EEL105 Analise Circuitos Engenharia Modulo 7

Universidade Federal de Itajubá

Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologias da Informação

Engenharia de Controle e Automação - ECA

EEL105 - Circuitos Elétricos I

Módulo 7

Bipolos Elétricos: Indutores

Os circuitos resistivos, que abordamos nos módulos precedentes, são descritos por equações algébricas ordinárias. Isto é uma consequência da lei de Ohm, que estabelece a proporcionalidade entre a tensão e a corrente numa

resistência linear, e também do fato de ser o valor de uma fonte controlada proporcional à grandeza que o controla. Se um circuito resistivo tiver uma única entrada x(t) e uma única saída y(t), então a relação y(t)/x(t) será uma constante que dependerá somente do circuito, como vimos nos exemplos que foram resolvidos usando a propriedade da homogeneidade. As formas de onda

da entrada e da saída são proporcionais e a saída num instante qualquer t₀ depende da entrada naquele instante, mas não depende dos valores da entrada

anteriores a t₀. Como os bipolos elétricos que serão vistos neste módulo são definidos em termos de derivadas e integrais, os circuitos contendo estes

elementos são descritos por equações íntegro–diferenciais. Em geral, as formas de onda da entrada e da saída não serão semelhantes e a resposta para

um instante t₀ dependerá dos valores da entrada para todo t ≤ t ₀. Isto tem a ver com o fato destes elementos serem capazes de armazenar energia.

Qualquer circuito linear e invariante no tempo pode ser descrito por

uma equação diferencial com coeficientes constantes, tendo a formação

geral apresentada a seguir:

Solução das Equações Diferenciais

onde x(t) representa a fonte que excita o circuito e y(t) a tensão ou a

corrente, em algum elemento do circuito, que se quer determinar. Os

coeficientes a

₁

... a

_n

e b

₁

... b

_m

são constantes. Como x(t) é conhecida, o

lado direito da equação é uma função conhecida do tempo, chamada

função forçante

, e denotada por f(t), ou seja:

Quando f(t) for identicamente nula, isto é, quando

f(t) = 0

para

qualquer t, a equação diferencial se reduz à

equação diferencial

homogênea

:

Solução das Equações Diferenciais

Para uma função forçante não-nula, f(t) ≠ 0, a equação é chamada

uma

equação diferencial não-homogênea

.

A equação homogênea tem n soluções diferentes e linearmente

independentes (nenhuma delas é a combinação linear das outras n-1),

que podem ser denotadas por

y

₁

(t), y

₂

(t), ... ,y

_n

(t).

Esta solução

(também chamada de

solução complementar

) pode ser expressa da

seguinte forma, onde k

₁

... k

_n

são constantes arbitrárias e o índice H

A solução mais geral (chamada de completa), da equação não-homogênea é:

Solução das Equações Diferenciais

Observar que se considera a presença de mais um termo y_p(t) que é

qualquer solução, não importa como obtida, que satisfaça a equação diferencial com uma função forçante e é chamada de solução particular.

Esta solução não contém constantes arbitrárias.

Como y_H(t) representa a solução da equação diferencial quando f(t)=0, ou

seja, o comportamento do circuito quando a fonte estiver em repouso ela é também chamada de resposta livre. Uma vez que esta resposta depende da “natureza” geral do circuito (os tipos de elementos, seus valores, o modo

como eles são ligados), ela é conhecida, ainda, por resposta natural do circuito. Como em geral, y_H(t) tende para zero depois de algum tempo de

operação do circuito (lembre-se, a excitação está zerada) ela também é conhecida como resposta transitória. Por outro lado, como y_p(t) depende

de f(t), ou seja, das fontes que excitam o circuito, ela é chamada de

Toda vez que um circuito sofre uma intervenção, que o obriga a passar de um estado para outro, seja por uma mudança na fonte de energia aplicada ou por

uma alteração nos seus elementos ou na sua topologia (estrutura), há um período de transição, durante o qual as correntes e as tensões nos seus elementos variam de seus valores primitivos para outros novos. Esse período

é chamado de regime transitório do circuito. Após o transitório ter passado, diz-se que o circuito está em regime permanente ou estado estacionário. Resumindo, podemos então dizer que a resposta completa de um circuito é constituída da soma da resposta transitória y_H(t) e da resposta forçada ou de

regime permanente y_p(t). E que, decorrido um tempo suficiente para que o

regime transitório tenha se extinguido, em torno de quatro a cinco vezes a maior constante de tempo do circuito, restará apenas o regime permanente ou

estado estacionário. Em consequência, podemos estudar o comportamento forçado, ou permanente, dos circuitos elétricos (e não elétricos também)

independentemente do comportamento transitório. Oscilações forçadas (comportamento permanente) ocorrem sempre que um circuito elétrico é submetido a excitações (fontes) que variam periodicamente com o tempo.

