Geometria Analítica
Cilindros e Cones
Cleide Martins
DMat - UFPE
Turmas P7 e PF
Geração de Superfícies
Identi camos as Quádricas por suas equações. Vimos que algumas delas são superfícies de revolução, outras não.
De nição
Chamamos de Superfície Regrada a toda superfície que é uma união e retas
Apresentaremos agora dois tipos de superfícies regradas, genericamente chamadas de CILINDROS e CONES.
Superfícies Cilíndricas
Se γ é uma curva qualquer no espaço e →v é um vetor não nulo, a SUPERFÍCIE CILÍNDRICA com diretriz γ e geratrizes paralelas a →v consiste da união de todas as retas paralelas a→v que intersectam a curva γ
Equação de uma Superfície Cilíndrica
Uma superfície cilíndrica é uma união de retas.
Para equacionar uma superfície cilíndrica basta equacionar suas retas. Retas são sempre fáceis de equacionar
Equação de uma Superfície Cilíndrica
Uma superfície cilíndrica é uma união de retas.
Para equacionar uma superfície cilíndrica basta equacionar suas retas.
Equação de uma Superfície Cilíndrica
Uma superfície cilíndrica é uma união de retas.
Para equacionar uma superfície cilíndrica basta equacionar suas retas. Retas são sempre fáceis de equacionar
Mãos à obra!
Digamos que →v = (a, b, c)e, como toda curva γ no espaço é interseção de duas superfícies, podemos escrever
γ :
f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0
Seja Ω a superfície cilíndrica com diretriz γ e geratrizes paralelas a →v.
Se P = (x, y, z) ∈ Ω então existe uma reta contida em Ω que passa por P e por algum ponto Q ∈ γ
Se Q = (u, v, w) ∈ γ então
f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Mãos à obra!
Digamos que →v = (a, b, c)e, como toda curva γ no espaço é interseção de duas superfícies, podemos escrever
γ :
f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0
Seja Ω a superfície cilíndrica com diretriz γ e geratrizes paralelas a →v.
Se P = (x, y, z) ∈ Ω então existe uma reta contida em Ω que passa por P e por algum ponto Q ∈ γ
Se Q = (u, v, w) ∈ γ então
f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Para que os pontos P e Q estejam em uma reta paralela a →v basta que P Q= λ→ →v
Mãos à obra!
Digamos que →v = (a, b, c)e, como toda curva γ no espaço é interseção de duas superfícies, podemos escrever
γ :
f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0
Seja Ω a superfície cilíndrica com diretriz γ e geratrizes paralelas a →v.
Se P = (x, y, z) ∈ Ω então existe uma reta contida em Ω que passa por P e por algum ponto Q ∈ γ
Se Q = (u, v, w) ∈ γ então
f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Equação da Superfície Cilíndrica
Temos então o sistema de 5 equações e 7 incógnitas u = x + λa v = y + λb w = z + λc f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Deste sistema eliminamos as 4 incógnitas u, v, w e λ e obtemos uma (1 = 5 − 4) equação nas três (3 = 7 − 4) incógnitas x, y e z que é a equação livre de parâmetros da superfície Ω
Equação da Superfície Cilíndrica
Temos então o sistema de 5 equações e 7 incógnitas u = x + λa v = y + λb w = z + λc f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Deste sistema eliminamos as 4 incógnitas u, v, w e λ e obtemos uma (1 = 5 − 4) equação nas três (3 = 7 − 4) incógnitas x, y e z que é a equação livre de parâmetros da superfície Ω
Exemplo 1: um cilindro parabólico
Considere a parábola γ : z = y2 no plano x = 0 e a superfície cilíndrica Ω com diretriz γ e
geratrizes paralelas ao vetor →v = (1, 0, −3)
Exemplo 1: um cilindro parabólico
Considere a parábola γ : z = y2 no plano x = 0 e a superfície cilíndrica Ω com diretriz γ e
geratrizes paralelas ao vetor →v = (1, 0, −3) De acordo com o que foi descrito, para todo ponto P = (x, y, z) em Ω existe um ponto Q = (u, v, w) em γ tal que P e Q estão em uma reta paralela a →v.
