Modelos matemáticos para Esquistossomose

Texto

(1)Universidade Federal de Pernambuco Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática. Pós-graduação em Matemática. Modelos Matemáticos para Esquistossomose Joilson Oliveira Ribeiro. Dissertação de Mestrado. Recife Fevereiro, 2008.

(2) Universidade Federal de Pernambuco Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática. Joilson Oliveira Ribeiro. Modelos Matemáticos para Esquistossomose. Trabalho apresentado ao Programa de Pós-graduação em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Pernambuco como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática.. Orientador: César Augusto Rodrigues Castilho. Recife Fevereiro, 2008.

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(5) À minha Mãe, Raquel de Oliveira Ribeiro.

(6) Agradecimentos. Ao meu Deus por me conceder mais essa vitória. Aos meus pais, Joel, por se apresentar um modelo de homem que desejo seguir, e Raquel, pelo que ela é e pelo seu apoio incondicional aos estudos de todos os filhos. Aos meus irmão Joelson (Sinho), Jonas (Nem) e Joilma (Ilma) pelo que eles representam para mim. A tio Calisto e tio Daniel representando todos os familiares, pela consideração disponibilizada a minha pessoa. A minha noiva (quase esposa) Erika Oliveira (Ribeiro) por ser a pessoa mais importante que conheci nos últimos dois anos, e que espero passar o resto da minha vida ao seu lado. A minha sogra Ciada, minha cunhada Elba, meu cunhado Cleymisson e a Zé, pelo carinho para comigo. A meu orientador César Castilho pela confiança, amizade e paciência. Ao professor Nazareno Medeiros, pelo primeiro incentivo à pesquisa. Ao professor Claudiano Goulart, representando todos os professores da UEFS, por despertarem em mim a vontade de continuar estudando matemática. A secretárias Tânia (DMAT-UFPE) e Arleide (COLMAT-UEFS) pela hospitalidade, e pela gentileza de serem tão receptivas tornando o ambiente de estudo mais agradável. Aos meus colegas Adecarlos, Marcelo e Zaqueu pela amigável convivência. A Allyson pelo acolhimento no início e pelo amigo que se mostrou durante a parceria Feira-Recife, vale ressaltar que Marcelo também fez parte da parceria. A todos os meus colegas do Departamento, dentre eles, Tarciana, Lucas, André, Luís, Bruno, Eder, Wagner, Hélio, Rodrigo, Renata, Isis, Giovana, Claúdio Cristino, Ademarkson, Laudelino, Paulo Roberto, Paulo Rabelo, Fábio por motivos diversos. Aos professores do DMAT-UFPE por contribuirem com a minha formação. Aos amigos André Leite, Marcelo Maiden, Chirley, Cris(tina) por se demonstrarem uma v.

(7) AGRADECIMENTOS. vi. amizade que provavelmente não se limitará à recife. Aos meus irmãos em Cristo e membros do grupo de mocidade da igreja da qual faço parte, dentre eles, Joelma, Vânia, Quesia, Eliana, Verônica, Ane, Vitória, Keliston, Erivaldo, Jai, Sandro, Tiago, Vando e aos senhores do ”baba” Marquinhos, Ozéias, Zé Filho, Biro-Biro por serem meus amigos. E ao CNPq pelo indispensável apoio financeiro..

(8) Ó profundidade das riquezas, tanto da sabedoria, como da ciência de Deus! Quão insondáveis são os seus juízos, e quão inescrutáveis os seus caminhos! Pois, quem jamais conheceu a mente do Senhor? ou quem se fez seu conselheiro? Ou quem lhe deu primeiro a ele, para que lhe seja recompensado? Porque dEle, e por Ele, e para Ele, são todas as coisas; glória, pois, a Ele eternamente. Amém! —BÍBLIA (Romanos, 11:33-36).

(9) Resumo. Nesta dissertação apresentamos alguns modelos matemáticos para esquistossomose. Foram estudados a existência de equilíbrios dos sistemas de E.D.O., assim como suas estabilidades. O principal modelo estudado leva em conta a dependência de idade do caramujo infectado. Foi definido um valor para o número reprodutivo básico, R0 , e mostrado a existência de um valor limite tal que a estabilidade do equilíbrio livre dos parasitas depende diretamente deste valor. Além disso, mostramos a existência e unicidade do equilíbrio endêmico, e que o mesmo é localmente assintoticamente estável sob certas condições na taxa de mortalidade do homem induzida pelo parasita. Fizemos uma análise da sensibilidade do número médio de parasitas por pessoa. Várias estratégias de controle foram discutidas, além de avaliações de custo-benefício. Foi ainda mostrado que esse modelo é a generalização de um modelo mais simples.. Palavras-chave:. Modelos Matemáticos, Esquistossomose, Dependência de idade do cara-. mujo. viii.

(10) Abstract. In this dissertation we present some mathematical models for schistosomiasis. We study the existence of equilibrium of systems of O.D.E., and it’s stability. The main stutied model considers the density-dependence on the age of the infected snail. We define the basic reproductive number, R0 , and show the existence of a threshold value such that the stability of the parasite-free equilibrium depends directly on this value. Furthermore, we show the existence and uniqueness of the equilibrium endemic, and that it is locally asymptotically stable under certain conditions in the rate of mortality of man-induced parasite. We also do an analysis of the sensitivity of the average number of parasites per person. Several strategies of control are discussed, as well as evaluations of cost-benefit. It is also shown that this model is a generalization of a simpler model.. Keywords: Mathematical models, Schistosomiasis, Dependence on the age of the snail. ix.

(11) Sumário. 1 Esquistossomose: Descrição da doença. 3. 1.1. A População de Caramujos. 3. 1.2. Transmissões: Homem-Caramujo e Caramujo-Homem. 9. 2 Um modelo para esquistossomose com dependência de idade dos caramujos. 15. 2.1. O Modelo. 15. 2.2. Número Reprodutivo Básico e a dinâmica da doença. 19. 2.2.1. Taxa reprodutiva b = b1. 21. 2.2.2. Taxa reprodutiva b = b2. 31. 2.3. Comparação com um modelo simples. 35. 2.4. Estratégias de Controle. 39. A Método das linhas características. 44. Referências Bibliográficas. 46. x.

(12) INTRODUÇÃO. A esquistossomose, também conhecida por barriga dágua, é uma doença endêmica em várias regiões tropicais e subtropicais do globo terrestre. No Brasil, os estados onde a esquistossomose se apresenta com maior freqüência são: Bahia, Minas Gerais, Pernambuco, Paraíba, Rio Grande do Norte, Alagoas, Sergipe e Espírito Santo. O principal hospedeiro e reservatório do parasita é o homem, sendo a partir de suas excretas (fezes ou urina) que os ovos são disseminados na natureza. Possui ainda um hospedeiro intermediário que são os caramujos, onde os ovos passam à forma larvária (cercária). Esta última, dispersa principalmente em águas não tratadas, infecta o homem pela pele, causando uma inflamação da mesma. Já no homem, o parasita se desenvolve e se aloja nas veias do intestino e fígado, causando obstrução das mesmas, sendo esta a causa da maioria dos sintomas da doença, que pode ser crônica e levar à morte [11]. Os ovos eliminados pela urina ou fezes dos homens contaminados evoluem para larvas na água, estas se alojam e se desenvolvem em caramujos. Estes últimos liberam a larva adulta, que ao permanecer na água contaminam o homem. No sistema venoso humano, os parasitas se desenvolvem, se reproduzem e eliminam ovos. Neste trabalho, apresentamos alguns modelos matemáticos para esquistossomose. Inicialmente, apresentamos um modelo relativamente simples, que mostrou-se de acordo com estudos feitos em laboratório, onde uma população de caramujos, de tamanho constante, foi submetida a uma taxa de infecção constante. Porém a relação entre o modelo e os experimentos se complicaram, quando foi permitida a variação do tamanho da população dos caramujos através da introdução de novos caramujos no habitat [1]. Desta forma, fica patente a necessidade de um modelo mais realístico, e que ao mesmo tempo seja simples o suficiente para concluirmos algo sobre a doença. O modelo desenvolvido. 1.