Bipolo Elétrico: Indutor

Será introduzido neste módulo um novo elemento simples de circuito para os qual a relação tensão-corrente envolve uma taxa de variação (derivada) da tensão ou da corrente. Antes de tudo, recordemos que um elemento passivo é capaz, apenas, de

dissipar potência (transformar a energia recebida em calor) e o resistor está

classificado nesta categoria. Vamos passar a analisar dois componentes passivos que

são capazes de receber energia, armazená-la e fornecê-la em quantidades finitas. Ao contrário de uma fonte ideal estes elementos de circuito não podem fornecer quantidades ilimitadas de energia ou manter o fornecimento de uma determinada

potência média. Michael Faraday e Joseph Henry descobriram, quase

simultaneamente, que um campo magnético variável no tempo podia induzir uma voltagem em um circuito próximo. Foi demonstrado que esta voltagem era proporcional à taxa de variação da corrente produtora do campo magnético com o tempo. A constante de proporcionalidade é denominada de indutância e simbolizada

por L. Tem-se, então:

(t)

Li

t

(t)

di

L

t

d

(Henry)

[H]

[A]

[V][s]

L

[s]

[A]

L

[V]

dt

(t)

di

L

(t)

v

L L L L



















)

(

)

(

_



Indutores

Dependendo da forma como o indutor é construído, ele pode ter um núcleo de ar ou um núcleo de um material ferromagnético (ferrite por exemplo). As linhas ao lado

indicam o indutor com um núcleo que não seja o ar. O indutor também pode ser variável se for possível ajustar

a permeabilidade magnética a qual o fluxo magnético está relacionado.

Portanto o indutor (nome alternativo: bobina), cuja indutância é

definida pela equação do slide anterior é um modelo matemático. É um

elemento ideal que pode ser usado para aproximar o comportamento de

um dispositivo real. Notar, também, que se o indutor estiver sendo

percorrido por uma corrente contínua (DC) não haverá tensão (v=0)

entre seus terminais. Isto significa que podemos pensar em um indutor

como sendo um “

curto circuito” para DC

.

A sua representação como símbolo de circuito é:

Indutores: Exemplos

Toróides

Montagem em Superfície

Indutores: Código de Cores

Indutores

A equação que define a indutância é uma equação diferencial de primeira ordem para todos os valores do tempo t maiores que um certo instante de referência, usualmente tomado como t=0. A entrada é dada para todo t >0, de

maneira que a equação diferencial pode ser resolvida para obter a saída desejada. O resultado será uma expressão válida para todo t >0, mas que contém uma constante de integração (o número de constantes de integração é

igual à ordem da equação diferencial). Esta constante de integração pode ser calculada, entretanto, se o valor da corrente através do indutor for conhecido

em t=0₊ , onde t=0₊ refere–se a um instante imediatamente após t=0.

É preciso que saibamos que: se todas as tensões e correntes permanecerem finitas, a corrente através de uma indutância não poderá variar

instantaneamente. Isto significa que o valor desta grandeza é o mesmo em

t=0₊ e em t=0 _–, isto é i_L(0₊) = i_L(0_–), onde t=0_– significa um instante imediatamente antes de t=0. Portanto, i_L(t) são funções contínuas do tempo

se todas as tensões e correntes do circuito permanecerem finitas. Para

justificar esta afirmativa, é necessário avaliar o comportamento da energia em um indutor.

