Análise do campo elétrico nas proximidades de uma junção tripla : metal - vácuo - dielétrico, através de simulações computacionais das equações de Maxwell

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Análise do Campo Elétrico nas Proximidades de

uma Junção Tripla: Metal - Vácuo - Dielétrico

Através de Simulações Computacionais das

Equações de Maxwell

Campinas

2014

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Guilherme Mauad Sant’Anna

Análise do Campo Elétrico nas Proximidades de uma

Junção Tripla: Metal - Vácuo - Dielétrico Através de

Simulações Computacionais das Equações de Maxwell

Dissertação apresentada à Faculdade de Enge-nharia Elétrica e de Computação da Univer-sidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica, na Área de Eletrônica, Microeletrônica e Optoeletrônica.

Orientador: Prof. Dr. Marco Antonio Robert Alves

Co-orientador Prof. Dr. Edmundo Silva Braga

Este exemplar corresponde à versão final da dissertação defendida pelo aluno Guilherme Mauad Sant’Anna, e orientada pelo Prof. Dr. Marco Antonio Robert Alves

Campinas

2014

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura

Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Sant'Anna, Guilherme Mauad,

Sa59a SanAnálise do campo elétrico nas proximidades de uma junção tripla : metal -vácuo - dielétrico, através de simulações computacionais das equações de Maxwell / Guilherme Mauad Sant'Anna. – Campinas, SP : [s.n.], 2014.

SanOrientador: Marco Antonio Robert Alves. SanCoorientador: Edmundo Silva Braga.

SanDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

San1. Campos elétricos. 2. Método dos elementos finitos. I. Alves, Marco Antonio Robert. II. Braga, Edmundo Silva. III. Universidade Estadual de Campinas.

Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Analysis of the electric field near a triple junction : metal vacuum -dielectric, through computer simulations of Maxwell's equations

Palavras-chave em inglês: Electric Field

Finite element method

Área de concentração: Eletrônica, Microeletrônica e Optoeletrônica Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica

Banca examinadora:

Marco Antonio Robert Alves [Orientador] Katia Franklin Abertin Torres

Gilmar Barreto

Data de defesa: 02-12-2014

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

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dades de uma junção tripla composta de metal, vácuo e dielétrico, utilizando simula-ções computacionais. Através do modelo bidimensional da junção obtido no software MAXWELL - ANSYS, foi possível analisar as magnitudes dos campos elétricos em função dos ângulos de contato dos materiais. Os resultados mostraram que um enri-quecimento de campo ou uma redução de campo podem ocorrer nas regiões próximas a junção tripla para certas razões entre os ângulos de contato. A influência da permis-sividade relativa do dielétrico no enriquecimento de campo também é estudada, e os resultados mostram que o ganho máximo do campo elétrico devido a este fenômeno é proporcional a permissividade relativa do dielétrico utilizado na junção. Uma satura-ção no valor de pico do enriquecimento foi manifestada nos resultados desta pesquisa, a medida que a permissividade relativa do dielétrico aumentava a sua magnitude. Esta saturação parece estar relacionada ao fato de que o incremento da tensão aplicada não provoca mudanças substanciais nos valores da permissividade do dielétrico.

Palavras-chaves: Junção Tripla ; Enriquecimento de Campo ; Método de Elementos

Finitos .

Abstract

In this work, the electric field behavior in the vicinity of a triple junction, com-posed by metal, vacuum and dielectric parts, was studied using computational simula-tions. Through a bi-dimensional model of the junction designed in the software ANSYS MAXWELL, it was possible to analyze the electric field magnitude in function of the contact angles of the materials. The results showed that a field enhancement or a field reduction could happen in the vacuum near the triple junction, for certain values of the vacuum and dielectric contact angles. The influence of the dielectric permittivity in the phenomena was also investigated, and the conclusions showed that the maxi-mum electric field enhancement from the triple junction effect is proportional to the dielectric permittivity of the dielectric portion. Saturation in the peak value of the field enhancment was manifested in the results of this research, as the relative permittivity of the dielectric increased its magnitude. This saturation is related to the fact that the increase of the applied voltage does not cause substantial changes in the values of the dielectric permittivity.

Keywords: Triple Junction; Field Enhancement; Finite Element Metod.

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1 Introdução . . . . 1

2 Revisão Bibliográfica . . . . 3

3 Considerações Teóricas . . . . 5

3.1 Junções Triplas . . . 5

3.2 Modelo Bidimensional e Análise das Equações de Laplace . . . 6

3.3 Cargas Livres na Superfície do Metal e as Equações de Campo Elétrico de Chung 9 3.4 Resolução Numérica das Equações de Chung . . . 10

3.5 Limite da Equação de Enriquecimento de Campo de Chung . . . 12

3.6 Formação de Dipolos em Dielétricos . . . 13

3.7 Simulação pelo Método de Elementos Finitos . . . 15

4 Métodos Experimentais . . . . 17 4.1 Modelos Computacionais . . . 17 4.2 Operações de malha . . . 22 4.3 Parametrização de variáveis . . . 23 5 Resultados . . . . 27 5.1 Junção Dupla . . . 27

5.2 Junção Tripla: Oxinitreto de Alumínio - 𝜖𝑟 = 9 . . . 28

5.5 Junção Tripla: Vidro - 𝜖𝑟 = 5.5 e Comparações . . . . 41

5.6 Junção Tripla: Vidro - 𝜖𝑟 = 5.75 e Comparações . . . . 47

5.7 Junção Tripla: Valores de Pico - Sweep 𝜖𝑟 . . . 53

6 Análise dos Resultados . . . . 55

Conclusão . . . . 61

Referências . . . . 63

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Anexos

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ANEXO A Código MATLAB Para o Cálculo do Limite da Equação de Chung . 69

ANEXO B Parametrizações Para o Estudo do Comportamento do Campo elé-trico na Junção Tripla. . . . . 71 ANEXO C Parametrizações Para o Estudo do limite do Enriquecimento de Campo

Máximo na Junção Tripla. . . . . 75 ANEXO D Parametrizações Junção Dupla. . . . . 81

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Gostaria de agradecer algumas pessoas que foram indispensáveis para a realização deste trabalho:

Aos meus Orientadores Marco Antonio Robert Alves e Edmundo Silva Braga, por toda paciência e compreensão ao longo da minha caminhada no mestrado.

Ao meu colega Davi Sabbag Roveri, por todo auxílio e ensinamento no dia-a-dia do laboratório. E também por aguentar minhas inúmeras reflexões sobre diversos assuntos, gerando muito aprendizado e muitas risadas também.

Aos meus colegas Juliano Fujioka Mologni e Hilton Henrique Bertan, por todo apoio no manuseio do software MAXWELL e por todas as conversas e bate-papos nos corredores do departamento.

A todos os integrantes do antigo DEMIC, pelo coleguismo corriqueiro nos momentos de café.

Aos meus Pais Viviane de Cássia Mauad Sant’Anna e José Eduardo Sant’Anna, por toda a minha educação e investimento (financeiro e emocional) nos meus estudos.

Ao meu irmão Lucas Mauad Sant’Anna, por todos os momentos felizes que passamos juntos falando besteiras, mesmo quando estou rabugento.

A minha Companheira Camila Boti Bernardi, pela simples razão de existir na minha vida, me dando o amor e o equilíbrio que jamais conseguiria ao lado de outra pessoa.

Aos meus Sogros Luzia Aparecida Facchini Boti Bernardi e Carlos Boti Bernardi, por me darem o carinho que apenas um filho receberia de seus pais.

Ao meu Cunhado Bruno Boti Bernardi, por me receber na sua família e me fazer sentir em casa, com nossos debates sobre a vida.

A minha psicóloga Claudia, por me ajudar a entender mais sobre mim mesmo.

Ao meu grande amigo Felipe Camargo Penteado, por acreditar em mim em tempos tão nebulosos.

A todos os meus amigos que estiveram por perto e me deram apoio nos momentos mais difíceis destes últimos dois anos.

