Radiação de Corpo Negro do Campo Escalar.

RADIAÇO DE CORPO NEGRO DO CAMPO

ESCALAR

Tiago Gar ia Ribeiro

Tiago Gar ia Ribeiro

RADIAÇO DE CORPO NEGRO DO CAMPO ESCALAR

Dissertação submetida ao Programa de PósGraduação em

Físi a omo parte dos requisitos para obtenção do Título de

Mestre emCiên ias emFísi a.

Área de on entração: Teoria de Campos, Gravitação e

Cosmologia

Orientador: Prof. Dr. Edisom de Souza Moreira Junior

Agosto de 2014

Tiago Gar ia Ribeiro

RADIAÇO DE CORPO NEGRO DO CAMPO ESCALAR

Dissertação aprovada por ban a examinadora em 14 de

agosto de 2014, onferindo ao autor o título de Mestre em

Ciên ias em Físi a.

Ban a Examinadora:

Prof. Dr. Edisomde SouzaMoreira Junior (Orientador)

Prof. Dr. Antonio Soares de Castro

Prof. Dr. Rero Marques Rubinger

Agosto de 2014

Dedi o este trabalho à minha família: João, Nilda e Filipe.

Eles me in entivaram a onhe er o universo! Porém,

"Cultivaras iên iase não amar osseres humanosé omo

a ender uma to hae fe har osolhos."

Agradeçoantes de tudoaDeus, aforçamaiorque metorna apazde a ordartodos os

dias e ir em bus a dos meus sonhos. A todos os meus familiares, em espe ial a meu pai

João, minha mãe Nilda emeu irmão Filipe. Não disponho de espaço aqui para

agrade ê-losportudoquezeram, eainda fazem, pormim. Pelaforçaquesempreme on ederam,

às horas de atenção, à onança depositada. Agradeço também aos familiares da minha

namorada e em espe ial a ela, Rafaela. Não tenho palavras para dizer tudo que esta fez

por mim. O apoio que sempre me deu, a onança, o arinho, o respeito pelas minhas

de isões.

À toda omunidade UNIFEI que me propor ionouum ambiente de estudo,ao qualsó

tenho a agrade er. Aos professores do mestrado em físi a om os quais tive a

oportuni-dade de aprender muito mais que a beleza da iên ia,aprendi exemplos de grandes seres

humanos. Dentre esses professores agradeço em espe ial ao meu orientador, Edisom de

Souza Moreira Jr.,pelo omprometimento om o desenvolver deste trabalho, o respeito a

mim, oexemplo, o in entivo. As inúmeras horas de dis ussão sobre afísi a que tive om

eleduranteestetrabalhorepresentam, om erteza,amaiorpartedoaprendizadoquetive

duranteo mestrado.

Agradeço a todos os meus professores e amigos de graduação, os quais sempre me

in entivaram a seguir em frente. Em espe ial ao Thiago Bonifá io, que sempre se fez

presenteemtodomeumestrado,pelapa iên iaemes utarminhasintermináveis onversas,

re lamações edesabafos. Tambémde formamuito espe ial, agradeço aRafael Estevão e,

em memória, a seu pai Rozimar Estevão. Este, ao fale er no iní io de 2012, fez om que

aqueledesistisse devirparaomestrado omigo,me deixandoassimadifí ilquestão: omo

Guimarães. Ele foi a inspiração para que eu bus asse prosseguir nos estudose o exemplo

de professor quesempre bus arei seguir.

Eporúltimo,masnãomenosimportante,agradeçoatodososamigosquezemItajubá

duranteomestrado. Aos meusamigosde repúbli a, dasalade estudodos mestrandosem

físi a e matemáti a, aos amigos e também vizinhos da travessa Dr. João de Faria e de

forma geral aos amigos que z no bairro Cruzeiro. Vo ês foram minha família durante

No presente trabalho estudaremos a radiação de orpo negro do ampo es alar om

massa em dimensões arbitrárias, onde ini ialmente desenvolveremos toda a dinâmi a

re-la ionada a este ampo mediante um prin ípio de mínima ação, obtendo a equação de

movimento, o tensor energia-momento, e ainda, apresentando uma possível gravitação

relativísti a des rita em termos do ampo es alar. Em seguida onsideraremos o ampo

onnadoauma avidadeemumespaço

(N

−1)

-dimensional,oquenospermitirá quantizá-lo. Cal ularemos, pela apli ação do ensemble anni o, as quantidades termodinâmi as

rela ionadas aosistema emquestão para massa e dimensões arbitrárias, sendoesta nossa

prin ipal ontribuição. As referidas quantidades termodinâmi as serão omparadas, no

limite de massa nula, om osresultados orrespondentes no eletromagnetismo.

Visandoexplorardeformamaisdetalhadaosefeitosdamassanaradiaçãode avidade

do ampo es alar, tomaremos o aso parti ular quadridimensional, apresentando as

pri-meiras orreções de massa nas quantidadestermodinâmi as. Assim, o omportamentode

nosso sistema pode ser fa ilmente omparado om o previsto por Plan k para a radiação

de orponegrodo ampode Maxwell. Finalmente,investigaremosadistribuiçãoespe tral

dadensidadedeenergianointeriorda avidade, obtendoasleisdePlan k,Rayleigh-Jeans

e Wien para o aso om massa. In lusive, apresentamos o omportamento espe tral da

intensidadedeenergiaemitidaatravésde umfuroemumadas paredes da avidade, assim

omo a leide Stefan-Boltzmannpara massa não nula.

In the present work we study the bla k-body radiation of a massive s alar eld in

arbitrary number of dimensions. Initially we develop the whole dynami s related to this

eld through the prin iple of least a tion, obtaining its equation of motion, its

energy-momentum tensor, and further, presenting a possible relativisti theory for gravity

des- ribed in terms of the s alar eld. Then we onsider the s alar eld onned in a avity

of volume

V

, in a

(N

− 1)

-dimensional spa e, whi h allows us to quantize the eld. We al ulate using the anoni al ensemble the thermodynami quantities related to the

sys-tem, whi h is our main ontribution. Su h thermodynami quantities are ompared, in

the limitofzero mass,with the orresponding resultsfor the ele tromagneti eld.

Aiming to investigate in more detail the ee ts of an arbitrary mass to the s alar

radiation in the avity, we take the parti ular ase of

N

= 4

, presenting the rst mass orre tions to the thermodynami quantities. Thus, the behavior of our system an be

easily omparedwiththatpredi tedby Plan ktothebla k-bodyradiationoftheMaxwell

eld. Finally,we investigate the spe tral distribution of energy density inthe interior of

the avity, obtainingthe Plan k, the Rayleigh-Jeansand the Wienlaws forthe ase with

mass. Wealsopresentthespe tralbehavioroftheradian e,aswellasStefan-Boltzmann's

lawfor smallmasses.