(13) INTRODUÇÃO. 2. por Zhilan Feng, Cheng-Che Li e Fabio A. Milner [4], é um modelo que possui uma estrutura de dependência de idade nos caramujos infectados. Foram estudadas duas maneiras para a introdução de novos caramujos no sistema. Na primeira foi considerado que a taxa de introdução de novos caramujos era constante, e na segunda foi levado em conta que caramujos infectados não se reproduzem. Com isso, foram determinados dois números reprodutivos básicos R0 , um para cada valor da taxa reprodutiva. No primeiro caso, quando a taxa reprodutiva é constante, foi mostrado que o equilíbrio livre dos parasitas é um atrator global se R0 < 1 e que é instável se R0 > 1. Mostramos a existência de um único equilíbrio endêmico e que o mesmo é localmente assintoticamente estável se a taxa de mortalidade do homem, induzida pelo parasita, for suficientemente pequena. Já no segundo caso, quando a taxa reprodutiva leva em conta o fato que os caramujos infectados não se reproduzem, foi mostrado que o equilíbrio livre dos parasitas é um atrator global quando R′ 0 < 1 e instável quando R′ 0 > 1, além de mostrarmos a existência e unicidade do equilíbrio endêmico. O modelo passou por uma etapa de validação, isto é, foi mostrado que o modelo é uma generalização de um modelo mais simples. Foi ainda discutido várias estratégias de tratamento da doença, assim como também, as relações de custo-benefício..

(14) C APÍTULO 1. Esquistossomose: Descrição da doença. A esquistossomose mansônica (Schistosoma mansoni) é uma infecção causada por verme parasita. Ocorre em diversas partes do mundo de forma endêmica, em um número de pessoas mais ou menos constante. O principal hospedeiro e reservatório do parasita é o homem, sendo a partir de suas fezes que os ovos são disseminados na natureza. Possui ainda um hospedeiro intermediário que são os caramujos, onde os ovos passam à forma larvária (cercária). Esta última se dispersa principalmente em águas não tratadas, como lagos e infecta o homem através da pele causando uma inflamação da mesma. O ciclo de vida do parasita começa com a postura dos ovos, pela fêmea, dentro do hospedeiro humano, onde o parasita se desenvolve sexuadamente. Através das fezes humanas os ovos são depositados na natureza, passando a se chamar miracídios (os miracídios tem uma expectativa de vida de 4 a 16 horas). Estes por sua vez, infectam os caramujos, que em um primeiro instante, aproximadamente 5 semanas a uma temperatura de 25◦ C, permanecem em um estado de latência, período em que o caramujo está infectado, porém não infeccioso. Deste então, o parasita começa a se desenvolver dentro do caramujo, assexuadamente. Logo em seguida, atinge a fase em que começa a depositar nos lagos, lagoas e rios o que chamamos de cercária (as cercárias tem uma expectativa de vida de 8 a 20 horas). Esta, por sua vez, se estabelece no organismo humano via contato com a pele, causando momentaneamente uma inflamação.. 1.1 A População de Caramujos Modelos matemáticos têm sido usados intensamente para ajudar interpretar as observações feitas no campo como também as experimentações feitas no laboratório. Na tentativa de obter um modelo matemático que descreve a dinâmica da esquistossomose 3.

(15) 4. 1.1 A POPULAÇÃO DE CARAMUJOS. Hospedeiro Humano. População de Cercária, L(2). População de vermes adultos, M. Mortalidade. Produção de Ovos. População de Miracidio, L(1). Mortalidade. Mortalidade Caramujo Infeccioso, Y. Caramujo Latente, Z. Caramujo Suscetível, X. Mortalidade. Mortalidade. Mortalidade. Figura 1.1 Ciclo de vida do parasita. estudaremos inicialmente a população de caramujos, denominada de N2 . Para isso, considere uma população de caramujos na idade a = 0, todos eles livre de infecção. Aqui, N2 (a) é a quantidade de caramujos com idade a. A população de caramujos será dividida em quatro classes, • X(a) → Sucetíveis, • Z(a) → Latentes, • Y(a) → Infectados (liberando Cercárias), • W(a) → Recuperados Também são considerados no modelo os seguintes parâmetros, • λ → taxa de infecção constante,.

(16) 5. 1.1 A POPULAÇÃO DE CARAMUJOS. • τ → período de latência dos caramujos, • γ → taxa de recuperação da infecção As mudanças em X (a), Z(a),Y(a) e W (a) com respeito a idade do caramujo são descritas pelas seguintes quatro equações diferenciais de primeira ordem:. dX da dZ da dY da dW da. = −(λ + µ3 )X. (1.1). = λ X − µ3 Z − λ X (a − τ )exp(−µ3 τ )θ (a − τ ). (1.2). = λ X (a − τ )exp(−µ3 τ )θ (a − τ ) − µ4Y − γ Y. (1.3). = γ Y − µ3W.. (1.4). Aqui θ (u) é uma função escada tal que θ (u) = 1 se u > 0 e θ (u) = 0 se u < 0. As variáveis X , Z,Y e W tem os valores iniciais X (0) = N2 ,. Z(0) = Y (0) = W (0) = 0.. A equação 1.1, nos diz que a um caramujo livre de infecção (sadio) só é permitido morrer (µ3 ) ou se infectar (λ ). Caso um caramujo seja infectado, ele entrará em latência. O termo [−λ X (a − τ )exp(−µ3 τ )θ (a − τ )] da equação 1.2 nos informa que os caramujos permanecerão latentes por um período máximo. τ , sendo permitido aos mesmos a morte (µ3 Z). Aos caramujos que entrarem na classe dos infectados, será permitido a uma fração deles a recuperação, e os demais morrerão. Finalmente, aos caramujos recuperados será permitido apenas a morte. Note que, neste modelo não é permitido a infeccão dos caramujos recuperados, isto pode ser interpretado como imunidade à doença. A partir de agora, estaremos interessados em encontar soluções para as equações 1.1 - 1.4. Inicialmente, podemos ver que a solução de 1.1 é dada por: X (a) = N2 exp[−(λ + µ3 )a]. Já a solução da equação 1.2 é divida em dois casos:. (1.5).

(17) 6. 1.1 A POPULAÇÃO DE CARAMUJOS. • 1◦ Caso: a < τ ⇒ θ (a − τ ) = 0. Assim, 1.2 assume a forma: dZ + µ3 Z = λ X da Esta equação diferencial possui o seguinte fator integrante: Z I(a) = exp µ3 da ⇒ I(a) = exp (µ3 a) Daí, temos que: Z exp (µ3 a) =. Z. exp (µ3 a)λ N2 exp [−(λ + µ3 )a]da. = λ N2. Z. exp[−(λ a)]da = −N2 exp −λ a +C. ⇒ Z(a) = −N2 exp −(λ + µ3 )a +C exp (−µ3 a) ⇒ Z(0) = −N2 +C = 0 ⇒ C = N2 ⇒ Z(a) = −N2 exp [−(λ + µ3 )a] + N2 exp (−µ3 a) Portanto, Z(a < τ ) = N2 exp (−µ3 a)[1 − exp(−λ a)]. (1.6). • 2◦ Caso: a > τ ⇒ θ (a − τ ) = 1. Daí, dZ = λ X − µ3 Z − λ X (a − τ ) exp(−µ3 τ ) da dZ + µ3 Z = λ N2 exp [−(λ + µ3 )a] − λ N2 exp [−(λ + µ3 )](a − τ )exp(−µ3 τ ) da = λ N2 exp [−(λ + µ3 )a](1 − exp (λ τ )) Onde o fator integrante é: I(a) = exp(µ3 a) Logo, Z(a) exp(µ3 a) = λ N2 [1 − exp(λ τ )]. Z. exp (−λ a)da. = −N2 [1 − exp(λ τ )] exp(−λ a) +C ⇒ Z(a) = −N2 [1 − exp(λ τ )] exp[−(λ + µ3 )a] +C exp(−µ3 a).

(18) 1.1 A POPULAÇÃO DE CARAMUJOS. 7. Note que quando t = τ a equação no 1◦ caso deve coincidir com a equação no 2◦ caso. Logo, Z(τ ) = −N2 [1 − exp(λ τ )] exp [−(λ + µ3 )τ ] +C exp(−µ3 τ ) = N2 [1 − exp(−λ τ )] exp (−µ3 τ ) ⇒C =0. Desta forma, Z(a > τ ) = N2 [exp(λ τ ) − 1] exp[−(λ + µ3 )a]. (1.7). A solução da equação 1.3 também é divida em dois casos: • 1◦ Caso: a < τ Y (a < τ ) = 0 pois todos os caramujos estão no período de latência. • 2◦ Caso: a > τ ⇒ θ (a − τ ) = 1 Daí 1.3 assume a forma, dY = λ X (a − τ ) exp−µ3 τ − µ4Y − γ Y da dY + (µ4 + γ )Y = λ N2 exp [−(λ + µ3 )(a − τ )]exp(−µ3 τ ) da dY + (µ4 + γ )Y = λ N2 exp(λ τ ) exp[−(λ + µ3 )a] da Donde temos que o fator integrante é: I(a) = exp (µ3 + γ )a Assim, Y (a) exp (µ4 + γ )a = λ N2 exp(λ τ ). Z. exp [−(λ + µ3 − µ4 − γ )a]da. Escrevendo. α = λ + µ3 − µ4 − γ. (1.8).

