Livro - Estruturas de Concreto - FUSCO

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(49)

(50)

donde

A,, = A,

-

A, = 9,45 - 1,60 = 735 cm4

Dcsse modo, pade ser calculada

a

parcentagem

de

amadurn

loop, = A s , = 100 x 7.85 = ,,4m bd 12 X 46

resultando

2.' Tenfarivn. Camo no cntorno de 100 p, = 1.26 o valor procurado de k, t pouco sensivel a variaqbes e a! = 1 ,MI. w b a - s e

kc

= 2.4 resultando

t

I

tern-SG para

M b

o valor

miximo

achkdvel tic

M,- M d . r + A M d = I Q M + 2 9 2 0 =

13500kN.cm

resultando o vulor

b. E x ~ m p l o 5 ,

Determimr o

momeom u&mo

gue

pode ser aplicado a sgAo

do

Exernplo 3

(caw c dos excmplos de dimemionamtnto), usando-se Aqo CA-SOB,

Dados:

AGO CA-SOB

A: = 2 12.5

-

2,5Q cm'

Tenraliva. A d i s a n d o a tabtla referenre ao AGO CA-SOB, verifica-se que nas proximidadcs de

fil,

t?m-se

IH

-0.1w

1 MPa = 1 MNtrnl

-

10 kpflcrnr 1kN -I(IDLgP-O.ld I kWm = 1M Wrn 0-1 t€/m 1 k W . m - J M l ~ . m = O , I t b r n IkNlm'-100Wrnt-0,Itllm'

(51)

e. para 6

'

= d'ld = 4146 = 0.09 3

0.10.

0 023

lg

=

0.90 logo k;

=

-L- = 0.026

0 - 9 Desse

rnodo,

sendo

obtim-sc

0 valor 100 p , = 1.3 1% correspnde a

para o qua1 a

=

0.90, concluindu-se que h i a necessidadc de uma segunda tentatit pois nesta primein tentativa

foi

adotado o valor a! 2 1.0.

dunde

A,, = A, - A: = 9.45 - 2.50 = 6,90 cm4

l o o p , = 100 A,, =

lm

x

6.90

= j

.2j%

bd 12 X 46

(52)

corwspond~ate a k, = 2,6 u = 0,w

fl

= 0.91

(6'

= 0,lO) Ntssas condkks. dm-se

logo

O b s ~ w 6 o Stria espontheo que a condi~go A, = A; tivesse sido adotada logo na

I Tentativa- Essa hip6tese foi intenciondmente evitada apenaspara

st:

mostrar que

o problem e sempre resolvido no rniximo corn duas tenta-

- h a s -

1.2 -9

SEC

A O SUBMETI DA A Dad;l a w$io da Fig. 2.2 .P 1. calcular. os mementos l i m i t e ~ que podem ser aplicados.

MOMENTOS DESENTIDOS

.

. e s e sucessivamen te cada uma das armduras como sendo a de tragh.

(53)

resultando

A,, = A,

-

Ap = 18,W

-

9.45 = 9.45 cml Ualcutlindo o valor de

pcia l'abcla 6 (CA-SOA). para fCk = 13,5 MPa c 8' = 0 , ] 0 . obtim-sc

ficando confirmda a validade da hipbtese de que arnbas as arrnaduras estejarn em

escoamento,

Desse modo. resulta

bd2

M,,

=

M,.

p

+

AM, =

-

+

-4: ( d

-

d')

k, k;

(54)

d = 45 cm*

d - d 1 = 4 5 - 4 , 5 = 4 0 J c m

6' = 4-5/45 = 0.10

Sendo A; > A,, i evidente que deveri ser /3

<

1.0. pois este coeficiente mede a r e i s l o

aufd.

Neste exemplo particular, sendo A: = 2A.. necessariamente dcvera ser @

<

0.5.

Consultando a Tabela 6, verifka-se que, para 8' = 0.10, o valor de

P

cai rapida- mertte, para valores

de

6

rro entornu de

4

= 0.16.

I

.*

Ienfutiva. Admire-se o valor = 0,34 correspondenre a

resul tando ent20

& * A,

-

A,, = 9,45 - 3,24 = 6.21

A soluf50 seri verdadeira se for satisfeita a condir;iio

Cum os valares admitidos, 1Cm-se

estando portanto satisfeita a c a n d i ~ b de validade do valor f l escolhido. Jksse m d o . de bd' M, =

M,/.

.

+

AM,

=

-

+

A: (d

-

d') kc

k;

obttrn-se.

corn

k

'

,

= 0.2310,34, logo C'

M,

= 5 841

+

11 315 = r 1 156 kN.cm

(55)

2.3 FLEXAO

SIMPLES

Fl~xciusimples iaflexiio

n50

acompanhada de

f o p

normal.