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Figura 1 – Esquema ilustrativo da formação de junções triplas (CHUNG et al., 2013) 5 Figura 2 – a) Junção tripla genérica b) Modelo junção tripla em 3 dimensões c)

Mo-delo junção tripla em 2 dimensões. d) Plano cartesiano das coordenadas

cilíndricas. (CHUNG et al., 2005) . . . . 6

Figura 3 – Traço de 𝜈/𝜈0 por 𝜃2/𝜃𝑡 obtido por Chung et al. (2005) através de soluções numéricas para quatro valores distintos de permissividade: 𝜖 = 5.7, 𝜖 = 10.4, 𝜖 = 100, 𝜖 = 1000 . . . . 8

Figura 4 – Enriquecimento de campo vs 𝜃2/𝜃𝑡 na região de vácuo (linha cheia) para valores de 𝛼 = 0, 𝛼 = 𝜋/2 e 𝛼 = 𝜋 e na região do dielétrico (linha tracejada) para valores de 𝛼 = 𝜋. (CHUNG et al., 2006) . . . 11

Figura 5 – Enriquecimento de campo vs 𝜃2/𝜃𝑡 na região de vácuo (linhas azuis) e na região do dielétrico (linhas vermelhas) para valores de 𝜖 = 5, 7 (linhas tracejadas) e 𝜖 = 10, 4 (linhas cheias). (CHUNG et al., 2013) . . . . 12

Figura 6 – Ilustração de um dipolo genérico (HAYT, 1981) . . . 14

Figura 7 – Ilustração sobre a organização dos dipolos em um dielétrico: (a) Dielétrico não Polarizado (b) Dielétrico Polarizado.(ALHANATI, 2014) . . . 14

Figura 8 – Ambiente de Simulações do Software MAXWELL 16.0. . . 18

Figura 9 – Variáveis e seus valores iniciais no software Maxwell 16.0 . . . 20

Figura 10 – Modelos das Junções: (a) Tripla (b) Dupla. . . 21

Figura 11 – Região de refinamento de malha da: (a) Junção tripla (b) Junção dupla. 21 Figura 12 – Plot das malhas: (a) Junção tripla (b) Junção Dupla (c) Área de refina-mento Junção Tripla (d) Área de refinarefina-mento Junção Dupla. . . 23

Figura 13 – Magnitude do Campo elétrico em função da distância ao longo da ponta de prova em uma junção dupla para cinco valores de potencial aplicado: a) 1V b) 2V c) 3V d) 4V e) 5V. . . 27

Figura 14 – Plot do campo elétrico nas regiões de vácuo e dielétrico: (a) Junção total, para 𝜃2 = 50𝑜 (b) Junção total, para 𝜃2 = 165𝑜 (c) Região de análise, para 𝜃2 = 50𝑜 (d) Região de análise, para 𝜃2 = 165𝑜. . . 28

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Figura 15 – Magnitude do Campo elétrico em função da porção de dielétrico para o potencial aplicado de 1V. Oxinitreto de Alumínio com permissividade relativa 𝜖𝑟 = 9 . . . 29

Figura 16 – Magnitude do Campo elétrico em função da porção de dielétrico para cinco valores de potencial aplicado: a) 1V b) 2V c) 3V d) 4V e) 5V. Oxinitreto de Alumínio com permissividade relativa 𝜖𝑟= 9 . . . 30

Figura 17 – Enriquecimento de campo em função da porção de dielétrico normalizada para o potencial aplicado de 1V. Oxinitreto de Alumínio com permissivi-dade relativa 𝜖𝑟 = 9 . . . 31

Figura 18 – Enriquecimento de campo em função da porção de dielétrico normalizada para cinco valores de potencial aplicado: a) 1V b) 2V c) 3V d) 4V e) 5V. Oxinitreto de Alumínio com permissividade relativa 𝜖𝑟 = 9 . . . 32

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permissividade relativa 𝜖𝑟 = 5.5 . . . . 42

Figura 29 – Enriquecimento de campo em função da porção de dielétrico normalizada para o potencial aplicado de 1V. Vidro com permissividade relativa 𝜖𝑟= 5.5 43

Figura 30 – Enriquecimento de campo em função da porção de dielétrico normalizada para cinco valores de potencial aplicado: a) 1V b) 2V c) 3V d) 4V e) 5V. Vidro com permissividade relativa 𝜖𝑟 = 5.5 . . . . 44

Figura 31 – Magnitude do Campo elétrico em função da porção de dielétrico para o potencial aplicado de 1V. Dielétricos: Vidro 𝜖𝑟 = 5.5, AlON 𝜖𝑟 = 9,

AlON 𝜖𝑟= 11 e AlON 𝜖𝑟 = 13 . . . 45

Figura 32 – Enriquecimento de campo em função da porção de dielétrico normalizada para o potencial aplicado de 1V. Dielétricos: Vidro 𝜖𝑟 = 5.5, AlON

𝜖𝑟 = 9, AlON 𝜖𝑟 = 11 e AlON 𝜖𝑟 = 13 . . . 46

Figura 33 – Magnitude do Campo elétrico em função da porção de dielétrico para o potencial aplicado de 1V. Vidro com permissividade relativa 𝜖𝑟= 5.75 . . 47

Figura 34 – Magnitude do Campo elétrico em função da porção de dielétrico para cinco valores de potencial aplicado: a) 1V b) 2V c) 3V d) 4V e) 5V. Vidro com permissividade relativa 𝜖𝑟 = 5.75 . . . 48

Figura 35 – Enriquecimento de campo em função da porção de dielétrico normalizada para o potencial aplicadode 1V. Vidro com permissividade relativa 𝜖𝑟 = 5.75 49

Figura 36 – Enriquecimento de campo em função da porção de dielétrico normalizada para cinco valores de potencial aplicado: a) 1V b) 2V c) 3V d) 4V e) 5V. Vidro com permissividade relativa 𝜖𝑟 = 5.75 . . . . 50

Figura 37 – Magnitude do Campo elétrico em função da porção de dielétrico para o potencial aplicado de 1V. Dielétricos: Vidro 𝜖𝑟 = 5.75, AlON 𝜖𝑟 = 9,

AlON 𝜖𝑟= 11 e AlON 𝜖𝑟 = 13 . . . 51

Figura 38 – Enriquecimento de campo em função da porção de dielétrico normalizada para o potencial aplicado de 1V. Dielétricos: Vidro 𝜖𝑟 = 5.75, AlON

𝜖𝑟 = 9, AlON 𝜖𝑟 = 11 e AlON 𝜖𝑟 = 13 . . . 52

Figura 39 – Enriquecimento de Campo Máximo 𝛽𝑚𝑎𝑥 em função da permissividade

relativa do dielétrico 𝜖𝑟 . . . 53

Figura 40 – Plot do campo elétrico e suas alterações devido a formação de dipolos elétricos na Junção tripla: (a) 𝜃2 < 90𝑜 (b) 𝜃2 > 90𝑜. . . 56

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Tabela 1 – Configurações simuladas para o modelo de junção Tripla - Parte 1 de 2 . 72 Tabela 2 – Configurações simuladas para o modelo de junção Tripla - Parte 2 de 2 . 73

Tabela 3 – Configurações simuladas para o estudo do enriquecimento de campo má-ximo 𝛽𝑚𝑎𝑥 no modelo de junção tripla - Parte 1 de 4 . . . . 76 Tabela 4 – Configurações simuladas para o estudo do enriquecimento de campo

má-ximo 𝛽𝑚𝑎𝑥 no modelo de junção tripla - Parte 2 de 4 . . . . 77 Tabela 5 – Configurações simuladas para o estudo do enriquecimento de campo

má-ximo 𝛽𝑚𝑎𝑥 no modelo de junção tripla - Parte 3 de 4 . . . . 78 Tabela 6 – Configurações simuladas para o estudo do enriquecimento de campo

má-ximo 𝛽𝑚𝑎𝑥 no modelo de junção tripla - Parte 4 de 4 . . . . 79

Tabela 7 – Configurações simuladas para o modelo de junção dupla . . . 81

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𝛼 Ângulo que representa a ocupação do metal na junção tripla

𝛽 Enriquecimento de campo em uma junção tripla

𝜒𝑒 Susceptibilidade do dielétrico

𝜖 Permissividade do dielétrico

𝜖0 Permissividade no meio vácuo

𝜖𝑟 Permissividade relativa do dielétrico

𝜂 Relação entre os campos elétricos na região de vácuo (𝐹1) e dielétrico (𝐹2)