Exemplo 1: um cilindro parabólico
Considere a parábola γ : z = y2 no plano x = 0 e a superfície cilíndrica Ω com diretriz γ e
geratrizes paralelas ao vetor →v = (1, 0, −3) De acordo com o que foi descrito, para todo ponto P = (x, y, z) em Ω existe um ponto Q = (u, v, w) em γ tal que P e Q estão em uma reta paralela a →v. Essas informações fornecem o sistema
Exemplo 1: um cilindro parabólico
Considere a parábola γ : z = y2 no plano x = 0 e a superfície cilíndrica Ω com diretriz γ e
geratrizes paralelas ao vetor →v = (1, 0, −3) De acordo com o que foi descrito, para todo ponto P = (x, y, z) em Ω existe um ponto Q = (u, v, w) em γ tal que P e Q estão em uma reta paralela a →v. Essas informações fornecem o sistema
u = x + λ v = y w = z − 3λ v2− w = 0 u = 0
Exemplo 1: um cilindro parabólico
Considere a parábola γ : z = y2 no plano x = 0 e a superfície cilíndrica Ω com diretriz γ e
geratrizes paralelas ao vetor →v = (1, 0, −3) De acordo com o que foi descrito, para todo ponto P = (x, y, z) em Ω existe um ponto Q = (u, v, w) em γ tal que P e Q estão em uma reta paralela a →v. Essas informações fornecem o sistema
u = x + λ v = y w = z − 3λ v2− w = 0 u = 0 ⇒ λ = −x w = z + 3x y2− z − 3x = 0
Exemplo 1: um cilindro parabólico
Considere a parábola γ : z = y2 no plano x = 0 e a superfície cilíndrica Ω com diretriz γ e
geratrizes paralelas ao vetor →v = (1, 0, −3) De acordo com o que foi descrito, para todo ponto P = (x, y, z) em Ω existe um ponto Q = (u, v, w) em γ tal que P e Q estão em uma reta paralela a →v. Essas informações fornecem o sistema
u = x + λ v = y w = z − 3λ v2− w = 0 u = 0 ⇒ λ = −x w = z + 3x y2− z − 3x = 0
Exemplo 2: um cilindro circular oblíquo
Considere a circunferênica γ :
x2+ y2+ z2− 4 = 0
x + y + z = 0 e a superfície cilíndrica Ω com diretriz
γ e geratrizes paralelas ao vetor →v = (0, 0, 1)Conforme descrito, P = (x, y, z) ∈ Ω ⇐⇒ ∃ Q = (u, v, w) ∈ γ :
→
P Q= λ→v Daí
Exemplo 2: um cilindro circular oblíquo
Considere a circunferênica γ :
x2+ y2+ z2− 4 = 0
x + y + z = 0 e a superfície cilíndrica Ω com diretriz
γ e geratrizes paralelas ao vetor →v = (0, 0, 1)Conforme descrito, P = (x, y, z) ∈ Ω ⇐⇒ ∃ Q = (u, v, w) ∈ γ : → P Q= λ→v Daí u = x v = y w = z + λ u2+ v2+ w2− 4 = 0 u + v + w = 0
Exemplo 2: um cilindro circular oblíquo
Considere a circunferênica γ :
x2+ y2+ z2− 4 = 0
x + y + z = 0 e a superfície cilíndrica Ω com diretriz
γ e geratrizes paralelas ao vetor →v = (0, 0, 1)Conforme descrito, P = (x, y, z) ∈ Ω ⇐⇒ ∃ Q = (u, v, w) ∈ γ : → P Q= λ→v Daí u = x v = y w = z + λ u2+ v2+ w2− 4 = 0 u + v + w = 0 ⇒ λ = −x − y − z x2+ y2+ (−x − y)2− 4 = 0
Exemplo 2: um cilindro circular oblíquo
Considere a circunferênica γ :
x2+ y2+ z2− 4 = 0
x + y + z = 0 e a superfície cilíndrica Ω com diretriz