(19) 8. 1.1 A POPULAÇÃO DE CARAMUJOS. temos que: Y (a) exp (µ4 + γ )a = λ N2 exp(λ τ ) ⇒ Y (a) = − Como Y (τ ) = −. − exp(−α a) +C α. N2 λ exp(λ τ ) exp [−(λ + µ3 )a] +C exp [−(µ4 + γ )a] α. N2 λ exp(λ τ − λ τ − µ3 τ ) +C exp [−(µ4 + γ )τ ] = 0 α. temos que: C=. ⇒ Y (a > τ ) =. N2 λ exp[(−µ3 + µ4 + γ )τ ] α. N2 λ exp [λ τ − (λ + µ3 )a](exp[α (a − τ )] − 1) α. (1.9). A solução da equação 1.4 também está divida em dois casos: • 1◦ Caso: a < τ W (a < τ ) = 0. (1.10). pelo mesmo motivo de 1.8. • 2◦ Caso: a > τ Desta forma, dW = γ Y − µ3W da dW N2 λ γ + µ3W = exp [λ τ − (λ + µ3 )a](exp[α (a − τ )] − 1) da α Note que o fator integrante é: I(a) = exp (µ3 a) assim, W (a) exp(µ3 a) =. N2 λ γ exp(λ τ )[− α. Z. exp(−λ a)da + exp(−ατ ). Z. exp(sa)da]. onde s = µ3 − µ4 − γ ⇒ W (a) =. N2 λ γ exp(sa) exp(−λ a) ] +C exp(−µ3 a) exp(λ τ − µ3 a)[ + exp(−ατ ) α λ s.

(20) 1.2 TRANSMISSÕES: HOMEM-CARAMUJO E CARAMUJO-HOMEM. 9. N2 λ γ exp(−λ τ ) exp(−λ τ ) exp[(λ − µ3 )τ ][ + ] +C exp(−µ3 τ ) = 0 α λ s N2 λ γ 1 1 [ + ] ⇒C =− α λ s 1 1 N2 λ γ exp(−λ a) exp(sa) ] − ( + )] ⇒ W (a) = exp(−µ3 a)[exp(λ τ )[ + exp(−ατ ) α λ s λ s W (τ ) =. Portanto, ⇒ W (a > τ ) =. N2 λ γ 1 1 exp(−µ3 a)( [exp[(a − τ )s] −1] − [1 −exp[−(a − τ )λ ]]) (1.11) α s λ. O modelo descrito acima se mostrou de acordo com estudos feitos em laboratórios, onde uma quantidade fixa de caramujos foi submetida a uma taxa de introdução de miracídios constante. Porém, quando foi permitida no experimento a variação da população de caramujo, a relação do modelo com o experimento deixou de existir [1]. A obtenção de uma descrição mais detalhada da dinâmica da infecção do caramujo pelo parasita é feita introduzindo-se no modelo uma estrutura de idade e a permissão da introdução de novos parasitas na população. Esta é a principal característica do modelo de Feng [4], discutido no próximo capítulo.. 1.2 Transmissões: Homem-Caramujo e Caramujo-Homem A seguir, estudaremos o sistema de equações diferenciais determinado por 1.12 - 1.17 que descreve as transmissões entre as populações humanas e de caramujo. Neste modelo não estamos considerando a estrutura etária, a recuperação do caramujo e a imunidade adquirida pelo hospedeiro humano. A notação utilizada é a que está definida na tabela 1.1 na página 14..

(21) 1.2 TRANSMISSÕES: HOMEM-CARAMUJO E CARAMUJO-HOMEM. dM dt dL1 dt dX dt dZ dt dY dt dL2 dt. = β1 L2 − µ1 M,. 10. (1.12). 1 λ1 MN1 φ − µ2 L1 − β2 N2 L1 , 2. (1.13). = µ3 (X + Z) + µ4Y − β2 X L1 − µ3 X ,. (1.14). = β2 L1 X − µ3 Z − β2 L1 (t − τ )X (t − τ ) exp(−µ3 τ )θ (t − τ ),. (1.15). = β2 L1 (t − τ )X (t − τ ) exp(−µ3 τ )θ (t − τ ) − µ4Y,. (1.16). = λ2Y − µ5 L2 − β1 N1 L2 ,. (1.17). =. onde N2 = X + Z + Y e θ são definidos como nas equações 1.1 - 1.4. Foi assumido que as populações de humanos e de caramujos são de tamanhos constantes. Este é o motivo do aparecimento do termo (µ3 (X + Z) + µ4Y ) na equação 1.14 exatamente para compensar a taxa de mortalidade nas equações 1.14 - 1.16. Vale observar ainda que a mortalidade humana não está sendo levada em conta na equação 1.12. A função φ representa a probabilidade de acasalamento de um verme fêmea seguindo a distribuição binomial negativa. Tal função, segundo May, [10], é expressa por: 1−α φ (M, k) = 1 − 2π onde α =. M M+k. Z 2π 0. 1 − cosθ dθ (1 + α cosθ )1+k. (1.18). e os dois parâmetros da distribuição binomial negativa são a média de vermes. carregado por um hospedeiro humano M e o parâmetro de agregação k. A escala de tempo para as equações de L1 , X , Z, Y e L2 é muito rápida, se compararmos à expectativa de vida dos vermes adultos que é de aproximadamente de 3 a 5 anos. Portanto, podemos considerar dL1 dX dZ dY dL2 = = = = =0 dt dt dt dt dt E assim, temos que: 1.14 ⇒ µ3 Z + µ4Y = β2 X L1 1.15 ⇒ β2 L1 X = µ3 Z + β2 L1 X f 1.16 ⇒ β2 L1 X f = µ4Y.

(22) 1.2 TRANSMISSÕES: HOMEM-CARAMUJO E CARAMUJO-HOMEM. 11. onde f = e−µ3 τ . Como X + Z +Y = N2. µ4Y β2 L1 µ4Y + (1 − f ) +Y β2 L1 f µ3 β2 L1 f µ4 µ4 (1 − f ) = Y + β2 L1 f µ3 f. ⇒ N2 = ⇒ N2. Y∗ =. β2 L∗1 f N2 µ4 + β2 L∗1 [ f + (1 − f ) µµ34 ]. (1.19). Além disso, temos pelas equações 1.13 e 1.17 que: L∗1. =. e L∗2 =. 1 2 λ1 MN1 φ. (1.20). (β2 N2 + µ2 ). λ2Y ∗ (β1 N1 + µ5 ). (1.21). Daí, Anderson e May [1] encontraram que a equação para o número médio de vermes, M(t), é dada por: dM = µ1 M dt onde. 1 2 T1 T2 φ. 1 2 T2 φ M + 1. −1. !. (1.22). T1 =. β1 λ2 N2 µ1 (β1 N1 + µ5 ). (1.23). T2 =. f β2 λ1 N1 µ4 (β2 N2 + µ2 ). (1.24). e. Os parâmetros T1 e T2 são interpretados neste modelo como o coeficiente de transmissão do caramujo para o homem e o coeficiente de transmissão do homem para o caramujo, respectivamente. O fator. 1 2. aparece devido ao fato de ser assumido no sistema que o padrão de. sexualidade dos vermes é a monogamia. Aqui, são ainda consideradas as seguintes expressões:.

(23) 1.2 TRANSMISSÕES: HOMEM-CARAMUJO E CARAMUJO-HOMEM. •. β1 (β1 N1 +µ5 ). que é probabilidade de uma cercária infectar um humano, e. •. β2 (β2 N2 +µ2 ). que é a probabilidade de um caramujo ser infectado por um miracídio.. 12. O significado para os parâmetros podem ser encontrados na tabela 1.1 na página 14. O número reprodutivo básico, R0 , foi definido por: 1 R0 = T1 T2 φ . 2. (1.25). Assim, vemos que a equação 1.22 tem dois pontos de equilíbrios: M ∗ = 0 e, ∗. M =. ( 21 T1 T2 φ − 1). (1.26). ( 21 T2 φ ). Note que o equilíbrio endêmico, isto é, o valor de equilíbrio possitivo da equação, fará sentido biológico se, e somente se, R0 > 1. Encontrar uma solução analítica para a equação 1.22 não é uma tarefa fácil devido à quantidade de parâmetros e à complexidade da equação 1.18. Portanto, nos limitaremos ao estudo da estabilidade dos seus equilíbrios. Inicialmente, note que se M > M∗ > 0 então. dM <0 ⇔ dt. 1 2 T1 T2 φ. 1 2 T2 φ M + 1. −1 < 0. 1 1 T1 T2 φ < T2 φ M + 1 2 2 1 T2 φ (T1 − M) < 1 ⇔ 2 1 1 2 T1 T2 φ − 1 ⇔ M > T1 − 1 = = M∗. 1 T T φ φ 2 2 2 2. ⇔. Além disso, note que quando M→0. ⇒. φ (M, k) → 0. ⇒. R0 → 0.

