SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO GRAU DE QUEIMADURA DA PELE
HUMANA VIA MODELO UNIDIMENSIONAL HIPERBÓLICO.
G. S. OLIVEIRA1, G. L. STRÖHER1 e G. R. STRÖHER1
1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Coordenação de Engenharia Química. E-mail para contato: gisleysilvapr@gmail.com
RESUMO – A equação clássica da condução de calor utilizada em diversas áreas da
engenharia, conhecida como Lei de Fourier, apresenta uma incoerência física uma vez que a mesma supõe que o calor se propaga a uma velocidade infinita. A equação não prejudica a modelagem para bons condutores térmicos, mas para maus condutores como no caso de tecidos biológicos, onde a velocidade de difusão indica ser finita, a modelagem não apresenta exatidão para o fenômeno físico. Para contornar esta limitação da Lei de Fourier surgiu o modelo conhecido como não-Fourier, neste surge um coeficiente adicional, denominado de tempo de relaxação térmica. O presente trabalho realizou uma análise térmica na pele humana a partir da equação de Pennes, utilizando os modelos de condução de calor: a Lei Clássica de Fourier e não-Fourier. A partir do modelo implementado, foi possível determinar o grau de queimadura na superfície da pele em função do coeficiente de tempo de relaxação térmica e estudar as influências do mesmo em distintos fluxos de calor aplicados na superfície da pele humana.
1. INTRODUÇÃO
A pele humana desempenha uma variedade de funções importantes, tais como: sensorial, termorregulação, defesa contra hospedeiros e também apresenta ampla importância na área militar e espacial, uma vez que essas duas últimas lidam muitas vezes com condições ambientais extremas (Kundu e Dewanjee, 2015). Assim, um grande número de estudos abordam o problema de transferência de calor em tecidos biológicos, dentre os quais podem-se destacar Pennes (1948), Abramson (1967), Xu et al. (2008) e Ströher e Ströher (2014). Estes estudos apresentaram diferentes modelos de transferência de calor que descrevem o comportamento térmico nos tecidos biológicos.
A avaliação do fluxo de calor por condução pela Lei Clássica de Fourier na equação da difusão do calor conduz a um modelo matematicamente classificado como parabólico e implicitamente assume-se que qualquer distribuição térmica no corpo é assume-sentida por todo o corpo instantaneamente, pressupondo que a velocidade de propagação da distribuição térmica é infinita. Esta suposição é razoável na maioria das aplicações de engenharia. Entretanto, observações experimentais indicam que em condições térmicas particulares a condução de calor apresenta um comportamento hiperbólico, não previsto pela Lei Clássica de Fourier. Geralmente, onde os materiais têm um grande tempo de relaxação térmica
(como em tecidos biológicos) os fenômenos térmicos não-Fourier tornam-se significativos. O primeiro a propor um modelo matemático para a transferência de calor em tecidos biológicos foi Pennes em 1948, ele estudou a distribuição radial de temperatura no antebraço do corpo humano, colocando termopares nos braços de seus pacientes. Anos depois Cattaneo (1958) e Vernott (1958) apresentaram uma modificação da Lei Clássica de Fourier que ficou conhecida como equação hiperbólica de calor.
Henriques e Moritz (1947) foram os primeiros a fazerem uma avaliação quantitativa do dano ou queima em tecidos vivos, eles determinaram um modelo matemático empírico que permite quantificar o grau de queima ou dano, denominada de função dano térmico, sendo essa, função da temperatura e do intervalo de tempo ao qual o tecido vivo ficou submetido a uma carga térmica. O modelo descreve o efeito do calor na taxa de reação química e considera a variação na concentração de moléculas não danificadas, baseando-se na Lei de Arrhenius (Liu et al., 1999), esta é explicitada na seção seguinte do presente trabalho. O grau de queimadura na pele humana é classificado pela função dano, Ω, quando essa função atinge os valores de 0,53, 1,0 e 104, tem-se o primeiro, segundo e terceiro grau de queimadura, respectivamente (Diller, 1992). Também é definido que quando o valor da função dano é unitário, Ω=1,0, corresponde que aproximadamente 63% das proteínas foram desnaturadas, ocorrendo uma necrose completa, ou dano irreversível do tecido biológico. Com a função dano também pode ser previsto o dano cumulativo incorridos durante uma exposição a temperaturas elevadas ou muito baixas, ou seja, queimaduras ou congelamento de pele (Liu et al., 1999).