∇ Operador Nabla

𝜈 Função positiva dada pelas condições de contorno dos materiais

𝜈0 Função positiva das equações de onda para 𝜖𝑟 = 1

𝜈∞ Função positiva das equações de onda para 𝜖 → ∞

− →

𝐷 Densidade de fluxo elétrico −

→

𝐸 Campo elétrico genérico −

→

𝑃 Momento de dipolo total em um dielétrico Φ1 Potencial elétrico na região de vácuo

Φ2 Potencial elétrico na região de dielétrico

𝜎 Condutividade elétrica

𝜃1 Ângulo que representa a ocupação do vácuo na junção tripla

𝜃2 Ângulo que representa a ocupação do dielétrico na junção tripla

𝜃2/𝜃𝑡 Ocupação do dielétrico normalizado pela área de junção

𝜃𝑡 Ângulo que representa área de junção da junção tripla

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𝐴1 Constante obtida na resolução das equações de laplace para a região de vácuo

𝐴2 Constante obtida na resolução das equações de laplace para a região de dielétrico

𝐹0 Campo elétrico na região de vácuo para uma junção dupla

𝐹1 Campo elétrico na região de vácuo para uma junção tripla

𝐹2 Campo elétrico na região de dielétrico

𝑙 Comprimento do cilindro onde uma junção tripla se encontra sobreposta

𝑄 Carga total na superfície do metal

𝑅 Ráio da base de uma junção tripla

𝑟 Ráio da região de análise do campo elétrico na junção tripla

𝑉 Potencial aplicado no metal

𝑊 Energia armazenada na junção tripla

$alpha Variável do Software Maxwell que parametriza a ocupação do metal nos modelos computacionais

$raio Variável do Software Maxwell que parametriza o raio dos modelos computacionais

$raio_mesh Variável do Software Maxwell que parametriza o raio das área de refinamento dos modelos computacionais

$raio_probe Variável do Software Maxwell que parametriza o raio de análise nos modelos computacionais

$Teta1Calc Variável do Software Maxwell que parametriza a ocupação do vácuo nos modelos computacionais

$Teta2 Variável do Software Maxwell que parametriza a ocupação do dielétrico nos modelos computacionais

$TetaT Variável do Software Maxwell que parametriza a área de junção nos modelos com-putacionais

$Vmetal Variável do Software Maxwell que parametriza o potencial elétrico aplicado no metal

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1 Introdução

Campos elétricos de altíssimas intensidades têm sido observados em regiões de contato entre metal e vácuo (TOURREIL; SRIVASTAVA, 1973; LATHAM, 1983). Estudos mostra-ram que estes enriquecimentos no campo elétrico ocorrem devido a presença de dielétricos nestas regiões, formando geometrias de contato denominadas junções triplas Metal - Die-létrico - Vácuo (TAKUMA et al., 1978; BERGERON, 1977). Nos casos de ocorrência de enriquecimento de campo, rompimento do dielétrico e emissões de correntes elétricas inde-sejadas mostraram-se presentes (GEIS et al., 1997), causando efeitos destrutivos em alguns materiais. Explicações teóricas sobre os fenômenos físicos foram propostas por diferentes autores (TAKUMA, 1991; SCHACHTER, 1998), que utilizaram modelos matemáticos para caracterizar o comportamento do campo elétrico F e o efeito do dielétrico neste fenômeno. Estes modelos matemáticos viabilizaram estudos nesta área de pesquisa, possibilitando a utilização de ferramentas numéricas nas expressões de campo elétrico, obtendo assim valores calculados para o enriquecimento de campo nas proximidades das junções triplas (LERNER

et al., 1997; CHUNG et al., 2004; CHUNG et al., 2005). Todavia, resultados obtidos a partir

de um modelo físico tornam-se necessários para avaliar a veracidade do modelo matemático ao fenômeno real. Assim, neste trabalho serão estudados e simulados modelos físicos da jun-ção tripla no software ANSYS MAXWELL 16.0, utilizando método de elementos finitos de resolução de malha. O objetivo é caracterizar, através de modelos computacionais, o com-portamento do campo elétrico nas proximidades da junção tripla, investigando os valores de enriquecimento de campo para as diferentes configurações dos materiais, bem como para distintos valores de permissividade relativa do dielétrico. O estudo do fenômeno de enrique-cimento de campo tornou-se interessante para a comunidade científica, pois se controlado, o enriquecimento de campo facilita o tunelamento de elétrons pela barreira de vácuo (SZE; NG, 2006), possibilitando emissões de corrente. O que se espera é poder conhecer de forma consistente o fenômeno envolvido, para que no futuro possibilite-se um novo tipo de emissor a catodo frio (GEIS et al., 1998; SUN; ANG, 2012).

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2 Revisão Bibliográfica

O comportamento do campo elétrico em regiões de junção tripla começou a ser estu-dado visando a compreensão da ruptura de dielétricos em condições de alta tensão no meio de vácuo (TOURREIL; SRIVASTAVA, 1973; LATHAM, 1983). Os estudos demonstraram que para determinadas configurações da geometria do dielétrico, ocorreriam enriquecimento de campo nas regiões próximas a junção tripla (TAKUMA; KAWAMOTO, 1984; BERGERON, 1977), e esse enriquecimento seria o responsável pela ruptura de dielétricos no vácuo.

A partir de um modelo matemático da junção , Takuma (1991) obteve expressões para o enriquecimento de campo em diferentes configurações de junção tripla, e mostrou que o enriquecimento de campo está diretamente ligado a permissividade do dielétrico. Takuma também encontrou uma relação do enriquecimento com o ângulo de contato do metal com o dielétrico.

Geis et al. (1997) por sua vez obteve uma das grandes comprovações nesta área, reali-zando experimentos em uma junção tripla real de duas dimensões, demonstrando a existência de enriquecimento de campo nas proximidades da junção para algumas geometrias específicas de dielétrico.

Em seguida, Schachter (1998) obteve um modelo matemático para o campo elétrico nas proximidades da junção tripla pela resolução analítica das equações de Laplace (HAYT, 1981).Seu procedimento considerou a existência de cargas livres na superfície do metal esti-mando a capacitância da junção e a carga total na superfície, calculando assim o potencial elétrico efetivo da junção. Isto possibilitou o uso da equação de Fowler-Nordheim (FOWLER; NORDHEIM, 1928) para estimar o valor da corrente elétrica gerada pelas emissões dos elé-trons na região de contato triplo.

Com as pesquisas de Schachter, foi possível prever que o enriquecimento de campo proveniente da junção tripla era suficiente para utilizar esta geometria como um emissor por efeito de campo, e obter valores de densidade de corrente aplicáveis a tecnologia atual. Assim, alguns autores (CHUNG et al., 2005; JORDAN et al., 2007; LERNER et al., 1997) retomaram recentemente os estudos na área de emissões de elétrons e de enriquecimento de campo. A possibilidade de aumentar o campo elétrico nas proximidades de um catodo interessa a comunidade científica, visando aumentar a eficiência dos emissores de campo já existentes (GEIS et al., 1998)

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4 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica

Recentemente, Chung et al. (2006) calculou novas expressões teóricas para o enri-quecimento de campo, através de resoluções numéricas das equações de Laplace. Nos seus resultados, o autor obteve as equações de campo elétrico e de enriquecimento de campo em função da porção do dielétrico, resolvendo numericamente o modelo matemático das cargas livres na superfície do metal, anteriormente obtido por Schachter (1998). No seu trabalho, Chung constatou que para junções triplas cujo dielétrico ocupa uma maior parte da área de junção, o campo elétrico nas proximidades aumenta a sua magnitude, ocorrendo um enrique-cimento de campo. Porém, quando o dielétrico ocupa uma menor parte da área de junção, o campo elétrico nas proximidades diminui a sua magnitude, ocorrendo uma redução de campo. Quando as porções de vácuo e de dielétrico ocupam o mesmo espaço, o campo elétrico na junção se mantém inalterado. Sobre a região de aumento de magnitude, foi observado que o módulo do enriquecimento varia de uma forma não linear em função da porção do dielé-trico , e seu ponto máximo também depende da disposição dos materiais na junção. Chung mostrou ainda que a permissividade relativa do dielétrico influencia apenas na magnitude do enriquecimento do campo, não influenciando na localização do ponto máximo do mesmo.

Simultaneamente, Takuma e Kawamoto (2006) calcularam de forma analítica as ex-pressões para os campos elétricos na junção, também utilizando as equações de Laplace. Seus resultados se aproximaram dos obtidos por Chung e Schachter.

