UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
SILVIA JULIANA SARMIENTO NOVA
AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DE PONTES DE
CONCRETO PROTENDIDO SOB SOLICITAÇÕES
NORMAIS COM BASE NA TEORIA DA
CONFIABILIDADE
CAMPINAS 2017
SILVIA JULIANA SARMIENTO NOVA
AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DE PONTES DE
CONCRETO PROTENDIDO SOB SOLICITAÇÕES
NORMAIS COM BASE NA TEORIA DA
CONFIABILIDADE
Dissertação de Mestrado apresentada a Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp, para obtenção do título de Mestra em Engenharia Civil na área de Estruturas e Geotécnica.
Orientador(a): Profa. Dra. Maria Cecília Amorim Teixeira da Silva
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELA ALUNA SILVIA JULIANA SARMIENTO NOVA E ORIENTADA PELA PROFA. DRA. MARIA CECÍLIA AMORIM TEIXEIRA DA SILVA.
ASSINATURA DA ORIENTADORA
______________________________________
CAMPINAS 2017
Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CAPES, 01-P-04376-2015
ORCID: http://orcid.org/0000-0001-9493-9550
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Luciana
Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Nova, Silvia Juliana Sarmiento, 1993-
N856a Avaliação da segurança de pontes em concreto protendido sob solicitações normais com base na teoria da confiabilidade / Silvia Juliana Sarmiento Nova. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.
Orientador: Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva.
Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.
1. Confiabilidade. 2. Pontes. 3. Concreto protendido. 4. Método de, Monte Carlo. I. Silva, Maria Cecilia Amorim Teixeira da,1955-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Safety assessment of prestressed concrete bridges under normal
loads based on the reliability theory
Palavras-chave em inglês:
Reliability Bridges
Prestressed concrete Method of, Monte Carlo
Área de concentração: Estruturas e Geotécnica Titulação: Mestra em Engenharia Civil
Banca examinadora:
Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva [Orientador] Luiz Carlos Marcos Vieira Junior
Sergio Hampshire de Carvalho Santos
Data de defesa: 21-02-2017
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E
URBANISMO
AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DE PONTES DE CONCRETO
PROTENDIDO SOB SOLICITAÇÕES NORMAIS COM BASE
NA TEORIA DA CONFIABILIDAE
Silvia Juliana Sarmiento Nova
Dissertação de Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constituída por:
Profa. Dra. Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva Presidente e Orientadora/UNICAMP
Prof. Dr. Luiz Carlos Marcos Vieira Junior UNICAMP
Prof. Dr. Sergio Hampshire de Carvalho Santos UFRJ
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
AGRADECIMENTOS
A Deus porque seus planos são perfeitos e porque dele vem toda minha força, fé e coragem. Aos meus pais por ter me ensinado que se pode sonhar em grade, que existe o amor incondicional e que sem importar a distância se pode estar presente em cada passo.
Ao meu irmão porque sempre foi o suporte no começo das novas etapas e pelo carinho que fez eu me sentir em casa ao longo desta experiencia.
Ao meu namorado Marcos por ter sido uma grande motivação, por ter me impulsado a ser melhor e pelo amor e carinho brindado.
Aos meus amigos Nelly, Pedro e Jerson por seu apoio, ânimo, ajúda e mais que nada pelo carinho e amizade.
Às minhas amigas Allison, Mónica e Angélica que desde a distância sempre estiveram me acompanhando e me motivando em cada passo.
À Professora Maria Cecilia por ter sido uma excelente orientadora, pelo tempo despendido em favor ao meu ensinamento e pelas grandes contribuições ao longo do mestrado.
Aos professores do DES pelos diferentes conhecimentos aportados. À entidade CAPES pelo suporte financeiro através da concessão da bolsa.
A todos os que fizeram parte deste procedimento e aportaram no meu crescimento tanto profisional quanto pessoal.
RESUMO
O presente trabalho tem como proposta sistematizar o procedimento para avaliação da confiabilidade estrutural de pontes de concreto protendido, com base no índice de confiabilidade β, e a correspondente probabilidade de falha Pf. O Método de Monte Carlo é
utilizado no processo de simulação das variáveis de projeto, tomadas como sendo: as resistências dos materiais, algumas propriedades geométricas e o carregamento aplicado à estrutura. Como ferramenta para análise estrutural, é utilizado um programa computacional comercial. Os valores obtidos pelo método de simulação são validados através do método analítico FORM, e realiza-se também uma análise de sensibilidade. O procedimento é aplicado ao caso de uma ponte de concreto protendido, da qual é conhecida a geometria da sua superestrutura. Os resultados obtidos para o índice de confiabilidade da estrutura em questão são comparados com valores indicados por normas internacionais e convertidos em coeficientes de ponderação contidos nas normas brasileiras e americana. Com base nos resultados alcançados na análise desenvolvida conclui-se que o procedimento sistematizado, o qual implementa um método de simulação, pode ser utilizado para avaliar a confiabilidade de uma ponte em concreto protendido de uma forma prática e efetiva.
ABSTRACT
This research is proposed to systematize the structural reliability evaluation procedure of prestressed concrete bridges, based on the reliability index β, and the associated probability of failure Pf. The Monte Carlo method is used in the simulation of the design variables, taken as
the resistances of the materials, some geometrical properties and the loads applied to the structure. As a tool for the structural analysis, a commercial computer program is used. The values obtained by simulation method are validated by the analytical method FORM, and a sensitivity analysis is carried out. The procedure is applied to a prestressed concrete bridge case, in wich the geometry characteristics are known. The results obtained for the reliability index are compared with values propoused in international standards and converted to the partial safety factors contained in Brazilian standards. Based on results obtained, it is concluded that the procedure, which is based on a simulation method, can be used to evaluate the reliability of a prestressed concrete bridge in a more practical and effective way.
