• Nenhum resultado encontrado

A SUA CALCULADORA ERRA?

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "A SUA CALCULADORA ERRA?"

Copied!
5
0
0

Texto

(1)

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA -RS

.---A SU.---A C.---ALCUL.---ADOR.---A ERRA?

Resumo

A proposta apresentada neste artigo é dis-cutir quaisos tipos de erros quepodem estar e

n-volvidosaoseobter uma soluçãonumérica para umproblema matemático através do usode cal

-culadoras científicas. Assim, objetiva-se contri

-buir para o desenvolvimento de um sensocrítico nosestudantes, de formaque os resultados apre

-sentados pelas calculadoras sejam comp reendi-doseanalisados.

Palavras-chave: calculadora científica, erros de arredondamento

Abstract

This paper discusses which errors may occur when obtaining numerical solution for mathematical problems using a scientific calculator. This study aims to contribute to the development of students' critical sense when using a scientific calculator, in order to understand and analyse the results.

Key-words: scientific calculator, round-out-figu

-res erros Introdução

A calculadora é um recurso tecnológico

acessível e muito utilizado. Seu uso em sala de aula é indicado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais.

Sandra Pacheco Renz

Estudos e experiências evidenci-am que acalculadora éum instru-mento que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para essa visão é o fato de que ela pode serusadacomo uminstrumento motivador na rea-lização detarefas exploratórias e de investigação. Além disso, ela abre novas possibilidades educativa s, como ade levar oaluno a perceber a importância do uso dos meios tecnológicos disponíveis na socie-dade contemporânea. A calculado -raé também umrecurso para veri-ficação de resultados, correção de erros, podendo ser umvalioso ins-trumento de auto-avaliação. (BRA-SIL, 1997,p. 34)

Comouso dacalculadora, oaluno poderá elaborar eexplorar novas estratégias, organizar dados, formular e verificar hipóteses e fazer cál

-culos com maior rapidez. A maior rapidez nos cálculos significa ganho de tempo. Tempo este

que pode ser aproveitado para o trabalho com diferentes tipos de problemas e com as diversas estratégias de resolução, de modo que, podem ser formulados problemas com dados n

uméri-cos reais sem a preocupação de evitar cálculos extensos.

Como qualquer material didático, o uso da calculadora em sala de aula sempre causa uma série de polêmicas, pois a sua utilização exige mudanças na práxis do professor, uma vez que épreciso que ele tenha clareza de ob

(2)

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA - RS

~~-=

".;

.

,

.

--

~=

~-~

jetivos e escolha ametodologia mais adequada para alcançá-Ios. Além disso, cabe a ele propor situações desafiadoras que permitam ao aluno usar a calculadora como recurso metodológico na resolução ou no desenvolvimento dos con -ceitos matemáticos.

Desta forma, a proposta apresentada ne s-te artigo é discutir quais os erros que estão en-volvidos no processo de solução de um problema matemático, através do uso de uma calculadora ou até mesmo do computador, de modo que o estudante possa analisar criticamente os resul -tados apresen-tados pela máquina. Para tanto, é necessário umaintrodução exemplificativa sobre cada um dos tipos de erros.

Probl

e

ma Real

• Observação do fenômeno envolvido. • Levantamento dasvariáveis dominantes.

Construção do

Modelo

Matemático

Noções Básicas sobre Erros

Aoutilizar uma calculadora científica ou um computador para resolver umproblema ma -temático, àsvezes, os cálculossãoefetuados cor -retamente, no entanto, a solução não está coe -rente com oproblema proposto. Surge então a pergunta: quais oserros quepodem estar envol -vidos nesse processo?

Alguns autores, dentre eles citam-se R o-que (2000),Ruggiero e Lopes(1997)e Cláudio e Marins(1994)explicam oserros cometidos aotra -balhar commáquinas digitais como calculadoras científicas ecomputadores. Parao entendimento dosmesmos, apresenta-se o esboçoaseguir.

