Cap7 Sec4 2x4

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Capítulo 7

Técnicas de

Integração

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7.4

Integração de Funções

Racionais por Frações Parciais

Nessa seção, vamos aprender como integrar funções racionais reduzindo-as a uma soma de

frações mais simples. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

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INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS

ƒ Nesta seção mostraremos como integrar qualquer função racional (um quociente de polinômios) expressando-a como uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, que já sabemos como integrar.

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ƒ Para ilustrar o método, observe que, levando as frações 2/(x – 1) e 1/(x – 2) a um

denominador comum, obtemos:

2

2

1

2(

2) (

1)

1

2

(

1)(

2)

5

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  











 

INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Se revertermos o procedimento, veremos como integrar a função no lado direito dessa equação: 2

5

2

1

2

1

2

2ln |

1| ln |

2 |

x

dx

dx

x

x

x

x

x

x

C



§

_

·

¨

¸

 

©





¹

 

 

³

³

INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Para ver como esse método de frações parciais funciona em geral, consideramos a função racional

onde P e Q são polinômios.

( )

( )

( )

P x

f x

Q x

INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS

FUNÇÃO PRÓPRIA

ƒ É possível expressar f como uma soma de frações mais simples, desde que o grau de P seja menor que o grau de Q.

ƒ Essa função racional é denominada própria. ƒ Lembre-se de que se

• No qual an 0, então o grau de P é n, e escrevemos

gr(P) = n. 1 1 1 0

( )

n n n n

P x

a x



a x

_ 

 ˜˜˜

a x a



ƒ Se f é imprópria, isto é, gr(P)  gr(Q), então devemos fazer uma etapa preliminar

dividindo P por Q (por divisão de polinômios).

• Até o resto R(x) ser obtido, com gr(R) < gr(Q). FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ O resultado da divisão é

onde S e R são polinômios também.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

P x

R x

f x

S x

Q x



Q x

Equação 1 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Como o exemplo a seguir mostra, algumas vezes essa etapa preliminar é tudo de que precisamos.

FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Encontre

• Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, primeiro devemos fazer a divisão.

3

1

x

x

dx

x





³

Exemplo 1 FRAÇÕES PARCIAIS

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• Isso nos permite escrever: 3 2 3 2

2

2

1

1

2

2ln |

1|

3

2

x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

x

x

x

C



§

_{  }

·

¨

¸



©



¹







 

³

³

Exemplo 1 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ A próxima etapa é fatorar o denominador Q(x) o máximo possível.

ƒ É possível demonstrar que qualquer polinômio Q pode ser fatorado como um produto de fatores lineares (da forma ax + b) e fatores quadráticos irredutíveis (da forma ax2_{+ bx + c, onde b}2_{– 4ac < 0).}

FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Por exemplo, se Q(x) = x4_{– 16, poderíamos} fatorá-lo como: 2 2 2

( ) (

4)(

4)

(

2)(

2)(

4)

Q x

x

x

x

x

x











FATORANDOQ(x) FATORANDOQ(x)

ƒ A terceira etapa é expressar a função racional própria R(x)/Q(x) (da Equação 1) como uma soma de frações parciais da forma: ou

(



)

i

A

ax b

(

2

)



 

j

Ax B

ax

bx c

ƒ Um teorema na álgebra garante que é sempre possível fazer isso.

• Explicamos os detalhes para os quatro casos que ocorrem.

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ƒ O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos.

ƒ Isso significa que podemos escrever ƒ Q(x) = (a1x + b₁) (a₂x + b₂)…_(a

kx + bk)

onde nenhum fator é repetido (e nenhum fator é múltiplo constante do outro). CASO 1

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ƒ Nesse caso o teorema das frações parciais afirma que existem constantesA₁, A₂, . . . , A_k tal que:

ƒ Essas constantes podem ser determinadas como no exemplo seguinte.

1 2 1 1 2 2

( )

( )

k k k

A

A

A

R x

Q x

a x b





a x b



 ˜˜˜

a x b



Equação 2 CASO 1

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ƒ Calcule

• Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não precisamos dividir.