γ e geratrizes paralelas ao vetor →v = (0, 0, 1)Conforme descrito, P = (x, y, z) ∈ Ω ⇐⇒ ∃ Q = (u, v, w) ∈ γ : → P Q= λ→v Daí u = x v = y w = z + λ u2+ v2+ w2− 4 = 0 ⇒ λ = −x − y − z x2+ y2+ (−x − y)2− 4 = 0 ⇒ x 2+ xy + y2− 2 = 0
Exemplo 2: um cilindro circular oblíquo
Considere a circunferênica γ :
x2+ y2+ z2− 4 = 0
x + y + z = 0 e a superfície cilíndrica Ω com diretriz
γ e geratrizes paralelas ao vetor →v = (0, 0, 1)Conforme descrito, P = (x, y, z) ∈ Ω ⇐⇒ ∃ Q = (u, v, w) ∈ γ : → P Q= λ→v Daí u = x v = y w = z + λ u2+ v2+ w2− 4 = 0 u + v + w = 0 ⇒ λ = −x − y − z x2+ y2+ (−x − y)2− 4 = 0 ⇒ x 2+ xy + y2− 2 = 0
Portanto, esse cilindro Ω é uma quádrica e sua interseção com qualquer plano z = k é uma elipse. Como exercício, determine a equação reduzida da elipse de interseção de Ω com z = 0.
Superfícies Cônicas
Se γ é uma curva qualquer no espaço e V 6∈ γ é um ponto, a SUPERFÍCIE CÔNICA com diretriz γ e vértice V consiste da união de todas as retas que contêm V e intersectam a curva γ
Exemplos de Superfícies Cônicas
b
b
Equação de uma Superfície Cônica
Uma superfície cônica é uma união de retas.
Para equacionar uma superfície cônica basta equacionar suas retas. Retas são sempre fáceis de equacionar
Equação de uma Superfície Cônica
Uma superfície cônica é uma união de retas.
Para equacionar uma superfície cônica basta equacionar suas retas.
Retas são sempre fáceis de equacionar
Equação de uma Superfície Cônica
Uma superfície cônica é uma união de retas.
Para equacionar uma superfície cônica basta equacionar suas retas. Retas são sempre fáceis de equacionar
Mãos à obra!
Digamos que V = (x0, y0, z0) e γ : f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0 Seja Ω a superfície cônica com diretriz γ e vértice VSe P = (x, y, z) ∈ Ω então existe uma reta contida em Ω que passa por P , por V e por algum ponto Q ∈ γ
Se Q = (u, v, w) ∈ γ então
f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Para que os pontos P , V e Q estejam em uma reta basta queV Q= λ→
→
V P
Note que o ponto V está na superfície cônica mas não é um dos pontos P obtidos da equação acima pois quando P = V ,V Q=→ →O mas V 6∈ γ e Q ∈ γ.
Mãos à obra!
Digamos que V = (x0, y0, z0) e γ : f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0 Seja Ω a superfície cônica com diretriz γ e vértice VSe P = (x, y, z) ∈ Ω então existe uma reta contida em Ω que passa por P , por V e por algum ponto Q ∈ γ
Se Q = (u, v, w) ∈ γ então
f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Para que os pontos P , V e Q estejam em uma reta basta queV Q= λ→
→
V P
Note que o ponto V está na superfície cônica mas não é um dos pontos P obtidos da equação acima pois quando P = V ,V Q=→ →O mas V 6∈ γ e Q ∈ γ.
Mãos à obra!