Resposta Natural e Forçada

Vamos analisar, primeiramente, a solução de uma equação diferencial quando a função forçante é uma constante, ou seja:

x(t) x constantes são Q e P Q; Px dt dx   

Para solucioná-la, multiplicamos ambos os lados da equação pelo que

se denomina

fator de integração

. Este procedimento faz com que se

possa integrar diretamente a equação diferencial. Tem-se, então:

 

 

Pt Pt Pt Pt Pt Pt Pt Pt

Qe

dt

xe

d

Pxe

e

dt

dx

dt

xe

d

Qe

Pxe

e

dt

dx











Cada membro pode, agora, ser

integrado em relação ao tempo (t).

Resposta Natural e Forçada

Integrando-se o resultado anterior, tem-se:

 

Pt Pt Pt Pt Pt Pt Pt

Ae

dt

Qe

e

x

A

dt

Qe

xe

A

dt

Qe

dt

dt

xe

d

 

_



















No caso de análise de circuitos, a Atenção

constante P não é negativa (embora existam exceções), pois seu valor depende, apenas, dos elementos passivos

de circuitos e da forma como estão interligados.

A é uma constante de integração que deve ser determinada pelas

condições de contorno do circuito

.

Para uma função forçante nula (resposta natural) e para uma função

forçante constante DC (resposta forçada) as equações são:

Pt H

t

Ae

x

(

)





P

Q

t

x

_p

(

)



Ae

Pt

P

Q

x(t)







+

=

Circuito RL: Resposta ao “Degrau” (Step)

Vu(t)

R

L

i

L

(t)

+

v

L

(t)

_

+ v

_R

(t)

-     ) (t v

Considere o circuito a seguir em que a fonte de excitação representa um valor DC (V) multiplicado pela função “degrau unitário (função de Heaviside)”.

A definição desta função está ao lado do circuito.













0

p/t

1

0

p/t

0

u(t)

u(t) t 1

Desejamos estudar o comportamento do circuito em função desta excitação. Considera-se que antes do tempo t=0 (t(0_-)) não exista nenhum tipo de energia armazenada no sistema. Sendo a função forçante finita, implica em

uma continuidade da corrente i_L(t), ou seja, i_L(0₊)=i_L(0_-). Lembre-se: a

Circuito RL: Resposta ao “Degrau” (Step)



0

/





























t

p

L

V

Q

e

L

R

P

Q

Px

dt

dx

L

Vu(t)

L

R

(t)

i

dt

(t)

di

Vu(t)

dt

(t)

di

L

(t)R

i

0

(t)

v

(t)R

i

v(t)

KVL

L L L L L Ohm de lei L Vu(t)







t L R L Pt L

Ae

R

V

(t)

i

Ae

P

Q

(t)

i

 









A solução contempla a resposta transitória e a resposta permanente. Para

avaliarmos a constante A devemos lançar mão das

condições de contorno.

R

V

A

0

Ae

R

V

(0)

i

0

(0)

i

)

(0

i

)

(0

i

0 L L L L



















_ 



































 Lt R t L R L

1

e

R

V

e

R

V

R

V

(t)

i

Circuito RL: Resposta ao “Degrau” (Step)

Observar a descontinuidade na forma de onda da tensão no instante t=0.

A título de exemplo, veja o resultado para um circuito RL em que R=100[Ω], L=20[mH] e V=10V.























 Lt R t L R L

1

e

R

V

e

R

V

R

V

(t)

i

Lt R L L

Ve

dt

t

di

L

(t)

v



(

)



 0s 0.2ms 0.4ms 0.6ms 0.8ms 1.0ms 1.2ms 1.4ms 1.6ms 1.8ms 2.0ms 0A 50mA 100mA 0V 5V 10V

v

_L

(t)

i

_L

(t)

Em “regime permanente”, ou seja, encerrado o transitório, a tensão no indutor tende para zero indicando que o elemento é um curto circuito.

Lei de Lenz: “Um efeito induzido ocorre sempre de

Consideração sobre a Constante de Tempo (

t

)

[s]

[A]

[V][s]

.

[V]

[A]

GL

R

L

τ

e

1

R

V

e

1

R

V

(t)

i

τ t t L R L

















































  0s 0.2ms 0.4ms 0.6ms 0.8ms 1.0ms 1.2ms 1.4ms 1.6ms 1.8ms 2.0ms 0A 50mA 100mA 150mA 200mA Dimensionalmente, a relação R/L é dada em segundos [s]. Se derivarmos

a equação de i_L(t) (di_L(t)/dt)e traçarmos a reta tangente para t=0

verifica-se que uma constante de tempo (τ) corresponde a ≈ 63% do

valor final (regime permanente).