Agrade imentos iv Resumo vi Abstra t vii Índi e viii Lista de Figuras x 1 Introdução 1 2 O ampo es alar 5

2.1 A ação e otensor energia-momentodo ampoes alar . . . 7

2.2 Umagravitação es alar . . . 9

3 Me âni a estatísti a da radiação es alar 18

3.1 Quantidades termodinâmi as. . . 23

3.2 Termodinâmi adaradiaçãoes alar sem massa . . . 28

3.3 A pressão por onsiderações inéti as . . . 31

4 Termodinâmi a da radiação es alar em

N

= 4

34

4.1 Comportamento emprimeiras orreções de massa . . . 37

5 Espe tro de orpo negro da radiação es alar 43

5.1 As leisde Rayleigh-Jeanse Wien om massa . . . 46

A A energia total em termos das funções modi adas de Bessel 66

B Valor médio quadráti o do ampo es alar

hφ

2

_i

68

2.1 Em(a) omparamosasprediçõesdasórbitasplanetáriasfeitasporNewtonepela

gra-vitaçãoes alar desenvolvidaneste apítulo,mostrando oretro essodoperiélio (

ϕ

= 0

)

previsto poresta última. Já em (b), mostramos oreal omportamento doperiélio em

relaçãoaoresultadodeNewton, sendoumavanço, omoprevisto orretamentepela

re-latividade geral. Confe ionamosas guras(a) e(b) a partirde (2.67) edo resultado

einstenianonaliteratura[1,13℄,respe tivamente. . . 17

4.1 Comportamentodapressão

P

omofunçãodatemperatura

T

, emquatrodimensõese

valoresdiferentes paraamassadosbósons. As onstantes

~

,

c

e

k

B

foramfeitasiguais

aum. . . 35

5.1 Adistribuiçãoespe tralparaadensidadedeenergianointeriorda avidade,a

tempera-tura onstanteediferentesvaloresdemassaparaosbósons. . . 45

5.2 Comportamentodadistribuiçãoespe tral dadensidadede energianointeriorda

avi-dadeabaixasfrequên ias,temperatura onstanteediferentes valoresparaamassados

bósons. As urvassólidasrepresentamo omportamentoexatoprevistopelateoria,que

nas frequên ias onsideradas se aproximam da lei de Raleigh-Jeans generalizada para

massanãonula,dadapelas urvasdemesma orempontilhado. . . 48

5.3 Limite de altas frequên ias para a distribuição espe tral da densidade de energia no

interiorda avidadeàtemperatura onstanteediversosvaloresdemassaparaosbósons.

As urvassólidassãoas previsõesexatas da teoria ommassa esão bem des ritas,no

limite de frequên ias onsiderado, pela lei de Wien generalizada para massa não nula

( urvaspontilhadas ommesma or). . . 49

5.4 Velo idadedosbósonsna avidadeparamassasdiferentesdezero. As onstantes

~

,

k

B

emitidaporunidadedeáreanaunidadedetempoparaseuexterior,aumatemperatura

xa,eparabósonsdemassasdiferentes. As urvaspontilhadasmostramaintensidadede

energiaemitidapela avidadeem relaçãoàdensidadedeenergianoseuinterior, urvas

sólidasdemesma or. . . 58

5.6 Distribuiçãodaintensidadeparaoespe trode orponegrodoSol. A urvaemnegrito

representa asituaçãoreal, emuma es alaondea temperaturado Solé

1

. Enquanto a

urvaemazulrepresentao omportamentoespe traldaintensidadeemumatemperatura

naqualoSolpossuiriaafrequên iade máximaemissãoigualadeuma estrelasimilar,

masemumasituação ondeosbósonspossuíssemuma massanãonula, urvaemverde.

Introdução

O ampo es alar foi en arado durante muito tempo omo um modelo,

matemati a-mente mais simples, onveniente à introdução de formalismos teóri os ara terísti osdas

teorias de ampo da físi a relativísti a, sejam estas, teorias quânti as ou lássi as. Essa

restrição do ampo es alar a toy model foi justi ada, até pou o tempo, pela sua

au-sên ia de manifestação na natureza. Assim, até então, os fenmenos observados e seus

orrespondentes modelos teóri os se limitavama outros ampos, em parti ular o ampo

vetorialdes revendo oeletromagnetismoeo ampotensorialdes revendoagravitação[1℄.

No entanto, dados re entes apontam para um imediatoabandono do ampo es alar

ape-nas omo re urso didáti o, resultando sua direta in lusãona lista de ampos si amente

observados [2,3℄.

Aprimeiraevidên iaexperimentalque omprovaumateoriabaseada no ampoes alar

o orreuem meados doano de 2012, quando experimentos realizados no LHC (Large

Ha-dron Collider) dete taram uma partí ula om ara terísti as similares às esperadas para

um bóson de Higgs[2℄. As expe tativas foram omprovadas, e em2013, François Englert

e Peter W. Higgs re eberam o Nobel de Físi a por seus modelos teóri os que previam o

bóson.

O bóson de Higgs é uma partí ula elementar de spin zero asso iada a um ampo

es alar,o ampode Higgs[4℄. Este ampofoiproposto ini ialmenteparadar onsistên ia

ao modelo eletrofra o, noqual as partí ulas mediadoras das interações eletromagnéti a e

pormeiodainteração omo ampodeHiggs. Neste ontexto,a omprovaçãoexperimental

dobósondeHiggssetornouimportanteporsuain orporaçãoaomodelopadrãodafísi ade

partí ulaselementares. Nestemodelo,o ampodeHiggsquepermeiatodoouniverso seria

responsável por onferir massaa todas as partí ulas elementares, emespe ial, aos bósons

vetoriais da interação fra a, sendo que o valorda massa de uma partí ulaé determinado

pelaintensidade dasua interação om o ampode Higgs[4℄.

Oanún iomais re entede resultados experimentais, quepodem omprovaroutro

mo-delo teóri o que leva em onta o ampoes alar, foi feito emmarço deste ano pelaequipe

de pesquisadores do experimento BICEP2. No artigo que relata o experimento, é

onr-madaadete çãodosmodosBdepolarizaçãodaradiação ósmi ade fundoemmi roondas

(CMB) [3℄. Esse tipo de radiação eletromagnéti a é proveniente do big bang e hega até

nós trazendo onsigoinformaçõesdos instantes ini iais donosso universo.

Na osmologiaatuala redita-se queo universo, emum instanteini ial logoapósobig

bang,tenha passadoporum período, onhe idonaliteratura omoperíodode inação,no

qualeleseexpandiuexponen ialmente. A osmologiaqueseatémaoestudodesteperíodo

é onhe ida omo osmologia ina ionária, e foi proposta ini ialmente por Alan Harvey

Guth para sanar algumasde iên iasda velha osmologia[5℄. Nos modelosina ionários

propostos, em espe ial o de inação aóti a por Andrei Linde, o rápido res imento do

universo é asso iado a um ampo es alar om massa, o inaton. É o estado ini ial deste

ampoquedeterminaoquanto,e omo,ouniversoprimordialseexpandiu. Emparti ular,

se o inaton foi ini ialmente muito grande, o modelo de Linde prevê um res imento

exponen ial douniverso logo apóso big bang [6℄.

O modelo ina ionário também sugere uma geração de ondas gravita ionais durante

o res imento exponen ial do universo. A presença dessas ondas produziria um padrão

úni onapolarizaçãodaradiação ósmi ade fundo,sendoomodoB,umadaspolarizações

a exibir tal padrão. Portanto, além de validarem o modelo osmológi o ina ionário,

os dados do BICEP2, representam a primeira imagem do que podemos hamar de uma

assinatura das ondasgravita ionais nahistória douniverso.

ientí a omoumtodo,bus andonãoapenasa omprovaçãodosmodelosexistentes,mas

o avanço e melhoramentodos dadosjá obtidos, omo também, novos modelos teóri osde

amposes alares. Porexemplo,uma one çãoentreohiggseoinaton,oquepoderialevar

a um ampo de essen ial importân ia,ou talvez fundamental,para o universo observável

de hoje.

Neste trabalho, motivados pelonovo horizonte que se abre à físi a do ampo es alar,

estenderemos aeste últimoalgunsestudosjárealizados paraoutros ampos. Emespe ial,

estudaremos a radiação de orpo negro, omumente tratada para o ampo

eletromagné-ti o. Consideraremos um ampo es alar om massa em dimensões arbitrárias, e a todo

momentoestaremosinteressadosem onfrontarnossosresultados omosjáexistentes para

o eletromagnetismo, mostrando assim, omo os trabalhos de Plan k para a radiação

ele-tromagnéti a podem ser desenvolvidos em nosso ontexto, e omo o aráter es alar e a

massa afetam osresultados obtidos. Neste intuito, generalizaremos emprimeira orreção

de massa e em quatro dimensões, as quantidades termodinâmi asasso iadas ao sistema,

assim omo obteremos as leis de Wien, Rayleigh-Jeans e a própria lei da radiação de

Plan k.