Digamos que V = (x0, y0, z0) e γ : f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0 Seja Ω a superfície cônica com diretriz γ e vértice VSe P = (x, y, z) ∈ Ω então existe uma reta contida em Ω que passa por P , por V e por algum ponto Q ∈ γ
Se Q = (u, v, w) ∈ γ então
f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Para que os pontos P , V e Q estejam em uma reta basta queV Q= λ→
→
V P
Note que o ponto V está na superfície cônica mas não é um dos pontos P obtidos da equação acima pois quando P = V ,V Q=→ →O mas V 6∈ γ e Q ∈ γ.
Mãos à obra!
Digamos que V = (x0, y0, z0) e γ : f (x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0 Seja Ω a superfície cônica com diretriz γ e vértice VSe P = (x, y, z) ∈ Ω então existe uma reta contida em Ω que passa por P , por V e por algum ponto Q ∈ γ
Se Q = (u, v, w) ∈ γ então
f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Para que os pontos P , V e Q estejam em uma reta basta queV Q= λ→
→
Equação da Superfície Cônica
Temos então o sistema de 5 equações e 7 incógnitas u = x0+ λ(x − x0) v = y0+ λ(y − y0) w = z0+ λ(z − z0) f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Deste sistema eliminamos as 4 incógnitas u, v, w e λ e obtemos uma (1 = 5 − 4) equação nas três (3 = 7 − 4) incógnitas x, y e z que é a equação livre de parâmetros da superfície Ω Aqui é preciso estar atento às operações realizadas, sobretudo quando for necessário dividir por variáveis que podem assumir valor zero.
Equação da Superfície Cônica
Temos então o sistema de 5 equações e 7 incógnitas u = x0+ λ(x − x0) v = y0+ λ(y − y0) w = z0+ λ(z − z0) f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Deste sistema eliminamos as 4 incógnitas u, v, w e λ e obtemos uma (1 = 5 − 4) equação nas três (3 = 7 − 4) incógnitas x, y e z que é a equação livre de parâmetros da superfície Ω
Aqui é preciso estar atento às operações realizadas, sobretudo quando for necessário dividir por variáveis que podem assumir valor zero.
Equação da Superfície Cônica
Temos então o sistema de 5 equações e 7 incógnitas u = x0+ λ(x − x0) v = y0+ λ(y − y0) w = z0+ λ(z − z0) f (u, v, w) = 0 g(u, v, w) = 0
Deste sistema eliminamos as 4 incógnitas u, v, w e λ e obtemos uma (1 = 5 − 4) equação nas três (3 = 7 − 4) incógnitas x, y e z que é a equação livre de parâmetros da superfície Ω Aqui é preciso estar atento às operações realizadas, sobretudo quando for necessário dividir por variáveis que podem assumir valor zero.
Exemplo 3: um cone parabólico
Considere a parábola γ : x = y2 no plano z = 0 e a superfície cônica Ω com diretriz γ e vértice
Exemplo 3: um cone parabólico
Considere a parábola γ : x = y2 no plano z = 0 e a superfície cônica Ω com diretriz γ e vértice
V = (0, 0, 3) De acordo com o que foi descrito, para todo ponto P = (x, y, z) em Ω existe um ponto Q = (u, v, w) em γ tal que P e Q e V são colineares.