0  t L dt (t) di





R

V

0,63

e

1

R

V

(t)

i

0,6321 1 τ t L







  









R

V

0,9932

(t)

i

5τ L



Indutor: Energia Armazenada

Para verificar como o indutor armazena energia, vamos considerar a situação apresentada no circuito a baixo. Antes do tempo t ≤ 2[ms], a chave S1 está fechada e

a chave S2 aberta. Para t ≥2 [ms] a chave S1 abre e a chave S2 fecha.

S1 S2

i_L(t)_{1 iL(t)2}

+

_ v_L(t)

Portanto, para t ≤ 2[ms], o indutor está conectado a fonte de tensão V e recebe energia. Após 5τ (2ms) a corrente está em seu valor de regime (100mA) e a tensão

em seus terminais é zero. Ao abrir S1 e fechar S2, a tensão no indutor sofre uma descontinuidade, passando de zero para -10V, e desta forma, o indutor fornece energia para o resistor R3 que a dissipa na forma de calor. Esta descontinuidade da

tensão no indutor é chamada (por tradição, uma vez que ddp não é força) de força contra-eletromotriz (fcem).

t ≤ 2[ms] _{t > 2[ms]}

_

Indutor: Energia Armazenada

0s 0.4ms 0.8ms 1.2ms 1.6ms 2.0ms 2.4ms 2.8ms 3.2ms 3.6ms 4.0ms 0A 40mA 80mA 120mA i_L(t)₁ v_L(t) + _ i_L(t)₂ _ + v_L(t)

Não existe descontinuidade

na corrente do indutor.

Observar que:

i

_L(t=2ms-)

= i

_L(t=2ms+)

O indutor armazena energia na forma de um

campo magnético

.

i

_L

(t)

₁

Indutor: Energia Armazenada

0s 0.4ms 0.8ms 1.2ms 1.6ms 2.0ms 2.4ms 2.8ms 3.2ms 3.6ms 4.0ms -10V -5V 0V 5V 10V

v

_L

(t)

Atenção

:

Uma vez que o indutor esteja energizado, quando t→∞ a tensão v

_L

(t)

também tende para zero. Ou seja, passado o transitório o indutor é um

curto circuito

para corrente contínua.

Entretanto, para o instante inicial, ou seja, t=0

₊

, se o indutor estiver

desenergizado (i

_L(t=0-)

= 0A) ele se comporta como um

circuito aberto

antes do início do transitório.

Para L desenergizado, em t=0₊, o indutor é uma chave aberta (i_L=0)

Para t >> 0₊, o indutor é uma chave fechada (v_L=0)

Indutor: Energia Armazenada

Se o indutor tem capacidade de armazenar energia e capacidade de fornecê-la, quando necessário, o balanço de potência ao longo do tempo deve ser zero.

0s 0.4ms 0.8ms 1.2ms 1.6ms 2.0ms 2.4ms 2.8ms 3.2ms 3.6ms 4.0ms -1.0W -0.5W -0.0W 0.5W

p

_L

(t)

0

(t)

p

4ms t 0 t L





   50uJ 100uJ

e

_L

(t)

Enquanto a chave S1 está ligada, o indutor recebe energia

da fonte de tensão.

S1 abre e S2 fecha. O indutor fornece energia para a carga (R)

Indutor: Energia Armazenada

Avaliando a energia

armazenada.

Considerar que o

indutor encontra-se

desenergizado no

instante t=0

_-

.

 

 





 

2 L L L 2 L 2 L (t) i ) 0 (t i 2 L t 0 t (t) i ) 0 (t i L L t 0 t L L L L L L L L L

(t)

i

L

2

1

e(t)

0

)

0

(t

i

)

0

(t

i

)

0

(t

i

L

2

1

(t)

i

L

2

1

)

0

e(t

e(t)

(t)

i

L

2

1

e(t)

(t)

(t)di

Li

(t)dt

p

(t)

(t)Ldi

i

(t)dt

p

dt

(t)

di

(t)L

i

(t)

(t)v

i

(t)

p

L L L L































           













J] 100[ 2ms) e(t 100.10 20.10 2 1 2ms) e(t 2ms) (t i L 2 1 2ms) e(t 2 3 3 2 L x x          

