UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO TECNOLÓGICO
PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Ricardo Scremin Rizzatti
USO DE METAMATERIAL NO TRATAMENTO ACÚSTICO DE PAINEL DUPLO
Florianópolis 2019
Ricardo Scremin Rizzatti
USO DE METAMATERIAL NO TRATAMENTO ACÚSTICO DE PAINEL DUPLO
Dissertação submetida à Pós Graduação em Engenharia nica para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Mecâ-nica.
Orientador: Arcanjo Lenzi, PhD. Eng.
Coorientador: Gustavo Correia Martins, PhD. Eng.
Florianópolis 2019
Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,
através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.
Rizzatti, Ricardo Scremin
Uso de metamaterial no tratamento acústico de painel duplo / Ricardo Scremin Rizzatti ; orientador, Arcanjo Lenzi, coorientador, Gustavo Correia Martins, 2019. 151 p.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Florianópolis, 2019.
Inclui referências.
1. Engenharia Mecânica. 2. Metamaterial. 3. Controle de ruído. 4. Otimização. I. Lenzi, Arcanjo. II. Martins, Gustavo Correia. III. Universidade Federal de Santa
Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. IV. Título.
Ricardo Scremin Rizzatti
USO DE METAMATERIAL NO TRATAMENTO ACÚSTICO DE PAINEL DUPLO
O presente trabalho em nível de mestrado foi avaliado e aprovado por banca examinadora composta pelos seguintes membros:
Andrey Ricardo da Silva, PhD. Eng. Presidente
Paulo Henrique Mareze, Dr. Eng.
Certificamos que esta é a versão original e final do trabalho de conclusão que foi julgado adequado para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica.
Jonny Carlos da Silva, Dr. Eng. Coordenador do Curso
Arcanjo Lenzi, PhD. Eng. Orientador
Gustavo Correia Martins, PhD. Eng. Coorientador
Florianópolis, 01 de Novembro 2019.
Arcanjo
Lenzi:29999766900
Assinado de forma digital por Arcanjo Lenzi:29999766900 Dados: 2019.12.28 11:57:11 -03'00'
Documento assinado digitalmente Andrey Ricardo da Silva Data: 30/12/2019 10:06:07-0300 CPF: 023.554.909-61 Documento assinado digitalmente Andrey Ricardo da Silva Data: 30/12/2019 10:08:00-0300 CPF: 023.554.909-61
Dedico esse trabalho a minha avó, Rita Terezinha Gabi Rizzatti, in memoriam.
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus por me manter com saúde para terminar esse tra-balho. Agradeço a minha amada namorada, por me manter lúcido e nunca permitir que desistisse perante entraves do percurso. Sou grato a minha família por me dar todo suporte financeiro e emocional para que eu me tornasse Mestre.
Agradeço ao Professor Arcanjo Lenzi, o qual orientou e corrigiu esse trabalho. Muito obrigado Chefe, por todo apoio e amizade. Agradeço também ao Dr. Eng. Gustavo C. Martins, por todos os conselhos sobre modelos numéricos e correções textuais. Agradeço à empresa Embraer pelo tema desta dissertação e apoio financeiro. Agradeço também aos Eng. Israel Pereira, Sideto Futatsugi e Bruno Neto, por coordenarem o projeto que gerou essa dissertação, agregando com informações técnicas e fornecedores.
Um muito obrigado a todo o grupo que participou do projeto, em especial, ao Thiago Cavalheiro pelas conversas técnicas e filosóficas, ao Augusto Carvalho por me apresentar os conceitos de metamaterial e impressão 3D e ao Fábio Luís Val Quintans Kulakauskas e Luiz Lenzi pela ajuda com a realização dos experimentos. Aos bolsistas Lucas, Rafael, Marcos, Mateus Fessel e Mateus Camargo, agradeço pelo suporte experimental e pelas conversas sobre TMM.
Por fim, agradeço a todos os colegas do Laboratório de Vibrações e acústica, em especial ao Anderson, Priscila, Thayle e Kléber, por todas as aventuras, conversas e aprendizagem que tive durante esse período da minha jornada para tornar-me mestre.
”Se você quiser descobrir os segredos do Universo, pense em termos de energia, frequência e vibração.”
RESUMO
Há diversos parâmetros para classificar a qualidade de uma aeronave, entre eles encontra-se a qualidade sonora no encontra-seu interior. Desta forma, incrementar a capacidade que a parede de uma aeronave tem em atenuar sons externos é de fundamental importância para a indústria aeronáutica. Quando técnicas comuns de controle de ruído falham em baixas frequências, como materiais porosos, surge a necessidade de utilizar novos concei-tos, por exemplo os metamateriais acústicos. Baseando-se nisso, o objetivo deste traba-lho foi mitigar o problema de baixa atenuação, utilizando um conceito de metamaterial como tratamento acústico. Testes analíticos, numéricos e experimentais foram realiza-dos no metamaterial, verificando-se que ele atingia total absorção sonora em uma faixa de frequências estreita. O metamaterial foi sintonizado para uma região de frequência desejada, através da otimização com métodos heurísticos. Em seguida foram produzidas e testadas 50 amostras, no qual verificou-se a repetibilidade dos resultados de absorção sonora. Conjuntamente, modelos analíticos e numéricos foram construídos para verificar o incremento na perda de transmissão sonora do painel, observando ganhos na região de sintonia do metamaterial. Após a produção das amostras, uma bancada experimental foi montada com a finalidade de verificar o aumento na perda de transmissão gerado pela adição de metamaterial. Por meio das diversas análises realizadas, pode-se concluir que o número de células unitárias e seu posicionamento no interior da cavidade podem gerar um ganho na perda de transmissão sonora para região de sintonia do metamaterial. Palavras-chave: Metamaterial, Controle de ruído, Otimização.
ABSTRACT
There are several parameters to classify the quality of an aircraft, among them is the sound quality inside. Thus, enhancing the ability of an aircraft wall to attenuate external sounds is of fundamental importance to the aircraft industry. When common noise control techniques fail at low frequencies such as porous materials, there is a need to use new concepts, for example, acoustic metamaterials. Based on this, the objective of this work was to mitigate the problem of low attenuation, using a concept of metamaterial as acoustic treatment. Analytical, numerical and experimental tests were performed on the metamaterial, verifying that it reached full sound absorption in a narrow frequency range. The metamaterial was tuned to the desired frequency region by optimizing with heuristic methods. Then 50 samples were produced and tested, where the repeatability of the sound absorption results was verified. Together, analytical and numerical models were constructed to verify the increase in panel sound transmission loss, observing gains in the tuning region of the metamaterial. After sample production, an experimental bench was set up to verify the increase in transmission loss generated by the addition of metamaterial. Through the various analyzes performed, it can be concluded that the number of unit cells and their positioning inside the cavity can generate again in the loss of sound transmission to the metamaterial tuning region.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Esquema em corte transversal da cabine de passageiros, mostrando painel
aeronáutico e listando seus componentes (Adaptado de:(CAMPOLINA, 2012)) . . . 39
Figura 2 Ilustração da propagação de uma onda acústica em um material poroso (Fonte:(MAREZE, 2013)) . . . 44
Figura 3 Exemplo de um material com terminação do tipo dead-end (Adaptado de Dupont et al. (2011)). . . 48
Figura 4 Exemplo de um material com terminação do tipo dead-end (Adaptado de Dupont et al. (2011)). . . 49
Figura 5 Ilustração para explicar as premissas do método TMM (Ilustração adaptada de (ALLARD; ATALLA, 2009)).. . . 52
Figura 6 Onda sonora incidindo sobre um meio multicamadas (Fonte:(ALLARD; ATALLA, 2009)) . . . 55
Figura 7 Esquema da geometria de metamaterial usada nesse trabalho (Fonte: (LE-CLAIRE et al., 2015). . . 60
Figura 8 Estrutura periódica isotrópica utilizada para dedução feita por (BRA-DLEY, 1994) (Modificado de (BRA(BRA-DLEY, 1994)) . . . 61
Figura 9 Ilustração que apresenta um arranjo de células unitárias. . . 65
Figura 10 Esquema ilustrativo para orientar os parâmetros geométricos do metama-terial, vista em corte de uma célula unitária.. . . 72