LISTA DE FIGURAS
Figura 5.1. Transformação do espaço original para o espaço padronizado na abordagem
FORM (DU, 2005). ... 37
Figura 7.1. Fotos da ponte “La Parroquia” obtidas durante uma prova de carga. ... 55
Figura 7.2. Vista em planta da ponte “La Parroquia”. ... 56
Figura 7.3. Vista lateral da ponte “La Parroquia”. ... 56
Figura 7.4 a). Seção simples b). Seção composta. ... 57
Figura 7.5. Seção transversal da ponte “La Parroquia”. ... 58
Figura 7.6. a). Seção transversal da viga protendida b). Detalhe A: guarda-corpo. ... 58
Figura 7.7. Veículo de projeto HL-93. ... 62
Figura 7.8. Tandem de projeto. ... 62
Figura 7.9. Linha de influência no centro da viga simplesmente apoiada, para momento fletor. ... 63
Figura 7.10. Posição do veículo de projeto. ... 63
Figura 7.11. Posição do tandem de projeto. ... 63
Figura 7.12 Trajetória dos cabos em L/2 (unidades em metros). ... 75
Figura 8.1 Variáveis Aleatórias. ... 83
Figura 8.2 Exemplo da obtenção dos valores aleatórios pelo programa MATLAB®. 87 Figura 8.3 Cálculo da Probabilidade de Falha para G1 pelo programa MATLAB®. . 87
Figura 8.4 Cálculo da Probabilidade de Falha para G2 pelo programa MATLAB®. .. 88
Figura 8.5 Histograma tridimensional da resistência e solicitação da Função G1 e seu plano de falha obtidos pelo programa MATLAB®. ... 88
Figura 8.6 Histograma bidimensional da resistência e solicitação da Função G1 e seu plano de falha obtidos pelo programa MATLAB®. ... 89
Figura 8.7 Histograma tridimensional da resistência e solicitação da Função G2 e seu plano de falha obtidos pelo programa MATLAB®. ... 89
Figura 8.8 Histograma bidimensional da resistência e solicitação da Função G2 e seu plano de falha obtidos pelo programa MATLAB®. ... 90
Figura 9.1 Diagrama de barras da porcentagem de mudança para os casos 1, 2 e 3 da Função G1. ... 104
Figura 9.2 Diagrama de barras da porcentagem de mudança para os casos 1, 2 e 3 da Função G2. em programas como o MATLAB®. ... 105
Figura 9.4 Porcentagem de mudança para os casos 1, 2 e 3 da Função G2. ... 108
Figura 9.5 Diagrama de barras do índice de importância e do coeficiente de Pearson da Função G1. ... 113
Figura 9.6 Diagrama de barras do índice de importância e do coeficiente de Pearson da Função G2. ... 114
Figura A.1. Seção da viga protendida utilizada pelo programa ABAQUS. ... 122
Figura A.2. Modelo dos pesos próprios. ... 123
Figura A.3. Representação da força de protensão. ... 123
LISTA DE TABELAS
Tabela 6.1. Variáveis aleatórias ... 47
Tabela 6.2. Distribuições de probabilidade e coeficiente de variação. ... 50
Tabela 7.1. Propriedades Geométricas da seção simples da viga protendida. ... 59
Tabela 7.2. Superestruturas de seção transversal comuns, AASHTO LRFD tabela 4.6.2.2.1-1. ... 60
Tabela 7.3. Cargas permanentes ... 61
Tabela 7.4. Cargas dos eixos do veículo HL-93 e do Tandem de projeto. ... 64
Tabela 7.5. Momentos produzidos pelo Veículo HL-93, Tandem e carga lane load .. 64
Tabela 7.6. Condições para o cálculo do DFM. ... 65
Tabela 7.7. Valores das porcentagens dos efeitos da carga dinâmica. ... 65
Tabela 7.8. Momentos produzidos pelas cargas variáveis de projeto. ... 66
Tabela 7.9. Valor da força de protensão requerida e a verificação do estado limite. . 67 Tabela 7.10. Verificação do limite da tensão à compressão no concreto. ... 67
Tabela 7.11. Número de cordoalhas por cabo. ... 68
Tabela 7.12. Definição das perdas. ... 69
Tabela 7.13. Perdas por encurtamento elástico ∆fpES. ... 73
Tabela 7.14. Valor da perda devido à acomodação da ancoragem ∆fpA. ... 73
Tabela 7.15. Valor da perda devido à retração do concreto da viga ∆fpSD. Tabela 7.16. Valor da perda devido à fluência ∆fpCD. ... 74
Tabela 7.17. Valor da perda devido à retração do concreto da laje ∆fpSS. ... 74
Tabela 7.18. Valor da perda por relaxação ∆fpR adotado de acordo com AASHTO LRDF 5.9.5.4.2c. ... 74
Tabela 7.19. Força nos cabos descontadas as perdas iniciais. ... 75
Tabela 7.20. Trajetória dos cabos. ... 75
Tabela 7.21. Coeficientes usados no cálculo de perdas por atrito. ... 76
Tabela 7.22. Tensões no concreto devido ao peso próprio da viga. ... 76
Tabela 7.23. Tensões no concreto devido ao peso próprio da viga mais o peso próprio da laje. ... 77
Tabela 7.24. Tensões no concreto devido à carga variável e cargas dos elementos não estruturais. ... 77
Tabela 7.25. Tensão à compressão limite do concreto AASHTO LRFD Tabela
5.9.4.2.1-1. ... 78
Tabela 7.26. Tensões à compressão no concreto . ... 79
Tabela 7.27. Tensão à tração no concreto. ... 79
Tabela 7.28. Momento nominal de projeto Mn. ... 81
Tabela 8.1. Variáveis aleatória para cada Função Estado Limite. ... 83
Tabela 8.2. Variáveis aleatórias de G1 com as distribuições e parâmetros. ... 84
Tabela 8.3. Variáveis aleatórias de G2 com as distribuições e parâmetros. ... 84
Tabela 8.4. Classificação do índice de confiabilidade para um Estado Limite Último. ... 85
Tabela 8.5. Classificação do índice de confiabilidade para um Estado Limite de Serviço. ... 85
Tabela 8.6. Resultados da análise de confiabilidade por meio do método Monte Carlo. ... 86
Tabela 8.7. Método FORM para a Função Estado Limite da flexão na seção crítica G1. ... 91
Tabela 8.8. Método FORM para a Função Estado Limite da flexão na seção crítica G1. ... 92
Tabela 8.9. Método FORM para a Função Estado Limite da tração do concreto G2. ... 92
Tabela 8.10. Probabilidade de falha e Confiabilidade para a Função Estado Limite 1. ... 93
Tabela 8.11. Probabilidade de falha e Confiabilidade para a Função Estado Limite 2. ... 93
Tabela 8.12. Índice de Probabilidade de falha β e Probabilidade de Falha Pf para G1. ... 94
Tabela 8.13. Índice de Probabilidade de falha β e Probabilidade de Falha Pf para G2. ... 95
Tabela 8.14 Coeficientes parciais de Segurança. ... 98
Tabela 8.15 Coeficientes parciais de Segurança Segundo AASHTO LRFD. ... 98
Tabela 8.16 Coeficientes parciais de Segurança Segundo NBR6118. ... 98
Tabela 9.1. Índice de confiabilidade βs para a Função Estado Limite G1. ... 103
Tabela 9.3. Porcentagem de variação do índice de confiabilidade para a Função Estado Limite G1. ... 103 Tabela 9.4. Porcentagem de variação do índice de confiabilidade para a Função Estado Limite G2. ... 104 Tabela 9.5. Índice de confiabilidade βs para a Função Estado Limite G1. ... 106 Tabela 9.6. Índice de confiabilidade βs para a Função Estado Limite G2. ... 107 Tabela 9.7. Porcentagem de variação do índice de confiabilidade para a Função Estado Limite G1. ... 107 Tabela 9.8. Porcentagem de variação do índice de confiabilidade para a Função Estado Limite G1. ... 107 Tabela 9.9. Índice de confiabilidade e porcentagem de variação na análise de sensibilidade para a Função Estado Limite G1. ... 109 Tabela 9.10. Índice de confiabilidade e porcentagem de variação na análise de sensibilidade para a Função Estado Limite G2. ... 109 Tabela 9.11. Índice de confiabilidade e probabilidade de falha na variação do número de variáveis aleatórias para a Função Estado Limite G1. ... 110 Tabela 9.12. Índice de confiabilidade e probabilidade de falha na variação do número de variáveis aleatórias para a Função Estado Limite G1. ... 110 Tabela 9.13. Fator de sensibilidade de cada variável aleatória para as Funções Estado Limite G1 e G2. ... 111 Tabela 9.14. Índice de importância de cada variável aleatória para as Funções Estado Limite G1 e G2. ... 111 Tabela 9.15. Coeficiente de Pearson de cada variável com a função Estado Limite G1 e G2. ... 113
LISTA DE SÍMBOLOS
𝐴𝐷 – área do concreto da seção transversal da laje.
𝐴𝐶 – área do concreto da seção transversal da viga composta. 𝐴𝐺 – área de concreto da seção transversal da viga não composta.
𝐴𝑝𝑠 – área transversal do cabo de protensão.
𝑎 – profundidade equivalente do bloco de tensão equivalente. 𝑏 – largura da viga.
𝑏𝑓𝑏 – largura inferior da viga.
𝑏𝑤 – largura da viga. 𝐶 – confiabilidade.
𝑐 – distância a partir do extremo da extremidade à compressão até o eixo neutro. 𝐷𝐹𝑀 – fator de distribuição do momento de flexão.
𝐷𝐶 – soma do peso proprio dos elementos estruturais.
𝐷𝑊 – soma do peso proprio dos elementos não estruturais.
𝐷𝐺 – peso proprio da viga.
𝐷𝐿 – peso proprio da laje.
𝑑𝑒 – distância horizontal da linha central da viga exterior até a borda interna da
barreira do tráfego.
𝑑𝑝 – distância entre a extremidade à compressão extrema até o centróide dos cabos de
protensão.
𝑑𝑠 – distância entre a base da viga até a posição da armadura de reforço. 𝐸𝐵 – modulo de elasticidade do material da viga.
𝐸𝑐𝑖 – modulo de elasticidade do concreto no momento da transferência. 𝐸𝐷 – modulo de elasticidade do material da laje.
𝐸𝑝 – modulo de elasticidade dos cabos de protensão. 𝐸[𝑃𝑓] – valor esperado da probabilidade de falha.
