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Um Método para análise de mercados de ações utilizando séries temporais de índices financeiros

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Academic year: 2021

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Universidade Federal de Pernambuco

Centro de Inform´atica (CIn)

P´os-gradua¸c˜ao em Ciˆencia da Computa¸c˜ao

UM M´

ETODO PARA AN ´

ALISE DE

MERCADOS DE AC

¸ ˜

OES UTILIZANDO

ERIES TEMPORAIS DE ´INDICES

FINANCEIROS

Paulo Salgado Gomes de Mattos Neto

TESE DE DOUTORADO

Recife

(2)

Universidade Federal de Pernambuco

Centro de Inform´atica (CIn)

Paulo Salgado Gomes de Mattos Neto

UM M´

ETODO PARA AN ´

ALISE DE MERCADOS DE AC

¸ ˜

OES

UTILIZANDO S´

ERIES TEMPORAIS DE ´INDICES FINANCEIROS

Trabalho apresentado ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Ciˆencia da Computa¸c˜ao do Centro de Inform´atica (CIn) da Universidade Federal de Pernambuco como requisito parcial para obten¸c˜ao do grau de Doutor em Ciˆencia da Computa¸c˜ao.

Orientador: Prof. Dr. George Darmiton da Cunha Caval-canti

Co-orientador: Prof. Dr. Tiago Alessandro Esp´ınola Fer-reira

Recife

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AGRADECIMENTOS

Nesses anos de doutorado diversas pessoas foram importantes para o desenvolvimento desse trabalho. E, sem d´uvida, eu tive sorte de ser aben¸coado por uma fam´ılia que sempre me apoiou e por grandes amigos que sempre estiveram ao meu lado. Por isso, primeiramente, agrade¸co a Deus e a Nossa Senhora por estar sempre me iluminando e por ter colocado essas pessoas maravilhosas na minha vida.

Agrade¸co aos meus pais, Alfredo e Rosa, pelo amor incondicional, pelo suporte que me deram em todos os momentos dif´ıcieis, pelos conselhos e por sempre acreditarem em mim, mesmo quando nem eu acreditava. Sem eles n˜ao teria chegado onde cheguei.

Agrade¸co ao meu orientador George pela amizade, tranquilidade, apoio e pelos con-selhos extremamentes importantes n˜ao s´o para a constru¸c˜ao desse documento, mas para minha constru¸c˜ao como pesquisador. Ainda lembro no come¸co do doutorado, quando ele disse: “Paulo, vocˆe s´o sai do doutorado, quando eu achar que vocˆe est´a pronto”. A partir desse momento, compreendi que o final n˜ao dependia apenas dos artigos publicados, ou dos resultados alcan¸cados, mas da minha postura como pesquisador.

Agrade¸co ao grande mestre jedi e orientador Tiago pela paciˆencia, conselhos, ensina-mentos e pela grande amizade constru´ıda nesses 10 anos de convivˆencia. Com ele aprendi que devemos acreditar em n´os mesmos e em nosso trabalho, buscando sempre alcan¸car a excelˆencia acadˆemica de forma ´etica.

Agrade¸co ao amigo e companheiro de pesquisa Francisco Madeiro, pela amizade, pelos conselhos e pela inspira¸c˜ao desde os tempos de UNICAP.

Agrade¸co `a minha fam´ılia por parte de m˜ae, que mesmo distante, sempre esteve muito presente na minha vida. Sem d´uvida meus tios, tias, primos e primas foram fonte de inspira¸c˜ao para que eu continuasse sempre em frente em busca de mais e mais conquistas. A amizade e o amor deles sempre fizeram com que eu me sentisse amparado e nunca sozinho.

Agrade¸co `a minha fam´ılia de Recife pelo carinho, amizade e apoio.

Agrade¸co `a Ia, minha segunda m˜ae, pelo amor, pelo apoio e pela nossas conversas, que sempre me fizeram pensar sobre a vida e como devemos lutar por uma sociedade mais igual.

Agrade¸co aos meu amigos do Santa Maria que est˜ao comigo desde sempre. Eles foram parte importante desse processo, j´a que sempre estiveram ao meu lado fazendo com que esse percurso fosse menos pesado.

Agrade¸co a Yumi e sua fam´ılia pelo apoio e companheirismo durante todo esse tempo. Com certeza sem Yumi n˜ao teria chegado onde cheguei, seu apoio foi fundamental para que eu conquistasse todos os meus objetivos, obrigado pelo amor, amizade, cumplicidade e apoio em todas as horas.

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“Se vocˆe vai tentar, v´a at´e o fim caso contr´ario, nem comece” —CHARLES BUKOWSKI

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RESUMO

Diversos estudos econˆomicos que abordam s´eries temporais financeiras fazem uso da an´alise das s´eries de retorno. Os retornos correspondem `as altera¸c˜oes no pre¸co de uma a¸c˜ao num determinado per´ıodo, caracterizando o movimento de um determinado ativo ou mercado. Tradicionalmente, o ramo que aborda o estudo de mercados utilizando s´eries temporais financeiras ´e a Estat´ıstica. M´etodos estat´ısticos, tais como AR, MA e ARIMA, s˜ao largamente utilizados para an´alise de s´eries temporais. Na Ciˆencia da Computa¸c˜ao, a Inteligˆencia Computacional ´e o ramo que tem abordado esse problema, principalmente a partir de sistemas que visam `a previs˜ao de s´eries temporais. Entretanto, perspectivas promissoras tˆem sido vislumbradas por um ramo de estudo interdisciplinar que adv´em da F´ısica. A Econof´ısica analisa os mecanismos financeiros e econˆomicos utilizando fer-ramentas e modelagens da F´ısica Estat´ıstica. Assim, esse ramo de pesquisa pode ser utilizado para o desenvolvimento de m´etodos e abordagens inovadoras para o estudo de mercados de a¸c˜oes. Esse trabalho apresenta um m´etodo para an´alise de mercados de a¸c˜oes, utilizando os retornos de s´eries temporais financeiras. Baseado na hip´otese de que pode ser estabelecida uma analogia entre a dinˆamica dos mercados e o modelo de g´as ideal, um mercado simulado baseado em agentes foi desenvolvido. Nesse mercado os agentes e as a¸c˜oes tˆem um comportamento semelhante a um g´as ideal, que ´e um mo-delo te´orico composto por part´ıculas que se movem aleatoriamente, n˜ao interagindo, ou interagindo fracamente entre si. Assim, a ideia ´e modelar a dinˆamica dos mercados de a¸c˜oes, utilizando o modelo de um g´as ideal. A partir de resultados obtidos analisando as s´eries de retorno do mercado artificial, ´ındices financeiros provenientes de mercados de pa´ıses desenvolvidos e em desenvolvimento em diversas janelas temporais nos per´ıodos de um, dois, cinco, dez e quinze anos tamb´em foram analisados. Tanto no mercado artificial como nos mercados reais, os resultados corroboram com a hip´otese que a dinˆamica do mercado de a¸c˜oes pode ser analogamente descrita por um modelo de g´as ideal, tornando o m´etodo uma op¸c˜ao promissora. Como aplica¸c˜ao, uma abordagem para classifica¸c˜ao de pa´ıses baseado no m´etodo proposto foi desenvolvida. Os resultados obtidos com a abordagem foram comparados com classifica¸c˜oes de organiza¸c˜oes internacionais.

Palavras-chave: S´eries Temporais, Computa¸c˜ao Cient´ıfica, Mercado de A¸c˜oes, Modelo de G´as Ideal.

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ABSTRACT

Several economic studies that address financial time series use return series for financial time series analysis. The return series correspond to changes in the stock price over a time period. This measure characterizes the movement of a given share or market. Tra-ditionally, the branch that addresses the financial markets modeling using time series is Statistics. Statistical methods, such as AR, MA and ARIMA are widely used for time series analysis. In Computer Science, Computational Intelligence is the branch that has addressed this problem. Several intelligent systems have been developed for time series prediction. However, innovative approaches have been proposed by an interdisciplinary branch that comes from Physics. Econophysics analyzes the financial and economic me-chanisms using tools and models of Statistical Physics. Thus, this new branch of research can be used to develop methods and innovative approaches for stock markets modeling. This work proposes the development of a method for stock markets analysis using re-turn series of financial time series. Based on the hypothesis that an analogy between the dynamics of the markets and the ideal gas model can be established, an agent-based market was developed. In this market, the agents and stocks behave like an ideal gas, that is a theoretical model composed by particles that move randomly, not interacting or weakly interacting. Thus, the idea is to model stock market dynamics using the model of an ideal gas. From the results obtained from the return series analysis of the artifi-cial markets, real indices from developed and developing countries in period of one, two, five, ten and fifteen years were also analyzed. The results found in the artificial and real markets corroborate the hypothesis that the dynamics of the stock market can be similarly described by a model of ideal gas. So, the method is a promising option for stock market analysis. As an application, an approach to classification of countries based on the method proposed was developed. The results obtained with the approach were compared with international organizations.

