CONTROLE DA ALTURA DA CAMADA DE ESPUMA EM UMA COLUNA DE FLOTAÇÃO

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Texto

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ESCOLA DE MINAS – EM

COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO – CECAU

CONTROLE DA ALTURA DA CAMADA DE ESPUMA

EM UMA COLUNA DE FLOTAÇÃO

MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO

EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

ÉRIKA ADRIANA DA CRUZ CUSTÓDIO

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ÉRIKA ADRIANA DA CRUZ CUSTÓDIO

CONTROLE DA ALTURA DA CAMADA DE ESPUMA EM UMA COLUNA DE FLOTAÇÃO

Monografia apresentada ao Curso de Engenharia de Controle e Automação da Universidade Federal de Ouro Preto como parte dos requisitos para a obtenção de Grau em Engenheira de Controle e Automação.

ORIENTADOR: RONILSON ROCHA

CO-ORIENTADOR: JOSÉ AURÉLIO MEDEIROS DA LUZ

OURO PRETO

ESCOLA DE MINAS - UFOP

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AGRADECIMENTOS

Dedico primeiramente a Deus pela vida, aos meus pais e irmãos que sempre estiveram ao meu lado, ao Robson pelo amor e compreensão, aos professores Ronilson Rocha e José Aurélio Medeiros da Luz pela orientação e incentivo, aos meus amigos (em especial Danny, Márcio B. e Tharcila) que de uma forma ou outra contribuíram e a todos professores pelos conhecimentos que me foram passados.

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SUMÁRIO Lista de Figuras---VI I. INTRODUÇÃO---1 1.1-Justificativa---1 1.2-Objetivo---1 1.3-Metodologia---1 1.4-Estrutura do trabalho---2 II. FLOTAÇÃO---4 2.1-Conceitos de Flotação---4 2.1.1-Hidrofobicidade ---4 2.1.2-Coleta---5 2.1.3-Modulação da Coleta---5

2.1.4-Dosagem e alimentação de reagentes---6

2.1.5-Terminologia---6

2.2-Flotação em Coluna---6

2.3-Variáveis---8

2.3.1-Variáveis manipuladas---9

2.3.2-Variáveis controladas---10

2.4-Instrumentação e Controle da coluna de flotação---13

2.4.1-Alguns métodos convencionais para nível---15

III.AUTOMAÇÃO E CONTROLE---17

3.1-Controladores---17

3.2-Lugar das raízes---19

3.3-Resposta em Freqüência---19

3.3.1-Estabilidade e resposta de sistemas realimentados---20

3.3.2-Critério de Estabilidade de Bode---21

3.3.3-Definições---22

3.3.4-Margem de Ganho e Margem de fase nos diagramas de Bode---22

3.3.5-Critério aproximado de Bode---23

IV.PROJETO DOS CONTROLADORES---24

4.1-Primeiro projeto---24

4.2-Segundo projeto---35

V.CONCLUSÃO---44

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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1 – Esquema geral de uma coluna de Flotação---7

FIGURA 2.2 – Fluxo de água na coluna de flotação---9

FIGURA 2.3 – Sistema para medição de Hold up ---12

FIGURA 2.4 – Primeira alternativa de Instrumentação e controle---13

FIGURA 2.5 – Segunda alternativa de Instrumentação e controle ---14

FIGURA 3.1 – Comportamento ideal-degrau unitário---18

FIGURA 3.2 – Esquema geral-resposta em freqüência ---19

FIGURA 3.3 –Sistema geral---21

FIGURA 3.4 – Diagrama de amplitude e fase-bode---23

FIGURA 4.1 –Modelo---24

FIGURA 4.2 – Sistema geral sem distúrbio---25

FIGURA 4.3 – Comportamento do sistema da figura 4.2---25

FIGURA 4.4 – Sistema geral sem distúrbio-MA---26

FIGURA 4.5 – Comportamento do sistema da figura 4.4---26

FIGURA 4.6 – Diagrama de bode da figura 4.4---27

FIGURA 4.7 – Diagrama de margin da figura 4.4---27

FIGURA 4.8 – Lugar das raízes do sistema da figura 4.4---28

FIGURA 4.9 – Diagrama de bode para um ganho de 10Kp---29

FIGURA 4.10 – Diagrama de bode para FT com o novo zero---30

FIGURA 4.11 – Sistema com PID sem distúrbio---31

FIGURA 4.12 –Comportamento do sistema da figura 4.11---31

FIGURA 4.13 – Comportamento do sistema da figura 4.11 com distúrbio---32

FIGURA 4.14 – Sistema com PID com distúrbio---33

FIGURA 4.15 – Resposta com W=1---33

FIGURA 4.16 –Resposta com W=10---34

FIGURA 4.17 – Resposta com W=100---34

FIGURA 4.18 – Sistema geral sem distúrbio(atraso)---35

FIGURA 4.19 – Comportamento do sistema da figura 4.18---35

FIGURA 4.20 – Sistema geral sem distúrbio(atraso)-MA---36

FIGURA 4.21 – Comportamento do sistema da figura 4.20---36

FIGURA 4.22 – Diagrama de bode da figura 4.20---37

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FIGURA 4.24 – Diagrama de bode relacionado com a equação 4.6---38

FIGURA 4.25 – Diagrama de margin relacionado com a equação 4.6---38

FIGURA 4.26 –Lugar das raízes sem atraso---39

FIGURA 4.27 – Esquema Pade---39

FIGURA 4.28– Lugar das raízes com atraso---40

FIGURA 4.29 –Sistema com PID(atraso) sem distúrbio---41

FIGURA 4.30 – Comportamento do sistema da figura 4.29---41

FIGURA 4.31 – Comportamento do sistema com Kp’=Kp/2---42

FIGURA 4.32 – Sistema com PID(atraso) com distúrbio ---42

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RESUMO

O processo de flotação em coluna vem ganhando cada vez maior destaque na indústria mineral, atuando na faixa de separação e concentração de partículas finas com excelentes resultados se comparados à flotação convencional para diversos tipos de minérios. Além da maior eficiência em termos de teor e recuperação, o processo apresenta menor custo de manutenção e permite trabalhar com minérios mais finos e de baixo teor do minério útil. Esta técnica explora o princípio de ar em contra-corrente ao fluxo de polpa, o que causa a formação de duas regiões distintas durante o processo normal de operação: a zona de limpeza (espuma) e a zona de coleta (polpa). A altura exata da interface entre estas regiões depende do teor de minério que se deseja obter no flotado e do índice de recuperação desejado. Desta forma, o controle da altura da interface espuma/polpa é de grande importância para o processo de flotação. Estuda-se técnicas de controle da altura da interface da espuma/polpa em uma coluna de flotação. A partir de um levantamento bibliográfico, são avaliados os principais métodos para medição da altura da camada de espuma. Um modelo já desenvolvido será utilizado com propósitos de simulação, a partir do qual serão estudadas e analisadas as principais estratégias de controle do nível da interface polpa/espuma de uma coluna de flotação.

Palavras-chaves: Flotação em Coluna, indústria mineral, polpa, espuma, zona de limpeza e zona de coleta.

