn(π1(Zs(0, 0))).

Demonstração. A demonstração é feita de maneira similar a da Proposição 1.2.3.

Vamos agora estudar as singularidades genéricas. Os primeiros tipos de singu-laridades são os pontos críticos genéricos hiperbólicos de X e Y em Σ+ _{e Σ}−_,

respectiva-mente. Assim, em torno desses pontos podemos aplicar o Teorema de Hartman-Grobman. Dessa forma, basta considerar o comportamento dos pontos na curva de descontinuidade. Denição 1.2.1. Um ponto tipo Dobra-Regular de Z = (X, Y ) ∈ Zk _{é um ponto p ∈ Σ}

tal que Xf(p) = 0, X2_{f (p) 6= 0 e Y f(p) 6= 0 ou tal que Y f(p) = 0, Y}2_{f (p) 6= 0 e}

Xf (p) 6= 0. Ainda mais,

1. No primeiro caso, dizemos que a Dobra-Regular é visível se X2_{f (p) > 0 e invisível}

se X2_{f (p) < 0. Além disso, se p ∈ ∂Σ}s _{teremos uma dobra de deslize e se p ∈ Σ}e _a

chamaremos de dobra de escape.

2. No segundo caso, ela é visível se Y2_{f (p) < 0 e invisível se Y}2_{f (p) > 0, e pode-se}

denir analogamente dobras de deslize e de escape.

Para os sistemas planares de Filippov, as singularidades genéricas em Σ são pontos de dobras-regulares e pontos críticos hiperbólicos do campo vetorial deslizante,

isto é, pontos p ∈ Σs_{∪ Σ}e tais que X(p) k Y (p) e também Zs_{(p) = 0} com (Zp₎0_{(p) 6= 0,}

que a propósito são singularidades distinguidas.

A proposição a seguir trata das formas normais dos pontos de dobras-regulares. Proposição 1.2.4. Seja Z = (X, Y ) ∈ Zk _{denido numa vizinhança U de (0, 0) para o}

qual (0, 0) ∈ Σ é uma dobra-regular. Então, Z é Σ-equivalente em uma vizinhança V de (0, 0) à sua forma normal

Zabc(x, y) =              Xab = b bax ! , y > 0, Yc= 0 c ! , y < 0, onde a = sgn(X2_{f (0, 0)), b = sgn(π(X(0, 0))) e c = sgn(Y f(0, 0)).}

Demonstração. Veja as referências [7] e [9].

A próxima proposição lida com a forma normal dos pontos críticos hiperbólicos que podem acontecer em Σs _{ou Σ}e_.

Proposição 1.2.5. Se (0, 0) ∈ Σs_{∪ Σ}e _{é um ponto crítico hiperbólico do campo deslizante}

Zs de Z = (X, Y ) ∈ Zk denido numa vizinhança U de (0, 0), então Z é Σ-equivalente

em uma vizinhança V de (0, 0) à sua forma normal

Zab(x, y) =              Xa= ax b ! , y > 0, Yb = ax −b ! , y < 0, onde a = sgn((Zs₎0_{(0, 0)) e b = sgn(Xf(0, 0)).}

Demonstração. Primeiramente observe que, Zs

ab(x, y) = (ax, 0), então a origem é um

ponto crítico hiperbólico para o campo deslizante Zs

ab e sua estabilidade depende do valor

de a. Além disso, por hipótese a origem é um ponto crítico hiperbólico do campo desli-zante Zs_{. Portanto, pelo teorema de Hartman-Grobman, existe um homeomorsmo ˜h que}

conjuga os campos deslizantes Zs e Zs ab.

Como os campos Z e Zab são transversais a Σ e Σab, respectivamente, em

uma vizinhança da origem, temos que para cada p ∈ Σ+, existe um único t ∈ R tal que

ϕ(t(p), p) ∈ Σ. Analogamente para p ∈ Σ−. Então, construímos a Σ-equivalência como segue: h(p) =      ϕ_X˜(−t(p), ˜h(ϕX(t(p), p))), se p ∈ Σ+, ˜ h(p), se p ∈ Σ, ϕ_Y˜(−t(p), ˜h(ϕY(t(p), p))), se p ∈ Σ−.

de um campo Z = (X, Y ) ∈ Z , vamos enunciar o teorema que permite identicar se um determinado campo é estruturalmente estável.