Figura 11 Geometria das amostras utilizadas para comparação entre modelo numérico e analítico. . . 72
Figura 12 Geometria do modelo numérico, usada no experimento virtual. . . 73
Figura 13 Ilustrações para apresentar as malhas. . . 75
Figura 14 Comparação numérica analítica da absorção sonora da amostra 1. . . 76
Figura 15 Geometria construída no Comsol evidenciando o pequeno prologamento dos DE na amostra 1. . . 77
Figura 16 Comparação numérica analítica da absorção sonora da amostra 1 com cor-reção para o comprimento efetivo do DE no modelo analítico. . . 77
Figura 17 Exemplo do méodo FDM para impressão 3D, mostrando o avanço da im-pressão em 3 instantes diferentes. . . 78
Figura 18 Geometrias das amostras utilizadas para comparação entre modelo
numé-rico e analítico. . . 79
Figura 19 Amostras impressas usadas para validação do modelo numérico e analítico. 80 Figura 20 Amostras impressas e preparadas para medição.. . . 80
Figura 21 Amostra instalada no porta amostra. . . 81
Figura 22 Comparação entre os resultados de absorção sonora medidos e simulados para a amostra 1. . . 81
Figura 23 Modificando os raios do modelo em TMM para ilustrar o efeito de uma amostra com dimensões diferentes da projetada. . . 82
Figura 24 Comparação entre resultados experimentais, numéricos e analíticos obtidos para a amostra 4. . . 83
Figura 25 Resultado de absorção sonora medido para a amostra 2 comparados ao resultado numérico para a mesma amostra. . . 83
Figura 26 Absorção sonora variando o parâmetro "d". . . 85
Figura 27 Absorção sonora variando o parâmetro "aDE". . . 86
Figura 28 Absorção sonora variando o parâmetro "N". . . 87
Figura 29 Absorção sonora variando o parâmetro "h". . . 88
Figura 30 Absorção sonora variando o parâmetro "n". . . 88
Figura 31 Absorção sonora variando o parâmetro "amp". . . 89
Figura 32 Absorção sonora variando o parâmetro "φ". . . 90
Figura 33 Imagem da amostra impressa em empresa externa. . . 95
Figura 34 Absorção sonora obtida para metamaterial otimizado. . . 96
Figura 35 Média e intervalo de confiança (nuvem) das 10 medições. . . 97
Figura 36 Absorção sonora medida para as 50 amostras com a média dos resultados (linha preta). . . 97
Figura 37 Média das absorções sonora com seu desvio padrão (nuvem). . . 98
Figura 38 Esquema para explicar o fluxo de energia para uma partição exposta a uma potência sonora. . . 99
Figura 39 Geometria em vista de corte, utilizada simular o painel reduzido com a adição de metamaterial. . . 101
Figura 40 Parte geométrica na qual foi aplicada a condição de contorno de parede rígida e LRF.. . . 102 Figura 41 Resultados de perda de transmissão do modelo variando o tamanho máximo do elemento Shell. . . 105 Figura 42 Ondas sonoras planas incidindo sobre um plano xy. . . 109 Figura 43 Resultados de perda de transmissão obtidos para a sintonia de 650 Hz sem material poroso na cavidade. . . 111 Figura 44 Resultados de TL obtidos para o uso do metamaterial otimizado sem a existência de material poroso na cavidade. . . 112 Figura 45 Resultados de TL obtidos para o uso do metamaterial otimizado com a existência de melamina na cavidade. . . 113 Figura 46 Perda de transmissão obtida para 2 números diferentes de ondas usadas no cálculo do campo difuso.. . . 114 Figura 47 Esquema ilustrando os dois sentidos de excitação testados na análise de reciprocidade do modelo numérico de TL.. . . 114 Figura 48 Resultados numéricos obtidos com um teste de reciprocidade para a exci-tação com campo difuso usando 36 células unitárias no metamaterial. . . 115 Figura 49 Variação da TL em função da frequência e número de células unitárias que compõem o metamaterial. . . 115 Figura 50 Vista esquemática em corte da barreira com o painel montado. . . 117 Figura 51 Resultado experimental para TL do painel reduzido sem material poroso. 119 Figura 52 Resultado experimental para TL do painel reduzido utilizando fibra de vidro com 7,5 mm de espessura em conjunto do metamaterial. . . 119 Figura 53 Resultado experimental para TL do painel reduzido utilizando melamina com 7,5 mm de espessura em conjunto do metamaterial. . . 120 Figura 54 Comparação entre metamaterial aberto e fechado para as medições do grupo 1. . . 121 Figura 55 Amortecimento da placa reduzida medido para 3 configurações diferentes. 123 Figura 56 Vista esquemática em corte da barreira com o painel montado. . . 124 Figura 57 Perda de transmissão para um painel completo com inclusão de metama-terial. . . 124 Figura 58 Comparação numérica analítica da absorção sonora da amostra 2. . . 139
Figura 59 Comparação numérica analítica da absorção sonora da amostra 3. . . 139 Figura 60 Comparação numérica analítica da absorção sonora da amostra 4. . . 140 Figura 61 Absorção sonora para o tubo de impedância utilizado na análise das amos-tras impressas no laboratório. . . 140 Figura 62 Comparação entre resultados experimentais, numéricos e analíticos obtidos para a amostra 3. . . 141 Figura 63 Foto da vedação utilizada no inserto dos microfones para evitar vazamento.141 Figura 64 Garantiu-se vedação total do porta amostra. . . 142 Figura 65 Fixou-se a amostra com uma fita dupla-face. . . 142 Figura 66 Resultados de perda de transmissão obtidos para a sintonia de 700 Hz sem material poroso na cavidade. . . 143 Figura 67 Resultados de perda de transmissão obtidos para a sintonia de 700 Hz com melamina na cavidade. . . 143 Figura 68 Resultados de perda de transmissão obtidos para a sintonia de 650 Hz com melamina na cavidade. . . 144 Figura 69 Resultados de perda de transmissão numéricos obtidos com melamina e metamaterial dentro da cavidade, comparando-se banda estreita com bandas de 124. 144 Figura 70 Imagem frontal do painel montado na barreira, vista da câmara emissora. 145 Figura 71 Vedação com fita de alumínio na cavidade do painel medido. . . 145 Figura 72 Metamaterial aplicado como tratamento acústico do painel sem material poroso, com um total de 36 células unitárias. . . 145 Figura 73 Porta amostra utilizado para aplicar material poroso no painel reduzido com a inclusão de metamaterial composto por 36 células unitárias. . . 146 Figura 74 Cavidade do painel reduzido com tratamento aplicado, sendo o mesmo composto de melamina e metamaterial com 36 células unitárias. . . 146 Figura 75 Células unitárias tampadas com fita de alumínio para avaliar efeito de massa e amortecimento. . . 146 Figura 76 Placa montada sobre cavaletes para medição de tempo de reverberação, fixada com sargentos. . . 147 Figura 77 Fitas de alumínio coladas sobre a superfície da placa a ser medida. . . 147 Figura 78 Metamaterial colado sobre a placa e instrumentado para medição de tempo
de reverberação. . . 147 Figura 79 Sargento utilizado para apertar placa de alumínio com chapas de MDF. . . 148
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Valores utilizados para cada parâmetro geométrico nas amostras testadas. 73 Tabela 2 Valores usados nos parâmetros para construção da malha em cada região da geometria.. . . 76 Tabela 3 Valores dos parâmetros geométricos das amostras. . . 79 Tabela 4 Parâmetros fixos usados na análise paramétrica do metamaterial. . . 84 Tabela 5 Parâmetros utilizados na construção da população para otimização do me-tamaterial. . . 94 Tabela 6 Valor ótimos obtidos para máxima absorção em 500 Hz. . . 94 Tabela 7 Tabela dos valores utilizados na construção das malhas . . . 104 Tabela 8 Tabela Plano de medições. . . 118 Tabela 10 Resultados de insertion loss para as bandas de 480 Hz e 494 Hz. . . 121 Tabela 11 Parâmetros usados no modelo JCA para representar a absorção da amostra da melamina de 0,6 pcf (cinza) utilizada na medição das amostras 2 e 3. . . 141
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
BL Base line.
DE Sem saída (dead-end). ED Evolução diferencial.
FDM Fused Deposition Modeling. IL Perda por inserção (Insertion Loss).
JCA Modelo de fluído equivalente proposto por Johnsom-Cahmpoux-Allard. LPM Método da matriz transferência.
LRF Low Reduced Frequency. MP Poro principal (main-pore).
TBL Camada limite turbulenta (Turbulent boundary layer). TMM Método da matriz transferência.
