EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA -RS
.---A SU.---A C.---ALCUL.---ADOR.---A ERRA?
Resumo
A proposta apresentada neste artigo é dis-cutir quaisos tipos de erros quepodem estar e
n-volvidosaoseobter uma soluçãonumérica para umproblema matemático através do usode cal
-culadoras científicas. Assim, objetiva-se contri
-buir para o desenvolvimento de um sensocrítico nosestudantes, de formaque os resultados apre
-sentados pelas calculadoras sejam comp reendi-doseanalisados.
Palavras-chave: calculadora científica, erros de arredondamento
Abstract
This paper discusses which errors may occur when obtaining numerical solution for mathematical problems using a scientific calculator. This study aims to contribute to the development of students' critical sense when using a scientific calculator, in order to understand and analyse the results.
Key-words: scientific calculator, round-out-figu
-res erros Introdução
A calculadora é um recurso tecnológico
acessível e muito utilizado. Seu uso em sala de aula é indicado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais.
Sandra Pacheco Renz
Estudos e experiências evidenci-am que acalculadora éum instru-mento que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para essa visão é o fato de que ela pode serusadacomo uminstrumento motivador na rea-lização detarefas exploratórias e de investigação. Além disso, ela abre novas possibilidades educativa s, como ade levar oaluno a perceber a importância do uso dos meios tecnológicos disponíveis na socie-dade contemporânea. A calculado -raé também umrecurso para veri-ficação de resultados, correção de erros, podendo ser umvalioso ins-trumento de auto-avaliação. (BRA-SIL, 1997,p. 34)
Comouso dacalculadora, oaluno poderá elaborar eexplorar novas estratégias, organizar dados, formular e verificar hipóteses e fazer cál
-culos com maior rapidez. A maior rapidez nos cálculos significa ganho de tempo. Tempo este
que pode ser aproveitado para o trabalho com diferentes tipos de problemas e com as diversas estratégias de resolução, de modo que, podem ser formulados problemas com dados n
uméri-cos reais sem a preocupação de evitar cálculos extensos.
Como qualquer material didático, o uso da calculadora em sala de aula sempre causa uma série de polêmicas, pois a sua utilização exige mudanças na práxis do professor, uma vez que épreciso que ele tenha clareza de ob
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA - RS
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".;
.
,
.
--
~=
~-~
jetivos e escolha ametodologia mais adequada para alcançá-Ios. Além disso, cabe a ele propor situações desafiadoras que permitam ao aluno usar a calculadora como recurso metodológico na resolução ou no desenvolvimento dos con -ceitos matemáticos.
Desta forma, a proposta apresentada ne s-te artigo é discutir quais os erros que estão en-volvidos no processo de solução de um problema matemático, através do uso de uma calculadora ou até mesmo do computador, de modo que o estudante possa analisar criticamente os resul -tados apresen-tados pela máquina. Para tanto, é necessário umaintrodução exemplificativa sobre cada um dos tipos de erros.
Probl
e
ma Real
• Observação do fenômeno envolvido. • Levantamento dasvariáveis dominantes.
Construção do
Modelo
Matemático
Noções Básicas sobre Erros
Aoutilizar uma calculadora científica ou um computador para resolver umproblema ma -temático, àsvezes, os cálculossãoefetuados cor -retamente, no entanto, a solução não está coe -rente com oproblema proposto. Surge então a pergunta: quais oserros quepodem estar envol -vidos nesse processo?
Alguns autores, dentre eles citam-se R o-que (2000),Ruggiero e Lopes(1997)e Cláudio e Marins(1994)explicam oserros cometidos aotra -balhar commáquinas digitais como calculadoras científicas ecomputadores. Parao entendimento dosmesmos, apresenta-se o esboçoaseguir.
S
o
lu
ção
D
• Análise dosresultados
obtidos.
• Confrontação dedadoscom situações experimentais para validação domodelo matemático. • Escolha do procedimento
analítico ounumérico apropriado .
• Simplificação devariáveis irrelevantes aoprocesso. Quadro 1-Esquematização
Duas fases podem ser identificadas no e s-quema anterior: a fase da modelagem, na qual um modelo matemático que descreve ocomp or-tamento do problema real é obtido; e a fase da resolução, emque seobtém asolução domodelo matemático através da aplicaçãode métodos ana -líticos ou métodos numéricos. Para este último, utilizam-se calculadoras oucomputadores. Nes -sas fases há vários erros envolvidos que serão discutidos aseguir.