(24) 1.2 TRANSMISSÕES: HOMEM-CARAMUJO E CARAMUJO-HOMEM. 13. e portanto, numa vizinhança à direita da origem dM < 0. dt Desta forma, temos a existência de um ponto de equilíbrio instável (breakpoint) e os equilíbrios M = 0 e M = M ∗ são estáveis, como sugere a figura 1.2 abaixo.. Figura 1.2 Existência de um ponto de instabilidade entre os equilíbrios estáveis. Uma outra observação a ser feita é que quando k→0. ⇒. φ (M, k) → 1,. donde temos que para k suficientemente pequeno, o breakpoint irá desaparecer tendendo a zero. O uso da distribuição binomial negativa se faz necessário pelo fato que na realidade os vermes se encontram muito agrupados, sendo o breakpoint de significado limitado[1]. Outro fator a ser destacado sobre a necessidade do uso desta distribuição é que MacDonald [9] no ano de 1965 assumiu que os vermes estavam espalhados aleatoriamente, e concluiu equivocadamente que o breakpoint estaria sempre distante do equilíbrio de zero vermes por pessoa..

(25) 1.2 TRANSMISSÕES: HOMEM-CARAMUJO E CARAMUJO-HOMEM. Tabela 1.1 Notação empregada nos modelos de dinâmica de transmissão da esquistossomose. Variável Populacional Definição N2. Densidade total de Caramujo. X. Densidade de Caramujos suscetíveis (não infectados). Z. Densidade de Caramujos infectados, mas não infecciosos (latentes). Y. Densidade de Caramujos infectados e infecciosos. W. Densidade de Caramujos recuperados. N1. Densidade total de Humanos. M. Média de vermes carregados por hospedeiro humano. L1. Densidade de miracídios. L2. Densidade de cercárias. Caramujo. µ3. Taxa de mortalidade dos Caramujos suscetíveis e latentes. µ4. Taxa de mortalidade dos Caramujos infecciosos. γ. Taxa per capita de recuperação da infecção. τ. Período médio de latência. λ. Força per capita da taxa de infecção. Humano. µ1. Taxa de mortalidade per capita dos vermes adultos. β1. Taxa per capita em que uma cercária se estabelece em um humano. λ1. Fecundidade per capita dos vermes adultos fêmeas. β2. Taxa per capita em que um miracídio se estabelece em um caramujo. µ2. Taxa de mortalidade per capita dos miracídios. µ5. Taxa de mortalidade per capita das cercárias. λ2. Taxa per capita de produção de cercária(por caramujo infeccioso). φ. Probabilidade de acasalamento de um verme fêmea. k. Parâmetro de agregação da distribuição binominal negativa. 14.

(26) C APÍTULO 2. Um modelo para esquistossomose com dependência de idade dos caramujos. Neste capítulo estudaremos o modelo desenvolvido por Zhilan Feng, Cheng-Che Li e Fabio A. Milner [4] que descreve características da dinâmica da esquistossomose, dos caramujos e dos humanos. Em tal modelo a população de caramujos infectados é estruturada por faixa etária com o intuito de simular a produção das cercárias, que durante o período de latência é inexistente e depois assume comportamento periódico [1], [11]. No modelo é permitido a variação do tamanho populacional tanto do hospedeiro humano como também da população de caramujos infectados através da taxa de mortalidade induzida pela doença.. 2.1 O Modelo Denotaremos por N o número de hospedeiros humanos, P o número de parasitas adultos, S, I a quantidade de caramujos não infectados e infectados respectivamente, M o número de miracídios e C a quantidade de cercárias. No modelo, é assumido que os caramujos nascem livres de infecção, que os parasitas estão espalhados dentro do hospedeiro humano segundo a distribuição binomial negativa, e que a quantidade de miracídios que infectam o caramujo não é essencial para o número de cercárias produzido. Com isso a população de caramujos foi dividida em duas classes.: I (caramujos infectados) e S (caramujos livres de infecção). Está sendo ainda considerada no modelo a densidade de infecção por idade do caramujo.. 15.

(27) 16. 2.1 O MODELO. Tabela 2.1 Parâmetros utilizados no modelo. Λh. Taxa de recrutamento dos hospedeiros humanos. bp. Taxa per capita de nascimento (postura de ovos) de parasitas adultos. Λs. Taxa de recrutamento dos caramujos. µh. Taxa per capita de mortalidade natural dos hospedeiros humanos. µp. Taxa per capita de mortalidade dos parasitas adultos. µs. Taxa per capita de mortalidade natural dos caramujos. α. Taxa de mortalidade, induzida por parasita, dos humanos. ds. Taxa de mortalidade induzida dos caramujos. ρ. Taxa per capita de sucesso de infecção do caramujo por um miracídio. β. Taxa per capita de sucesso de infecção do humano por uma cercária. r(τ ) Taxa de realização de cercária por um caramujo de idade infecciosa τ. σ. Taxa de tratamento dos hospedeiros humanos. k. Parâmetro de agregação da distribuição binominal negativa. Assim, denotando por t o tempo, τ a idade infecciosa, isto é, tempo desde a infecção, temos que x(t, τ ) denotará a densidade da idade infecciosa do caramujo no tempo t, e r(τ ) será a taxa em que os caramujos infectados com idade infecciosa τ produz cercária. Com isso, definimos o número de caramujos infectados na idade t por:. I(t) =. Z ∞ 0. x(t, τ )d τ .. (2.1). Como o tempo de vida de uma cercária é muito curto, isto é, após ser produzida, ela morre rapidamente se não encontrar um hospedeiro humano para infectar, foi assumido que o número total de cercárias produzido por caramujos infectados no tempo t > 0 pode ser expresso por C(t) =. Z ∞ 0. r(τ )x(t, τ )d τ .. (2.2). onde r(τ ) é a taxa de realização de liberação de cercária por um caramujo infectado com idade infecciosa τ ..

(28) 17. 2.1 O MODELO. Foi assumido ainda que o número médio de ovos deixado por um parasita adulto, por unidade de tempo, é constante. Assim, temos o seguinte sistema de equações que governa a dinâmica da doença d N = Λh − µh N − α P, dt d P = β CN − (µh + µ p + α + σ )P − α dt. . k+1 k. . d S = b(S, I) − µsS − ρ MS, dt. P2 , N. (2.3). ∂ ∂ x(t, τ ) + x(t, τ ) = −(µs + ds )x(t, τ ), ∂t ∂τ x(t, 0) = ρ MS,. C(t) =. R∞ 0. x(0, τ ) = x0 (τ ),. r(τ )x(t, τ )d τ ,. I(t) =. M = b pP R∞ 0. x(t, τ )d τ .. onde b(S, I) é a taxa de nascimento dos caramujos cuja forma será especificada depois, ρ MS é a taxa de incidência de infecção do caramujo e M = b p P. Análogo às cercárias, os miracidios morrem muito rapidamente caso não encontrem um caramujo para infectar. Por essa razão, o número total de miracidios no tempo t foi assumido proporcional ao número de parasitas adultos. Neste trabalho não abordaremos as questões de existência e unicidade das soluções do sistema 2.3. O mesmo pode ser feito usando métodos encontrados em [13]. A proposição seguinte mostra que 2.3 tem significado biológico. Proposição 2.1. Dado uma condição inicial não-negativa, isto é, N(0) > 0, P(0) > 0 e S(0) > 0. todas as variáveis permanecem não-negativas para t > 0 d S > 0, ou seja, sobre o plano N × P o dt campo aponta para dentro do primeiro octante. Também se N(0) > 0 então N(t) > 0 para todo d t > 0 já que N não pode ser 0. Por fim, se P = 0 então P = β N, que é maior que zero, já que dt Demonstração. Suponha inicialmente que S = 0 então.