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SUM´

ARIO

Cap´ıtulo 1—Introdu¸c˜ao 1

1.1 Introdu¸c˜ao . . . 1

1.2 Motiva¸c˜ao e Justificativa . . . 3

1.2.1 Abordagens Estat´ısticas para S´eries Temporais . . . 4

1.2.2 Abordagens da Inteligˆencia Computacional para An´alise e Previs˜ao de S´eries Temporais . . . 5

1.2.3 Abordagens da Econof´ısica para S´eries Temporais . . . 6

1.3 Objetivos . . . 7

1.4 Estrutura da Tese . . . 8

Cap´ıtulo 2—Abordagens Utilizadas para An´alise e Previs˜ao de S´eries Temporais: Defini¸c˜ao e Conceitos B´asicos 10 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 10

2.2 An´alise e Previs˜ao de S´eries Temporais . . . 11

2.2.1 Modelos Estat´ısticos para An´alise e Previs˜ao de S´eries Temporais 13 2.2.2 Modelos Inteligentes para An´alise e Previs˜ao de S´eries Temporais 16 2.2.3 Abordagens Utilizadas pela Econof´ısica para An´alise de S´eries Tem-porais Econˆomico-Financeiras . . . 17

2.3 Resumo do Cap´ıtulo . . . 23

Cap´ıtulo 3—M´etodo Proposto para An´alise de S´eries Temporais de Mercados Financeiros 24 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 24

3.2 Abordagem Proposta . . . 25

3.2.1 Um Ambiente baseado em Agentes para An´alise do Mercado de A¸c˜oes 31 3.2.2 Algoritmo Proposto para An´alise dos ´Indices de Mercados Financeiros 34 3.3 Resumo do Cap´ıtulo . . . 36

Cap´ıtulo 4—Resultados Experimentais 37 4.0.1 Base de Dados Utilizada nos Experimentos . . . 37

4.1 Simula¸c˜ao do Ambiente Artificial Baseado no Modelo do G´as Ideal . . . . 39

4.1.1 Resultados dos Experimentos com o Mercado de A¸c˜oes Artificial . 40 4.2 Resultados Experimentais com Dados Reais . . . 48

(11)

SUM ´ARIO xi

4.2.2 An´alise em Diversas Janelas de Tempo . . . 56

4.2.3 Aplica¸c˜ao da Metodologia Proposta para Classifica¸c˜ao de Pa´ıses Desenvolvidos e em Desenvolvimento . . . 58

4.2.4 Classifica¸c˜ao de Pa´ıses de Acordo com Organiza¸c˜oes Internacionais 61 4.2.5 Algoritmo Proposto para a Classifica¸c˜ao de Pa´ıses . . . 65

4.2.6 Resultados para Classifica¸c˜ao de Pa´ıses . . . 66

4.3 Resumo do Cap´ıtulo . . . 70

Cap´ıtulo 5—Conclus˜oes 72 5.1 Resumo do Trabalho . . . 72

5.2 Principais Contribui¸c˜oes da Tese . . . 74

5.3 Principais Limita¸c˜oes do Trabalho . . . 75

5.4 Trabalhos Futuros . . . 75

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LISTA DE FIGURAS

2.1 Est´agios para a constru¸c˜ao de um modelo iterativo de Box & Jenkins (retirado de [1]). . . 14 2.2 S´erie de res´ıduos do ´ındice Dow Jones de 01 de janeiro de 1998 at´e 26 de

agosto de 2003. . . 20 3.1 A probabilidade P (E) de uma part´ıcula/a¸c˜ao sobreviver at´e uma energia

E (s´erie de retorno) sem sofrer uma colis˜ao [2]. . . 29 3.2 Representa¸c˜ao do mercado de a¸c˜oes desenvolvido com base na analogia

com o g´as ideal. . . 32 4.1 Ajustes com a fun¸c˜ao exponencial e a lei de potˆencia usando o algoritmo

Trust Region para a s´erie temporal gerada com σ = 0, 1. (a-b) Ajuste na escala semi-log. (c-d) Ajuste na escala log-log. A linha preta representa a fun¸c˜ao densidade de probabilidade (fdp) da s´erie temporal e a linha cinza representa o ajuste encontrado pelo algoritmo. . . 42 4.2 Compara¸c˜ao entre a volatilidade e o coeficiente B. (a) Rela¸c˜ao das duas

vari´aveis nas simula¸c˜oes realizadas com a probabilidade constante de com-pra e venda dos agentes. (b) Rela¸c˜ao das duas vari´aveis nas simula¸c˜oes realizadas com a probabilidade vari´avel de compra e venda dos agentes. No gr´afico, os pontos pretos s˜ao as volatilidade e as estrelas cinzas s˜ao os coeficientes B das s´eries temporais geradas artificialmente. Os resultados est˜ao em ordem decrescente de volatilidade. . . 43 4.3 O produto B · V olatilidade para cada mercado. A linha s´olida representa

o valor m´edio para o conjunto de pontos. . . 43 4.4 Histogramas normalizados das distribui¸c˜oes (ganho/perda) dos agentes

(taxaAgente) com o uso de probabilidade de compra/venda constante. (a) Distribui¸c˜ao do dinheiro dos agentes para a s´erie temporal gerada com σ = 0, 01. (b) Distribui¸c˜ao do dinheiro dos agentes para a s´erie temporal gerada com σ = 2, 3. . . 45 4.5 Histogramas normalizados das distribui¸c˜oes (ganho/perda) dos agentes

(taxaAgente) com o uso de probabilidade de compra/venda vari´avel. (a) Distribui¸c˜ao do dinheiro dos agentes para a s´erie temporal gerada com σ = 0, 01. (b) Distribui¸c˜ao do dinheiro dos agentes para a s´erie temporal gerada com σ = 2, 3. . . 46

(13)

LISTA DE FIGURAS xiii

4.6 Rela¸c˜ao entre o coeficiente de Pearson e o coeficiente B em ordem crescente do coeficiente B. No gr´afico, os pontos representam os coeficientes B e as estrelas correspondem aos coeficientes de Pearson das s´eries temporais artificiais. (a) Rela¸c˜ao para investidores com compra/venda constante. (b) Rela¸c˜ao para investidores com compra/venda vari´avel. . . 47 4.7 Evolu¸c˜ao temporal da volatilidade utilizando uma janela cumulativa de 50

registros para os mercados com: (a) 25 agentes e σ = 0, 01, (b) 250 agentes e σ = 0, 1 e (c) 500 agentes e σ = 2, 3 . . . 49 4.8 Ajuste linear nas escalas log-log e semi-log, usando o algoritmo LS. (a-b)

´Indice Ibex 35 (Espanha). (c-d) ´Indice BSE Sensex (´India). Os pontos escuros s˜ao a fdp dos ´ındices e a linha cinza ´e o ajuste linear . . . 51 4.9 Ajustes com lei de potˆencia e fun¸c˜ao exponencial, usando o algoritmo Trust

Region na escala semi-log. (a-b) ´Indice Ibex 35 (Espanha). (c-d) ´Indice BSE Sensex (´India). A linha preta ´e a fdp dos ´ındices e a linha cinza ´e o ajuste. . . 52 4.10 Ajustes com lei de potˆencia e fun¸c˜ao exponencial, usando o algoritmo Trust

Region na escala log-log. (a-b) ´Indice Ibex 35 (Espanha). (c-d) ´Indice BSE Sensex (´India). A linha preta ´e a fdp dos ´ındices e a linha cinza ´e o ajuste. 54 4.11 Ajustes com lei de potˆencia e fun¸c˜ao exponencial, usando a Estima¸c˜ao por

M´axima Verossimilhan¸ca na escala semi-log. (a-b) ´Indice Ibex 35 (Espa-nha). (c-d) ´Indice BSE Sensex (´India). A linha preta ´e a fdp dos ´ındices e a linha cinza ´e o ajuste. . . 55 4.12 Ajustes com lei de potˆencia e fun¸c˜ao exponencial, usando a Estima¸c˜ao por

M´axima Verossimilhan¸ca na escala log-log. (a-b) ´Indice Ibex 35 (Espanha). (c-d) ´Indice BSE Sensex (´India). A linha preta ´e a fdp dos ´ındices e a linha cinza ´e o ajuste. . . 56 4.13 Rela¸c˜ao entre a volatilidade e o coeficiente B: (a)Least Squares, (b) Trust

Region, (c) Levenberg-Marquardt e (d) Maximum Likelihood Estimation. Nos gr´aficos, os pontos s˜ao as volatilidades dos ´ındices financeiros e as estrelas s˜ao os coeficientes B dos ´ındices. . . 57 4.14 Relacionamento entre a volatilidade e o coeficiente B calculado por ((a)Least

Squares, (b) Trust Region, (c) Levenberg-Marquardt e (d) Maximum Like-lihood Estimation). Nos gr´aficos, os pontos s˜ao o resultado do produto B · V olatilidade e a linha s´olida ´e o valor m´edio desses valores. . . 58 4.15 Relacionamento entre a volatilidade e o coeficiente B calculado para as

janelas de tempo de: (a) 1 ano, (b) 2 anos, (c) 5 anos, (d) 10 anos e (e) 15 anos. Nos gr´aficos, os pontos s˜ao as volatilidades dos ´ındices financeiros e as estrelas s˜ao os coeficientes B dos ´ındices. . . 62 4.16 Relacionamento entre a volatilidade e o coeficiente B calculado para as

janelas de tempo de: (a) 1 ano, (b) 2 anos, (c) 5 anos, (d) 10 anos e (e) 15 anos. Nos gr´aficos, os pontos s˜ao as volatilidades dos ´ındices financeiros e as estrelas s˜ao os coeficientes B dos ´ındices. Nos gr´aficos, os pontos s˜ao o resultado do produto B · V olatilidade e a linha s´olida ´e o valor m´edio desses valores. . . 63

(14)

LISTA DE FIGURAS xiv

4.17 Rela¸c˜ao entre a volatilidade e o coeficiente B no dados correspondentes a dois anos. Os pontos cinzas representam a volatilidade dos ´ındices e os quadrados pretos representam o coeficiente B. . . 67 4.18 Constante de proporcionalidade entre a volatilidade e o coeficiente B. Os

pontos s˜ao o produto B · V olatilidade = C e a reta ´e o valor m´edio do produto das grandezas. . . 68 4.19 Gr´afico combinando as medidas de flutua¸c˜ao. O eixo x corresponde `a

vo-latilidade e o eixo y ao coeficiente B. As estrelas representam os mercados desenvolvidos e os pontos representam os mercados em desenvolvimento. 68 4.20 Etapa de classifica¸c˜ao, utilizando os centr´oides encontrados pelo o

algo-ritmo K-means. As estrelas representam as economias classificadas como mercados desenvolvidos e pontos representam as economias classificadas como mercados em desenvolvimento. As cruzes s˜ao os centr´oides para cada grupo. . . 69

(15)

LISTA DE TABELAS

4.1 Erros (MSE) usando as leis de potˆencia e a abordagem proposta baseada na fun¸c˜ao exponencial com probabilidade de compra e venda constante . 41 4.2 Erros (MSE) usando as leis de potˆencia e a abordagem proposta baseada

na fun¸c˜ao exponencial com probabilidade de compra e venda vari´avel . . 41

4.3 Estat´ısticas dos experimentos com 100000 itera¸c˜oes. . . 48

4.4 Erros de ajuste (MSE) em escala semi-log e log-log. . . 50

4.5 Erros de ajuste (MSE e verossimilhan¸ca) usando leis de potˆencia e distri-bui¸c˜oes exponenciais. . . 53

4.6 Erro de ajuste (MSE) no per´ıodo de um ano. . . 59

4.7 Erro de ajuste (MSE) no per´ıodo de dois anos. . . 59

4.8 Erro de ajuste (MSE) no per´ıodo de cinco anos. . . 60

4.9 Erro de ajuste (MSE) no per´ıodo de dez anos. . . 60

4.10 Erro de ajuste (MSE) no per´ıodo de quinze anos. . . 61

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LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E S´IMBOLOS