Paraesseobjetivo,noCapítulo2destetrabalho,apresentaremosumaabordagemgeral

do ampoes alar no ontexto relativísti oquein lui o omportamentofrente às

transfor-mações de Lorentz, um prin ípio de mínima ação que leve à equação dinâmi a satisfeita

pelo ampo(equação deKlein-Gondon),assim omootensorenergia-momentoeas

quan-tidades rela ionadas a este tensor. Veremos que a partir dasua dinâmi a somos levados,

à primeiravista, a indi ar o ampo es alar omo o mais evidentepara ainserção da

gra-vitação universal no ontexto relativísti o. No entanto, mostraremos que tal expe tativa

não é onrmada.

De posse do formalismo a er a do ampo es alar, no Capítulo 3 nos ateremos à

me- âni a estatísti a da radiação es alar onnada em uma avidade

(N

− 1)

-dimensional de volume

V

, onde primeiramente quantizaremos o ampo e em seguida apli aremos o formalismodoensemble anni o aosistema. Talformalismonos permitirá al ulartodas

as quantidades termodinâmi as de uma formageral, para massa e dimensões arbitrárias,

quantida-desenvolvidoporPlan k, omotambém, omresultadosdatermodinâmi adaradiação

de-senvolvidaporBoltzmannanteriormenteaos trabalhos plan kianos. Cal ularemos,ainda,

a pressãonas paredes da avidade por onsiderações puramente inéti as.

No quarto apítulo apresentaremos a termodinâmi a da radiação es alar, agora, em

quatro dimensõeseprimeira orreçãode massa. Para isso, adequaremosaestas ondições

asquantidades termodinâmi as omoenergiainterna,pressão, apa idadetérmi a,a

pró-pria equação de estado, entre outras, já al uladas no apítulo anterior. Partindo desse

ponto,exploraremoso omportamentodetaisquantidades,assim omo,astransformações

termodinâmi as, fo ando em espe ial nas modi ações impostas pela massa.

Apresenta-remos,semprequepossível,um esboçográ odoqueestá sendoanalisado, omotambém

o onfronto om os resultados para oeletromagnetismo.

Com os estudos desenvolvidos anteriormente, no Capítulo 5, que é o fo o deste

tra-balho, estaremos interessados no espe tro de orpo negroda radiaçãoes alar om massa.

Esboçaremosadensidade de energia na avidade, número totalde bósons eaintensidade

de energia irradiada, em função da frequên ia, da temperatura e da massa.

Generaliza-remos assim as leisda radiaçãode orpo negro de Plan k, Wien, Rayleigh-Jean e

Stefan-Boltzmann, in lusive a lei de deslo amento de Wien. Como em todo o trabalho, essas

leisgeneralizadasserãodis utidas emparalelo omasoriginaispara aradiação

eletromag-néti a. Em espe ial, estaremos preo upados em extrair novas interpretações do espe tro

de orpo negro devido à massa, o que fazemos omparando nossos resultados para a

ra-diação de orpo negro do ampo es alar om massa (bósons de spin zero e massa não

nula) aos resultados onhe idos na literatura para a radiação de orpo negro do ampo

eletromagnéti o (bósons de spin um e massanula).

Por m, no último apítulo, apresentaremos as on lusões gerais de todo o estudo

desenvolvido, juntamenteàperspe tivade trabalhosfuturosepossíveisapli açõespráti as

dos resultados aquidispostos.

Con luindoestaintrodução,gostaríamosde salientarquenossa ontribuiçãoaoestudo

da me âni a estatísti a do ampo es alar reside essen ialmente em onsiderarmos massa

arbitrária

M

eumespaço-tempo omnúmeroarbitráriodedimensões

N

. Nossosresultados serão oportunamentesubmetidos à publi ação.

O ampo es alar

O prin ípioda relatividade espe ial de Einstein arma que as leis da natureza são as

mesmas em todos os sistemas de referên ia iner iais, e que a velo idade de propagação

das interações é uma onstanteuniversal igual à velo idade da luzno espaçovazio:

c

[7℄. Este prin ípio está em pleno desa ordo om o prin ípio da relatividade de Galileu, que

assumeuma velo idadedepropagaçãodas interaçõesinnita,esobre oqualrepousatoda

a me âni a newtoniana. Em virtude desta ontradição, a me âni a relativísti a traz um

novo onteúdo de interpretaçõesfísi asantes omitidasname âni a lássi a. Emespe ial,

narelatividadedeEinsteinotemponãoapresentaum aráterabsoluto omoparaNewton

eGalileu, esim,tempoe espaçoapare emmes lados dentrode umaestrutura mais geral:

o espaço-tempo. A simetriaque governa esta estrutura é asimetria dogrupode Lorentz,

oude formamais ampla,o grupo de Poin aré,e a onexão entre ossistemasde referên ia

iner iais édada pelas transformaçõesde Lorentz.

Se asleisdanatureza são regidas poroutra simetria,que não ade Galileo, um ampo

es alarnão transmite maisaideia de umagrandeza físi aquea ada instantede tempo

t

, asso iaatodopontonoespaçodado por

1

x

= (x, y, z)

, umaquantidade

φ(x, t)

invariante sob transformaçõesde Galileo. Mas agora,uma quantidadesimilar, porém invariantepor

transformaçõesde Lorentz. Assim,

φ

se omporta da seguinte maneira 2

[8,9, 10℄,

φ

′

(x

′µ

) = φ(x

µ

),

(2.1) 1

Asquantidadesemnegritorepresentamvetores.

2

AdotamosemtodoestetrabalhooespaçoquadridimensionaldeMinkowskiesuanotaçãode

onde

x

= (x

, x

, x

, x

) = (ct, x, y, z)

é um ponto no referen ial iner ial

K

e

x

=

(x

′0

_{, x}

′1

_{, x}

′2

_{, x}

′3

_{) = (ct}

′

_{, x}

′

_{, y}

′

_{, z}

′

₎

um ponto no referen ial iner ial

K

′

, sendo

x

′µ

dado pela transformação de Lorentz, 3

x

′µ

= Λ

µ

ν

x

ν

,

(2.2) om

η

µν

= η

αβ

Λ

α

µ

Λ

β

ν

, onde

η

µν

_{= (1,}

_{−1, −1, −1)}

é a métri ade Minkowski.

Nafísi a lássi a, os amposes alares mais onhe idos apare em nateoriada

gravita-ção universal newtoniana e na teoria eletrostáti a de Coulomb. Em ambos os ontextos

φ(x)

é um ampo invariante de Galileo que representa, respe tivamente, os poten iais gravita ional e elétri o, ujo o gradiente leva à expressão para a força nos dois asos. A

equação satisfeita por

φ(x)

naausên ia de fontes, tantonaeletrostáti a omo na gravita-ção, é a equaçãode Lapla e[7, 11, 12℄

∇

2

_{φ(x) = 0,}

(2.3)

onde

∇

2

é ooperador de Lapla e dando odivergente dogradiente.

No ontexto da relatividade espe ial, a equação satisfeita por um ampo es alar será

uma generalização da equação (2.3) para um ampo que satisfaz (2.1). A forma mais

simples dessa equação édada por 4

∂

µ

∂

µ

φ

(x) = φ(x) = 0,

(2.4) em que

∂

µ

:=

∂

∂x

µ

=

 1

c

∂

∂t

,

∂

∂x

,

∂

∂y

,

∂

∂z



=



∂

∂x

0

, ∇



,

(2.5) sendo

∂

µ

_{= η}

µν

_∂

ν

e



é o operadorde d'Alembert denido omo

 =

∂

2

c

2

_∂t

2

− ∇

2

_.