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ABSTRACT

The process of flotation in column has gained increasing prominence in the mineral industry, working at the line and concentration of fine particles with excellent results when compared to conventional flotation for various types of minerals. Apart from greater efficiency in terms of content and recovery, the process has lower maintenance cost and allows more fine work with minerals and low content of the ore useful. This technique exploits the principle of air in counter-current to the flow of pulp, which causes the formation of two distinct regions during the normal process of operation: the area of cleaning (foam) and the area of collection (pulp). The exact height of the interface between these regions depends on the content of ore you want to get and the rate of recovery desired. Thus, controlling the height of the interface foam/pulp is of great importance to the process of flotation. This work is the study of techniques to control the height of the interface of the foam / pulp in a column of flotation. From a bibliographical survey, evaluated the main methods for measuring the height of the layer of foam. A model already developed will be used for any simulation, from which will be studied and analyzed the main strategies to control the level of the interface pulp / foam of a column of flotation.

Keywords: Flotation in Column, mineral industry, pulp, foam, area of cleaning and an area of collection.

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CAPÍTULO I

I - INTRODUÇÃO

1.1 – Justificativa

Com o aumento na demanda de recursos naturais não renováveis e a exaustão de jazidas minerais com teores dos elementos de interesse mais elevados têm colocado a indústria mineral frente ao desafio de beneficiar minérios mais complexos e tendo de atender as especificações de mercado, que estão cada vez mais restritas.

Com isso novos equipamentos e técnicas para a concentração de minérios têm sido criadas e desenvolvidas nos últimos anos. Como por exemplo: a flotação em coluna tem-se mostrado adequada para o tratamento de minérios mais complexos, com teores mais baixos do material de interesse e granulometria de liberação mais fina.

Na Flotação em Coluna além das diversas variáveis como vazão de água de lavagem, vazão de ar na alimentação, dosagem de reagentes dentre outras, pode-se destacar o nível da interface polpa/espuma que depende do teor de minério do material de interesse e do índice de recuperação desejado, por isso é de extrema importância.

1.2 – Objetivo

Estudo de técnicas de medição e controle eficiente da altura da interface da espuma/polpa em uma coluna de flotação, por meio de simulações utilizando o Matlab e Simulink.

1.3 – Metodologia

Inicialmente fez-se um levantamento bibliográfico sobre o processo de flotação, coluna de flotação, variáveis, instrumentação e controle. Utilizou-se o modelo de controle SISO (uma entrada e uma saída) para regular a altura da camada de espuma da coluna (froth depth)

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utilizou-se o modelo que pode ser encontrado em DEL VILLAR; GREGOIRE; POMERLEAU,1998.

Por fim, utilizando como base o modelo referido acima, foram realizados dois projetos. Primeiramente, foi projetado um controlador PID utilizando o método da resposta em freqüência para controlar a altura da camada de espuma, utilizando como entrada a relação ente a alimentação e a vazão de não flotado (tails rate). Considerando a água de lavagem (Water) como uma entrada de distúrbio. Simulou-se o sistema em malha fechada com o controlador projetado e também simulou-se um distúrbio no sistema aplicando um degrau na entrada da água de lavagem. Considerando que se o controlador estiver bem projetado, ele mantém o nível.

No segundo projeto, projetou-se um controlador PID utilizando a resposta em freqüência para controlar a altura, utilizou-se como entrada a vazão da água de lavagem. Neste caso, o tails

rate foi considerado como uma entrada de distúrbio. Da mesma forma como feito

anteriormente para o primeiro projeto simulou-se o sistema de malha fechada com o distúrbio.

Para concluir foi feita a comparação entre as duas estratégias SISO de controle da altura da camada de espuma, observaram-se o tempo de resposta, sobressinais e comportamento com distúrbios.

1.4 - Estrutura do Trabalho

Para a melhor compreensão do trabalho, a monografia foi sub-dividada em 5 capítulos e a lista de referências bibliográficas.

No capítulo 1 apresenta-se uma introdução, uma justificativa, descrição do objetivo e da metodologia adotada para o desenvolvimento do trabalho, tudo isso de maneira sucinta.

No capítulo 2 apresenta-se a conceituação dos principais assuntos da área de mineração/flotação, explicando suas variáveis, instrumentação e controle em uma coluna de flotação e conceitos importantes. A Flotação em Coluna é tratada neste capitulo, determinando suas principais características, variáveis, instrumentação e controle na coluna de flotação.

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No capítulo 3 apresenta-se a Automação e o controle, descrevendo os controladores, características dos PIDs, resposta em freqüência e diagrama de Bode/margin.

No capítulo 4 aborda-se o projeto dos controladores, os PIDs para o controle da altura de camada de espuma, considerando os distúrbios posteriormente. Mostram-se também as simulações e análises de resultados obtidos.

No capítulo 5 apresentam-se as conclusões deste trabalho, e por fim, as referências bibliográficas utilizadas no Capítulo 6.

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CAPÍTULO II

II – FLOTAÇÃO

2.1 – Conceitos de flotação

A flotação é um método de concentração da indústria mineral que se baseia na separação de partículas sólidas que explora diferenças nas características de superfície entre as espécies presentes. O método trata misturas heterogêneas de partículas, suspensas em fase aquosa. A seletividade do processo de flotação se baseia no fato de que a superfície de diferentes espécies minerais pode apresentar diferentes graus de hidrofobicidade(aversão a H2O) e

hidrofilicidade(afinidade com H2O).

“A flotação é um processo de concentração de minérios que tem sido cada vez mais utilizado na indústria. Durante décadas, esse processo foi realizado quase exclusivamente em máquinas mecânicas de sub-aeração” (GUIMARÃES; PERES, 1995).

2.1.1-Hidrofobicidade

A propriedade de determinadas espécies minerais capturarem bolhas de ar no seio da polpa é designada por hidrofobicidade, e exprime a tendência dessa espécie mineral ter maior afinidade pela fase gasosa que pela fase liquida. Este comportamento, entretanto, não é regra no reino mineral, constituindo-se antes em exceção, pois praticamente todas as espécies minerais imersas em água tendem a molhar sua superfície, ou seja, tem maior afinidade pela fase líquida comportamento este designado por hidrofilicidade.

A experiência mostra, entretanto que o comportamento hidrofílico das espécies minerais pode ser bastante alterado pela introdução de substancias adequada no sistema. Pode-se mesmo afirmar, com certeza, que qualquer substância mineral pode ser tornada hidrofóbica mediante a ação judiciosa de substancias a polpa. Ainda mais, é possível, estando presentes duas espécies minerais, induzir a hidrofobicidade em apenas uma delas, mantendo a outra hidrofílica, ou seja, é possível induzir uma hidrofobicidade seletiva. (AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004).

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2.1.2-Coleta

A propriedade de um determinado reagente tornar seletivamente hidrofóbicos em determinados minerais é devida à concentração desse reagente na superfície desses minerais, isto é, o reagente se deposita seletivamente na superfície mineral, recobrindo-a, de modo que fique sobre a superfície da partícula um filme da substância.