ƒ Fatoramos o denominador como:

2x3_{+ 3x}2_{– 2x = x(2x}2_{+ 3x – 2) = x(2x – 1)(x + 2)}

• Como o denominador tem três fatores lineares distintos. Exemplo 2 2 3 2 2 1 2 3 2 x x dx x x x    

³

FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ A decomposição em frações parciais do integrando (2) tem a forma:

2

₂

₁

(2

1)(

2)

2

1

2

x

x

A

B

C

x x

x

x

x

x





_

_









Ex.: 2 – Equação 3 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Para determinar os valores de A, B e C multiplicamos ambos os lados dessa equação pelo produto dos denominadores, x(2x – 1)(x + 2), obtendo:

x2_{+ 2x + 1 = A(2x – 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x – 1)} Ex.: 2 – Equação 4 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Expandindo o lado direito da Equação 4 e escrevendo-a na forma-padrão para os polinômios, temos:

x2_{+ 2x + 1 = (2A + B + 2C)x}2_{+ (3A + 2B – C) – 2A} Ex.: 2 – Equação 5 FRAÇÕES PARCIAIS

ƒ Os polinômios na Equação 5 são idênticos, então seus coeficientes devem ser iguais. ƒ O coeficiente de x2 _{do lado direito, 2A + B +}

2C, deve ser igual ao coeficiente de x2_do lado esquerdo, ou seja, 1.

• Do mesmo modo, os coeficientes de x são iguais e os termos constantes também.

Exemplo 2 FRAÇÕES PARCIAIS

ƒ Isso resulta no seguinte sistema de equações para A, B e C: 2A + B + 2C = 1 3A + 2B – C = 2 –2A = –1 Exemplo 2 FRAÇÕES PARCIAIS

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. ƒ Resolvendo, obtemos

:

• A = ½ • B = 1/5 • C = –1/10 Exemplo 2 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ E assim, 2 3 2 1 1 1 2 10 10

2

1

2

3

2

1 1 1 1

1 1

2

5 2

1 10

2

ln | |

ln | 2

1|

|

2 |









§

_

_

·

¨

_

_

¸

©

¹



 

 

³

³

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

x

x

x

x

K

Exemplo 2 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Ao integrar o termo do meio, fizemos mentalmente a substituição u = 2x – 1, que resulta em du = 2 dx e dx = du/2.

Exemplo 2 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Podemos usar um método alternativo para encontrar os coeficientes A, B e C no Exemplo 2.

ƒ A Equação 4 é uma identidade; é verdadeira para cada valor de x.

ƒ Vamos escolher valores de x que simplificam a equação.

OBSERVAÇÃO

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ƒ Se pusermos x = 0 na Equação 4, o segundo e o terceiro membros do lado direito desaparecerão, e a equação será –2A = –1.

• Ou A = ½. OBSERVAÇÃO

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ƒ Da mesma maneira, x = ½ dá 5B/4 = 1/4 e x = –2 dá 10C = –1.

• Assim, B = 1/5 e C = –1/10. OBSERVAÇÃO

ƒ Você pode argumentar que a Equação 3 não é válida para x = 0, ½, ou –2.

• Então, por que a Equação 4 deveria ser válida para aqueles valores?

ƒ De fato, a Equação 4 é válida para todos os valores de x, até para x = 0, ½, e –2 .

• Veja o Exercício 69 para uma explicação. OBSERVAÇÃO

ƒ Encontre , onde a  0.

• O método das frações parciais dá:

• E portanto, 2 2

dx

x



a

³

2 2 1 1 ( )( ) A B x a  x a x a  x a x a ( ) ( ) 1 A x a B x a Exemplo 3 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Usando o método da observação anterior.

• Colocamos x = a nesta equação e obtemos A(2a) = 1. Assim, A = 1/(2a).

• Se pusermos x = –a, obteremos B(–2a) = 1. E dessa forma, B = –1/(2a).

Exemplo 3 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Então, 2 2

1

1

1

2

1 (ln |

| ln |

|)

2

§

_

·

¨

¸



©





¹

 





³

dx

³

dx

x

a

a

x a

x a

x a

x a

C

a

Exemplo 3 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Como ln x – ln y = ln(x/y), podemos escrever a integral como:

• Veja os Exercícios 55-56 para maneiras de usar a Fórmula 6. 2 2

₂

1 ln

dx

x a

C

x

a

a

x a



_





³

Ex.: 3 – Fórmula 6 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Q(x) é um produto de fatores lineares, e alguns dos fatores são repetidos.

ƒ Suponha que o primeiro fator linear (a1x + b₁) seja repetido r vezes.

• Isto é, (a1x + b1)rocorre na fatoração de Q(x). CASO 2

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ƒ Então, em vez de um único termo A1/(a₁x + b₁) na Equação 2, usaríamos: 1 2 2 1 1

(

1 1

)

(

1 1

)

r r

A

A

A

a x b





a x b



 ˜˜˜

a x b



Equação 7 CASO 2

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ƒ Para ilustrar, poderíamos escrever:

• Mas é preferível detalhar um exemplo mais simples. CASO 2 3 2 3 2 2 3 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) x x A B C D E x x    x x x  x  x ƒ Encontre

• A primeira etapa é dividir.