S

o

lu

ção

D

• Análise dosresultados

obtidos.

• Confrontação dedadoscom situações experimentais para validação domodelo matemático. • Escolha do procedimento

analítico ounumérico apropriado .

• Simplificação devariáveis irrelevantes aoprocesso. Quadro 1-Esquematização

Duas fases podem ser identificadas no e s-quema anterior: a fase da modelagem, na qual um modelo matemático que descreve ocomp or-tamento do problema real é obtido; e a fase da resolução, emque seobtém asolução domodelo matemático através da aplicaçãode métodos ana -líticos ou métodos numéricos. Para este último, utilizam-se calculadoras oucomputadores. Nes -sas fases há vários erros envolvidos que serão discutidos aseguir.

Erros na fase de modelagem

Ao tentar aproximar um problema realpor meio de ummodelomatemático, faz-se necess á-rio desprezar variáveis que não interferem no

desenvolvimento do processo. Por exemplo, ao deixar cair umobjeto de uma mesa, algumas va-riáveis envolvidas no fenômeno são: as dime n-sões eo peso doobjeto, aaltura damesa, o t em-po para o objeto chegar aosolo, avelocidade, o espaço percorrido peloobjeto, a gravidade, are -sistência doar, entre muitas outras. Quais des-sas variáveis poderiam ser ignoradas de forma a não afetar o problema?

Ummodelomatemático é uma idealização domundo real que permite cálculos matemá ti-cos,mantendo, entretanto, uma precisão sufici -ente para a obtenção de resultados plausíveis. Desta forma, ao ajustar as variáveis envolvidas noprocesso, provocam-se erros desimplificação na modelagem matemática.

(3)

-- ---

-Deve-se ainda mencionar aqueles erros

que estão inseridos dentro dosdados coletados. principalmente oserros resultantes das medidas, como, por exemplo,os valoresdemedidas de tem

-po, de temperatura, de distância, de intensidade

luminosa, entre muitos outros. Esses dados são

obtidos através deinstrumentos que, emmuitos

casos, têm precisão limitada.

EITOS nafase de resolução

Paraaresolução dos modelos matemáticos é

necessário fazer aproximações.Tais aproximações podemgerar os chamadoserrosde truncamento e

também os erros dearredondamento.

Os erros de truncamento são aqueles co-metidos quando se substitui qualquer processo

infinitopor um processo finito. Por exemplo,

su-ponha que sequeira calcular onúmero de Euler,

dado pela série infinita (CLAUDIOe MARINS, 2000, p.35),

OC;

1

e

---"

-

-

-

L

"

..

"

1

'

i=O1.

Paraobter ovalor do número deEuler por este processo, efetua-se o cálculo da série em

várias parcelas e depois, apósum número deter

-minadode operações finaliza-seo cálculo, ou seja,

trunca-se a série. Ao truncar qualquer série co-mete-se um erro causado peloabandono das par

-celas que nãosão somadas.

Já os erros de arredondamento surgem quando se trabalha com calculadoras digitais ou computadores para representar números perten

-centes aocampo dos reais, como, por exemplo, o

2

número racional

'

z:

cuja representação decimal

3

0,666...éuma dízima periódica infinita. Uma cal

-culadorarepresenta tais números no sistema de

-nominado Aritmética de PontoFlutuante.

A representação dos números em Ponto Flutuante permite expressar um número real r,

na base

{

3

,

em uma forma canônica, ouseja,

onde {3éabase do sistema de numeração adota

-do;

a

éoexpoente dabase, pertence ao conjunto dos números inteiros em

[I

,

SJ

com Isendo o

limite inferior e 5 o limite superior. Os dígitos

d

1

d

2

d

3••

·

d

k formam a mantissa donúmero e r

e-presentam seus dígitos significativos, Roque

(2000). Paraabase 10 têm-se os números

deci-mais da seguinte forma:

com

1 ~

di ~

9

e

°

~

di

~

9

,

para i = 1, 2,....k,

sendo

a

denominado expoente da base decimal.

