Existência de configurações centrais convexas e côncavas no problema de 4 copos.

(1)

Programa de PósGraduação em Matemáti a

Existên ia de ongurações entrais

onvexas e n avas

no problema de 4 orpos

André Rubens Lima

(2)

André Rubens Lima

onvexas e n avas

DissertaçãosubmetidaaoProgramade PósGraduaçãoem

Matemáti a omo parte dos requisitos para obtenção do

Título de Mestre em Ciên iasemMatemáti a

Área de Con entração: Equações Diferen iais Ordinárias

Orientador: Prof. Dr. Antnio Carlos Fernandes

Itajubá MG

(3)

André Rubens Lima

onvexas e n avas

Dissertação aprovada por ban a examinadora em 11 de Março de

2016, onferindo ao autor o título de Mestre em Ciên ias em

Matemáti a.

Ban a Examinadora:

Prof. Antonio CarlosFernandes (Orientador)

Prof. Lu as Ruiz dos Santos

Prof. Lu i Any Fran is o Roberto

Itajubá MG

(4)

Aos meus pais,

Reinaldo Ferreira Limae

Inês Apare ida Santos Lima

e a minha irmã

Maria Apare ida Santos Lima.

(5)

Agradeço primeiramentea Deus, forçade meus passos e essên ia da minha existên ia.

Aosmeuspais, ReinaldoFerreiraLimaeInêsApare idaSantosLima, portodoapoio,

arinhoe amorin ondi ionalquetem pormim, tenho erteza de que sem vo ês nãoteria

hegadonem a metade do aminho que já trileiaté hoje, se sou o que sou e, estou onde

estou,épor ausadalutadiáriade vo ês. AminhairmãMaria(minhaeternaBebê)pela

quallutoatéhoje. Àtodososmeusparentesquedireta,ouindiretamentemein entivaram

a hegar aqui, em espe ial agradeço minha madrinha Zilda e a minha prima Lilian, que

sempre meajudaram de todas as formas quando pre isei.

À Lu ivânia (Vaninha), que me ajudou nos momentos difí eis, me dizendo que tudo

ia dar erto, que Deus está omigo a todo instante e por este motivo tudo iria terminar

bem, agradeço asua família,em espe ial a DonaNeuza, por semprea reditar emmim.

Aos meus amigos da eterna Ala 1 que vêm desde a graduação, em espe ial ao Lu as

Costa, Túlio, Anderson Capelete, Diego Generoso, Guemael e ao meu eterno amigo que

sempre o en ontrava om um sorriso, Renato Sagiorato (in memorian), vo ê faz falta

irmão.

Ao Professor Antonio Carlos, meus sin eros agrade imentos pela ompetente e

dedi- adaorientação,peloótimoprofessorepesquisadorqueés,e,prin ipalmente, porseruma

pessoa de grandehumildade e honestidade, agradeço todos os ensinamentos e onversas,

aprendi muito mais que matemáti a.

Aos meus eternos amigos, Adílio,Jaqueline, Regiele e Elaine. À todos os amigos que

onhe iaquiemItajubá,aopessoaldaPastoralUniversitáriaeaosmeusirmãosdoGOU.

(6)

teriam sido muito mais difí eis, obrigado a ada um de vo ês.

(7)

"É impossível pro eder ao innito na série dos seres que se geram su essivamente.

Deve-se admitir, por isso, que existe um serne essário que tenha emsi toda a razão de

sua existên ia, e do qual pro edam todos os outros seres. A este hamamos Deus."

(8)

No presente trabalho, tem-se omo objetivo, estudara existên ia ea uni idade de ertas

ongurações entrais onvexas e n avas dentro do problema de

n

orpos, este, é fun-damentaldentro doestudo da Me âni a Celeste. Ini iaremos denindo o problema de

n

orposesuasdenições, queserão de grandevaliaparaas demonstraçõesposteriores.

In-troduziremoso on eitodasequaçõesderazãodemassa,eatravésdeladenirasequações

de ompatibilidadequeéde primordialimportân iapara oestudodas ongurações

en-trais. Falaremosque dentro doproblema de

n

orpos, para

n ≥ 3

não existe um método para integrar este problema via quadraturas, veremos alguns asos de soluções

parti u-lares, e deniremos o on eito de ongurações entrais. Iremos denir as equações de

Andoyere algumasapli açõesdiretas sobre estas. Mostraremoso Teoremade Existên ia

para ongurações entrais. Mostraremos resultados sobre ongurações entrais

onve-xas, mais espe i amente, onguraçõesdotipolosangoe dotipotrapézio isós eles. Por

onseguinte, deniremosa ongurações entrais n avasealgunsresultados. Noúltimo

apítulomostraremos algunsresultados para um futuro trabalhosobreuma onguração

entral onvexa dotipo trapézio, porém,retirando a simetria.

Palavras have: Problemade

n

Corpos, Conguração Central, Equações de Andoyer, Equações de Compatibilidade.

(9)

In this paper, the goal is to study the existen e and the uniqueness of ertain entral

ongurations, both onvex and on ave, within the problem of n bodies. Whi h is of

fundamental relevan e when studying Celestial Me hani s. We shall start by outlining

the problem of n bodies and its denitions, whi h will be of great value during future

demonstrations. Wewillintrodu ethe on eptinvolvingthe equationsratio ofmassand,

by its means, dene the equations of onsisten y that are of paramount importan e for

the studyof entral ongurations. Weshall saythat, withinthe problemof nbodies, for

n ≥ 3

,there is nomethodfor integrating it through squares, we will he k some ases of parti ular solutionsand wewilldenethe on ept of entral onguration. We are going

to dene the Andoyer equations and some of its dire t appli ations. We willpresent the

Theorem of Existen e for entral ongurations along with the results on entral onvex

ongurations, that being, diamondand isos eles trapeziumtypes. Furthermore,we will

dene the entral on ave ongurations and some results. In the last hapter, we will

present some resultsforafuture study onatrapeziumtype entral onvex onguration,

however, removingsymmetry.

