Máximo Matemática 10 Ano Caderno de Fichas

Texto

(1)
(2)

·

-~

-

..

----

°"~---Maria Augusta u11s Guerreiro

~re.,.

Neves Antomo Pinto Srlva

Caderno

de Fichas

'

Porto

·~

Ed\tora

(3)

Apresentação

Caro estudante

[ste Caderno de Fichas foi pensado para o ajudar

a

reforçar

a

aprendizagem. consolidar os conhecimentos e

a

preparar para os testes de avaliação. [ste instrumento de trabalho. apresenta-lhe:

• Fichas para praticar: conjunto de questões para adquirir destrezas em cálculo e resolução de problemas

• Fichas de teste: conjunto de questões-tipo para rever conteúdos relevantes na preparação para os testes de avaliação.

[stamos convictos que será mais um recurso a contribuir para que atinja o seu Máximo.

Ficha para praticar

Ficha do tosto

Os autores

Número do ficho/teste poro poder 1dcnt1f1cj-l;:i no mt:1nuJl. Assim, podcr,j s.Jbcr qu\Jndo pode rc.Jbz5-l.J.

Índice

Domínio 1

Lógica e teoria dos conjuntos

lntroducão

à

lógica.bivalente Ficha p.:1r.:1prôlbcar1 4 F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr2 6 F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr3 8 Ficha do tosto 1 to Condições e conjuntos F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr4 12 F1ch.:> p.:1r.1 pr;:ibc.Jr5 14 F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr6 16 Ficha do tosto 2 t8 Domínio2 Álgebra Radicais F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 7 20 F1ch.:> p;:ira pr.Jt1c.:Jr 8 22 Ficha de tosto 3 24

t!::

Poténcias de expoente

racional

F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 9 26 F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 10 28 Ficha de tosto' 30

tl

Operações com polinómios F1ch.:> p;:ira pr.Jt1c.:Jr 11 32 F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 12 34 Ficha de tosto 5 36

tJ

Fatorizacão de polinómi.os. Resolução de equações e inequações F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 13 38 F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 14 40 Ficha de tosto 6 42 Domínio3

Geometria analítica no plano

Referencial ortonormado. Distâncias no plano F1chJ p.Jr.J pr.:>t1cilr 15 44 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 16 46 Ficha de tosto 7 48 Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 17 50 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 18 52 Ficha de tosto 8 54 Vetores no plano F1chJ p.Jr.J pr.:>t1cilr 19 56 F1chJ p.Jr.J pr.:>t1cilr 20 58 Ficha de tosto 9 60 Operações com coordenadas de vetores

F1chJ pJrJ prJt1cilr 21 62 F1chJ pJril prill1Cilr 22 6' Ficha de tosto 10 66 Equação de uma reta no plano F1chJ pJr.J pr.:>t1cilr 23 68 F1chJ pJr.J pr.:>t1cilr 24 70 Ficha de tosto 11

n

Domínio4

Geometria analítica no espaço

Referenciais cartesianos do espaço. Conjuntos de pontos do espaço F1chil p.ilr..1pr;:ibcJr25 74 Ficho poro probcor 26 76 Ficha de tosto 12 78 Cálculo vetorial no espaço F1chil p.ilr..1pr;:ibcJr27 80 Ficho poro probcor 28 82 Ficha de tosto 13 84 Domínios Funções Generalidades sobre funções F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 29 86 F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 30 88 Fichado toste 1' 90 Transformações do gráfico de uma função

F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 31 92 F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 32 9' Ficha do toste 15 96 Monotonia e extremos de uma função F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 33 98 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 34 100 Ficha do toste 16 t 02 Função quadrática. Função módulo

F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 35 1

º'

F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 36 106

Ficha do toste 17 t 08 Função raiz quadrada. Função raiz cúbica. Operações com funções

F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 37 110 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 38 112 Fichadotoste18 t14 Domínio6 Estatística Somatórios. Média. Desvio-padrão. Percentis

F1chJ pJr.J pr.:>t1cilr 39 116 F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 40 118 Ficha do toste 19 t 20

(4)

L

ó

g

i

c

• e te

o

rl•

do

1 conjuntos

4

ara praticar

1

µ:

0,2'<0,I ,, : (- 1.21' ..

o

r:( 21">0

s:

\.