Siglas Descri¸c˜ao

s Desvio padr˜ao amostral

t ´Indice temporal

Zt Valor da s´erie temporal no tempo t

H Intervalo de amostragem

G(t) Amplitude das flutua¸c˜oes da s´erie de retornos

k Expoente da lei de potˆencia

kb Constante de Boltzmann (kb = 1, 3806503 · 10−23J/K)

rt Termo de ru´ıdo

∆t Intervalo de amostragem

B Taxa de colis˜ao de uma part´ıcula (taxa de decaimento)

C Constante de proporcionalidade entre a volatilidade e o coeficiente B

E Energia de uma part´ıcula ou a¸c˜ao

T Temperatura

VT(t) Volatilidade num intervalo T

AEBH Alisamento Exponencial Biparam´etrico de Holt

AELB Alisamento Exponencial Linear de Brow

AES Alisamento Exponencial Simples

AR(p) Modelo estat´ıstico auto-regressivo de ordem p

ARIMA(p, d, q) Autoregressive Integrated Moving Average

EWMA Exponentially Weighted Moving Average

FA Filtragem Adaptativa

GARCH General Autoregressive Conditional Heteroskedasticity

IA Inteligˆencia Artificial

LM Levenberg-Marquardt

LS Least Squares

MA(q) Moving Average of order q

MLE Maximum Likelihood Estimation

MLP Multi-Layer Perceptron

MMS M´edias M´oveis Simples

MSE Mean Square Error

PSO Particle Swarm Optimization

RNA Redes Neurais Artificiais

RW Random Walk

(17)

CAP´ITULO 1

INTRODUC

¸ ˜

AO

Neste cap´ıtulo, s˜ao introduzidos conceitos sobre an´alise de s´eries temporais e alguns m´etodos utilizados para essa tarefa. Tamb´em s˜ao descritos a motiva¸c˜ao, a justificativa e os objetivos da pesquisa. Ao final do cap´ıtulo, ´e apresentada a organiza¸c˜ao deste trabalho. 1.1 INTRODUC¸ ˜AO

A ideia de observar fenˆomenos temporais ´e quase t˜ao antiga quanto a humanidade. At´e hoje, o intuito de se analisar comportamentos passados ´e procurar padr˜oes temporais, para que essas informa¸c˜oes possam apoiar futuras tomadas de decis˜ao. O objetivo ´e compreender o passado na tentativa de minimizar perdas e maximizar os ganhos, possibi-litando que haja um planejamento de a¸c˜oes futuras. Desse modo, quando se analisa uma manifesta¸c˜ao que evolui no tempo, primeiramente deseja-se modelar o fenˆomeno sob in-teresse com a finalidade de descrever o comportamento temporal. A partir da´ı, ´e poss´ıvel fazer estimativas e avaliar os fatores que influenciaram a dinˆamica temporal, buscando definir rela¸c˜oes de causa e efeito [1, 3].

O interesse de observar, ou analisar o comportamento de uma determinada vari´avel ao longo do tempo est´a presente em diversas ´areas, como biologia, economia, finan¸cas, meteorologia etc. Tradicionalmente, o ramo da ciˆencia que aborda esses fenˆomenos ´e a Estat´ıstica. Diversas t´ecnicas estat´ısticas [3] foram desenvolvidas para a an´alise de acontecimentos temporais com base nos dados hist´oricos. Assim, a ideia ´e analisar o passado, tentando estimar acontecimentos futuros.

Diversos fenˆomenos temporais s˜ao gerados a partir de sistemas complexos. Por de-fini¸c˜ao, um sistema complexo consiste de um certo n´umero de elementos (partes) que interagem n˜ao-linearmente entre si [4, 5]. Tais sistemas interagem com o meio ambiente e constantemente tˆem sua estrutura modificada, adaptando-se `a varia¸c˜ao das condi¸c˜oes externas [4]. Nesses sistemas a rela¸c˜ao n˜ao-linear, proveniente das a¸c˜oes de cada compo-nente e do meio ambiente [5–7], resulta num comportamento que dificilmente pode ser determinado. Matematicamente, um sistema complexo p pode ser descrito pela mudan¸ca de seus estados, de acordo com a Equa¸c˜ao 1.1

(18)

p(t) = f (p(t − δ)) + rt, (1.1) em que p(t) descreve o estado do sistema no tempo t, δ representa uma unidade de tempo discreta, f ´e uma fun¸c˜ao n˜ao-linear que muda o estado do sistema a cada unidade de tempo e rt´e um termo aleat´orio. Nesse caso, o modelo apresentado na Equa¸c˜ao 1.1´e uma descri¸c˜ao simplificada de um sistema complexo.

Quando sistemas complexos s˜ao analisados, tenta-se compreender os efeitos coletivos quando alguma mudan¸ca ocorre no sistema. Essa tarefa ´e complexa, j´a que a resposta do sistema n˜ao ´e simplesmente derivada da estrutura do sistema e das intera¸c˜oes dos seus elementos, mas tamb´em do relacionamento dos componentes do sistema com o am-biente. Por isso, o estudo de sistemas complexos tem um importante papel para a mai-oria das disciplinas cient´ıficas, incluindo a biologia (redes biol´ogicas, ecologia, temai-oria da evolu¸c˜ao, origem da vida, imunologia, neurobiologia, biologia molecular etc.), geologia (estudo das placas tectˆonicas, terremotos, vulc˜oes, eros˜ao, paisagens, meteorologia etc.), economia (mercado de a¸c˜oes) e outras ciˆencias sociais (incluindo cogni¸c˜ao, aprendizagem distribu´ıda, intera¸c˜ao de agentes) [5–7].

Dentre os diversos sistemas conhecidos, os mercados financeiros s˜ao considerados um dos mais famosos. Duas raz˜oes podem ser apontadas para isso [4]. Primeiro, os mercados financeiros s˜ao compostos por um conjunto de rela¸c˜oes heterogˆeneas, complexas e desco-nhecidas, onde todos os componentes s˜ao interdependentes. Desse modo, ´e dif´ıcil estimar que fatores (internos ou externos) influenciam o mercado, a magnitude dessa influˆencia e qual a resposta do pr´oprio mercado para esses fatores. A segunda raz˜ao ´e que o mer-cado de a¸c˜oes ´e composto por diversos investidores, geralmente dotados de inteligˆencia e conhecimento do sistema, que reagem com vis˜ao de futuro e diferentes estrat´egias.

Al´em do mercado financeiro ser caracterizado como um ambiente fascinante e desafia-dor para diversos pesquisadesafia-dores, ele ´e um meio prop´ıcio para se realizar diversas an´alises devido `a diversidade e `a quantidade de dados existentes. Podem-se mencionar dois fatos que contribu´ıram decisivamente para que isso ocorresse. A partir da d´ecada de 1970, as moedas dos pa´ıses come¸caram a ser negociadas nos mercados financeiros. Seus valores come¸caram a ser determinados pelo mercado de cˆambio, ou seja, um mercado financeiro funcionando 24 horas por dia em todo o mundo. Por causa desse processo de globaliza¸c˜ao, o volume de transa¸c˜oes no mercado aumentou 80 vezes entre 1973 e 1995 [8], resultando em um intenso intercˆambio entre os pa´ıses e no aumento da importˆancia do mercado acion´ario no cen´ario financeiro internacional.

(19)

venda provenientes das transa¸c˜oes do mercado come¸caram a ser registrados eletronica-mente. Por isso, atualmente diversos bancos de dados possuem registros de uma grande quantidade de dados do mercado financeiro mundial em diferentes granularidades.

Por esses motivos, desde meados da d´ecada de 1990, um ramo da ciˆencia tem ganhado for¸ca, a Econof´ısica. Esse campo de pesquisa interdisciplinar ´e resultado da coopera¸c˜ao entre economistas, matem´aticos e f´ısicos, que aplicam m´etodos da F´ısica Estat´ıstica para analisar e quantificar dados advindos da Economia e da Finan¸cas [8]. A F´ısica Estat´ıstica ´e uma ´area de estudo que utiliza m´etodos estat´ısticos e ferramentas matem´aticas para tratar de problemas que possuem uma natureza inerentemente estoc´astica [9]. O termo Econof´ısica foi introduzido em analogia a termos semelhantes, como astrof´ısica, geof´ısica e biof´ısica, que descrevem as aplica¸c˜oes da F´ısica em diferentes ´areas. Recentemente, diversas teorias f´ısicas tˆem sido aplicadas com sucesso em Economia e Finan¸cas, contri-buindo para um impulso consider´avel `as t´ecnicas de computa¸c˜ao para an´alise de dados, mercados artificiais, macroeconomia, dentre outros.

O processo de an´alise do mercado, independente da ferramenta utilizada, ´e um grande desafio pr´atico e te´orico, j´a que diversas vari´aveis podem ser relevantes para a descri¸c˜ao do fenˆomeno. O estudo da dinˆamica dos mercado financeiros a partir da an´alise de dados hist´oricos e de novas ferramentas, a Econof´ısica por exemplo, pode dar novas ideias para o desenvolvimento de abordagens promissoras.

1.2 MOTIVAC¸ ˜AO E JUSTIFICATIVA

Grandes esfor¸cos s˜ao realizados na an´alise de s´eries hist´oricas, com o objetivo de de-terminar e caracterizar acontecimentos temporais. De forma gen´erica, a Estat´ıstica ´e o ramo da ciˆencia que vem trabalhando sistematicamente na elabora¸c˜ao de modelos para an´alise de s´eries temporais. Tais modelos s˜ao baseados na an´alise cronol´ogica de um de-terminado fenˆomeno e suas respectivas intera¸c˜oes com o meio e normalmente podem ser utilizados tamb´em para realizar previs˜oes. Genericamente, as an´alises podem ser feitas nos dom´ınios da frequˆencia e do tempo. Ambas s˜ao equivalentes, entretanto, neste traba-lho, as an´alises ser˜ao feitas no dom´ınio temporal, que ´e a forma mais popular encontrada na literatura [3, 10–12].

