Anotações MAT3210 (Draft), Prof. Kostiantyn. ula 11. Continuidade. Continua em a. Descontinua em a

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Em Calculo I, definimos a continuidade de uma função de uma variável e vimos como ela dependia do limite de uma função de uma variável. Em particular, uma função de uma variável real é chamada continua em ponto a se

lim

x→af(x) = f(a).

Respectivamente, dizemos que f(x)é continua num intervalo[a, b]se f(x)é continua para todos os pontos neste intervalo.

a f(a)

Continua em a

Descontinua em a

Semelhante podemos definir a noção das funções continuas para funções de duas variáveis.

Definição

Seja f(x, y)uma função de duas variáveis reais e(a, b)um ponto no domínio da f(x, y). Dizemos que f(x, y)é continua no(a, b), se

lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) = f(a, b).

Respectivamente, função f(x, y)é continua numa região B ⊂

D se ele é continua para todos(a, b)em B.

Para verificar que f é continua no ponto(a, b)devemos confir-mar as seguintes três condições:

(a) f(a, b)existe, ou seja(a, b)está no domínio da função f(x, y). (b) O limite lim_{(x,y)→(a,b)} f(x, y)existe.

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As figuras de baixo mostram duas funções f(x, y) = x

2

x2_+y2 e

g(x, y) = x

3

x2_+y2. Função f(x, y)é descontinua no ponto(0, 0),

pois o limite lim(x,y)→(0,0)f(x, y)não existe (veja aula passada), mas

função g(x, y)é continua no ponto(0, 0)definindo g(0, 0) =0 (veja Exercício11.1abaixo). −1 1 −1 1 0.5 1

f

(

x, y

) =

x

x

₊

_y

g

(

x, y

) =

x

x

₊

_y

Mostre que a função

f(x, y) = 3x+2y

x+y+1. é contínuo no ponto(5,−3).

Temos que f(a, b)existe. Isso é verdade porque o domínio da função f consiste naqueles pares or-denados para os quais o denominador é diferente de zero (ou seja, x+y+1 6= 0). O ponto(5,−3)

satisfaz essa condição. Além disso,

f(a, b) = f(5,−3) = 3(5) +2(−3)

5+ (−3) +1 = 15−6

2+1 =3

O limite lim(x,y)→(a,b) f(x, y)pode ser calculado usando as propriedades da Aula 10. Temos:

lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) =(x,y)→(5,−3)lim

3x+2y x+y+1 = lim(x,y)→(5,−3)(3x+2y) lim(x,y)→(5,−3)(x+y+1) = 15−6 5−3+1 =3.

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Suponha que f(x, y)dada como: f(x, y) =

( _x2_−y2

x2_+y2, se (x, y) 6= (0, 0),

0, se(x, y) = (0, 0) .

Como no exemple anterior o limite se(a, b) 6= (0, 0)pode ser calculado como: lim (x,y)→(a,b) f(x, y) = lim(x,y)→(a,b)(x2−y2) lim(x,y)→(a,b)(x2+y2) = a 2_−b2 a2_+b2.

Vamos mostrar que

lim

(x,y)→(0,0)

x2−y2 x2_+y2

não existe. Primeiro, vamos aproximar(0, 0)ao longo do eixo x. Então y = 0 dá f(x, 0) = x2_/x2 ₌

1 para todos x6=0, então

f(x, y) →1 quando (x, y) → (0, 0),

ao longo do eixo x. Agora nos aproximamos ao longo da eixo y. Então f(0, y) = −y

2

y2 = −1 para

todos y6=0, assim

f(x, y) → −1 quando (x, y) → (0, 0),

ao longo da eixo y. Como f tem dois limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes, o limite lim(x,y)→(0,0)x

2_−y2

x2_+y2 não existe. Assim função f(x, y)é continua para todos pontos

(a, b) 6= (0, 0).