(29) 18. 2.1 O MODELO. estamos tomando N(0) > 0, portanto, temos que o campo sobre o plano NxS aponta pra dentro do primeiro octante, donde temos o resultado que desejávamos. Utilizaremos o método das linhas características para determinar uma solução para x(t, τ ). Assim, supondo t − τ = constante, temos pela regra da cadeia [8] que. ∂ ∂ d x(t, τ ) = x(t, τ ) + x(t, τ ) dt ∂t ∂τ e. ∂ ∂ d x(t, τ ) = x(t, τ ) + x(t, τ ) dτ ∂t ∂τ. Assim, para t > τ temos que x(t, τ ) = e−(µs +ds )τ B(t − τ ) e para t < τ , temos que x(t, τ ) = e−(µs +ds )t x0 (τ − t), onde B(t) = ρ M(t)S(t) = ρ b p P(t)S(t) Desta forma, podemos reescrever C(t) e I(t) como C(t) =. Z t 0. I(t) =. r(τ )e−(µs +ds )τ B(t − τ )d τ + F1 (t),. Z t 0. onde F1 (t) =. e−(µs +ds )τ B(t − τ )d τ + F2 (t),. Z ∞ t. F2 (t) =. r(τ )e−(µs +ds )τ x0 (τ − t)d τ ,. Z ∞ t. e−(µs +ds )τ x0 (τ − t)d τ .. Introduzindo a notação δ = µh + µ p + α + σ , sistema 2.3 como. ξ = ρ b p,. k0 =. k+1 reescrevemos o k.

(30) 19. 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. d N = Λh − µh N − α P, dt R P2 d P = β N 0t r(τ )e−(µs +ds )τ B(t − τ )d τ − δ P − α k0 + β NF1 (t), dt N. d S = b(S, I) − µsS − B(t), dt. (2.4). B(t) = ξ P(t)S(t). I(t) =. R t −(µ +d )τ s s B(t − τ )d τ + F (t). 2 0e. 2.2 Número Reprodutivo Básico e a dinâmica da doença Nesta secção consideraremos dois casos particulares para b(S, I): b1 (S, I) = Λs representando um recrutamento constante, independente da proporção de caramujos infectados e c1 S b2 (S, I) = , onde c1 e c2 são constantes. Esta definição de b2 (S, I) leva em conta que c2 + S + I os caramujos infectados não se reproduzem. Note que se assumirmos b = b2 em uma determinada população, esta terá sua maior taxa reprodutiva quando não houver nenhum caramujo infectado I = 0, e não haverá reprodução caso todos os caramujos estejam infectados. Proposição 2.2. As variáveis N(t), P(t), S(t) do sistema 2.3 são limitadas para todo t > 0, assumindo que a condição inicial é não negativa. Demonstração. Pela primeira equação do sistema 2.3 temos que quando N é grande,. dN dt. < 0 já. que pela proposição 2.1 P é sempre não negativo. Portanto, N é limitado. Se supormos b(S, I) = b1 (S, I) = Λs na terceira equação do sistema 2.3 teremos que S é c1 S limitado pois P é sempre não negativo. Se fizermos b(S, I) = b2 (S, I) = obtemos c2 + S + I d S(t) = b2 (S, I) − µsS(t) − ξ P(t)S(t) dt c1 = S(t) − (µs + ξ P(t)) c2 + S(t) + I(t).

(31) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. 20. e para S suficientemente grande, c1 < µs + ξ P(t) c2 + S(t) + I(t). d S<0 dt. ⇒. e consequentemente S é limitado. Pela segunda equação do sistema 2.4 temos que é necessário apenas mostrar que C(t) é limitado para obtermos que P é limitado, já que N é limitado. Inicialmente, note que para b = b1 e b = b2 , b(S, I) é limitado. Além disso, estamos assumindo que r(τ ) é uma função periódica limitada, pois é a taxa de realização de cercária por um caramujo infectado, e portanto, assumimos que r(τ ) assume um valor máximo r¯. Assim, C(t) =. Z t 0. −(µs +ds )τ. r(τ )e. ξ P(t − τ )S(t − τ )d τ +. Z ∞ t. r(τ )e−(µs +ds )t xo (τ − t)d τ .. Denominaremos a primeira integral por L1 (t) e a segunda por L2 (t). Desta forma, −(µs +ds )t. L2 (t) ≤ r¯e pois. R∞ t. Z ∞ t. xo (τ − t)d τ < ∞. xo (τ − t)d τ é a quantidade inicial de caramujos infectados com idade maior que t.. Quanto a L1 (t), note iniciamente que. ξ PS = b(S, I) − µsS − S′ ≤ −S′ + b(S, I) assim, L1 (t) ≤ r¯ ≤ r¯. Z t 0. Z t 0. = −¯r. e−(µs +ds )τ ξ P(t − τ )S(t − τ )d τ e−(µs +ds )τ (−S′ (t − τ ) + b(S, I))d τ. Z t 0. −(µs +ds )(t−u) ′. e. S (u)du + r¯. Z t 0. e−(µs +ds )(t−u) b(S, I)du.. Integrando por parte temos que b(S, I) −(µs +ds )t ( µ µ (µs +ds )t ( +d )t +d )t s s s s L1 (t) ≤ r¯e e e (S(0) − S(t)) + S¯ e −1 + −1 (µs + ds ) b(S, I) −(µs +ds )t S¯ + = r¯ (S(0) − S(t)) + 1 − e <∞ (µs + ds ). onde S¯ é algum valor que limita S(t) superiormente.. Esta proposição será util na demonstração dos próximos resultados..

(32) 21. 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. 2.2.1 Taxa reprodutiva b = b1 Inicialmente, descreveremos alguns resultados analíticos referentes ao modelo, levando em conta que a taxa de nascimento dos caramujos é b1 (S, I) = Λs . Desta maneira, considere K1 = β e seja RMS =. . Λs µs. Z ∞ 0. r(τ )e−(µs +ds )τ d τ ,. ξ , δ. RSM =. . Λh K1 . µh. RMS representa o coeficiente de transmissão homem-caramujo, mais precisamente o número de caramujos infectados por um esquistossomo durante o perído médio de vida δ1 , enquanto RSM representa o coeficiente de transmissão caramujo-homem, isto é, o número de esquistossomos produzidos por um caramujo infectado durante um período inteiro de infecção. Assim, definimos o número reprodutivo básico por: R0 = RMS RSM . Seja E0 = (N0 , P0 , S0 ) =. . Λs Λh , 0, . µh µs. Observe que E0 é um equilíbrio do sistema 2.4. O próximo resultado diz que se R0 6 1 então a doença deixará de existir, independentemente da quantidade de vermes existente em um dado instante inicial. Teorema 2.1. Considere o sistema 2.4 com b = b1 (S, I). Se R0 ≤ 1, então o equilíbrio sem parasita E0 é um atrator global, isto é, lim (N(t), P(t), S(t)) =. t→∞. . Λs Λh , 0, µh µs. . para qualquer condição inicial positiva do sistema 2.4 Para provar o teorema 2.1, faremos uso de alguns resultados nos quais utilizaremos a seguinte definição. Definição 1. Seja f : [0, ∞) → R limitada. Definimos f∞ = lim inf f (t) e f ∞ = lim sup f (t). t→∞. t→∞.

(33) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. 22. Lema 2.1. (Lema da Flutuação) Seja f : [0, ∞) → R uma função diferenciável limitada que não. possui limite quando t → ∞ então existem seqüências sn ,tn → ∞ com as seguintes propriedades: f (sn ) → f∞ ,. f ′ (sn ) → 0. f (tn ) → f ∞ ,. f ′ (tn) → 0. para n → ∞. Demonstração. Se f não tem limite para t → ∞ ela deve oscilar entre f∞ e f ∞ . Logo podemos escolher seqüências apropriadas de mínimo local f (sn ) e máximo local f (tn) que tem as propriedades desejadas Proposição 2.3. Seja f : [0, ∞) → R limitada e continuamente diferenciável. Então existem. seqüências sn ,tn → ∞ com as seguintes propriedades: f (sn ) → f∞ ,. f ′ (sn ) → 0. f (tn ) → f ∞ ,. f ′ (tn) → 0. Demonstração. Se f (t) não possui limite, o resultado segue pelo lema 2.1. Logo, podemos assumir que o limite de f (t) quando t → ∞ existe e é finito. Assim, temos apenas dois casos a considerar: 1. Se para todo M0 > 0 existem infinitos t > M0 tal que f ′ (t) muda de sinal basta escolher seqüências apropriadas de máximos e mínimos locais para tn e sn respectivamente. 2. Caso contrário, existe M0 > 0 tal que f ′ (t) não muda de sinal para todo t > M0 . Como o limite de f (t), quando t → ∞, existe e é finito então f possui uma assíntota horizontal, e o resultado segue. Demonstração. (Teorema 2.1) Pela proposição 2.3 existem seqüências sn ,tn, vn → ∞ tais que N(sn ) → N ∞ ,. d N(sn ) → 0, dt.