Exemplo 3: um cone parabólico
Considere a parábola γ : x = y2 no plano z = 0 e a superfície cônica Ω com diretriz γ e vértice
V = (0, 0, 3) De acordo com o que foi descrito, para todo ponto P = (x, y, z) em Ω existe um ponto Q = (u, v, w) em γ tal que P e Q e V são colineares. Essas informações fornecem o sistema
Exemplo 3: um cone parabólico
Considere a parábola γ : x = y2 no plano z = 0 e a superfície cônica Ω com diretriz γ e vértice
V = (0, 0, 3) De acordo com o que foi descrito, para todo ponto P = (x, y, z) em Ω existe um ponto Q = (u, v, w) em γ tal que P e Q e V são colineares. Essas informações fornecem o
sistema u = λx v = λy w = 3 + λ(z − 3) u − v2 = 0 w = 0
Exemplo 3: um cone parabólico
Considere a parábola γ : x = y2 no plano z = 0 e a superfície cônica Ω com diretriz γ e vértice
V = (0, 0, 3) De acordo com o que foi descrito, para todo ponto P = (x, y, z) em Ω existe um ponto Q = (u, v, w) em γ tal que P e Q e V são colineares. Essas informações fornecem o
sistema u = λx v = λy w = 3 + λ(z − 3) u − v2 = 0 w = 0 ⇒ λ = 3 3 − z e z 6= 3
Exemplo 3: um cone parabólico
Considere a parábola γ : x = y2 no plano z = 0 e a superfície cônica Ω com diretriz γ e vértice
V = (0, 0, 3) De acordo com o que foi descrito, para todo ponto P = (x, y, z) em Ω existe um ponto Q = (u, v, w) em γ tal que P e Q e V são colineares. Essas informações fornecem o sistema u = λx v = λy w = 3 + λ(z − 3) u − v2 = 0 w = 0 ⇒ λ = 3 3 − z e z 6= 3 ⇒ u = 3−z3x v = 3−z3y 3x 3−z − 3y 3−z 2 = 0
Exemplo 3: um cone parabólico
Considere a parábola γ : x = y2 no plano z = 0 e a superfície cônica Ω com diretriz γ e vértice
V = (0, 0, 3) De acordo com o que foi descrito, para todo ponto P = (x, y, z) em Ω existe um ponto Q = (u, v, w) em γ tal que P e Q e V são colineares. Essas informações fornecem o sistema u = λx v = λy w = 3 + λ(z − 3) u − v2 = 0 w = 0 ⇒ λ = 3 3 − z e z 6= 3 ⇒ u = 3−z3x v = 3−z3y 3x 3−z − 3y 3−z 2 = 0
Exemplo 3: a equação nal do cone Ω
A superfície cônica Ω consiste do ponto V = 0, 0, 3) e da união de todos os pontos P = (x, y, z) que satisfazem a equação
x 3 − z − 3 y 3 − z 2 = 0
Podemos contornar o fato de V não estar incluído nessa equação eliminando a restrição z 6= 3 pela multiplicação da equação obtida por (3 − z)2, mas essa operação pode incluir na equação
nal pontos que não pertencem à superfície Ω. Vejamos: após a multiplicação por (3 − z)2
obtemos
x(3 − z) − 3y2 = 0
Nessa equação, se z = 3 então y = 0 e não há restrição sobre x. Isso signi ca que todos os pontos da forma (λ, 0, 3) satisfazem essa última equação. Mas observe que o único ponto dessa reta que pertence ao cone é o vértice V = (0, 0, 3).
Exemplo 3: conclusão
Há duas opções para escrever a equação da superfície cônica com vértice V = (0, 0, 3) e diretriz γ :
x = y2 z = 0
1 V = (0, 0, 3)mais os pontos que satisfazem x 3 − z − 3 y 3 − z 2 = 0 2 3y2+ xz − 3x = 0
Exercícios
1 Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica Ω cuja diretriz é a
curva
x2+ y2= z
x − y + z = 0 e cujas geratrizes são paralelas ao vetor
→
v = (1, 1, 1)
2 Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica circunscrita à esfera
x2+ y2+ z2 = 1 com geratrizes paralelas a→u = (2, 1, −1)
3 Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica Ω cuja diretriz é a
curva
x2+ y2= z
x − y + z = 0 e cujo vértice é V = (0, 0, 5)
4 Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica Ω cuja diretriz é a
curva
xz = 1
y = 1 e cujo vértice é V = (0, 0, 0)