(2.6)

Pela regra de transformação (2.2), vemos que o operador (2.6) é invariante por

transfor-maçõesde Lorentz, e quetomando

φ(x)

nolimite newtonianode ampo estáti oebaixas velo idades(

c

→ ∞

),a equação (2.4) re upera (2.3).

3

Estamos onsiderandoaquia onvençãodasomadeEinstein.

4

Daquipordianteomitiremos,porsimpli idade,oíndi eem

x

µ

Comodito a ima, aformamais simples de generalizara equação (2.3) paraa

relativi-dade espe ial éatravés de (2.4). Podemosadi ionarqualquer outra quantidadees alarao

lado esquerdo desta equação, tal que, sob transformações de Lorentz, a ovariân ia seja

preservada. Podemos, por exemplo,tomar

( + α

2

)φ(x) = 0,

(2.7)

onde

α

é uma onstante. A equação a ima é onhe ida na literatura omo equação de Klein-Gordon. No entanto, a proposta original dos trabalhos de Klein, Gordon e outros

físi os daépo a era formular uma versão relativísti ada equaçãode S hrödinger[10℄.

Nateoria quânti a de ampos(2.7) des reve partí ulas de spin nulo(bósons) e massa

M

, omo por exemplo, o bóson de Higgs e os mésons es alares [8, 13℄. A informação sobre a massa do bóson está presente na onstante

α

, que a identi amos omo sendo

α

=

M c

~

,

~

a onstate de Plan k divididapor

2π

.

φ(x)

neste ontexto éum ampoes alar (real)geralmentenomeadosegundoapartí ulaasso iada. Assim, nosexemplosanteriores,

φ(x)

é o ampo de Higgs e de mésons, respe tivamente. Nos apítulos posteriores deste trabalho,estaremosinteressadosemdes reveraradiaçãode orponegrodo ampoes alar,

tendo omo ponto de partidaa equação (2.7).

2.1 A ação e o tensor energia-momento do ampo

es a-lar

A equação (2.7) pode ser obtida a partir do prin ípio de mínima ação de Hamilton,

poruma ação daforma 5

S

f ield

=

Z

L(φ, φ

,µ

)d

4

x

=

1

2

Z

(η

µν

φ

,µ

φ

,ν

− α

2

φ

2

)d

4

x,

(2.8) onde

d

4

_x

_{= cdtdxdydz}

e

L(φ, φ

,µ

)

é a densidade lagrangiana que depende de

φ

e sua derivada emrelaçãoa

x

µ

. Variando(2.8) om respeito a

φ

eseguindo passossemelhantes aosquenoslevamàsequaçõesdeEuler-Lagrangename âni a lássi a,obtemosaequação

satisfeita por

φ

[1,8℄,

∂

µ

∂

_L

∂φ

,µ

−

∂

_L

∂φ

= 0.

(2.9) 5

Tambémpodemosdenirumadensidadehamiltoniana,des revendoadensidadedeenergia do ampo, daforma

H =

_∂φ

∂

L

,0

φ

,0

− L = π

0

φ

,0

− L,

(2.10) sendo

π

µ

=

∂

L

∂φ

,µ

(2.11)

uma quantidade similar aomomento anni o name âni a.

Da segunda igualdade de (2.8) temos que

L(φ, φ

,µ

) =

1

2

(η

µν

_φ

,µ

φ

,ν

− α

2

φ

2

).

(2.12)

Considerando este valorde

L

em(2.9) e usandoo resultado de

∂

_L

∂φ

,µ

= η

µν

φ

,ν

,

(2.13) somos levados a

η

µν

∂

µ

∂

ν

φ

+ α

2

φ

= 0,

(2.14) que é exatamente(2.7).

Seguimos agora, om um pro esso similar ao de derivação da onservação da energia

na me âni a lássi a. Primeiramente, derivando

L

om respeito a

x

µ

, temos

∂

_L

∂x

µ

=

∂

_L

∂φ

φ

,µ

+

∂

_L

∂φ

,ν

∂φ

,ν

∂x

µ

.

(2.15)

Rees revendo o primeiro termo no lado direito desta igualdade om a ajuda de (2.9) e

fazendo uso de

φ

,νµ

= φ

,µν

, somos levados a

∂

_L

∂x

µ

=

∂

∂x

ν

 ∂

_L

∂φ

,ν



φ

,µ

+

 ∂

_L

∂φ

,ν

 ∂φ

,µ

∂x

ν

=

∂

∂x

ν

 ∂

_L

∂φ

,ν

φ

,µ



.

(2.16)

Podemos es rever portanto,

∂

∂x

ν



−δ

ν

µ

L +

∂

_L

∂φ

,ν

φ

,µ



= 0.

(2.17)

Denimoso tensor energia-momento omo [1, 7,8℄

T

ν

µ

=

−δ

ν

µ

L +

∂

_L

∂φ

,ν

φ

,µ

,

(2.18)

que em virtude de (2.17),atende a

Esta última igualdade nos diz que a integral de

T

µν

na hipersuperfí ie que ontém o

volume

V

do espaço tridimensional é um quadrivetor onservado [7℄, o qual denimos omo o quadrimomentodo sistema

p

µ

= A

Z

S

T

µν

dS

ν

= A

Z

V

T

µ0

d

3

x,

(2.20)

onde

A

é uma onstante e

T

µν

_{= η}

µσ

_T

ν

σ

. Em parti ular,

T

00

é identi ado omo sendo a densidade de energia (2.10), o que é

fa ilmente visto a partir de (2.18). Assim,

P

0

é a energia total vezes a onstante

A

, que é re onhe ida omo o inverso de

c

por omparação om o quadrimomento denido na relatividadeespe ial [7℄.

Para nosso aso em estudo, observando a densidade lagrangiana dada por (2.12) e

usando (2.13),

T

ν

µ

é dado por

T

ν

µ

=



η

νσ

δ

ρ

µ

−

η

σρ

2

δ

ν

µ



φ

,σ

φ

,ρ

+

α

2

_φ

2

2

δ

ν

µ

,

(2.21)

ou de formamais usual,

T

µν

=



η

µρ

η

νσ

₋

η

σρ

_η

µν

2



φ

,σ

φ

,ρ

+

η

µν

2

α

2

_φ

2

_.

(2.22)

Em espe ial, adensidade hamiltoniana do ampo es alar será [1,8℄

H := T

00

₌

1

2

(φ

,0

)

2

_{+ (∇φ)}

2

_{+ α}

2

_φ

2

_{ ,}

(2.23)

de onde vemos que

H

é positivadenida.

2.2 Uma gravitação es alar

Se (2.4) é uma imediata generalização da equação de ampo no aso newtoniano,

podemos onsiderar

φ(x)

omo um forte andidato a des rever a gravitação dentro do ar abouçodarelatividadeespe ial[1,13℄. Areferidaequaçãode ampopara

φ

éobtidapor meiodoprin ípiode mínimaaçãoparaumadensidade lagrangiana(2.12) om

α

= 0

. Isso impli a que,sea gravitação for bem des ritapor um ampoes alar, osbósons asso iados

Adinâmi adeumapartí ulalivrerelativísti aédadaporumaaçãodaforma[1,7,13℄

S

=

_−mc

Z

τ

2

τ

1

ds,

(2.24) om

m

amassadapartí ulae

ds

=

pη

µν

dx

µ

_dx

ν

_{= cdτ}

,sendo

τ

otempopróprio. Variando esta açãoem relaçãoa

x

µ

, somos levados àsequações de movimento

du

µ

dτ

= 0,

(2.25)

onde

u

µ

₌

dx

µ

dτ

= (c, v)

é a quadrivelo idadeda partí ula.

