LISTA 3 - FUNÇÕES EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES

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IF Sudeste de Minas Gerais

Campus Juiz de Fora - N´

ucleo de Matem´

atica

Disciplina: Matem´

atica II - Lista de Exerc´

ıcios 3

Bimestre 1 - Professor: Angelo

Exerc´ıcio 1. Classifique os itens a seguir em verdadeiros (V) ou falsos(F): (a) O valor de sen 2π

3 + k · 2π , para k inteiro, ´e √ 3 2 . (b) sen(k · π) = 0, para k inteiro.

(c) sen(1000o) > 0.

(d) O seno do número real 10 é negativo. (e) sen−π 9 = senπ 9. (f) cosπ 6 + k · 2π = ± √ 3 2 , para k inteiro, é √ 3 2 . (g) cosπ 2 + k · π = 0, para k inteiro.

(h) A fun¸c˜_{ao f : R → R definida por f (x) = 2 · cos x tem valor m´ınimo igual a −1.} (i) A fun¸c˜_{ao f : R → R definida por f (x) = x · cos π ´e peri´odica.}

(j) O per´ıodo da fun¸c˜_{ao f : R → R definida por f (x) = cos}π 8x ´e 16. (k) cos −3π 20 > 0.

Exerc´ıcio 2. Qual ´e o valor de: (a) sen4π (b) sen 17π 2 (c) sen 19π 3 (d) sen1290o (e) sen−π 3 (f) sen 29π 4 (g) cos 1560o (h) cos 1035o (i) cos 19π 6 (j) cos 22π 3 (k) cos(−270o₎ (l) cos 43π 4

Exerc´ıcio 3. Determine o per´ıodo e o conjunto imagem, construindo o gr´afico de um per´ıodo completo para cada fun¸c˜ao dada abaixo.

(a) f : R → R definida por f (x) = 2 · senx (b) f : R → R definida por f (x) = − senx

(c) f : R → R definida por f (x) = sen(3x) (d) f : R → R definida por f (x) = 3 + senx

(e) f : R → R definida por f (x) = 2 + senx₂

(f) f : R → R definida por f (x) = 2 · cos x (g) f : R → R definida por f (x) = 2 − cos x (h) f : R → R definida por f (x) = cosx

2 (i) f : R → R definida por f (x) = cos(3x) (j) f : R → R definida por f (x) = 2 + cos(3x)

Exerc´ıcio 4. Para quais valores reais de t temos sen α = t + 1

2 , sendo α um número real qualquer? Exerc´ıcio 5. O número real α é tal que π

2 ≤ α ≤ π, com sen α = 2m − 3. Quais s˜ao os poss´ıveis valores reais de m?

Exerc´ıcio 6. Quais s˜ao os poss´ıveis valores inteiros de m que satisfazem `a igualdade cos x = 3m 2 −

1 3?

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Exerc´ıcio 7. Um artigo publicado em um caderno de economia prevê que as exporta¸cões de um certo pa´ıs (em milhões de dólares), no ano de 2020 + x, em que x ∈ {0, 1, 2, 3, ..., 19, 20}, serão dadas pela lei:

f (x) = 400 + 18 · cosπ 3x

Supondo que isso realmente ocorra, determine:

(a) o valor das exporta¸cões desse pa´ıs nos anos de 2020, 2025, e 2030, em milhões de dólares; (b) quantas vezes, entre 2020 e 2040, f atingirá seu valor m´ınimo e qual é esse valor?

Exerc´ıcio 8. Um satélite de telecomunica¸cões, t minutos após ter atingido sua órbita, está r quilômetros de distância do centro da terra. Quando r assume seus valores máximo e m´ınimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em fun¸cão de t seja dado por:

r(t) = 5865

1 + 0, 15 · cos(0, 06 · t)

Um cientista monitora o movimento desse sat´elite para controlar o seu afastamento do centro da terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de:

(a) 12765 km (b) 12000 km (c) 11730 km (d) 10965 km (e) 5865 km

Exerc´ıcio 9. Em uma pequena roda-gigante, a altura (em metros) em que um passageiro se encontra no instante t (em segundos) ´e dada pela lei:

h(t) = 6 + 4 · senπ 12· t

, t ∈ [0, 270].