Oformato dePontoFlutuante de um nú -mero éobtido limitando-se amantissa desse nú

-mero em k dígitos decimais, de modo que essa

limitação éobtida de duas formas: ométodo de arredondamento do tipo corte e o método de

arredondamento. O primeiro, também chamado de método de cancelamento, consiste em despre

-zar os dígitos além da precisão previamente estabelecida. Osegundo consiste em aproximar

para o número maispróximo,ou seja,se dk+1 ~

5

,

adiciona-se 1a

d

k para obter o número n com

arredondamento. Quando dk+1

<

5, si

mplesmen-te cortam-se todos osdígitos seguintes aoskpri

-meiros algarismos.

Porexemplo, o valor do número In(2) na

forma decimal expande-se em infinitos dígitos, In(2)=0,69314718 .... Na representação em Pon

-to Flutuante tem-se:

l

n

(2)

=

0

,69

3

14

718

.

.

.

x

1

0

°.

Para uma precisão de cinco dígitos utili-zando ométodo doarredondamento dotipo cor-te encontra-se:

In(2) =O,69314xlOo.

Utilizando oarredondamento no sexto dí-gito tem-se onúmero 7que é maior que cinco,

portanto adiciona-se 1ao quinto dígito, ou seja,

(0,69

3

1

4

+

O

,

OOOOl

)

x1

=

0

,

69

3

15

x

10

0.

Ao fixar a mantissa e realizar um arredondamento, de qualquer tipo, causam-se

erros. Esseserros podem ser medidos através do erro absoluto edoerro relativo. Oerro absoluto,

indicado por E;I' éomódulo da diferença entre o valor "exato"eovalor aproximado,

(4)

De acordo com a definição da função

f(x

)

=

a

X tem-se que odomínio é o conjunto dos números reais e a imagem é R".f-. Ainda, é conhe

-cido que para abase

a

>

1a

função é crescente e para abase definida nointervalo (0,1)a função é decrescente.

Objetivando analisar os resultados apre -sentados pelas calculadoras científicas, sugere -se duas atividades envolvendo funções exponenciais. A primeira de base 2e a segunda

1

de base

2'

ou seja, as funções

f(x)

=

2' e

f(x) =

T

'

representadas na Figura 1.

Cabe ressaltar que o número exato E é aquele que representa o valor inteiro ou compl e-to de uma grandeza, como, por exemplo, o nú

-mero

.

f

i

ou In(2).Já o número aproximado A é.

aquele utilizado para representar o número exa

-to. Por exemplo, seo valor exato de um número é dado por E = 0,300xJ01e o valor aproximado é

A = 0,3100xlOI, então o erro absoluto é:

EA=IE-AI= 10,300 x 101-O,3100x 1011=0,1.

o

erro relativo édefinidocomo o quocien -te entre o erro absoluto e o módulo dovalor exa -to, ou seja,

E,

t

E-A

l

E =·········=,···········1.

R

l

E

i

i

E '

Por exemplo, se o valor exato de um nú -mero é dado por E = 0.300xlOI e o valor aproxi

-mado éA

=

0,3100xlO', então o erro relativo é:

E EA ! 0,1

I

0333 10-1

R

=

l

E

i =

'0.300 x101

=,

...

x .

: ,.'

Como o objetivo de melhor compreender

os resultados anteriores apresenta-se, a seguir, algumas atividades que podem ser desenvolvi -das com alunos de Ensino Médio.

No Ensino Médio, a função exponencial

aparece definida como: "a função

f :

R --t R dada porf(x)

=

a' coma>

°

ea '"Oé denominada função exponencial de base ." (GIOVANNIe BONJORNO, 2000, p. 253).

Para o propósito do presente trabalho, as funções f(x) =2'ef(x) =T' estão representadas na

Figura 1 em um mesmo sistema cartesiano.