𝑒𝑑 – excentricidade da laje com respeito ao centróide da viga transformada. 𝑒𝑔 – distância entre os centro de gravidade da viga e a da laje.
𝑒𝑖 – excentricidade individual de cada cabo da armadura de protensão respeito ao
centroide da seção não transformada.
𝑒𝑝𝑐 – excentricidade da força de protensão respeito ao centróide da seção
transformada.
𝐹 – força final por cordoalha.
𝐹𝑥(𝑥) – função de distribuição acumulada.
𝑓𝑏 – tensão à tração inferior devido às cargas permanentes aplicadas. 𝑓′𝑐 – resistência especifica a compressão do concreto (aos 28 dias). 𝑓𝑐𝑎𝑑𝑚 – resistência à compressão admissível do concreto.
𝑓′𝑐𝑖 – resistência nominal do concreto no momento da aplicação da força do cabo. 𝑓𝑐𝑔𝑝 – soma de tensões no concreto produzida pela força de protensão e o peso próprio da viga.
𝑓𝐷𝐶𝑏 – tensão à flexão na base da viga devida às cargas permanentes dos elementos
estruturais.
𝑓𝐷𝑊𝑏 – tensão à flexão na base da viga devida às cargas permanentes dos elementos
não estruturais.
𝑓(𝐿𝐿+𝐼𝑀)𝑏 – tensão à flexão na extremidade inferior da viga devida às cargas variáveis incluindo o impacto por carga veicular.(adicionar la m de IM).
𝑓𝑝𝑏 – tensão à compressão devido à força de protensão.
𝑓𝑝𝑖 – resistência inicial da protensão antes da transferência.
𝑓𝑝𝑏𝑡 – tensão no aço de protensão no momento de transferência. 𝑓𝑝𝑠 – tensão média no aço de protensão.
𝑓𝑝𝑡– tensão nos cabos de protensão descontadas as perdas iniciais.
𝑓𝑝𝑢 – resistência especifica à tração do aço de protensão.
𝑓𝑝𝑦 – resistência à fluência do aço de protensão. 𝑓𝑡𝑎𝑑𝑚 – resistência à tração admissível do concreto.
𝑓𝑡𝑟 – tensão à tração resistente.
𝑓𝑥(𝑥) – função de densidade de probabilidade. 𝑓𝑦 – resistência à compressão do aço de reforço.
𝐺(𝑢) – função estado limite em função das variáveis padronizadas.
𝐺(𝑥) – função estado limite em função das variáveis originais.
𝐺1 – função estado limite para a flexão positiva na seção crítica.
𝐺2 – função estado limite para a tensão à tração do concreto. 𝐻% – humidade relativa.
ℎ𝑓 – altura da parte da viga submetida à compressão.
𝐼𝑐 – momento de inercia da seção transversal da viga composta.
𝐼𝐺 – momento de inercia da seção transversal da viga não composta.
𝐼𝑖 – índice de importância.
𝐼𝑀 – fator do efeito dinâmico em porcentagem.
𝐾𝑑𝑓 – coeficiente da iteração dos elementos da seção transformada.
𝐾𝑔 – parâmetro de rigidez longitudinal.
𝑘 – coeficiente de atrito por oscilação.
𝑘𝑓 – fator do efeito da resistência do concreto.
𝑘ℎ𝑐 – fator de humidade por fluência.
𝑘ℎ𝑠 – fator de humidade por retração. 𝐾𝐿 – fator dependente do tipo de aço.
𝑘𝑠 – fator do efeito da relação volume-superfície do elemento.
𝑘𝑡𝑑 – fator do desenvolvimento do tempo. 𝐿 – comprimento do vão.
𝐿𝐿 – cargas variáveis.
𝐿𝑐𝑎𝑏𝑜 – comprimento do cabo de protensão.
𝑀𝐶𝑎 – momento devido à carga chamada de lane load.
𝑀𝐷𝐶 – soma dos momentos devido ao peso próprio dos componentes estruturais.
𝑀𝐷𝐺 – momento devido ao peso próprio da viga. 𝑀𝐷𝐿 – momento devido ao peso próprio da laje.
𝑀𝐷𝑊 – soma dos momentos devido ao peso próprio dos componentes não estruturais.
𝑀𝑔 – momento positivo no centro do vão devido ao peso próprio da viga.
𝑀𝐿𝐿+𝐼𝑀 – momento devido às cargas variáveis mais o impacto da carga veicular. 𝑀𝑚á𝑥 – momento máximo positivo gerado no centro da viga.
𝑀𝑛 – momento último resistente da viga. 𝑀𝑠 – momento devido ao peso próprio da laje. 𝑀𝑢 – momento último solicitante.
𝑀𝑉𝑒 – momento advindo do peso do veículo de projeto.
𝑁 – número total de simulações Monte Carlo; número de cabos de protensão
idênticos.
𝑛 – número de vezes em que um determinado critério foi alcançado; relação modular entre a viga e a laje.
𝑃𝑒 – probabilidade de falha esperada.
𝑃𝑓 – probabilidade de falha.
𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 – força de protensão após perdas totais.
𝑃𝑖 – carga por cada eixo do veículo. 𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 – força inicial de protensão.
𝑄 – equação de combinação de carga.
𝑅 – resistência na função estado limite.
𝑟 – coeficiente de Pearson.
𝑆 – distância entre vigas; solicitação na função estado limite.
𝑆𝐺𝑖 – módulo de seção na extremidade inferior da viga não composta. 𝑆𝐺𝑖𝐶 – módulo de seção na extremidade inferior da viga composta.
𝑆𝐺𝑠 – módulo de seção na extremidade superior da viga não composta. 𝑡 – maturidade do concreto.
𝑡𝑑 – idade do concreto no momento da colocação da laje em dias.
𝑡𝑓 – idade do concreto final em dias.
𝑡𝑖 – idade do concreto no momento quando a primeira força é aplicada em dias. 𝑡𝑠 – espessura da laje.
𝑢 – variáveis aleatórias no espaço normal reduzido; o número de desvios padrão em
função do quantil.
𝑉𝑃𝑓 – coeficiente de variação da probabilidade estimada.
𝑣/𝑠 – relação volume-superfície.
𝐶𝑎 – carga distribuída lane load.
𝑋 – variável aleatória no espaço original; comprimento do cabo de protensão desde a ancoragem até o ponto em consideração.
𝑥 – posição da carga por eixo do veículo de projeto na viga.
𝑥𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 – posição do cabo de protensão na horizontal medida desde o apoio. 𝑥𝑖∗– ponto de projeto MPP no espaço original.
𝑦𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 – posição vertical do cabo na seção do apoio.
𝑦𝑏𝑠 – distância média da extremidade inferior da viga ao centro de gravidade dos
𝑦𝐺𝑐 – distância do centro de gravidade da viga composta até sua base.
𝑦𝐺𝑖 – distância da extremidade inferior da viga não composta ao centro de gravidade. 𝑦𝐺𝑠 – distância da extremidade superior da viga não composta ao centro de gravidade. 𝑦𝑃𝑖 – distancia da extremidade superior da viga ao centro de gravidade de cada cabo de protensão.
𝑦𝑥 – posição vertical do cabo na seção localizada na posicao x na horixontal.
𝑤 – abscisa do ponto em que a acomodacao da ancoragem deixa de provocar perda.
𝛽 – índice de confiabilidade.
𝛽𝑠 – índice de confiabilidade obtido na análise de sensibilidade.
𝛽1 – fator do bloco de tensão.
𝛾𝑠 – coeficiente parcial de segurança da ação.
𝛾𝑅 – coeficiente parcial de segurança da resistência.
𝛥𝑓𝑐𝑑𝑓 – mudança na tensão no concreto no centróide da armadura devido a retração da
laje.
𝛥𝑓𝑝𝐴 – perda na força de protensão devido à acomodação da ancoragem.
𝛥𝑓𝑝𝐶𝐷 – perda na força de protensão devido à fluência do concreto da viga entre o momento da colocação da laje o o tempo final.
𝛥𝑓𝑝𝐸𝑆 – perdas progressivas na força de protensão devido ao encurtamento elástico. 𝛥𝑓𝑝𝐹 – perda na força de protensão devido ao atrito.