LISTA DE SÍMBOLOS
Alfabeto romano
A Área em torno entrada de uma célula unitária do metamaterial. [m2]
a Raio do tubo. [m]
A2 Área de absorção sonora média da câmara receptora. [m2]
AT Área da seção transversal do tubo. [m2]
Aporo Área superficial do poro. [m2]
ADE Área de seção transversal do tubo sem saída DE. [m2]
aDE Raio do poro sem saída (DE). [m]
Amp Área da seção transversal do tubo principal. [m2]
amp Raio do poro principal. [m]
C Módulo de compressibilidade do metamaterial. [Pa]
e
c0(ω) Velocidade do som complexa e variante na frequência. [m/s]
c0 Velocidade da onda de propagação no fluído. [m/s]
cp Calor específico a pressão constante. [J/kg.K]
CDE Módulo de compressibilidade do tubo sem saída. [Pa]
Cmp Módulo de compressibilidade do tubo principal. [Pa]
D Rigidez a flexão. [Pa.m3]
d Comprimento do tubo sem saída DE. [m]
E Módulo de elasticidade. [Pa]
fdec Frequência de desacoplamento entre fase sólida e fluída. [Hz] Fobj Função objetiva.
G(x, y) Função de Green.
h Espessura da camada no TMM. [m]
hs Espessura da placa no modelo de placa fina em TMM. [m]
J0 Função de bessel de ordem 0.
J2 Função de Bessel de segunda ordem.
k Número de onda. [1/m]
k0 Número de onda no ar. [1/m]
kc Número de onda complexo. [1/m]
kh Número de onda térmico. [1/m]
kv Número de onda viscoso. [1/m]
kx Número da onda propagando na direção x. [1/m]
kDE Número de onda no fluído que está dentro do tubo DE. [1/m]
f
Kef Módulo de compressibilidade efetivo do fluído. [Pa]
˜keq(ω) Número de onda complexo equivalente. [1/m]
kinc Número da onda de incidênte. [1/m]
kmp Número de onda no tubo principal. [1/m]
kxi Número de onda na direção x para a onda i. [1/m]
kyi Número de onda na direção y para a onda i. [1/m]
L Espessura da amostra. [m]
l Comprimento do poro DE. [m]
L1 Nível de pressão sonora médio espacial na câmara emissora. [dB]
L2 Nível de pressão sonora médio espacial da câmara receptora. [dB]
mA Massa por unidade de área. [kg/m2]
MM Massa por unidade de área para a matriz de elementos ressonântes. [kg/m2]
N Número de tubos sem saída DE por período. [int]
n0 Número inteiro e par. [int]
nc Número de camadas existentes no meio sedimentado. [int]
ne Número inteiro e ímpar. [int]
nφ Número de células unitárias em uma determinada área. [int] Nθ Número de angulos usados no cáculo do campo difuso. [int]
nint Número inteiro. [int]
Nmeta Número de células unitárias no plano. [int]
Nondas Número de ondas usadas no cálculo do campo difuso. [int] Nphi Número de fases aleatórias usadas no caculo do campo difuso. [-]
P Amplitude da pressão incidente. [Pa]
p Pressão sonora. [Pa]
P0 Magnitude da pressão imposta no modelo numérico. [Pa]
p0 Magnitude da pressão que incide sobre a superfície. [Pa]
pl
± Pressão sonora posterior a entrada do tubo principal de cada célula unitária.[Pa]
pr
± Pressão sonora anterior a entrada do tubo principal de cada célula unitária.[Pa]
pDif f Pressão calculada para o campo difuso. [Pa]
Pr Número de Prandlt [-]
Q Vazão volumétrica constante. [m3/s]
q Número de onda de Bloch.
qd Termo representante de um dipolo.
R Coeficiente de reflexão. [-]
R′
n Coeficiente de reflexão do metamaterial com terminação de parede rígida. [-] r′
n Coeficiente de reflexão do metamaterial com terminação de parede rígida. [-] Rn Coeficiente de reflexão para o metamaterial com terminação aberta. [-]
Sa Área superficial da amostra. [m2]
Sν Área do elemento para cálculo da potência sonora. [m2]
Samos Área da amostra medida. [m2]
Spainel Área do painel. [m2]
T Coeficiente de transmissão. [-]
Tn Coeficiente de transmissão para o metamaterial com terminação aberta. [-] tn Coeficiente de transmissão para o metamaterial com terminação infinita. [-]
T L Perda de transmissão sonora. [dB]
T Ld Perda de transmissão para incidência difusa. [dB]
u Velocidade de partícula na direção x. [m/s]
vi(~r) Velocidade microscópica no interior do poro. [m/s2]
vi(~rw) Velocidade microscópica da parede do poro. [m/s2]
Vp Volume de poros abertos. [m3]
Vt Volume total da amostra. [m3]
vx(M) Velocidade normal a placa no ponto M. [m/s]
Vporo Volume do poro. [m3]
VDE Volume do tubo sem saída. [m3]
Vmp Volume do tubo principal. [m3]
Wdiss Potência dissipada pela partição. [W]
Win Potência sonora incidente. [W]
WLP M Potência sonora radiada calculada pelo método dos parâmetros concentrados.[W]
Wout Potência transmitida para o próximo meio. [W]
Wrad Potência sonora transmitida. [W]
WR Potência refletida pela partição. [W]
Y Adimitância do tubo. [m3/Pa.s]
Y1 Adimitância do tubo DE. [m3/Pa.s]
Y2 Admitância do tubo aberto. [m3/Pa.s]
Z Impedância característica do tubo aberto. [Pa.s/m]
z Posição da estrutura periódica.
Z1 Impedância característica do DE. [Pa.s/m]
Z2 Impedância característica do tubo aberto 2. [Pa.s/m]
Zc Impedâncida característica complexa. [N/m.s]
ZM Impedância de superfície do Metamaterial. [Pa.s/m]
Zs(ω) Impedância mecânica do painel. [N.s/m]
Zs Impedância de superfície do meio desimentado. [Pa.s/m]
Z0a Impedância acústica no tubo. [Pa.s/m3]
ZDE Impedância característica do fluido que está dentro do tubo DE. [kg/s.m2] ˜
Zeq(ω) Impedância característica complexa equivalente. [1/m]
Zmp Impedância característica do fluido que está dentro do tubo principal.[kg/s.m2]
ZSDE Impedância na entrada dos tubos sem saída. [-]
Alfabeto Gregos
α Coeficiente de absorção sonora. [-]
α∞ Tortuosidade. [-]
∆P Variação de pressão manométrica. [Pa]
ηs Fator de perda estrutural. [-]
ηexp Fator de amortecimento medido experimentalmente. [-]
γ Razão de calores específicos a pressão e volumes constantes. [-]
κ Condutividade térmica do fluído. [W/m.K]
Λ′ Comprimento característico térmico. [m]
Λ Comprimento característico viscoso. [m]
λar Comprimento de som para o elemento acústico. [m]
µ Viscosidade dinâmica do fluído. [m]
ν Coeficiênte de Poisson. [-]
ω Frequência angular. [rad/s]
φ′ Relação entre as amplitudes das ondas propagadas e refletidas na entrada do tubo principal das células unitárias do metamaterial. [-]
φ Taxa de perfuração superficial. [-]
φm Porosidade. [-]
π Número Pi. [rad]
ψ(z) Função solução para a equação diferencial com coeficiente periódicos na posição
z.
Ψ Função que representa o campo de calor em um duto, variando com sua geome-tria.
Ψv Função que representa o campo de viscosidade em um duto, variando com sua
geometria.
ρs Densidade para camada de placa fina. [kg/m3]
ρ0 Densidade do meio. [kg/m3]
e
ρeflimp Densidade efetiva considerando a inércia da estrututra. [kg/m
3]
ρef Densidade efetiva do fluído. [kg/m3]
e
ρef Densidade efetiva do meio. [kg/m3]
ρmat Densidade do material poroso. [kg/m3]
ρt Densidade total do fluído equivalente para o meio limp. [kg/m3]
σ Resistividade ao fluxo. [Ns/m4]
σxx(M) Tensão normal a placa no ponto M. [Pa]
τ Coeficiente de transmissão sonora. [-] θ Ângulo de incidência da onda sobre a primeira camada infinita. [rad] θmax Ângulo de incidência máximo para o campo difuso. [rad]
θmin Ângulode incidência mínimo para o campo difuso. [rad]
ϕ Fase da onda incidente sobre a superfície. [rad]
fband) Frequência central da banda. [Hz]
T60) Tempo de reverberação. [s]
Operadores Matemáticos e Convenções
T Série de Taylor. ∇ Operador gradiente. ∇· Operador divergente.
e Número de Euler.