Teorema 1.2.6. Seja Z0 = (X0, Y0) ∈ Zk denido em uma vizinhança da origem e a

curva de descontinuidade Σ = {(x, 0) : x ∈ R}. Se (0, 0) ∈ Σ é um ponto regular ou uma singularidade genérica, então Z0 é localmente estruturalmente estável e localmente

Σ-estruturalmente estável.

Demonstração. Veja as referências [7] e [9].

1.3 Regularização Teixeira-Sotomayor

A ideia principal do processo de regularização por Teixeira e Sotomayor [16], [11] é aproximar um Sistema de Filippov Z = (X, Y ) por uma família a um parâmetro de campos vetoriais suaves Zε(x, y)de modo que

lim

ε→0Zε(x, y) = Z(x, y).

Considere o Sistema de Filippov (1.1.1). Com a função descrita a seguir, de-nida em R \ {0}:

g(s) = (

1, se s > 0,

0, se s < 0, (1.3.1) podemos reescrever o sistema da forma

Z(x, y) = [1 − g(f (x, y))]Y (x, y) + g(f (x, y))X(x, y).

Denição 1.3.1. Uma função contínua ϕ : R → R é dita função de transição se ϕ(t) = 0 para todo t ≤ −1, ϕ(t) = 1 para todo t ≥ 1 e ϕ0_{(t) > 0 se t ∈ (−1, 1).}

Denição 1.3.2. Dada uma função de transição ϕ : R → R, a ϕε-regularização de

Z = (X, Y )é a família a um parâmetro de campos vetoriais Zε, com ε ∈ (0, 1], dada por

Zε(x, y) = [1 − ϕε(f (x, y))]Y (x, y) + ϕε(f (x, y))X(x, y),

onde ϕε(t) = ϕ  t ε  .

Observe que um Sistema de Filippov possui uma regularização trivial, onde a função de transição é dada por

ϕ(t) =      1, se t ≥ 1, t+1 2 , se − 1 < t < 1, 0, se t ≤ −1, (1.3.2) e que, por sua vez, tem lim

Exemplo 1.3.1. Sejam U = R e f : R → R dada por f(x, y) = y, então, Σ = {(x, 0) ∈ R2 : x ∈ R}. Considere o sistema de Filippov

Z(x, y) =              X = −y x ! , y > 0, Y = −x + 1 y + 1 ! , y < 0. (1.3.3) Temos que Xf (x, 0) = hX(x, 0), ∇f (x, 0)i = h(0, x), (0, 1)i = x, Y f (x, 0) = hY (x, 0), ∇f (x, 0)i = h(−x + 1, 1), (0, 1)i = 1.

Desse modo, obtemos que Xf(x, 0) · Y f(x, 0) = x = 0 se, e somente se, x = 0. Além do mais, se x > 0 temos que Xf(x, 0) > 0, enquanto, se x < 0 temos que Xf(x, 0) < 0. Logo, Σc _{= {(x, 0) : x > 0} e Σ}s _{= {(x, 0) : x < 0}. Assim, o campo deslizante de Z é}

dado por Zs(x, 0) = 1 1 − x(1 · (0, x) − x · (−x + 1, 1)) = 1 1 − x(x 2_{− x, 0) = (−x, 0).}

A Figura 1.16 ilustra o retrato de fase do campo Z antes da regularização.

Σ Σ+

Σ−

Figura 1.16: Retrato de fase do campo Z.

Considerando a regularização do campo Z(x, y) utilizando a função de transi-ção (1.3.2), temos que

Zε(x, y) = [1 − ϕε(f (x, y))]Y (x, y) + ϕε(f (x, y))X(x, y)

= [1 − ϕε(y)](−x + 1, y + 1) + ϕε(y)(−y, x)

= (−x + 1 + ϕε(y)(x − y − 1), y + 1 + ϕε(y)(x − y + 1)).