𝛥𝑓𝑝𝐿𝑇 – perdas progressivas na força de protensão.
𝛥𝑓𝑝𝑅 – perdas na força de protensão devido à relaxação do aço.
𝛥𝑓𝑝𝑆𝐷 – perda na força de protensão devido à retração do concreto da viga. 𝛥𝑓𝑝𝑆𝑆 – ganho de força de protensão devido à retração do concreto da laje. 𝛥𝑓𝑝𝑇 – perda total de protensão.
𝛥𝑃1 – diferencia entre a força de protensão no apoio da viga e no meio do vão.
𝛥𝑤– deslocamento da cordoalha devido à acomodacao da ancoragem.
𝜀𝑏𝑑𝑓 – deformação por retração do concreto da viga entre o tempo da colocação da
laje e o tempo final.
𝜀𝑠ℎ – deformação por retração do concreto em um tempo determinado.
𝜀𝑑𝑑𝑓 – deformação por retração do concreto da laje entre o tempo da sua colocação e o tempo final.
𝛼𝑣 – mudança angular do cabo de protensão. 𝜇 – coeficiente de atrito.
𝜇𝑥 – média de uma variável x.
𝛿𝑃 – deflexão no centro do vão da viga devido a uma pontual carga P. 𝛿𝑞 – deflexão no centro do vão da viga devido a uma carga distribuída q. 𝜎𝑃̅2 – variancia.
𝛷(𝑢𝑖) – função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão.
𝛷𝑤 – fator de redução.
𝜙 – fator de resistencia; função de densidade de probabilidade.
Sumário
1. INTRODUÇÃO ... 22 2. OBJETIVOS ... 24 2.1 Objetivo Geral ... 24 2.2Objetivos Específicos... 24 3.REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 253.1 Confiabilidade de Pontes em Concreto Protendido ... 25
3.2 Avaliação da Segurança em Pontes Existentes ... 28
3.3 Estudo de Caso ... 31
4. METODOLOGIA ... 32
4.1 Seleção da Estrutura-Modelo para Análise de Caso ... 32
4.2 Desenvolvimento do Procedimento para Análise de Confiabilidade da Estrutura . ... 32
4.3 Modelagem Numérica da Estrutura para Obtenção dos Esforços ... 33
5.CONFIABILIDADE ESTRUTURAL ... 34
5.1 Generalidades ... 34
5.2 Confiabilidade em Pontes de Concreto Protendido ... 34
5.3 Métodos de Avaliação da Segurança ... 35
5.3.1 Método de Confiabilidade de Primeira Ordem (FORM) ... 35
5.3.2 Método de simulação Monte Carlo ... 38
5.4 Análise de Sensibilidade ... 40
6. PROCEDIMENTO PARA AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DE PONTES EM CONCRETO PROTENDIDO ... 42
6.1 Definição da Função Estado Limite ... 42
6.1.1 Flexão Positiva no Meio do Vão ... 42
6.1.2 Tensão à Tração do Concreto ... 45
6.2 Variáveis Aleatórias ... 47
6.2.1 Escolha das variáveis aleatórias ... 47
6.2.2 Distribuições e parâmetros ... 48
6.3 Cálculo da Probabilidade de Falha ... 51
6.3.1 Método de Simulação Monte Carlo ... 51
6.3.2 Método de Confiabilidade de Primeira Ordem FORM ... 52
7.DESCRIÇÃO DO ESTUDO DE CASO ... 55
7.1 Descrição e Caraterísticas Gerais da Ponte La Parroquia ... 55
7.2 Projeto da Armadura de Protensão ... 59
7.2.1 Avaliação das ações que atuam sobre a estrutura ... 59
7.2.2 Determinação do número de cabos ... 66
7.2.3 Cálculo das perdas totais na protensão ... 68
7.2.4 Trajetória dos cabos ... 75
7.2.5 Verificação do Estado Limite de Serviço do Concreto ... 77
7.2.6 Verificação do Estado Limite Último do Concreto ... 80
8.AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA DO ESTUDO DE CASO ... 82
8.1 Definição da Função Estado Limite ... 82
8.2 Variáveis Aleatórias ... 82
8.3 Cálculo da probabilidade de falha ... 84
8.3.1 Método de Simulação Monte Carlo ... 85
8.3.2 Método de Confiabilidade de Primeira Ordem ... 90
8.4 Modelagem da viga protendida ... 93
8.5 Cálculo dos Coeficientes Parciais de Segurança ... 95
9. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ... 102
10. CONCLUSÕES ... 116
REFÊRENCIAS ... 118
A.1 Modelagem da viga protendida usando o programa ABAQUS... 122
A.1.1 Viga de concreto ... 122
A.1.2 Ações permanentes ... 123
1. INTRODUÇÃO
As estruturas em concreto protendido vem sendo implementadas na construção civil em uma grande quantidade de obras, destacando-se principalmente pontes e viadutos. Atualmente, o concreto protendido é amplamente utilizado em estruturas como edificações, pistas de aeroportos, reservatórios de água, silos, entre outras. Uma das vantagens da protensão é a capacidade de criar uma melhor distribuição de esforços na peça de concreto, permitindo-lhe suportar uma carga até duas vezes maior do que o suportado por uma peça equivalente em concreto armado conseguiria, aumentando deste modo a possibilidade de se obter grandes vãos no caso de estruturas como pontes e edifícios, e resultando em ótimas relações custo-benefício.
A avaliação da segurança de uma estrutura começa a ser indispensável no momento em que aparecem dúvidas em relação à sua capacidade de suportar as diferentes ações que venham a solicitá-la. Na determinação da confiabilidade gera-se uma quantidade de incertezas causadas pela aleatoriedade de alguns parâmetros, os quais devem ser estimados para o cálculo da probabilidade de falha de uma estrutura. Parte dessas incertezas são causadas por erros humanos que afetam o desempenho e, portanto a segurança de uma estrutura. Segundo Beck (2006) existem modelos empíricos que representam as incertezas decorrentes da ação humana.
Formas de implementação de métodos probabilísticos tem passado por um desenvolvimento importante nos últimos anos: tanto a probabilidade quanto a estatística se converteram em ferramentas essenciais para a avaliação da incerteza. Especialmente na Engenharia Estrutural, a confiabilidade tem sido estabelecida como base no desenvolvimento dos códigos de projeto. No caso específico da avaliação da integridade das estruturas em concreto protendido, existem imprecisões nas variáveis envolvidas no projeto, que fazem indispensável o uso de uma abordagem probabilística.
Trabalhos recentemente desenvolvidos nessa área apontam para um aspecto que merece destaque: “por razões econômicas e de segurança, é imperativo assegurar que as pontes, como elementos vitais da infra-estrutura de transporte terrestre, se mantenham em condição aceitável e com elevado nível de confiabilidade” (Jacinto, 2011).
Embora haja carência de documentos normativos que regulem esse tipo de abordagem, a fundamentação apresentada pela Teoria de Confiabilidade, juntamente com ferramentas computacionais tanto para simulação estatística quanto para análise estrutural atualmente disponíveis, permite que o trabalho de avaliação possa ser sistematizado.
Tendo em vista que as pontes constituem uma proporção significativa da rede viária, juntamente com o crescente uso da protensão no Brasil e a carência de análise sobre as diversos parâmetros relacionados com o projeto para segurança estrutural utilizados nas normas atuais, estabelece-se como objetivo principal deste trabalho desenvolver um procedimento que permita determinar o índice de confiabilidade estrutural e a respectiva probabilidade de falha nos elementos estruturais que compõem pontes de concreto protendido. Os valores obtidos são comparados aos índices de referência recomendados pela NBR-6118/2014 e pela AASHTO LRFD. A análise é desenvolvida para uma ponte composta de viga-e-laje em concreto protendido, levando-se em consideração unicamente os esforços normais.
Fazendo uso do método de simulação Monte Carlo e do Método de Confiabilidade de Primeira Ordem (FORM), além de um modelo numérico para verificação da capacidade resistente à flexão, é determinado o nível de segurança da ponte escolhida, em termos do índice de confiabilidade (β). Uma análise de sensibilidade é efetuada com o propósito de estabelecer quais parâmetros apresentam um contribuição importante na segurança de uma ponte de concreto protendido.