De forma geral, os m´etodos para an´alise de s´eries temporais s˜ao usados para o es-tudo de registros cronol´ogicos dos pre¸cos de a¸c˜oes ou ´ındices, tratando apenas as rela¸c˜oes temporais [13, 14]. As abordagens estat´ısticas n˜ao extrapolam as rela¸c˜oes temporais para que haja, de alguma forma, a descri¸c˜ao dos mecanismos ou dinˆamicas que envolvem os mercados, ou rela¸c˜oes de compra e venda. Assim, a Econof´ısica pode servir como base

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para o desenvolvimento de ferramentas promissoras para a an´alise e entendimento dos mercados financeiros. Contudo, para tal, ´e necess´ario primeiro que algumas abordagens encontradas na literatura sejam descritas. Na Se¸c˜ao 1.2.1, abordagens cl´assicas da Es-tat´ıstica s˜ao mencionadas. Tamb´em ser˜ao abordados, na Se¸c˜ao 1.2.2, algumas t´ecnicas da Inteligˆencia Computacional (IC) utilizadas para an´alise e previs˜ao de s´eries tempo-rais, dado o crescente uso na literatura. E por fim, na Se¸c˜ao 1.2.3, alguns conceitos da Econof´ısica s˜ao introduzidos.

1.2.1 Abordagens Estat´ısticas para S´eries Temporais

V´arios modelos estat´ısticos j´a foram propostos para an´alise de s´eries temporais [3,10–12]. Dentre todos, os modelos de Box & Jenkins, conhecidos como modelos ARIMA (AutoRe-gressive Integrate Moving Average) [3], s˜ao os mais difundidos tanto no meio acadˆemico como no meio comercial, principalmente em aplica¸c˜oes econˆomicas e financeiras (bolsas de valores, mercados financeiros etc.) [13, 14].

Os modelos de Box & Jenkins s˜ao muito bem entendidos, por´em s˜ao modelos line-ares, o que pode vir a ser um fator limitante se o fenˆomeno em estudo for governado por leis de relacionamentos lineares. Neste sentido, v´arios outros modelos n˜ao-lineares, tamb´em estat´ısticos, s˜ao propostos, por exemplo, os modelos bilineares (bilinear models) [15], os modelos auto-regressivos exponenciais (exponential autoregressive mo-dels) [16], os modelos de limiar auto-regressivo (threshold autoregressive momo-dels) [17], os modelos de estados dependentes (general state dependent models) [18], os modelos auto-regressivos de transi¸c˜ao suave [19], os modelos auto-auto-regressivos com coeficientes depen-dentes do tempo [19], os modelos heteroced´asticos condicionais auto-regressivos (ARCH - Autoregressive Conditional Heterocedasticity) [20] e os modelos heteroced´asticos condi-cionais auto-regressivos gerais (GARCH - General Autoregressive Conditional Heteroce-dasticity) [21].

Cada um dos modelos estat´ısticos n˜ao-lineares citados tem suas vantagens e desvanta-gens, sendo aplicados a determinadas situa¸c˜oes. Embora o objetivo principal da inclus˜ao da n˜ao-linearidade nos modelos de previs˜ao seja o aumento da capacidade de descri¸c˜ao dos fenˆomenos n˜ao-lineares, os resultados pr´aticos com esses modelos, de forma geral, ainda s˜ao insatisfat´orios, sendo compar´aveis aos modelos lineares [14, 19, 22].

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1.2.2 Abordagens da Inteligˆencia Computacional para An´alise e Previs˜ao de S´eries Temporais

Os m´etodos estat´ısticos utilizados para an´alise de s´eries temporais tradicionalmente s˜ao lineares, contudo diversos fenˆomenos encontrados na natureza s˜ao gerados por processos n˜ao-lineares, ou por processos estoc´asticos. Desse modo, na perspectiva de an´alise e previs˜ao de s´eries temporais financeiras, h´a uma grande motiva¸c˜ao para usar modelos n˜ao-lineares. A edi¸c˜ao especial do International Journal of Forecasting (IJF) de abril/junho de 2004 - Forecasting Economic and Financial Time Series Using Nonlinear Methods [23] evidencia tal preocupa¸c˜ao. Dentro desse contexto, a Inteligˆencia Computacional (IC) ´e vista como uma alternativa para a an´alise e previs˜ao de s´eries temporais, com m´etodos e procedimentos geralmente n˜ao-lineares, e que, em termos pr´aticos atuais, n˜ao apresentam tanta complexidade, quando comparados aos modelos estat´ısticos n˜ao-lineares. Muitas t´ecnicas de CI podem ser aplicadas ao problema de previs˜ao, destacando-se na literatura as t´ecnicas como as Redes Neurais Artificiais, Algoritmos de otimiza¸c˜ao bio-inspirados, Programa¸c˜ao Gen´etica e Sistemas de L´ogica Difusa (fuzzy logic) [24–28].

Atualmente, muitos trabalhos tamb´em combinam t´ecnicas para gerar solu¸c˜oes oti-mizadas atrav´es da cria¸c˜ao de sistemas h´ıbridos inteligentes [29]. Esses sistemas s˜ao compostos pela combina¸c˜ao de duas (ou mais) t´ecnica de CI, de tal forma que o ponto forte de uma das t´ecnicas compense o ponto fraco da outra [30–32].

A pesquisa em previs˜ao de s´eries temporais utilizando CI ´e t˜ao relevante que nos ´

ultimos 30 anos h´a um aumento crescente de artigos publicados utilizando Redes Neu-rais Artificiais, Computa¸c˜ao Evolucion´aria e outros m´etodos inteligentes abordando essa tarefa. Esse fato foi uma nova motiva¸c˜ao para o International Journal of Forecasting (volume 27, edi¸c˜ao 3 e p´aginas 635 − 960) [22] lan¸car em 2011 uma edi¸c˜ao especial com trabalhos envolvendo m´etodos de previs˜ao baseados em Redes Neurais Artificiais e Inte-ligˆencia Computacional.

Geralmente os m´etodos inteligentes direcionados para o estudo de s´eries temporais s˜ao desenvolvidos com intuito de fazer previs˜ao [31–36]. Desse modo, esses m´etodos n˜ao provˆem nenhuma explica¸c˜ao do fenˆomeno gerador da s´erie temporal, sendo um mecanismo voltado para previs˜ao e n˜ao para a compreens˜ao dos fenˆomenos temporais que fazem parte do sistema.

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1.2.3 Abordagens da Econof´ısica para S´eries Temporais

Nas ´ultimas d´ecadas do s´eculo XX, parte dos f´ısicos passou a se interessar intensamente pela dinˆamica dos mercados de a¸c˜oes, por ser um caso particular de um fenˆomeno extre-mamente estudado pela F´ısica: Sistemas Complexos [8, 37]. Existem v´arios exemplos de sistemas complexos, tais como: sistemas sociais (redes sociais reais e virtuais), sistemas biol´ogicos (colˆonias de animais) e f´ısicos (clima) [4, 5, 9]. Tais sistemas tˆem como carac-ter´ıstica geral a intera¸c˜ao de in´umeros agentes [4]. Desse modo, trˆes quest˜oes podem ser levantadas: de que maneira itera¸c˜oes locais levam a padr˜oes coletivos? Como tais sistemas podem ser descritos? Como s˜ao formados esses sistemas (redes)?

No caso de mercados financeiros, as regras de administra¸c˜ao (compra, venda, custos, tributa¸c˜ao etc.) s˜ao claras e bem estabelecidas, n˜ao envolvendo grandes mudan¸cas com o tempo. Al´em disso, atualmente a evolu¸c˜ao dos mercados no tempo s˜ao monitoradas continuamente. Desse modo, ´e poss´ıvel desenvolver modelos que podem ser largamente testados e avaliados.

Devido ao crescimento na comunidade da F´ısica de pesquisadores que estudam o com-portamento dos mercados financeiros, um ramo de pesquisa foi criado: a Econof´ısica [8]. A Econof´ısica come¸cou sendo um campo da Mecˆanica Estat´ıstica e, atualmente, um dos grupos mais ativos nessa ´area ´e coordenado por H. Eugene Stanley, que foi o criador do termo “Econof´ısica” na d´ecada de 90. Stanley introduziu esse termo pela primeira vez numa conferˆencia de Sistemas Complexos em Calcut´a, na ´India [?]. Em peri´odicos o termo “Econof´ısica” apareceu na Physica A em 1996 [38]. Contudo, outros estudos j´a tinham sido realizados na d´ecada de 60 [39, 40] por Mandelbrot e em 1900 por Bachelier com sua tese de doutorado [41] sobre especula¸c˜ao financeira orientada por Poincar´e. En-tretanto, muitos estudiosos remetem sua origem ao trabalho de Pareto [42], realizado em 1897, sobre distribui¸c˜ao de riqueza.

A maioria dos trabalhos da Econof´ısica tem como base a an´alise de grande quanti-dade de dados econˆomicos e financeiros. Tal fato foi impulsionado pela disponibiliquanti-dade dos dados, com a introdu¸c˜ao massiva de computadores e da Internet [8]. Assim, as abor-dagens cient´ıficas realizadas pela Econof´ısica podem ser aplicadas a diversas situa¸c˜oes dada a grande quantidade de dados e detalhamento (por exemplo granularidade, valores de abertura e fechamento), devido ao registro dos pre¸cos de commodities (mercadorias de origem prim´aria ou com pequeno grau de industrializa¸c˜ao), a¸c˜oes, taxas de cˆambio, ´ındices de mercado, volume de negocia¸c˜ao etc. Dentre as caracter´ısticas estat´ısticas estu-dadas nos mercados financeiros, a volatilidade ´e uma das mais importantes. A volatilidade representa a intensidade e a frequˆencia das oscila¸c˜oes nas cota¸c˜oes de um ativo financeiro

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(a¸c˜ao, t´ıtulo, fundo de investimento ou ´ındice de bolsas de valores) num determinado per´ıodo de tempo. Tal medida mensura o risco de um determinado ativo.