Indutor: Relações Integrais

Cte

(t)dt

v

L

1

(t)

i

(t)

di

L

(t)

Ldi

(t)dt

v

(t)

Ldi

(t)dt

v

dt

(t)

di

L

(t)

v

L L L L L L L L L





















0

)

(

p/v

)dα

(

v

L

1

)

(0

i

)

(

i

)

(0

i

)

(0

i

)dα

(

v

L

1

)dα

(

v

L

1

)dα

(

v

L

1

)

(

i

L t L L L L L t 0 L 0 L t L L



























        













Para que a corrente não fique com uma constante a ser determinada podemos

lançar mão da variável “muda” α. Desta forma, a corrente é avaliada pela integral levando-se em conta o instante inicial em 0_-. Em outras palavras está considerando-se a existência, ou não, de

energia previamente armazenada no indutor.

Indutor: Relações Integrais





A] 99,99546[m ) (2ms i e e 100.10 e e R V (2ms) i e R L L V dα Ve L 1 (2ms) i Ve ) ( v )dα ( v L 1 (2ms) i )d ( v L 1 ) (0 i ) ( i L -0.9999546 0 10 3 0 2ms L R L 2ms t o α L R 2ms 0 α L R L α L R L 2ms 0 L L t 0 L 0 L L                                           







          

Para o nosso exemplo com 0₊ < t < 2ms

Com t=0₊

Indutor aberto, i_L(t)=0[A] v_L(t)=10[V]. 10[V] 100 iL(t) + vL(t) _ + vR(t) -10[V] 100 iL(t) + vL(t) _ + vR(t) -Com t=2ms -Indutor em curto, v_L(t)=0[V] i_L(t)=10/100=0,1[A].

Indutor: Regime senoidal





            2       t sen V t cos V (t) v t cos LI dt t sen I d L (t) v dt (t) di L (t) v P P L P P L L L i_L(t) v_L(t) + _

Vamos supor que agora o nosso elemento indutor está operando sob regime senoidal, ou seja, a corrente i_L(t) é do tipo I_psenωt.

] [ [V][s] 1 fL 2 ωL V X ωLI V P L P P       

Duas conclusões importantes que já podem ser indicadas:

1.Existe uma defasagem de 90° entre a corrente e a tensão, sendo que a tensão está adiantada em relação à corrente;

2.O valor de pico da tensão relaciona-se com o valor de pico da corrente através de um parâmetro que tem dimensão de Ohm. Este parâmetro é denominado de reatância indutiva e é representado por X_L.

Observar que para f→∞, a reatância indutiva também tende para ∞. Isto significa que o

Indutor: Regime Senoidal

0s 2ms 4ms 6ms 8ms 10ms 12ms 14ms 16ms 18ms 20ms 22ms 24ms 26ms 28ms 30ms 32ms -1.0A -0.8A -0.6A -0.4A -0.2A 0A 0.2A 0.4A 0.6A 0.8A 1.0A -8.0V -6.0V -4.0V -2.0V 0V 2.0V 4.0V 6.0V 8.0V i_L(t)=1sen377t [A] ] [V π 377t 7,54sen (t) v 2 π 377t 1sen 20.10 377 2 π 377t sen ωLI (t) v ] 60[H f 377 f 2 2 π 377t sen V (t) v 3 P L Z P L x x                                     v_L(t)=7,54sen(377t+π/2) [V] π/2 ou 90° 7,54[V] 1 7,54 I X V ] 7,54[ 377.20.10 X fL 2 ωL X x P L P 3 L L         _  i_L(t) v_L(t) + _ L=20mH

Indutor: Potência e Energia no Regime Senoidal

0 t sen T V I t sen V I 2 1 T 1 (t) p t sen V I 2 1 t cos tV sen I t p t v t i (t) p T 0 P P T 0 P P L P P P P L L L L      





        2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( 0s 2ms 4ms 6ms 8ms 10ms 12ms 14ms 16ms 18ms 20ms 22ms 24ms 26ms 28ms 30ms 32ms -4.0W -3.0W -2.0W -1.0W 0.0W 1.0W 2.0W 3.0W 4.0W p_L(t)=3,77sen(754t) [W] A₁ A₂ P_L(AVG)=0

Observar que a potência média é zero, ou seja, a energia no indutor está armazenada na forma de um campo

Conceito da Distribuição δ(t) “Delta de Dirac”

i_L(t)p(t) v_L(t)

+

_

Tomamos, novamente, o exemplo em que o indutor vale 20[mH] e aplicamos a este elemento uma corrente do tipo “pulso retangular”, ou seja, i_L(t)p(t).