Para que isso ocorra é necessário que a molécula da substância migre do seio da solução para a superfície da partícula e aí se deposite. Assim, quando aparecerem às bolhas de ar, a superfície que a partícula mineral apresenta a elas não é mais a sua superfície própria, mas sim uma nova superfície, revestida dessa substância hidrofóbica. (AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004).

2.1.3-Modulação da Coleta

Alguns coletores são enérgicos demais e tendem a recobrir indiferentemente partículas de todas as espécies minerais presentes, ou seja, não são seletivos. Pode-se, entretanto adicionar substância auxiliares, que façam com que a coleta se torne seletiva, isto é, que dentre as espécies minerais presentes na polpa, o coletor escolha uma delas sem modificar as demais. Assim, será possível flotar as partículas dessa espécie e deixar todas as demais no interior da polpa. Este reagente auxiliar é chamado depressor, porque deprime a ação do coletor nas partículas indesejadas.

Em outras situações ocorre o contrário isto é, o coletor não adsorve em nenhuma das espécies presentes. Pode-se então adicionar a polpa uma terceira substância, que ative seletivamente a superfície da espécie mineral desejada, tornando-a atrativa para o coletor. Este reagente é chamado ativador.

Ou seja, numa polpa mineral sempre estará presente um grande número de espécies moleculares e iônicas, oriundas das espécies minerais presentes ou de sua reação com a água e aquelas intencionalmente adicionadas. Podem-se adicionar os coletores e também outras substâncias que modificam a ação do coletor, chamada de modulação da coleta. Obviamente, estes reagentes têm que ser adicionados antes do coletor.

Razões para a adição, ainda, de outros reagentes são de economia industrial: diminuir o consumo de coletor, acertar as condições de acidez ou alcalinidade, de modo a diminuir a corrosão dos equipamentos, diminuir o consumo de água etc. (AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004).

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2.1.4-Dosagem e alimentação de reagentes

Os vários reagentes devem ser alimentados em pontos diferentes dentro do circuito. Dependendo do seu mecanismo de coleta, podem demandar maiores ou menores tempos de condicionamento. Por exemplo, ácidos graxos e seus sabões demandam tempos de residência na etapa de condicionamento que podem ser atendidos por condicionadores com volumes adequados. Já xantatos tem um mecanismo de coleta tão demorado que o usual é fazer a sua adição na entrada do circuito de moagem. O caso oposto ocorre com aminas, cuja coleta é tão rápida, que a sua adição pode ser feita diretamente na entrada da célula de flotação. É forçoso adicionar os moduladores de coleta (ativadores ou depressores) antes da adição do coletor, pois a sua função é modificar a ação deste. Os reguladores têm um papel tão importante que, quanto antes eles forem adicionados, melhor para o circuito. Por isso, ajusta-se o pH tão logo a água é adicionada. Finalmente, os espumantes são adicionados na entrada da célula (AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004).

2.1.5-Terminologia

A palavra "flotação" é um neologismo que já este consagrado pela falta de um termo melhor em português. A palavra "flutuação", que seria um termo mais preciso, não é usada, aparentemente por induzir uma possível confusão com os processos de meio denso, onde a espécie mineral mais leve "flutua". Equipamentos mais empregados: Colunas e células de flotação (AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004).

2.2 – Flotação em Coluna

Na flotação em coluna, o material que alimenta é condicionado com reagentes específicos em uma etapa anterior, utilizando tanques agitados. Esse material alimenta a coluna a aproximadamente dois terços de sua altura total em contracorrente com um fluxo ascendente de ar alimentado em sua base. O ar introduzido tem a finalidade de gerar bolhas ascendentes e coletar as partículas hidrofóbicas, transportando-as para a espuma. A colisão entre as partículas, em deslocamento descendente por ação da gravidade e as bolhas de ar fazem com que ocorra adesão entre as partículas minerais hidrofóbicas a essas bolhas, formando a espuma mineralizada, constituindo assim o flotado que transborda. No topo da coluna ocorre a

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adição da água de lavagem que tem como principais funções: estabilizar a espuma e substituir a polpa hidrofílica na fração flotada. O não flotado ou material que afunda é retirado por baixo (fundo da coluna). A fotação pode ser direta ou reversa: na primeira o material flutuado é o material útil e na outra o material flutuado é o de não interesse comercial pelo menos no momento.

Na coluna o material é observado em três fases: polpa, interface polpa/ espuma e espuma estabilizada. A região acima da interface é denominada zona de limpeza, enquanto a região entre o ponto de introdução do ar até a interface é denominada zona de coleta ou recuperação. A seguir é apresentado na figura 2.1, o esquema geral de uma coluna de flotação.

FIGURA 2.1 – Esquema geral de uma coluna de flotação. FONTE: AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004.

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2.3 – Variáveis

As principais variáveis no processo de flotação podem ser subdivididas em: Manipuladas, controladas (primárias e secundárias) e perturbações (essas no momento são apenas citadas) (PERSECHINI; et al, 2001).

A) Manipuladas:

Vazão de água de lavagem. Vazão de ar na alimentação. Vazão do afundado.

Dosagem de reagentes.

B) Controladas (primárias):

Recuperação.

Percentagem de sólido no concentrado. Teor do mineral de interesse no concentrado.

C) Controladas (secundárias):

Nível.

Fluxo resultante de água descendente através da camada de espuma – Bias. Percentagem volumétrica de ar em uma determinada região da coluna – Hold up.

D) Perturbações:

Variação em relação ao tamanho médio das partículas.

Variação da percentagem de sólidos na polpa da alimentação. Variação de características mineralógicas na polpa da alimentação.

Variação na vazão de alimentação da polpa de minério que em situação normal (vazão constante) (PERSECHINI; et al, 2001).

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2.3.1 – Variáveis manipuladas: Estão relacionadas com o processo como descrito a seguir.

A) Vazão de água de lavagem: A água de lavagem é colocada no topo da coluna de flotação e tem como objetivo a substituição da polpa hidrofílica na fração flotada. A utilização dessa água permite a retirada das partículas hidrofílicas que foram arrastadas, permitindo a coluna à possibilidade de aumentar a seletividade do processo sem perda de recuperação. Apresenta-se o esquema do fluxo de água na coluna de flotação na figura 2.2.

FIGURA 2.2 – Fluxo de água na coluna de flotação. FONTE: AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004.

B) Vazão de ar na alimentação: As colunas de flotação têm que operar com uma vazão de ar ótima, cujo valor depende do tipo de mineral, da recuperação em massa do flotado, da granulometria e tamanho das bolhas. (GUIMARÃE; PERES, 1995). O excesso de ar pode provocar perdas de recuperação devido ao aumento do coeficiente de mistura e a escassez de ar pode provocar baixa recuperação devido à deficiência de contato entre as partículas e as bolhas.

C) Vazão do afundado: A remoção do afundado deve ser feita de modo a garantir a estabilidade da interface polpa-espuma frente às oscilações da vazão de água de lavagem e, principalmente, de alimentação, uma vez que a vazão de alimentação depende da eficácia da

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etapa anterior do processo e nem sempre está sob controle da área de flotação (GUIMARÃES; PERES, 1995).