Existem diversas defini¸c˜oes para volatilidade [8]:

ˆ Volatilidade Futura: ´e apenas uma abordagem te´orica e descreve a distribui¸c˜ao de pre¸cos futuros de um ativo com base nos dados passados;

ˆ Volatilidade Prevista: ´e uma estimativa probabil´ıstica. Com base no processo estoc´astico gerador da s´erie temporal s˜ao aplicadas t´ecnicas de proje¸c˜ao, admitindo a estacionariedade do processo;

ˆ Volatilidade Impl´ıcita: ´e obtida atrav´es de um modelo te´orico para estabelecer pre¸cos de a¸c˜oes/op¸c˜oes;

ˆ Volatilidade Hist´orica: ´e o resultado de um c´alculo, ou medida realizada na s´erie hist´orica, que ´e composta pelos pre¸cos passados das a¸c˜oes. Assim, deve-se primeiro definir uma janela de tempo para o estudo. A ideia b´asica ´e estudar o comportamento os valores das a¸c˜oes nesse espa¸co de tempo (janela temporal), para prever o valores futuros da volatilidade.

Normalmente, as an´alises realizadas pela Econof´ısica abordam as s´eries de retorno de pre¸cos (s´erie de volatilidade hist´orica) de a¸c˜oes e/ou ativos. As s´eries de retorno podem ser calculadas pela diferen¸ca entre magnitudes de pre¸cos de a¸c˜oes em tempos distintos. Diversas an´alises s˜ao realizadas com base nesses dados, que descrevem o movimento, positivo ou negativo, de uma dada a¸c˜ao.

Esse campo de estudo pode ser inspira¸c˜ao para novas ideias e insights para entender e descrever o mercado de a¸c˜oes. Diante dessa possibilidade, a an´alise de s´eries temporais financeiras ´e uma alternativa promissora que pode ser bastante utilizada.

1.3 OBJETIVOS

O objetivo deste trabalho ´e a proposi¸c˜ao de um m´etodo para an´alise do comportamento dos diversos mercados mundiais, sejam eles desenvolvidos ou em desenvolvimento. O m´etodo proposto visa modelar o comportamento dos mercados de a¸c˜oes, usando s´eries temporais de ´ındices financeiros.

Assim, os objetivos espec´ıficos deste trabalho podem ser enumerados como,

1. Desenvolver um mercado simulado composto por agentes, tendo como base o modelo Random Walk [3, 43];

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2. Estudos da fun¸c˜ao densidade de probabilidade (fdp) das s´eries de retornos de ´ındices financeiros artificiais e reais com o objetivo de analisar a rela¸c˜ao entre baixas e altas volatilidades;

3. Verificar a rela¸c˜ao entre ganho/perda dos investidores artificiais nos diferentes mer-cados (simulados) financeiros;

4. Utilizar as distribui¸c˜oes de lei de potˆencia e exponencial para an´alise da fun¸c˜ao densidade de probabilidade das s´eries de retornos com objetivo de verificar qual descreve melhor os dados utlizados;

5. Analisar o comportamento da fdp das s´eries de retorno das s´eries temporais em diversas janelas de tempo de ´ındices financeiros reais e artificiais;

6. A partir do estudos dos ´ındices financeiros, analisar se existe rela¸c˜ao entre a vola-tilidade (ou n´ıvel de agita¸c˜ao do mercado) e o coeficiente da fun¸c˜ao exponencial; 7. Propor uma m´etodo para an´alise do comportamento dos mercados de a¸c˜oes a partir

da an´alise de s´eries temporais de ´ındices financeiros.

Como aplica¸c˜ao, uma metodologia para classifica¸c˜ao de pa´ıses utilizando o m´etodo proposto combinado com um algoritmo de agrupamento de dados [44] ser´a desenvolvida. Os resultados ser˜ao comparados com algumas classifica¸c˜oes tradicionais de organiza¸c˜oes internacionais.

1.4 ESTRUTURA DA TESE

A estrutura desta tese ´e composta por 5 cap´ıtulos descritos a seguir:

Cap´ıtulo 1 - Introdu¸c˜ao: neste cap´ıtulo ´e elaborada uma breve introdu¸c˜ao dos conceitos b´asicos sobre an´alise de s´eries temporais, alguns termos e caracter´ısticas do problema abordado s˜ao definidos. S˜ao introduzidos conceitos relacionados `a Estat´ıstica, `a Computa¸c˜ao e `a Econof´ısica. Esses campos de estudo servir˜ao como ferramenta para an´alise em toda a tese. Tamb´em ´e abordada a motiva¸c˜ao desta pesquisa e os objetivos que se deseja atingir.

Cap´ıtulo 2 - Abordagens Utilizadas para An´alise e Previs˜ao de S´eries Tem-porais: Defini¸c˜ao e Conceitos B´asicos neste cap´ıtulo s˜ao definidas algumas das ca-racter´ısticas mais comuns das s´eries temporais e de sua an´alise. Partindo desse ponto, s˜ao expostos alguns detalhes importantes sobre modelos tradicionais estat´ısticos para an´alise

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de s´eries temporais (modelos de Box & Jenkins) [3], modelos computacionais (mais preci-samente da Inteligˆencia Computacional) e algumas abordagens realizadas pela Econof´ısica em torno das s´eries de retornos.

Cap´ıtulo 3 - M´etodo Proposto para An´alise de S´eries Temporais de Mer-cados Financeiros: neste cap´ıtulo alguns conceitos que servem como base para a pro-posi¸c˜ao do m´etodo s˜ao apresentados. Com base no modelo de g´as ideal, um mercado de a¸c˜oes artificial ´e proposto, usando o modelo Random Walk. Esse modelo ´e a base para as primeiras an´alises com a fun¸c˜ao exponencial e a lei de potˆencia. Um algoritmo para an´alise dos mercados financeiros utilizando as s´eries temporais financeiras, que ´e aplicado em todas as an´alises nessa tese, tamb´em ´e apresentado. O algoritmo ´e utili-zado para an´alise dos ´ındices financeiros reais, artificiais e como base para um m´etodo de classifica¸c˜ao de pa´ıses.

Cap´ıtulo 4 - Resultados Experimentais: neste cap´ıtulo s˜ao apresentados o banco de dados e os resultados dos experimentos realizados com o m´etodo proposto. O m´etodo descrito no Cap´ıtulo 3 ´e aplicado a um conjunto de s´eries artificiais e reais (´ındices financeiros mundiais) em diversas janelas de tempo. Os resultados corroboram a analogia estabelecida entre os mercados financeiros e o g´as ideal tanto para ´ındices financeiros reais, bem como para ´ındices gerados atrav´es da simula¸c˜ao com agentes artificiais. Finalmente, o m´etodo ´e aplicado para o agrupamento de pa´ıses. Os resultados da classifica¸c˜ao s˜ao comparados com classifica¸c˜oes de organiza¸c˜oes internacionais tradicionais.

Cap´ıtulo 5 - Conclus˜oes: neste cap´ıtulo s˜ao apresentadas as conclus˜oes do trabalho desenvolvido a partir dos experimentos realizados com o m´etodo proposto aplicados `as s´eries reais (´ındices financeiros mundiais), artificiais (geradas a partir de um modelo Random Walk ) e no problema de classifica¸c˜ao de pa´ıses. Por fim, ´e feita uma discuss˜ao sobre a nova abordagem proposta, como tamb´em as suas limita¸c˜oes e trabalhos futuros.

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CAP´ITULO 2

ABORDAGENS UTILIZADAS PARA AN´

ALISE E

PREVIS ˜

AO DE S´

ERIES TEMPORAIS: DEFINIC

¸ ˜

AO E

CONCEITOS B´

ASICOS

Neste cap´ıtulo, primeiramente alguns conceitos b´asicos e defini¸c˜oes sobre s´eries tempo-rais s˜ao apresentados. T´ecnicas para an´alise de s´eries tempotempo-rais s˜ao abordados posteri-ormente. Na Se¸c˜ao 2.2.1, as metodologias estat´ısticas tradicionalmente mais usadas s˜ao apresentadas. Os m´etodos da Inteligˆencia Computacional s˜ao definidos na Se¸c˜ao 2.2.2, devido `a sua importˆancia e crescente uso na literatura. E finalmente, alguns m´etodos e abordagens da Econof´ısica s˜ao explicados na Se¸c˜ao 2.2.3, bem como conceitos que ser˜ao usadas nos pr´oximos cap´ıtulos.

2.1 INTRODUC¸ ˜AO

Em diversas ´areas, uma s´erie temporal [3,10,45] ´e vista como um conjunto de observa¸c˜oes capturadas consecutivamente sobre uma determinada vari´avel de interesse, resultando numa sequˆencia de registros ordenados no tempo. O fenˆomeno pode ser observado sob aspectos temporais discretos ou cont´ınuos, e geralmente os registros s˜ao realizados nos mesmos per´ıodos de tempo. Contudo, os registros podem ser realizados irregularmente, devido a alguma perda de informa¸c˜ao ou algum tipo de problema, como uma falha. A an´alise do comportamento da s´erie temporal envolve a explora¸c˜ao do fenˆomeno gerador da sequˆencia. Alguns exemplos de s´eries temporais s˜ao: valores mensais da temperatura da cidade de Petrolina, a produ¸c˜ao anual de caf´e no Brasil, a quantidade anual de chuva na cidade de Recife e valores di´arios de algum ´ındice ou a¸c˜ao da bolsa de valores.

Nos exemplos mencionados, as s´eries temporais s˜ao de natureza discreta, contudo tamb´em podem ser encontradas s´eries temporais cont´ınuas, por exemplo, a vaz˜ao de ´agua na barragem de Itaip´u. Uma s´erie temporal ´e dita cont´ınua quando o conjunto de observa¸c˜oes ´e gerado sequencialmente ao longo do tempo num intervalo cont´ınuo.

Em alguns casos, o valor de um ponto de uma dada s´erie temporal ´e obtido acumu-lando valores de outras s´eries obedecendo o mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, a

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s´erie mensal de produ¸c˜ao de caf´e numa dada regi˜ao ´e a soma dos valores di´arios num determinado mˆes.

Neste trabalho, apenas s´eries discretas no tempo ser˜ao consideradas. Cada uma pode ser obtida durante um determinado intervalo de tempo H, no qual ∆t ´e o intervalo de amostragem, resultando numa s´erie com N = H/∆t pontos.

Sendo assim, a s´erie temporal considerada neste trabalho ´e do tipo

Zt= {xt, t = 1, ..., N}, (2.1)

sendo t o ´ındice temporal e N o n´umero de observa¸c˜oes. Desse modo, Zt´e uma sequˆencia igualmente espa¸cada e ordenada no tempo.