• O resultado da divisão de polinômios é: 4 2 3 2 2 4 1 1 x x x dx x x x      

³

4 2 3 2 3 2 2 4 1 1 4 1 1 x x x x x x x x x x x            Exemplo 4 FRAÇÕES PARCIAIS

ƒ A segunda etapa é fatorar o denominador

Q(x) = x

3

_{– x}

2

_{– x + 1.}

• Como Q(1) = 0, sabemos quex – 1 é um fator e obtemos: 3 2 2 2 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x           Exemplo 4 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Como o fator linear x – 1 ocorre duas vezes. ƒ A decomposição em frações parciais é:

2 2 4 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 x A B C x x x  x x Exemplo 4 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Multiplicando pelo mínimo denominador comum, (x – 1)2 _{(x + 1), temos:} 2 2

4

(

1)(

1)

(

1)

(

1)

(

)

(

2 )

(

)



 

 









   

x

A x

x

B x

C x

A C x

B

C x

A B C

Ex.: 4 – Equação 8 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Agora igualamos os coeficientes:

0

2

4

0





  

A C

B

C

A B C

Exemplo 4 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Resolvendo, obtemos

:

A = 1 B = 2 C = -1 Exemplo 4 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Assim, 4 2 3 2 2 2 2 2 4 1 1 1 2 1 1 1 ( 1) 1 2 ln | 1| ln | 1| 2 1 2 _ln 1 2 1 1       ª _{   } º « _{  } » ¬ ¼               

³

³

x x x dx x x x x dx x x x x x x x K x x x x K x x Exemplo 4 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis, nenhum dos quais se repete.

ƒ Se Q(x) tem o fator ax2_{+ bx + c, onde b}2_{– 4ac}

< 0, então, além das frações parciais nas

Equações 2 e 7, a expressão para R(x)/Q(x) terá um termo da forma

em que A e B são as constantes a serem determinadas. CASO 3 2

Ax B

ax

bx c



 

ƒ Por exemplo, a função dada por f(x) = x/[(x – 2)(x2_{+ 1)(x}2_{+ 4) tem uma} decomposição em frações parciais da forma CASO 3 2 2 2 2

(

2)(

1)(

4)

2

1

4





















x

x

x

x

A

Bx C

Dx E

x

x

x

ƒ O termo dado em (9) pode ser integrado completando o quadrado e usando a fórmula

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ƒ Calcule

• Como x3_{+ 4x = x(x}2_{+ 4) não pode ser mais fatorado,} escrevemos: 2 3

2

4

4

x

x

dx

x

x

 



³

2 2 2 2 4 ( 4) 4 x x A Bx C x x x x   _    Exemplo 5 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Multiplicando por x(x2_{+ 4), temos:}

2 2 2

2

4

(

4) (

)

(

)

4

x

x

A x

Bx C x

A B x

Cx

A

 

 









Exemplo 5 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Igualando os coeficientes, obtemos

:

A + B = 2 C = –1 4A = 4

• Então, A = 1, B = 1, e C = –1.

Exemplo 5 FRAÇÕES PARCIAIS

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

ƒ Então, 2 3 2

2

4

1

1

4

4

x

x

x

dx

dx

x

x

x

x

 

§

_



·

¨

¸



©



¹

³

³

Exemplo 5 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Para integrar o segundo termo, o dividimos em duas partes: 2 2 2

1

1

4

4

4

x

x

dx

dx

dx

x

x

x



_







³

³

³

Exemplo 5 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Fazemos a substituição u = x2_{+ 4 na primeira} das integrais de modo que du = 2x dx.

ƒ Calculamos a segunda integral usando a Fórmula 10 com a = 2:

Exemplo 5 FRAÇÕES PARCIAIS

ƒ Calcule

• Como o grau do denominador não é menor que o do numerador, primeiro dividimos e obtemos.

2 2

4

3

2

4

4

3

 





³

x

x

dx

x

x

2 2 2 4 3 2 4 4 3 1 1 4 4 3 x x x x x x x         Exemplo 6 FRAÇÕES PARCIAIS

ƒ Observe que o termo quadrático 4x2_{– 4x + 3} é irredutível, porque seu discriminante é b2_{– 4ac = –32 < 0.}

• Isso significa que este não pode ser fatorado, então não precisamos usar a técnica da frações parciais.

Exemplo 6 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Para integrar a função dada completamos o quadrado no denominador:

• Isso sugere que façamos a substituição u = 2x – 1.