38<6

1.1. Indique O\alor lógico de cada uma das proposições.

1.2. 1Jlili1,ando duJ\ da' 1lro1Xl'.1çõe' dadas e oshnbolo

<=>

,

escl'e\a uma proposição:

a)

\erdadcira (indique iodasª' re-110s1as 110ssfl eis}.

C:on;iderc a> propo,lçõe' 11, /1,

e

e 1/:

": O; triângulo> i,6,celc' também

,;io

11inngulos equil:l1eros. /J: <iualquc1· rct511gulo

é,

rnmhém, um <iuadrado.

e: 1 lá a1>cna;, u 111 nú111cro pai que

é

pl'imo.

d: O quadr,1do de qualquer né1111cm real

é

um número J'eal posilivo.

&creva a negação de codn umn dns pmposiçf>es dadas e, em seguida, indique o seu valor lógico, bem

como o d" >u•l negação.

Considere"' propo>lçõe' ,cguime-.

/J: li é um numero primo

r: i2 n<ioé111úh1plode IG

q:

\.

é um número irracional

s: 12 édhlsorde 4

Tradw.a >imbolicamcnw c Indique o 1 alor lógico de cada uma das proposições.

3.1. 12 11.ioédhbordc 1.

3.2. l\.ioé1i.'rdJdeque li 1\àoéumnumeroprimo.

3.3. li é um numero primo e 72 nilo é muh1plo de 16.

3.4.

vi2i

é

um numero lrraclonnl ou 11 não é um número primo.

3.5. 12 nao

é

dh i\Or dc 1 ou 72

é

múhlJllo de 16.

3.6. N:ioó1crdndeque 72 érnúlilplode 16 ou 12 nãoédivisorde 4.

~

.

r

f

t

1

i

m

lntroducao a logica bivalente

Indique o' alor lógico de cada uma da; (>rOp<>!>içõe;. 4.1. 18 é um número múltiplo de 8 ou de 9.

4.2. 13 nJoéumnúmeroprimo. O.

\.2<

1

.

~

1

5 e \.2>

1,414

4.4. 49 é um número quadrado perfeito e par.

4.5. 121 éumcuboperfeitoou 64 éumcuboperfoi10.

4.6. 7 édh isorde 343 e :;12 é múltiplo de 8.

Considere as proposições:

":

v3

n.io

é

um número racional

"'

v~>0.7

!ir.

e

:

(

~

)'

( - 1 5.1. indique o valor lógico de cada uma das pro1>o>içôc>.

d:

rr+

1<3,14+1

5.2. l'raduza em linguagem natural, ;em uliliwr a i>.lla\'ra "1h10: cada urna das pro1>0;.içôes e indique o seu valor lógico.

a)

_,,

e)

-/JVd

e)

-a/\ -e

1

)

/JV

-

r

Considere as proposições p e q tais que 11 é fal><l e q é \i.'rdadclra. Indique o 1 alor lógico de cada uma das prop<>!>i~

6.1. ,, /\

q

6.2. fJ V

q

6.3. - 1J/\q

6.5. - (- 11)/\-q

(5)

m

Lóg

i

ca e teoria dos conjuntos

ara praticar 2

Considere as proposições: /1: O mês de maio tem 31 dias. r: Vasco da (iama descobriu o 13rasil.

q: Dame escreveu Os Lusfadas.

s:

Um ano civil tem 12 meses. Traduta em linguagem natural cada uma das proposições.

1.1. - p/\q 1.2. flV q 1.3. fJ

=>

q

1.4.

r

~ q 1.5. q ~

-s

1.6.

-q

=> -s

Traduw para linguagem simbólica cada uma das proposições.

2.1. Se

a>O,

emão

b=3.

2.2. Se a+/1= 1, então e;;;

o.

2.3. Se a= 3 ou a= 1 , então b >O .

2.4. Se a<3, emão b# 1 e c#O.

2.5.

a=IO

ese

b<c,

então 11<2.

2.6.

a

1' 1 ou se b

=

1 , então e> 1 O.

2.7. Se a<5 e a>3, então a=4.

2.8. a= 1 ou a 1' 3 e se /J = 1 , e mão a= 4 ou a= 1 O .