O intervalo de amostragem ´e o tempo entre dois registros consecutivos, geralmente determinado ou pela disponibilidade dos dados (ou fenˆomeno), ou pelo observador da s´erie. Geralmente ´e considerado um intervalo de amostragem menor quanto poss´ıvel, objetivando a aquisi¸c˜ao de uma maior quantidade de dados, para que se possa fazer uma melhor an´alise do problema. Neste trabalho, todas as observa¸c˜oes utilizadas s˜ao di´arias dada a impossibilidade de aquisi¸c˜ao sem custo de dados numa maior frequˆencia, como hora ou minuto.

Podem-se enumerar diversos objetivos quando se deseja analisar uma s´erie temporal, tais como: previs˜ao, obten¸c˜ao de informa¸c˜oes em termos estat´ısticos sobre o fenˆomeno, avalia¸c˜ao da adequa¸c˜ao de um determinado modelo para previs˜ao, classifica¸c˜ao temporal, controle estat´ıstico de processos e, no caso estudado, mais especificamente, modelagem do fenˆomeno sob observa¸c˜ao.

2.2 AN´ALISE E PREVIS˜AO DE S´ERIES TEMPORAIS

Na literatura ´e encontrado uma grande quantidade de trabalhos em s´eries temporais. A maioria trata de m´etodos para an´alise e previs˜ao. Assim, o objetivo de aplicar t´ecnicas de an´alise e previs˜ao para uma s´erie temporal Zt´e identificar padr˜oes hist´oricos (correla¸c˜oes) no conjunto de dados, criando um modelo que seja capaz de construir os pr´oximos padr˜oes temporais. O problema de previs˜ao de s´eries temporais pode ser abordado, de forma bem gen´erica, em dois dom´ınios: dom´ınio espectral e dom´ınio temporal. No dom´ınio espectral, a correta combina¸c˜ao das frequˆencias ´e requerida para a determina¸c˜ao do espectro da s´erie, j´a no dom´ınio temporal, procura-se a combina¸c˜ao correta dos retardos temporais para a determina¸c˜ao da estrutura temporal da s´erie. A abordagem no dom´ınio temporal ´e a forma mais utilizada na literatura.

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A ideia ´e analisar uma certa janela temporal passada e/ou presente para prever os pontos futuros da s´erie. A janela temporal ´e formada por pontos passados da s´erie que contˆem informa¸c˜oes relevantes para a determina¸c˜ao de pontos futuros. Os pontos que comp˜oem a janela temporal s˜ao chamados de retardos temporais (ou lags), que podem ser quaisquer pontos da s´erie observada, localizados em quaisquer instante passado de tempo.

Na tarefa de previs˜ao, um fator primordial ´e a correta determina¸c˜ao dos retardos tem-porais relevantes. Desse modo, esses retardos poder˜ao gerar estruturas de relacionamento entre os dados hist´oricos, de tal modo que possam detectar as leis geradoras da s´erie es-tudada. A partir de estruturas de relacionamento de dados passados (lags), o fenˆomeno gerador da s´erie temporal pode ser reconstru´ıdo [1].

Dentre os m´etodos para determinar os retardos temporais relevantes [1], h´a uma me-todologia gr´afica, denominada de lagplot por Percival e Walden [46], ou de phase portrait (retrato da fase) por Kantz e Schreiber [12]. Essa metodologia consiste na constru¸c˜ao de gr´aficos de dispers˜ao atrav´es dos retardos temporais (Zt vs Zt−1, Zt vs Zt−2, Zt vs Zt−3, . . .). Nesse caso, o aparecimento de alguma estrutura nos gr´aficos indica que h´a alguma relevˆancia desse retardo temporal para a previs˜ao. Essa t´ecnica ´e limitada, pois precisa da interpreta¸c˜ao humana para verificar a correla¸c˜ao nos gr´aficos, entretanto ´e um m´etodo bastante simples e facilmente aplic´avel.

Muitos outros fatores tamb´em influenciam o n´ıvel de detalhes usado: disponibilidade dos dados, precis˜ao alcan¸c´avel, custo de an´alise etc. Em situa¸c˜oes nas quais a escolha apropriada das vari´aveis n˜ao ´e clara, podem-se tentar algumas alternativas a fim de escolher a que apresentar o melhor desempenho, ou seja, a que representar melhor a s´erie temporal estudada. Esta an´alise ´e tipicamente realizada durante o desenvolvimento do sistema de previs˜ao por meio de simula¸c˜oes de dados hist´oricos.

Uma classe de decis˜oes importante envolve trˆes elementos temporais: o per´ıodo da previs˜ao, o horizonte da previs˜ao e o intervalo da previs˜ao. O per´ıodo da previs˜ao ´e a unidade b´asica de tempo na qual as previs˜oes s˜ao realizadas. Por exemplo, deseja-se prever a demanda por semana, nesse caso o per´ıodo ´e de uma semana. O horizonte da previs˜ao corresponde ao n´umero de per´ıodos cobertos, no futuro, pela previs˜ao. Desta forma, ´e poss´ıvel requerer uma previs˜ao para as pr´oximas dez semanas, com uma an´alise semanal, assim o horizonte seria dez semanas e o per´ıodo de uma semana. Finalmente o intervalo da previs˜ao ´e a frequˆencia com a qual novas previs˜oes s˜ao geradas.

Frequentemente, o intervalo da previs˜ao ´e igual ao per´ıodo. Desta forma, as pre-vis˜oes s˜ao revisadas a cada per´ıodo usando a demanda de per´ıodo mais recente e outra

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informa¸c˜ao corrente como base para as revis˜oes. Se o horizonte tem o mesmo compri-mento, por exemplo T per´ıodos, e a previs˜ao ´e revisada a cada per´ıodo, diz-se que se est´a operando com uma base de horizonte m´ovel.

Um outro aspecto para a defini¸c˜ao do problema ´e a forma requerida da previs˜ao. ´E conveniente conceber a vari´avel de interesse como uma vari´avel aleat´oria com uma distri-bui¸c˜ao de probabilidades desconhecida. O problema de decis˜ao pode requerer uma esti-mativa de alguma caracter´ıstica desta distribui¸c˜ao de probabilidades, tal como a m´edia, mediana ou valor mais prov´avel, ou ainda, uma medida de incerteza, com estimativas do desvio padr˜ao, percentuais, ou um intervalo contendo uma alta probabilidade de um de-terminado valor. Tamb´em ´e importante considerar a disponibilidade de dados hist´oricos do problema, a precis˜ao e a representatividade estat´ıstica de tais dados, sendo estas essenciais para o sucesso da previs˜ao [3].

2.2.1 Modelos Estat´ısticos para An´alise e Previs˜ao de S´eries Temporais

A Estat´ıstica ´e o ramo da ciˆencia que aborda o problema de an´alise e previs˜ao de s´eries temporais [3, 45, 47, 48], apresentando genericamente: (a) os modelos lineares, que s˜ao muito bem entendidos e tradicionalmente usados, mas que nem sempre s˜ao aptos para a resolu¸c˜ao do problema; e (b) os modelos n˜ao-lineares, que tentam suprir as deficiˆencias dos modelos lineares, mas que, devido ao alto grau de complexidade, nem sempre s˜ao aplic´aveis na pr´atica.

Na literatura ´e poss´ıvel encontrar uma grande quantidade de modelos lineares propos-tos para a an´alise e previs˜ao de s´eries temporais: M´edias M´oveis Simples (MMS) [45, 48], Alisamento Exponencial Simples (AES) [45,48], Alisamento Exponencial Linear de Brow (AELB) [45, 48], Alisamento Exponencial Biparam´etrico de Holt (AEBH) [45, 48], Filtra-gem Adaptativa (FA) [45, 48], dentre outros [3, 45, 47, 48]. Entretanto, dentre todos os modelos propostos, uma classe de modelos recebe um destaque especial, os modelos de Box & Jenkins, que, de forma pr´atica, s˜ao os mais populares.

Box & Jenkins [3] propuseram uma fam´ılia de modelos alg´ebricos (chamados de mo-delos ARIMA), a partir dos quais se seleciona um modelo que melhor desempenhe a previs˜ao de uma dada s´erie temporal. O modelo ARIMA(p, d, q) ´e uma combina¸c˜ao de outros modelos: o AR(p) (Autoregressive) e o MA(q) (Moving Average), combinados com uma integra¸c˜ao de ordem d. Os parˆametros p e q correspondem ao n´umero de termos auto-regressivos e ao n´umero de termos da m´edia m´ovel, respectivamente.

Um modelo ARIMA(p, d, q) ´e um m´etodo alg´ebrico que mostra como uma vari´avel de uma s´erie temporal (Zt) ´e relacionada com seus valores passados (Zt−1, . . ., Zt−p) e os

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valores passados dos termos de ru´ıdo (rt−1, . . . , rt−q), diferenciados d vezes. Os termos de ru´ıdo correspondem a choques aleat´orios passados que influenciam valores futuros.

Box & Jenkins propuseram um procedimento pr´atico para encontrar um modelo ade-quado para uma dada situa¸c˜ao, como esquematizado na Figura 2.1.

Figura 2.1: Est´agios para a constru¸c˜ao de um modelo iterativo de Box & Jenkins (retirado de [1]).

No Est´agio 1 da Figura 2.1, Identifica¸c˜ao, usam-se c´alculos para se medir a correla¸c˜ao entre as observa¸c˜oes de um conjunto de dados da s´erie temporal. Estes dispositivos s˜ao: a fun¸c˜ao de auto-correla¸c˜ao e a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao parcial. A partir destes escolhem-se poss´ıveis modelos candidatos.

No Est´agio 2 da Figura 2.1, Estima¸c˜ao, estimam-se os parˆametros do modelo esco-lhido no est´agio anterior. No Est´agio 3 da Figura 2.1, Diagn´ostico, s˜ao utilizados alguns procedimentos de checagens para determinar se o modelo ´e estatisticamente adequado. Um modelo que falhe nestes testes ´e rejeitado [45].

Diversos trabalhos na literatura de s´eries temporais n˜ao somente assumem que as s´eries s˜ao estacion´arias, mas que tamb´em podem ser transformadas em s´eries estacion´arias atrav´es de alguma transforma¸c˜ao simples, como a diferencia¸c˜ao [3]. Esses trabalhos ainda assumem que as s´eries temporais s˜ao processos lineares, de forma que podem ser representadas por modelos lineares.