(34) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. S(tn) → S∞ ,. d S(tn) → 0 dt. P(vn ) → P∞ ,. d P(vn ) → 0. dt. 23. e. Assim, N∞ =. Λh − α P(sn ) Λh ≤ µh µh. S∞ =. Λs Λs ≤ µs + ξ P(tn) µs. Da mesma forma. e como F1 → 0 quando t → ∞ temos que: 0 ≤ β N(vn ) Logo,. Z t 0. −(µs +ds )τ. r(τ )e. P∞ B(t − τ )d τ − P δ + α k0 N(vn ) ∞. Z t P∞ ∞ ∞ ∞ ≤ βξN S P r(τ )e−(µs +ds )τ d τ P δ + α k0 N(vn ) 0 Z t Λh Λs r(τ )e−(µs +ds )τ d τ ≤ P∞ δ ≤ P∞ β ξ µh µs 0 ∞. já que R0 ≤ 1. Daí,. α k0. Portanto, P∞ = 0 donde P = 0.. . P∞ N(vn ). . ≤ 0.. Agora, considere uma seqüência xn → ∞ tal que N(xn ) → N∞ e então N∞ →. Λh µh .. Portanto, N∞ = N ∞ →. d dt N(xn ) → 0.. Como P = 0,. Λh µh .. Analogamente, temos que S∞ = S∞ →. Λs µs .. A hipótese R0 ≤ 1 é de extrema importância, pois, caso contrário, o próximo resultado garante exatamente o oposto do teorema 2.1. Teorema 2.2. Se R0 > 1, b = b1 (S, I) = Λs , então o equilíbrio livre dos parasitas E0 é instável.. Além disso, existe um único equilíbrio endêmico E∗ = (N∗ , P∗ , S∗ ) com P∗ > 0..

(35) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. 24. Demonstração. Escreveremos o sistema de equações (2.4) da seguinte maneira d N = Λh − µh N − α P, dt P2 d P = N(K1 ∗ B) − δ P − α k0 , dt N (2.5) d S = b1 (S, I) − µsS − B, dt B = ξ PS onde f ∗g =. Z t 0. f (τ )g(t − τ )d τ. e K1 (τ ) = β r(τ )e−(µs +ds )τ . A linearização do sistema 2.5 no ponto E0 tem a seguinte equação característica   −α λ + µh 0     det  0 λ + δ − N0 (K1 ∗ ξ S0 ) 0 =0   0 ξ S0 λ + µs ⇒ (λ + µh )(λ + µs ). hR. ∞ −λ τ [λ 0 e. i + δ − N0 (K1 ∗ ξ S0)]d τ = 0. ⇒ (λ + µh )(λ + µs )[λ + δ − ξ N0 S0 Kˆ 1 (λ )] = 0 onde Kˆ 1 (λ ) =. Z ∞ 0. e−λ τ K1 (τ )d τ .. Agora, considere a função F(λ ) = λ + δ − ξ N0 S0 Kˆ 1 (λ )..

(36) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. 25. Para mostrar que E0 é instável quando R0 > 1, é suficiente mostrar que F(λ ) possui uma raiz com parte real positiva. Note que. ξ R0 = S0 N0 K1 ⇒ ξ N0 S0 K1 > δ δ. pois R0 > 1, donde temos que F(0) = δ − ξ N0 S0 K1 < 0. Note ainda que F (λ ) = 1 + ξ N0 S0 ′. Como. Z ∞ 0. Z ∞ 0. τ e−λ τ K1 (τ )d τ > 0.. r(τ ) e−(λ +µs +ds )τ. dτ < ∞. e F(λ ) é crescente, temos que, para λ suficientemente grande, existe λ0 > 0 tal que F(λ0 ) = 0. Para mostrarmos a outra afirmação do teorema, faça o lado direito do sistema de equação 2.5 igual a zero. Daí,. 0 = Λh − µh N∗ − α P∗ ⇒ P∗ =. Λh − µh N∗ α. (2.6). 0 = Λs − µs S∗ − ξ P∗ S∗. ⇒ S∗ =. α Λs α µs + ξ (Λh − µh N∗ ). 0 = N∗ (K1 ∗ B) − δ P∗ − α k0 Z 0 = N∗ β. ∞ 0. −(µs +ds )τ. r(τ )e. P∗2 N∗. (2.7). . ξ P(t − τ )S(t − τ )d τ − δ P∗ − α k0. ⇒ Λs δ P∗ + α k0. P∗2 Λs = ξ N∗ P∗ S∗ K1 Λs . N∗. P∗2 N∗.

(37) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. 26. Como E∗ é um equilíbrio positivo, isto é, N∗ , P∗ , S∗ > 0, então:. ξ N∗ K1 Λs =. Λs δ P∗ α k0 P∗2 Λs + P∗ S∗ N∗ P∗ S∗. α k0 Λs δ = [α µs + ξ (Λh − µh N∗ )] + α Λs N∗ α Λs =. . ξ (Λh − µh N∗ ) µs + α. . Λh − µh N∗ Λs [α µs + ξ (Λh − µh N∗ )] α. k0 (Λh − µh N∗ ) . δ+ N∗. Definamos. Note que.   h(N) = ξ NK1 Λs , h ih i  g(N) = µs + ξ (Λh −µh N) δ + k0 (Λh −µh N) . α N. lim h(N) = 0. N→0+. e. Λh Λh lim g(N) = δ + k0 µs + ξ − µh =∞ N∗ α N→0+. enquanto que, h( Λµhh ) = ξ K1 Λs Λµhh e g( Λµhh ) = δ µs. (2.8).

(38) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. ⇒ h(. 27. Λh Λh ) > g( ) µh µh. ⇔ ξ K1 Λs. Λh > δ µs µh. ξ Λs Λh K1 > 1 δ µs µh. ⇔. ⇔ R0 > 1.. Portanto, temos que existe N∗ no intervalo (0, Λµhh ), tal que N∗ é solução da equação h(N∗ ) = g(N∗ ). A unicidade de N∗ vem do fato que h′ (N) = ξ K1 Λs > 0, logo, h(N) é estritamente crescente, e como −ξ µh −k0 Λh k0 (Λh − µh N) ξ (Λh − µh N) ′ g (N) = δ+ + µs + α N α N2 no intervalo (0, Λµhh ), g(N) é estritamente decrescente. Logo, existe apenas um N∗ que satisfaz a equação h(N∗ ) = g(N∗ ) em (0, Λµhh ). Para N ≥. Λh µh ,. é suficiente mostrar que h(N) − g(N) > 0..

(39) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. 28. De fato,. ξ Λs ξ µh N − h(N) − g(N) = ξ NK1 Λs − µs + α α . = ξ. +. . k0 Λh − k0 µh δ+ N. ξ Λh δ ξ Λ2h k0 Λh Λh + µs k0 µh − − K1 Λs − µs δ − µs k0 µh N α αN. ξ Λh k0 µh ξ µh N δ ξ µh k0 Λh ξ µh2 Nk0 + + − . α α α α. Como estamos considerando R0 > 1 e N≥ então. ξ. . Λh K1 Λs − µs δ > 0. µh. Ainda pelo fato de N≥ temos que −µs k0. −. Λh , µh. . Λh N. . Λh , µh. + µs k0 µh > 0,. ξ Λh δ ξ µh N δ + >0 α α. e Λ2h − µh2 N 2 ≤ 0, o que implica −. ξ Λ2h k0 ξ µh2 Nk0 −ξ k0 2 − (Λh − µh2 N 2 ) ≥ 0, = αN α αN. donde temos a unicidade de N∗ e conseqüentemente a unicidade de E∗ . Teorema 2.3. Se α é suficientemente pequeno, então E∗ é localmente assintoticamente estável. Demonstração. No ponto E∗ o sistema 2.5 tem a seguinte equação característica.