A Figura 1.17 representa o retrato do campo Z após a regularização utilizando a função de transição trivial.

ε −ε

Figura 1.17: Retrato de fase do campo Zε.

1.4 Estabilidade Segundo Lyapunov

Seja X um campo vetorial denido em um subconjunto aberto U ⊆ Rn _de

classe C1_{, onde todas as soluções de x}0 _{= X(x) têm intervalo maximal I = R.}

Denição 1.4.1. Seja x0 um ponto singular para o campo vetorial X. Dizemos que x0

é um ponto singular estável se, para qualquer vizinhança V de x0 em Rn, existe uma

vizinhança W ⊆ Rn _{de x}

0, tal que W ⊆ V e ϕ(t, x) ∈ V , para quaisquer x ∈ W e t > 0.

Denição 1.4.2. Seja x0 um ponto singular para o campo vetorial X. Dizemos que x0 é

um ponto singular assintoticamente estável se, para qualquer vizinhança V de x0 em Rn,

existe uma vizinhança W ⊆ Rn _{de x}

0, tal que W ⊆ V , ϕ(t, x) ∈ V , para quaisquer x ∈ W

e t > 0, e lim

t→∞ϕ(t, x) = x0, para qualquer x ∈ W .

A Figura 1.18 ilustra exemplos de campos vetoriais que satisfazem ou não as denições acima. No primeiro exemplo, temos o retrato de fase de uma sela, onde o ponto singular não é estável, já no segundo temos o retrato de fase de um centro, no qual o ponto singular é estável, mas não é assintoticamente estável, por m, no terceiro temos o retrato de fase de um nó, onde o ponto singular é assintoticamente estável.

(a) Instável. (b) Estável. (c) Assintoticamente estável.

Denição 1.4.3. Sejam X : U → Rn um campo vetorial de classe C1 no aberto U ⊆ Rn,

x0 um ponto singular de X e L : W → R uma função contínua numa vizinhança W ⊆ Rn

de x0 que é diferenciável em W \ {x0}. Dizemos que L é uma função de Lyapunov para

X em x0 se

1. L(x0) = 0, com L(x) > 0 para cada x ∈ W \ {x0} e

2. L ◦ x : I → R é uma função não-crescente para qualquer solução x : I → U de x0 = X(x) tal que x(t) ∈ W para cada t ∈ I.

Agora, dizemos que L é uma função de Lyapunov estrita para X em x0 se

1. L(x0) = 0, com L(x) > 0 para cada x ∈ W \ {x0} e

2. (L ◦ x)0_{(t) < 0 para qualquer solução x : I → E de x}0 _{= X(x) tal que x(t) ∈ W \ {0}}

para cada t ∈ I.

Teorema 1.4.1 (Lyaponov). Sejam X : U → Rn _{um campo vetorial de classe C}1 _no

aberto U ⊆ Rn _{e x}

0 um ponto singular de X. Se existe uma função de Lyapunov para X

em x0, então x0 é um ponto singular estável de X. Além disso, se existe uma função de

Lyapunov estrita para X em x0, então x0 é um ponto singular assintoticamente estável

de X.

Demonstração. Veja as referências [3] e [20].

Exemplo 1.4.1. Considere X(x, y, z) = ((εx + 2y)(z + 1), (−x + εy)(z + 1), −z3₎, com

(x, y, z) ∈ R3, um campo vetorial não-linear.

Temos que x0 = (0, 0, 0) é um ponto singular de X e a parte linear em x0 é

dada por dX(x0) =   ε 2 0 −1 ε 0 0 0 0  .

Assim, o polinômio característico é dado por p(λ) = λ[λ2 _{− ελ + (ε}2_{+ 2)]. Desse modo,}

os autovalores de dX(x0) são λ1 = 0, λ2 = ε +

√

2ie λ3 = ε −

√ 2i.