E

FLEXAOCOMPOSTA

Flemio composra c o m g r a n d e e x c e n t r i c i d a d e e a f l e x ~ a c o ~ a n h a d a d t f ~ p w -

COM G R A N D E

mal,

havendo na pega

urn

banzo comprirnidoe outro tracionado.

EXCENTRICI DADE

( D O M ~ N I O S

2-3-4-4a)

2 -3. f CON

D I C ~ E S

DE

Redu~go a urn caso Msico linico. I M e

N

em valores absolutes.)

E Q U I L ~ B R I O

FLEXO-TRACA

o

F, =

R, -

R,

-

R;

F,

e, = R,(d

-

t ' x )

+ R;(d

-

d') FLESAO SIMPLES

F,=

R,-

K , - R ; = O N, e, =

M,

= R,(d - fx)

+

R;(d

-

dr) ' FLEXO- COMPHES

s A u

F , =

R,

+

R; -

R,

F,

e, = R,(d - f'x)

+ R;(d

- d')

(56)

-

Comparand+se as equgiks de quilibrio da flexo-trqEo, da flexgo simptes e da flexo-compress80, verifica-se que elas podem tomar-se identicas desde que na flexo-

seja feita

F

<

0. ri

Desse modo, os tres problemas ficam reduzidos a urn finico, tomandwe o caso da flexecompressio como caso bkico.

As

e q u a ~ h s

de

equilibria. tanto na flexo-compresdo quanto na flex30 simpla e

na flexo-tra~so. podem pois ser escritas sob a farma

corn F,

>

O de compresslo e F,

<

0 de tra@o, sendo

No caso de fledo

simples, tern-se N,

= 0, sendo

Observe-= que a equa~5o de cquilibrio de momentos seri sempre referida ao rpnlrn dc gravid~de da "armuduru de 1raci0" (armadura mais tmcionada ou menus comprirnjda).

2.3.2 PROPRIE DADES Cnnsidm-se a seguir as propriedades bisicaj das seees rcmngulares. tendo

em

BASIC AS D A S

S E ~

~ E S

vista a

form

do diagrma dt tens6es de compscssio e a p o s i ~ a o da linha neulra, nos HETA

N

G ULARES Cbmilli0~ 2, 3, 4 c h.

Os

elemcntos

basicos

de

no&g50

estho

indicados

na Fig. 2.3.2- 1.

Conforme ji foi visto anteriormente. o dominio 2 pode ser dividido

em

dois

subdominim, indicadas respctivamente par Za e 2b. A

diferenqa

essential

enrre essee

t

1

subdominirrs

reside

no

fato

de

we.

embora em ambos nio se possafalarem ruptura do 'i ₄

concrete, no stlbdominio 2b jP h i umafanca pseudoplarrtificaqSo por rnicmfissura~o Jr, concreto comprimido, enquanto

em

2a esse

fenbmeno

pmticamente ainda nio se

iniciou.

Conforme 6 mostrado na Fig.

2.3.2-2.

no dominio b existe

urn

encuttamento

maxima do concreto erld ':

2%.

chegando-se, portanto. ae estado limite

dlfirno

corn crcld < u r d = 0.85 fd. ou wja. chega-se ao estado limite liltimo corn a hipotese de que o

ooncreto aiada niio se tenha rompido, Observe-se que

no

dominio 2a nio existe

8 possibilidade

dc emprego eficiente de armaduras de compressio. pois E :

=

0. No dominie 2b, a

encurtamento

mixirno E , , ~ do concreto

jb

supera o valor de 2%.

que 4 o Iimite para 0 qua1 se admite o inicia da pseudoplastific~~odo cuncreto. Desse

I

modo. no

trechu

em

que

2 % ~

gCId s 3.3%., a t ensHo no concrcto& constante e igual a

o,,~ = = 0.85 fd

Conforme fai visto em

8

1.3, t2m-se

rtn,

1tm = 01 1667

(57)

a

%d

=

-fed

.

-

L

1 a$$*

-

4

/

P

1 .

=.kq$y

--

I

---

3,s Y..

Fig. 2.3.22 SgsO rctanglar

-

Dorninio 2.

De rnwfo geral, a resultante

das tensks

de cornpresGo no concreto pode ser

escrita

R , = a b x u d ou en-

R,

= 0,85 at bx fd

o d e o cmficiente de Moco a d5 o vdor da tendto m ade wmpres& u&,, I'or

dm

= a ud ou seja

(58)

CMLf~fme~mtB mW M

Y&

2.3.2-3 a

do-

2 e Fig, 2 3 . 2 4 ptlra

w

domini063.404a.

A Fi.

23

2-3 m t r a 0s i &t#' dm d c k n t e s a e a n fun* da pos* da

lmhamtradadaporE,sedo

idade x da Linha neutm possa

ser

uma

o dhgmma de tens& de compress50

(59)

I

.