Erros na fase de modelagem
Ao tentar aproximar um problema realpor meio de ummodelomatemático, faz-se necess á-rio desprezar variáveis que não interferem no
desenvolvimento do processo. Por exemplo, ao deixar cair umobjeto de uma mesa, algumas va-riáveis envolvidas no fenômeno são: as dime n-sões eo peso doobjeto, aaltura damesa, o t em-po para o objeto chegar aosolo, avelocidade, o espaço percorrido peloobjeto, a gravidade, are -sistência doar, entre muitas outras. Quais des-sas variáveis poderiam ser ignoradas de forma a não afetar o problema?
Ummodelomatemático é uma idealização domundo real que permite cálculos matemá ti-cos,mantendo, entretanto, uma precisão sufici -ente para a obtenção de resultados plausíveis. Desta forma, ao ajustar as variáveis envolvidas noprocesso, provocam-se erros desimplificação na modelagem matemática.
-- ---
-Deve-se ainda mencionar aqueles erros
que estão inseridos dentro dosdados coletados. principalmente oserros resultantes das medidas, como, por exemplo,os valoresdemedidas de tem
-po, de temperatura, de distância, de intensidade
luminosa, entre muitos outros. Esses dados são
obtidos através deinstrumentos que, emmuitos
casos, têm precisão limitada.
EITOS nafase de resolução
Paraaresolução dos modelos matemáticos é
necessário fazer aproximações.Tais aproximações podemgerar os chamadoserrosde truncamento e
também os erros dearredondamento.
Os erros de truncamento são aqueles co-metidos quando se substitui qualquer processo
infinitopor um processo finito. Por exemplo,
su-ponha que sequeira calcular onúmero de Euler,
dado pela série infinita (CLAUDIOe MARINS, 2000, p.35),
OC;
1
e
---"
-
-
-
L
"
..
"
1
'
i=O1.
Paraobter ovalor do número deEuler por este processo, efetua-se o cálculo da série em
várias parcelas e depois, apósum número deter
-minadode operações finaliza-seo cálculo, ou seja,
trunca-se a série. Ao truncar qualquer série co-mete-se um erro causado peloabandono das par
-celas que nãosão somadas.
Já os erros de arredondamento surgem quando se trabalha com calculadoras digitais ou computadores para representar números perten
-centes aocampo dos reais, como, por exemplo, o
2
número racional
'
z:
cuja representação decimal3
0,666...éuma dízima periódica infinita. Uma cal
-culadorarepresenta tais números no sistema de
-nominado Aritmética de PontoFlutuante.
A representação dos números em Ponto Flutuante permite expressar um número real r,
na base
{
3
,
em uma forma canônica, ouseja,onde {3éabase do sistema de numeração adota
-do;
a
éoexpoente dabase, pertence ao conjunto dos números inteiros em[I
,
SJ
com Isendo olimite inferior e 5 o limite superior. Os dígitos
d
1d
2d
3••·
d
k formam a mantissa donúmero e re-presentam seus dígitos significativos, Roque
(2000). Paraabase 10 têm-se os números
deci-mais da seguinte forma:
com
1 ~
di ~
9
e°
~
di
~
9
,
para i = 1, 2,....k,sendo
a
denominado expoente da base decimal.Oformato dePontoFlutuante de um nú -mero éobtido limitando-se amantissa desse nú
-mero em k dígitos decimais, de modo que essa
limitação éobtida de duas formas: ométodo de arredondamento do tipo corte e o método de
arredondamento. O primeiro, também chamado de método de cancelamento, consiste em despre
-zar os dígitos além da precisão previamente estabelecida. Osegundo consiste em aproximar
para o número maispróximo,ou seja,se dk+1 ~
5
,
adiciona-se 1a
d
k para obter o número n comarredondamento. Quando dk+1
<
5, simplesmen-te cortam-se todos osdígitos seguintes aoskpri
-meiros algarismos.
Porexemplo, o valor do número In(2) na
forma decimal expande-se em infinitos dígitos, In(2)=0,69314718 .... Na representação em Pon
-to Flutuante tem-se:
l
n
(2)
=
0
,69
3
14
718
.
.
.
x
1
0
°.
Para uma precisão de cinco dígitos utili-zando ométodo doarredondamento dotipo cor-te encontra-se:
In(2) =O,69314xlOo.