\

f(x)

/

-x\

f(x)=2 \ 5 / f(x)=2)( \, y 4 3

/

2

/

~

'

--

-

---·3 -2 ·1 1 2 3 x

Figura 1 - Gráfico das funçõesf(x)

=

2'e f(x) =T'

Atividade 1: Se f(x) =

Y

determine f(x) quando x éigual a400.

Com a calculadora deve-se realizar o se

-guinte procedimento: digite 2,em seguida pres -sione a tecla

y

x, após digite 400 etecle

=.

x Casoacalculadora não tenha atecla )l-,

então faça oprocedimento: digite 2,em seguida tecle A ,após digite400epressione a tecla

=.

Atividade 2:Se f(x) =

T"

determine f(x) quando x é igual a 400.

O procedimento, para esse caso, é seme -lhante aoanterior. Digite 2, emseguida pressio

-ne a tecla

y ',

digite 400, pressione a tecla

Y-até aparecer o sinal negativo eapós tecle

Casoacalculadora não tenha a tecla

y

x, então digite 2, em seguida tecle A, digite o

sinal negativo na tecla (-), digite 400 e após pressione atecla

Paraa atividade 1, acalculadora retorna o símbolo(-E -)ou Math ERROR e para aativida

-de 2, a calculadora retorna zero.

Após esses resultados, algumas questões devem ser investigadas: como épossívelamáqui

-na retornar (-E -) ou Math ERROR se o domínio das funções

f

(

x)

=2' ou

f(

x

)

=

r

'

étodos osnúmeros reais? Comoépossívelacalculadora retornar zero se a imagemdasreferidas funções é

R

:

?

Essesresultados apresentados pela calcu -ladora ocorrem por diversos motivos. Primeiro, o conjunto dosnúmeros reais éum conjunto infi -nito e a calculadora trabalha com um número finito de números e de dígitos, portanto, apenas

(5)

--~,,;,.-- ..

-""""""

uma parte dosnúmeros reais é representada nes -sa máquina. Logo, a representação deum núme -roem uma máquina é limitada.

Essa limitação acarreta dois tipos de erros:

oprimeiro, é aquele causado no arredondamento,

uma vez que a mantissa representa um número

finitode dígitos; o segundo, éaquele que advém da limitação do expoente ao representar um

nú-mero em PontoFlutuante, ou seja, o expoente

a

esta inserido no intervalo

fi

,

S] em queIé o limite inferior e S é olimite superior, conforme pressu-postosteóricos definidos anteriormente.

Desta forma, sempre que uma operação aritmética produz um número comexpoente su-perior ao expoente máximo de determinada má

-quina tem-se o fenômeno de overflow. Similar

-mente, operações que resultem em expoente in

-ferior ao expoente mínimo dessa máquina tê m-se o fenômeno deunderflow, esse número gera l-mente é ajustado para zero.

Por exemplo, no cálculo dealguns valores de x para a função

f(x)

=

2"sãoapresentados os seguintes resultados:

V

al

o

r

es

de

x

f

(x

)

=

Y

-

4

00

O

-3

0

0

4

,

9

09093

4

65

x

10

91

-

100

7,88860

90

52

x

1

0

.

31

O

1

100

1

,2676

5

06

X

1

0

30

20

0

1,6

069

3

80

44

X

1

0

60

300

2

,

0

3

7035

9

76

X

1

0

90

400

M

ath

E

R

ROR

ou E

-Quadro 2 - Valores da função

f(x)

=2x

Caberessaltar queos valores podem vari-ardependendo dacalculadora utilizada. Note que, para ovalor de xigual a -400 ocorre um erro de

underflow, ou seja, 'a máquina ajusta o número para zero.Já para o valor de xigual a 400 ocorre

umerro deoverflow, ou seja,amáquina não con

-segue calcular o valor da função exponencial

de-vido a sua limitação.