1

--

J

35

fi #1 _x l ' U * I

Rg. 2.324 Dominius W a

-

Resultante dc comprtssAo.

De

fato, embora x possa

ter

qualquer valor para o qual

6

9 [r, r r a = 072593

4

a resultante das t t n e s de compresdo pode

scr

escrita I

3 2 4 R , = 0 , 8 5 f d .

b - x + - - 8 S f d -

b - x 1 7 3 7 logo 3 2

R,

= 0,85

fd

(-

+

- -

7 . b ~

7 3

..

*- - -

h s s c

modo, para

os

doalnios 3 . 4 e 4s. obtdm-sqp vdm copswte :

L I

u =

R,

= 0,8095

0,85 fd bx

De

mantira

adqga, cp&cendo-se a p o w do centro de gravida&

de

PARA

BOiA

segment0 de pariibola do 2.O g r w ,

Fig.

2.3.2-5, tern-se

0 0 P~ GRAY

p i

= $ [ o ~ s &

. - n . - n + 0 , 8 5 h - - 3 3 2 . 4 - x & n + g - b ] 3 Rg. 2.3-25 Pas* & c e n t m dc gra- 7 14 3 7 7 4 0 7

vidadt.

donde resulta,com.&= ga8q5.085>f bx,o

3alorconstante

..

. , ~ . , . r . , f ~ r ~ - n ~ ~ r ~ t . -

-

I , ,

-

-..0;41'6 L L

-A

2.3.3

E Q U A C ~ E S

~ c & ~ o q u c f o i v i s t o t 2 3 . l , t d o s o t a s o s d e f k x i o c o m ~ n d c e x

ADIMENSIOWAIS

DE

dade

W&.m

ser tratados ghbahcnte,

tomandew

as

e x p m s k s (2.3.1-1) e E Q U I L ~ B R I O carno:bqU- v - s d ~ & p i I & r i o , as quais,

wgundo

a Fig. 2.3.1-1, -#&

escritas

-

d

F u x R , + K - R , (2-33-11

- ' ! I ,

(60)

(61)

0

em

d&d&i 2b.3

edj

~ i . m w . m

-

=Fig.

2.34-1, ttm-se as srguinks~mdi@md.

(62)

e8TSmlms m E w m , w A m

-

I * '

42.-3

-

- -

-

, a

.

l j

d

conhecido

o

domini#

cormgondente

e C jB .A' esb%

..--..

determinados os

valares

das o u t m m v e i s que

corn*

mglnas whdigp$c-patibilidadc expressas por (2.3.431, bem coma

as

tendcs

que agem no C O C I C ~ ~ ~ O e n a s d u m . Esses

resultados

estga

apresentsdos

de

forma

sintitica

na

tawla

seguiate.

a =

d . m

h

8~ = 3 , s

w 0 f

6'

= 0,416

-

0 wd -c 0 (compress&)

(63)

(64)

(65)

2.4 FLEXAO

1MPOSTA

COM

GRANDE

NTRICIDADE.

ULO

PRATICO

2.4.1 VARIAVEIS

~DMEN21ONAIS.

GO

DE

TABELAS UNIVERSAIS

A consid+, nos problem de

fix50

c o m p t a , do momento

Md

& d o O > @

centro de hvidade da armadura de t@io

em

] u p

do 'momento &

ref-

a

centro de ghvidade:da @o transversal da -'I=& a-6'hge.m principal

de

perm&

a resolu* desses pmblemsts

como

se fqssem

problemas

de flexgo simpha

empregandwse as mesmas tabelas j B antelio&mente analisadas.

A Fig, 2.4.1-1 ilusm a *So

dm

prqbjemas de flex& composta a

proble

trarados como se fossem de fiexiio simples.

A.demonstrafiio

formal da

vdidde dm

raciod~os

ilustdos

pela

Fig.

Z4rdnf

pxfe

serfdta

a partir dm B Q C I ~ ~ & S de equilibrio (2.3.1-1) e (2.3.1-2) do ) 2.3.1

partir:

dag

~ i k ~ ~ n s i o n a i s de equitIbrip,(2,3.3=~1) e (2.3.3-12) do

O

233-

Qtizllquer que seja o

d n h o

escolhido,

.quado

sc

admite annadura

s h p b , @ e q e c r de

equilibrio

de

mementos,

a

qual

determina

a

posim

da

Iinha

neutmij&

fato dearre de se admitir o momento

M M

e ~o o

momento

&.

'I

aatamente a rnesma, quer w trate de flcx5orsimpIes quer de fltxSo cornposh.