Theorem 11.1: Propriedades das funções continuas.

Sejam f(x, y), g(x, y)duas funções continuas em ponto(a, b). Assim: • c

f(x, y) é função continua em ponto(a, b)para qualquer constante c.

• f(x, y) +g(x, y)é função continua em ponto(a, b)(ou seja, a soma das funções contínuas é

con-tínua).

• f(x, y) ·g(x, y)é função continua em ponto(a, b)(o produto de funções contínuas é contínuo). • f(x, y)

g(x, y) é função continua em ponto(a, b), se g(a, b) 6= 0 (o quociente de funções contínuas é

contínuo).

Theorem 11.2: Composição das funções continuas.

Seja g uma função de duas variáveis de um domínio D ⊂ R2_{. Suponha que g seja contínuo em}

al-gum ponto(a, b) ∈ D. Se h é uma função de uma variável real continua em ponto g(a, b), assim a função composta

f(x, y) =h(g(x, y)), é função continua em ponto(a, b)também.

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Mostre que as funções f(x, y) =4x3y2_{e g(x, y) =cos(4x}3_y2_{)são contínuas em todos os pontos.}

Os polinômios g(x) = 4x3_{e h(y) = y}2_{são contínuos em todos os números reais e, portanto, pelo}

produto do teorema das funções contínuas, temos f(x, y) =4x3y2

é contínuo em todos os pontos(x, y)no plano xy. Uma vez que f(x, y) = 4x3y2é contínuo em to-dos os pontos(x, y)no plano xy e g(x) = cos x é contínuo em cada número real x, a continuidade da composição das funções nos diz que

g(x, y) =cos(4x3y2)

é contínuo em todos os pontos(x, y)no plano xy.

Exemplo 11.4

Semelhante se

h(x, y) =senx2+y2.

Temos que x2, y2, x2+y2são funções continuas como produto e soma das funções continuas. Uma vez que f(x, y) = x2+y2é contínuo em todos os pontos(x, y)no plano xy e g(x) = sen x é con-tínuo em cada número real x, a continuidade da composição das funções nos diz que

h(x, y) =g(f(x, y)) =sen(x2+y2), é contínuo em todos os pontos(x, y)no plano xy.

Exercício 11.1 Seja: f(x, y) =    x3 x2_+y2, ge (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

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Quando(a, b) 6= (0, 0), assim a2+b26=0. Usando Propriedades acima, temos que f(x, y) = x

3

x2_+y2 é função continua como

quo-ciente das funções continuas x3e x2+y2_{. Agora considere caso}

(a, b) = (0, 0). Assim lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) =(x,y)→(0,0)lim x·

x2

x2_+y2 =0= f(0, 0).

Pois x→0 e função x

2

x2_+y2 é limitada (veja Aula 10 e teorema

do confronto). Assim f(x, y)é continua em ponto(0, 0)também. Resumindo, a função f(x, y)é continua no todo plano xy.

Exercício 11.2 Seja: f(x, y) = ( _x·(y−1)2 2x2_+3(y−1)2 se(x, y) 6= (0, 1) 0 se(x, y) = (0, 1)

Determine os pontos de continuidade de f .

Solução 11.2

Quando(a, b) 6= (0, 1), assim 2a2+3(b−1)26=0. Usando Pro-priedades acima, temos que f(x, y) = x· (y−1)

2

2x2_+3(y−1)2 é função

continua como quociente das funções continuas x· (y−1)2e 2x2+

3(y−1)2. Agora considere caso(a, b) = (0, 1). Observe que 0≤ (y−1)2≤3(y−1)2≤2x2+3(y−1)2.

Assim a função _2x2(y−1)_+3(y−1)2 2 é limitada. Aplicando o Teorema do

Confronto, temos lim (x,y)→(0,1) x· (y−1)2 2x2_+3(y−1)2 =_{(x,y)→(0,1)}lim x· (y−1)2 2x2_+3(y−1)2 =0= f(0, 1). e f(x, y)é continua no ponto(0, 1).