Professora doCursode Matemática naUniversidade Luteran -UNlLASALLE-RS.Mestre em Matemática Aplicada na U Bier,461/404, Porto Alegre - RS.Cep.: 90620-100. E-mail: s submetido em 01/07/2007

aprovado em 21/08/2007

EMR-RS- ANO 8 -2007-número8

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA -RS

---Considerações Finais

Com os exemplos apresentados, espera-o

se que oestudante possa analisar criticamente os resultados propostos pela calculadora, além de saber diferenciar os mais variados tipos de erros, pois, em muitos casos, a calculadora i n-duz o estudante a equivocar-se em conceitos ma -temáticos como, por exemplo, o que acontece coma família defunções exponenciais

f(x)

=

a"

para diferentes valores da base a e a função exponencial

f(x)

=

e

X de base e.Em ambos os

casos, ao substituir x por valores muito ele va-dose efetuar ocálculo emuma calculadora, ocor

-rerá um erro de overflow. Se o estudante não

tiver uma base teórica consolidada poderá equi-vocar-se com esse resultado apresentado pela

máquina.

Portanto, espera-se que comesse trabalho o estudante possa identificar outros problemas

que aparecem nas calculadoras científicas e pr in-cipalmente olharcriticamente paraa máquina não

esquecendo que o conhecimento matemático te

-óricoé fundamental para a interpretação dosre

-sultados propostos pela mesma.

Referências

BRASIL.Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curricularesnacionais: matemática.

Brasília: MEC/SEF,1997. 142p.

BURDEN,Richard;FAIRES,J.Douglas.Análise nu -mérica. São Paulo: Pioneira Thomson Learning,

2003.

CLÁUDIO, Dalcídio Moraes; MARINS,Jussara

Maria. Cálculo numérico computacional: teoria

e prática. SãoPaulo: Atlas,1994.

GIOVANNI,José Ruy;BONJORNO,José Roberto.

Matemática: uma nova abordagem. vol. 1. São

Paulo: FTD,2000.

ROQUE,WaldirL.Introdução aocálculo numéri -co:um texto integrado com DERIVE.São Paulo:

Atlas, 2000.

RUGGIERO,MárciaA.Gomes; LOPES, Vera Lú-cia da Rocha. Cálculo Numérico: Aspectos Teó

-ricos e Computacionais. São Paulo: Makron Books, 1997.

a doBrasil-ULBRA- RS. Professora doCentro Universitário LaSalle

niversidade Federal do Rio Grande doSul.Endereço: Rua Leopoldo PJenz@yahoo.com.br

Referências

Documentos relacionados

Excluindo as operações de Santos, os demais terminais da Ultracargo apresentaram EBITDA de R$ 15 milhões, redução de 30% e 40% em relação ao 4T14 e ao 3T15,

A maior parte dos isolados testados (81%) mostrou resistência ao Tiofanato metílico a uma concentração de 490 ppm, correspondente a recomendação comercial (Tabela 4).. 1 -

Brasil Seguros e Previdência S/A), apresentou os trabalhos da Comissão de Inteligência de Mercado – CIM em 2017, que foram divididos em três projetos: 1) Insurtechs e

Entrega do empenho e abertura do prazo para que o beneficiário da ata entregue o bem/serviço – é feito contato com o beneficiário da ata (o fornecedor que

Entre as atividades, parte dos alunos é também conduzida a concertos entoados pela Orquestra Sinfônica de Santo André e OSESP (Orquestra Sinfônica do Estado de São

A rota ecoturística Maricá-Saquarema tem o potencial de ser uma alternativa viável para o incremento do setor turístico regional, bem como favorecer a promoção

MATRÍCULA nº 4.540 do 1º CRI de Piracicaba/SP: 01 (UMA) GLEBA DE TERRAS, situada no imóvel denominado “Algodoal”, contendo a área de 53.982,00m², desta cidade, que assim

Os métodos estatísticos para análise de dados podem ser classificados como métodos descritivos (Estatística descritiva) e métodos inferenciais (Estatística