Qm Termo representante de um monopolo. Re[] Parte real de um número complexo.
cos() Função cosseno. cotg() Função cotangente.
j Unidade imaginária, j=√−1. sen() Função seno.
Matrizes e vetores
D Matriz global do meio sedimentado.
D0 Matriz com as matrizes de transferência e acoplamento. I Matriz de interface.
J Matriz de interface.
M Matriz resultante da multiplicação entre as matrizes de cada perídodo do tubo principal.
T Matriz de transferência ou 4 polos. T(n) Matriz de transferência da camada n.
TC Matriz de transferência para a estrutura periódica. Tf Matriz de transferência para um fluído.
TM Matriz de transferência para elementos ressonântes.
Ts Matriz de transferência para uma placa fina.
Tinf Matriz que representa as infinitas células unitárias dispostas em um plano.
V(M′) Vetor de variáveis no ponto M’. V(M) Vetor de variáveis do ponto M. V(1)(M
2) Vetor com as variáveis de campo da camada 1 no ponto M2. V(2)(M
3) Vetor com as variáveis de campo da camada 2 no ponto M3.
V(f )(A) Vetor de variáveis do fluído no ponto A, anterior a primeira camada. V(f )(B) Vetor de variáveis do fluído no ponto B, posterior a última camada. V0 Matriz com os vetores de cada camada.
Vf(M′) Vetor de pressão e velocidade de partícula no ponto M’.
Vf(M) Vetor de pressão e velocidade de partícula no ponto M.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . 39 1.1 OBJETIVO . . . 40 2 MODELAGEM VIBRO-ACÚSTICA DE PAINEL DUPLO E SEU
TRATAMENTO . . . 43 2.1 MATERIAIS POROSOS . . . 43 2.1.1 Parâmetros macroscópicos . . . 44 2.1.1.1 Resistividade ao fluxo (σ) . . . 44 2.1.1.2 Porosidade (φm) . . . 45 2.1.1.3 Tortuosidade (α∞) . . . 45 2.1.1.4 Comprimentos característicos viscoso e térmico . . . 46 2.1.2 Modelo de fluido equivalente . . . 46 2.1.2.1 JCA Rígido . . . 47 2.1.2.2 JCA Flexível . . . 47 2.1.3 Modelo de fluido equivalente considerando poros do tipo "sem
saída"(dead-end) . . . 48
2.1.3.1 Modelo em escala microscópica . . . 49 2.1.4 Adicionando dissipação aos poros DE . . . 50 2.1.5 Inclusão dos poros DE no modelo JCA . . . 50 2.2 ANÁLISE POR MEIO DE UM SISTEMA MULTICAMADAS . . . 51 2.2.1 Método da matriz de transferência . . . 51 2.2.2 Camada de fluido . . . 52 2.2.3 Camada de placa fina . . . 53 2.2.4 Camada de elementos ressonantes . . . 54 2.2.5 Acoplamento entre camadas . . . 55 2.2.6 Montagem da matriz de transferência global e coeficientes de
ab-sorção e reflexão . . . 56 2.3 MODELO DE METAMATERIAL ACÚSTICO . . . 60 2.3.1 Solução por ondas de Bloch . . . 61 2.3.2 Matriz de transferência do Metamaterial . . . 63 2.4 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS . . . 66 2.4.1 Elemento acústico . . . 67 2.4.1.1 Dissipação em dutos circulares . . . 67 2.4.2 Elemento Shell . . . 69 2.4.3 Acoplamento entre fluido e estrutura . . . 69 3 VALIDAÇÃO DOS MODELOS ANALÍTICO E NUMÉRICO . . . 71 3.1 MODELO NUMÉRICO . . . 71
3.1.1 Condições de contorno e propriedades dos materiais . . . 73 3.1.2 Considerações sobre a malha . . . 74 3.2 COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS DOS MODELOS NUMÉRICO E
ANALÍTICO . . . 76 3.3 VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL . . . 78 3.3.1 Impressão 3D de amostras do metamaterial . . . 78 3.3.2 Amostras impressas . . . 79 3.3.3 Resultados de absorção experimentais . . . 81 3.4 ANÁLISE DA ABSORÇÃO SONORA VIA PARAMETRIZAÇÃO
GEOMÉ-TRICA . . . 84 3.4.1 Comprimento do Dead-end (d) . . . 85 3.4.2 Raio do Dead-end (aDE) . . . 85
3.4.3 Número de Dead-end por período (N) . . . 86 3.4.4 Comprimento do período (h) . . . 87 3.4.5 Número de períodos (n) . . . 88 3.4.6 Raio do poro principal (amp) . . . 89
3.4.7 Porosidade superficial (φ) . . . 90 4 OTIMIZAÇÃO DO METAMATERIAL . . . 91 4.1 MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO DA EVOLUÇÃO DIFERENCIAL . . . 91 4.2 RESULTADOS DE OTIMIZAÇÃO . . . 94 4.3 ABSORÇÃO SONORA DO METAMATERIAL OTIMIZADO . . . 95 4.4 REPETIBILIDADE DA IMPRESSÃO DO METAMATERIAL . . . 96 5 METAMATERIAL APLICADO NO TRATAMENTO ACÚSTICO EM
PAINÉIS DUPLOS . . . 99 5.1 MODELO NUMÉRICO DO PAINEL DUPLO . . . 101 5.1.1 Condições de contorno . . . 102 5.1.2 Perdas viscosas e térmicas no modelo acústico . . . 102 5.1.3 Geração das malhas . . . 103 5.2 CÁLCULO NUMÉRICO DA PERDA DE TRANSMISSÃO . . . 105 5.2.1 Potência sonora radiada pela placa . . . 106 5.2.2 Excitação por campo difuso . . . 108 5.3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS COMPARADOS AOS MODELOS . . . 110 5.3.1 Configurações analisadas . . . 110 5.3.2 Resultados numéricos de perda de transmissão . . . 111 5.3.3 Organização do experimento . . . 116 5.3.4 Resultados experimentais . . . 118 5.4 AMORTECIMENTO ESTRUTURAL PRODUZIDO PELA ADIÇÃO DE
ME-TAMATERIAIS . . . 122 5.5 PERDA DE TRANSMISSÃO PARA O PAINEL AERONÁUTICO . . . 123
6 CONCLUSÕES . . . 127 6.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS . . . 129 REFERÊNCIAS . . . 131 APÊNDICE A -- Apêndice . . . 139 ANEXO A -- Teste Anexo . . . 151
39
1 INTRODUÇÃO
O campo sonoro encontrado no interior de uma aeronave influencia diretamente na experiência dos passageiros durante o voo. Sabe-se que elevados níveis de pressão sonora podem gerar desconforto aos passageiros, sendo portanto, importante que esses níveis sejam controlados.
O uso da aviação como meio de transporte, em 2016, teve um aumento de 240 mil passageiros, representando um acréscimo de 6,8% em relação a 2015 (ORGANIZATION, 2016). Esse aumento acarreta na intensificação da demanda por qualidade dos produtos desenvolvidos pelas empresas aeronáuticas. Tais demandas estão direcionadas às questões como, segurança, consumo de combustível, custo de produção e conforto (HINNINGHO-FEN; ENCK, 2006). No último, pode-se alocar a necessidade de uma melhor experiência sonora para os passageiros, ou seja, maior conforto acústico. Além disso, o ruído no inte-rior da aeronave pode prejudicar os passageiros sendo os comissários de bordo e pilotos os mais afetados, acarretando em maior custos para as empresas de transporte aéreo (MEL-LERT et al., 2008). São várias as fontes que contribuem para o campo sonoro do interior da aeronave, entre elas pode-se citar o ruído produzido pelo motores, que subdivide-se em ruído de jato e ruído de fan, e o ruído produzido pela vibração da estrutura do avião, excitada pela camada limite turbulenta (turbulent boundary layer - TBL). É possível afir-mar que a fonte mais importante para o campo acústico do interior da aeronave são as ondas sonoras geradas pela excitação da fuselagem por TBL (MONTGOMERY, 2004).
Esta estrutura que envolve os passageiros e o compartimento de carga é composta por painéis acoplados entre sí, demonstrado na Figura 1:
Figura 1 – Esquema em corte transversal da cabine de passageiros, mostrando painel aeronáutico e listando seus componentes (Adaptado de:(CAMPOLINA, 2012))
As estruturas mais importantes são:
40
• Fuselagem: protege o interior da aeronave contra o ambiente externo; • Material poroso: posicionado entre o painel de interior e a fuselagem; • Reforços: reforçam a fuselagem para permitir a pressurização da mesma.