Podemosaindatomaravariaçãodaação

S

omoumafunção das oordenadas

x

µ

para

uma trajetóriaque satisfaz (2.25). Assim, peloformalismo de Hamilton, hegamosa uma

expressão para o quadrimomentodo sistema[1, 7℄

p

µ

:=

−

∂S

∂x

µ

= mu

µ

.

(2.26)

Como pode ser mostrado

u

µ

_u

µ

= c

2

, talque

p

µ

p

µ

=



−

_∂x

∂S

µ

 

−

_∂x

∂S

_µ



= m

2

c

2

,

(2.27)

ou de formamais usual,

η

µν

S

,µ

S

,ν

= m

2

c

2

.

(2.28)

Sendo esta última, aequação de Hamilton-Ja obi neste ontexto.

Consideremos agora a ação que des reve o movimento de uma partí ula relativísti a

na presença de um ampo es alar

φ(x

µ

₎

. Talação é daforma

S

=

−

Z

τ 2

τ 1



mc

+

λ

c

φ



ds,

(2.29)

emque

λ

éuma onstanteque ontém informaçãosobrea  arga da partí ula. Variando esta nova ação om respeito a

x

µ

, temos as equações de movimento no aso de partí ula

no ampo:

d

dτ



m

+

λφ

c

2



u

µ

_{− λφ}

,ν

η

µν

= 0,

(2.30)

que nolimite de ampoestáti o e baixas velo idadesdado por

φ

,0

≪ φ

,j

, reduzem-se a

m

dv

Vemos que neste limite a dinâmi atorna-se semelhante à de Newton, levando, in lusive,

a uma interação atrativapara o aso de

λ >

0

.

A ompleta ação para uma gravitaçãoes alar, é então

S

=

_−mc

Z

τ

2

τ

1

ds

₋

λ

c

Z

τ

2

τ

1

φds

+

1

2

Z

η

µν

φ

,µ

φ

,ν

d

4

x.

(2.32)

Onde o primeiro termo des reve apenas a partí ula, o segundo des reve o a oplamento

entre apartí ulaeo ampo,eoter eirosomenteo ampo. Oúltimotermoéumaintegral

emtodaumaregiãodoespaçoquadridimensional,enquantoosdoisprimeirossãointegrais

em um intervalode tempopróprio.

A partir de uma função delta de Dira em quatro dimensões, podemos es rever o

segundo termo de (2.32) omo uma integral em

d

4

_x

, o que pode ser feito levando-se em

onta que a densidade de partí ula para uma partí ula pontual seguindo a trajetória

z

= z

µ

_{(τ )}

é dada por:

ρ

=

Z

∞

−∞

δ

(4)

[x

µ

− z

µ

_{(τ )]ds,}

(2.33) onde

δ

(4)

_[x

µ

_{− z}

µ

_{(τ )] = δ[x}

0

_{− z}

0

_]δ[x

_{− z]}

é a função deltade Dira emquatro dimensões.

Variandoaação ompleta omrespeito a

φ

elembrandoqueoprimeirotermo énulopara essa variação,somos levados à equação de amponapresença de fonte,

φ =

−

λ

_c

ρ,

(2.34)

que nolimite newtoniano de

φ

,0

≪ φ

,j

torna-se

∇

2

_φ

₌

λ

c

ρ.

(2.35)

Como

φ

des reveo ampogravita ionalno ontexto darelatividadeespe ial,nolimite de baixas velo idades e ampo estáti o, que representa o limite newtoniano, (2.34) deve

re uperar aequação de Poisson para a gravitaçãode Newton [11℄

∇

2

_φ

N

= 4πGρ

m

,

(2.36)

onde

ρ

m

éadensidadedemassa,

G

a onstantegravita ionale

φ

N

opoten ialnewtoniano. Uma vez que o ampo

φ

interage om a matéria onde  arga é a massa, a onstante

λ

deve ser propor ional à massa

m

dapartí ula. Então, vamos denir novas variáveis de estudo,

γm

= λ

e

Φ = γφ

,talque emtermos destas, aação (2.29) toma a forma

S

=

−mc

2

Z

τ

2

τ

1



1 +

Φ

c

2



dτ.

(2.37)

A ação anterior apresenta algumas ara terísti as que são de suma importân ia para

a des rição dagravitação por um ampoes alar:

•

é um invariante de Lorentz;

•

levará sempre a uma forçaatrativa [1℄;

•

omoaaçãotemdimensãodeenergiavezestempo,

Φ

deveterdimensãodevelo idade quadrada, exatamente omo o poten ialgravita ional de Newton

φ

N

;

•

a massa apare e omo uma onstante multipli ativa, levando a equações de

movi-mento que não dependem expli itamente da mesma, respeitando, portanto, o

prin- ípio daequivalên ia.

Alémdomais, multipli ando ambos oslados de (2.35) por

γ

, edenindo

ρ

m

= m

Z

τ

2

τ

1

δ

4

(x

− z)dτ = m

ρ

c

,

(2.38) somos levados a

∇

2

Φ = γ

2

ρ

m

,

(2.39)

que omparada om (2.36) impli a em

γ

=

√

4πG

, garantindo que a equação de Poisson para o aso newtoniano ére uperadano devido limite.

Rees revendo a equação (2.34)em termosdas novasvariáveis temos

Φ =

−γ

2

ρ

m

,

(2.40)

onde substituindo ovalorde

γ

hegamos a

Φ =

−4πGρ

m

.

(2.41)

Esta éa Equação de Einstein para a gravitaçãodes rita por um ampo es alar.

Até aqui, nossa des rição re upera os resultados newtonianos, tendo a densidade de

massa

ρ

m

omo úni a e ex lusiva fonte do ampo. No entanto, desde que na relatividade espe ialmassaeenergiaseequivalem,ne essitamosdeumageneralizaçãoquelevequalquer

sistema físi o, om onteúdo de energia, aser fontedo ampogravita ional.

infor-possível a partir do traço do tensor energia-momento

T

µν

. É sabido que todo sistema

físi otem um tensor energia-momentoasso iado eque emparti ular,para um sistemade

partí ulas pontuais àpressão nula, o traço de

T

µν

é dado por[1, 7,14℄

T

= ρ

m

c

2

,

(2.42)

onde

ρ

m

é adensidade de massa, que já apare eu em todo nosso estudo anterior. Assim, podemos rees rever nossos ál ulos fazendo

T

omo a fonte do ampo gravita ional no ontexto relativísti o.

A ação ompleta para o ampo(2.32) emtermos de

T

 a naforma

S

=

_−mc

Z

τ 2

τ 1

ds

₋

Z

_{ ΦT}

c

2

−

1

8πG

η

µν

_Φ

,ν

Φ

,µ



d

4

x,

(2.43)

naqualdividindoosdoisúltimostermospor

c

para an elar om o

c

em

d

4

_x

_{= cdtdxdydz}

re uperamosoresultadoapresentadoem[1℄,sendoqueaquiadotamos

η

µν

_{= (1,}

_{−1, −1, −1)}

.

Temos também apartir de (2.41) a equação de ampo

Φ =

−

4πG

c

2

T.

(2.44)

Depoisde generalizadaa fonte, é possívelapontardois problemas existentes em nossa

tentativa de des rever a gravitação om um ampo es alar. Em primeiro lugar, já que o

ampo eletromagnéti o possui um tensor energia-momento om traço nulo, nossa teoria

nãoprevêuma oplamentodeste ampo omogravita ional. Estefatoviolaa omprovada

urvaturados raiosde luz(radiaçãoeletromagnéti a)aosepropagarememumaregiãode

ampo gravita ional [1, 13, 14℄. Em segundo, uma falha de âmbito on eitual em nossa

des rição, équeotraçodotensorenergia-momentoem(2.42)não levaem ontaopróprio

ampo gravita ional, que possui um

T

µν

om traço não nulo, a ontribuir para a fonte.