           (2ms) t p/t 0 t t p/t 1 (1ms) t p/t 0 (t) p onde (t), 10mAp (t) (t)p i 1 1 0 0 ulso ulso ulso L L=20mH 0s 0.5ms 1.0ms 1.5ms 2.0ms 2.5ms 3.0ms 0A 5mA 10mA -2.0V -1.0V 0V 1.0V 2.0V i_L(t) v_L(t) Área=0,1.10-3_.2=0,2.10-3

Conceito da Distribuição δ(t) “Delta de Dirac”

Se simplificarmos a derivada para uma variação (delta), temos:

2[V]

0,1ms

10mA

20.10

Δt

(t)

Δi

L

(t)

Δv

dt

(t)

di

L

(t)

v

3 L L L L











Observar que o pulso retangular da corrente está aproximado uma vez

que existe um

tempo de subida

(t

_r

“

rise time

”) e um

tempo de descida

(t

_f

“

fall time

”), pequenos (0,1ms) mas diferentes de zero.

Refazendo o cálculo anterior para t

_r

=t

_f

=0,01ms, tem-se

20[V]

0,01ms

10mA

20.10

Δt

(t)

Δi

L

(t)

Δv

dt

(t)

di

L

(t)

v

3 L L L L











Conceito da Distribuição δ(t) “Delta de Dirac”

Entretanto, a área sob a curva da tensão v

_L

(t) permanece constante.

Verifique!

Então, o que está ocorrendo é que quanto menor forem os tempos de

subida e de descida, mais a corrente se aproxima da definição de uma

função pulso retangular e a amplitude do valor de tensão tende para um

valor cada vez mais elevado. Contudo a área sob a curva de v

_L

(t)

mantém-se constante.

Existe uma distribuição,

impropriamente

, mas normalmente, referida

como “

função delta de dirac

”

δ(t)

que descreve esta situação:







    



















0 0

1

δ(t)dt

δ(t)dt

0

p/t

0

p/t

0

δ(t)

Caso δ(t) esteja “deslocado” no tempo:

















0 0

t

p/t

t

p/t

0

)

t

δ(t

₀

0s 0.5ms 1.0ms 1.5ms 2.0ms 2.5ms 3.0ms 0A 5mA 10mA 0V

Paul Adrien Maurice Dirac, (1902–1984) was an English theoretical physicist who

made fundamental contributions to the early development of both quantum mechanics and quantum electrodynamics. He held the Lucasian Chair of Mathematics at the University of Cambridge and spent the last fourteen years of his life at Florida State University. Among other discoveries, he formulated the Dirac equation, which describes

the behaviour of fermions, and predicted the existence of antimatter. Dirac shared the Nobel Prize in physics for 1933 with Erwin Schrödinger, for the discovery of new

productive forms of atomic theory.

(t)

L

t

v

_L

(

)





)

t

(t

L

t

v

_L

(

)







₀

Distribuição δ(t); Representação

A distribuição δ(t) é utilizada em estatística e é fundamental para aplicações que envolvem processamento de sinais (amostragem, por exemplo). Atenção: Na prática, esta transferência instantânea de energia estará limitada pela capacidade da

Indutores: Associações

Podemos associar os indutores em série ou em paralelo da mesma forma que os resistores. Entretanto, devemos analisar como será a indutância equivalente.

v(t)

i(t)

+ v

_L1

(t) - + v

_L2

(t) - + v

_LN

(t)

-L

₁

L

₂

L

_N









eq N 2 1 N 2 1 LN L2 L1

L

L

L

L

dt

di(t)

L

dt

di(t)

L

L

L

v(t)

dt

di(t)

L

dt

di(t)

L

dt

di(t)

L

v(t)

(t)

v

(t)

v

(t)

v

v(t)



































_{Portanto, a associação série de}

indutores e semelhante à associação série de resistores:







N 1 i i eq

L

L

Indutores em série

Indutores: Associações

i(t)

i

_L1

(t)