• Isolador: acoplam painel de interior com reforços da fuselagem, amortecendo as vibrações vindas da fuselagem.
O ruído produzido pela vibração da fuselagem tem origem nos vórtices desprendidos pela TBL. Esse carregamento gera ondas de flexão, transmitindo energia por meio de vibrações e ondas acústicas para o painel de interior. Os caminhos de transmissão da energia para o painel externo são o estrutural e o aéreo. No caminho estrutural, ondas de vibração são propagadas da fuselagem para os reforços, dos reforços para o isolador e, por fim, para o painel interno. No segundo caso, a energia transmitida via ondas sonoras, através do material poroso e pelo ar, excitando posteriormente o painel interno. Em ambos os caminhos de transmissão, o painel interno é excitado gerando ondas de flexão, as quais radiam ruído para o interior da aeronave.
Nesse trabalho, busca-se aumentar a perda de transmissão sonora da aeronave fo-cando na energia que se propaga pelo caminho aéreo. O tratamento acústico produz grandes atenuações em médias e altas frequências, no entanto, falha consideravelmente em baixas frequências (FAHY, 2000). Para solucionar esse problema, métodos de otimiza-ção (TANNEAU; CASIMIR; LAMARY, 2006) e configurações multicamadas (LEE et al., 2007) já foram usados, no entanto, poucos ganhos foram obtidos em baixas frequências. Para sanar esse problema, propôs-se fazer uso de um conceito de metamaterial acústico. Após uma revisão bibliográfica constatou-se que existem vários conceitos de metamateriais para tornar uma partição eficiente em baixas frequências. A dificuldade desses conceitos está na aplicação pois vários deles ainda não podem ser produzidos. Assim, foi proposto o uso de um metamaterial que fosse factível fabricar e testar. A seguir, são apresentados os objetivos desse trabalho.
1.1 OBJETIVO
O objetivo desse trabalho está em apresentar a utilização de metamaterial acústico aplicado ao painel aeronáutico, como alternativa no controle do campo acústico interno da cabine aeronáutica em uma determinada faixa de frequência. Para alcançar essa proposta, cinco objetivos específicos foram criados.
1. Modelagem analítica e numérica da absorção sonora do metamaterial escolhido; 2. Validação experimental dos modelos de absorção sonora;
41
4. Moelagem analítica e numérica da perda de transmissão do painel duplo com meta-material;
5. Validação experimental do modelo da perda de transmissão do painel;
Para facilitar o entendimento do processo realizado para vencer todos os objetivos específicos e atingir o principal, segue abaixo uma remissa cronológica das etapas desse estudo.
Primeiramente, formulam-se todas as ferramentas analíticas e numéricas utilizadas para modelar o comportamento do metamaterial escolhido, sendo que, ao mesmo tempo descreve-se a ideia por trás do mesmo. Nessa etapa modelos analíticos e numéricos foram implementados, comparando-se seus respectivos resultados.
Vencida a etapa de modelagem validaram-se em tubo de impedância os resultados de absorção sonora obtidos via modelo analítico e numérico. Com isso, foi possível realizar uma análise paramétrica, visando entender a influência dos seus parâmetros geométricos na sua resposta de absorção sonora.
Observada a dificuldade em sintonizar o metamaterial para uma faixa de frequência desejada, realizou-se um processo de otimização para garantir máxima eficiência. Amos-tras de metamaterial foram impressas para validação experimental da otimização, sendo que, aproveitou-se para testar a repetibilidade nos resultados de absorção sonora, obtidos com os lotes de amostra impressa.
Uma vez terminado o processo de otimização e validação do metamaterial, modelou-se analítica e numericamente o painel duplo com o metamaterial incluso em modelou-seu trata-mento. Diversos testes numéricos foram realizados para analisar convergência de malha e condições de contorno usadas.
Por fim, analisou-se experimentalmente a perda de transmissão de um painel duplo com a inclusão do metamaterial em seu tratamento acústico. Uma bancada experimental foi construída, de modo a aproximar o experimento ao modelo numérico modelado.
Após vencidas as cinco etapas, discutem-se as conclusões obtidas com o objetivo principal no decorrer do processo, fechando esse trabalho.
43
2 MODELAGEM VIBRO-ACÚSTICA DE PAINEL DUPLO E SEU TRATAMENTO
Quando se busca controlar o campo acústico de um ambiente restringindo a quan-tidade de energia sonora transmitida por uma fonte externa deve-se analisar as partições que dividem esse ambiente. Para melhor elucidar essa ideia, assume-se a existência de uma partição infinita com espessura finita, sobre a qual incide uma onda sonora. A inci-dência dessa onda provoca uma reação na estrutura fazendo com que a partição produza outras duas ondas sonoras, sendo uma onda refletida para o primeiro meio e uma segunda radiada pela partição ao segundo meio, denominada transmitida
A onda sonora transmitida apresenta magnitude inferior à incidente que pode ser atribuída a dois mecanismos de atenuação. A partição pode absorver energia transfor-mando em calor e pela reflexão da onda sonora. O parâmetro que mensura a perda de transmissão entre dois meios separados por uma partição baseia-se na razão entre a po-tência sonora incidente (Win) e a potência sonora transmitida (Wrad) . Este parâmetro é
determinado de coeficiente transmissão sonora (τ) , expresso por,
τ = Win
Wrad. (2.1)
Como os valores de τ apresentam grande variação de magnitude é interessante representá-lo na escala logarítmica, decibel. Assim, define-se a perda de transmissão sonora (T L) conforme a Equação (2.2),
T L= 10 log10
1
τ
. (2.2)
O enfoque desse capítulo consiste em apresentar modelos de perda de transmissão para partições que tenham diferentes camadas. Inicia com o estudo de modelos simpli-ficados de materiais porosos, apresentando os utilizados neste trabalho juntamente com seus respectivos parâmetros. Por conseguinte, será introduzida a ideia geral, os casos e as suposições do modelo analítico usado para descrever a perda de transmissão sonora. Para finalizar, será apresentado o modelo numérico utilizado para validar os resultados analíticos.
2.1 MATERIAIS POROSOS
O termo material poroso nesse trabalho se refere a espumas e lãs1 que possuem células abertas, pelas quais o ar pode se bombeado. A Figura 2 ilustra as três formas de dissipação da energia acústica transportada por uma onda sonora em um material poroso.
1Existem outros tipos de materiais porosos que não serão abordados nesse trabalho, como materiais
44
Figura 2 – Ilustração da propagação de uma onda acústica em um material poroso (Fonte:(MAREZE, 2013))
É interessante observar que a onda sonora ao se propagar pelo material poroso in-duz vibração na estrutura sólida do material e, ao mesmo tempo, propaga-se pelo fluido. Assim, é possível subdividir o material poroso em duas fases, uma sólida e outra fluída. As dissipações de energia da onda se dá por três formas, sendo duas no fluido e uma na estrutura sólida. As dissipações no fluido são produzidas pelas camadas limites vis-cosa e térmica, devidas ao cisalhamento do fluido próximo às paredes e fluxos de calor irreversíveis. As ondas sonoras que se propagam pela fase sólida dissipam-se devido ao amortecimento do material. Há também a relaxação molecular, mas os efeitos são muito pequenos.
No decorrer de estudos de diversos autores para compreender o comportamento de ondas sonoras em materiais porosos, foram criados vários modelos e hipóteses (DELANY; BAZLEY, 1970; ZWIKKER; KOSTEN, 1949; JOHNSON; KOPLIK; DASHEN, 1987). A seguir, será apresentado o modelo utilizado nesse trabalho.
2.1.1 Parâmetros macroscópicos
Para calcular a capacidade de atenuação de materiais porosos os modelos costumam fazer uso de cinco parâmetros macroscópicos (ALLARD; ATALLA, 2009), os quais re-presentam os efeitos de forma e arranjo dos poros no interior dos materiais. Os valores desses parâmetros utilizados foram obtidos por uma caracterização inversa (ATALLA; PANNETON, 2005; CAVALHEIRO et al., 2017). A seguir são apresentados os cinco parâmetros.
