det[d 1 (s)] = 2s 2 6s+9 3s 2s

Obtendo matrizes reduzidas por coluna Exemplos: 1) D1(s) =     s2_{+s 2s+1 1} s2 2s−3 0 s+3 2 1     det[D1(s)] = −2s2− 6s + 9     s2_{+s 2s+1 1} s2 2s−3 0 s+3 2 1         2 0 0 −s 1 0 0 0 1     →     s 2s+1 1 3s 2s−3 0 6 2 1     2) D3(s) = " (s+1)2(s+2)2 −(s+1)2_(s+2) 0 s+2 # " (s+1)2_(s+2)2 _−(s+1)2_(s+2) 0 s+2 # " 1 0 s+2 1 # → " 0 −(s+1)2_(s+2) (s+2)2 _s+2 #

Lema 2.3 Se G(s) ∈ IRp×m_{(s) ´e uma matriz de transferˆencia estritamente pr´opria (pr´opria) e}

G(s) = N(s)D−1

(s), ent˜ao cada coluna de N(s) tem um grau estritamente menor (menor ou igual) que o grau da coluna de D(s) correspondente.

Prova:

N(s) = G(s)D(s) ⇒ [n1(s) n2(s) . . . nm(s)] = G(s) [d1(s) d2(s) . . . dm(s)]

Portanto, para uma coluna j qualquer podemos escrever

nij(s) = m

X

k=1

gik(s)dkj(s), i = 1, . . . , p

Como todos os elementos Gik(s) s˜ao estritamente pr´oprios (pr´oprios), ent˜ao todos os elementos

nij(s) devem ter grau menor (menor ou igual) que o polinˆomio de maior grau da j-´esima coluna

de D(s).

G(s) = N(s)D−1 (s) =  −s2_+s s2_+s−1 s3+s−1 s2_+s−1  ´e impr´opria.

Lema 2.4 A matriz de transferˆencia G(s) = N(s)D−1

(s) ´e uma matriz estritamente pr´opria (pr´opria) se e somente se cada coluna de N(s) tem um grau estritamente menor (menor ou igual) que o grau da coluna de D(s) correspondente, sendo que D(s) ´e uma matriz reduzida por coluna. Prova:

(⇐) (Vamos mostrar que se cada coluna de N(s) tem um grau estritamente menor que o grau da coluna de D(s) correspondente, ent˜ao G(s) ´e estritamente pr´opria)

gij(s) =

det[Dnij_(s)]

det[D(s)]

onde gij(s) ´e a Fun¸c˜ao de Transferˆencia que relaciona a sa´ıda i com a entrada j e Dnij(s) ´e obtida

substituindo a j-´esima linha de D(s) pela i-´esima linha de N(s). A matriz Dnij_{(s) pode ser escrita como Dn}ij

(s) = (Dnij)hcS(s) + (Dnij)lcΨ(s), sendo que (Dnij)hc

´e igual a Dhc exceto pela j-´esima linha que agora ´e zero, uma vez que cada elemento da j-´esima

linha de N(s) possui um grau menor do que o elemento correspondente da j-´esima linha de D(s).

Segue que gr {det[D(s)]} = gr {det[S(s)]} =

m

X

i=1

δi, (D(s) ´e uma matriz reduzida por coluna)

enquanto que grdet[Dnij(s)] <

m

X

i=1

δi.

Portanto, gij(s) ´e estritamente pr´opria e conseq¨uentemente a matriz G(s) tamb´em ´e estritamente

pr´opria. (⇒)

Segue do Lema 2.3.

2.6.2 Realiza¸c˜ao na Forma Controlador

Considere um sistema linear e invariante no tempo descrito por y(s) = G(s)u(s)

onde y(t) ∈ IRp _{´e o vetor de sa´ıda, u(t) ∈ IR}m _{´e o vetor de entrada e G(s) ∈ IR}p×m_{(s) ´e uma}

matriz de transferˆencia estritamente pr´opria. Escreva G(s) = N(s)D−1

(s) onde N(s) e D(s) s˜ao coprimas `a direita e D(s) ´e reduzida por coluna. y(s) = G(s)u(s) = N(s)D−1

(s)u(s) Defina ξ(s) = D−1

(s)u(s)

⇒ y(s) = N(s)ξ(s), u(s) = D(s)ξ(s) Como D(s) ´e reduzida por coluna, tem-se que

D(s) = DhcS(s) + DlcΨ(s) (|Dhc| 6= 0, δi ≥ 1, i = 1, . . . , m) u(s) = [DhcS(s)+DlcΨ(s)] ξ(s) ∴ u(s) = D_hcS(s)ξ(s)+D_lcΨ(s)ξ(s) D−₁ hcu(s) = S(s)ξ(s)+D −₁ hcDlcΨ(s)ξ(s)    S(s)ξ(s) = −D−1 hcDlcΨ(s)ξ(s) + D −1 hcu(s) y(s) = NlcΨ(s)ξ(s)