Atualmente, pesquisas estão sendo realizadas para a utilização da junção tripla como emissores por efeito de campo (SUN; ANG, 2012) e a caracterização do campo elétrico em junções quádruplas já estão sendo estudadas por métodos numéricos (CHUNG et al., 2010; CHUNG et al., 2013).

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3 Considerações Teóricas

Neste Capítulo, serão introduzidos alguns conceitos teóricos relevantes para o entendi-mento completo da pesquisa deste autor, sendo recomendado a leitura prévia das informações aqui presentes

3.1 Junções Triplas

Uma região de contato composta por três materiais, sendo um deles metal, outro dielétrico e o último vácuo é denominada junção tripla. Este tipo de contato muitas vezes é formado em deposições de dielétricos em superfícies metálicas, ou em situações contrárias quando se deseja depositar materiais metálicos em superfícies dielétricas, onde imperfeições na deposição ocorrem por motivos diversos. Uma ilustração da formação deste tipo de junção encontra-se na Figura 1.

Figura 1 – Esquema ilustrativo da formação de junções triplas (CHUNG et al., 2013)

Nota-se que durante o processo de deposição de um metal (No exemplo Tungstênio), lacunas podem ocorrer devido a falhas no procedimento, o que proporcionam regiões de vácuo entre as camadas de metal e dielétrico, gerando contatos triplos, que estão indicados por círculos na Figura 1.

A presença destes contatos na composição de componentes tem sido apontada como o principal fator de rupturas indesejadas do dielétrico, causada pelo enriquecimento de campo proveniente desta formação (TAKUMA; KAWAMOTO, 1984; BERGERON, 1977). Esta

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al-6 Capítulo 3. Considerações Teóricas

teração no campo elétrico gerado pelo contato triplo é conhecido como efeito de junção tripla ou fenômeno de junção tripla (TAKUMA, 1991).

3.2 Modelo Bidimensional e Análise das Equações de Laplace

Uma junção tripla é mostrada na Figura 2 a) , onde uma região de encontro entre os três materiais ocorre. Torna-se interessante o estudo da junção a partir de um sistema de coordenadas cilíndricas, obtendo uma divisão dos diferentes materiais através dos ângulos internos da base de um cilindro. Desta forma, analisando uma região aproximada da junção tripla, consideremos um cilindro de raio R e de comprimento l, onde a junção tripla se encontra sobreposta sobre o eixo z de um plano de coordenadas cilíndricas, como mostra a Figura 2 b). As porções de metal, vácuo e dielétrico são caracterizadas pelos seus ângulos de contato 𝛼, 𝜃1 e 𝜃2 respectivamente.

Figura 2 – a) Junção tripla genérica b) Modelo junção tripla em 3 dimensões c) Modelo junção tripla em 2 dimensões. d) Plano cartesiano das coordenadas cilíndricas. (CHUNG et al., 2005)

Assumindo que 𝑙 >> 𝑅, os efeitos de borda do campo elétrico ao longo do eixo z podem ser desprezados, e a análise se reduz a um modelo de duas dimensões, como mostra a Figura 2 c. A aproximação da junção para um modelo bidimensional permite a aplicação das equações de Laplace (CHENG, 1989), obtendo assim o potencial elétrico Φ nas proximidades do contato. Para uma região de análise muito próxima da junção tripla (𝑟 << 𝑅), apenas os termos de primeira ordem da equação de Laplace são suficientes, e assim as seguintes expressões foram obtidas:

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Onde os coeficientes 𝐴1 e 𝐴2 são constantes e 𝜈 é uma função positiva dada pelas

condições de contorno dos materiais. A variável 𝜃𝑡 representa a área de junção na qual a

parte metálica não participa, ou seja 𝜃𝑡= 𝜃1+ 𝜃2 = 2𝜋 − 𝛼.

As magnitudes dos campos elétricos nas regiões de vácuo e dielétrico são obtidas através do gradiente do potencial elétrico nas respectivas regiões (KRAUS; CARVER, 1973). Desta forma:

𝐹1 = |∇Φ1| = 𝐴1𝑟𝜈−1, 0 < 𝜃 < 𝜃1, (𝑉 𝑎𝑐𝑢𝑜) (3.3)

𝐹2 = |∇Φ2| = 𝐴2𝑟𝜈−1, 𝜃1 < 𝜃 < 𝜃𝑡 (𝐷𝑖𝑒𝑙𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜) (3.4)

Em ambos os materiais, os campos elétricos não variam em função de 𝜃, tendo apenas 𝜈 como variável independente. A partir das condições de contorno, é possível obter uma relação entre os parâmetros geométricos da junção e a variável 𝜈. Segunda a teoria eletromagnética (CHENG, 1989), as condições de contorno para um contato dielétrico - vácuo são dadas pelas continuidades da densidade de fluxo elétrico e do potencial elétrico, Assim:

𝐹1 = 𝐹2 =⇒ 𝐴1/𝐴2 = sin 𝜈𝜃1/ sin 𝜈𝜃2 ≡ 𝜂 (3.5)

𝜖 tan 𝜈𝜃1 = tan 𝜈𝜃2 (3.6)

Onde 𝜂 representa a relação entre os campos 𝐹2/𝐹1 para 𝑟1 = 𝑟2. Das equações

(3.5) e (3.6) é possível observar que 𝜈 varia apenas com a permissividade do dielétrico (𝜖) e com a geometria dos materiais (𝜃1 e 𝜃2). Métodos analíticos não são suficientes para obter

uma expressão algébrica para 𝜈. Porém, para os casos extremos em que 𝜖 = 1 (Ausência de dielétrico) e 𝜖 → ∞ (Dielétrico perfeito) pode-se calcular o limite da equação 3.6) e obter o resultado: lim 𝜖→1[𝜖 tan 𝜈𝜃1 = tan 𝜈𝜃2] =⇒ 𝜈 = 𝜈0 𝜈0 = 𝜋/𝜃𝑡 = 𝜋/(2𝜋 − 𝛼) (3.7) lim 𝜖→∞[𝜖 tan 𝜈𝜃1 = tan 𝜈𝜃2] =⇒ 𝜈 = 𝜈∞

(32)

8 Capítulo 3. Considerações Teóricas 𝜈∞ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝜈0/(1 − 𝜃2/𝜃𝑡) 0 < 𝜃2/𝜃𝑡 < 1/3 0.5𝜈0/(𝜃2/𝜃𝑡) 1/3 < 𝜃2/𝜃𝑡< 1 (3.8)

Pela equação (3.7), observa-se que apenas a porção de metal influencia o valor de 𝜈0, o

que é consistente com o fato de não haver dielétrico na junção (𝜖 = 1). Porém, a equação (3.8) evidencia uma influência da razão 𝜃2/𝜃𝑡 no valor de 𝜈, mostrando que a porção de dielétrico

na junção afeta de alguma forma a magnitude dos campos elétricos.

Utilizando métodos numéricos, Chung et al. (2005) obteve resultados para 𝜈 a partir da equação (3.7). Os resultados podem ser observados na Figura 3:

Figura 3 – Traço de 𝜈/𝜈0por 𝜃2/𝜃𝑡obtido por Chung et al. (2005) através de soluções numéricas para quatro

valores distintos de permissividade: 𝜖 = 5.7, 𝜖 = 10.4, 𝜖 = 100, 𝜖 = 1000

Chung analisou o comportamento de 𝜈/𝜈0 em função de 𝜃2/𝜃𝑡 para quatro valores de

permissividades diferentes. Para 𝜃2/𝜃𝑡< 0.5, 𝜈 apresentou valores maiores do que 𝜈0 (𝜈/𝜈0 >

1). De forma análoga, para 𝜃2/𝜃𝑡> 0.5, 𝜈 apresentou valores menores que 𝜈0 (𝜈/𝜈0 < 1). Picos

de máximo e mínimo podem ser observados no traçado de 𝜈, que variam ao longo do eixo

𝜃2/𝜃𝑡. Porém, a permissividade 𝜖 do material alterou o traçado em maior parte na magnitude,

modificando muito pouco a característica da curva. Observa-se que a conforme 𝜖 aumenta, a curva permanece com a mesma característica até 𝜃2/𝜃𝑡 ≈ 0.8. Deste ponto em diante, 𝜈

(33)

Pelas equações (3.3) e (3.4), Chung et al. (2004) observou que as magnitudes dos campos elétricos são proporcionais as potências 𝑟𝜈−1_{. Considerando que a análise dos campos}

faz-se em uma região muito próxima a junção (𝑟 < 1), tem-se que quanto menor 𝜈, maior o valor do campo elétrico na região em questão. Assim, é possível afirmar que para 𝜃2/𝜃𝑡 < 0.5

(𝜈/𝜈0 > 1 ⇒ 𝜈 > 𝜈0), é esperado que o campo elétrico na presença do dielétrico seja menor

que na ausência do mesmo, havendo uma redução de campo. Por outro lado, para 𝜃2/𝜃𝑡 > 0.5

(𝜈/𝜈0 < 1 ⇒ 𝜈 < 𝜈0), é esperado que o campo elétrico na presença do dielétrico obtenha

uma magnitude maior do que na ausência do mesmo, havendo um enriquecimento de campo no local.