Entretanto, na literatura n˜ao ´e encontrado nenhum trabalho que generalize a suposi¸c˜ao de linearidade. Na realidade, ´e de se esperar que, devido `a natureza n˜ao-linear do meio que

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forma o cen´ario de acontecimentos da s´erie temporal (mundo real), ´e bem mais natural se supor a existˆencia de estruturas n˜ao-lineares [14, 49, 50].

De forma geral, as s´eries temporais podem ser modeladas como

Zt = h(Zt−1, . . . , Zt−p, rt−1, . . . , rt−q) + rt (2.2) em que rt ´e um termo de ru´ıdo, p e q s˜ao ´ındices inteiros que determinam as janelas de dependˆencia temporal nos termos passados da s´erie e do ru´ıdo, respectivamente, e h(·) ´e uma fun¸c˜ao n˜ao-linear de transferˆencia que modela o mapeamento entre os valores do futuro e os valores do passado.

V´arios modelos n˜ao-lineares estat´ısticos tˆem sido propostos, como os modelos bili-neares (bilinear models) [15], os modelos auto-regressivos exponenciais (exponential au-toregressive models) [16], os modelos de limiar auto-regressivo (threshold auau-toregressive models) [17], e os modelos de estados dependentes (general state dependent models) [18], dentre outros. A partir de uma vis˜ao geral da literatura, ´e poss´ıvel concluir que o de-sempenho de previs˜ao para tais modelos n˜ao-lineares est´a abaixo do esperado [14], j´a que o n´ıvel de complexidade adicionado `a solu¸c˜ao do problema, n˜ao justifica o ganho de desempenho na previs˜ao como poderia ser esperado [14, 22]. De Gooijer e Kumar [19], em 1992, com o artigo de revis˜ao a respeito dos modelos n˜ao-lineares, n˜ao conseguiram evidˆencias claras em favor dos modelos n˜ao-lineares, quando comparados aos modelos lineares em termos de desempenho de previs˜ao.

Entretanto, ´e um conceito global aceitar que o ambiente gerador das s´eries temporais do mundo real ´e n˜ao-linear, e assim pode-se inferir que os atuais modelos n˜ao-lineares n˜ao consigam descrever a realidade de forma melhor que as simples aproxima¸c˜oes lineares, sugerindo que uma nova abordagem deve ser desenvolvida.

Observa-se, em particular, nas ciˆencias econˆomicas, que a aplica¸c˜ao de um grande n´umero de modelos n˜ao-lineares tˆem sido largamente investigado. Por exemplo, a maior parte dos modelos do ciclo real de neg´ocios ´e n˜ao-linear [14], como tamb´em os modelos de finan¸cas [14]. O uso destes modelos n˜ao-lineares na economia e finan¸cas ´e consistente com o uso dos modelos lineares aplicados na pr´atica, uma vez que tais modelos podem ser vistos como uma aproxima¸c˜ao dos fenˆomenos n˜ao-lineares de interesse. Assim, n˜ao ´e surpreendente que modelos n˜ao-lineares nos ´ultimos anos tenham tido grande aten¸c˜ao na literatura [22, 23], at´e mesmo com a inclus˜ao de paradigmas n˜ao advindos da Es-tat´ıstica aplicados ao problema de previs˜ao, como ´e o caso das redes neurais artificiais, dos algoritmos gen´eticos e outras t´ecnicas da Inteligˆencia Computacional.

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tempo-rais. Geralmente, o fenˆomeno gerador de uma s´erie temporal, al´em de convencionalmente ser um processo n˜ao-linear, tamb´em, em muitos casos, apresenta um alto grau de comple-xidade. Uma gama de fenˆomenos que se desenvolvem no tempo e que podem ser encarados como s´eries temporais, s˜ao geradas por relacionamentos de alta complexidade. Esse rela-cionamento n˜ao-linear de diversos agentes ´e uma caracter´ıstica de sistemas complexos [8], normalmente estudados pelos f´ısicos. Esses sistemas est˜ao presentes em diversas ´areas: antropologia, qu´ımica, ciˆencia da computa¸c˜ao, economia, finan¸cas, meteorologia, biologia molecular, psicologia, neurociˆencia e muitas outras.

2.2.2 Modelos Inteligentes para An´alise e Previs˜ao de S´eries Temporais

A Inteligˆencia Computacional ´e vista com uma alternativa para abordar o problema de previs˜ao de s´eries temporais. Com m´etodos e procedimentos geralmente n˜ao-lineares, e que, em termos pr´aticos atuais, s˜ao mais simples quando comparados aos modelos estat´ısticos n˜ao-lineares. Esses modelos inteligentes tˆem como caracter´ısticas principais a n˜ao-linearidade e o poder de adapta¸c˜ao a v´arios problemas.

Redes Neurais Artificiais (RNAs) s˜ao algoritmos originalmente baseados no fun-cionamento de sistemas neurais biol´ogicos e, em particular, do c´erebro humano [37]. As RNAs s˜ao sistemas paralelos distribu´ıdos compostos por unidades de processamento sim-ples, chamadas de neurˆonios ou nodos, que calculam fun¸c˜oes matem´aticas, normalmente n˜ao-lineares.

Os neurˆonios ou nodos s˜ao dispostos em um arranjo espacial composto geralmente por uma ou mais camadas e interligadas por um grande n´umero de conex˜oes. Na maior parte dos modelos, estas conex˜oes est˜ao associadas a pesos, os quais armazenam o conhe-cimento representado no modelo e servem como ponderadores para os sinais de entrada dos neurˆonios da rede.

Cada uma das unidades de uma RNA ´e condicionada a receber um sinal. Este si-nal, ponderado pelos respectivos pesos das conex˜oes de entrada da unidade, ´e processado por uma fun¸c˜ao matem´atica, chamada de fun¸c˜ao de ativa¸c˜ao ou fun¸c˜ao de transferˆencia, produzindo um novo sinal de sa´ıda que ´e propagado pela rede. As RNAs possuem a capa-cidade de aprender atrav´es de exemplos, realizar interpola¸c˜oes dos dados e extrapola¸c˜oes das informa¸c˜oes aprendidas.

No processo de aprendizado de uma RNA, a principal tarefa ´e a determina¸c˜ao da intensidade das conex˜oes entre os neurˆonios, sendo os algoritmos de aprendizado utilizados para a adapta¸c˜ao desses parˆametros. Estes algoritmos tem a finalidade de realizar o ajuste dos pesos das conex˜oes para a melhor generaliza¸c˜ao poss´ıvel da informa¸c˜ao contida nos

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exemplos expostos. Ou seja, atrav´es de exemplos utilizados no treinamento, as RNAs tˆem capacidade de aplicar o conhecimento aprendido a exemplos n˜ao conhecidos num determinado problema.

Muitos tipos de modelos de RNAs tˆem sido propostos, dentre os quais, podem-se des-tacar os mais populares: Redes Multi-Layer Perceptron(MLP) [51]; Redes Recorrentes [51]; Redes de Kohonen [52, 53]; Redes de Hopfield [54] e Redes ART [55].

Desses tipos de modelos de RNAs, as rede MLPs s˜ao indubitavelmente as mais po-pulares devido `a sua praticidade, flexibilidade e eficiˆencia, sendo aplicada a uma vasta gama de problemas [24, 51, 56, 57].

2.2.3 Abordagens Utilizadas pela Econof´ısica para An´alise de S´eries Temporais Econˆomico-Financeiras

O termo “Econof´ısica” foi introduzido por Stanley em meados de 1990, referindo-se ao grande n´umero de artigos escrito por f´ısicos analisando problemas relacionados ao mer-cado de a¸c˜oes. Anos depois, o livro intitulado An Introduction to Econophysics: Cor-relations and Complexity in Finance, escrito por R. N. Mantegna e H. E. Stanley, foi publicado [8]. Esse novo e promissor campo usa abordagens f´ısicas para explicar e anali-sar fenˆomenos advindos do sistema econˆomico, que ´e um exemplo de sistema complexo. Entretanto, antes do aparecimento do termo “Econophysics”, as duas ´areas j´a tinham se cruzado em trabalhos de Mandelbrot [39, 40] e Bachelier [41], por exemplo.

Em 1900, Bachelier propˆos uma explica¸c˜ao para as flutua¸c˜oes do mercado, que, na te-oria neocl´assica, s˜ao consideradas como um “ru´ıdo” causado por “choques” imprevis´ıveis que ocorrem devido a fatores que n˜ao dependem do sistema econˆomico. Ele propˆos uma explica¸c˜ao que introduziu a teoria de passeio aleat´orio (Random Walk ) [43], que mais tarde foi desenvolvida de forma independente por Einstein para explicar o movimento browniano [58]. Na ´epoca, a Teoria de Bachelier foi considerada muito estranha para ser levada a s´erio pelos economistas. Em 1960, o matem´atico Mandelbrot mostrou que as flu-tua¸c˜oes na s´erie dos pre¸cos de algod˜ao seguem uma distribui¸c˜ao que difere de um processo gaussiano t´ıpico, no qual cada evento ocorre de forma aleat´oria e independentemente de todos os outros [39].

A ideia de que a F´ısica pode contribuir com a Economia surgiu porque os dois campos estudam sistemas complexos que contˆem muitos agentes. Tais sistemas s˜ao compostos por elementos que interagem entre si e obedecem a regras espec´ıficas. A F´ısica Estat´ıstica descreve o comportamento de uma mat´eria com massa sob for¸cas que atuam entre ´atomos e mol´eculas, enquanto, o ramo da Economia ou das Finan¸cas estuda as intera¸c˜oes dos

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agentes econˆomicos - market traders, ou empresas [59].

Ball, no artigo Econophysics: Culture Crash [59], publicado na revista Nature, em 2006, abordou os aspectos positivos e negativos da atua¸c˜ao da Econof´ısica na an´alise de fenˆomenos econˆomico-financeiros. Tal discuss˜ao teve origem com a publica¸c˜ao do artigo “Worrying trends in econophysics”, de Gallegati et al. [60]. Esse trabalho discutiu o receio de algumas tendˆencias nas an´alises da Econof´ısica em ´areas da Economia onde os dados s˜ao muito escassos e menos confi´aveis. Em meio a tal discuss˜ao, McCauley publicou o artigo “Response to Worrying Trends in Econophysics” [61] e Matteo e Aste publi-caram no peri´odico The European Physical Journal B o artigo “No Worries”: Trends in Econophysics, [62] que destaca onze contribui¸c˜oes a partir de importantes pesquisas da ´area: universalidade em sistemas econˆomicos; flutua¸c˜oes e ru´ıdos em s´eries tempo-rais financeiras; modelos de riqueza e de distribui¸c˜ao de renda; fenˆomenos emergentes no comportamento agregado; uma abordagem para mecˆanica estat´ıstica n˜ao-exaustiva; transi¸c˜oes de fase em sistemas s´ocio-econˆomicos; novas abordagens te´oricas para intera¸c˜ao de agentes; Comportamentos coletivos racionais versus irracionais na intera¸c˜ao de mo-delos baseados em agentes; impacto mecˆanico e informativo de ordens de negocia¸c˜ao nos pre¸cos; m´etodos para distinguir sinal e ru´ıdo e filtragens de correla¸c˜ao.