A partir disto, obtemos que para ε > 0, x0 é instável, pois os autovalores λ2

e λ3 possuem parte real positiva. Porém, quando ε ≤ 0, não podemos dizer nada sobre a

estabilidade do campo vetorial X, pois λ1 = 0.

Sendo assim, tome L(x, y, z) = ax2 _{+ by}2 _{+ cz}2_{, com a, b, c > 0. Nesse caso,}

L(x0) = 0 e L(x, y, z) > 0, ∀x ∈ R3\ {x0}. Temos que

˙

L(x, y, z) = h∇L(x, y, z), X(x, y, z)i

=(2ax, 2by, 2cz), ((εx + 2y)(z + 1), (−x + εy)(z + 1), −z3) = ε(ax2+ by2)(z + 1) + (2a − b)(z + 1)xy − cz4.

Tomando a = 1, b = 2 e c = 1, temos ˙

L(x, y, z) = ε(x2_{+ 2y}2_{)(z + 1) − z}4_.

Para ε = 0, ˙L(x, y, z) = −z4 _{≤ 0, logo x}

0 é estável. Já para ε < 0 e z > −1, temos

˙

Seja X : U → Rn _{um campo vetorial de classe C}k_{, k ≥ 1, no aberto U ⊆ R}n_.

Seja ϕ(t, p) a curva integral de X passando pelo ponto p, considerando o intervalo maximal sendo Ip = (ω−(p), ω+(p)).

Denição 1.5.1. Se ω+(p) = +∞ denimos o conjunto

ω(p) = {q ∈ U : ∃ tn → ∞e lim

n→∞ϕ(tn, p) = q}.

Analogamente, se ω−(p) = −∞ denimos o conjunto

α(p) = {q ∈ U : ∃ tn → −∞e lim

n→∞ϕ(tn, p) = q}.

Os conjuntos ω(p) e α(p) são chamados respectivamente de conjunto ω-limite de p e conjunto α-limite de p.

Teorema 1.5.1 (Poincaré - Bendixson). Seja X um campo vetorial de classe C1 _{no aberto}

U ⊂ Rn_{. Dado p ∈ U assuma que γ}+

p = {ϕ(t, p) : t ≥ 0} esteja contida num compacto

K ⊂ U. Suponha que X possui no máximo uma quantidade nita de singularidades em ω(p). Então,

1. Se ω(p) não contém pontos singulares, então ω(p) é órbita periódica de X.

2. Se ω(p) contém pontos regulares e singulares, então ω(p) consiste de um conjunto de órbitas, cada uma das quais tende a um desses pontos singulares quando t → ±∞. 3. Se ω(p) não contém pontos regulares, então ω(p) é um único ponto singular. Demonstração. Veja a referência [20].

Exemplo 1.5.1. Considere o campo vetorial X : R2 _{→ R}2 _{dado por}

X(x, y) = (y + x(1 − x2− y2_{), −x + y(1 − x}2_{− y}2_)).

Vamos mostrar que esse campo possui ao menos uma órbita periódica. Para isso, vamos estudar o comportamento de X sobre as curvas Sc= k−1c (0), sendo kc(x, y) = x2+ y2− c,

c > 0.

Inicialmente, vamos determinar as singularidades do campo X, ou seja, encon-trar (x, y) ∈ R2 _{tais que X(x, y) = (0, 0). Temos que y + x(1 − x}2_{− y}2_{) = 0se, e somente}

se, y = 0 e x = 0, ou y = 0 e x = ±1, e −x + y(1 − x2_{− y}2_{) = 0 se, e somente se, y = 0 e}

x = 0, ou x = 0 e y = ±1. Então, (0, 0) é a única singularidade de X. Seja (x, y) ∈ Sc, temos que

hX(x, y), ∇kc(x, y)i =h(y + x(1 − x2− y2), −x + y(1 − x2− y2)), (2x, 2y)i

=h(y + x(1 − c), −x + y(1 − c)), (2x, 2y)i =2xy + 2x2(1 − c) − 2xy + 2y2(1 − c) =2x2(1 − c) + 2y2(1 − c).