3.3 Cargas Livres na Superfície do Metal e as Equações de Campo

Elétrico de Chung

Para obter o campo elétrico nas proximidades da junção tripla em função das carac-terísticas físicas do modelo (𝛼, 𝜃1, 𝜃2 e 𝜖𝑟), Chung et al. (2006) obteve as constantes 𝐴1 e

𝐴2 assumindo cargas livres na superfície do metal. A condição de cargas livres também foi

assumida por Schachter (1998) no seu modelo. Assim, a carga total na superfície do metal e a energia armazenada na junção estimadas foram:

𝑄 = −𝑙𝑅𝜈𝐴1(1 + 𝜂𝜖) (3.9)

𝑊 = 𝜈𝑅2𝜈𝑙𝐴2₁(𝜃1+ 𝜂2𝜖𝜃2)/16𝜋 (3.10)

O potencial efetivo aplicado no metal é então calculado pela carga total do sistema e a energia armazenada na junção:

𝑉 = 2𝑊/𝑄 = − 1

8𝜋𝜈𝑅

𝜈𝜃1+ 𝜂2𝜖𝜃2

1 + 𝜂𝜖 𝐴1 (3.11)

Os valores de 𝐴1e consecutivamente 𝐴2, podem ser relacionados com as características

físicas da junção pela equação (3.11) . Assim, os campos elétricos nas regiões de vácuo e de dielétrico obtiveram as respectivas expressões:

𝐹1 = 8𝜋 (︃ 1 + 𝜂𝜖 𝜃1+ 𝜂2𝜖𝜃2 )︃_(︂ 𝑅 𝑟 )︂1−𝜈(︂−𝑉 𝑅 )︂ (3.12)

(34)

10 Capítulo 3. Considerações Teóricas

𝐹2 = 𝜂𝐹1(𝑟) (3.13)

O campo elétrico de referência 𝐹0 e definido como o campo elétrico no vácuo 𝐹1

quando todo dielétrico é retirado da junção (𝜃2 = 0, 𝜃1 = 𝜃𝑡, 𝜂 = 1, 𝜖 = 1 e 𝜈 = 𝜈0). Assim:

𝐹0 = 16𝜈0 (︂_𝑅 𝑟 )︂1−𝜈0(︂−𝑉 𝑅 )︂ (3.14)

O enriquecimento de campo 𝛽 devido a este fenômeno é definido pela razão do campo elétrico na junção tripla pelo campo elétrico na ausência do dielétrico (Junção dupla Metal - Vácuo). Logo, para a região de vácuo temos:

𝛽(𝑟) = 𝐹1(𝑟)/𝐹0(𝑟) = 0.5 [︃ 1 + 𝜂𝜖 1 + (𝜂2_{𝜖 − 1)𝜃} 2/𝜃𝑡 ]︃_(︂ 𝑅 𝑟 )︂𝜈0−𝜈 (3.15)

Por esta análise, o enriquecimento de campo depende apenas das características da geometria da junção e da permissividade do dielétrico. Isto implica que 𝛽 deve ser o mesmo para qualquer valor de potencial aplicado.

3.4 Resolução Numérica das Equações de Chung

Valores numéricos para o enriquecimento de campo na região de vácuo tornaram-se viáveis a partir da aplicação de métodos numéricos nas equações (3.14)(3.15). Para isso, Chung et al. (2006) atribuiu valores físicos para a geometria. Sendo 𝑟 << 𝑅, foi escolhido

𝑅 = 1𝑚𝑚 e 𝑟 = 1𝑛𝑚 para que os resultados obtidos fossem coerentes com as aproximações

do modelo. O valor da permissividade foi definido como 𝜖𝑟= 5, 7 e três valores para 𝛼 foram

utilizados. Os valores de 𝜃2 utilizados nos cálculos foram aqueles nos quais se esperavam um

enriquecimento de campo na resposta, ou seja, 0.5 < 𝜃2/𝜃𝑡< 1. Os resultados apresentam-se

na Figura 4:

A resposta da resolução numérica confirma a existência de enriquecimento de campo para as junções cuja região dielétrica ocupa mais do que 50% da área de junção (𝜃2/𝜃𝑡> 0.5).

A constatação de picos máximos no enriquecimento de campo mostra uma forte relação do ângulo de contato do dielétrico com o valor máximo de 𝛽, concluindo que a ocupação do die-létrico na área de junção é determinante para a existência e a intensidade do enriquecimento de campo. Ainda, para a região de vácuo (Linha cheia), o aumento do ângulo de contato do metal 𝛼 também proporciona um crescimento no valor do enriquecimento de campo 𝛽, contrário ao evidenciado em enriquecimentos de campo em geometrias protúberas

(35)

(BRO-Figura 4 – Enriquecimento de campo vs 𝜃2/𝜃𝑡na região de vácuo (linha cheia) para valores de 𝛼 = 0, 𝛼 = 𝜋/2

e 𝛼 = 𝜋 e na região do dielétrico (linha tracejada) para valores de 𝛼 = 𝜋. (CHUNG et al., 2006)

DIE; SCHWOEBEL, 1994; TEMPLE, 1999; SPINDT et al., 1976). O resultado da região de dielétrico (linha tracejada) foi obtido pela relação 𝛽1 = 𝜂𝛽2.

Em outro trabalho, Chung et al. (2013) realizou os mesmos cálculos para a aquisição do enriquecimento de campo, porém desta vez mantendo 𝛼 = cte e variando o valor da permissividade relativa do dielétrico 𝜖𝑟, observando os efeitos da constante do dielétrico no

valor do enriquecimento de campo. Para isso, foram utilizados os valores de 𝑅 = 1𝜇𝑚 e

𝑟 = 0.1𝑛𝑚, respeitando a condição de 𝑟 << 𝑅. Neste calculo, foi utilizada toda a extensão

possível dos valores de 𝜃2 (0 < 𝜃2/𝜃𝑡< 1). Os resultados obtidos encontram-se na Figura 5:

Novamente os resultados confirmaram a existência da região de enriquecimento de campo (𝜃2/𝜃𝑡> 0.5). Todavia, também confirma-se a região na qual uma redução de campo

ocorre (𝜃2/𝜃𝑡 < 0.5), sendo evidente os valores de 𝛽 inferiores a 1 para a região a esquerda

de 𝜃2/𝜃𝑡 = 0.5 na Figura 5. Isto enfatiza a importância da porção do dielétrico no efeito de

junção tripla, onde a extensão deste material na área de junção determina não só a intensidade do fenômeno triplo, mas se este causará uma redução ou um enriquecimento de campo na geometria. Por outro lado, o valor da permissividade relativa do dielétrico altera os valores de

𝛽 apenas na sua magnitude, praticamente não alterando a localização dos pontos máximos

e mínimos da curva. Valores de enriquecimento de campo de grandes dimensões, obtidos pela presença de dielétricos com valores elevados de permissividade trazem motivação para a

(36)

Figura 5 – Enriquecimento de campo vs 𝜃2/𝜃𝑡 na região de vácuo (linhas azuis) e na região do dielétrico

(linhas vermelhas) para valores de 𝜖 = 5, 7 (linhas tracejadas) e 𝜖 = 10, 4 (linhas cheias). (CHUNG et al., 2013)

pesquisa nesta área, havendo a possibilidade da utilização do fenômeno de junção tripla em um novo tipo de emissor por efeito de campo.