L

₁

L

2

L

_N

i

_L2

(t)

v(t)

i

_LN

(t)

N 1 k K t 0 N 2 1 N 2 1 t 0 N t 0 2 t 0 1 LN L2 L1

L

1

L

1

L

1

L

1

)

(0

i

v(t)dt

L

1

L

1

L

1

i(t)

)

(0

i

)

(0

i

)

(0

i

v(t)dt

L

1

v(t)dt

L

1

v(t)dt

L

1

i(t)

(t)

i

(t)

i

(t)

i

i(t)

































































        







N 1 i i eq

L

1

1

L

Indutores em paralelo

Indutores: Transformadores

V₁ V2

Este componente será abordado com mais detalhes em uma disciplina posterior de circuitos. Entretanto, alguns conceitos básicos podem ser apresentados tendo em vista que o transformador utiliza indutores na sua construção. O transformador é um

conversor de energia (eletromagnética), cuja operação pode ser explicada em termos do comportamento de um circuito magnético excitado por uma corrente

alternada. Consiste de duas ou mais bobinas de múltiplas espiras enroladas no mesmo núcleo magnético, isoladas deste. Uma tensão variável aplicada à bobina de

entrada (primário) provoca o fluxo de uma corrente variável, criando assim um fluxo magnético variável no núcleo. Devido a este é induzida uma tensão na bobina

de saída (ou secundário). Não existe conexão elétrica entre a entrada e a saída do transformador, representando, assim, um alto isolamento.



Representação idealizada de um transformador monofásico

Indutor: Transformadores

Um transformador ideal, como apresentado no slide anterior, deve respeitar as seguintes características: Todo o fluxo deve estar confinado ao núcleo e enlaçar os

dois enrolamentos; As resistências dos enrolamentos devem ser desprezíveis; As perdas no núcleo devem ser desprezíveis; A permeabilidade do núcleo deve ser tão

alta que uma quantidade desprezível de fmm (força magneto-motriz) é necessária para estabelecer o fluxo.

Os transformadores são utilizados num conjunto muito variado de aplicações de processamento de informação e de energia. De entre estas, destacam-se a elevação e a redução da tensão ou do número de fases em redes de transporte e distribuição de energia eléctrica, a redução da tensão e

da corrente em instrumentos de medida, a adaptação de impedâncias e a sintonia de filtros RLC em aplicações áudio, de rádio frequência e de frequência intermédia, o armazenamento de energia em conversores DC-DC., o isolamento galvânico, etc. Abaixo, alguns exemplos de

Indutor: Transformadores

O fluxo (t) que enlaça os enrolamentos induz uma Força Eletromotriz (FEM) nestes (v₁

e v₂) Supondo que o fluxo varie senoidalmente, ou seja, _Msent tem-se:

1 2 1(RMS) 2(RMS) 1 2 RMS 2 RMS 1 P M 1 M 1 1 N N V V (t) v (t) v t cos V t v t cos V t cos V t v t cos N dt t sen d N dt t d N t v         ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 1 1        

 A tensão induzida no secundário é

proporcional à relação do número de espiras (N₂/N₁).

Normalmente, especifica-se o transformador pela relação das tensões eficazes, por exemplo, 127V/12V. É necessário, também

especificar a corrente

(normalmente do secundário) para se ter uma idéia da potência

(127V/12V, 2A).

Nos circuitos retificadores, a ser estudados em Eletronica I, os transformadores “abaixadores” são importantes tanto na redução do valor de pico da tensão quanto

na questão de isolamento da rede elétrica.

Levando-se em consideração o princípio da conservação de energia, se desprezarmos todas

as perdas, podemos afirmar que:

(t) i (t) i N N (t) v (t) v (t) (t)i v (t) (t)i v (t) p (t) p 1 2 2 2 2 1 1 2 1    

Transformadores: Símbolos

Os traços colocados no símbolo entre as bobinas do primário e secundário, indicam o núcleo de ferro

laminado. O núcleo de ferro é empregado em transformadores que funcionam em freqüências

industriais (50 [Hz], 60 [Hz], 120 [Hz]). Transformadores que funcionam em frequências

mais altas [KHz] geralmente são montados em núcleo de ferrite. A figura ao lado mostra o símbolo

de um transformador com núcleo de ferrite.