Considere as curvas Sc1 e Sc2, onde c1 < 1 e c2 > 1. Se (x, y) ∈ Sc1, temos que

hX(x, y), ∇kc1(x, y)i > 0, pois c1 < 1, o que implica 1 − c1 > 0. Logo, o campo X

aponta para fora do conjunto delimitado por Sc1. Agora, se (x, y) ∈ Sc2, obtemos que

hX(x, y), ∇kc2(x, y)i < 0, pois c2 > 1, o que implica 1 − c2 < 0. Logo, o campo X aponta

para dentro do conjunto delimitado por Sc2.

Considerando o conjunto K delimitado pelas curvas Sc1 e Sc2, temos que K

é compacto e para todo (x, y) ∈ R2 _{têm-se γ}+

(x,y) ⊂ K. Além disso, ω((x, y)) ⊂ K,

então, ω((x, y)) não possui singularidade. Portanto, pelo Teorema de Poincaré - Bandixson ω((x, y)) é uma órbita periódica de X. A Figura 1.19 ilustra o retrato de fase do campo vetorial X, onde destacamos em vermelho a órbita periódica.

Figura 1.19: Retrato de fase do campo vetorial X.

1.6 Compacticação de Poincaré

Seja X ∈ Xr_(R2₎, isto é, um campo vetorial de classe Cr, r ≥ 1, em R2, tal que

X(x1, x2) = (P (x1, x2), Q(x1, x2)), sendo P e Q polinômios nas variáveis x1 e x2, onde o

grau de P e Q é menor ou igual a d = max{deg(P ), deg(Q)}. Vamos inicialmente denir alguns conjuntos em R3_:

S2 = {(y1, y2, y3) ∈ R3 : y12+ y 2 2 + y 2 3 = 1}, S1 = {(y1, y2, y3) ∈ S2 : y3 = 0}, H+ = {(y1, y2, y3) ∈ S2 : y3 > 0}, H− = {(y1, y2, y3) ∈ S2 : y3 < 0}, N = {(y1, y2, y3) ∈ R3 : y3 = 1}.

plano tangente a S no ponto (0, 0, 1), que chamamos de polo norte. Os conjuntos H e H− são chamados de hemisfério norte e hemisfério sul, respectivamente.

Seja r uma reta passando pela origem (0, 0, 0) e por um ponto p ∈ N , assim, r intersecta S2 _{em dois pontos distintos p}+ _{∈ H}+ _{e p}−

∈ H−_{. Com isso, obtemos dois}

difeomorsmos sobrejetores f+ _{: N → H}+ e f− : N → H−, dados por f+(x1, x2) =  x1 ∆(x), x2 ∆(x), 1 ∆(x)  , f−(x1, x2) =  − x1 ∆(x), − x2 ∆(x), − 1 ∆(x)  , onde ∆(x) = px2

1+ x22+ 1. Observe que, as aplicações f+ e f

− _{são as projeções centrais}

do plano N sobre H+ e H−_{. A Figura 1.20 ilustra os conjuntos em R}3 e a reta r.

r y3 y2 y1 x2 x1

S

N

H

H

Figura 1.20: Ilustração das projeções centrais. Vamos agora determinar a aplicação inversa de f+. Se (y

1, y2, y3) = f+(x1, x2),

então x1 = ∆(x)y1, x2 = ∆(x)y2 e y3 = _∆(x)1 , logo x1 = y_y1₃ e x2 = y_y2₃. Portanto,

f−1(y1, y2, y3) =  y1 y3 ,y2 y3  .

De maneira similar, obtemos que a aplicação inversa de f− _{é igual a da aplicação f}+

obtida anteriormente.

Note que f+ _{e f}− _{induzem em H}+_{∪ H}− _{um campo vetorial f}±

∗ X dado por

f_∗±X(y) = f

+

∗ X(y) = df+((f+)−1(y))X((f+)−1(y)) se y ∈ H+,

f_∗−X(y) = df−((f−)−1(y))X((f−)−1(y)) se y ∈ H−. Mas, f±

∗ X não está denido em S1, contudo a seguir faremos uma reparametrização do