No presente trabalho foi simulado o comportamento térmico da pele quando essa é submetida a um fluxo de calor constante em sua superfície por um determinado intervalo de tempo, a fim de obter o grau de queimadura da pele em função do tempo de exposição à fonte de calor e da intensidade do fluxo de calor, bem como verificar a diferença do comportamento térmico da pele previsto pelo modelo da Lei Clássica de Fourier (parabólico) frente ao modelo não-Fourier (hiperbólico).
2. METODOLOGIA
2.1. Modelagem Matemática Térmica
Equação de Pennes: A transferência de calor que ocorre na pele foi modelada utilizando o modelo de Pennes (1948), sendo dada por (as grandezas dimensões de todas as variáveis estão expressas entre colchetes sendo M a dimensão de massa, L comprimento, T tempo, θ temperatura e mol quantidade de substância):
𝜌t 𝑐t𝜕𝑇
𝜕𝑡= 𝑞(𝑥, 𝑡) + 𝜌b𝜛b𝑐b(𝑇a− 𝑇) + 𝑞met+ 𝑞ext (1) onde, ρt [M.L-3] e ct [L2.T2.θ-1] são a massa específica e calor específico do tecido da pele, respectivamente; ρb [M.L-3] a massa específica do sangue, cb [L2.T2.θ-1] o calor específico do sangue e ϖb [T-1] é a taxa de perfusão sanguínea; T [θ] a temperatura do tecido da pele e Ta [θ] a temperatura do sangue; qmet [M.T-3] é a geração de calor metabólico no tecido da pele e qext [M.T-3] o calor gerado por outras fontes de aquecimento. Neste estudo qext foi considerado nulo.
Modelo hiperbólico: Considerando o conceito de velocidade de propagação do calor finito, Vernott (1958) e Cattaneo (1958) relataram uma condução de calor instável modificando a equação clássica de Fourier para:
𝑞(𝑥, 𝑡) + 𝜏q𝜕𝑞(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡 = −𝑘𝛻𝑇(𝑥, 𝑡) (2)
Rearranjando as Equações (1) e (2) tem-se uma forma geral do modelo de transferência de calor por onda térmica que é expressa da seguinte forma:
𝜏q𝜌t𝑐t𝜕 2𝑇 𝜕𝑡2+ (𝜌t𝑐t+ 𝜏q𝜌b𝜛b𝑐b) 𝜕𝑇 𝜕𝑡+ 𝜌b𝜛b𝑐b(𝑇 − 𝑇a) = 𝑘 𝜕²𝑇 𝜕𝑥²+ (𝑞met+ 𝑞ext+ 𝜏q 𝜕𝑞met 𝜕𝑡 + 𝜏q 𝜕𝑞ext 𝜕𝑡 ) (3) onde 𝜏q= 𝛼 𝐶²⁄ [T] é o tempo de relaxação térmica, α [L2.T-1] difusividade térmica, C [L.T-1] a
velocidade de propagação da onda e k [M.L.θ.T-3] a condutividade térmica da pele. Vale ressaltar que quando é atribuído zero para τq o modelo torna-se parabólico, e consequentemente retorna ao modelo clássico de condução de calor, ou seja, a Lei Clássica de Fourier.
As condições de contorno para o fluxo de calor e para o tempo utilizadas foram:
−𝑘𝜕𝑇 𝜕𝑥|x=0 = 𝑞0, 𝜕𝑇 𝜕𝑥|𝑥=𝐿= 0, 𝑇(𝑥, 0) = 𝑇a, 𝜕𝑇 𝜕𝑡|𝑡=0 = 0 (4) onde o fluxo é constante na superfície da pele e nulo em L, sendo L [L] a espessura da pele.
A implementação do modelo foi realizada utilizando as seguintes variáveis adimensionais:
𝜉 =√(𝑊b𝑐b) 𝑘 𝑥, 𝜃 = 𝑇−𝑇a 𝑞0 √𝑘𝑊b𝑐b, 𝜂 = 𝑊b 𝑐b 𝜌t 𝑐t 𝑡, ∧= 𝑊b 𝑐b 𝜌t 𝑐t 𝜏q, 𝛹 = 𝑞met 𝑞0√𝑊b 𝑐b 𝑘 (5) onde 𝑊b= 𝜌b𝜛b [M.T.L-3].
A Equação (3) pode ser reescrita em termos de variáveis adimensionais, tornando-se:
∧𝜕𝜂𝜕2𝜃2+ (1 +∧)𝜕𝜃𝜕𝜂+ 𝜃 =𝜕𝜉𝜕2𝜃2+ 𝛹 (6) em que as condições de contorno adimensionais são expressas por:
𝜃(𝜉, 0) = 0, 𝜕𝜃 𝜕𝜂|𝜂=0= 0, 𝜕𝜃 𝜕𝜉|𝜉=0= −1, 𝜕𝜃 𝜕𝜉|𝜉=√𝑊b𝑐b 𝑘 𝐿 = 0 (7) é importante mencionar que quando Λ = 0 o modelo torna-se parabólico.