2.1.1.1 Resistividade ao fluxo (σ)
É o parâmetro mais influente quando visa-se aumentar a capacidade de um determi-nado material poroso em absorver energia sonora. Esse parâmetro descreve a dificuldade
45
que uma determinada vazão tem em atravessar uma camada de material, sendo que sua unidade no sistema internacional é [Ns/m4] ou [Rayls/m]. Analiticamente, pode-se definir a resistividade ao fluxo conforme a Equação (2.3),
σ= ∆P Sa
QL . (2.3)
A variação de pressão manométrica (∆P ) medida ao aplicar uma vazão volumétrica con-tante (Q) a uma amostra de espessura L e área superficial Sa são formas de obter a
resistividade ao fluxo do material. Esse método é normatizado pelas normas ASTM-C522-03 (2016) e ISO-9053-1 (2018).
2.1.1.2 Porosidade (φm)
A porosidade de um material poroso, definida por uma razão de volumes, representa a razão entre o volume de poros abertos (Vp) e o volume total da amostra (Vt) , conforme
a Equação (2.4)
φm = Vp
Vt. (2.4)
Quanto mais próximo do valor unitário, maior tende a ser a capacidade do material de absorver energia sonora.
2.1.1.3 Tortuosidade (α∞)
A tortuosidade mensura o quanto os caminhos gerados pelos poros abertos propor-cionam desvios em relação à direção do eixo no qual a onda sonora se propagada no material, ou seja, a tortuosidade dos canais existentes no material poroso. Além disso, a tortuosidade também descreve o quão desuniforme é a seção transversal no decorrer de um canal do material poroso. A tortuosidade foi bem definida por (JOHNSON; KOPLIK; DASHEN, 1987), assumindo que uma amostra de material poroso esteja saturada com um fluido ideal e não viscoso, pode-se definir a tortuosidade através da Equação (2.5),
α∞=
ρef(ω)
ρ0
, (2.5)
sendo ρef a densidade efetiva2 do fluido equivalente e ρ0 a densidade do meio.
46
2.1.1.4 Comprimentos característicos viscoso e térmico
O comprimento característico viscoso (Λ) foi proposto por (JOHNSON; KOPLIK; DASHEN, 1987) e representa as perdas viscosas existentes no interior dos poros. É defi-nido pela Equação (2.6),
2 Λ = R Aporov 2 i(~rw)dAporo R Vporov 2 i(~r)dVporo . (2.6)
Considera-se o fluxo constante de um fluido não-viscoso através de uma estrutura porosa onde vi(~rw) representa a velocidade microscópica na parede do poro e a integral
no numerador é calculada ao longo da área superfícial Aporodo poro de volume elementar.
A velocidade microscópica vi(~r) é a velocidade no interior do poro, sendo que a integral
no denominador é calculada em relação ao volume Vporo do poro. É importante observar que as velocidades microscópicas quadráticas ao longo da superfície do poro e ao longo do volume do poro, tornam-se fatores de peso para a razão de área do poro por volume do poro.
O comprimento característico térmico (Λ′) foi apresentado por (CHAMPOUX; AL-LARD, 1991), definido pela Equação (2.7),
2 Λ′ = R AporodAporo R VporodVporo = Aporo Vporo , (2.7)
dado pela razão entre a integral de superfície no interior do poro infinitesimal pela integral de volume do poro. A solução das integrais leva à relação da área superficial do poro (Aporo) dividida pelo volume do mesmo (Vporo). Diferente do comprimento característico viscoso que possui as velocidades microscópicas gerando fatores de peso no cálculo do seu comprimento, o térmico não possui.
2.1.2 Modelo de fluido equivalente
Uma vez definidos os parâmetros macroscópicos, pode-se descrever os modelos utili-zados nesse trabalho para estimar o comportamento acústico em materiais porosos. Nesse trabalho, fez-se uso de modelos fenomenológicos propostos por (JOHNSON; KOPLIK; DASHEN, 1987; CHAMPOUX; ALLARD, 1991). Tal modelo é comumente chamado de JCA em homenagem aos seus criadores, sendo esse um modelo de fluido equivalente, densidade (ρefe ) e módulo de compressibilidade (Keff ). Este modelo desconsidera as
in-terações entre a parte estrutural do material poroso e o fluido em seu interior, ou seja, considera-se que o material poroso seja rígido. (ZWIKKER; KOSTEN, 1949) apresentam a Equação (2.8) para calcular a frequência de desacoplamento (fdec) entre as fases sólida
47 fdec = 1 2π φ2 mσ ρmat. (2.8)
Essa frequência indica o desacoplamento entre as fases do material poroso. Nessa faixa de frequência o acoplamento inercial-viscoso entre as fases é fraco, com isso a onda acústica que se propaga na fase fluída não exercerá influência na fase sólida do material. O modelo JCA rígido tem validade a partir dessa frequência. Quanto mais denso é o material poroso, ou seja, quanto maior a densidade do material poroso (ρmat3) menor será
sua frequência de desacoplamento, conforme pode-se observar na Equação (2.8).
Em sequência, é apresentado o modelo JCA válido para as frequências acima de
fdec (JCA Rígido) e uma aproximação para descrever o comportamento do material para
frequências inferiores a fdec (JCA Flexível).
2.1.2.1 JCA Rígido
Segundo (JOHNSON; KOPLIK; DASHEN, 1987; CHAMPOUX; ALLARD, 1991) pode-se definir a densidade dinâmica efetiva e o módulo de compressibilidade dinâmico efetivo do fluido equivalente, respectivamente, conforme as Equações (2.9) e (2.10),
e ρef(ω) = ρ0α∞ 1 + φmσ jωρ0α∞ 1 + j4ωρ0µα2∞ (σφmΛ)2 !! , (2.9) f Kef(ω) = γP0 γ − (γ − 1)1 + jωPrΛ8µ′2ρ0 q 1 + jωPrρ0Λ′2 16µ . (2.10)
Além dos cinco parâmetros macroscópicos já apresentados, existe a necessidade de conhecer a viscosidade dinâmica do fluido (µ), razão de calores específicos a pressão e volume constantes (γ) e o número de Prandlt (Pr). A variável "j" corresponde à unidade imaginária √−1, e será usada desta forma no decorrer deste trabalho. A frequência angular é escrita como ω (rad/s).
2.1.2.2 JCA Flexível
Para descrever corretamente o comportamento do material poroso em frequências abaixo de fdec é importante considerar a inércia da fase sólida do material para modelar
seu comportamento dinâmico. Para isso, parte-se da teoria proposta por (BIOT, 1956) desconsiderando a rigidez da fase sólida, visto que a mesma é irrelevante para materiais fibrosos utilizados nesse trabalho.
Conforme apresentado por (PANNETON, 2007) assume-se que o módulo de com-pressibilidade do material que compõem a estrutura do material poroso, apresenta um
48
valor muito maior que o módulo de compressibilidade do material poroso medido no vá-cuo. Tais simplificações feitas sobre a teoria de Biot levam à Equação (2.11) que descreve a densidade efetiva considerando a inércia da estrutura,
e ρeflimp = ρtρefe − ρ2 0 ρt+ρefe − 2ρ0 , (2.11)
sendo que ρt= ρmat+φmρ0 , ou seja, é necessário conhecer a densidade do material poroso medida no vácuo.
2.1.3 Modelo de fluido equivalente considerando poros do tipo "sem
saída"(dead-end)
Os modelos de fluido equivalente consideram que existem canais abertos que se ligam entre si, no entanto, para certos materiais existem canais que não se ligam a outra ramificação, gerando um caminho sem saída (dead-end, DE4). A Figura 3 ilustra esse conceito, onde pode-se observar os poros do tipo DE. O primeiro trabalho a apresentar um modelo para descrever o comportamento acústico de materiais deste tipo, foi proposto por (DUPONT et al., 2011).
Figura 3 – Exemplo de um material com terminação do tipo dead-end (Adaptado de Dupont et al. (2011)).
No trabalho apresentado por Dupont et al. (2011), e posteriormente validado por Dupont, Leclaire e Panneton (2011), foi feito o uso do modelo JCA para contar com a existência de canais sem saída, ou seja, poros do tipo DE no cálculo. No modelo JCA original, considera-se que todas as tubulações internas de um material poroso têm ligação com o meio externo, no entanto, Dupont, Leclaire e Panneton (2011) mostra que existem tubulações fechadas. Pode-se definir a admitância de um material poroso YP oroso, que
possui os dois tipos de poros, como a soma entre as admitâncias de Biot5 Y
B e DE
YDE, conforme exporto na Figura 3. A seguir, é apresentado um modelo para escala
4No decorrer do texto será utilizada a abreviatura DE referente aos caminhos sem saída no material
poroso.