D) Dosagem de reagentes: São valores pré-calculados de dosagem tanto de coletores quanto de depressores, na flotação em coluna, o material que alimenta é condicionado com reagentes específicos em uma etapa anterior, utilizando tanques agitados.

2.3.2 – Variáveis controladas: Podem ser primárias ou secundárias. O teor de minério útil e a recuperação, que são os principais objetivos de controle, não são medidos direto e dinamicamente, são obtidos por análise química de laboratório (o que demanda tempo). Essas variáveis são estimadas em geral por modelos estatísticos, para se ter uma base somente. Considerando a questão das variáveis envolvidas, o que é mais usado e lógico é estabilizar a coluna de flotação em valores pré-determinados de altura da camada de espuma, do Bias e do

Hold up, esses passando a ser o objetivo de controle, para obter a recuperação e o teor de

concentrado desejados.

A) Nível e Altura da camada de espuma: A posição da interface polpa/espuma é que determina a separação entre as zonas de limpeza e de coleta. O nível de polpa determina a altura da zona de coleta e conseqüentemente influencia a recuperação do mineral útil, enquanto a altura da camada de espuma determina a área de limpeza e influencia a seletividade do processo. Se a interface é muito baixa, a zona de coleta fica reduzida e a recuperação pode diminuir, caso contrário, a zona de limpeza fica menor, reduzindo o tempo de drenagem e o teor do concentrado pode deteriorar (VILLAR. et at, 1994).

As colunas piloto trabalham geralmente com camadas de espuma que variam de 0,5 m a 1,0 m, e a interface, situada acima do ponto de alimentação, deve ser bem definida (ou seja, a separação entre as zonas de coleta e limpeza deve corresponder a uma mudança significativa no hold up de ar. (GUIMARAE; PERES, 1995). Para determinar a posição da interface polpa/espuma, e conseqüentemente a altura da camada de espuma, é usado, de forma geral, o princípio da diferença de densidade entre as camadas de polpa e espuma. Nesse caso, os transdutores usados podem ser flutuadores, medidores ultrassônicos ou medidores de pressão distribuídos ao longo da coluna (FINCH; DOBBY,1990).

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No caso do nível, a diferença de densidade entre as zonas de coleta e limpeza não é muito grande, especialmente quando a vazão de alimentação de ar é grande. Outra dificuldade para se medir a posição da interface é o fato de a razão entre a área da seção da coluna piloto e seu volume ser pequena, o que provoca uma resposta muito rápida no nível quando ocorrem alterações na alimentação da polpa ou do ar. O método mais simples, para a medição do nível, consiste na utilização de um medidor de pressão em algum ponto da coluna abaixo da interface.

B) Bias: Segundo Finch e Dobby, 1990; o Bias corresponde a vazão residual de água descendente através da camada de espuma. Sob o ponto de vista de controle, a definição mais usada é a aproximação do Bias pela diferença entre a vazão do afundado(Qt) e a vazão da polpa de alimentação(Qf), que é mostrado na equação (2.1), A equação 2.1 não leva em consideração a presença de sólidos expressa em termos de velocidade superficial.

B Qt Qf (2.1)

A utilização dela para a aproximação do valor do bias é desvantajosa, em primeiro lugar porque B varia a percentagem de sólidos na alimentação. Além disso, o valor estimado é sempre menor que o valor real, o que cria uma demanda desnecessária de água no processo, o que pode provocar perda de capacidade de carregamento na zona de coleta. (FINCH; DOBBY, 1990). Independentemente do método utilizado para medição, no caso de flotação direta, o bias precisa ser positivo para garantir melhor eficiência na lavagem do flotado, prevenindo assim o arraste hidráulico de partículas hidrofílicas para o concentrado, mas não pode ser muito grande, sob o risco de causar uma diluição desnecessária no concentrado, prejudicando o teor. (MOYS; FINCH, 1988). Valores típicos de velocidade superficial de bias estão entre 0,02 e 0,1 cm/s (FINCH; DOBBY, 1990).

C) Hold up: É uma fração volumétrica de ar contida em uma determinada zona da coluna. Esse parâmetro pode ser determinado na seção de recuperação e depende da vazão de ar, tamanho das bolhas, densidade da polpa, do carregamento de sólidos nas bolhas e da velocidade descendente de polpa. Por meio da sua medida e com auxílio de modelos matemáticos, é possível estimar o diâmetro de bolha. O hold up do ar pode ser medido utilizando manômetros de água, transdutores ou transmissores de pressão.

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O esquema do sistema para a medição do hold up do ar pode ser observado na Figura 2.3.

Figura 2.3 - Sistema para medição do hold up do ar. FONTE: AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004.

D) Tamanho de Bolhas: Um dos avanços mais significativos na utilização da coluna de flotação é a possibilidade de controlar o tamanho das bolhas por meio do ajuste das condições operacionais do sistema de aeração e da adição de agentes tensoativos. O sistema de aeração, é um componente fundamental para a operação, um gerador de bolhas eficiente é capaz de gera bolhas de 0,5 a 2 mm de diâmetro, com velocidade superficial entre 1 a 3 cm/s e hold up de 15 a 20% (AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004).

O tamanho médio das bolhas e sua distribuição são importantes na flotação devido a seu efeito na eficiência de coleta e de transporte das partículas. A utilização de bolhas pequenas, com elevada área superficial, permite a obtenção de índices mais elevados de cinética de coleta e transporte dos sólidos por volume de ar. Entretanto, as bolhas de tamanho muito reduzido apresentam uma velocidade de ascensão baixa podendo ser inferior a velocidade descendente da polpa, acarretando, por conseqüência, perdas de partículas hidrofóbicas coletadas no fluxo do material não flotado. Portanto existe um tamanho médio ideal de bolhas em função do tamanho médio das partículas, que poderá ser ajustado por meio das variáveis

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operacionais do sistema de aeração e da adição de agentes tensoativos. (AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004).

2.4 – Instrumentação e Controle da Coluna de flotação

A questão de manter a coluna em condições operacionais estáveis é o objetivo fundamental do sistema de controle, recorrendo-se ao ajuste automático do nível da interface polpa/espuma e dos fluxos de polpa, água de lavagem e ar. Os fluxos de água de lavagem e de ar e a pressão do sistema de areação devem ser controlados automaticamente para manter a estabilidade operacional da coluna de flotação e garantir o desempenho metalúrgico previsto. Os fluxos de polpa da alimentação e da fração não flotada podem ser medidos e controlados automaticamente (AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004).

Para a estabilização da coluna, veja-se a seguir, duas alternativas de instrumentação e controle. Na figura 2.4 observa-se a primeira.

Figura 2.4- Primeira alternativa de instrumentação e controle. FONTE: AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004.

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Essa alternativa é a mais sofisticada, de maior custo e geralmente possui resposta mais lenta. O nível é controlado pela adição de água de lavagem, enquanto o fluxo de polpa do não flotado é controlado pela diferença ou relação entre os fluxos volumétricos do não flotado e da alimentação, sendo usado o bias como set point (AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004). Uma alternativa mais econômica é apresentada na figura 2.5:

Figura 2.5 - Segunda alternativa de instrumentação e controle. FONTE: AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004.