2. OBJETIVOS
2.1 Objetivo Geral
O objetivo geral deste projeto de pesquisa é apresentar um procedimento de avaliação da segurança dos elementos estruturais que compõem a superestrutura de pontes de concreto protendido, tomando como base a Teoria da Confiabilidade. O procedimento é aplicado a um estudo de caso de uma ponte de viga-e-laje.
2.2 Objetivos Específicos
Obter a probabilidade de falha da ponte escolhida como estudo de caso por meio do método de simulação Monte Carlo utilizando a ferramenta computacional MATLAB®.
Aplicar o procedimento analítico baseado na Teoria da Confiabilidade, que permita gerar o índice de confiabilidade e a correspondente probabilidade de falha da estrutura analisada.
Realizar uma análise de sensibilidade de cada uma das variáveis aleatórias escolhidas nas Funções Estado Limite.
Determinar os coeficientes parciais de segurança, e os comparar com as normas de projeto NBR-6118/2014 e AASHTO LRFD.
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1 Confiabilidade de Pontes em Concreto Protendido
Trabalhos relacionados com a avaliação da segurança de pontes em concreto protendido vem sendo desenvolvidos por diversos pesquisadores ao longo do tempo, dando resposta às diferentes questões geradas pelos problemas que a Engenharia Estrutural apresenta.
Chandrasekar e Dayaraatnam (1975) sugeriram um método explícito para a avaliação da probabilidade de falha de vigas de concreto protendido. Foram formulados dois casos para o estudo: no primeiro a resistência foi tratada como uma variável aleatória enquanto as cargas foram tratadas como determinísticas, no segundo tanto a resistência dos materiais como as cargas foram associadas a um tipo de distribuição de frequência. Os autores concluíram que a probabilidade de falha de uma viga em concreto protendido é muito sensível à variação do aço, e menos sensível à variação da resistência do concreto.
Tabsh e Nowak (1991) apresentaram um procedimento prático para o cálculo da confiabilidade aplicado a pontes em viga, sendo medida em termos do índice de confiabilidade. O estudo desenvolvido incluiu pontes em diversos materiais como aço, concreto armado e concreto protendido. Para fazer um paralelo, duas hipóteses sobre o comportamento da estrutura foram feitas: a primeira considera a análise de falha apenas numa viga, e a segunda considera a ponte como um sistema estrutural integral. O índice de confiabilidade foi calculado usando um processo iterativo, o qual está baseado na normalização das variáveis com distribuições diferentes à normal no ponto chamado “ponto de projeto”. A confiabilidade começou a ser avaliada com a definição da função estado limite e milhares de simulações por Monte Carlo foram realizadas usando os parâmetros estatísticos para os materiais. Os autores concluíram que para pontes em concreto armado e protendido, os parâmetros mais importantes na análise de confiabilidade são a área do aço e a altura da viga.
Al-Harthy e Frangopol (1994) avaliaram os níveis de confiabilidade de vigas em concreto protendido, projetadas segundo o código ACI (1989). Os autores estimaram os níveis de confiabilidade de 73 vigas em concreto protendido, limitando a análise para efeitos de flexão. O índice de confiabilidade β foi usado como medida da confiabilidade, e o estudo feito foi direcionado às funções de comportamento não lineares. Para o cálculo das médias das resistências, basearam-se em Mirza et al. (1979). Como resultado foram obtidos os níveis de
confiabilidade para diferentes estados limites, incluindo a tração admissível e as tensões de compressão nas etapas inicial e final, a fissuração à flexão, e a capacidade última. Os resultados finais apresentados nesse trabalho contribuíram para o melhor entendimento dos estados limites implementados no projeto de vigas protendidas.
Nowak et al. (2001) propuseram um estudo comparativo do nível de segurança de vigas de concreto protendido usando três códigos diferentes: Norma Espanhola IAP-98 (1998), ENV 1991-3, Eurocode (1994), e AASHTO LRFD (1998). Selecionaram cinco vigas protendidas para realizar uma comparação da confiabilidade estrutural. Foram estabelecidas como variáveis aleatórias as ações e a resistência. Consegue-se observar na análise que o estado limite de serviço (tensão à tração do concreto) predomina no projeto das vigas protendidas. Para o cálculo do índice de confiabilidade foi utilizado um procedimento iterativo. Os resultados indicaram que o Eurocode é mais conservador do que os outros dois códigos, e AASHTO LRDF é o código mais permissivo.
Biondini et al. (2004) fizeram uma abordagem direta e sistemática sobre a análise de confiabilidade de estruturas de concreto armado e protendido, sujeitas a cargas estáticas. Na análise, a distribuição acumulada dos fatores associados a cada estado limite foi determinada, e o índice de confiabilidade foi avaliado. A efetividade do método de Monte Carlo na avaliação da confiabilidade nessa classe de estruturas foi investigada, e o estudo foi feito numa análise não linear. Foi dada ênfase a estruturas existentes e pontes em arco.
Fazendo uso de vigas convencionais em concreto protendido de diversos vãos, Du e Au (2005) estabeleceram uma comparação dos índices de confiabilidade, utilizando três códigos: o código Chinês, o código SDMHR de Hong Kong, e o código AASHTO LRFD. Foram levados em conta tanto os estados limites de serviço quanto os estados limite últimos. Os autores concluíram que os índices de confiabilidade obtidos para a capacidade à flexão de uma viga protendida seguindo os requerimentos de cada código de projeto, são próximos uns dos outros, embora as quantidades de cabos requeridas sejam diferentes.
Cheng et al. (2007) propuseram um algoritmo eficiente e preciso para prever respostas de vigas em concreto protendido fissuradas, considerando as incertezas dos parâmetros. Um ano depois Darmanwan e Stewart (2007) desenvolveram modelos probabilísticos de corrosão localizada nos cabos de protensão.
Souza Jr. (2008) realizou o estudo dos coeficientes parciais de segurança utilizados em normas de projeto estrutural, onde um exemplo de calibração analítico baseado no método FOSM foi estudado. O trabalho foi fundamentado na teoria de confiabilidade estrutural, obtendo como resultado uma estimativa quantitativa da segurança (índice de confiabilidade). A metodologia de calibração abordada permitiu obter o conjunto de coeficientes parciais de segurança que minimiza as variações dos índices de confiabilidade das mais diversas estruturas projetadas segundo uma norma de projeto, em relação ao índice de confiabilidade alvo utilizado na calibração.
Steinberg (2010) examinou três métodos para determinar a capacidade nominal à flexão de três vigas protendidas diferentes de pontes UHPC (Ultrahigh Performance Concrete) com seção tipo caixão. Os três métodos analíticos utilizados foram: o procedimento especificado na AASHTO LRFD, o procedimento desenvolvido por Garcia (2007) e o método elaborado pelo autor. Foram efetuadas simulações por Monte Carlo para considerar a variabilidade de um conjunto de parâmetros e determinar os índices de confiabilidade. Os resultados das análises executadas mostraram que o procedimento mais simples e familiar, AASHTO, proporciona o nível de confiabilidade mais consistente.
Agrawak e Bhattacharya (2010) determinaram os fatores de segurança parciais para vigas retangulares parcialmente protendidas no estado limite último de flexão submetidas a ações permanentes e variáveis. Descreveram em detalhe uma metodologia baseada na confiabilidade, para o desenvolvimento de um conjunto de fatores parciais de segurança ideais para um estado limite determinado. O método FORM foi usado neste estudo, e exemplos numéricos foram apresentados, incluindo a descrição do projeto de vigas retangulares de concreto parcialmente protendido submetidas a flexão.
Cheng (2013) apresentou um método efetivo para análise de confiabilidade no estado limite de serviço de pontes em concreto protendido. Segundo o autor, o método integra as vantagens de dois outros métodos: Artificial Neural Network (ANN) e First Order Reliability
Method (FORM). O método proposto inclui uma função de estado limite explícita. Uma vez
que esta função é obtida, a probabilidade de falha pode ser estimada usando um método que consiste num híbrido entre FORM e o método Importance Sampling Updating (ISU). Como um exemplo prático de engenharia, o estado limite de serviço de uma ponte em concreto protendido foi apresentada. A explícita formulação da função de estado limite aproximada foi deduzida usando os parâmetros do modelo ANN estabelecidos.