3.5 Limite da Equação de Enriquecimento de Campo de Chung

Conforme citado acima, a função 𝜈 exerce uma forte influência nos campos elétricos adjacentes a junção tripla. O comportamento desta função foi detalhado na Figura 3, a partir da variação dos parâmetros 𝜃2/𝜃𝑡 e 𝜖. A relação de 𝜖 com a magnitude de 𝜈 foi explicada,

porém os limites desta função para 𝜖 → ∞, e os efeitos desta extrapolação no enriquecimento de campo não ficam claros. Para os valores de 𝜈 com permissividade 𝜖 = 1000 (linha vermelha pontilhada Figura 3), observa-se que o pico inferior desloca-se para a direita, obtendo o seu valor mínimo para 𝜃2/𝜃𝑡→ 1. Assim, pode-se estimar o valor máximo do enriquecimento de

campo das equações de Chung pelos valores de 𝜃2/𝜃𝑡 que minimizam a função 𝜈.

Com o auxílio da ferramenta computacional MATLAB, o limite da equação de en-riquecimento modelada por Chung foi calculada para a permissividade 𝜖 → ∞. Foram uti-lizados os mesmo parâmetros físicos das resoluções matemáticas de Chung et al. (2010) (𝑅 = 1𝜇𝑚, 𝑟 = 0.1𝑛𝑚, 𝛼 = 𝜋). O enriquecimento de campo máximo ocorrerá para valores

(37)

junção (𝜃2 = 175𝑜 −→ 𝜃2/𝜃𝑡 = 0.97). Valores mais próximos de 𝜃2/𝜃𝑡 → 1 poderiam ter

sido calculados, mas a ideia é utilizar valores coerentes de 𝜃2 neste cálculo de enriquecimento

máximo. O código de MATLAB utilizado para o cálculo do limite consta-se no Anexo A. Na equação (3.16) encontra-se o resultado da simulação:

lim 𝜖→∞ (︃ 𝛽 = 0.5 [︃ 1 + 𝜂𝜖 1 + (𝜂2_{𝜖 − 1)𝜃} 2/𝜃𝑡 ]︃ (︂_𝑅 𝑟 )︂𝜈0−𝜈)︃ =⇒ 𝑅 = 1𝜇𝑚, 𝑟 = 0.1𝑛𝑚, 𝛼 = 𝜋, 𝜃2/𝜃𝑡= 0.97 lim 𝜖→∞(𝛽) =⇒ 𝛽 → 1005.1 (3.16)

O limite encontrado para a equação de Chung apresentou valores próximos a terceira ordem de grandeza, o que aparentemente mostra uma incoerência do modelo matemático com o realidade. Este trabalho procura correlacionar o limite da equação de Chung com valores simulados de enriquecimento de campo.

3.6 Formação de Dipolos em Dielétricos

Dielétricos são materiais cuja característica básica é a forte ligação dos seus elétrons com o núcleo. Esta atração entre as duas partículas impede que os elétrons saiam da banda de valência, mantendo vazia a banda de condução (SZE; NG, 2006). A dificuldade de se-paração entre as cargas implica na ausência de elétrons livres no material, o que explica a dificuldade de transporte de portadores nos meios dielétricos. Todavia, dielétricos sofrem alterações moleculares devido a influências de campos elétricos externos, mesmo sem cargas livres na sua superfície. Isto ocorre devido a formação de unidades infinitesimais de cargas chamadas dipolos. Os dipolos são duas cargas de mesma magnitude e sinais diferentes, sendo a distância entre elas muito pequena comparada a um ponto de observação P (HAYT, 1981). A presença destas cargas de sinais opostos atribui ao dipolo uma característica polar. Uma ilustração de um dipolo genérico encontra-se na Figura 6

A forte ligação entre as partículas de cargas negativas (elétrons) e positivas (prótons residentes no núcleo) de um dielétrico impedem a separação das mesmas. Porém, com a incidência de um campo elétrico externo, estas partículas se deslocam, organizando-se em dipolos pela estrutura do material (CHENG, 1989). Estes dipolos se mantêm organizados sob a força exercida pelo campo elétrico, polarizando-o por completo, como mostra a Figura 7

(38)

Figura 6 – Ilustração de um dipolo genérico (HAYT, 1981)

(a) Dielétrico não Polarizado

(b) Dielétrico Polarizado

Figura 7 – Ilustração sobre a organização dos dipolos em um dielétrico: (a) Dielétrico não Polarizado (b) Dielétrico Polarizado.(ALHANATI, 2014)

Esta característica polar adquirida pelo dielétrico na influência de um campo constante atrai portadores em suas extremidades, o que se mostra interessante para regiões onde se deseja estudar enriquecimentos de campo elétrico.

(39)

O método de resolução por elementos finitos consiste na divisão do modelo em pe-quenos elementos de área. Estas pequenas unidades são utilizadas como uma aproximação de elementos infinitesimais, possibilitando uma resolução aproximada da equação de Poisson para um modelo eletrostático:

∇2_{Φ =} 𝜕 2_Φ 𝜕𝑥2 + 𝜕2Φ 𝜕𝑦2 + 𝜕2Φ 𝜕𝑧2 = 0 (3.17)

Como resultado, o potencial elétrico Φ nos elementos de área são obtidos, possibili-tando o cálculo do campo elétrico −→𝐸 pela equação do gradiente do potencial (HAYT, 1981):

∇Φ = −−→𝐸 (3.18)

A densidade de fluxo elétrico−→𝐷 pode então ser calculada pela relação:

− → 𝐷 = 𝜖𝑟𝜖0 − → 𝐸 (3.19)

Os tamanhos dos elementos são definidos pelo usuário, e a partir dos parâmetros de comprimento, o software cria uma matriz de elementos para o modelo denominada “mesh”. O comprimento dos elementos da “mesh” deve ser escolhido com critério. Elementos muito grandes podem gerar uma malha grosseira, e as aproximações das derivadas apresentarão um erro muito elevado, invalidando o resultado da simulação. Porém, elementos muito pequenos podem gerar uma expressão de somatório muito extensa, sendo necessários grandes esforços computacionais e períodos de simulação inviáveis.

(40)

(41)

4 Métodos Experimentais

No presente trabalho, é investigado o comportamento do campo elétrico nas proximi-dades de uma junção tripla, bem como o enriquecimento de campo oriundo deste fenômeno. Para o estudo vigente, dois modelos bidimensionais de junções foram propostos: Uma jun-ção tripla e uma junjun-ção dupla (somente vácuo e metal). Resultados dos campos elétricos na junção tripla serão obtidos a partir do primeiro modelo, variando os parâmetros geométricos conforme descrito nas próximas sessões. A utilização da junção dupla tem o propósito de obter valores do campo elétrico na ausência de dielétrico (𝐹0), calculando assim o enriquecimento

de campo 𝛽 pela divisão dos valores obtidos na junção tripla e dupla (𝛽 = 𝐹1/𝐹0).

Nas sessões seguintes, os procedimentos utilizados para a construção, simulação e análise dos modelos serão descritos detalhadamente.

4.1 Modelos Computacionais

Os modelos das junções foram elaborados a partir da configuração utilizada por outros autores (SCHACHTER, 1998; CHUNG et al., 2005; TAKUMA, 1991), ou seja, um cilindro de raio 𝑅 e comprimento 𝑙, tal que 𝑅 << 𝑙, podendo assim aproximar as junções em modelos de duas dimensões. Para o desenvolvimento e simulação dos modelos , utilizou-se o software MAXWELL 16.0 - ANSYS, que calcula as equações de Maxwell pelo método de elementos finitos. Uma ilustração do ambiente de simulações do Maxwell encontra-se na Figura 8:

A construção dos modelos inicia-se pela atribuição dos parâmetros físicos das junções (raio da junção 𝑅, Ângulos de contato 𝛼 𝜃1 𝜃2, permissividade relativa do dielétrico 𝜖𝑟). Estes

parâmetros são inseridos em variáveis de projeto, facilitando a sua manipulação. Desta forma, as variáveis $Alpha, $Teta1Calc, $Teta2, $raio e $Vmetal foram introduzidas no projeto, representando as características físicas 𝛼, 𝜃1, 𝜃2, o raio total da junção 𝑅 e o potencial

aplicado no metal respectivamente. Uma variável $TetaT também foi inserida, representando toda a área de junção:

𝜃𝑡= 𝜃1+ 𝜃2 = 2𝜋 − 𝛼 (4.1)

A variável $TetaT foi equacionada no Maxwell pela expressão $TetaT = 360o_{- $Alpha}

(42)

18 Capítulo 4. Métodos Experimentais

Figura 8 – Ambiente de Simulações do Software MAXWELL 16.0.