(10)

Agrade imentos ii Resumo v Abstra t vi Índi e vii Lista de Figuras ix 1 Introdução 1 2 Preliminares 3

2.0.1 Não-integrabilidadevia quadraturas . . . 5

2.0.2 Soluções parti ulares doproblema de n orpos . . . 7

2.0.3 Congurações entrais . . . 11

2.0.4 Equaçõesde ompatibilidadeerazões de massa . . . 13

2.0.5 Equaçõesde Andoyer . . . 18

2.0.6 Apli açõesdas equações de Andoyer . . . 22

3 Congurações entrais onvexas 27 3.0.1 Teorema de existên ia . . . 27

3.0.2 Conguração onvexa dotipo trapézio . . . 34

(11)

4 Congurações entrais n avas 44

4.0.1 Resultados preliminares . . . 44

4.0.2 Teorema de ara terização geométri a de uma onguração n ava 47

5 Trabalhos futuros 52

5.0.1 FunçõesT . . . 56

(12)

2.1 Solução deequilíbrio relativo de Euler. . . 8

2.2 Solução deequilíbrio relativo de Lagrange. . . 9

2.3 Solução homográ ade Euler. . . 10

2.4 Solução homográ ade Lagrange. . . 10

2.5 Não pode seruma onguração entral. . . 23

2.6 Pode seruma onguração entral. . . 23

2.7 onguração olinear. . . 25

3.1 Ponto de iní ioda onstrução onvexa. . . 28

3.2 Construção onvexa. . . 29 3.3 Curvasde

(R

23

− R

0

) (R

14

− R

0

) = (R

0

− R

13

) (R

0

− R

24

)

. . . 30 3.4 Curva

µ

(ρ)

. . . 31 3.5 Curvasde

S

12

S

34

= (R

12

− R

0

)(R

34

− R

0

)

. . . 31 3.6 Conguração onvexa. . . 32 3.7 Construção onvexa. . . 33 3.8 Grá o de F. . . 36 3.9 Grá o de G. . . 37 3.10 Grá o de

F

1

. . . 37 3.11 Grá o de

G

1

. . . 38 3.12 Função T. . . 39

3.13 Conguração planar onvexa de4 orpos. . . 41

(13)

1

. . . 56

5.8 Função

T

1

. . . 57

(14)

Introdução

O fas ínio e o interesse a respeito dos fenmenos elestes vêm desde as primí ias da

hu-manidade. Vê-se então, dentrodaAstronomiaum ramodessa iên ia hamadaMe âni a

Celeste, talramo ongura-se omooestudo dadinâmi ados orpossob interação

gravi-ta ional. A Me âni a Celeste, a m de ser entendida, tem seu ápi e om Isaa Newton,

quem em 1666 formula a Lei de Gravitação Universal, porém, a publi a somente em

1687 em seu Philosophiae Naturalis Prin ipia Mathemati a, vide [11℄. Vejamos omo é

formuladatallei.

Lei da Gravitação Universal: A interação gravita ional entre dois orpos pode

ser expressa por uma força entral, atrativa, propor ional ao produto das massas destes

orpos e inversamente propor ional ao quadrado da distân ia entre eles, vide [2℄. Desta

forma,em norma,a forçaque um orpoexer e nooutro édada por

F =

Gm

1

m

2

d

2

,

onde

m

1

e

m

2

representam as massas dos orpos,

d

a distân ia entre eles e

do problema de

n

orpos, para

n ≥ 3

, não é possível integrar este problema via quadra-turas, tornando-seassimsigni ativaades oberta de soluçõesparti ulares. Taissoluções

serãodenidasnaSeção2.0.3. Emseguida,vamosapresentaradeniçãode ongurações

entrais, que são de grandeimportân iadentrodoestudo da Me âni aCeleste.

Dandoprosseguimento,vamosdenirasequaçõesde ompatibilidadeeasequaçõesde

razão de massa. As equações de ompatibilidade, junto das equações de razão de massa

serão de grande valia para o estudo da existên ia de ongurações entrais onvexas e

n avas,quesão tratadasnoCapítulo3eCapítulo4,respe tivamente. Veremosaseguir

as equações de Andoyer, que tem uso nadeterminaçãode ongurações entrais.

Em sequên ia, no Capítulo 3 trabalharemos om as ongurações entrais onvexas,

enun iaremos e demonstraremos o Teorema de Existên ia, mostraremos a existên ia e

a uni idade de uma onguração entral do tipo trapézio. Em seguida mostraremos a

uni idade de uma onguração entral na forma de um losango. A seguir, no Capítulo

4 enun iaremos lemas importantes para o estudo de uma onguração entral n ava,

enun iaremosemostraremosoteoremasobreaexistên iade tais ongurações,mostrada

por[6℄.

Finalmente, noCapítulo5trataremos deum trabalhofuturo. Estetem omoobjetivo

mostrar a existên ia de ongurações entrais do tipo trapézio isós eles, entretanto sem

(16)

Preliminares

Es olhamos um referen ial iner ial, o qual modelamos omo o

R

d

,

d = 1, 2, 3

. Considere então

n ≥ 2

partí ulas, indexadaspor

i = 1, 2, . . . , n

, om massas

m

i

≥ 0

e que o upam, no instante

t ∈ R

, as posições

r

i

(t) = (x

i1

(t), x

i2

(t), x

i3

(t))

. O problema fundamental da me âni a elesteéodeestudaradinâmi adosistemasobaaçãodasforçasgravita ionais.

Aforçadeatraçãogravita ionalquea

j

-ésimapartí ulaexer esobrea

i

-ésima,onde

j 6= i

, é dada pelaLei daGravitação Universal,

F

ij

= −Gm

i

m

j

r

i

− r

j

|r

i

− r

j

|

3

Note quea força

F

ij

= −F

ji

, é uma manifestação da

3

a

Lei de Newton.

A formulação matemáti a doproblema de

n

- orpos gravita ional Newtoniano é a se-guinte: dadasasposições

r

i

(t

0

)

evelo idades

r

˙

i

(t

0

)

detodasaspartí ulas

(i = 1, 2, . . . , n)

num instante ini ial

t

0

∈ R

, satisfazendo

r

i

(t

0

) 6= r

j

(t

0

)

, se

i 6= j

; estudar a respe tiva solução doseguintesistema de equaçõesdiferen iais:

m

i

r

¨

i

= −

n

X

j=1,j6=i

m

i

m

j

r

i

− r

j

|r

i

− r

j

|

3

,

(2.1) para

i = 1, 2, . . . , n

e tomando

G = 1

.

Denotaremos por

r

ij

= |r

i

− r

j

|

, a distân ia Eu lidiana entre os orpos

i

e

j

. E expressemos por

r = (r

1

, . . . , r

n

) ∈ R

dn

o vetor onguração.

Agora, vamos denir dentro doproblema Newtoniano de

n

orpos asseguintes quan-tidades:

(17)

i) Chamaremos de onjunto olisão oseguinte onjunto

∆ =

[

i6=j

∆

ij

,

onde

∆

ij

=

Q = (r

1

, . . . , r

n

) ∈ R

3n

/r

i

= r

j

, i 6= j

.

ii) Chamaremos de massa total dosistema aseguintequantidade es alar

M =

n

X

i=1

m

i

.

iii) Chamaremos de momento lineartotal do sistemao seguinte vetor

P =

n

X

i=1

m

i

˙r

i

.