Nesse caso é uma alternativa mais simples, de menor custo e mais utilizada atualmente. O nível é controlado pela variação do fluxo de polpa do não flotado e a água de lavagem é ajustada a um set point pré-determinado. Para o controle do nível da interface polpa/espuma são utilizados diferentes tipos de sensores. Os mais usados são os sensores de pressão e de condutividade (AQUINO; OLIVEIRA; FERNADES, 2004).

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2.4.1-Alguns métodos convencionais para a medição de nível são citados abaixo:

A)Sensores de pressão: Utiliza medidores de pressão, podem ser utilizados um, dois e três medidores, sendo a medição com três instrumentos a mais precisa. “Um instrumento é posicionado na seção de limpeza em contato com a espuma e os outros dois na seção de concentração em contato com a polpa” (FINCH; DOBBY, 1990). Os sensores de pressão são instalados na parede da coluna podendo ser utilizado até três unidades.

Uma das limitações do controle de nível, utilizando apenas um sensor de pressão é a dependência das densidades de polpa e da espuma que variam com as condições operacionais, de tal modo que é difícil predizer. Com a instalação de dois sensores na zona de concentração da coluna, a estimativa da altura da camada de espuma torna-se independente da densidade da polpa. Considerando que a densidade da espuma é praticamente constante, a instalação de dois sensores de pressão acarreta uma redução nos erros da estimativa do nível da interface polpa/espuma de até 80%. Essa alternativa de controle é a mais utilizada industrialmente (AQUINO; OLIVEIRA; FERNANDES, 2004). Agora por fim a instalação com três sensores, sendo dois na zona de recuperação e o outro na camada de espuma, a estimativa do nível da interface polpa/espuma torna-se independente dos valores das densidades da polpa e da espuma.

B)Sensores de condutividade: Baseia-se no princípio que existe uma diferença de condutividade entre as fases polpa/espuma. Pares de eletrodos verticais e paralelos distribuídos ao longo da coluna localizam a posição da interface próxima às regiões ou locais onde observadas mudanças bruscas nos valores de condutividade elétrica (BANISI; FINCH; LAPLANTE, 1992).

A variação na condutividade elétrica entre as zonas de recuperação e de espuma ocorre devido à diferença no hold up do ar, conteúdo de sal (água de lavagem provavelmente tem um menor conteúdo de sal que a água de polpa) e temperatura. Desta forma, a posição da interface polpa/espuma pode ser determinada por meio de variação da condutividade elétrica detectada pelos sensores instalados, longitudinalmente, na região da interface (AQUINO; OLIVEIRA; FERNANDES, 2004).

(25)

C)Temperatura: “O nível pode ser estimado por meio da diferença entre a temperatura da polpa e da água de lavagem” (MOYS; FINCH, 1998). Polpas muito frias podem exigir um consumo maior de reagentes, e portanto, aumentar os custos de produção.Contudo, em algumas situações, temperaturas elevadas podem produzir a degradação dos reagentes.

D)Radiação: Consiste na emissão de raios gamas por meio de uma fonte de radiação colocada na lateral vertical da coluna. Do outro lado da coluna, uma câmara de ionização transforma a radiação gama recebida em sinal elétrico (SILVINO et al, 2000).

E)Ultra - som: Baseia - se no princípio de uma onda sonora de freqüência ultrasônica é gerada quando uma força externa excita as moléculas do meio. Essa excitação é transferida de molécula a molécula do meio com velocidade que depende da elasticidade e inércia das moléculas (SILVINO et al, 2000).

F)Radar: Esse método possui uma antena cônica que emite impulsos eletromagnéticos de alta freqüência à superfície a ser detectada. A distância entre a antena e a superfície a ser medida será então calculada em função do tempo de atraso entre a emissão e a recepção do sinal (SILVINO et al, 2000).

(26)

CAPÍTULO III

III – AUTOMAÇÃO E CONTROLE

3.1 – Controladores

Uma forma de controlador usado amplamente no controle de processos industriais é chamado de controlador de três termos ou controlador PID. Este controlador tem uma função de transferência que pode-se observar na equação 3.1 (OGATA, 2003).

( ) Ki

Gc S Kp KdS

S (3.1)

Na equação, se fizer KD = 0, tem-se então o controlador proporcional e integral (PI), tem-se a seguinte equação de transferência:

( ) Ki

Gc S Kp

S (3.2)

Na equação, se fizer Ki = 0, tem-se então o controlador proporcional e derivativo (PD), tem-se a seguinte equação de transferência:

( )

Gc S Kp KdS (3.3)

As ações das constantes do controlador podem ser descritas:

A) Ação proporcional: Produz uma ação de controle imediata, responde somente ao valor corrente do erro

B) Ação Integral: Produz uma ação de controle gradual, responde a valores passados do erro, incrementa a ação de controle se o sinal de erro permanecer diferente de zero e zera o erro.

(27)

C) Ação Derivativa: Produz uma ação de controle antecipatória, responde a taxa de mudança (derivada do erro), Utilizada tipicamente para acelerar a resposta do processo, sensível ao ruído de processo.

Muitos processos industriais são controlados usando controladores do tipo proporcional integral derivativo (PID). A popularidade dos controladores PID pode ser atribuída parcialmente ao seu bom desempenho em uma ampla faixa de condições de operação e parcialmente a sua simplicidade funcional que permite aos engenheiros operá-los de um modo simples e direto. Para implementar um tal controlador, há necessidade de serem determinados, para um dado processo: o ganho proporcional, o ganho integral e o ganho derivativo.

Quando se aplica a entrada degrau num sistema, a resposta ideal pode ser vista na figura 3.1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(28)

3.2 – Lugar das raízes

Método do lugar das raízes: A idéia básica na qual se baseia o método do lugar das raízes é que o valor de S que faz a função de transferência ser igual a - 1 deve satisfazer a equação característica do sistema.

O lugar das raízes da equação característica do sistema em malha fechada. Conforme o ganho é variado desde zero ate infinito. O método do lugar das raízes nos possibilita determinar os pólos em malha-fechada a partir dos pólos e zeros de malha aberta, considerando o ganho como parâmetro. Conseqüentemente, evita dificuldades inerentes as técnicas clássicas. Fornecendo uma imagem gráfica de todos os pólos de malha-fechada para todos os valores do ganho da função de transferência em malha aberta.

No projeto de um sistema de controle linear, verificou-se que o método do lugar das raízes se torna muito útil desde que indica a maneira pela qual os pólos e zeros em malha aberta devem ser modificados de modo que a resposta satisfaça as especificações de desempenho do sistema. Este método é particularmente conveniente para se obter resultados aproximados muito rapidamente (OGATA, 2003).

3.3 –Resposta em freqüência

Se um sinal senoidal de freqüência ω for aplicado a um sistema linear, a saída também será um sinal senoidal de mesma freqüência, geralmente de módulo e fase diferentes.

Resposta em freqüência: É a resposta em estado estacionário de um sistema a uma entrada senoidal. Na figura 3.2 mostra-se o esquema geral.