Cheng (2014) introduziu uma metodologia geral para a estimar a confiabilidade de pontes em concreto protendido, levando em consideração a variabilidade espacial das propriedades estruturais. A metodologia utilizada foi estabelecida para prover estimativas mais exatas da probabilidade de falha, a qual foi comparada com o método da análise de confiabilidade sem considerar um campo aleatório. A confiabilidade é estimada por um algoritmo de confiabilidade de primeira ordem generalizado, e o autor apresenta o desenvolvimento do software que foi utilizado. Por meio de um exemplo de uma ponte em concreto protendido, é apresentada a comparação dos resultados da probabilidade de falha alcançados pela metodologia introduzida e aquela que não considera o campo aleatório.
San Martins (2014) trabalhou sobre a avaliação da confiabilidade de vigas pré-tracionadas de concreto protendido em relação ao estado limite último, considerando a aderência inicial. No ano seguinte Rocha et al. (2015) analisaram a confiabilidade de vigas portuárias construídas em concreto protendido conforme aos critérios da NBR 6118/2014. Foi verificada a confiabilidade destas estruturas em relação ao estado limite último de flexão, utilizando o método de confiabilidade de primeira ordem FORM.
3.2 Avaliação da Segurança em Pontes Existentes
Saraf (1998) fez um aporte no estudo de pontes existentes de laje em concreto armado, estabelecendo como objetivo principal avaliar, por meio de provas de carga não destrutivas, o método de fator de carga proposto pela AASHTO. A análise não destrutiva foi utilizada para calibrar o modelo de elementos finitos. Os modelos calibrados foram usados para calcular os efeitos devidos às cargas permanentes e às cargas variáveis reais, e por conseguinte obter a capacidade nominal real da ponte. Os resultados demostraram que o método proposto pela AASHTO é muito conservador, concluindo que em muitas situações pode-se evitar a reparação ou a substituição da ponte.
Tanner e Bellod (2000) contribuíram com o estudo de pontes existentes, apresentando um caso real de uma ponte em arco que precisava sofrer uma ampliação. O objetivo era justificar a confiabilidade da estrutura existente para as novas condições sem a necessidade de ser reforçada. O método consistia em uma série de fases pelas quais a ponte deveria ser avaliada, levando em consideração modelos de resistência atualizados. Os autores aplicaram uma análise determinística e outra probabilística, obtendo como resultado a proposta de uma solução estrutural simples para a ponte, sem necessidade de fazer um reforço.
Stewart (2001) expôs uma visão ampla sobre os conceitos, metodologia e aplicações da avaliação de risco de pontes existentes em concreto armado. O estudo desenvolvido abarcou dois aspectos: o primeiro levou em conta o efeito da idade, do volume de tráfego e da deterioração, e o segundo levou em conta a influência das especificações de projeto sobre durabilidade na fissuração longitudinal do concreto armado. Foi estabelecido que as abordagens baseadas em risco mais adequadas para a implementação imediata são os custos de ciclo de vida e a classificação do risco. O custo de ciclo de vida é usado para quantificar o custo de uma decisão.
Akgül e Frangopol (2003) realizaram uma pesquisa sobre a segurança no tempo de vida de vários tipos de pontes existentes localizadas dentro de uma rede, usando técnicas de confiabilidade e equações de estado limite com base em requisitos do código AASHTO LRFD. Para a avaliação da segurança de uma ponte existente, foram estabelecidas as equações que definem o chamado rating factor, o qual é utilizado principalmente para ser comparado com os índices de confiabilidade. Os termos interventory rating e operating rating foram introduzidos. Os rating factors e os índices de confiabilidade foram igualmente calculados no tempo de vida, de forma contínua, com base na deterioração e em modelos de cargas variáveis.
Akgül e Frangopol (2004) apresentaram uma metodologia geral para análise de pontes em viga existentes em concreto protendido no seu tempo de vida. Unicamente as componentes da superestrutura foram consideradas (lajes e vigas). O processo de determinação das funções de estado limite foi mostrado para a seção de momento máximo positivo, a seção de momento negativo no apoio do pilar e para a tensão de tração no concreto das vigas. As variáveis aleatórias, os parâmetros determinísticos e os coeficientes constantes foram definidos.
Cruz et al. (2008) descreveram de uma forma acessível, os métodos de análise de confiabilidade e a metodologia de verificação da segurança por etapas, os quais podem ser úteis na avaliação da segurança de pontes existentes. No estudo estabeleceram cinco níveis de avaliação da segurança com um nível de complexidade crescente. O procedimento proposto consiste em recorrer a um nível mais avançado sempre que a ponte não cumpre os requisitos estabelecidos no nível prévio. O método foi aplicado numa ponte ferroviária de concreto armado, o que permitiu comprovar, segundo os autores, que a metodologia é uma ferramenta simples e eficaz.
Dissanayake e Karunananda (2008) apresentaram uma metodologia baseada em confiabilidade para monitoramento da saúde de pontes envelhecidas. Estabeleceram um processo para a avaliação da segurança de pontes existentes, determinando o requisito de uma manutenção. O processo consistiu em determinar os índices de confiabilidade (elementar e do sistema) e desta forma obter a probabilidade de falha, comparando o índice de confiabilidade atual com o valor alvo, avaliando a necessidade da manutenção.
Kotes e Vican (2012) propuseram uma modificação dos níveis de confiabilidade recomendados de acordo com o Eurocode para os elementos de uma ponte submetidos a flexão, os quais devem ser aplicados na avaliação de uma ponte existente. Os níveis modificados dependem da idade da ponte e do tempo de vida remanescente planejado e, por outro lado, da influência dos fatores de segurança parciais dos materiais e das ações. Os autores definiram um intervalo de tempo, calculando para ele o índice de confiabilidade e os respetivos níveis de confiabilidade. A análise proporcionou uma lista de índices de confiabilidade para uma ponte existente dependendo de seu tempo de vida restante e atual.
Sýkora et al. (2013) propuseram esclarecer as aplicações do método semi-probabilístico para pontes em concreto armado existentes. Basearam-se na seguinte premissa: apesar do método ter sido introduzido nas normas ISO 2394 e depois adotado pela norma europeia Eurocode EN 1990, as regras da sua aplicação não haviam sido especificadas. Exemplos numéricos foram utilizados para mostrar como os fatores parciais foram deduzidos para diferentes níveis de confiabilidade alvo. Como resultado da análise, os autores concluíram que a confiabilidade de pontes existentes pode ser eficazmente verificada utilizando-se coeficientes parciais com base na abordagem semi-probabilística.
Machín e Sima (2014) apresentaram diferentes metodologias para a avaliação de pontes existentes que não satisfazem as especificações de uma norma de projeto atual. A metodologia foi elaborada com base na norma ISO 13822 (2001). A ideia principal da pesquisa foi utilizar as informações atuais de uma ponte existente que podem ser reunidas, e estudar seu desempenho utilizando coeficientes parciais menores, sem diminuir o índice de confiabilidade da estrutura. Por meio de um exemplo, analisando uma ponte existente, os autores demonstraram que, sem diminuir o índice de confiabilidade, em alguns casos pode resultar viável reforçar a estrutura ao invés de a demolir e reconstruir.
Li e Wang (2015) tiveram como objetivo apresentar um método que integrasse a carga de serviço e a informação sobre a degradação da resistência na atualização da resistência e da confiabilidade da estrutura. Foi usada uma função geral e simples de degradação no método desenvolvido. O estudo considerou o efeito da história das cargas de serviço na resistência e na confiabilidade de uma ponte envelhecida. Formulas explicitas foram propostas para atualizar as estimativas da resistência da ponte, a confiabilidade nos anos seguintes, e a resistência inicial. O método foi aplicado a uma ponte em viga de concreto armado.