As omponentes dovetor

P

são onstantes aolongodas soluções,istoimpli aqueo entrode massado sistema,denido aseguir, tem movimentoretilíneoe uniforme.

iv) Chamaremos de entrode massado sistemao seguinte vetor

C =

1 M

n

X

i=1

m

i

r

i

.

(2.2)

v) Chamaremos de energia inéti a total dosistema aquantidade es alar

T =

1

2

n

X

i=1

m

i

| ˙r

i

|

2

.

(2.3)

(2.5)

Pode-se mostrar que as omponentes do momento angular total do sistema são

onstantes aolongo das soluçõesdo sistema(2.1).

ix) hamaremos de referen ialbari êntri o, um referen ial iner ial,talque

M.C =

n

X

i=1

m

i

r

i

= 0,

assim, onsidere daqui por diante as denições om relação ao referen ial

bari ên-tri o ou referen ialdo entrode massa.

2.0.1 Não-integrabilidade via quadraturas

Utilizandoumanotação ondensada,podemoses reveraequação(2.1)daseguinteforma,

N ¨

_{Q = −∇V,}

(2.6)

onde

N = diag[m

1

, m

1

, m

1

, m

2

, m

2

, m

2

, . . . , m

n

, m

n

, m

n

],

é uma matriz diagonal

3n × 3n

,

Q = (r

1

, r

2

, . . . , r

n

)

t

,

é um vetor de

R

3n

,

∇ = (∇

1

, ∇

2

, . . . , ∇

n

)

t

,

é um operador diferen ial, om

∇

k

sendo o gradiente das oordenadas do

k

-ésimo orpo. Tomemos ondições ini iaisda seguinte forma,

Q(0) ∈ {R

3n

\ ∆},

e

˙

(19)

Épossívelpensar noproblema de

n

orpos omo um problema de valorini ial,







˙

S = F (S) ≡

˙

Q, −M

−1

_∇V

S(0) =

Q(0), ˙

Q(0)

_{∈ {R}

3n

_{\ ∆} × R}

3n

_,

(2.7) onde

S =

Q, ˙

Q

_{∈ R}

6n

e

F : R

3n

_{\ ∆ −→ R}

6n

é ontinuamente diferen iávelem todo o

domíniodenido.

Destaforma,podemosapli aroTeoremade Existên iaeUni idadeparagarantirque

existe

δ ∈ R

positivo euma úni a apli ação

S : (δ, −δ) : −→ R

6n

t

_{7−→ S(t) =}

Q(t), ˙

Q(t)

,

solução de (2.1). Em talponto hegamos aum impasse,embora talsolução exista e seja

úni a, esta não pode ser determinadavia quadraturas.

Até o nal do sé ulo XIX as integrais de movimento, hamadas também de Leis de

Conservação, eram de interesse primordial, pois a ideia é que ada integral permitiria

reduzir a dimensão do sistema de uma unidade de forma que, de posse de um número

su ientedeintegraisindependentes, seriapossívelresolverumsistemade formaexplí ita

outer onhe imentode suas trajetórias, talideia é hamada de métododas quadraturas,

a har soluções através de um número nito de operações elementares.

Denição 2.0.1. Uma integralde movimento é uma função realdiferen iável não

ons-tante

Λ(x, v, t)

tal que

˙Λ(x(t), v(t), t) = 0,

ou seja,

Λ(x(t), v(t), t) = C

, onde

C

é determinada pelas ondições ini iais.

Das denições a ima, onhe emos dez integrais de movimento lássi as do problema

de

n

orpos em

R

3

, que são: uma para a energia total, três para as omponentes do

momento linear total, três para as omponentes do entro de massa do sistema e três

integraisde movimento para as omponentes domomento angulartotal.

O problema de dois orpos é integrável via quadraturas. No aso de

3

orpos, as

10

integrais lássi asreduzem o problemade

18

para

8

dimensões. Porémem

1887

Heinri h

(20)

Bruns provou que no problema de

3

orpos não existem integrais primeiras além das

10

integrais lássi as eque sejamfunções algébri as das posições, velo idade e dotempo.

Teorema 2.0.1 (Bruns). [3℄ No Problema Newtoniano de

(n + 1)

- orpos em

R

d

, om

n ≥ 2

e

1 ≤ d ≤ n + 1

toda integral primeira que seja algébri a om respeito às posições, momentose tempo éuma funçãoalgébri adas integraisprimeiras lássi as: aenergia, as

d(d−1)/2

omponentesdomomentoangulartotaleas

2d

integraisquevêmdomovimento retilíneo uniforme do entro de massa.

Con luímos, do Teorema de Bruns que, para

n ≥ 3

o problema não é integrável via quadraturas. Por este fato, tornam-se importantes quaisquer soluções parti ulares, que

veremos aseguir naSeção 2.0.2.

2.0.2 Soluções parti ulares do problema de n orpos

n

orpos, hamaremos uma solução de homotéti a se existe umafunção positiva,

ω(t) > 0

, tal que adinâmi ados orpos é dada por

Q(t) = ω(t)Q

0

,

(2.8)

om

Q

0

∈ X = {R

3n

_\∆}

e para todo

t

no intervalo maximal de solução.

n

orpos, hamaremos de Conguração Central uma solução da equação

(21)

n

orpos, hamaremos uma solução de equilíbrio relativo se existe uma apli ação no grupo de transformações rígidas de

R

3

,

g(t) ∈ SO(3)

, tal quea dinâmi a dos orpos é dada por

Q(t) = g(t)Q

0

,

(2.9)

om

Q

0

∈ X = {R

3n

_\∆}

e para todo

t

no intervalo maximal de solução. Aqui, entendemos a ação dogrupo

Eucl(R

3

₎

sobre

R

3

omo a ação em ada orpo em

R

3

,

g(t)Q

0

= (g(t)r

01

, . . . , g(t)r

0n

)

t

.

Vejamos abaixoduasgurasqueilustramadeniçãodasoluçãodeequilíbriorelativo.

AFigura2.1éuma onguração entral olinearde Euler,asegunda, aFigura2.2,éuma

onguração entral de Lagrange, nesse aso um triângulo equilátero. As Figuras 2.1 e

2.2,podem ser vistas em[4℄.