(29)

O ganho do sistema: É dado pela relação entre as amplitudes de entrada e saída.

B G

A (3.4)

O ganho também pode ser expresso em decibels (dB).

(dB) 20 log( ) B G

A (3.5)

Deslocamento de fase: Diferença de fase entre a entrada e a saída(radianos ou graus)

2 1 (3.6)

Os efeitos da freqüência sobre o ganho e o deslocamento de fase podem ser determinados variando a freqüência ω do sinal de entrada sobre uma faixa apropriada

Vantagens: Elo direto com o domínio do tempo, Informações sobre a influência de ruídos e perturbações no comportamento do sistema, Compreensão dos compromissos que o controle realimentado deve obedecer, Confiabilidade e simplicidade para análise experimental (é fácil dispor de sinais de teste senoidais em varias faixas de amplitude e freqüência).

3.3.1-Estabilidade e resposta de sistemas realimentados • Generalidades:

Estabilidade: Faculdade do sistema de atingir a condição de equilíbrio sem oscilações

permanentes.

Pólos de malha fechada: Um sistema é instável se possuir pólos com parte

(30)

conjugados: As oscilações serão tanto mais amortecidas quanto maior for o coeficiente de amortecimento δ e comportamento satisfatório δ>1/2.

Tem-se o sistema geral na figura 3.3.

Onde: ' 1 Fa F FaFr (3.7)

Figura 3.3 – Sistema geral

Pólos do sistema realimentado são as raízes da equação característica (1 + FaFr = 0):

Os pólos de Fr são nitidamente distintos dos pólos de Fa e de FaFr..

Um sistema pode ser estável em malha aberta e instável em malha fechada ou vice-e-versa, dependendo do sistema.

3.3.2-Critério de Estabilidade de Bode

O critério de estabilidade de Bode consiste no exame dos diagramas de Bode das amplitudes e de fase do sistema em malha aberta FaFr.

A) Freqüência crítica (cross-over): freqüência ωc na qual o ganho do sistema é 0 dB (ganho unitário);

(31)

B) Se a defasagem na freqüência critica de FaFr for igual ou maior que 180°, o sistema é instável.

Se a defasagem de FaFr é 180° na freqüência crítica, o sinal de realimentação reproduz o sinal de entrada e estabelece oscilações permanentes.

3.3.3-Definições

A) Margem de ganho ji:

A.1) Representa o quanto se deve acrescentar ao ganho para que este seja unitário na defasagem de 180°.

A.2) Se ji < 0 => Sistema instável.

B) Margem de fase γ:

B.1) Representa a defasagem que se deve introduzir no sistema na freqüência crítica para que

φ = -180°.

B.2) Se γ < 180° => Sistema instável.

3.3.4-Margem de Ganho e Margem de fase nos diagramas de Bode Na figura 3.4 mostra-se o diagrama de amplitude e fase.

(32)

Figura 3.4 – Diagrama de Amplitude e fase-Bode.

3.3.5-Critério aproximado de Bode

A) Se a inclinação do diagrama das amplitudes é de -20 dB/dec quando cruza a abscissa (0dB), a defasagem em ωc é menor que 180° e o sistema é estável.

B) Se o diagrama de Bode corta a linha de 0 dB com inclinação -40 dB/dec ou mais, o sistema é instável.

C) Se o diagrama de Bode corta a linha de 0 dB após a passagem de - 20dB/dec para -40 dB/dec, a estabilidade é incerta.

(33)

CAPÍTULO IV

IV – PROJETO DOS CONTROLADORES

Será apresentado um controle (utilizando o método de resposta em freqüência) SISO (uma entrada e uma saída) para regular a altura da camada de espuma da coluna (froth depth) utilizando o modelo descrito pelo diagrama de blocos. Mostrado na figura 4.1.

Figura 4.1 – Modelo

FONTE: DELL VILLAR; GREGOIRE; POMERLEAU, 1999.

4.1 – Primeiro projeto

Inicialmente utilizou-se como entrada a relação ente a alimentação e a vazão de não flotado (tails rate), aplicando um degrau unitário na malha. Desconsiderou-se o Bias rate (Vazão de

bias). Considerou-se primeiramente neste projeto a agua de lavagem (Water) como uma

(34)

respostadegrau To Workspace 0.03 11s +s2 Tansfer Step Scope

Figura 4.2 – Sistema geral sem distúrbio

Aplicando-se a entrada degrau unitário no modelo mostrado na figura 4.2, pode-se observar o comportamento da saída H(altura de camada de espuma) conforme apresentado na figura 4.3. Sendo instável nesse intervalo de tempo o sistema, desenvolveu-se um controlador, que será apresentado mais a diante.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 t(s) h (t ) Figura 4.3 – Comportamento do sistema da figura 4.2.

Logo na figura 4.4 mostra-se o sistema equivalente ao da figura 4.2, mas porém em malha aberta:

(35)

0.03 11s +s2 Tansfer

Step Scope

Figura 4.4 – Sistema geral sem distúrbio-MA

Na figura 4.5 pode-se ver o comportamento da saída H, quando é excitada com degrau unitário: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 t(s) h (t )

Figura 4.5 – Comportamento do sistema da figura 4.4.

Pelo Critério de Bode, pode-se garantir que o sistema é estável se a curva de amplitude (ganho) cortar a linha de 0 dB com a inclinação de até -20 dB/dec, desde que a fase seja menor que 180 graus.

Na figura 4.6 é apresentado o diagrama de bode em malha aberta do sistema mostrado do na figura 4.4, nessa configuração percebe-se pelo gráfico um valor de ganho de aproximadamente -30 dB/dec. O sistema continua instável, nesse intervalo de tempo, na presença do grau unitário.

(36)

10-3 10-2 10-1 100 101 -180 -135 -90 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) -100 -50 0 50 System: sys Frequency (rad/sec): 0.029 Magnitude (dB): -0.114 System: sys Frequency (rad/sec): 0.297 Magnitude (dB): -30.6 M a g n itu d e ( d B )

Figura 4.6 – Diagrama de Bode do sistema da figura 4.4.

Tendo na figura 4.7, o mesmo gráfico por margin

-100 -50 0 50 M ag ni tu de ( dB ) 10-3 10-2 10-1 100 101 -180 -135 -90 P ha se ( de g) Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 72.5 deg (at 0.0286 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Figura 4.7 – Diagrama de margin do sistema da figura 4.4.

(37)

Para o sistema em malha aberta, o lugar das raízes pode ser observado por rlocus, para a função de transferência da figura 4.4: Tem-se dois pólos um em 0 e o outro em -0,09. À medida que se aumenta o ganho K do sistema caminha-se pelo lugar das raízes, o ideal é que o sistema trabalhe no semiplano esquerdo.

-0.1 -0.09 -0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Root Locus Real Axis Im ag in ar y A xi s

Figura 4.8 – Lugar das raízes do sistema da figura 4.4.