(40) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. onde. 29.   λ + µh α 0     det  −C∗1 λ + δ + D∗1 −N∗ ∂∂S (K1 ∗ B∗ ) = 0,   0 ξ S∗ λ + µs + ξ P∗. C∗1 = (K1 ∗ B∗ ) + α k0 D∗1 = 2α k0. P∗2 , N∗2. ∂ P∗ − N∗ (K1 ∗ B∗ ) N∗ ∂P. Aplicando a transformada de Laplace temos:. onde.   λ + µh α 0     ⇒ det  −C∗ (λ + δ + D∗ ) −ξ N∗ P∗Kˆ 1 (λ ) = 0,   ξ S∗ λ + µs + ξ P∗ 0 C∗ = K1 B∗ + α k0 D∗ = 2α k0. P∗2 , N∗2. P∗ − ξ N∗ S∗ Kˆ 1 (λ ). N∗. Denotando o lado direito da equação característica por G(λ ), temos G(λ ) = (λ + µh ) (λ + δ + D∗ )(λ + µs + ξ P∗ ) + ξ 2 N∗ P∗ S∗ Kˆ 1 (λ ). + α C∗ (λ + µs + ξ P∗ ) P∗ ˆ = (λ + µh ) (λ + δ + 2α k0 )(λ + µs + ξ P∗ ) − ξ N∗ S∗ (λ + µs )K1 (λ ) N∗ + α C∗ (λ + µs + ξ P∗ ).. Pela demostração do teorema 2.2 temos que para cada α existe um único N∗ = N(α ) que seja solução da equação h(N∗ ) = g(N∗ ) definidos em 2.8..

(41) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. 30. Como N∗ é um equilíbrio do sistema 2.5, então N∗ =. Λh − α P∗ . µh. Daí, lim N(α ) = N0 =. α →0. Λh . µh. Agora definimos F(N(α ), α ) = h(N(α )) − g(N(α )) = 0 ⇒ α F(N(α ), α ) = 0. ∂ N −α ∂∂ αF − F(N(α ), α ) = ∂α α ∂∂ NF tomando α tendendo a 0 temos que Λh. α µs + δ µs − ξ K1 Λs µh ∂N = k µ2µ ∂α α (ξ K1 Λs + 0 Λhh s + δ ξαµh ) =. δ µs − ξ K1 Λs Λµhh. ξ δ µh µs ˜ 0 ), = (1 − R ξ µh ˜ 0 é R0 em α = 0. onde R Portanto, N∗ =. ˜ 0 − 1) Λh µs (R − α + O(α 2 ) µh ξ. Agora, pela equação 2.6 temos que P∗ =. ˜ 0 − 1) µs (R + O(α ), ξ. o que implica S∗ =. Λs 1 . ˜0 µs R. Assim, fazendo α → 0, a equação característica G(λ ) = 0 possui uma raiz −µh e as outras duas são dadas por. (λ + δ˜ )(λ + µs + ξ P˜∗ ) = ξ N˜ ∗ S˜∗ Kˆ 1 (λ ), λ + µs. (2.9).

(42) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. 31. onde x˜ = x calculado tomando o limite em α tendendo a 0. Se supormos que a parte real de λ é maior ou igual a zero, então teremos que

(43)

(44)

(45) Z ∞

(46)

(47)

(48)

(49) Z ∞ −λ τ

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55) Kˆ 1 (λ )

(56) =

(57)

(58) ≤

(59)

(60) =

(61) Kˆ 1 (0)

(62) = K1 . e K ( τ )d τ τ )d τ K ( 1 1

(63)

(64)

(65)

(66) 0. Note que N˜ ∗ = N0 e S˜∗ = Daí, temos que. 0. S0 ˜0. R.

(67)

(68)

(69) ξ N˜ ∗ S˜∗ Kˆ 1 (λ )

(70) ≤ ξ N0 S0 K1 = δ˜ R˜ 0. Por outro lado, como P∗ > 0 (note que, como α é pequeno, então R˜ 0 > 1 desde que R0 > 1) temos.

(71)

(72)

(73) (λ + δ˜ )(λ + µ + ξ P˜ )

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79) s ∗

(80) ˜

(81) >

(82) λ + δ

(83) ≥ δ˜

(84)

(85)

(86) λ + µs. Isto mostra que as raízes da equação 2.9 têm parte real negativa e, portanto, o equíbrio é localmente assintoticamente estável.. 2.2.2 Taxa reprodutiva b = b2 Os três teoremas da subseção anterior levaram em conta o fato que b(S, I) = b1 (S, I) = Λs . A partir de agora, mostramos alguns resultados semelhantes, assumindo que b(S, I) = b2 (S, I) =. c1 S . c2 + S + I. Como mudamos o valor de b(S, I) que estava inteiramente relacionado ao nosso número reprodutivo básico, redefiniremos R0 da seguinte maneira: R′0 = R′MS R′SM , onde R′MS e. ξ ¯ S, = δ. R′SM. =. . Λh K1 µh. c1 S¯ = − c2 > 0 µs é a capacidade de deslocamento dos caramujos na ausência dos parasitas..

(87) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. Teorema 2.4. Seja b(S, I) = b2 (S, I) =. c1 S c2 + S + I. no sistema 2.4. Então o equilíbrio livre de parasita c1 Λh ¯ ¯ ¯ ¯ , 0, − c2 E0 = N0 , P0 , S0 = µh µs. é um atrator global quando R′0 ≤ 1. Demonstração. Completamente análoga a demostração do Teorema 2.1 Teorema 2.5. Seja b(S, I) = b2 (S, I) =. c1 S c2 + S + I. no sistema 2.4. Então o equilíbrio livre de parasita Λh c1 ¯ ¯ ¯ ¯ E0 = N0 , P0 , S0 = , 0, − c2 µh µs. é instável quando R′0 > 1. Demonstração. A equação característica no ponto E¯0 = N¯0 , P¯0, S¯0 é dada por: c2 µs2 λ + δ − N¯0 (K1 ∗ ξ S¯0 ) = 0. (λ + µs ) λ + µs − c1. Aplicando a transformada de laplace, temos: Z ∞ c2 µs2 −λ τ ¯ (λ + µs ) λ + µs − e λ + δ − N¯0 (K1 ∗ ξ S0) d τ = 0 c1 0 c2 µs2 λ + δ − ξ N¯0 S¯0 Kˆ 1 (λ ) = 0 ⇒ (λ + µs ) λ + µs − c1. onde. Kˆ 1 (λ ) = Note que. já que. c1 µs. Z ∞ 0. e−λ τ K1 (τ )d τ .. c2 µs2 c2 µs = µs 1 − >0 µs − c1 c1. > c2 . Assim, para o equilíbrio ser instável, a função F(λ ) = λ + δ − ξ N¯0 S¯0 Kˆ 1 (λ ). 32.

(88) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. 33. deve ter uma raiz positiva. E isto de fato acontece pois F(0) = δ − ξ N¯0 S¯0 K1 < 0 já que R′0 > 1 ⇔ ξ N¯0 S¯0 K1 > δ . Analisando a derivada, vemos que: F (λ ) = 1 + ξ N¯0 S¯0 ′. Z ∞ 0. τ e−λ τ K1 (τ )d τ > 0. e como Kˆ 1 (λ ) < ∞, o resultado segue. Teorema 2.6. Seja b(S, I) = b2 (S, I) =. c1 S . c2 + S + I. Então o sistema 2.5 com R′0 > 1 possui um único equilíbrio endêmico, isto é, E∗ = (N∗ , P∗ , S∗ ) onde P∗ > 0. Demonstração. O equilíbrio positivo do sistema 2.5 é dado por: 0 = Λh − µh N∗ − α P∗. Λh − µh N∗ α 2 P P∗ 0 = N∗ (K1 ∗ B∗ ) − δ P∗ − α k0 ∗ = P∗ (ξ N∗ S∗ K1 − δ − α k0 ), N∗ N∗ Λh 1 δ + k0 S∗ = − µh , ξ N∗ K1 N∗ c1 S∗ − µs S∗ − ξ P∗ S∗ . 0= c2 + S∗ + I∗ ⇒ P∗ =. Como I(t) =. Z ∞ 0. e−(µs +ds )τ B(t − τ )d τ =. (2.10). (2.11). ξ PS µs + ds. temos que o valor de equilíbrio de N∗ é dado pela solução da equação. µs +. ξ (Λh − µh N) c1 = 0, − α c2 + L (N). (2.12).

(89) 2.2 NÚMERO REPRODUTIVO BÁSICO E A DINÂMICA DA DOENÇA. onde. ξP µs + ds 1 Λh ξ (Λh − µh N) L (N) = . − µh δ + k0 1+ ξ NK1 N α (µs + ds ) L (N) = S + I = S 1 +. Assim, basta mostrar que existe uma única solução para a equação 2.12. Para tal, note que. P(0) =. Λh α. S(0) = ∞. P(. S(. L (0) = ∞. Λh δ µh )= , µh ξ Λh K1. L(. Fazendo h(N) = µs +. Λh ) = 0, µh. Λh Λh ) = S( ). µh µh. ξ (Λh − µh N) α. e g(N) =. c1 , c2 + L (N). temos que existe N∗ ∈ (0,. Λh ) µh. tal que h(N∗ ) = g(N∗ ) pois como ˜ 0 = ξ S¯ Λh K1 > 1 R δ µh temos que h(0) = µs + ξ Por outro lado, h(. Λh ; α. Λh ) = µs ; µh. g(0) = 0. g(. ⇒ h(0) > g(0).. Λh c1 )= . µh c2 + L ( Λµhh ). 34.