Embora isso possa ser sanado introduzindo a ontribuição do próprio ampo omo fonte

nasequações, otraçodotensorenergia-momentototal ariadivididoemduaspartes,uma

devido ao ampogravita ional eoutra que levariaem ontatodos os amposex etuando

a gravitação, o que não é on eitualmente oportuno, pois essas partes seriam tratadas

diferentemente [1℄.

à geometria do espaço-tempo. A ação (2.37) pode ser vista omo uma generalização da

ação para a partí ula livre, onde substituímos o intervalo de linha

ds

2

_{= η}

µν

dx

µ

dx

ν

por

ds

2

_Φ

= g

µν

dx

µ

dx

ν

, sendo

g

µν

=



1 +

Φ

c

2



2

η

µν

.

(2.45)

Neste modelo, o ampo

Φ

é visto omo o responsável por uma modi ação na geometria do espaço-tempo, levando

η

µν

ao novo tensor métri o

g

µν

. A ação para uma partí ulana presença do ampo

Φ

torna-se:

S

=

−mc

Z

τ

2

τ

1

ds

Φ

=

−mc

Z

τ

2

τ

1

pg

µν

dx

µ

dx

ν

,

(2.46)

om a equação de Hamilton-Ja obi(2.28) dada agora por [1,7℄

g

µν

S

,µ

S

,ν

= m

2

c

2

,

(2.47) onde

g

µν

éa inversa de (2.45),

g

µν

=



1 +

Φ

c

2



−2

η

µν

.

(2.48)

Éinteressantenotarmos queasubstituiçãode

η

µν

por

g

µν

sóépossívelporqueamassa

apare e omo um fator multipli ativo na ação. Este fato resultou de impormos que o

prin ípiode equivalên ianewtoniano seja aindaválido.

Estudando anovaequação de Hamilton-Ja obi (2.47)no limite newtonianode ampo

estáti o e baixas velo idades, podemos submeter nossa teoria a outro teste de veri ação

(vide exer í io 3.1 na Ref. [1℄). Para isso onsideremos

ρ

m

devido a uma partí ula de massa

M

xanaorigem dosistemade oordenadas. Assim, nolimite onsiderado, temos a equação de Poisson para o ampo,

∇

2

_{Φ = 4πGMδ(r),}

(2.49)

om

r

= (x, y, z)

. A solução desta equação nos leva a

Φ(r) =

−

GM

r

,

(2.50)

em que

r

=

krk

.

Es revendo (2.47)expli itamente, teremos



1 +

Φ

c

2



−2

"

1

c

2

 ∂S

∂t



2

− (∇S)

2

#

− m

2

c

2

= 0.

(2.51)

Passando para oordenadas esféri as

(r, θ, ϕ

), podemos restringir o movimento ao plano

θ

=

π

₂

, talque aúltima equação torna-se:



1 +

Φ

c

2



−2

"

1

c

2

 ∂S

∂t



2

−

 ∂S

∂r



2

−

1

r

2

 ∂S

∂ϕ



2

#

− m

2

_c

2

_{= 0.}

(2.52)

Comoosistema onservaenergiaemomentoangular,supomosumasoluçãopara(2.52)

da forma

S

= S

t

+ S

ϕ

+ S

r

=

−Et + Lϕ + S

r

,

(2.53)

om

E

e

L

, energia e momento angular, respe tivamente, e

S

r

a parte da solução que depende datrajetória. Substituindoesta solução em(2.52)  amos om

 dS

r

dr



2

=

E

2

c

2

−

L

2

r

2

− m

2

_c

2



1 +

2Φ

c

2

+

Φ

2

c

4



.

(2.54)

Que rees rita naformaintegral, om

Φ

dado por(2.50), nos leva a

S

r

=

Z

dr

 E

2

c

2

− m

2

_c

2

₊

2GMm

2

r

−

1

r

2



L

2

+

G

2

_M

2

_m

2

c

2



1

2

.

(2.55)

Interessados em estudara trajetória

r

omofunção do ângulo

ϕ

, tomamos

∂S

∂L

= ϕ

0

= constante.

(2.56)

Mas pelasolução proposta (2.53),juntamente om a ondição anterior, temos

∂S

∂L

= ϕ +

∂S

r

∂L

= ϕ

0

.

(2.57)

Cal ulando a derivada de

S

r

om respeito a

L

somoslevadospelaúltima igualdade a

ϕ

_{− ϕ}

0

=

Z

dr

 E

2

c

2

− m

2

_c

2

₊

2GMm

2

r

−

1

r

2



L

2

+

G

2

_M

2

_m

2

c

2



−

1

2

_L

r

2

,

(2.58)

derivando este resultado om respeito a

r

temos

dϕ

dr

=

 E

2

c

2

− m

2

_c

2

₊

2GMm

2

r

−

1

r

2



L

2

+

G

2

_M

2

_m

2

c

2



−

1

2

_L

r

2

,

(2.59)

de onde somos levados àequação que determina atrajetória

r

= r(ϕ)

, dada por

 dr

dϕ



2

=

r

4

L

2

 E

2

c

2

− m

2

_c

2

₊

2GMm

2

r

−

1

r

2



L

2

+

G

2

_M

2

_m

2

c

2



.

(2.60)

Para estudar esta última equação,denimos uma novavariável

u

=

r

, talque

du

dϕ

=

du

dr

dr

dϕ

=

−

1

r

2

dr

dϕ

=

⇒

dr

dϕ

=

−r

2

du

dϕ

.

(2.61)

Es revendo (2.60) em termos da nova variável, om a ajuda da última igualdade, e

deri-vandoo resultado em relaçãoa

ϕ

,  amos om

 du

dϕ

 d

2

_u

dϕ

2

=

1

L

2

 du

dϕ

 

GM m

2

_{− u}



L

2

+

G

2

_M

2

_m

2

c

2



.

(2.62) Que para

u

′

_{6= 0}

, nos dá

u

′′

+ u



1 +

G

2

_M

2

_m

2

L

2

_c

2



=

GM m

2

L

2

,

(2.63)

onde a linha representa derivada om respeito a

ϕ

.

A equação diferen ial (2.63) traz uma orreção em relação a sua análoga no aso

pu-ramentenewtoniano,que seria [15℄

u

′′

+ u =

GM m

2

L

2

,

(2.64)

ujaa soluçãoéuma elipsede ex entri idade

e

,dada em oordenadas polarespor[13,14, 15℄

u

=

GM m

2

L

2

1 + e cos(ϕ)
.

(2.65)

Em nosso aso, podemos es rever(2.63) omo

u

′′

+ ω

2

u

=

GM m

2

L

2

,

onde

ω

2

_:=



1 +

G

2

_M

2

_m

2

L

2

_c

2



,

(2.66)

e a soluçãodesta equação é

u

=

GM m

2

L

2

1 + e

′

_cos(ωϕ)
,

(2.67)

quetambéméumaelipse, mas om ex entri idade

e

′

, aqualnolimite de

c

→ ∞

re upera (2.65).

O que muda emnosso ontexto é o fato de

ω

6= 1

. Isso signi a que

ϕ

= 0

e

ϕ

= 2π

não orrespondemaomesmoponto;aelipsenão temm nomesmopontoondeseini iou.

Emparti ular, omo

ω >

1

, opontoequivalentea

ϕ

= 0

éatingidoantes mesmode seter

ϕ

= 2π

. Dizemos, então, quea trajetóriasofre um retro esso. O qual pode ser al ulado impondo

que leva a

△ϕ = 2π(ω

−1

_{− 1).}

(2.69) Expandindo

ω

−1

emtermos de

G

2

M

2

m

2

L

2

c

2

≪ 1

, hegamosaoresultado

△ϕ ≃ −

G

2

_M

2

_m

2

L

2

_c

2

π.