49
microscópica. Posteriormente, mostra-se como incluir nesse modelo as perdas viscosas e térmicas. Para finalizar, mostra-se como considerar os poros DE no modelo JCA.
2.1.3.1 Modelo em escala microscópica
Considere um tubo de seção transversal constante com área S conforme a Figura 4.
Figura 4 – Exemplo de um material com terminação do tipo dead-end (Adaptado de Dupont et al. (2011)).
Em seu lado direito, o mesmo encontra-se ligado a uma terminação do tipo "Y", a qual ramifica em dois tubos com seções transversais constantes S1 e S2. Assumindo uma onda acústica que se propaga da esquerda para a direita, (BLACKSTOCK, 2000) mostra que a admitância do tubo (Y ) na bifurcação pode ser descrita pela Equação (2.12),
Y = Y1+ Y2, (2.12)
onde ocorre a soma das admitâncias do tubo DE (Y1) e tubo aberto (Y2) . Assumindo somente ondas planas, pode-se representar estas admitâncias em função das respectivas admitâncias, Y = S Z, Y1 = S1 Z1, Y2 = S2 Z2, (2.13)
sendo a impedância característica6 Z para o tubo aberto é igual a ρ
0c0 , ou seja, o produto entre densidade e a velocidade de propagação da onda no fluido, respectivamente. Ambos os tubos possuem impedâncias características Z1 e Z2 , sendo que o tubo com subíndice 1 está fechado DE e o tubo com subíndice 2 está aberto. (BLACKSTOCK, 2000) mostra que a impedância característica na entrada de um tubo fechado para ondas planas é equivalente a −jρ0c0cotg(kl) . Desta forma, pode-se escrever a admitância na entrada do tubo DE conforme Equação (2.14),
Y1 =
S1 −jρ0c0cotg(kl)
, (2.14)
onde l corresponde ao comprimento do poro DE e k é o número de onda.
50
2.1.4 Adicionando dissipação aos poros DE
Segundo Dupont et al. (2011), para considerar as perdas viscosas e térmicas no modelo macroscópico de poros DE, é suficiente substituir a impedância característica Z1 e o número de onda k pelos providos com o modelo JCA para o volume referente ao DE,
Z1 → ZDE, (2.15)
k → kDE. (2.16)
É interessante comentar que a formulação da seção anterior considera somente os efeitos produzidos pelas ondas estacionárias dentro do tubo DE. Esse modelo não conta com a presença de regiões muito pequenas, capazes de gerar pequenos vórtices locais na propagação da onda sonora pelo material.
2.1.5 Inclusão dos poros DE no modelo JCA
Considerando o modelo JCA Rígido descrito na Seção 2.1.2.1, pode-se reescrever as Equações (2.9) e (2.10), como segue,
ρeq(ω) = α∞ρ0 φ 1 − jωc ωF(ω) , (2.17) Keq(ω) = 1 φ γP0 γ − (γ − 1)1 − jPrωΛ8µ2ρ 0G(Prω) −1, (2.18)
onde F (ω), G(Prω) e ωc são, respectivamente, uma função de correção proposta por
Johnson, Koplik e Dashen (1987) para a densidade equivalente, uma correção para o módulo de compressibilidade proposta por Champoux e Allard (1991) e a frequência angular de corte proposta por Biot (1956), definidas na sequência, respectivamente,
F(ω) = s 1 + j4µρ0α2∞ φ2σ2Λ2ω, (2.19) GB2ω= s 1 + jρ0Λ2B2ω 16η , (2.20) ωc = σφ ρ0α∞ . (2.21)
Todos os parâmettros necessários para descrever a camada de material poroso po-dem ser derivados pela ρeq(ω) e Keq(ω), como, por exemplo o número de onda complexo
51 ˜ Zeq(ω) =qρeqKeq, (2.22) ˜keq(ω) = ω v u u tρeq(ω) Keq(ω). (2.23)
Dupont et al. (2011) comenta que é possível adicionar as perdas viscosas aos poros DE por meio do cálculo dos parâmetros macroscópicos usados no modelo. Lafarge et al. (1997) e (ALLARD; ATALLA, 2009) apresentam como calcular os parâmetros macroscó-picos para poros com formato cilíndrico, os quais foram usados nesse trabalho.
Por fim, para incluir os efeitos viscosos e térmicos existentes nos poros DE, basta calcular ˜Zeq(ω) e ˜keq(ω) aplicando nas Equações (2.13) e (2.12), finalizando o processo
por meio da soma de admitâncias dos poros abertos com o DE da Equação (2.12).
2.2 ANÁLISE POR MEIO DE UM SISTEMA MULTICAMADAS
Descrever o comportamento acústico de um sistema complexo como o de um painel aeronáutico é uma tarefa desafiadora, visto que existem vários componentes em sua com-posição. No entanto, pode-se simplificar o problema estratificando o painel, ou o ’meio’ no qual a onda sonora se propaga. Em outras palavras, a estratificação do problema é dada pela representação do mesmo por camadas. Cada camada representa uma parte do painel (chapa metálica, material poroso, metamaterial) para as quais suas propriedades são descritas por matrizes de transferência. A seguir, é apresentada a formulação por ma-trizes de transferência, seguida da matriz correspondente à cada camada utilizada para prever o comportamento de um painel aeronáutico.
2.2.1 Método da matriz de transferência
O método da matriz de transferência (TMM) assume um espaço bidimensional, no qual se propaga uma onda plana. Essa incide na interface com um determinado meio, o qual será tratado como uma camada, conforme a Figura 5. Essa camada é infinita na direção y e tem espessura h na direção x.
52
Figura 5 – Ilustração para explicar as premissas do método TMM (Ilustração adaptada de (ALLARD; ATALLA, 2009)).
A direção da onda incidente faz um ângulo θ em relação à normal à interface e o número de onda kinc, dado pela Equação (2.24),
kinc= k0sen(θ), (2.24)
onde k0 corresponde ao número de onda no ar. Os pontos M e M’ são as posições na fronteira entre os diferentes meios. Essas posições podem ser descritas por variáveis físicas, como por exemplo pressão e velocidade. Essas variáveis compõem vetores nos pontos M e M’, sendo eles respectivamente V(M) e V(M′).
Conforme descrito por (ALLARD; ATALLA, 2009) pode-se representar o compor-tamento da camada infinita através de uma matriz7 T , expressa em função de V(M) e V(M′), conforme Equação (2.25),
V(M) = TV(M′), (2.25)
sendo a matriz T dependente da espessura (h) e das propriedades físicas do material da camada.
2.2.2 Camada de fluido
Para definir o comportamento do campo acústico na fronteira entre meios, nos pontos M e M’, basta conhecer a pressão sonora (p) e a velocidade de partícula (u) na direção x nestas interfaces. Para descrever o campo acústico no ponto M pode-se escrever a transposta8 do vetor V
f conforme a Equação (2.26),
Vf(M)′ = [p(M), u(M)] . (2.26)
O mesmo vetor pode ser obtido para a posição M’. Conforme deduzido por (AL-LARD; ATALLA, 2009) pode-se escrever Equação (2.25) para essa camada fluída por
7Nesse documento, matrizes serão representadas por letras e símbolos em negritos, incluído também
vetores.
8Muitos dos vetores apresentados nesse relatório serão do tipo, coluna, sendo que o indicativo de
53
meio da Equação (2.27),
Vf(M) = TfVf(M′), (2.27)
onde a matriz Tf representa o comportamento acústico da camada de fluido. Essa matriz
é apresentada na Equação (2.28), Tf = cos(kxh) j ωρ0 kx sen(kxh) j kx ωρ0 sen(kxh) cos(kxh) , (2.28)
onde o número de onda kx =
q
k2
0 − (k0sen(θ))2. Na dedução dessa matriz desconsiderou-se a onda propagando na direção, y.