Note que, como ξT_{(s) = [ξ}

Ψ(s)ξ(s) =                                   sδ1−1 ξ1(s) sδ1−2 ξ1(s) ... sξ1(s) ξ1(s) − − − − −− ... − − − − −− sδm−1 ξm(s) sδm−2 ξm(s) .. . sξm(s) ξm(s)                                   S(s)ξ(s) =           sδ1 ξ1(s) − − − − −− .. . − − − − −− sδm ξm(s)          

o que sugere a seguinte escolha para vari´aveis de estado. x11= ξ(δ 1−1) 1 , x12= ξ(δ 1−2) 1 , . . . , x1δ1−1= ˙ξ1, x1δ1= ξ1, ⇒ ˙x1δ1= x1δ1−1, . . . , ˙x12= x11, ˙x11= ξ δ1 1 x21= ξ(δ 2−1) 2 , x22= ξ(δ 2−2) 2 , . . . , x2δ2−1= ˙ξ2, x2δ2= ξ2 ⇒ ˙x2δ2= x2δ2−1, . . . , ˙x22= x21, ˙x21= ξ δ2 2 ... xm1= ξ (δm−1) m , xm2= ξ (δm−2) m , . . . , xmδm −1= ˙ξm, xmδm= ξm ⇒ ˙xmδm= xmδm −1, . . . , ˙xm2= xm1, ˙xm1= ξ δm m Logo, xT ₌h_x 11 x12 . . . x_1δ1 x21 x22 . . . x_2δ2 . . . xm1 xm2 . . . xmδm i

Assim, calculando a inversa de Laplace da equa¸c˜ao S(s)ξ(s) = −D−1

hcDlcΨ(s)ξ(s) + D −1 hcu(s), tem-se que        ˙x11(t) ˙x21(t) .. . ˙xm1(t)        = −D−1 hcDlcx(t) + D −1 hcu(t)

Definindo xT i = h xi1 xi2 . . . xiδi i , i= 1, . . . , m ˙xi =            0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 . . . 1 0            | {z } A[i]_c0 xi +            eT i 0 0 .. . 0            | {z } B_c0[i] −D−1 hcDlcx+ D −1 hcu
, A[i]_c0 ∈ IRδi×δi_{, B}[i] c0 ∈ IR δi×m onde eT

i , i= 1, . . . , m denota a i-´esima linha da matriz identidade de ordem m

Note que xT ₌_xT 1 xT2 . . . xTm  . Portanto,                          ˙x(t) =                   A[1]_c0 0 . . . 0 0 A[2]_c0 . . . 0 0 0 . .. 0 0 0 . . . A[m]_c0          −          B_c0[1] B_c0[2] ... B[m]_c0          D−1 hcDlc          x(t) +          B_c0[1] B_c0[2] ... B_c0[m]          D−1 hcu(t) y(t) = Nlcx(t) Finalmente, definindo Ac0 =          A[1]_c0 0 . . . 0 0 A[2]_c0 . . . 0 0 0 . .. 0 0 0 . . . A[m]_c0          , Bc0 =          B_c0[1] B_c0[2] ... B_c0[m]          , tem-se que    ˙x(t) = Acx(t) + Bcu(t), Ac = Ac0− Bc0D −₁ hcDlc, Bc = Bc0D −₁ hc, y(t) = Ccx(t), Cc = Nlc Exemplo: G(s) =    s (s+1)2_(s+2)2 s (s+2)2 −s −s    , G(s) ∈ IR2×2_(s)

⇒ n = 5 estados D(s) = DhcS(s) + DlcΨ(s) D(s) = " 0 −1 1 0 # | {z } Dhc " s2 0 0 s3 # | {z } S(s) + " 0 0 −4 −5 −2 4 4 0 1 2 # | {z } Dlc            s 0 1 0 0 s2 0 s 0 1            | {z } Ψ(s) (|Dhc| = 1 ⇒ D(s)´e reduzida por coluna.)

N(s) = NlcΨ(s) = " 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 # | {z } Nlc            s 0 1 0 0 s2 0 s 0 1            | {z } Ψ(s) Realiza¸c˜ao no Espa¸co de Estado

   ˙x(t) = Acx(t) + Bcu(t), y(t) = Ccx(t) Cc = Nlc = " 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 # Bc = Bc0D −1 hc =            1 0 0 0 0 1 0 0 0 0            " 0 1 −1 0 # =            0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0           