3.3 Estudo de Caso
Em algumas pesquisas desenvolvidas pelos autores destacados anteriormente, foi indispensável a implementação de exemplos e casos de estudo reais, para cumprir os objetivos nelas estabelecidos. Muitos dos casos foram o meio pelo qual chegou-se a uma avaliação do método de análise adotado, e à comprovação de sua efetividade. A seguir, são destacados os casos de estudo escolhidos para cada pesquisa em particular.
Biondini et al. (2004) aproveitaram uma ponte em arco existente de um comprimento total de 158 metros, com um vão central de 125 m e uma largura total da laje de 8,10 m. A viga é tipo caixão e o valor da tensão nominal de protensão é de 1200 MPa.
Cruz et al. (2008) adotaram como exemplo, para efetuar a aplicação do método proposto na avaliação da confiabilidade, a ponte ferroviária de Brunna. Essa ponte ferroviária é localizada na Suécia, e é uma estrutura tipo pórtico contínuo construída em 1969. O artigo, além dos valores característicos de todos os parâmetros, apresenta os valores médios, os coeficientes de variação e os tipos de distribuição assumidos para a análise. São definidos para a estrutura os modelos probabilísticos da resistência à flexão nas seções críticas de um tramo e os valores característicos, os valores médios, os coeficientes de variação e as funções de distribuição de probabilidade, para cada uma das cargas consideradas.
Cheng (2014) no seu método proposto utiliza uma ponte em viga tipo caixão em concreto protendido de três vãos, constituída por quatro células e uma laje em balanço.
4. METODOLOGIA
4.1 Seleção da Estrutura-Modelo para Análise de Caso
A ponte adotada para análise de caso foi previamente selecionada. A escolha se deu tendo em vista o Trabalho de Final de Curso (TFC) denominado “Avaliação da rigidez à flexão em pontes de viga-e-laje em concreto protendido a partir de prova-de-carga: estudo de caso – Ponte La Parroquia”, devido a que o estudo de caso consistiu numa ponte em concreto protendido, a qual foi construída na Colômbia.
São utilizados os dados disponíveis através do trabalho de pesquisa mencionado acima, alusivos à geometria da superestrutura da ponte La Parroquia para serem implementados como exemplo de uma ponte convencional em concreto protendido e alcançar os objetivos estabelecidos anteriormente.
4.2 Desenvolvimento do Procedimento para Análise de Confiabilidade da Estrutura
Uma das formas mais comuns na avaliação do nível de segurança de uma estrutura é por meio do índice de confiabilidade β o qual permite estabelecer a correspondente probabilidade de falha Pf.
A Função Estado Limite G(x) na determinação do índice de confiabilidade, assume uma função fundamental, pois representa o desempenho de uma estrutura em termos de um número de variáveis aleatórias. O problema de confiabilidade básica considera não mais que um efeito de carga S, suportada por uma resistência, R, ambas descritas por funções de densidade de probabilidade conhecidas. No presente estudo, o índice de confiabilidade é calculado para um elemento composto de viga e laje da estrutura previamente descrita, no Estado Limite Último e no Estado Limite de Serviço.
A Função Estado Limite é baseada nos requisitos descritos nas especificações AASHTO LRFD (2012), definindo os estados de falha mais comuns para a estrutura e, determinando as respectivas variáveis aleatórias. Na análise, apenas os esforços normais são considerados.
A implementação do método de simulação Monte Carlo é feita para a determinação da probabilidade de falha, tendo como validação o método analítico FORM (First Order Reability
É usado como ferramenta computacional o software MATLAB® para o desenvolvimento do método Monte Carlo, determinando-se o tamanho da amostra a ser implementado através do procedimento descrito por Nowak e Collins (2000).
Com o objetivo de estabelecer uma comparação entre os resultados alcançados com os já estabelecidos nas especificações das normas americana e brasileira, são calculados os coeficientes parciais de segurança 𝛾𝑠 e 𝛾𝑅.
Uma análise de sensibilidade é efetuada através de três métodos diferentes, com a finalidade de determinar quais variáveis apresentam uma influência importante na segurança de uma ponte em concreto protendido, e assim simplificar problemas futuros.
4.3 Modelagem Numérica da Estrutura para Obtenção dos Esforços
Utilizam-se dois procedimentos para realizar o cálculo dos esforços na estrutura escolhida como estudo de caso, com o objetivo de estabelecer uma comparação entre as respostas obtidas e o custo computacional gerado por cada uma delas.
O primeiro procedimento implementa as expressões analíticas que levam à obtenção dos esforços produzidos na estrutura por cada uma das ações consideradas na análise, as quais são resolvidas através do programa MATLAB®. O segundo método consiste em realizar o modelo da estrutura utilizando o programa de cálculo estrutural ABAQUS o qual aplica o método dos elementos finitos e consegue, através de um código de programação, incluir no modelo o uso das variáveis aleatórias.
Uma vez calculados os esforços da estrutura, avaliam-se as Funções Estado Limite no programa MATLAB® para obter a resposta da probabilidade de falha 𝑃𝑓 e o índice de
5. CONFIABILIDADE ESTRUTURAL
5.1 Generalidades
A segurança e a durabilidade de uma estrutura tornaram-se requisitos indispensáveis nas normas de projeto estrutural, e estabeleceu-se a análise de confiabilidade como uma ferramenta que permite determinar se uma estrutura é viável ou não.
Uma análise de confiabilidade tem como proposito encontrar em que condições uma estrutura deixa de cumprir satisfatoriamente as funções pelas quais foi ou será construída. Através do cálculo da probabilidade de falha da estrutura, essas condições podem ser determinadas, tanto para estruturas novas quanto para estruturas existentes.
Como foi afirmado por Santos e Eboli (2006), a aplicação da análise de confiabilidade leva a atingir dois objetivos principais: verificar se durante a vida útil de uma estrutura, esta apresentará um nível adequado de desempenho, e verificar se terá uma probabilidade de falha menor que o valor pré-estabelecido.
Com base em que a teoria da probabilidade não indaga principalmente sobre os fenômenos que levam à falha da estrutura, se não sobre a frequência em que eles ocorrem, pode-se afirmar que “a confiabilidade não é uma teoria física das falhas, pode-se não uma teoria estatística, uma teoria de probabilidades” (Felizia 1996).
O comportamento das estruturas depende de diversos fatores, muitos dos quais não podem ser controlados de forma absoluta pois são passíveis de uma variabilidade, produzida por diversas fontes de incerteza. Devido a que os sistemas estruturais têm se tornado cada vez mais complexos, as incertezas tendem a aumentar em número, conduzindo à uma solução não determinística do problema.
5.2 Confiabilidade em Pontes de Concreto Protendido
A avaliação da segurança de uma ponte torna-se necessária quando surgem dúvidas sobre a sua capacidade resistente (Jacinto et al., 2013).
As pontes em concreto protendido vêm sendo amplamente implementadas devido a suas excelentes características mecânicas e as vantagens que têm na construção. Porém, existe uma variabilidade no seu desempenho advinda das incertezas que existem nas variáveis de projeto.
Essas incertezas incluem a variabilidade das propriedades geométricas e dos materiais, da força de protensão e das ações tanto as permanentes quanto as variáveis que venham a solicitá-la. Portanto, a análise da confiabilidade de pontes em concreto protendido deve ser estudada sob um ponto de vista probabilístico (Cheng, 2013).
Análises de confiabilidade de pontes em concreto protendido tem sido objeto de várias pesquisas, destacando-se diversos métodos de análise, a maioria considerando cada uma das incertezas como uma variável aleatória.
5.3 Métodos de Avaliação da Segurança
Diversos métodos de avaliação da segurança aplicadas às estruturas foram desenvolvidos ao longo do tempo, demonstrando muitas vezes que a análise de confiabilidade de uma estrutura apresenta soluções mais adequadas quando se utiliza um método probabilístico ao invés de um método determinístico devido a quantidade de incertezas que são geradas nos problemas, tanto na área estrutural quanto na engenharia em geral.
Neste capítulo são apresentados dois métodos de avaliação da segurança das estruturas, que estão associados ao cálculo da probabilidade de falha, a qual “denota simplesmente a ocorrência de um dano estrutural e engloba naturalmente não só estados limites últimos mas também estados limites de utilização” (Jacinto, 2011).