Para descrever o comportamento de uma camada de material poroso de estrutura rígida ou flexível pode-se fazer uso desta mesma matriz de transferência. Por meio dos modelos JCA descritos na Seção 2.1.2 é possível obter um módulo de compressibilidade e uma densidade complexa variante na frequência para o material poroso. Esses valores complexos são incluídos na matriz de transferência Tf por meio do número de onda kx
e da densidade do fluido ρ0. O número de onda complexo (ek) no fluido é dado pela Equação (2.29), e k(ω) = ω e c0(ω) , (2.29)
ondece0(ω) corresponde à velocidade do som complexa, calculada através da Equação (2.30),
e c0(ω) = v u u tKeff (ω) e ρef(ω). (2.30)
Pode-se, assim, reescrever a matriz Tf para considerar as perdas viscosas e térmicas
de uma camada de material poroso modelado como fluido equivalente, obtendo-se,
Tf = cos( e kxh) jωeρef ekx sen( e kxh) j ekx ωeρef sen( e kxh) cos(kxhe ) , (2.31)
2.2.3 Camada de placa fina
Conforme mostrado por (FAHY; GARDONIO, 2007), as ondas de flexão em placas são as maiores contribuintes para a radiação sonora destes componentes estruturais. Nesse trabalho, aproximou-se a fuselagem do painel aeronáutico por uma placa de alumínio com espessura de 1 mm. Assim, optou-se por usar o modelo de placas finas proposto por (ALLARD; ATALLA, 2009). Nesse modelo faz-se uso da espessura da placa (hs),
massa por unidade de área (mA) e rigidez a flexão (D). Segundo (FAHY; GARDONIO,
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Equações (2.32) e (2.33),
mA= ρshs, (2.32)
D= Eh3s
12(1 − ν2), (2.33)
onde E é o módulo de elasticidade da placa, ρs densidade e ν coeficiente de Poisson do
material da placa. Para deduzir a matriz de transferência referente à placa fina, Allard e Atalla (2009) partem da equação do movimento para uma placa vibrando em flexão de forma harmônica, e deduzem o vetor (Vs) que representa o campo mecânico nos pontos M e M′, apresentado em sua forma transposta,
Vs(M)′ =
h
σxx(M), vx(M)
i
. (2.34)
Pode-se observar que o comportamento dinâmico da placa é descrito pela velocidade normal à placa (vx) e pela tensão normal (σxx) , ambos na direção x e nas duas faces M
e M′. Por meio desses vetores e da equação do movimento pode-se mostrar que a matriz de transferência para uma placa fina (Ts) resulta na Equação (2.35),
Ts = 1 Zs(ω) 0 1 , (2.35)
na qual Zs(ω) representa a impedância mecânica do painel (FAHY, 2012), que pode ser
calculada através da Equação (2.36),
Zs(ω) = jωmA 1 − Dk4 inc ω2mA ! . (2.36)
É interessante observar que a matriz que descreve uma placa fina é quadrada com dimensão [2x2]. O amortecimento é introduzido na equação via módulo de elasticidade complexo,
e
E = E(1 + jηs), (2.37)
sendo que ηs é o fator de perda estrutural.
2.2.4 Camada de elementos ressonantes
A camada de elementos ressonantes serve para representar o Metamaterial no inte-rior do sistema multicamadas, no entanto, esta não apresenta uma espessura, ou seja, é representada somente como uma camada de impedância. A formulação usada para des-crever a camada de elementos ressonantes foi baseada na matriz de transferência proposta
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por (EFIMTSOV; LAZAREV, 2001), na forma,
TM = 1 jωMM 0 1 1 1 1/ZM 1 , (2.38)
de maneira que MM corresponde à massa por unidade de área e ZM é a impedância de
superfície do metamaterial. A massa por unidade de área considera os efeitos de inércia do fluido na entrada dos metamateriais, calculada através da Equação (2.39) (ALLARD; ATALLA, 2009),
MM = ρ0(0, 48
q
Amp(1 − 1, 14(φM))), (2.39)
sendo Amp a área de entrada da seção transversal do duto de entrada de cada ressonador
e φM a taxa de perfuração superficial gerada pelo array de ressonadores (DOUTRES;
ATALLA; OSMAN, 2015).
2.2.5 Acoplamento entre camadas
Para obter a matriz que descreve o comportamento das várias camadas em sequência, deve-se calcular uma matriz global. Conforme descrito por (ALLARD; ATALLA, 2009), quando o sistema é composto de camadas de diferentes naturezas, por exemplo, placa fina seguida de camada de material poroso, ar e outra placa fina, existe a necessidade de utilizar matrizes de interface entre essas diferentes camadas. Essas matrizes de interface se fazem presentes para dar continuidade às variáveis acústicas de campo de cada camada. O meio multicamadas é exemplificado na Figura 6, com o intuito de auxiliar a explicação das matrizes de interface.
Figura 6 – Onda sonora incidindo sobre um meio multicamadas (Fonte:(ALLARD; ATALLA, 2009))
A fronteira entre os meios9 (1) e (2) possui suas variáveis de campo descritas, res-pectivamente, pelos vetores V(1)(M
2) e V(2)(M3) . Conforme descrito por (ALLARD;
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ATALLA, 2009), para que exista uma condição de continuidade a Equação (2.40) deve ser válida,
V(1)(M
2) = V(2)(M3). (2.40)
Para que essa igualdade possa ser verdade para qualquer conjunto de camadas, existe a necessidade de criar matrizes de interface. A Equação (2.40) pode ser reescrita conforme a Equação (2.41),
I23V(1)(M2) + J23V(2)(M3) = 0, (2.41) sendo que I23 e J23 representam as matrizes de interface.
Para descrever o comportamento da onda incidente no ponto M4, reescreve-se a Equação (2.41) na forma,
I23V(1)(M2) + J23T(2)V(2)(M4) = 0, (2.42) onde T(2) representa a matriz de transferência da camada 2.
Para todas as de camadas utilizadas nesse trabalho, foram usadas as matrizes de interface propostas por (BROUARD; LAFARGE; ALLARD, 1995). Assim I23 e J23 são representados, respectivamente, pelas Equações (2.43) e (2.44),
I = 1 0 0 1 , (2.43) J = − 1 0 0 1 . (2.44)
O número de linhas das duas matrizes de interface é equivalente ao número de equações de continuidade na interface entre as camadas.
2.2.6 Montagem da matriz de transferência global e coeficientes de absorção e reflexão
A Equação (2.42) relaciona os vetores acústicos de campo que estão à direita do contorno, camada adjacente. Para o esquema apresentado na Figura 6 pode-se escrever as relações apresentadas nas Equações (2.45) e (2.46) baseadas na Equação (2.42),
If1V(f )(A) + Jf1T(1)V(1)(M2) = 0 (2.45)
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na qual i é apenas um índice e nc o número de camadas existentes no meio sedimentado.
Pode-se escrever um sistema de equações na forma D0V0 = 0 , com o intuito de modelar o comportamento do campo acústico para n camadas, sendo a matriz,
D0 = If1 Jf1T(1) 0 ... 0 0 0 I12 J12T(2) ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... Jf1T(nc−1) 0 0 0 0 ... I(nc−1)(nc) J(nc−1)(nc)T (nc) , (2.47)
e o vetor V0 é mostrado na Equação (2.48),
V′ 0 = h V(f )(A) V(1)(M 2) V(2)(M4) ... V(nc−1)(M(2nc−2)) V (nc)(M (2nc)) i . (2.48)
Como pode ser observado, a matriz D0 é retangular. Deve-se adicionar as condições de contorno na entrada e saída do sistema multicamadas. Nesse caso, são equações de impedância, que no início relacionem a pressão e a velocidade de partícula normal, e no final as variáveis de campo com a respectiva terminação. Para a camada usada nesse estudo (placa fina) como última camada, adicina-se a condição de impedância. Assim, se V0 tem dimensão N a matriz D0 possuirá (N-2) linhas e colunas. Para esse estudo considerou-se que o final do meio multicamadas termina em um fluido semi-infinito.
Para um meio multicamadas que termina em um fluido semi-infinito, deve-se formu-lar condições de continuidade entre as variáveis de campo da última camada com as do fluido semi-infinito. No caso do meio multicamadas apresentado na Figura 6, deve-se usar uma condição de continuidade para relacionar o vetor V(n)(M
2n), que leva as variáveis de campo no término da última camada, com o vetor V(f )(B), composto da pressão e velocidade de partícula num ponto B qualquer do meio semi-infinito, conforme expresso,
I(nc)fV
(nc)(M
2nc) + J(nc)fV
f(B) = 0, (2.49)
onde Vf(B) = [p(B) uf(B)]′. As matrizes I
(nc)f e J(nc)f dependem da natureza da última
camada. Conforme descrito por (ALLARD; ATALLA, 2009), pode-se descrever a termi-nação de fluido semi infinito pela impedância característica no ponto B (ZB) do fluido. A
impedância no ponto B é ZB/cos(θ) = p(B)/uf(B), ou conforme a Equação (2.50),
h
−1 ZB/cos(θ)iVf(B) = 0. (2.50)