(2.70)

Uma vez que

ϕ

= 0

, nos padrões das soluções newtonianas, é o ponto da órbita om maior proximidadeentre as massas[15℄,nossa teoria prevê um retro esso doperiélio. Tal

previsão, revela outra in oerên ia entre a gravitação des rita por um ampo es alar e os

dados experimentais. Oque realmenteo orre éum avanço doperiélio,que a relatividade

geral de Einstein al ula emgrande pre isão omo sendo [1, 13℄

△ϕ = 6π

G

2

_M

2

_m

2

L

2

_c

2

.

(2.71)

Note aFig. (2.1).

(a) (b)

Figura2.1: Em(a) omparamosasprediçõesdasórbitasplanetáriasfeitasporNewtonepelagravitação

es alar desenvolvidaneste apítulo,mostrando oretro essodoperiélio(

ϕ

= 0

)previstoporestaúltima.

Já em (b), mostramoso real omportamentodo periélioem relaçãoao resultado deNewton, sendoum

avanço, omoprevisto orretamentepelarelatividadegeral. Confe ionamosasguras(a)e(b)apartir

Me âni a estatísti a da radiação es alar

Neste apítulo apli amos o formalismo do ensemble anni o da me âni a estatísti a

quânti aao ampoes alar ommassa, onnadoauma avidadeeem

N

dimensões espaço-temporais. Para este m, pro edemos om uma quantização do ampo nessas ondições

de formasimilaraoqueé feitono omplemento

K

v

de [16℄,a qualnos permitiráaadoção do referido formalismo.

Consideremos

φ

= φ(x, t)

, onde

x

= (x

1

, x

2

,

· · · , x

N −1

)

, satisfazendo (2.7) para um espaço-tempo

N

-dimensional,em queagora expli itamoso valorda onstante

α

:



 +

M

2

_c

2

~

2



φ(x, t) = 0,

(3.1) onde

 =

∂

2

c

2

_∂t

2

−

∂

2

∂x

2

1

−

∂

2

∂x

2

2

− · · · −

∂

2

∂x

2

N −1

(3.2)

é o operador de d'Alambert em

N

dimensões. Seja

φ

onnado a uma avidade úbi a, tal que

φ

seja nulo em todas as paredes da avidade

(N

− 1)

-dimensional, de volume

V

e vérti e na origem do sistema de oordenadas. Enfatizamos aqui, que não se faz ne essário espe i arasdimensõesda avidade,poisnão estamosinteressados emestudar

o omportamento do ampo omo função destas dimensões.

As onsideraçõesanterioresnos levamàsseguintes ondiçõesde ontorno espa iais(de

Diri hlet)

φ(x

1

= 0, x

2

, x

3

, ..., x

N −1

, t) = φ(x

1

= V

1

N −1

, x

₂

, x

₃

, ..., x

_{N −1}

, t) = φ(x

₁

, x

₂

= 0, x

₃

, ..., x

_{N −1}

, t) =

φ(x

1

, x

2

= V

1

N −1

, x

₃

, ..., x

_{N −1}

, t) =

· · · = φ(x

₁

, x

₂

,

· · · , x

_{N −1}

= V

1

N −1

, t) = 0.

(3.3)

Sob tais ondições, apli ando o método da separação de variáveis em (3.1) hegamos à

solução para

φ

independente de

t

, dada pelo produto das soluções para ada uma das

N

_{− 1}

dimensõesespa iais, naforma

f

k

(x) =

N −1

Y

i=1

s

2

V

N −1

1

sin

 k

i

πx

i

V

N −1

1



=



2

V

N −1

1



N −1

2

N −1

Y

i=1

sin

 k

i

πx

i

V

N −1

1



,

(3.4)

onde

k

= (k

1

, k

2

,

· · · , k

N −1

)

, sendo

k

1

, k

2

,

· · · , k

N −1

= 1, 2, 3, . . .

. Esta solução satisfaz às mesmas ondiçõesde ontorno(3.3)para

φ

. Temostambémarelaçãodeortonormalização das

f

k

(x)

Z

V

1

N −1

0

dx

1

Z

V

1

N −1

0

dx

2

· · ·

Z

V

1

N −1

0

dx

N −1

f

k

(x)f

k

′

(x) = δ

kk

′

,

(3.5) om

δ

kk

′

= δ

k

1

k

1

′

δ

k

2

k

2

′

· · · δ

k

N −1

k

′

N −1

a deltade Krone kerem

N

− 1

dimensões, ea equação satisfeita por elas



∇

2

+

k

2

_π

2

V

N −1

2



f

k

(x) = 0,

(3.6) sendo

k

2

_{= k}

_{· k}

.

Emtermos das

f

k

(x)

,propomosuma soluçãopara

φ

naformade uma expansão,dada por

φ(x, t) =

∞

X

k

1

=1

∞

X

k

2

=1

· · ·

∞

X

k

N −1

=1

q

k

(t)f

k

(x) =

X

k

q

k

(t)f

k

(x),

(3.7)

onde o somatóriosobre o vetor representa a soma sobre todas as omponentes de

k

, que orrem de

1

a

∞

. A ortonormalidade das soluções espa iais expressa em (3.5), supondo ainda que

f

k

(x)

é um onjunto ompleto, garanteque a expansãonos

q

k

(t)

éúni a e que estes podem ser determinados apartir de

φ

omo

q

k

(t) =

Z

V

1

N −1

0

dx

1

Z

V

1

N −1

0

dx

2

· · ·

Z

V

1

N −1

0

dx

N −1

φ(x, t)f

k

(x).

(3.8)

Substituindoa solução(3.7) naequação (3.1) satisfeita por

φ

, vem 1



 +

M

2

_c

2

~

2



X

k

q

k

(t)f

k

(x) =

X

k

 1

c

2

q

¨

k

(t)

− q

k

(t)

∇

2

_f

k

(x) +

M

2

c

2

~

2

q

k

(t)f

k

(x)



= 0.

(3.9) 1

Osegundo termodoladodireitodaprimeiraigualdadepodeser rees rito apartirde (3.6) e  amos om 2

X

k

 1

c

2

q

¨

k

+

k

2

π

2

V

N −1

2

q

k

+

M

2

c

2

~

2

q

k



f

k

= 0.

(3.10)

Pela ortogonalidade das

f

k

(x)

, vemos que (3.10) só é satisfeita se a expressão entre ol- hetes for nula para todo

k

. Somos assim levados à equação satisfeita pelos

q

k

(t)

, dada por

¨

q

k

+ ω

k

2

q

k

= 0,

(3.11) onde

ω

k

2

=

 k

2

_π

2

V

N −1

2

+

M

2

_c

2

~

2



c

2

(3.12)

tem dimensão de frequên ia aoquadrado.

Oque(3.11)nosdizéqueos

q

k

(t)

são oordenadasdesa opladassatisfazendoàequação de um os iladorharmni o om frequên ia

ω

k

, tendo por solução

q

k

(t) = A

k

cos ω

k

t

− ϕ

k

,

(3.13)

sendo

A

k

uma amplitude e

ϕ

k

uma fase ini ial. Comumente essas oordenadas são refe-ridas omo oordenadas normais. Esta nomen latura é advinda do fato que ada termo

naexpansão (3.7) representa um modonormalde vibraçãodo ampo,oumais

espe i a-mente, uma onda esta ionária para ada parti ular onjuntode valores das omponentes

do vetor

k

, istoé, para ada os iladorharmni o.