Para a análise dos resultados, foi criada a variável $Teta2_$TetaT, representando a razão do ângulo de contato do dielétrico 𝜃2, normalizado pela área de junção 𝜃𝑡. A definição

da variável foi realizada pela expressão:

$𝑇 𝑒𝑡𝑎2_$𝑇 𝑒𝑡𝑎𝑇 = $𝑇 𝑒𝑡𝑎2/$𝑇 𝑒𝑡𝑎𝑇 (4.2)

Esta expressão indica a ocupação da porção de dielétrico na área de junção, e ela será de grande importância na análise dos resultados.

(43)

“$Vmetal = 1V”. Porém, diferentes valores serão atribuídos a estas variáveis ao longo das simulações. O raio de junção R foi definido em $raio = 1𝜇m para ambos os modelos, obtendo assim junções de mesmo tamanho que pesquisas relacionadas (CHUNG et al., 2013). Para definir os ângulos de contato do modelo triplo, uma condição de dependência entre as variáveis é necessária, pois a partir de uma secção transversal circular, temos que:

𝜃1+ 𝜃2+ 𝛼 = 360𝑜 (4.3)

O grau de liberdade para esta expressão será 2, ou seja, das três porções de material, apenas duas poderão variar de forma livre, sendo que a terceira parte deva sempre obedecer esta relação. Assim, a variável “$Teta1Calc” referente a porção de vácuo foi definida pela expressão 4.3, obedecendo os graus de liberdade do modelo.

$𝑇 𝑒𝑡𝑎1𝐶𝑎𝑙𝑐 = 𝑇 𝑒𝑡𝑎𝑇 − 𝑇 𝑒𝑡𝑎2 (4.4)

As variáveis de projeto e seus valores atribuídos podem ser vistos na Figura 9:

A geometria das junções foram construídas a partir das variáveis do projeto. As três regiões do modelo triplo foram confeccionadas com arcos concêntricos, cujo comprimento é definido pela multiplicação do ângulo de contato e o raio da junção. Os arcos foram inseridos adjacentemente, fechando a circunferência do modelo. Alterando os valores das variáveis $Alpha, $Teta1Calc e $Teta2, o software recalcula as dimensões dos arcos, fazendo as devidas alterações no modelo. Com um comando UNIT, os arcos do modelo se unem, formando uma mesma geometria com diferentes partes. A confecção da junção dupla foi realizada de forma análoga, porém inserido apenas dois arcos, um para a região do metal e outro para a região de vácuo. As duas junções obtidas no Maxwell encontram-se nas Figuras 10(a) e 10(b).

Note que as áreas internas das circunferências representam os materiais que compõem as junções triplas e duplas. As características elétricas destas regiões foram atribuídas através da biblioteca de materiais, existentes nos pacotes ANSYS. As regiões de vácuo de ambas as junções foram definidas pelo material “Vacuum”, que apresenta permissividade relativa 𝜖𝑟 =

1. As regiões de metal foram atribuídas com o material “PEC” (Perfect Electric Conductor) que contém as características físicas de um condutor perfeito ( 𝜎 → ∞ ). Para a junção tripla, a parte dielétrica do modelo foi definida por um dielétrico genérico criado na biblioteca, cuja permissividade relativa 𝜖𝑟 será variada conforme especificações posteriores.

(44)

Figura 9 – Variáveis e seus valores iniciais no software Maxwell 16.0

Em ambos os modelos, as junções estão envoltas por um retângulo azul escuro, cuja função é de restringir a área de simulação, minimizando o tempo computacional. Uma con-dição de contorno de “Balloon” foi inserida neste limiar, afirmando que todo o potencial elétrico dentro do modelo tenha como referencial zero o infinito. A excitação de potencial nas porções de metal foram introduzidas nos modelos, referenciando o valor desta excitação a variável “$Vmetal”. Desta forma, toda vez que a variável “$Vmetal” for alterada, os dois potenciais aplicados nas junções tripla e dupla serão alterados automaticamente.

Para obter os valores pontuais do campo elétrico nas proximidades das junções, faz-se necessário introduzir um instrumento de medida no local. Satisfazendo a condição da região

(45)

(a) Junção Tripla (b) Junção Dupla Figura 10 – Modelos das Junções: (a) Tripla (b) Dupla.

de análise 𝑟 << 𝑅, uma ponta de prova circular de raio 𝑟 = 0.1𝑛𝑚 foi introduzida nos modelos, onde os valores dos campos elétricos serão analisados em toda a sua extensão. A parametrização deste instrumento de medida foi feita através da variável “$raio_probe”, sendo esta definida pelo valor “$raio_probe = 0.1nm”. As pontas de prova foram construídas como elementos externos aos modelos, não interferindo na simulação e não alterando os valores de campo elétrico, e estas podem ser vistas nas Figuras 11(a) e 11(b).

(a) Junção Tripla (b) Junção Dupla

(46)

4.2 Operações de malha

Segundo as condições propostas, deve-se analisar o campo elétrico em um ponto muito próximo da junção tripla, a um raio 𝑟 << 𝑅. Em uma região de inspeção de raio 𝑟 = 0.1𝑛𝑚, é aconselhável que o comprimento dos elementos da malha sejam no mínimo 10% menores que a dimensão da ponta de prova, evitando uma baixa resolução do campo elétrico. Porém, para um raio total de junção 𝑅 = 1𝜇𝑚, elementos de malha 5 ordens de grandeza menores que o raio total do modelo geraria uma malha de simulações muito densa, não sendo possível a sua resolução em tempo hábil. A solução para este problema é a confecção de duas malhas: Uma malha grosseira, contendo elementos com grandes comprimentos para todo o modelo, e uma malha densa, com elementos reduzidos apenas nas proximidades da área de análise do campo elétrico. Isto possibilita um resultado preciso nas regiões de interesse em um tempo finito de computação.

Para a construção das malhas mais densas, regiões de refinamento nas porções de vá-cuo e de dielétrico foram criadas. Estas novas regiões permitem operações de malha distintas das operações atribuídas no modelo total. O formato das áreas de refinamento seguiram o contorno da ponta de prova, obtendo uma geometria circular, cujo raio foi parametrizado pela variável “$raio_mesh”. Para a análise proposta a 𝑟 = 0.1𝑛𝑚, uma região de refinamento com raio duas vezes maior mostrou-se satisfatória. Logo, a variável “$raio_mesh” foi inicializada em “$raio_mesh = 0.2 nm”. Os materiais das regiões de refinamento foram definidos com os mesmos materiais utilizados nas porções maiores, havendo continuidade entre ambas as partes, não afetando o resultado final do campo elétrico. As regiões de refinamento para os modelos da junção tripla e dupla encontram-se na Figura 11(a) e 11(b) respectivamente.

Operações de malhas foram aplicadas nas porções totais e nas regiões de refinamento. A malha da região total foi configurada pela operação On Selection, que opera a criação da malha favorecendo a localização de elementos reduzidos nas bordas da geometria. O compri-mento máximo dos elecompri-mentos desta operação foi definido em 0.1𝜇m, sendo suficiente para uma região distante da área de análise. Porém, a malha da região de refinamento foi configu-rada pela operação Inside Selection, que opera a criação da malha de uma forma homogênea dentro da região selecionada, mantendo o comprimento dos elementos mais uniformes pos-síveis. O comprimento máximo dos elementos desta malha foi definido em 0.01𝑛𝑚, obtendo elementos dez vezes menores que o raio de análise. As operações de ambas as malhas foram realizadas para os dois modelos de junção. O plot das malhas da região total e da região de refinamento em ambas as junções encontram-se na Figura 12. É possível observar como as malhas nas regiões de refinamento ficaram muito mais densas que na parte total das junções. Isto implicará em uma simulação mais precisa para a área de interesse.

(47)

(a) Malha Junção Tripla (b) Malha Junção Dupla

(c) Malha da Região de análise - Junção Tri-pla

(d) Malha da Região de análise - Junção Dupla

Figura 12 – Plot das malhas: (a) Junção tripla (b) Junção Dupla (c) Área de refinamento Junção Tripla (d) Área de refinamento Junção Dupla.