É possível construir transformadores com mais de um secundário, de forma a

Solução “Elegante” para a Equação Diferencial (primeira ordem)















  



































































t τ t τ t τ t t 0 τ t τ t t 0 τ t 0 τ t t 0 t 0 τ t τ t t 0 t 0 τ t τ t τ t τ t τ t τ t τ t

x(t)dt

e

e

τ

1

y(0)e

y(t)

x(t)dt

e

τ

1

y(0)

y(t)

e

x(t)dt

e

τ

1

y(0)

e

y(t)

e

x(t)dt

e

τ

1

y(t)

e

d

x(t)dt

e

τ

1

dt

y(t)

e

dt

d

y(t)

e

dt

d

x(t)

e

τ

1

y(t)

e

τ

1

dt

dy(t)

e

e

τ

1

por

ndo

multiplica

x(t)

y(t)

dt

dy(t)

τ



















Solução “Elegante” para a Equação Diferencial (primeira ordem)

Forçada Natural Completa Forçada t 0 τ t τ t Natural τ t

y(t)

y(t)

y(t)

y(t)

x(t)dt

e

e

τ

1

y(0)e

y(t)

Respostas











 





 



 











Dependendo da função forçante, a avaliação analítica da integral pode

representar um grande desafio! Métodos numéricos deverão ser

utilizados nestas situações.

As funções de interesse prático para a Engenharia Elétrica são:

 A aplicação abrupta de uma fonte de tensão ou corrente DC;

 A aplicação abrupta de uma fonte de tensão ou corrente AC do tipo

senoidal.

Exercícios

1. Um resistor de 200[Ω] está em série com um indutor L. O valor inicial da corrente no indutor é de 15[mA] e 5[ms] mais tarde é 3[mA]. Determine a constante de tempo e a indutância.

2. Seja I₀ a corrente inicial em um circuito RL série livre (sem fonte). Mostre que a carga total fluindo em R, entre t=0 e t=∞, é a mesma que fluiria se a corrente permanecesse em I₀ durante uma constante de tempo.

3. Uma fonte de 60u(t)[V], um resistor de 6[Ω] e um indutor de 6[H] estão conectados em série. Em t=1[s], um indutor de 3[H] é subitamente colocado em paralelo com o de 6[H]. Determine, em função do tempo a corrente no indutor de 6[H].

4. Um indutor de 2[H], um resistor de 50[Ω] e uma associação série de um resistor de 100[Ω] com uma fonte de tensão independente de 45u(t)[V] estão em paralelo. Substitua o circuito, sem incluir o indutor, por seu equivalente Thévenin e determine a corrente no indutor em função do tempo. Repita o problema usando equivalente Norton.

5. Um resitor de 10[Ω], um indutor de 5[H] e uma fonte de tensão independnete estão em série. Determine e faça um esboço da corrente para as seguintes condições da fonte: v(t)=50-50u(t)[V]; v(t)=50+50u(t)[V]; v(t)=50+50u(t)-100u(t-1)[V].

Exercícios

7. Para os circuitos a seguir, determine i_L(t) e v_L(t) para t > 0. Qual o valor de i_L(0₊) em cada caso? Considere, onde aplicável, que as condições iniciais são nulas.

t=0 + vL(t) _ i_L(t) 20V 40 50 L=10mH iL(t) L=10H 4 5 1 1,2 + vL(t) _ 18u(t) [V] +_ iL(t) L=12H 4 2 ₊ vL(t) _ 6u(t) [A] iL(t) 2 + vL(t) _ 2[A] 8u(t) [V] iL(t) L=6H + vL(t) _ 8u(t)[A] 12u(t) [V] 20V 12 4

Exercícios

7. Encontre a indutância equivalente:

10. Os valores das correntes em t=0_- no circuito acima são i₁(t=0_-)=-2[A] e i₂(t=0_-)=4[A]. Para t≥0 a tensão v(t)=-40e-5t_{[V]. Se os indutores forem substituídos por um indutor equivalente qual o seu}

valor? Qual a corrente inicial (incluindo sentido) no indutor equivalente. Use o indutor equivalente e calcule i(t). Encontre i₁(t) e i₂(t) e verifique se a lei de Kirchhoff para as correntes é satifeita: i(t)=i₁(t)+i₂(t).