• Então, du = 2 dx, e x = ½(u + 1).

2 2

4

x



4

x



3 (2 1)

x





2

Exemplo 6 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Assim,

Exemplo 6 FRAÇÕES PARCIAIS

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. OBSERVAÇÃO

ƒ O Exemplo 6 ilustra o procedimento geral para se integrar uma fração parcial da forma onde 2

Ax B

ax

bx c



 

2

₄

₀

b



ac



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ƒ Completamos o quadrado no denominador e então fazemos a substituição que traz a integral para a forma

• Então, a primeira integral é um logaritmo, e a segunda é expressa em termos de tg-1_. OBSERVAÇÃO 2 2 2 2 2 2

1

Cu D

u

du C

du D

du

u

a

u

a

u

a



_







³

³

³

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ƒ Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos.

ƒ Se Q(x) tem um fator (ax2_{+ bx + c)}r_onde

b2_{– 4ac < 0.} CASO 4

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ƒ Então, em vez de uma única fração parcial (9), a soma

ocorre na decomposição em frações parciais de R(x)/Q(x).

ƒ Cada um dos termos de (11) pode ser integrado primeiro completando o quadrado. CASO 4 1 1 2 2 2 ₍ 2 ₎2 ₍ 2 ₎  _  _{ ˜˜˜}      r r r A x B A x B A x B ax bx c ax bx c ax bx c Fórmula 11

ƒ Escreva a forma da decomposição em frações parciais da função

3 2 2 2 3

1

(

1)(

1)(

1)

 



 



x

x

x x

x

x

x

Exemplo 7 FRAÇÕES PARCIAIS ƒ Temos: 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3

1

(

1)(

1)(

1)

1

1

1

(

1)

(

1)

x

x

x x

x

x

x

A

B

Cx D

Ex F

x

x

x

x

x

Gx h

Ix J

x

x

 



 















 















Exemplo 7 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Calcule

• A forma da decomposição em frações parciais é: 2 3 2 2

1

2

(

1)

x

x

x

dx

x x

 





³

2 3 2 2 2 2 2 1 2 ( 1) 1 ( 1) x x x A Bx C Dx E x x x x x    _  _     Exemplo 7 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Multiplicando por x(x2_{+ 1)}2_{, temos:}

3 2 2 2 2 4 2 4 2 3 2 4 3 2 2 1 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 2 1) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( )                           x x x A x Bx C x x Dx E x A x x B x x C x x Dx Ex A B x Cx A B D x C E x A Exemplo 8 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Se igualarmos os coeficientes, obteremos o sistema

• Que tem a soluçãoA = 1, B = –1, C = –1, D = 1, E = 0.

0 1 2 2 1 1 A B C A B D C E A       Exemplo 8 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Então,

Exemplo 8 FRAÇÕES PARCIAIS

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ƒ Observamos que algumas vezes as frações parciais podem ser evitadas na integração de funções racionais.

ƒ Por exemplo, embora a integral

possa ser calculada pelo método do Caso III. EVITANDO FRAÇÕES PARCIAIS

2 2 1 ( 3) x dx x x  

³

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ƒ É muito mais fácil observar que se u = x(x2_{+ 3)} = x3_{+ 3x, então du = (3x}2_{+ 3) dx e assim} 2 3 1 3 2

1

_{ln |}

_{3 |}

(

3)

x

dx

x

x

C

x x



_

_



³

EVITANDO FRAÇÕES PARCIAIS

ƒ Algumas funções não racionais podem ser transformadas em funções racionais por meio de substituições apropriadas.

• Em particular, quando um integrando contém uma expressão da forma n_{g(x), então a substituição}

u = n_{g(x) pode ser eficaz.}

SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES ƒ Calcule • Seja • Então, u2_{= x + 4} • De modo que, x = u2_{– 4 e dx = 2u du} Exemplo 9

4

x

dx

x



³

4 u x SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. • Portanto, 2 2 2 2

4

₂

4

2

4

4

2 1

4

x

u

dx

u du

x

u

u

du

u

du

u







§

_

_

·

¨

¸

©

¹

³

³

³

³

Exemplo 9 SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES

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ƒ Podemos calcular essa integral fatorando u2 – 4 em (u – 2)(u + 2).

Exemplo 9 SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES

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ƒ E usando as frações parciais ou a Fórmula 6 com a = 2: 2 4 2 8 4 1 2 2 8 ln 2 2 2 4 2 2 4 2ln 4 2 x dx x du du u u u C u x x C x      ˜  ˜        

³

³

³

Exemplo 9 SUBSTITUIÇÕES RACIONALIZANTES