(a) No in´ıcio do passeio, a que altura se encontra o passageiro?

(b) A que altura se encontra o passageiro ap´os 9 s do in´ıcio? (use√2 ' 1, 4) (c) Qual ´e a altura m´ınima que esse passageiro atinge no passeio?

(d) Qual ´e o tempo necess´ario para a roda-gigante dar uma volta completa? (e) Quantas voltas completas ocorrem no passeio?

Exerc´ıcio 10. Calcule os valores de : (a) cos 15o

(b) sen105o

(c) tan 75o (d) sec 285o

Exerc´ıcio 11. Dados: sen x = 3

5 e cos y = 5

13, calcule o cos(x + y), sabendo que 0 < x < π 2 e

3π

2 < y < 2π. Exerc´ıcio 12. Sabendo que tan a = 2

3 e sen b = 4 5 com

π

2 < b < π, calcule tan(a + b).

Exerc´ıcio 13. Para cada fun¸cão abaixo, determine o dom´ınio, o per´ıodo e a imagem. Fa¸ca também o gráfico em um per´ıodo dessas fun¸cões.

(a) f (x) = sen(2x) · cos(x) + sen(x) · cos(2x) (b) g(x) = √ 2 2 · cos(x) + √ 2 2 · sen(x) (c) h(x) =1 + tan(x) 1 − tan(x)

Exerc´ıcio 14. Sendo tan x = 3

4 e π < x < 3π

2 , determine o valor de sen 2x. Exerc´ıcio 15. Calcule o valor das fun¸c˜oes circulares em π

8. Exerc´ıcio 16. Calcule o valor num´erico da express˜ao: y = sen13π

12 · cos 11π 12 . Sugest˜ao : f a¸ca p + q 2 = 13π 12 e p − q 2 = 11π 12

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Exerc´ıcio 17. Resolva as seguintes equa¸c˜oes: (a) sen x = senπ

5 (b) sen x = 0 (c) sen x = − √ 2 2 (d) sen x = √ 3 2 (e) sen2_{x =} 1 4 (f) sen2_{x − sen x = 0} (g) 2 sen2_{x − 3 sen x + 1 = 0} (h) cos x = 0 (i) cos x = √ 2 2 (j) cos x =− √ 3 2 (k) tan x = 1 (l) tan x = −√3 (m) tan 2x =√3 (n) tan 2x = tan x Exerc´ıcio 18. Resolva as seguintes inequa¸c˜oes:

(a) −3 2 ≤ cos x ≤ 0, para x ∈ R. (b) cos x ≥ −1 2, em R. (c) cos x < √ 2 2 , para x ∈ R. (d) | cos x| < √ 3 2 , para x ∈ R. (e) cos 2x + cos x ≤ −1, para x ∈ R. (f) sen x + cos x ≥ √ 2 2 , para x ∈ R. (g) 0 ≤ senx < √ 3 2 , para x ∈ R. (h) | sen x| ≥ √ 3 2 , para x ∈ R. (i) 2 sen2_{x < sen x, para x ∈ R.}

(j) | tan x| ≤ 1, para x ∈ R. (k) tan x >√_{3, para x ∈ R.} (l) tan x ≤ 0, para x ∈ R. (m) −√3 < tan x ≤ √ 3 3 , para x ∈ R. (n) | tan x| ≥√_{3, para x ∈ R.} FIM!!!

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Respostas

1. (a) V. (b) V. (c) F. (d) V. (e) F. (f) F. (g) V. (h) F. (i) F. (j) V. (k) V. 2. (a) 0 (b) 1 (c) √ 3 2 (d) −1 2 (e) − √ 3 2 (f) − √ 2 2 (g) − √ 2 2 (h) √ 2 2 (i) − √ 3 2 (j) −1 2 (k) 0 (l) − √ 2 2 3. (a) p = 2π Im = [−2, 2] (b) p = 2π Im = [−1, 1] (c) p = 2π 3 Im = [−2, 2] (d) p = 2π Im = [2, 4] (e) p = 4π Im = [1, 3] (f) p = 2π Im = [−2, 2] (g) p = 2π Im = [1, 3] (h) p = 4π Im = [−1, 1] (i) p = 2π 3 Im = [−1, 1] (j) p = 2π 3 Im = [1, 3] 4. {t ∈ R/ − 3 ≤ t ≤ 1} 5. {m ∈ R/3₂ ≤ m ≤ 2} 6. O único valor é 0 (zero) 7. (a) 391 milhões de dólares