Baz

Atnda considcrando

armadura

utiiiateral

,

a armadura de tm$o A,

i

deter@&@

pela

equMo

de quilibrio de foryas, a qud exige que a resultante R, das ten&&

wrnadura

d+

liwk

equWre aresdtanze

%

ctas

tens& de compre-o

no

cx-

A

- Wendo

6l,

wartockbda

forga

nsmnal

PI,

qumdo

de

trqao, ou

subtd&&&"

norm4

N,

qua&

da

oompmsb.

hsse,m&,

Qamya@mde moment- resultaeposi@o d a b neutrae, @@i

7h

(66)

= m B E - * - e m

ARMADU RA 31 MPLES

ARMADURA W PLA

.

' i

onde, tanto & tmgh quanta para a eomprtssh, 6

F@o

N

>

0.

Por mmo I&, 4- a

armarkrra

simples

lev=

tr

rr

supramadas,

o

problema

C

novamaw w i d 0 p l a ad-Q

de

amdurn

&@la.

Fwnda-se

novmemk, coma no caso

da

fl-

simples,

My

=

M ,

c

+

A&

(2.4.1-3) - onde

Md.

,

t a

-la

rssistiaa

por uma s q h

eom

armd3fa &@es e

AM&

a parcela

(67)

$ & & p I W , * < . 4 & ) : , 3 ,.I y r n : , , . '.;

u d

-

d'

, - .

rn'l b ' 2 -

NOS caws

usuais,

a decampoii&

d:

yornqrq

d*@iand?se o,yalor

,

, --

. .

rP/ . I .. I J

Md,

d, = Md. lm = M M ~

(6

=

6114

'rgd fl ,.! ::.' .,: I *

.:

-. resultando

entio

( M ~ . . . I ,

+A%,

N&:,.:

& = -

A -.

-

Considere-= o d i r n e n s i ~ h h ' &'&a iudicada na

Fig.

2.4.2 dos 0s seguintes dadoz;

F,

= 500

kN

e

-

80cm

n

-

114

Y C = 1,4

(68)

e, = I I0 crn

pk' =30*.3;

gq.J!'*

-19

. 5 21, ..;* q ? n i ~ i . ~ . L . , ~ f l J

-

,+:*A .

~ ~ ~ ~ & d P L 6 t , ~ ' @ q a d u m

dupla, a

fim 'de ser evitada a

ma

:r,l?-:. ?

(69)

1 AM& - 1

& = -

l 7 830 - 6,82 c d (4

0

16)

rL d - d ' 4 3 3 6 5 - 5

Resolver o rnesmo problema anterior, empregando o AGO C A-5OB.

De acordo corn os resultados obtidos no exercicio 1, tern-se

; Para o Aso CA-5OB, p d , ldm = 0,255, logo para pd = pd, _llrn= 0,255

. ,

x - a '

-

6; = act- = 0,(@33 = < s , = 4 , a

(70)

2.4.3

V A R I A V E ~

I%

&&

e,

qualquer

problema

de flexh

com-

DZMENSLONAIS. W W d i kma de flexk simples, Fig. 2.4.3- 1 .

EMPREGO

DE TABELAS

TIP^

k

'4" ARMADURA SIMPLES

(71)

Mca

&=BE,-&

krsNd

d

ri i u a l r

corn

o

sinal

(+) para

N

de twiio e o

sinal

r-

j

para

N

de cornprcssao.

No

caw de &ura dupla, adota-se

k,

=

k,

detemhnd+se n vator &.

ser usadas para o

c~lculo

das se&s retangulares

submetidas

h-flem

m&pm& Essas tabelas empmgam as unidades

kN

e crn e

furam

cdculadas para y, = l,4 c

(72)

(73)

donde

2.4.5 DIAGRAMA RETANGULAR

DE

T E N S ~ E S

.I

Conforme ja foi visto, as e q u ~ b e s adimensronais do equilibria para os c a m

de

(74)

.

' -

-

r , ,I

h=- Md

-d,~~&i-tn+d

- ( I - v

"k

IIPPY)

I $ d \ > - I

,'.L

f$

.gtaqgular de

tens&% Fig. 2A.5-I,

(2.4.3-1)

Caniderado

a noWCo indicada na Fig. 25.1- 1 e tratando todos

os

elemcatos

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

(102)

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

(121)

(122)

(123)

(124)

(125)

(126)

(127)

(128)

(129)

(130)

(131)

(132)

(133)

(134)

(135)

(136)

(137)

(138)

(139)

(140)

(141)

(142)

(143)

(144)

(145)

(146)

(147)

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

(153)

(154)

(155)

(156)

(157)

(158)

(159)

(160)

(161)

(162)

(163)

(164)

(165)

(166)

(167)

(168)

(169)

(170)

(171)

(172)

(173)

(174)

(175)

(176)

(177)

(178)

(179)

(180)

(181)

(182)

(183)

(184)

(185)

(186)

(187)

(188)

(189)

(190)

(191)

(192)

(193)

(194)

(195)

(196)

(197)

(198)

(199)

(200)