PSfrag repla ements

m

1

m

2

m

3

C

(22)

PSfrag repla ements

m

1

m

2

C

m

3

Figura2.2: Solução de equilíbrio relativode Lagrange.

n

orpos, hamaremos uma solução de homográ a se existe uma apli ação

g(t)

no grupo de transformações rígidas de

R

3

,

SO(3) ⊂ Eucl(R

3

₎

e, umafunção positiva

ω(t)

tais que adinâmi ados orpos é dadapor

Q(t) = ω(t)g(t)Q

0

,

(2.10)

om

Q

0

∈ X = {R

3n

_\∆}

e para todo

t

no intervalo maximal de solução. Aqui, entendemos novamente, a ação do grupo

Eucl(R

3

₎

sobre

R

3

omo na equação

(2.9).

Consideremosa onguração olinearde Euler,omovimentoqueretratauma solução

(23)

PSfrag repla ements

m

1

m

2

m

3

C

Figura2.3: Solução homográ a de Euler.

Agora, onsiderandoa onguraçãoequiláterade Lagrange,esta soluçãoédes ritana

Figura 2.4. As Figuras2.3e 2.4, podem ser vistasna tese de A. C. Fernandes, vide[4℄.

PSfrag repla ements

m

1

m

2

m

3

C

Figura 2.4: Solução homográ a de Lagrange.

Sabemos da história, que as primeiras soluções parti ulares foram en ontradas por

Euler e Lagrange. Em

1767

, Euler mostra a existên ia de soluções parti ulares, em que os três orpos permane em alinhadosem ada instante, ou seja, os três orpos têm uma

onguração olinearem ada instante. Lagrange, em

1772

,mostra a existên ia de duas soluções parti ulares, as quais os três orpos formam um triângulo equilátero em ada

(24)

2.0.3 Congurações entrais

QuandoNewtonformulaoproblemade

n

orpos,houvemuitasinvestidasamderesolver talproblema. Como men ionamosnaSeção 2.0.1, oproblema de

n

orpos não épossível de ser resolvido viaquadraturas.

Poresta razão, denimos naSeção 2.0.2as soluçõesparti ulares, taissendo asolução

homotéti a, a de equilíbrio relativo e a homográ a. Assim, quando Euler em 1767

des obriu uma lasse espe ial de soluções periódi as olineares de três orpos na qual

as partí ulas moviam-se emórbitas elípti as e, Lagrangeem 1772 des obriu outra lasse

desoluçõesperiódi as,eneste asoaspartí ulasmoviam-seemórbitaselípti asformando

uma onguraçãoequiláteraduranteotempoemqueestiverdenida,viu-seaimportân ia

de tais objetos para o estudo daMe âni a Celeste dentro do problema de

n

n

lo alizadosnoreferen ialbari êntri o,pelosvetores

r

1

(t

0

), r

2

(t

0

), . . . , r

n

(t

0

)

talque

(r

1

, . . . , r

n

) ∈

X = {R

3n

_{\ ∆}}

, respe tivamente, formam uma onguração entral se vale

¨

r

i

= λr

i

,

∀i = 1, . . . , n,

(2.11)

onde

λ = λ(r

1

, . . . , r

n

)

é uma função não nula. Em outras palavras, podemos dizer que a força resultante sobre o i-ésimo orpo apontana direção do entro de massa. De modo

equivalente,podemoses rever a ondição de onguração entralda seguinte forma

λr

i

= −

X

k6=i

m

k

(r

i

− r

k

)

r

3 ik

,

_{∀i = 1, . . . , n.}

(2.12)

Podemosen ontraraexpressãode

λ

daseguintemaneira,ema ordo omasdenições e notações doiní io desse apítulo,

m

i

r

¨

i

= −∇

i

V,

usando aequação (2.11), temos

(25)

Setomarmosoprodutointernodaequação(2.13)por

r

i

emambososmembros,temos

(−∇V

i

) • r

i

= λm

i

r

i

• r

i

.

(2.14)

Somando as equações de (2.14) em

i

, lembrando que

V

é homogênea de grau

(−1)

e da denição de momento de inér ia

I =

1

2

n

X

i=1

m

i

r

i

• r

i

,

temos,

V = λ(2I),

logo,

λ =

V

2I

.

Na notaçãopara ongurações, a equação (2.11) éexatamentea equação de

ongu-rações entrais,

λMr = −∇V (r).

Dentro da literatura, existem vários exemplos onhe idos de soluções parti ulares,

omo vimosnaSeção2.0.2, porém, podemos itar tambémoproblema de dois orpos,as

ongurações olineares de Euler e asequiláteras de Lagrange, que omo vimos,formam

a ada instante uma onguração entral.

Temosumimportanteresultadonoâmbitodassoluçõeshomográ as,queéoseguinte

resultado, aoqual hamamosde Teorema de Lapla e,este resultado pode ser en ontrado

em A.Wintner [14℄.

Teorema 2.0.2. Se a solução do problema de

n

orpos é homográ a, então os orpos formam uma onguração entrala ada instante.

A provadeste resultado porser vistana tese de A. Carlos Fernandes em[4℄.

Nessapróximaseçãoiremosdenirasequaçõesdeapartirdasequaçõesdemovimento,

estassão primordiaisparaoestudodaexistên iaeuni idadede ongurações entraisea

partirdelasdeduziremosafórmulapararazãodemassa. Tambémdeniremosasequações

(26)

Apresentaremos oTeorema daMediatrizque nos dá uma ondição ne essária para se

ter uma onguração entraleum orolário. Este orolárioarmaqueemuma

ongura-ção entralde

4

orposnão sepode ter três orpos numa mesmareta e um quarto orpo fora desta reta.

2.0.4 Equações de ompatibilidade e razões de massa

Nesta seção vamos denir as equações que serão usadas durante todoeste trabalho, que

são de suma importân iapara o estudo de existên ia de ongurações entrais no plano.

Para tanto, vamos deduzi-las assumindo que os pontos da onguração entral são não

olineares. Consideramos aequação de movimento,tomando

G = 1

,

λr

i

= −

X

j6=i

m

j

r

i

− r

j

1

= −

X

j6=1

m

j

x

1

− x

j

r

3 1j

,

(2.16)

λy

1

= −

X

j6=1

m

j

y

1

− y

j

r

3 1j

.

(2.17)

Osprimeirosíndi esdaequaçãosão es olhidosporsimpli idade,mas asmanipulações

para as outras oordenadas podem ser feitasanalogamente.