Ac = Ac0− Bc0D −1 hcDlc =            0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0            | {z } Ac0 −            0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0            | {z } Bc0D −1 hc " 0 0 −4 −5 −2 4 4 0 1 2 # | {z } Dlc Ac =            −4 −4 0 −1 −2 1 0 0 0 0 0 0 −4 −5 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0            Portanto,                                    ˙x(t) =            −4 −4 0 −1 −2 1 0 0 0 0 0 0 −4 −5 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0            x(t) +            0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0            u(t), y(t) = " 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 # x(t) ⇒ G(s) = Cc(sI − Ac) −₁ Bc =    s (s+1)2_(s+2)2 s (s+2)2 −s (s+2)2 −s (s+2)2    Obs.: |D(s)| = (s3_{+ 4s}2_{+ 5s + 2)(s}2_{+ 4s + 4) = s}5_{+ 8s}4_{+ 25s}3_{+ 38s}2_{+ 28s + 8} |sI − Ac| = s5+ 8s4+ 25s3+ 38s2+ 28s + 8

2.6.3 Realiza¸c˜ao na Forma Observador

Considere um sistema linear e invariante no tempo descrito por y(s) = G(s)u(s)

onde y(t) ∈ IRp _{´e o vetor de sa´ıda, u(t) ∈ IR}m _{´e o vetor de entrada e G(s) ∈ IR}p×m_{(s) ´e uma}

matriz de transferˆencia estritamente pr´opria. Escreva G(s) = ˜D−1

(s) ˜N(s) onde ˜N(s) e ˜D(s) s˜ao coprimas `a esquerda e ˜D(s) ´e reduzida por linha.

Como ˜D(s) ´e reduzida por linha, tem-se que ˜

D(s) = ˜S(s)Dhr+ ˜Ψ(s)Dlr (|Dhr| 6= 0, δi ≥ 1, i = 1, . . . , p)

δi = grau da i-´esima linha de ˜D(s) e gr{det[ ˜D(s)]} = p X i=1 δi ˜ N(s) = ˜Ψ(s)Nlr

Considere a matriz de transferˆencia transposta GT_{(s) = ˜N}T_{(s) ˜D}−_T

(s) Encontrar a realiza¸c˜ao na forma controlador de GT_{(s) = ¯C}

c(sI − ¯Ac) −1 ¯

Bc

Ent˜ao, a realiza¸c˜ao na forma observador ´e dada por G(s) = Co(sI − Ao) −1 Bo,sendo que Co = ¯BcT, Ao = ¯ATc, Bo = ¯CcT Ao0 = bloco diag                                 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0            , δ×δi, i= 1, . . . , p                      Co0 = bloco diag [1 0 . . . 0] , 1 × δi, i= 1, . . . , p    ˙x(t) = Aox(t) + Bou(t), Ao = Ao0− DlrD −₁ hrCo0, Bo = Nlr, y(t) = Cox(t), Co = D −₁ hrCo0

Exemplo: G(s) =    s (s+1)2_(s+2)2 s (s+2)2 −s (s+2)2 −s (s+2)2    G(s) = ˜D−1 (s) ˜N(s) ˜ N(s) = " 0 s2 −s −s # , D(s) =˜ " s3+ 4s2+ 5s + 2 s+2 0 s2+4s+4 # δ1 = 3, δ2 = 2 ⇒ n = 5 estados ˜ D(s) = ˜S(s)Dhr+ ˜Ψ(s)Dlr ˜ D(s) = " s3 ₀ 0 s2 # | {z } ˜ S(s) " 1 0 0 1 # | {z } Dhr + " s2 _{s 1 0 0} 0 0 0 s 1 # | {z } ˜ Ψ(s)            4 0 5 1 2 2 0 4 0 4            | {z } Dlr

(|Dhr| = 1 ⇒ D(s)´e reduzida por linha.)

N(s) = ˜Ψ(s)Nlr= " s2 _{s 1 0 0} 0 0 0 s 1 # | {z } ˜ Ψ(s)            0 1 0 0 0 0 −1 −1 0 0            | {z } Nlr

Realiza¸c˜ao no Espa¸co de Estado    ˙x(t) = Aox(t) + Bou(t), y(t) = Cox(t)  0 1

Co = D −1 hrCo0 = " 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 # Ao = Ao0− DlrD −1 hrCo0 =            0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0            | {z } Ao0 −            4 0 5 1 2 2 0 4 0 4            | {z } Dlr " 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 # | {z } D−1 hrCo0 Ao =            −4 1 0 0 0 −5 0 1 −1 0 −2 0 0 −2 0 0 0 0 −4 1 0 0 0 −4 0            Portanto,                                    ˙x(t) =            −4 −4 0 −1 −2 1 0 0 0 0 0 0 −4 −5 −2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0            x(t) +            0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0            u(t), y(t) = " 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 # x(t) ⇒ G(s) = Co(sI − Ao) −₁ Bo =    s (s+1)2_(s+2)2 s (s+2)2 −s (s+2)2 −s (s+2)2    Obs.: | ˜D(s)| = (s3_{+ 4s}2_{+ 5s + 2)(s}2_{+ 4s + 4) = s}5_{+ 8s}4_{+ 25s}3_{+ 38s}2_{+ 28s + 8} |sI − Ao| = s5+ 8s4+ 25s3+ 38s2+ 28s + 8