Cálculo do ganho em Kp máximo na equação 4.1:

2 20 log( ) 40 log( ) 2 10 G G G (4.1)

Aplicando-se um ganho proporcional de 10 em Kp observa-se o seguinte ganho (G)=-39,52 dB/dec e o comportamento pode ser visto na figura 4.9: Com isso percebe-se que o simples aumento do ganho, não estabilizará o sistema.

(38)

-100 -50 0 50 100 System: sys Frequency (rad/sec): 0.155 Magnitude (dB): -0.188System: sys

Frequency (rad/sec): 1.62 Magnitude (dB): -39.7 M a g n itu d e ( d B ) 10-3 10-2 10-1 100 101 -180 -135 -90 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec)

Figura 4.9 – Diagrama de bode para o ganho de 10Kp.

O sistema em questão corta a linha do 0dB com uma inclinação de -30 dB/dec. Assim, nada pode ser dito com respeito à sua estabilidade. Do critério de Bode sabe-se que a adição de um zero no sistema aumenta a inclinação da curva em 20 dB/dec. Ao acrescentar-se um zero, altera-se a inclinação da curva de maneira que a mesma garanta a estabilidade do sistema (menor que |-20| dB/dec).

Vendo-se no gráfico do lugar das raízes na figura 4.8, colocou-se o zero entre os dois pólos (0 e 0,09), criou-se um zero em 0,05. Daí tendo à nova função de transferência:

0.03( 0.05)

(1 11 ) S

S S (4.2)

Daí verificou-se o bode para a nova função de transferência que pode ser visto na figura 4.10: Onde observa-se o ganho de 15,9 dB/dec(final – inicial).

(39)

10-3 10-2 10-1 100 -90 -85 -80 -75 -70 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) -60 -40 -20 0 20 System: sys Frequency (rad/sec): 0.0166

Magnitude (dB): -20.6 System: sys

Frequency (rad/sec): 0.168 Magnitude (dB): -36.5 M a g n itu d e ( d B )

Figura 4.10 – Diagrama de Bode para função de transferência com o novo zero.

Pode-se escrever a equação do PID, simplificando para um PD, ou seja fazendo o Ki=0 e Kp= Kd=1 em 4.3. Ki Kp KdS S (4.3) ( 0, 05) 0, 05 Ki Kp Kd S S Ki Kp KdS Kd S (4.4) Considerando, Kd Kp 1e Ki 0 1 0, 05 1 0, 05 1, 05 S S Kp (4.5)

(40)

Projetou-se um controlador no domínio da freqüência para que esse sistema atinja a estabilidade. O sistema com o controlador PID pode ser visto na figura 4.11. Inicialmente sem levar em consideração o distúrbio, com Kp=1,05; Ki=0 e Kd=1.

tails rate 0.03 11s +s2 Transfer Fcn Step Scope PID PID Controller

Figura 4.11 – Sistema com PID sem Distúrbio.

Aplicou-se uma entrada a degrau unitário, observa-se na saída (altura da camada de espuma) a estabilização em regime permanente.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 t(s) h (t )

Figura 4.12 – Comportamento do sistema da figura 4.11.

Acrescentando agora um distúrbio ao sistema apresentado na figura 4.11, mantendo-se o mesmo controlador (Kp=1,05; Ki=0 e Kd=1), percebe-se que ele não tem uma ação eficaz

(41)

com esses parâmetros. Pois apesar de haver a estabilização, o sistema apresenta um erro em regime permanente (estabiliza em um valor maior que um). Tal fato pode-se observar na figura 4.13. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 2 4 6 8 10 12 t(s) h (t )

Figura 4.13– Comportamento do sistema da figura 4.11-com o distúrbio .

Devido ao erro, os parâmentros do controlador devem ser alterados de modo que a resposta do sistema apresente erro tolerável.

Como o antigo controlador era um PID(Ki=0), optou-se por utilizar um PID(Ki≠0), já que a parte integrativa (Ki) é responsável por zerar o erro. Daí realizou-se alterações nos parâmetros do PID e obtendo-se os valores para Kp, Kd e Ki Com Kp=1,05; Ki=0,01 e Kd=1. Se aumenta-se o valor de Kp, o sistema poderia até estabilizar mais sem zerar o erro. A figura 4.14 mostra o novo sistema com o distúrbio.

(42)

water Transport Delay 0.03 11s +s2 Transfer 1 -0.03 11s +s2 Transfer Step Scope PID PID Controller 1 Constantw

Figura 4.14– Sistema com PID com o distúrbio

Pode-se ver na figura 4.15 a resposta ao degrau, do sistema da figura 4.14, isso considerando o valor de water=1, à medida que se varia esse valor têm-se comportamentos diferentes na resposta H(t) ao degrau, com um sobressinal máximo de um.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t(s) h (t )

(43)

Pode-se ver na figura 4.16 a resposta ao degrau, do sistema da figura 4.14, isso considerando o valor de water=10, à medida que se varia esse valor têm-se comportamentos diferentes na resposta H(t) ao degrau. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 h( t) t(s)

Figura 4.16– Resposta com W=10

Caso water=100 tem-se o seguinte comportamento relativo à ação do degrau, na figura 4.17. Também tem-se a estabilização em 1.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 h( t) t(s)

(44)

4.2 – Segundo projeto

Em outra situação, tem-se o projeto do controlador PID (resposta em freqüência) para controlar a altura da camada de espuma considerando como entrada a vazão da água de lavagem. Neste caso, o froth depth é considerada como uma entrada de distúrbio. Da mesma forma como apresentado anteriormente, pode-se acompanhar. Tem-se a modelo geral sem considerar o distúrbio na figura 4.18.

T ransport Delay1 -0.03 11s +s2 T ransfer Fcn respostadegrau T o Workspace Step Scope

Figura 4.18 – Sistema geral sem distúrbio(atraso)

Quando se aplicou um degrau unitário no sistema da figura 4.18, observou-se o comportamento na figura 4.19 de H(altura de camada de espuma). O sistema não atingiu a estabilidade, nesse intervalo de tempo. Fisicamente a altura está diminuindo com o tempo, na verdade a altura diminui de um valor previamente estabelecido como o seu zero (por exemplo 1m), até que se estabiliza.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 t(s) h( t)

(45)

Logo na figura 4.20 tem-se o sistema em malha aberta: Transport Delay1 -0.03 11s +s2 Transfer Fcn Step Scope1

Figura 4.20 – Sistema geral sem distúrbio - MA (atraso)

Tem-se o comportamento gráfico do sistema da figura 4.20, considerando-se a aplicação de uma entrada degrau unitário. Fisicamente a altura está diminuindo com o tempo. A figura 4.21 ilustra como se comporta a saída.

0 100 200 300 400 500 600 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 t(s) h (t )

(46)

Tem-se o diagrama de bode em malha aberta, sem considerar o distúrbio. Pode-se ser visto na figura 4.22. Com o ganho de -30,33 dB/dec. E ainda o diagrama de margin que apresenta-se na figura 4.23. 10-3 10-2 10-1 100 101 0 45 90 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) -100 -50 0 50 System: sys Frequency (rad/sec): 0.0294 Magnitude (dB): -0.267 System: sys Frequency (rad/sec): 0.297 Magnitude (dB): -30.6 M a g n itu d e ( d B )

Figura 4.22 – Diagrama de Bode da figura 4.20.