Admitimos as seguintes mudanças de parâmetros, de

λ

para

r

0

denido por

−λ =

Mr

−3

₀

, onde M é a somatóriade todas as massas, istoé,

M =

P

n

i=1

m

i

. Por adequação, nós denimos

R

0

= 1/r

3

0

,

R

ij

= 1/r

3 ij

. Então,

−λx

1

=

X

j6=1

m

j

R

1j

(x

1

− x

j

),

R

0

Mx

1

=

X

j6=1

m

j

R

1j

(x

1

− x

j

),

R

0

X

j6=1

m

j

x

1

+ m

1

x

1

!

=

X

j6=1

m

j

R

1j

(x

1

− x

j

).

(2.18)

(27)

j6=1

m

j

x

1

−

X

j6=1

m

j

x

j

!

=

X

j6=1

m

j

R

1j

(x

1

− x

j

) ⇒

R

0

X

j6=1

m

j

(x

1

− x

j

)

!

=

X

j6=1

m

j

R

1j

(x

1

− x

j

) ⇒

X

j6=1

m

j

R

1j

(x

1

− x

j

) − R

0

X

j6=1

m

j

(x

1

− x

j

)

!

= 0.

Chegamosentão à seguinteequação

X

j6=1

(R

1j

− R

0

)(x

1

− x

j

)m

j

= 0.

(2.19)

Analogamente, façamos para

y

1

. Então,

−λy

1

=

X

j6=1

m

j

R

1j

(y

1

− y

j

) ⇒

R

0

My

1

=

X

j6=1

m

j

R

1j

(y

1

− y

j

) ⇒

R

0

X

j6=1

m

j

y

1

+ m

1

y

1

!

=

X

j6=1

m

j

R

1j

(y

1

− y

j

) ⇒

R

0

X

j6=1

m

j

y

1

−

X

j6=1

m

j

y

j

!

=

X

j6=1

m

j

R

1j

(y

1

− y

j

) ⇒

R

0

X

j6=1

m

j

(y

1

− y

j

)

!

=

X

j6=1

m

j

R

1j

(y

1

− y

j

).

(2.20) Somando o termo

−R

0

P

_j6=i

m

j

(y

1

− y

j

)

em ambos os lados da expressão (2.20) e

olo ando ostermos apropriados emevidên ia,resta-nos aseguinteexpressão,

X

j6=1

(R

1j

− R

0

)(y

1

− y

j

) m

j

= 0.

(2.21)

Veja que usamos as primeiras oordenadas de um ponto, ou seja, usando o ponto

r

1

da onguraçãopara deduziras equações(2.19) e (2.21)teremos aseguinteexpressão

X

j6=1

(28)

Expandindo osomatóriode (2.22),temos:

m

2

(R

12

− R

0

)(r

1

− r

2

) + m

3

(R

13

− R

0

)(r

1

− r

3

) + m

4

(R

14

− R

0

)(r

1

− r

4

) = 0.

(2.23)

Assim, para eliminar o segundo termoda soma de (2.23), ou seja,

m

2

, nós fazemos o produto vetorialda expressão (2.23)pelo

(r

1

− r

2

)

. Isto é,

m

2

(R

12

− R

0

)(r

1

− r

2

) ∧ (r

1

− r

2

) + m

3

(R

13

− R

0

)(r

1

− r

3

) ∧ (r

1

− r

2

)+

m

4

(R

14

− R

0

)(r

1

− r

4

) ∧ (r

1

− r

2

) = 0.

Como

(r

1

− r

2

) ∧ (r

1

− r

2

) = 0

, resta para nós então

m

3

(R

13

− R

0

)(r

1

− r

3

) ∧ (r

1

− r

2

) + m

4

(R

14

− R

0

)(r

1

− r

4

) ∧ (r

1

− r

2

) = 0.

Denição2.0.7. Denimosaáreadotriânguloorientado omo sendoaregiãodelimitada

pelas posições

r

i

, r

j

e

r

k

da seguinte maneira,

∆

ijk

= 1/2(r

i

− r

j

) ∧ (r

i

− r

k

).

Portanto,

m

3

(R

13

− R

0

)∆

132

+ m

4

(R

14

− R

0

)∆

142

= 0.

(2.24)

Por onveniên ia, substituímosadeniçãodaorientaçãodotriângulo

∆

ijk

= ∆

m

,onde

m 6= i, j

e

k

. Assim, temosa seguinte onvenção de sinais das áreas dos triângulos.

∆

1

, ∆

3

< 0

∆

2

, ∆

4

> 0.

(2.25)

Então, (2.24) torna-se

m

3

(R

13

− R

0

)∆

4

− m

4

(R

14

− R

0

)∆

3

= 0.

(2.26)

Seguindo,es revamosaequação(2.22)para

r

2

,istoé,

P

j6=2

(R

2j

− R

0

)(r

2

− r

j

)m

j

= 0

, nós podemoseliminarotermo

m

1

aoexpandirmos oseu somatórioetomarmos oproduto vetorial deste pelofator quea ompanha

m

1

.

Com efeito, expandindo osomatóriopara

r

2

,

(29)

fazendo o produto vetorial de (2.27) por

(r

2

− r

1

)

, resulta-nos que

m

3

(R

23

− R

0

)(r

2

− r

3

) ∧ (r

2

− r

1

) + m

4

(R

24

− R

0

)(r

2

− r

4

) ∧ (r

2

− r

1

) = 0.

(2.28)

Lembrandodadenição 2.0.7temos

m

3

(R

23

− R

0

)∆

231

+ m

4

(R

24

− R

0

)∆

241

= 0.

(2.29)

Logo, dispomosda seguinte expressão

m

3

(R

23

− R

0

)∆

4

− m

4

(R

24

− R

0

)∆

3

= 0.

(2.30)

Do par de equações(2.26) e (2.30),obtemos oseguintesistema linear,







m

3

(R

13

− R

0

)∆

4

− m

4

(R

14

− R

0

)∆

3

= 0

m

3

(R

23

− R

0

)∆

4

− m

4

(R

24

− R

0

)∆

3

= 0.

Representando matri ialmenteesse sistema linear,temos





(R

13

− R

0

)∆

4

−(R

14

− R

0

)∆

3

(R

23

− R

0

)∆

4

−(R

24

− R

0

)∆

3









m

3

m

4





=





0

0 



.

Cal ulandoo determinante damatriz (2.0.4), resulta-nos

−(R

13

− R

0

)(R

24

− R

0

)∆

3

∆

4

+ (R

14

− R

0

)(R

23

− R

0

)∆

3

∆

4

= 0,

e olo andoa expressão emfunção de

∆

3

∆

4

, temos

∆

3

∆

4

((R

14

− R

0

)(R

23

− R

0

) − (R

13

− R

0

)(R

24

− R

0

)) = 0.