5.3.1 Método de Confiabilidade de Primeira Ordem (FORM)
Têm sido desenvolvidos vários métodos que implementam soluções aproximadas na avaliação da confiabilidade estrutural. Segundo Gomes (2008) estes podem ser agrupados em dois tipos: os métodos de confiabilidade de primeira ordem (FORM), e os de segunda ordem (SORM).
Dois passos nestes métodos de aproximação devem ser abordados: o primeiro consiste na simplificação da integral da Função Densidade de Probabilidade fx(x), fazendo o seu
contorno ser mais regular e simétrico, e o segundo consiste em aproximar o contorno da integração 𝐺(𝑿) = 0. Depois desses dois passos, uma solução analítica para a integração da probabilidade será fácil de encontrar (DU, 2005).
No desenvolvimento dos métodos FORM derivam-se os chamados métodos FOSM (também são referidos na literatura como métodos do valor médio de primeira ordem e dos segundos momentos – MVFOSM), e AFOSM os o quais tornaram-se muito conhecidos pela sua simplicidade.
Tanto os métodos FOSM quanto os AFOSM são métodos simplificados de primeira ordem, os quais realizam o cálculo da probabilidade de falha implementando transformações das variáveis envolvidas no problema, sem necessidade de realizar uma integração numérica.
O nome do Método de Confiabilidade de Primeira Ordem provem do fato que a função de estado limite 𝐺(𝑿) é aproximada pela expansão de primeira ordem de Taylor (linearização). A determinação da probabilidade de falha pode ser efetuada através desse método quando as distribuições das variáveis aleatórias são conhecidas.
No presente estudo o método de confiabilidade de primeira ordem é utilizado, método que foi inicialmente denominado método avançado de primeira ordem e segundo momento, AFOSM (Advanced First Order Second Moment Method). Nesse método toda a informação estatística das variáveis aleatórias do problema é utilizada, ou seja, além da média e desvio padrão, é usada a distribuição de probabilidades bem como os coeficientes de correlação (Alves, 2014).
O princípio para o desenvolvimento deste método, baseia-se em transformar as variáveis aleatórias de uma espaço original 𝑿 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) com distribuições quaisquer de
probabilidade, correlacionadas ou não entre si, em um grupo 𝑼 = (𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑛) de variáveis aleatórias estatisticamente independentes, normais equivalentes padronizadas (Paliga, 2008).
A função estado limite no espaço original 𝐺(𝑿) = 𝐺(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛), deve ser expressa em função das variáveis transformadas 𝐺(𝑼) = 𝐺(𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑛), permitindo assim calcular
neste sistema a distância entre superfície de falha e a origem, distância que é definida como o índice de confiabilidade β. A Figura 5.1 apresenta a transformação do espaço original 𝐺(𝑿) para o espaço normal padrão para as variáveis normais equivalentes 𝐺(𝑼).
Figura 5.1. Transformação do espaço original para o espaço padronizado na abordagem FORM (DU, 2005).
A transformação pode ser realizada fazendo uso do método chamado transformação Rosenblatt, definido pela expressão (5.1):
𝐹𝑋𝑖(𝑋𝑖) = Φ(𝑢𝑖) ( 5.1 )
sendo Φ(𝑢𝑖) a função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão. A variável normal transformada é obtida através da equação (5.2):
𝑈𝑖 = Φ−1[𝐹𝑋𝑖(𝑋𝑖)] ( 5.2 )
Uma vez que a transformação das variáveis aleatórias é realizada com o objetivo de fazer a avaliação da probabilidade mais simples, o limite da interação 𝐺(𝑼)=0 será igualmente aproximado. Aplicando-se a expansão de primeira ordem de Taylor, obtém-se a expressão (5.3): 𝐺(𝑼) ≈ 𝐿(𝑼) = 𝐺(𝒖∗) + ∇𝐺(𝒖∗)(𝑼 − 𝒖∗)𝑇 ( 5.3 ) com ∇𝐺(𝒖∗) = (𝜕𝐺(𝑼) 𝜕𝑈1 ,𝜕𝐺(𝑼) 𝜕𝑈2 , … ,𝜕𝐺(𝑼) 𝜕𝑈𝑛 ) 𝒖∗ ( 5.4 )
onde 𝐿(𝑼) é a função padrão linearizada, 𝒖∗= (𝑢1∗, 𝑢2∗, … , 𝑢𝑛∗) é o ponto de expansão, T indica a transposta, e ∇𝐺(𝒖∗) é o gradiente de 𝐺(𝑼) em 𝒖∗.
Para fazer a expansão da função, o ponto mais adequado é aquele em que se apresenta a maior densidade de probabilidade, ponto que é chamado de Most Probable Point (MPP). Por último se faz a estimativa da probabilidade de falha. Na obtenção do índice de confiabilidade
β, segundo o método FORM, um processo iterativo deve ser empregado até que a convergência
do ponto de projeto e do índice de confiabilidade para o problema analisado convirja. A seguir apresentam-se três passos que resumem o processo do método FORM (DU,2005):
1. transformar as variáveis aleatórias originais do espaço X ao espaço U mediante a transformação de Rosenblatt;
2. buscar o MPP (Most Probable Point) no espaço U e calcular o índice de confiabilidade β;
3. calcular a confiabilidade 𝑅 = 𝜙(𝛽).
5.3.2 Método de simulação Monte Carlo
5.3.2.1 Aspectos Gerais
Em muitos problemas de engenharia, manifesta-se a ausência de dados experimentais que permitem realizar uma determinada análise. O método de simulação Monte Carlo aparece dando solução a esse problema, criando a possibilidade de gerar um conjunto de resultados numéricos sem a necessidade de fazer testes experimentais.
Sua ideia básica consiste em simular artificialmente o comportamento de um sistema por meio de um processo repetitivo, atribuindo a cada variável definida um valor diferente em cada repetição.
Para que o método Monte Carlo possa ser usado, deve existir uma função que represente o comportamento da estrutura relacionada a um determinado estado limite, e devem ser prescritas as distribuições de probabilidade das variáveis envolvidas. Para cada valor das variáveis, verifica-se a função estado limite: se a função é atingida assume-se que o sistema atingiu a falha.
Repete-se este processo o número de vezes indispensável para que os resultados sejam coerentes com a precisão desejada no cálculo da probabilidade de falha. Como resultado final obtém-se uma amostra que pode ser tratada estatisticamente, a qual é similar a uma amostra obtida por um método experimental.
5.3.2.2 Cálculo do número de simulações
Na simulação de Monte Carlo, deve ser determinado o número de iterações indispensáveis para se obter um tamanho de amostra que permita um cálculo apropriado da probabilidade de falha.
Descreve-se a seguir o método proposto por Nowak e Collins (2000). A probabilidade de falha é calculada usando-se a relação (5.5):
𝑃𝑓 = 𝑛
𝑁 ( 5.5 )
sendo 𝑁 o número total de simulações e 𝑛 o número de vezes em que um determinado critério foi alcançado.
A probabilidade de falha obtida com a expressão acima variará dependendo da amostra. Portanto, a própria probabilidade de falha pode ser tratada como uma variável aleatória com sua própria média, desvio-padrão, e coeficiente de variação.
Estabelecendo-se 𝑃𝑒 como a probabilidade esperada, que está se tentando estimar por meio do cálculo de 𝑃𝑓, o valor esperado, a variância, e o coeficiente de variação da probabilidade estimada podem ser obtidos pelas expressões (5.6), (5.7) e (5.8), respectivamente: 𝐸[𝑃𝑓] = 𝑃𝑒 ( 5.6 ) 𝜎𝑃2𝑓 = 1 𝑁[𝑃𝑒(1 − 𝑃𝑒)] ( 5.7 ) 𝑉𝑃𝑓 = √(1 − 𝑃𝑒) 𝑁(𝑃𝑒) ( 5.8 )
Rearranjando-se a equação (5.8) é possível obter, para uma dada probabilidade pré-estimada (𝑃𝑒) o número de simulações necessário 𝑁.
É possível deduzir das expressões anteriores que a incerteza na estimativa da probabilidade decresce à medida que o número total de simulações, 𝑁, cresce.