-100 -50 0 50 M ag ni tu de ( dB ) 10-3 10-2 10-1 100 101 0 45 90 P ha se ( de g) Bode Diagram

Gm = Inf , Pm = -107 deg (at 0.0286 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

(47)

Utilizou-se a função sys. Plotando-se o diagrama de bode do sistema considerando o atraso. Obtida da seguinte forma:

sys=tf(-0.03,[11 1 0],'inputdelay',40); bode(sys)

Apresenta-se a função de transferência em malha aberta na equação 4.6:

40 0.03 (1 11 ) S e S S (4.6)

Pode-se perceber o ganho de -30,2 dB/dec, na figura 4.24.

-100 -50 0 50 M ag nit ud e (d B) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 10-3 10-2 10-1 100 101 -2.304 -1.152 0 1.152 x 104 Ph as e (d eg )

Figura 4.24 – Diagrama de bode relacionado com a equação 4.6.

Tem-se o margin na figura 4.25 :

-100 -50 0 50 M ag ni tu de (d B) 10-3 10-2 10-1 100 101 -2.304 -1.152 0 1.152 x 104 Ph as e (d eg ) Bode Diagram

Gm = 13.5 dB (at 0.0973 rad/sec) , Pm = -173 deg (at 0.0286 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

(48)

Considerando a equação 4.6, pode-se ser visto o Lugar das raízes na figura 4.26, em malha aberta, sem considerar o atraso.

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Root Locus Real Axis Im ag in ar y A xi s

Figura 4.26 – Lugar das raízes sem o atraso.

Para plotar o lugar das raízes, considerando o atraso, utilizou-se a função pade: (num,den)=pade(T,n), onde T é o tempo de atraso e n é a ordem de aproximação.Pode-se observar na figura 4.27 o esquema que descreve a função de Pade. (DORF;BISHOP,1998)

Figura 4.27 – Esquema Pade

Em pade, usando-se T=40seg e um n=3. Para plotar-se o lugar das raízes levando em consideração o atraso. O que pode ser visto na figura 4.28. Código do matlab:

(49)

[num1,den1]=pade(40,3) num=[-0.03] den=[11 1 0] num2=conv(num1,num) den2=conv(den1,den) rlocus(num2,den2) xlabel('t(s)') ylabel('h(t)') -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Root Locus t(s) h (t )

Figura 4.28 – Lugar das raízes com o atraso

Projetou-se agora um controlador no domínio da freqüência para que esse sistema atinja a estabilidade. Como nesse caso tem-se um sistema com atraso (tempo morto) de tempo que é 40seg, foi-se criado um zero no sistema em 1/T=(0,025). Daí tem-se Kp=1,025, obtido da mesma forma que o projeto anterior pelas equações 4.3, 4.4 e 4.5. O sistema com o PID pode ser visto na figura 4.29, inicialmente sem levar em consideração o distúrbio, com Kp=1,025, Ki=0 e Kd=1.

(50)

Transport Delay1 -0.03 11s +s2 Transfer Fcn3 Step1 Scope1 PID PID Controller2

Figura 4.29 – Sistema com PID(atraso) sem distúrbio

Na figura 4.30, pode-se observar o comportamento saída (altura da camada de espuma). Percebe-se a estabilização em 1, na aplicação do degrau unitário, mais tem-se oscilações antes que a saída atinja o regime permanente.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t(s) h (t )

Figura 4.30 – Comportamento do sistema da figura 4.29

Alterou-se o Kp anterior para Kp/2, e obteu-se o seguinte comportamento que pode ser observado na figura 4.31. Kp=0,5, Ki=0 e Kd=1. Houve uma saída melhor, que atingiu mais rápido o regime permanente. Ganho de Kp alto tende a oscilação daí diminuir pela metade.

(51)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 t(s) h( t)

Figura 4.31 – Comportamento do sistema da figura 4.29, com Kp’= Kp/2.

Acrescentando-se à malha o distúrbio, que pode-se observar na figura 4.32 e permaneceu-se com o mesmo controlador (Kp=0,5; Ki=0 e Kd=1), percebe-se que ele tem uma ação eficaz com esses parâmetros. Tem-se a estabilização em regime permanente. O comportamento da saída (altura da camada de espuma) é mostrado na observar na figura 4.33, sobressinal de 0,2.

Transport Delay1 0.03 11s +s2 Transfer2 -0.03 11s +s2 Transfer1 Step1 Scope1 PID PID 0.01 ConstanNF

(52)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 t(s) h (t )

(53)

CAPÍTULO V

V – CONCLUSÃO

Esse trabalho apresentou um estudo sobre flotação, flotação em coluna, técnicas de medição (instrumentação) e controle eficiente da altura da interface da espuma/polpa em uma coluna de flotação.

Por fim utilizando como base o modelo(SISO) foi realizado dois projetos de controladores. Analisando-os em malha aberta, com distúrbio e sem distúrbio. Projetando um controlador mais adequado para cada caso, buscando velocidade, estabilidade e zerar o erro resposta.

Para concluir, os resultados foram satisfatórios, estabilização em 1, quando receberam a ação do degrau unitário. O tempo de resposta, sobressinais e comportamento com distúrbios, responderam bem a ação do controlador.

(54)

CAPÍTULO VI

VI – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AQUINO, J. A; OLIVEIRA, M.L; FERNANDES, Tratamento de Minérios, 4ª Edição revisada, CETEM-MCT, RJ, capítulo Flotação em coluna, 2004.

BANISI, S; FINCH, J.A E LAPLANTE, A.R (1992) Eletrical condutivity of dispersions mineral engineering.

DEL VILLAR, R; GREGOIRE, M.; POMERLEAU, A. Automation control of a laboratory flotation column, 1998.

DORF, R.C; BISHOP, R.H, Sistema de Controle Modernos, 8° Edição, RJ, 1998.

FINCH , J.A; DOBBY, G.S. Column flotation, Pergamon press, 1990.

GUIMARÃES, R.C; PERES, A. E. C. Máquinas de flotação. Relatório técnico BT/PMI/046. Escola Politécnica - DEM - USP, 1995.

MOYS, M.H E FINCH, J.A(1988) Developments in control of flotation columns international journal of mineral processing 23: 265-278

OGATA, KATSUHIKO. Engenharia de Controle Moderno, 4° Edição, SP, 2003

PERSECHINI, M. A. et al. Instrumentação de uma coluna de flotação piloto para desenvolvimento de técnicas de controle avançado. Rio de Janeiro, 2001, CETEM-MCT.

SILVINO, L. J; KELLES, M. H. V; GALÉRY, R; ROCHA, R; Um novo método para a medição de nível em Colunas de Flotação, Congresso da Abm, 2000.

(55)

VILLAR, R; PREZ. R; GOMEZ, P.O E FINCH J.A(1994). Use of a neural network algorithm for level sensing in flotation columns, proceedings of III Latin American Congress on froth flotation, Vol 2, pp 85-89.

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Referências

  1. a indústria
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