Metodologia de solução numérica: Para a solução do modelo matemático, Equações (6) e (7), foi utilizado a técnica de diferenças finitas. Para o presente trabalho utilizou-se um esquema implícito com as seguintes aproximações:
𝜕𝜃 𝜕𝜂|𝑖 = 𝜃𝑖𝑛+1−𝜃𝑖𝑛 𝛥𝜂 , 𝜕²𝜃 𝜕𝜂²|𝑖 = 𝜃𝑖𝑛+1−2𝜃𝑖𝑛+𝜃𝑖𝑛+1 𝛥𝜂² , 𝜕²𝜃 𝜕𝜉²|𝑖 = 𝜃𝑖−1𝑛+1−2𝜃𝑖𝑛+1+𝜃𝑖+1𝑛+1 𝛥𝜉² (8) Determinação do grau de queimadura na superfície da pele: A avaliação do grau de queimadura na pele é uma das características mais importantes para as ciências que estudam o comportamento do tecido da pele. Stoll e Greene (1959) provaram que os danos térmicos ocasionados no tecido da pele ocorrem a partir de que a mesma adquire uma temperatura equivalente a 44°C. Henriques e Moritz (1947) propuseram o primeiro modelo matemático, Equação (9), para avaliação térmica quantitativa de dano térmico no tecido da pele humana, dado por uma integração representando um processo químico.
Ω = ∫ 𝐴 ∙ 𝑒𝑡 − 𝑅∙𝑇𝐸𝑎
0 𝑑𝑡 (9)
em que Ω [adimensional] é o dano térmico, A [adimensional] é um fator de frequência, Ea [M.L2.T-2.mol-1] a energia de ativação (sendo A e Ea determinados experimentalmente por Henriques
e Moritz (1947)), R [M.L2.T-2.mol-1.θ-1] a constante dos gases ideais e T [θ] a temperatura.
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Os valores das propriedades físicas da pele foram os mesmos utilizados em Oliveira et al. (2015), onde se encontra também a etapa de verificação detalhada da solução numérica utilizada no presente trabalho. Contudo, serão apresentados apenas os principais resultados da etapa de verificação, o leitor interessado no detalhamento da verificação da solução numérica pode consultar Oliveira et al. (2015). O trabalho de verificação foi realizado comparando os resultados obtidos numericamente com a solução analítica proposta por Ahmadikia et al. (2011). Para a avaliação do grau de queimadura na pele foram utilizados os valores propostos experimentalmente por Henriques e Moritz (1947) (A=3,1x1098 e Ea=6,27x105 J.mol-1) e R=8,314 J.mol-1.K-1.
Na Figura 1 são mostrados alguns resultados da verificação da metodologia numérica em que são comparados a elevação da temperatura da superfície da pele quando esta é submetida a uma carga térmica de 5000 W.m-2.
(a) (b)
Figura 1- (a) Verificação da solução numérica para o modelo hiperbólico e (b) Verificação da solução numérica para o modelo parabólico.
Com base no perfil de temperatura da Figura 1 (a), modelo hiperbólico, foi possível observar que a superfície da pele quando submetida a um fluxo de calor equivalente a 5000 W.m-2 apresentou uma elevação na sua temperatura, que foi de 37ºC até aproximadamente 160ºC em 500 segundos. O modelo implementado também foi avaliado para o caso em que o tempo de relaxação térmica é nulo (τq=0) situado na Figura 1 (b), ou seja, retornando à Lei Clássica de Fourier para a condução de calor. A Figura 1 (b), modelo parabólico, apresentou um ligeiro aumento na temperatura da superfície da pele quando comparado ao perfil de temperatura do modelo hiperbólico, Figura 1 (a), principalmente nos instantes iniciais, resultado proveniente da ausência do tempo de relaxação térmica, indicando que este parâmetro tem um efeito de amortecimento sobre o comportamento térmico da pele. Adicionalmente, verifica-se que na condição explorada, para longos tempos de aquecimento os perfis de temperatura apresentam-se apresentam-semelhantes.
Posteriormente a verificação da metodologia de solução numérica implementada, simulações foram feitas levando em conta diferentes fluxos de calor na superfície da pele e tempos de relaxação térmica distintos, a fim de avaliar as influências dos mesmos. Foram obtidos perfis de temperatura na
superfície da pele com τq= 0, 8s, 16s, 24s e fluxos de calor iguais a 500 W.m-2, 5000 W.m-2 e 10000 W.m-2, os resultados são mostrados nas Figuras 2, 3 e 4, respectivamente.