4.3 Parametrização de variáveis

Visando o estudo completo do campo elétrico nesta geometria, faz-se necessário a variação de alguns parâmetros físicos dos modelo, e assim realizar simulações para diferentes configurações de junções triplas e duplas. Estas configurações são obtidas através de parame-trizações das variáveis de projeto, atribuindo diferentes valores a estas ao longo da simulação. O objetivo deste trabalho é entender as relações entre os fenômenos eletrostáticos e as ca-racterísticas físicas das junções. Os principais pontos de estudo são o comportamento do

(48)

campo elétrico e do enriquecimento de campo em função dos parâmetros 𝜃2 (ângulo de

con-tato do dilétrico) 𝜖𝑟 (Permissividade relativa do dielétrico) e o potencial aplicado no metal,

bem como o limite de 𝛽𝑚𝑎𝑥 tendendo a permissividade relativa do dielétrico 𝜖𝑟 ao infinito. As

parametrizações das variáveis para os estudos serão relatadas caso a caso.

Para caracterizar a influência do dielétrico na junção tripla, a variável “$Teta2” foi parametrizada para obter valores de 5𝑜_{a 150}𝑜_{, variando em um passo de 5}𝑜_{, e valores de 150}𝑜_a

178𝑜_{, em um passo de 1}𝑜_{, onde se encontra a região de interesse deste estudo. Da mesma forma,}

a variável “$Vmetal”, responsável pelo valor do potencial aplicado no metal, foi parametrizada com os valores entre 1V e 5V, em um passo de 1V. Esta parametrização tem como finalidade observar variações no campo elétrico e no enriquecimento de campo em função do potencial aplicado. A combinação destas parametrizações geraram 265 configurações, e estas podem ser vistas no Anexo B. Com a finalidade de compreender a influência da permissividade relativa

𝜖𝑟 sobre o comportamento do campo elétrico e do enriquecimento de campo, cinco valores

distintos de permissividade relativa foram atribuídos ao dielétrico. Estes foram baseados em valores reais encontrados na literatura para os materiais Vidro e Oxinitreto de Alumínio (AlON) (CHUNG et al., 2006; POYAI et al., 2008; ASHUACH, 2003). Os valores simulados foram 𝜖𝑟 = 5.5, 𝜖𝑟 = 5.75 para vidro e 𝜖𝑟 = 9, 𝜖𝑟 = 11, 𝜖𝑟 = 13 para AlON. Para cada

permissividade relativa, as 265 configurações dos parâmetros geométricos foram simulados, totalizando 1325 configurações a serem simuladas para a junção tripla.

O estudo dos valores limites de 𝛽𝑚𝑎𝑥 se fez pela parametrização da permissividade

relativa do dielétrico 𝜖𝑟. Foram atribuídos 10 valores distintos para a permissividades: 𝜖𝑟 =

5.7, 𝜖𝑟 = 9, 𝜖𝑟 = 11, 𝜖𝑟 = 13, 𝜖𝑟 = 15, 𝜖𝑟 = 17, 𝜖𝑟 = 18, 𝜖𝑟 = 20, 𝜖𝑟 = 22 e 𝜖𝑟 = 25. Estes são

valores genéricos atribuídos ao dielétrico. Porém, sabe-se que constantes dielétricas nestas magnitudes são razoáveis para padrões de permissividade encontrados na natureza, uma vez que relatos científicos apresentam materiais dielétricos com permissividade relativa na terceira ordem de grandeza (RECK et al., 2012; ARLT et al., 1985). O potencial aplicado no metal foi mantido constante em 1V para a análise do limite. As simulações foram realizadas para os mesmos ângulos de contato do dielétrico 𝜃2 parametrizados para o comportamentro

do campo elétrico. Foram obtidas 530 configurações para a junção tripla no estudo do limite de 𝛽𝑚𝑎𝑥, e estas estão presentes no Anexo C.

Para a junção dupla, apenas a parametrização do potencial do metal é realizada, uma vez que os parâmetros do dielétrico não afetam esta junção. As cinco configurações da variável “$Vmetal” foram simuladas para o modelo, e estas podem ser vistas no Anexo D.

As parametrizações foram introduzidas nos modelos pela instrução:

(49)

D.

Pesquisas sobre a influência do raio total da junção e da ocupação da porção do me-tal não estão dentro do escopo deste trabalho. Logo, as variáveis “$raio” e “$Alpha” foram mantidas constantes nos valores de inicialização (1𝜇m e 180𝑜 _{respectivamente) . Como}

“$Te-taT” é uma função de “$Alpha”, este também foi mantido no seu valor inicial (180𝑜_{). A}

porção de vácuo “$Teta1Calc” foi obtida pela expressão 4.4. As variáveis “$raio_mesh” e “$raio_probe” foram mantidas constantes em seus valores iniciais (0.2 nm e 0.1 nm respec-tivamente), conservando as regiões de refinamento e de medição para todas as configurações simuladas.

As simulações foram configuradas para convergir quando o erro entre as iterações for igual ou inferior a 1%, sendo esta margem satisfatória para os fins desta pesquisa. O critério de parada das simulações foi de dez passos. Ou seja, se eventualmente as iterações não alcançarem a margem de erro de 1%, o software interrompe a simulação depois da décima iteração. Os dois modelos foram configurados com esses critérios de convergência e as diversas configurações foram simuladas para as mesmas condições de simulação.

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5 Resultados

Observamos que as configurações das junções triplas e da junção dupla convergiram com um erro igual ou menor que 1%. Todas as configurações convergiram em geral na se-gunda iteração. Na Figura 13, temos os resultados obtidos para o modelo de junção dupla, considerando os métodos descritos anteriormente

5.1 Junção Dupla

Figura 13 – Magnitude do Campo elétrico em função da distância ao longo da ponta de prova em uma junção dupla para cinco valores de potencial aplicado: a) 1V b) 2V c) 3V d) 4V e) 5V.

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28 Capítulo 5. Resultados

5.2 Junção Tripla: Oxinitreto de Alumínio - 𝜖

𝑟

= 9

Nas figuras 14 a, 14 b, 14 c e 14 d, temos o plot do campo elétrico para os modelos de junção tripla, simulados com permissividade relativa igual a 9.

(a) Junção total: 𝜃2= 50𝑜 (𝜃2< 90𝑜) (b) Junção total: 𝜃2= 165𝑜 (𝜃2> 90𝑜)

(c) Região de análise: 𝜃2= 50𝑜(𝜃2< 90𝑜) (d) Região de análise: 𝜃2= 165𝑜 (𝜃2> 90𝑜)

Figura 14 – Plot do campo elétrico nas regiões de vácuo e dielétrico: (a) Junção total, para 𝜃2 = 50𝑜 (b)

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Figura 15 – Magnitude do Campo elétrico em função da porção de dielétrico para o potencial aplicado de

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Figura 16 – Magnitude do Campo elétrico em função da porção de dielétrico para cinco valores de potencial

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Figura 17 – Enriquecimento de campo em função da porção de dielétrico normalizada para o potencial

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Figura 18 – Enriquecimento de campo em função da porção de dielétrico normalizada para cinco valores de potencial aplicado: a) 1V b) 2V c) 3V d) 4V e) 5V. Oxinitreto de Alumínio com permissividade relativa

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Nas figuras 19, 20, 21 e 22, temos exemplos típicos dos resultados obtidos para os modelos de junção tripla, simulados com permissividade relativa igual a 11.

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Nas figuras 23, 24, 25 e 26, temos exemplos típicos dos resultados obtidos para os modelos de junção tripla, simulados com permissividade relativa igual a 13.

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Nas figuras 27, 28, 29, 30, 31 e 32 temos exemplos típicos dos resultados obtidos para os modelos de junção tripla, simulados com permissividade relativa igual a 5.5 e suas com-parações com os resulatos anteriores.

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Figura 30 – Enriquecimento de campo em função da porção de dielétrico normalizada para cinco valores de

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Nas figuras 33, 34, 35, 36, 37 e 38 temos exemplos típicos dos resultados obtidos para os modelos de junção tripla, simulados com permissividade relativa igual a 5.75 e suas com-parações com os resulatos anteriores.

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