(b) 3 vezes (nos anos de 2023, 2029 e 2035!) 8. B

9. (a) 6 metros (b) 8,8 metros

(c) 2 metros (d) 24 segundos

(5)

10. (a) √ 6 +√2 4 (b) √ 6 +√2 4 (c) 2 +√3 (d) √6 +√2 11. 56 65 12. −6 17 13. _{(a) D = R, p =} 2π 3 Im = [−1, 1] (b) D = R, p = 2π Im = [−1, 1] (c) D = {x ∈ R/x 6= π₄ + kπ}, p = π Im = R 14. 24 25 15. (a) senπ 8 = p 2 −√2 2 (b) senπ 8 = p 2 +√2 2 (c) tanπ 8 = √ 2 − 1 16. 1 4 17. _{(a) S={x ∈ R/x =} π 5 + 2kπ} (b) S={x ∈ R/x = kπ} (c) S={x ∈ R/x = 5π₄ + 2kπ} (d) S={x ∈ R/x = π₃ + 2kπ} (e) S={x ∈ R/x = π 6 + 2kπ ou x = 5π 6 + 2kπ ou x = 7π 6 + 2kπ ou x = −π 6 + 2kπ} (f) S={x ∈ R/x = kπ ou x = π₂ + 2kπ} (g) S={x ∈ R/x = π₂ + 2kπ ou x = π 6 + 2kπ ou x = 5π 6 + 2kπ} (h) S={x ∈ R/x = π₂ + kπ} (i) S={x ∈ R/x = ±π 4 + 2kπ} (j) S={x ∈ R/x = ±5π₆ + 2kπ} (k) S={x ∈ R/x = π₄ + kπ} (l) S={x ∈ R/x = 2π₃ + kπ} π kπ

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18. _{(a) S={x ∈ R/}π 2 + 2kπ ≤ x ≤ 3π 2 + 2kπ} (b) S={x ∈ R/2kπ ≤ x ≤ 2π₃ + 2kπ ou 4π 3 + 2kπ ≤ x < 2π + 2kπ} (c) S={x ∈ R/π₄ + 2kπ < x < 7π 4 + 2kπ} (d) S={x ∈ R/π 6 + 2kπ < x < 5π 6 + 2kπ ou 7π 6 + 2kπ < x < 11π 6 + 2kπ} (e) S={x ∈ R/π₂ + 2kπ ≤ x ≤ 2π 3 + 2kπ ou 4π 3 + 2kπ ≤ x ≤ 3π 2 + 2kπ} (f) S={x ∈ R/π 4 + 2kπ ≤ x ≤ 7π 12 + 2kπ ou 23π 12 + 2kπ ≤ x < 9π 4 + 2kπ} (g) S={x ∈ R/0 + 2kπ ≤ x < π₃ + 2kπ ou 2π 3 + 2kπ < x ≤ π + 2kπ} (h) S={x ∈ R/π₃ + 2kπ ≤ x ≤ 2π 3 + 2kπ ou 4π 3 + 2kπ ≤ x ≤ 5π 3 + 2kπ} (i) S={x ∈ R/2kπ < x < π₆ + 2kπ ou 5π 6 + 2kπ < x < π + 2kπ} (j) S={x ∈ R/2kπ ≤ x ≤ π₄ + 2kπ ou 3π 4 + 2kπ ≤ x ≤ 5π 4 + 2kπ ou 7π 4 + 2kπ ≤ x < 2π + 2kπ} (k) S={x ∈ R/π₃ + kπ < x < π 2 + kπ} (l) S={x ∈ R/π 2 + kπ < x ≤ π + kπ} (m) S={x ∈ R/0 + 2kπ ≤ x ≤ π₆ + 2kπ ou 2π 3 + 2kπ < x ≤ 7π 6 + 2kπ ou 5π 3 + 2kπ < x < 2π + 2kπ} (n) S={x ∈ R/π 3 + kπ ≤ x < π 2 + kπ ou π 2 + kπ < x ≤ 2π 3 + kπ} FIM - APC - 2020