(a) (b)
Figura 2 - Perfil de temperatura com fluxo de calor de 500 W.m-2 variando o tempo de relaxação térmica.
(a) (b)
(a) (b)
Figura 4 - Perfil de temperatura com fluxo de calor de 10000 W.m-2 variando o tempo de relaxação térmica.
Segundo os resultados observados nas Figuras 2 a 4, pode-se constatar a influência do tempo de relaxação térmica nos perfis de temperaturas obtidos, principalmente quando fluxo de calor aplicado é maior. Entretanto, quando o fluxo de calor aplicado é de baixa intensidade o tempo de relaxação térmica não mostrou forte influência, por exemplo, para o instante 10 segundos, como pode ser observado na imagem ampliada (Figura 2 (b)), tem-se uma diferença máxima de temperatura de aproximadamente 1,3ºC para τq=0 e 24s com um fluxo de calor de 500 W.m-2, no entanto quando o fluxo de calor aplicado na superfície da pele é maior, o tempo de relaxação térmica gera maior influência na diferença de temperatura na superfície da pele, aproximadamente de 13ºC para um fluxo de calor de 5000 W.m-2 e cerca de 25ºC para um fluxo de calor de 10000 W.m-2, sendo observados nas imagens ampliadas, Figuras 3 (b) e 4 (b), respectivamente.
Subsequentemente, foi simulado o grau de queimadura na superfície da pele humana, utilizando a função dano proposta por Henriques e Moritz (1947) (Equação (9)), os resultados são sumarizados nas Figuras 5 e 6.
(a) (b)
Figura 5 – (a) Início do grau de queimadura na superfície da pele e (b) Perfil da queimadura de primeiro e segundo grau.
(a) (b)
Figura 6 – (a) Perfil da queimadura de terceiro grau e (b) Simulação numérica completa do grau de queimadura na superfície da pele humana com um fluxo de calor de 5000 W.m-2.
Das Figuras 5 e 6, pode-se observar os perfis do grau de queimadura na superfície da pele em função do tempo de exposição quando essa é submetida a um fluxo de calor de 5000 W.m-2, os perfis nessas figuras indicam uma influência significativa do tempo de relaxação térmica, tanto para o início da queima, ou seja, onde se inicia aos valores de dano térmico (Figura 5 (a)), quanto para queimaduras de terceiro grau, representado pela Figura 6 (a). Os instantes em que a superfície da pele atinge 44oC e também o primeiro, segundo e terceiro grau de queimadura foram sumarizados na Tabela 1, ressaltando que segundo Stoll e Greene (1959), os danos térmicos sofridos na pele humana ocorrem a partir de que a mesma adquire uma temperatura equivalente a 44°C.
Tabela 1 - Tempo necessário para atingir 44°C, queimadura de primeiro, segundo e terceiro grau para diferentes valores da constante de relaxação térmica
τq (s) T = 44°C Ω = 0,53 Ω = 1,0 Ω = 104
0 3,1 15,3 16,4 40,1
8 7,8 19,5 20,6 44,9
16 10,3 23,4 24,5 49,8
24 12,3 26,7 27,9 54,1
Os resultados da Tabela 1 indicam novamente a influência do tempo de relaxação térmica para um determinado fluxo de calor aplicado na superfície da pele humana. À medida que o tempo de relaxação térmica é maior, os graus de queimadura na pele são retardados, o mesmo acontece para o início da queimadura na pele.
4. CONCLUSÃO
Um modelo matematicamente classificado como hiperbólico foi implementado numericamente, por meio do método de diferenças finitas, para realização de simulações do grau de queimadura da pele quando esta é submetida a uma fonte constante de calor. A partir dos resultados obtidos pode-se concluir: (I) Foi possível simular o comportamento térmico da pele quando esta é submetida a um fluxo de calor constante em sua superfície num determinado intervalo de tempo, bem como determinar o grau de queimadura da mesma em função do tempo e da intensidade do fluxo de calor; (II) Nas condições
exploradas, as diferenças na previsão da temperatura da pele entre o modelo clássico de condução de calor, a Lei de Fourier, e o modelo de não-Fourier se tornam maiores à medida que se aumenta o fluxo de calor aplicado na superfície da pele; (III) Em geral, o coeficiente de tempo de relaxamento térmico possui um efeito de amortecimento sobre o comportamento térmico da pele.
5. REFERÊNCIAS
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