(90) 2.3 COMPARAÇÃO COM UM MODELO SIMPLES. Como. 35. S¯ ˜ 0 > 1 ⇔ ξ S¯ Λh K1 > 1 ⇔ ¯ > L ( Λh ) > 1 ⇔ S R δ µh µh L ( Λµhh ). logo, ⇒ g(. c1 Λh c1 Λh c1 > = )= ). µ = h( = s µh µh c2 + L ( Λµhh ) c2 + S¯ c2 + c1 −µs c2 µs. Quanto à unicidade, note que. ξ µh < 0; h (N) = − α ′. −c1 L ′ (N) g (N) = > 0, (c1 + L (N))2 ′. já que 1 ξ (Λh − µh N) Λh 1+ L (N) = − − µh δ + k0 ξ K1 N 2 N α (µs + ds ) −k0 Λh Λh 1 ξ (Λh − µh N) ξ µh − 1+ − µh δ + k0 + <0 ξ K1 N N2 α (µs + ds ) α (µs + ds ) N ′. para N ∈ (0, Λµhh ). Portanto, no intervalo (0, Λµhh ) existe um único N∗ que satisfaz a equação h(N∗ ) = g(N∗ ). Pela primeira equação do sistema 2.5 temos que: N∗ =. Λh − α P∗ Λh < , µh µh. já que P∗ > 0. Assim, temos a unicidade de N∗ e conseqüêntemente a unicidade de E∗. 2.3 Comparação com um modelo simples Woolhouse ([14],[15]) desenvolveu um modelo que não leva em conta a dinâmica do caramujo, onde foram descritos métodos de controle de esquistossomose usando modelo matemático. Basicamente, o modelo é um sistema de equações diferenciais ordinárias descrito.

(91) 2.3 COMPARAÇÃO COM UM MODELO SIMPLES. 36. originalmente por dm dt. = α Ny − γ m, (2.13). dy dt. ′′. = β Hm(1 − y) − µ y.. Com o intuito de evitar confusão com a notação definida acima, e ao mesmo tempo facilitar a comparação, redefiniremos o sistema com as notações convenientes: dm dt. ′. ′. = β V y − µ p m, (2.14). dy dt. ′. ′. = ξ Nm(1 − y) − µs y,. onde os parâmetros estão definidos na tabela 2.2 abaixo. Tabela 2.2 paramatros adaptados ao modelo de Woolhouse. m. número médio de esquistossomose por parasita. y. proporção de caramujos infectados. V. número de caramujos. N. número de humanos. ′. µp ′. µs. taxa per capita de mortalidade das esquistossomose taxa per capita de mortalidade dos caramujos. β. ′. taxa per capita de infecção dos humanos. ξ. ′. taxa per capita de infeção dos caramujos. Foi definido ainda no modelo. ′. βV TSM = ′ µp. (2.15). que é o coeficiente de transmissão caramujo-homem, significando o número de esquistossomose produzido pela população de caramujos infectados durante um tempo que equivale à expectativa de vida média de uma esquistossomose (. 1 ′ ), µp. e. ′. ξN TMS = ′ µs. (2.16).

(92) 37. 2.3 COMPARAÇÃO COM UM MODELO SIMPLES. que é o coeficiente de transmissão homem caramujo, isto é, a proporção de caramujos infectados pela população de esquistossomose durante a expectativa de vida de um caramujo infectado 1 ′. µs. Assim, essas quantidades têm significado similar as quantidades RSM , e RMS . Foi encontrado ainda que, no equilíbrio endêmico, o número médio m∗ de esquistossomose. por hospedeiro humano tem a seguinte expressão ′. ′. 1 βV µ m = TSM − = ′ − ′s TMS µp ξN ∗. (2.17). Portanto, temos claramente que m∗ está linearmente relacionado com TSM (ou equivalente′. ′. mente com β ) e inversamente relacionado com TMS (ou equivalentemente com ξ ). O modelo 2.14 ignora várias complicações que afetam o coeficiente de transmissão que, por sua vez, são incorporadas ao modelo que estamos estudando, tais como a duração do período de latência dos caramujos e a taxa de mortalidade adicional do hospedeiro devido a infecção. Afirmamos ainda, que o modelo em estudo é uma generalização do modelo 2.14. De fato, conside inicialmente α = 0, ds = 0 e r(τ ) = r¯ uma constante. Note que assim estamos ignorando a mortalidade induzida pela doença dos hospedeiros e considerando que a taxa de liberação das cercárias não depende da idade infecciosa do caramujo. Assim, a primeira equação do sistema 2.3 assume a forma dN = Λh − µh N dt e portanto, podemos assumir uma população de tamanho constante Λh . N(t) = N¯ = µh Integrando a equação. ∂ ∂ x(t, τ ) + x(t, τ ) = −µs x(t, τ ) ∂t ∂τ. temos que dI = −x(t, τ )|∞ 0 − µs dt. Z ∞ 0. e utilizando a condição inicial x(t, 0) = ξ PS. x(t, τ )d τ.

(93) 38. 2.3 COMPARAÇÃO COM UM MODELO SIMPLES. temos a seguinte expressão para o número de caramujos infectados dI = ξ PS − µs I. dt. (2.18). Utilizando na terceira equação do sistema 2.3 e b(S, I) = b1 (S, I) = Λs temos que dS = Λs − µs S − ξ PS. dt. (2.19). Desta forma, o número total de caramujos V = S + I possui a forma dV = Λs − µs (S + I) = Λs − µsV dt e da mesma maneira que N podemos assumir uma popução de tamanho constante Λs V (t) = V¯ = . µs Dividindo a segunda equação do sistema 2.3 por N¯ e a equação para I(t) 2.18 por V¯ e P N¯. denotando m =. e y = VI¯ , obtemos o seguinte sistema dm dt. = β r¯V¯ y − (µh + µ p + σ )m, (2.20). dy dt ′. ¯ − y) − µs y = ξ Nm(1. ′. ′. ′. ¯ µs = µs teremos o sistema e se fizermos β = β r¯, V = V¯ , µ p = µh + µ p + σ , ξ = ξ , N = N, 2.14 Além disso, se fizermos m∗ =. P∗ N∗. e analisarmos o caso onde α > 0, b(S, I) = b1 (S, I) temos. que a primeira equação do sistema 2.5 é escrita da seguinte maneira: 1 P∗ Λh ∗ − µh m = ∗= N α N∗. (2.21). e pela demonstração do teorema 2.2 temos que existe um único N ∗ para a equação 2.21 que é exatamente a solução da equação h(N) = g(N), onde as funções h e g são definidas em 2.8. Portanto N ∗ tem a forma k0 (Λh − µh N ∗ ) ξ K1 Λs N = δ + N∗ ∗. . . ξ (Λh − µh N ∗ ) µs + α. .

(94) 2.4 ESTRATÉGIAS DE CONTROLE. 39. e após alguns cálculos encontramos 1 1 [k Λ ( [α µs (δ − µh k0 ) + ξ Λh (δ − 2µh k0 )] − µ α + ξ Λ )] + s 0 h h (N ∗ )2 N∗ −ξ µh (δ − µh k0 ) − αξ Λs K1 = 0 e portanto, temos que a solução da equação acima tem a forma √ −b + b2 − 4ac ∗ x = 2a onde x∗ =. 1 N∗. a = k0 Λh (µs α + ξ Λh ), b = α µs (δ − µh k0 ) + ξ Λh (δ − 2µh k0 ), c = −ξ µh (δ − µh k0 ) − αξ Λs K1 . Desta maneira, fica claro que a dependência de m∗ com ξ e β (K1 ) envolve uma raiz quadrada (logo, é não-linear). Esta relação é diferente da que previa o simples modelo dado pela equação 2.17.. 2.4 Estratégias de Controle Foi provado no teorema 2.1 que se R0 < 1 o equilíbrio livre dos parasitas é um atrator global, ou seja, a doença será erradicada. Assim, para controlar a doença basta concentrar os esforços para reduzir o valor de R0 , que por sua vez é determinado basicamente por três fatores:. σ , que é a taxa de tratamento dos hospedeiros humanos, ξ , fator de infecção dos caramujos e β (K1 ), taxa de infecção do humano por uma cercária. Isto motiva determinarmos uma taxa de tratamento mínima, σc , para que aconteça o desaparecimento da doença, e tal taxa decorre imediatamente do fato de precisarmos que R0 seja.