De forma geral, um n´umero crescente de artigos [63] com abordagens da Econof´ısica tem utilizado m´etodos da Estat´ıstica e da F´ısica Estat´ıstica para analisar as s´eries tempo-rais de pre¸cos de a¸c˜oes. Tradicionalmente, o objetivo em economia ´e a avalia¸c˜ao de riscos no mercado financeiro atrav´es da observa¸c˜ao dos pre¸cos de um ativo ou ´ındice financeiro. Essas an´alises geralmente tomam como base a s´erie de retornos, em vez do uso da s´erie de pre¸cos original. A s´erie de retornos nada mais ´e que a s´erie de medidas de perdas e ganhos ao longo de um determinado per´ıodo. Nela pode ser capturado o movimento dos pre¸cos de uma determinada a¸c˜ao ou ´ındice. Essa varia¸c˜ao de pre¸cos entre os instantes t − λ e t quantifica a varia¸c˜ao de um determinado ativo num intervalo λ. Para os econo-mistas, a amplitude das s´eries de retornos ´e conhecida como a volatilidade de uma a¸c˜ao num determinado per´ıodo, e esses retornos podem conter correla¸c˜oes de longo alcance persistentes por v´arios meses [8]. A investiga¸c˜ao dessa s´erie ´e v´alida porque cont´em in-forma¸c˜oes interessantes para investidores e porque possui propriedades estatisticamente mais atrativas que a s´erie de pre¸cos [64].

Geralmente, as s´eries de retornos tˆem apresentado algumas caracter´ısticas comuns, a partir de estudos emp´ıricos em diversos mercados. A esses padr˜oes se d´a o nome de fatos estilizados. Em ciˆencias sociais, principalmente na Economia, um fato estilizado ´e uma apresenta¸c˜ao te´orica simplificada de um fenˆomeno que foi constatado empiricamente. Nas

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s´eries de retornos, os principais fatos estilizados encontrados s˜ao [65, 66]:

1. Tendˆencias: representam um movimento ascendente ou descendente nos valores das observa¸c˜oes de uma s´erie temporal. Geralmente, n˜ao s˜ao encontradas nas s´eries de retornos, sendo uma caracter´ıstica mais comum nas s´eries de taxas de cˆambio [67]; 2. Sazonalidades: movimento da s´erie temporal com caracter´ısticas semelhantes que ocorrem num determinado tempo. A sazonalidade ´e mais encontrada em s´eries intradi´arias [68];

3. Eventos extremos: de forma geral, a volatilidade ´e menor em momentos nos quais existe uma alta de pre¸cos no mercado e maior em momentos nos quais o pre¸co das a¸c˜oes est´a em baixa [69, 70]. Esse fato contribui para a ocorrˆencia de eventos extremos semelhantes a um Black Monday em 1987, quando h´a uma sequˆencia de altas volatilidades em meio a volatilidades baixas;

4. Heteroscedasticidade: as s´eries apresentam diferentes variˆancias em torno de uma m´edia. Nas s´eries de retornos grandes varia¸c˜oes de pre¸co geralmente s˜ao segui-das no tempo por grandes varia¸c˜oes, ocorrendo o mesmo para pequenas varia¸c˜oes (agrupamentos de volatilidades) [71];

5. N˜ao-linearidae: retornos de ativos em geral n˜ao apresentam dependˆencia linear, exceto em altas frequˆencias [66]. Os fenˆomenos temporais respondem de maneira diferente a choques grandes (grandes diferen¸cas na volatilidade) ou pequenos (pe-quenas diferen¸cas na volatilidade) e a choques positivos ou negativos;

6. Caudas pesadas: a s´erie de retornos empiricamente apresenta uma distribui¸c˜ao de cauda pesada (leptoc´urtica). Ou seja, valores extremos ocorrem com maior probabilidade do que numa distribui¸c˜ao Normal [39, 40, 72].

Muitos dos fatos estilizados apresentados s˜ao correlacionados e s˜ao alvo de inten-sas pesquiinten-sas. Diverinten-sas an´alises encontradas na literatura [8, 71, 73–75] s˜ao focadas na distribui¸c˜ao das s´eries de retornos das a¸c˜oes. A ideia ´e quantificar a volatilidade num dado intervalo T. A s´erie de retornos pode ser calculada de forma normalizada pela Equa¸c˜ao 2.3[76].

G(t) = lnZ(t + ∆t) − lnZ(t) ∼= Z(t + ∆t) − Z(t)

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0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 Tempo (dias) |G(t)|

Figura 2.2: S´erie de res´ıduos do ´ındice Dow Jones de 01 de janeiro de 1998 at´e 26 de agosto de 2003.

em que ∆t ´e o intervalo de amostragem. O valor de G(t) descreve a amplitude das flutua¸c˜oes, como pode ser visto na Figura 2.2.

V´arias an´alises s˜ao realizadas com base na s´erie de retornos e grande parte da comu-nidade cient´ıfica da Econof´ısica tem ajustado tais dados por uma lei de potˆencia. Uma lei de potˆencia, fisicamente, ´e uma rela¸c˜ao entre dois escalares x, que corresponde `a serie de retornos, e y, que ´e o resultado do ajuste. A lei de potˆencia pode ser escrita como na Equa¸c˜ao 2.4,

y = axk. (2.4)

A vantagem de modelar sistemas por meio dessa rela¸c˜ao ´e que se trata de uma simples propor¸c˜ao, que depende apenas de duas constantes, em que a ´e a constante de proporcio-nalidade e k ´e o expoente da lei. Desse modo, um fenˆomeno caracterizado por uma lei de potˆencia depende apenas das constantes. Essa fun¸c˜ao matem´atica ´e bastante utilizada na an´alise de v´arios fenˆomenos [77–79].

Diversos trabalhos analisam as s´eries de retorno atrav´es de m´etodos da F´ısica Es-tat´ıstica [71, 74, 80–83]. As leis de potˆencia tˆem sido bastante utilizadas em estudos nas ciˆencias econˆomicas, sendo utilizadas para analisar: flutua¸c˜oes de ´ındices, pre¸cos de a¸c˜oes de companhias individuais, comportamento das bolsas de valores e a volatilidade dos mercados. Por exemplo, as flutua¸c˜oes no ´ındice S&P 500 s˜ao dezesseis vezes menos frequentes cada vez que o seu valor ´e dobrado [84].

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Leis de potˆencia tamb´em foram observadas no ´ındice S&P 500 por Mantegna e Stan-ley [83]. Uma lei de potˆencia semelhante foi encontrada para os pre¸cos de a¸c˜oes de companhias individuais [82]. Leis de potˆencia foram observadas nas bolsas de Mil˜ao [85], na bolsa de S˜ao Paulo [75], em taxas de cˆambio [86, 87] e ainda foram observadas em volatilidade dos mercados [76, 88]. A aplica¸c˜ao da lei de potˆencia j´a ´e bem difundida em diversas ´areas na literatura [71, 74, 80–83]

Outros trabalhos [89–91] tamb´em tˆem utilizado tal lei para descrever eventos raros em outros sistemas complexos, como: terremotos, redes sociais, queimadas e deslizamentos de terra. Em sistemas complexos, as distribui¸c˜oes por lei de potˆencia indicam que eventos raros ocorrem com probabilidades que n˜ao podem ser desconsideradas, por exemplo, no caso de um grande tremor de terra ou uma grande queimada. Os eventos extremos, como terremotos e queimadas, s˜ao transi¸c˜oes raras que ocorrem repentinamente em compara¸c˜ao com as escalas de tempo caracter´ısticas de todo fenˆomeno. A compreens˜ao cient´ıfica desses fenˆomenos pode fornecer um melhor entendimento de sistemas complexos.

A quest˜ao ´e como a dinˆamica de um sistema complexo ´e afetada quando o sistema sofre um evento extremo. Normalmente, utiliza-se uma lei de potˆencia para explicar a rela¸c˜ao entre um evento extremo e a probabilidade desse evento ocorrer [71]. Quanto maior for a intensidade de um evento extremo, menor ´e a probabilidade que esse evento ocorra.

Entretanto, na literatura outras abordagens foram propostas para tratar as s´eries de retorno. Em 1900, Bachelier [41] propˆos o movimento Browniano para modelar o processo estoc´astico dos retornos. Com base no teorema do limite central, esta abordagem concluiu que o retorno sobre uma escala de tempo ∆t segue uma Distribui¸c˜ao Gaussiana. Outros trabalhos desenvolvidos por Mandelbrot [39, 40], Fama [72] e Mantegna e Stanley [83] afirmaram que a distribui¸c˜ao dos retornos pode ser aproximada por uma distribui¸c˜ao de L´evy.

Outros estudos tamb´em analisaram o retorno da s´eries. Eberlein et al. [92] ajustaram uma Distribui¸c˜ao Gaussiana Inversa com decaimento assint´otico por uma lei de potˆencia multiplicada por uma Distribui¸c˜ao Exponencial, e Longin [93] estudou a distribui¸c˜ao dos valores m´ınimos e m´aximos, utilizando uma Distribui¸c˜ao de Fr´echet. Recentemente, Queiros et al. [78] propuseram o ajuste dos dados financeiros com uma distribui¸c˜ao q-Gaussiana. Podobnik et al. [94, 95] analisaram cerca de 8000 a¸c˜oes da Nasdaq e da Bolsa de Nova York (registros anuais). Nesses trabalhos, a regi˜ao central da fun¸c˜ao densidade de probabilidade (fdp) dos retornos agregados s˜ao aproximados por uma Distribui¸c˜ao de Laplace (dupla exponencial).

Referências

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