(2.31)

Vamos agora introduzir a notação

S

ij

= R

ij

− R

0

, então a equação(2.31) torna-se

S

14

S

23

= S

13

S

24

,

(2.32)

ondeparaa onte eraigualdadedaequação(2.32),supomosquea onguraçãoé olinear.

Analogamente, expandidoaequação(2.22)paraoponto

r

2

,agoraeliminandootermo

(30)

expressão pelo fator

(r

2

− r

4

)

, que a ompanha

m

4

, teremos omo resultado a seguinte expressão,

m

1

(R

12

− R

0

)∆

214

+ m

3

(R

23

− R

0

)∆

234

= 0.

(2.33)

Usemos o mesmo argumento para a equação de

r

4

. Eliminando agora o termo

m

2

quandoexpandimososomatóriodaexpressãode

r

4

,istoé,

P

j6=4

m

j

(R

4j

−R

0

)(r

4

−r

j

) = 0

, e fazemos o produto vetorial desta expressão pelo fator

(r

4

− r

2

)

. Temos omo resultado a expressão

m

1

(R

14

− R

0

)∆

412

+ m

3

(R

34

− R

0

)∆

432

= 0.

(2.34)

Fazendo uso da denição sobre áreas orientadas dos triângulos, as equações (2.33) e

(2.34) tornam-se

m

1

(R

12

− R

0

)∆

3

− m

3

(R

23

− R

0

)∆

1

= 0,

(2.35)

− m

1

(R

14

− R

0

)∆

3

+ m

3

(R

34

− R

0

)∆

1

= 0.

(2.36)

Colo ando asequações (2.35)e (2.36) num sistema linear, temos







m

1

(R

12

− R

0

)∆

3

− m

3

(R

23

− R

0

)∆

1

= 0

−m

1

(R

14

− R

0

)∆

3

+ m

3

(R

34

− R

0

)∆

1

= 0

Matri ialmenteo sistema linear(2.0.4) é dada por





(R

12

− R

0

)∆

3

−(R

23

− R

0

)∆

1

−(R

14

− R

0

)∆

3

+(R

34

− R

0

)∆

1









m

1

m

3





=





0

0 



.

Cal ulandoodeterminantedamatriznosistema(2.0.4) hegamosnaseguinteequação,

R

12

− R

0

)(R

34

− R

0

)∆

1

∆

3

+ (R

14

− R

0

)(R

23

− R

0

)∆

1

∆

3

= 0.

Colo ando a expressão(2.0.4) emfunção de

∆

3

∆

4

, temos

− ((R

23

− R

0

)(R

14

− R

0

) + (R

12

− R

0

)(R

34

− R

0

)) = 0.

(2.37)

Utilizandoa notaçãoque inserimosanteriormente,

S

ij

:= R

ij

− R

0

,temos

(31)

Seguedas equações (2.32) e(2.38) que

S

13

S

24

= S

23

S

14

= S

12

S

34

.

(2.39)

Estas são as equações de ompatibilidade que devem ser satisfeitas para que exista

uma onguração entral.

Estassão su ientes ex etopara apositividadedas massas,quepodem serveri adas

pelafórmuladas razões de massa que segue imediatamentedo argumento a ima:

m

i

m

j

=

∆

i

S

jk

∆

j

S

ik

(2.40)

onde

i, j

e

k

são distintos um dooutro.

Para equações não equiláteras, se o parâmetro

R

0

é eliminado,as equações de razão de massa são simpli adaspara:

m

i

m

j

=

∆

i

(R

jk

− R

jl

)

∆

j

(R

ik

− R

il

)

.

(2.41)

Notamos que quando denimos as regiõesdelimitadas pelos vetores posição, a região

interna do triângulo assume um sinal, positivo ou negativo. Porém, as onvenções de

sinais para área no aso de uma onguração entral onvexa é diferente do aso de uma

onguração entral n ava. Vejamos

a) Para uma onguração entral onvexa tem-se a seguinte onvenção de sinais de

áreas para os triângulos,

∆

1

, ∆

3

< 0

e

∆

2

, ∆

4

> 0

;

b) Para uma onguração entral n ava tem-se a seguinte onvenção de sinais de

áreas para os triângulos,

∆

1

, ∆

2

, ∆

3

< 0

e

∆

4

> 0

.

Dando ontinuidade, na próxima seção vamos denir as equações de Andoyer. Estas

equações que deniremos são mais fá eis de serem trabalhadas vistas pela linha

geomé-tri a.

2.0.5 Equações de Andoyer

Ini iamos denindo uma equação que é onveniente para determinar ongurações

(32)

Denição 2.0.8. As equações de Andoyer om áreas em

R

3

são dadas por

f

ij

=

X

k6=i,j

m

k

(R

ik

− R

jk

)∆

ijk

= 0, 1 ≤ i < j ≤ n,

(2.42) onde

R

ij

= R

ji

= |r

i

− r

j

|

−3

_{= 1/r}

3 ij

e

∆

ijk

= (r

i

− r

j

) ∧ (r

i

− r

k

)

é duas vezes a área om sinal do triângulo formado por

m

i

, m

j

e

m

k

.

Estas equações formam um onjuntode

n(n − 1)/2

equações. Denição 2.0.9. As equações de Andoyer om volumes em

R

3

são dadas por

f

ijh

=

X

k6=i,j,h

m

k

(R

ik

− R

jk

)∆

ijhk

= 0, 1 ≤ i < j ≤ n, h = 1, 2, . . . , n

(2.43) onde

R

ij

= R

ji

= |r

i

− r

j

|

−3

e

∆

ijhk

= (r

i

− r

j

) ∧ (r

i

− r

k

) • (r

h

− r

k

)

é seisvezeso volume om sinal do tetraedro formado

m

i

, m

j

, m

k

e

m

h

.

Teorema 2.0.3. Considere um sistema de

n

- orpos em om massas

m

1

, . . . , m

n

não- olineares, então eles formam uma onguração entral se, e somente se, respeitam as

seguintes ondições

f

ij

= 0,

∀i, j (1 ≤ i < j ≤ n) .

Demonstração: Essa demonstração pode ser vistana tese de [4℄.

Suponhamos que os

n

orpos formam uma onguração entral planar, então, existe

λ

tal que

λr

i

= −

X

k6=i

m

k

R

ik

(r

i

− r

k

) .

(2.44) Istoé equivalentea

λr

i

= −

X

k6=i,j

m

k

R

ik

(r

i

− r

k

) − m

j

R

ij

(r

i

− r

j

) .