Utilizando oarredondamento no sexto dí-gito tem-se onúmero 7que é maior que cinco,
portanto adiciona-se 1ao quinto dígito, ou seja,
(0,69
3
1
4
+
O
,
OOOOl
)
x1
0°
=
0
,
69
3
15
x
10
0.Ao fixar a mantissa e realizar um arredondamento, de qualquer tipo, causam-se
erros. Esseserros podem ser medidos através do erro absoluto edoerro relativo. Oerro absoluto,
indicado por E;I' éomódulo da diferença entre o valor "exato"eovalor aproximado,
De acordo com a definição da função
f(x
)
=a
X tem-se que odomínio é o conjunto dos números reais e a imagem é R".f-. Ainda, é conhe-cido que para abase
a
>
1a
função é crescente e para abase definida nointervalo (0,1)a função é decrescente.Objetivando analisar os resultados apre -sentados pelas calculadoras científicas, sugere -se duas atividades envolvendo funções exponenciais. A primeira de base 2e a segunda
1
de base
2'
ou seja, as funçõesf(x)
=
2' ef(x) =
T
'
representadas na Figura 1.Cabe ressaltar que o número exato E é aquele que representa o valor inteiro ou compl e-to de uma grandeza, como, por exemplo, o nú
-mero
.
f
i
ou In(2).Já o número aproximado A é.aquele utilizado para representar o número exa
-to. Por exemplo, seo valor exato de um número é dado por E = 0,300xJ01e o valor aproximado é
A = 0,3100xlOI, então o erro absoluto é:
EA=IE-AI= 10,300 x 101-O,3100x 1011=0,1.
o
erro relativo édefinidocomo o quocien -te entre o erro absoluto e o módulo dovalor exa -to, ou seja,E,
t
E-A
l
E =·········=,···········1.
R
l
E
i
i
E 'Por exemplo, se o valor exato de um nú -mero é dado por E = 0.300xlOI e o valor aproxi
-mado éA
=
0,3100xlO', então o erro relativo é:E EA ! 0,1
I
0333 10-1R
=
l
E
i =
'0.300 x101=,
...
x .: ,.'
Como o objetivo de melhor compreender
os resultados anteriores apresenta-se, a seguir, algumas atividades que podem ser desenvolvi -das com alunos de Ensino Médio.
No Ensino Médio, a função exponencial
aparece definida como: "a função
f :
R --t R dada porf(x)=
a' coma>°
ea '"Oé denominada função exponencial de base ." (GIOVANNIe BONJORNO, 2000, p. 253).Para o propósito do presente trabalho, as funções f(x) =2'ef(x) =T' estão representadas na
Figura 1 em um mesmo sistema cartesiano.
\
f(x)/
-x\
f(x)=2 \ 5 / f(x)=2)( \, y 4 3/
2/
~
'
--
-
---·3 -2 ·1 1 2 3 xFigura 1 - Gráfico das funçõesf(x)
=
2'e f(x) =T'Atividade 1: Se f(x) =
Y
determine f(x) quando x éigual a400.Com a calculadora deve-se realizar o se
-guinte procedimento: digite 2,em seguida pres -sione a tecla
y
x, após digite 400 etecle=.
x Casoacalculadora não tenha atecla )l-,
então faça oprocedimento: digite 2,em seguida tecle A ,após digite400epressione a tecla
=.
Atividade 2:Se f(x) =T"
determine f(x) quando x é igual a 400.O procedimento, para esse caso, é seme -lhante aoanterior. Digite 2, emseguida pressio
-ne a tecla
y ',
digite 400, pressione a tecla Y-até aparecer o sinal negativo eapós tecleCasoacalculadora não tenha a tecla
y
x, então digite 2, em seguida tecle A, digite osinal negativo na tecla (-), digite 400 e após pressione atecla
Paraa atividade 1, acalculadora retorna o símbolo(-E -)ou Math ERROR e para aativida
-de 2, a calculadora retorna zero.
Após esses resultados, algumas questões devem ser investigadas: como épossívelamáqui
-na retornar (-E -) ou Math ERROR se o domínio das funções
f
(
x)
=2' ouf(
x
)
=
r
'
étodos osnúmeros reais? Comoépossívelacalculadora retornar zero se a imagemdasreferidas funções éR
:
?
Essesresultados apresentados pela calcu -ladora ocorrem por diversos motivos. Primeiro, o conjunto dosnúmeros reais éum conjunto infi -nito e a calculadora trabalha com um número finito de números e de dígitos, portanto, apenas
--~,,;,.-- ..