Resumindo, a função f(x, y)é continua no todo plano xy.

Exercício 11.3

Mostre que função f(x, y) =esen(x2y)_{é função continua para}

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Funções x2, y são funções continuas, assim h(x, y) =x2y é uma função continua (como produto das funções continuas). Observe que a função g1(x) =sen x é uma função continua, assim

˜f(x, y) =g1(h(x, y)) =sen(x2y)

é continua também pelo Teorema acima (como composição das funções h e g1). Além disso g2(x) = exé também função

con-tinua, assim função

f(x, y) =g2(˜f(x, y)) =esen(x

2_y)

é continua, pois é composição das funções continuas ˜f e g2.

Exercício 11.4

Seja:

f(x, y) = x−y

x+y. Determine os pontos de continuidade de f .

Solução 11.4

Observe que o dominio da função f(x, y)é Df = {(x, y) ∈R2| x6= −y}.

Considere qualquer ponto(a, b)no plano tal que a6= −b. Neste caso a função f(x, y)é continua no ponto(a, b)como o quociente das funções continuas x−y e x+y e temos

lim (x,y)→(a,b) x−y x+y = a−b a+b.

Quando(a, b)é ponto tal que a+b = 0, assim o limite f(x, y)

não existe! (moster).

Lembrete:

(1) limx→0sen x_x =1. – Limite fun-damental.

(2) limx→af_g(x)(x) = limx→af

0_(x) g0_(x). – regra l’Hôpital. Exercício 11.5 Seja: f(x, y) =      1−cospx2_+y2 x2_+y2 se (x, y) 6= (0, 0) α se (x, y) = (0, 0)

Determine o valor α∈R de modo que f seja continua no ponto

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Podemos determinar α pela igualdade lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) = f(0, 0) =α,

pois f deve sser continua em(0, 0). Agora, fazendo a substituição t=px2_+y2_{, temos que}

t→0, se e somente se (x, y) → (0, 0). Assim

lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) =(x,y)→(0,0)lim

1−cospx2_+y2 x2_+y2 =lim t→0 1−cos t t2 =lim t→0 sen t

2t Aplicando Regra l’Hôpital

= 1

2, pelo limite fundamental. Ou seja α= 1 2. Exercício 11.6 Seja: f(x, y) =        (x2_−y2_)(x−1)2 (x2_+y2_)[(x−1)2_+(y−1)2_] (x, y) 6= (0, 0),(1, 1) 1 (x, y) = (0, 0) 0 (x, y) = (1, 1)

Determine os pontos de continuidade de f .

Solução 11.6

Primeiro observe que se(a, b) 6= (0, 0),(1, 1)assim f é continua em(a, b)aplicando as propriedades acima.

Se(a, b) = (0, 0)e seguinte limite não existe lim

(x,y)→(0,0)

x2_−y2

(x−1)2

(x2_+y2_{) [(x−1)}2_{+ (y−1)}2_]

Assim f(x, y)é descontinua no ponto(0, 0). Por outro lado

lim

(x,y)→(1,1)

x2−y2

(x−1)2

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Assim f(x, y)é continua no ponto(1, 1).

Resumindo f é continua em todos os pontos do plano xy ex-ceto o ponto(0, 0).

Exercício 11.7: (Trabalho p/ casa)

Mostre que f(x, y) =    yx2+xy2 x2_+y2 , ge (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

é continua em todo plano xy.

Exercício 11.8: (Trabalho p/ casa)

Mostre que

f(x, y) =cos(ln(xy)). é continua no seu domínio.

Exercício 11.9: (Trabalho p/ casa)

Seja: f(x, y) =    x2+x2y+y2 x2_+y2 se (x, y) 6= (0, 0) α se (x, y) = (0, 0)

Determine α de modo que f seja continua em(0, 0).