(2.45)

Tambémpara

j 6= i

podemosfazer

λr

j

= −

X

k6=i,j

m

k

R

jk

(r

j

− r

k

) − m

i

R

ji

(r

j

− r

i

) .

(2.46)

Considerando a subtração daequação (2.45)e daequação (2.46), tem-se

λ (r

i

− r

j

) = −

X

k6=i,j

(33)

E tomando o produto vetorial por

(r

i

− r

j

)

em ambos os lados da equação (2.47), obtemos

0 = −

X

k6=i,j

m

k

(R

ik

− R

jk

)∆

ijk

= −f

ij

.

(2.48) Logo,

f

ij

= 0

,

∀i, j(1 6= i < j 6= n).

Para a re ípro a, onsideremos que asequaçõesde Andoyer são veri adas, istoé,

f

ij

=

n

X

k6=i,j

m

k

(R

ik

− R

jk

)∆

ijk

= 0,

(2.49)

para

(1 6= i < j 6= n)

. Podemoses rever (2.49)da seguinte forma,

n

X

k6=i,j

m

k

R

ik

(r

i

− r

j

) ∧ (r

i

− r

k

) =

n

X

k6=i,j

m

k

R

jk

(r

i

− r

j

) ∧ (r

i

− r

k

),

(2.50) ou seja,

(r

i

− r

k

) ∧

n

X

k6=i

m

k

R

ik

(r

i

− r

j

) =

n

X

k6=j

m

k

R

jk

[r

i

∧ (r

j

− r

k

) + (r

j

∧ r

k

)].

(2.51)

Denote

∇

i

V

por

F

i

. Vemos que (2.51) pode ser es rita omo:

(r

i

− r

j

) ∧

F

i

m

i

=

n

X

k6=j

m

k

R

jk

[r

i

∧ (r

j

− r

k

) + (r

j

∧ r

k

)].

(2.52)

Podemos inserir àdireita daigualdade (2.52) o termo

−r

j

sem alterá-la,obtendo

(r

i

− r

j

) ∧

F

i

m

i

=

n

X

k6=j

m

k

R

jk

[r

i

∧ (r

j

− r

k

) + r

j

∧ (−r

j

+ r

k

)],

(2.53)

rearranjando o lado direitoda equação (2.53),temos

(r

i

− r

j

) ∧

F

i

m

i

= (r

i

− r

j

) ∧

F

j

m

j

,

disto segue,

(r

i

− r

j

) ∧ (m

j

F

i

− m

i

F

j

) = 0.

(2.54)

Fazendoo produto vetorial termo atermo em(2.54), obtemos

(34)

e segue

m

j

r

i

∧ F

i

− m

i

r

i

∧ F

j

− m

j

r

j

∧ F

i

+ m

i

r

j

∧ F

j

= 0.

Podemos somar em

j

om

j 6= i

, obtendo:

(M − m

i

)r

i

∧ F

i

− m

i

r

i

∧

n

X

j6=i

F

j

−

n

X

j6=i

m

j

r

j

!

∧ F

i

+ m

i

X

j6=i

r

j

∧ F

j

= 0,

(2.55)

onde M é a massa total do sistema. E, onsiderando o entro de massa na origem do

referen ial,temos

n

X

j=1

m

j

r

j

= 0 ⇒

n

X

j6=i

m

j

r

j

= −m

i

r

i

.

(2.56)

Como o espaço é homogêneo e isotrópi oe o sistema é isolado, temos que as

quanti-dades de momento lineartotal emomentoangular total são onservadas. Então,

respe -tivamente, temos

n

X

j=1

F

j

= 0 ⇒

n

X

j6=i

F

j

= −F

i

(2.57) e

n

X

j=1

(r

j

∧ F

j

) = 0 ⇒

n

X

j6=i

(r

j

∧ F

j

) = (−r

i

∧ F

i

).

(2.58) Substituindo (2.56),(2.57) e (2.58)em (2.55),obtemos

Mr

i

∧ F

i

− m

i

r

i

∧ F

i

+ m

i

r

i

∧ F

i

+ m

i

r

i

∧ F

i

− m

i

r

i

∧ F

i

= 0.

Assim,

Mr

i

∧ F

i

= 0

, logo

λ

j

m

j

r

j

∧ (r

i

− r

j

) = 0.

Assim,

−

_m

λ

i

r

i

∧ r

j

−

λ

j

m

j

r

j

∧ r

i

= 0,

logo,

λ

i

m

i

−

λ

j

m

j

(r

j

− r

i

=

λ

j

m

j

= λ,

(35)

para todo

i, j

. Portanto,

¨

r

i

= λr

i

,

para todo

i = 1, 2, 3, . . . , n

, omo queríamosdemonstrar.

2.0.6 Apli ações das equações de Andoyer

Mostraremos duas apli açõesdas equaçõesde Andoyer, aprimeirasendo adeterminação

da onguraçãoplanar de Lagrangepara

3

orpos.

Teorema 2.0.4. A úni a onguração entralde três orpos, não olinear, é o triângulo

equilátero om massas arbitrárias nos vérti es.

Demonstração:Neste aso usamosas equações de Andoyer para áreas, istoé, temos

3

equações de Andoyer, que são,

f

12

= m

3

(R

13

− R

23

)∆

123

= 0,

f

13

= m

2

(R

12

− R

23

)∆

132

= 0,

e

f

23

= m

1

(R

12

− R

13

)∆

231

= 0.

Pela positividade das massas, ou seja,

m

i

> 0

e

∆

ijk

6= 0

, temos que,

R

12

= R

13

= R

23

, isto quer dizer que as massas

m

1

, m

2

e

m

3

estão nos vérti es de um triânguloequilátero, onde as massas podem assumir quaisquer valores positivos.

Teorema 2.0.5 (Mediatriz). Considere uma onguração entral planar, formada por

n

massas positivas

m

1

j

. Estas duas retas denem dois ones abertos no plano. Então, se existem massas num dos ones abertos, devemos ter também massas no outro one. Em outra palavras,

se as

(n − 2)

massas restantes perten essem a apenas um one aberto não teríamos uma onguração entral.

(36)

PSfrag repla ements

r

1

r

2

Figura2.5: Não pode seruma onguração entral.

PSfrag repla ements

r

1

r

2

Figura2.6: Podeser uma onguração entral.

Demonstração: Não há perda de generalidade se renomeamos os índi es

i

e

j

por

1

e

2

. Suponhamos, por ontradição, que as massas

m

3

, . . . , m

n

estão ou num úni o one aberto ousobre oeixobissetor,mas não todas sobre oeixo,poissenãoainda poderíamos

ter uma onguração entral.