-""""""
uma parte dosnúmeros reais é representada nes -sa máquina. Logo, a representação deum núme -roem uma máquina é limitada.
Essa limitação acarreta dois tipos de erros:
oprimeiro, é aquele causado no arredondamento,
uma vez que a mantissa representa um número
finitode dígitos; o segundo, éaquele que advém da limitação do expoente ao representar um
nú-mero em PontoFlutuante, ou seja, o expoente
a
esta inserido no intervalo
fi
,
S] em queIé o limite inferior e S é olimite superior, conforme pressu-postosteóricos definidos anteriormente.Desta forma, sempre que uma operação aritmética produz um número comexpoente su-perior ao expoente máximo de determinada má
-quina tem-se o fenômeno de overflow. Similar
-mente, operações que resultem em expoente in
-ferior ao expoente mínimo dessa máquina tê m-se o fenômeno deunderflow, esse número gera l-mente é ajustado para zero.
Por exemplo, no cálculo dealguns valores de x para a função
f(x)
=
2"sãoapresentados os seguintes resultados:V
al
o
r
es
de
x
f
(x
)
=
Y
-
4
00
O
-3
0
0
4
,
9
09093
4
65
x10
91-
100
7,88860
90
52
x1
0
.
31O
1
100
1
,2676
5
06
X1
0
3020
0
1,6
069
3
80
44
X1
0
60300
2
,
0
3
7035
9
76
X1
0
90400
M
ath
E
R
ROR
ou E
-Quadro 2 - Valores da função
f(x)
=2xCaberessaltar queos valores podem vari-ardependendo dacalculadora utilizada. Note que, para ovalor de xigual a -400 ocorre um erro de
underflow, ou seja, 'a máquina ajusta o número para zero.Já para o valor de xigual a 400 ocorre
umerro deoverflow, ou seja,amáquina não con
-segue calcular o valor da função exponencial
de-vido a sua limitação.
Professora doCursode Matemática naUniversidade Luteran -UNlLASALLE-RS.Mestre em Matemática Aplicada na U Bier,461/404, Porto Alegre - RS.Cep.: 90620-100. E-mail: s submetido em 01/07/2007
aprovado em 21/08/2007
EMR-RS- ANO 8 -2007-número8
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA -RS
---Considerações Finais
Com os exemplos apresentados, espera-o
se que oestudante possa analisar criticamente os resultados propostos pela calculadora, além de saber diferenciar os mais variados tipos de erros, pois, em muitos casos, a calculadora i n-duz o estudante a equivocar-se em conceitos ma -temáticos como, por exemplo, o que acontece coma família defunções exponenciais
f(x)
=a"
para diferentes valores da base a e a função exponencial
f(x)
=e
X de base e.Em ambos oscasos, ao substituir x por valores muito ele va-dose efetuar ocálculo emuma calculadora, ocor
-rerá um erro de overflow. Se o estudante não
tiver uma base teórica consolidada poderá equi-vocar-se com esse resultado apresentado pela
máquina.
Portanto, espera-se que comesse trabalho o estudante possa identificar outros problemas
que aparecem nas calculadoras científicas e pr in-cipalmente olharcriticamente paraa máquina não
esquecendo que o conhecimento matemático te
-óricoé fundamental para a interpretação dosre
-sultados propostos pela mesma.
Referências
BRASIL.Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curricularesnacionais: matemática.
Brasília: MEC/SEF,1997. 142p.
BURDEN,Richard;FAIRES,J.Douglas.Análise nu -mérica. São Paulo: Pioneira Thomson Learning,
2003.
CLÁUDIO, Dalcídio Moraes; MARINS,Jussara
Maria. Cálculo numérico computacional: teoria
e prática. SãoPaulo: Atlas,1994.
GIOVANNI,José Ruy;BONJORNO,José Roberto.
Matemática: uma nova abordagem. vol. 1. São
Paulo: FTD,2000.
ROQUE,WaldirL.Introdução aocálculo numéri -co:um texto integrado com DERIVE.São Paulo:
Atlas, 2000.
RUGGIERO,MárciaA.Gomes; LOPES, Vera Lú-cia da Rocha. Cálculo Numérico: Aspectos Teó
-ricos e Computacionais. São Paulo: Makron Books, 1997.
a doBrasil-ULBRA- RS. Professora doCentro Universitário LaSalle
niversidade Federal do Rio Grande doSul.Endereço: Rua Leopoldo PJenz@yahoo.com.br