Podemos agora nos perguntar omo  a a energia na avidade expressa por essas

oordenadas. Pararesponderaissodevemosre orrera(2.23)generalizadaparaum

espaço-tempo de

N

dimensões. Substituindo

φ

dado por (3.7) na densidade hamiltoniana

H

e integrando emtodoo espaço,somos levados om aajudade (3.5) a

H

=

Z

V

1

N −1

0

dx

1

Z

V

1

N −1

0

dx

2

· · ·

Z

V

1

N −1

0

dx

N −1

H =

1

2

X

k

1

c

2

˙q

2

k

+ ω

2

k

q

2

k

,

(3.14)

onde

H

é aenergia total dosistema.

Es revendo a densidade lagrangiana (2.12) para um espaço-temporal

N

-dimensional em termosde (3.7),similarmentea

H

, podemos obter alagrangiana

L

:

L

=

Z

V

1

N −1

0

dx

1

Z

V

1

N −1

0

dx

2

· · ·

Z

V

1

N −1

0

dx

N −1

L =

1

2

X

k

1

c

2

˙q

2

k

− ω

k

2

q

2

k

.

(3.15) 2

A partir desta lagrangianaobtemos o momento onjugado[8℄

p

k

=

∂L

∂

˙q

k

=

1

c

2

˙q

k

,

(3.16)

em termosdoqual

H

ées rita na forma

H

=

X

k

1

2



c

2

p

2

k

+

1

c

2

ω

2

k

q

k

2



:=

X

k

h

k

.

(3.17)

A hamiltoniana

h

k

denida a ima, selevada nas equaçõesde Hamilton[8℄

˙p

k

=

−

∂h

k

∂q

k

e

˙q

k

=

∂h

k

∂p

k

,

(3.18)

re upera exatamente (3.11), omo esperado.

De(3.17)edare uperaçãode (3.11),somoslevadosà on lusãode quea ada

parti u-lar

k

estáasso iadaumahamiltoniana

h

k

e, onsequentemente, umos iladorharmni ode frequên ia

ω

k

. E omais importante, a hamiltonianatotal do ampoé dada pelasoma de todasas

h

k

. Ou seja,para todo

k

,dado pelaespe i açãodo onjunto

{k

1

, k

2

, . . . , k

N −1

}

, fazemos orresponder um os ilador harmni o de frequên ia

ω

k

e energia

h

k

, sendo que a energia do ampo  a determinada pela soma das energias dos innitos os iladores

presentes na avidade. Logo, quantizado ada um desses os iladores, o ampo

φ

é onse-quentemente quantizado.

O pro esso de quantização do os ilador harmni o é muito onhe ido na literatura

(veja, por exemplo, [16, 17℄). Partindo da hamiltoniana

h

k

para o

k

-ésimo os ilador, somos levados por sua quantização aoespe tro de energia doreferido os ilador,dado por

E

n

k

= ~ω

k

 1

2

+ n

k



,

(3.19)

onde

n

k

= 0, 1, 2, 3, . . .

. Assim, de (3.17), vemos que a energia total do sistema  a na forma

E

=

X

k

E

n

k

=

X

k

~

_ω

k

 1

2

+ n

k



.

(3.20)

É onvenientefazermos umarenormalizaçãoem(3.20)tomandoaorigem daes alade

energia omo sendoo valorda energiadová uo,

E

v´

acuo

=

X

k

1

A energia total torna-seentão,

E

=

X

k

n

k

~

ω

k

.

(3.22)

Interpretamos os

n

k

omo o número de bósons om frequên ia

ω

k

eenergia

~

ω

k

, or-respondendo aoestado de energia do

k

-ésimo os ilador. De forma que (3.22) é a energia de um úni o estado dosistema, que édado peloproduto tensorialdos estados de energia

de ada um dos

k

os iladores. Sendo assim, a ada estado do sistema está asso iado um onjunto

{n

k

}

, uja aenergia é

E

= E

_{n

k

} =

X

k

n

k

~

ω

k

,

(3.23)

lembrandoque

ω

k

dependedamassa

M

dobóson omoestabele e(3.12). Ainterpretação de

n

k

omo número de bósons  ará mais evidente adiante.

Quantizadoosistema,estamosagoraem ondiçõesdeanalisá-losegundooformalismo

de um ensemble anni o quânti o. Lembremo-nos que na me âni a estatísti a quânti a

um sistema físi o, des rito por este ensemble, é ara terizado por uma função partição

Q(T, V )

dada pelo traço do operador densidade,

ρ

= exp(

−βH)

[18, 19, 20℄, onde

H

é o operador hamiltoniano,

T

a temperatura,

V

o volume,

β

= (k

B

T

)

−1

e

k

B

a onstante de Boltzmann.

Apliquemosesteformalismoao ampoes alaranteriormentequantizado, omaenergia

total de ada onjunto

{n

k

}

dada por (3.23). Desde que um úni o estado do sistema é inteiramenteespe i ado ontabilizando onúmero

n

k

asso iadoa ada

k

-ésimoos ilador, ou se quisermos, o número de bósons em ada frequên ia; a soma sobre todos os estados

do sistema (isto é, o traço) é, na verdade, dada por uma soma sobre todos os possíveis

onjuntos

{n

k

}

. Como não existe restrição sobre os valores de

n

k

( ada

n

k

orre de

0

a

∞

), afunção partiçãoserá então, dada por

Q(T, V ) =

X

{n

k

}

exp

−βE{n

k

}

 =

X

{n

k

}

e

−β

P

k

n

k

~

ω

k

_.

(3.24)

Abrindoasomanaexponen ial,estapoderáseres rita omoumprodutodeexponen iais,

e lembrandoquea somasobre

{n

k

}

éuma soma sobre

{n

1

, n

2

, . . . , n

k

}

,podemosmostrar que

X

{n

k

}

Y

k

e

−βn

k

~

ω

k

₌

Y

k

∞

X

n

k

=0

e

−βn

k

~

ω

k

_.

(3.25)

Como o somatóriopode ser avaliado om a ajuda de uma série geométri a, hegamos ao

resultado para a função partição

Q(T, V ) =

Y

k

1

1

_{− e}

−β~ω

k

.

(3.26)

As quantidades termodinâmi as podem ser derivadas a partir do

log Q(T, V )

, que de (3.26) nos dá

log Q(T, V ) = log

Y

k

1

1

− e

−β~ω

_k

=

−

X

k

log 1

_{− e}

−β~ω

k

.

(3.27) 3.1 Quantidades termodinâmi as

Partindode(3.27)podemosderivartodasasquantidadestermodinâmi asrela ionadas

ao nosso sistema, nos moldes do ensemble anni o [18, 19, 20℄. Ini iemos, pois, om a

energia total dosistema dada por

U

=

₋

∂

∂β

log Q(T, V ),

(3.28)

que de (3.27) nos leva a

U

=

X

k

~

_ω

k

e

β~ω

k

− 1

:=

X

k

¯

n

k

~

ω

k

.

(3.29)

Esta expressãoésimilaràexpressãoparaaenergiatotalde um gásideal deBose-Einstein

om fuga idade igual a

1

, oupoten ial quími o nulo[18, 19,20℄, onde

¯

n

k

=

1

e

β~ω

k

− 1

,

(3.30)

analogamente ao sistema Bose-Einstein, é interpretado omo o número médio de bósons

om energia

~

ω

k

. Defato,não hádiferençaentre falarmos de um ampo onnado auma avidade de volume

V

à temperatura

T

ou de um gás de bósons om poten ial quími o nulo, nas mesmas ondições.

É onveniente agora, denirmos omomento

p

asso iado a ada

k

omo

p

=

~

πk

V

N −1

1

,

talque

p

2

_{= p}

_{· p =}

~

2

π

2

k

2

V

N −1

2

.

(3.31) Substituindo

p

2

em(3.12), hegamosaumaexpressãoparaaenergiadobósondemomento

p

asso iado aoos ilador harmni o de frequên ia

ω

k

, omo sendo

~

_ω

k

=

p

p

2

_c

2

_{+ M}

2

_c

4

_.