Comoporhipótesetemosuma onguração entralplanar,todasas

n (n − 1) /2

equa-ções de Andoyer são satisfeitas;em parti ular

f

12

=

n

X

k=3

(37)

Podemos olhar as retas passando pelos orpos

m

1

e

m

2

bissetando o segmento omo eixos que dividem o plano em

4

quadrantes ordenados i li amente, omo usual. Dessa forma,um one abertoformado pelauniãodoprimeiroeter eiro quadrantes abertos e,o

outro one aberto pela uniãodo segundo e quarto quadrantes abertos.

Assim,vamossuporqueexistammassas noprimeiroeter eiroquadrantes e,

possivel-mente sobre os eixos. Vamos tomar a soma a ima em

3

par elas, da seguinte maneira, o índi e

l

denotará termos noprimeiro quadrante,

k

no ter eiroquadrante e

i

os termos sobre a bissetriz. Assim

f

12

=

X

l

m

l

(R

1l

− R

2l

) ∆

12l

+

X

k

m

k

(R

1k

− R

2k

) ∆

12k

+

X

i

m

i

(R

1i

− R

2i

) ∆

12i

.

(2.60)

A prin ípio, notemos que os termos da ter eira soma são todos nulos, pois sobre a

bissetriz

R

1i

= R

2i

, ou seja, as distân ias

1/r

3 1i

e

1/r

3 2i

são iguais. Então

(R

il

− R2i)

é zero, portanto

3

X

i=1

(R

1i

− R

2i

) ∆

12i

= 0.

(2.61)

Donde, resulta-nos que

f

12

=

X

l

m

l

(R

1l

− R

2l

) ∆

12l

+

X

k

m

k

(R

1k

− R

2k

) ∆

12k

= 0.

(2.62)

Estudemos osinal dos termosdaprimeirasoma; lembremosque dadosos dois pontos

ini iais etraçada alinha quepassa por estesdois pontosa áreado ladoesquerdo dareta

tem sinal positivoe, olado diretosinal negativo.

Vemos que

∆

12l

> 0

para todo

l

, e, temosa seguinte impli ação,

r

1l

> r

2l

⇒ R

1l

< R

2l

,

(2.63)

ou seja,todos os oe ientes das massas naprimeira soma tem sinal positivo, assim,

X

l

m

l

(R

1l

− R

2l

) ∆

12l

> 0.

(2.64)

Para os termos dasegunda soma, temos

∆

12k

< 0

, para todo

k

e,

(38)

Logo, todos os oe ientes das massas na segunda soma tem sinal positivo também,

istoé,

X

k

m

k

(R

1k

− R

2k

) ∆

12k

> 0.

(2.66)

Ora, mas isso ontradiz aequação (2.62).

Logo, as

(n − 2)

massas não estão num úni o one aberto ou todas sobre abissetriz.

Vamosagoraenun iarum orolárioe,emseguidavamosprová-loutilizandooTeorema

da Mediatriz.

Colorário 1. Para uma onguração entral planar não- olinear

r ∈ (R

2

₎

4

om massas

positivas, a área interna ompreendida entre os vetores posição

r

i

, r

j

, r

k

da onguração é não-nula.

A provado Corolário1pode ser vistaem [7℄.

Façamosagora a provado Corolário1, om o auxíliodoTeoremadaMediatriz 2.0.5.

Demonstração: A provaserá feitapor ontradição.

Admita que

r

1

, r

2

e

r

3

são olineares. Pi tori amente representamos tal situação na Figura 2.7.

PSfrag repla ements

r

1

r

2

r

3

r

4

l

Figura2.7: onguração olinear.

Traçando amediatrizdosegmento

r

2

r

3

,ouseja, areta

l

, temos oseguinte panorama. Se a massa

m

4

situa-se do lado direito da retal

l

, vemos que só um one aberto do planopossuimassas,entretanto,sabemos queistoéuma ondição su ienteparaquenão

(39)

1

r

2

.

Eassim está provado oCorolário 1

Tendoemvistaaimportân iadoestudode ongurações entraisdentrodaMe âni a

Celeste, vamostratarnoCapítulo3doTeoremade Existên iapara ongurações entrais

onvexas, istoé,aoxarmos três massas,atravésdoTeoremade Existên ia mostraremos

que aquarta massa,

m

4

, estando foradofe ho onvexodelimitadopelas massas

m

1

, m

2

e

(40)

Congurações entrais onvexas

Dentro doestudo de ongurações entrais no problema de

n

orpos, podemos per eber que as ongurações entrais onvexas noproblema de

4

orpossão melhores ompreen-didas do que ongurações entrais n avas, ou seja, essa evidên ia sugere que

ongu-rações n avas têm uma estrutura mais ompli ada doque ongurações onvexas.

Sabendo disso, vamos estudarum resultado queapare e natese de Hampton[5℄

mos-trado por Ma Millane Bartky, vide[8℄.

3.0.1 Teorema de existên ia

Teorema3.0.1. Dados

k

0

, k

12

, k

34

, k

13

> 0

reais,existeuma onguração entral onvexa tal que

k

0

= r

0

,

max (r

12

, r

23

, r

14

, r

34

) < r

0

< min (r

13

, r

24

)

e as razões de massas são dadas por

m

1

m

2

= k

12

,

m

3

m

4

= k

34

,

m

1

m

3

= k

13

.

Demonstração: NademonstraçãodeHampton,vide[5℄,tomou-seasmassas

m

1

, m

2

, m

3

e

m

4

om posições

r

1

, r

2

, r

3

e

r

4

, respe tivamente, estas estão ordenadas no sentido anti-horário. Analisando as equações de razão de massa, pode-se determinar que todas as

massas são positivas para a desigualdade

max (r

12

, r

23

, r

14

, r

34

) < r

0

< min (r

13

, r

24

)

ser satisfeita.

F

V

_U

P

Figura 3.1: Ponto de iní ioda onstrução onvexa.

O primeiro e o segundo ponto da onguração foram rodados para se en ontrarem

numa linha horizontal, e o semi ír ulo de raio

r

0

desenhado em torno de ada um deles. Seja

r

1

o ponto da esquerda. Os dois ar os

F

e

G

na gura 3.1 são as distân ias de um ír ulo de raio

r

0

entrado nainterseção

P

.

A região

U

é denida omo sendo a interseção do interior dos semi ír ulos de raio

r

0

em torno do segundo ponto,

V

tal queos

4

pontosformam uma onguração entralpara alguma dada massa vetorial.

A m de que

r

0

satisfaça asdesigualdades doTeorema 3.0.1 nós devemos restringiro quarto pontonaregião