2.9. a= -3 e a= 3 se e somente se a'= 9.

2.10. a=- 1 ou a= 1 seesomemese a'= 1.

2.11. 11> 1 quando li'<- 1.

2.12. 11'>- I amenos que 11<0.

Considere as proposições 11 e q tais que p é verdadeira e q é falsa. Indique o valor lógico de cada uma das proposições.

3.1. p/\-q 3.2. -pvq 3.3. fJ

=> -q

3.4.

-

p

=>

q

3.5.

q

~

-q

3.6.

-p

~

q

l

l

.

~ ;;

W lntroduçao à lógica bivalente

Determine o valor lógico de cada uma das proposições.

4.1. 4'=8 ou 4 +4 =8

4.2.

o>

1 e

Vi

é

um número irracional.

4.3. Se n +

n

=

n', emão

ir x

n

=li'

.

4.4. Se

v'3

>Vi, então

-

v'3

<-Vi.

4.5. Se

n;;;

4 , emão 3" >\IS.

4.6. 10- 2=8 se e somente se 3"=9.

4.7. 3l+4':5i seeso111enlese 3+4~5. Vista sobre o Rossio, lJshoa

4.8. Lisboa

é a cap

ital de l'onugal ou Paris

é a cap

ital de Espanha.

4.9. Se a neve é branca, então Pitágoras era chinês.

4.10. Camões escreveu f\ Odisseia se e somente se Madrid é a capital de Itália.

Determine, em cada um dos casos, o valor lógico da proposição p sabendo que:

5.1. q

é verdadeira e

p /\ q

é fa

lsa 5.2. q

é

falsa e pvq

é fa

lsa 5.3. q

é

falsa e p

=>

q

é fa

lsa 5.4. q

é

falsa e p

=>

q

é verdadeira

5.5. q ''erdadeira e p ~ q

é

falsa 5.6. q

é

falsa e q ~ p

é verdadeira

Helativarneme a duas proposições 11 e q sabe-se que 11 ~ q

é

falsa e -11 V q

é verdadeira.

Qual

é o valor

lógico das proposições 11 e q

·r

Considere as proposições p e q tais que:

p: 4'>8 e

q:

:!.<.!.

6 3

(6)

m

Lóg

ica e teoria dos conjuntos

8

ara praticar 3

Determine o valor lógico de cada uma das proposições.

1.1. -(31=6

==} 3X3=9)

1.2. -(Vi= 1 se e somente se 1'=2)

1.3. 4";<12 ==} (5X0=51\3°=3)

1.4. 2';<8 <::::} (2+2=41\21=4)

Construa uma tabela de verdade para cada uma das proposições.

2.1. -(pl\-q) 2.2. -(p 1\ q) V -(q <::::} fJ)

2.4. 11 ==} q <::::} l(-qvr)l\pj

Dadas as proposições fJ, q e

r ta

is que p

é

verdadeira, q é falsa e r

é

verdadeira, determine o valor lógico de cada uma das proposições.

3.1. (pl\-q)V r 3.2. -pv(ql\-r)

3.3. -(pv-q)l\(-pv r) 3.4. -(p 1\ q) <::::} -(p V - r)

3.5. (pvq ==} r) ==} qv-r

Considere as proposições p e q tais que fJ ==} q

é

uma proposição verdadeira.

Determine o valor lógico de cada uma das proposições.

4.1. pV r ==} qV r 4.2. fJ 1\ r ==} q 1\ r

'

..

l

.

~ ;;

W lntroduçao à lógica bivalente

O Minóquio

é

um "primo" do célebre Pinóquio. Como é um rapaz

mais moderado apenas mente às quintas-Feiras, sextas-feiras e

sábados e fala a verdade nos outros dias da semana.

Em qual dos dias da semana não é possível que o Minóquio faça a seguime afirmação'!

5.1. "Se n1enli onte1n, então rnentirei de novo a111anhã.''

5.2. "~1enti onten1 se e son1ente se n1enlirei an1anhã:'

Considere duas proposições p e q.

A seguinte expressão define uma proposição. Simplifique-a e indique, se possível, o seu valor lógico. -[-pl\(pV-q)]V-q

Considere a proposição

[a

==} (111\ - e)] <::::}

==} ( -

a

V e)) .

7.1. Construa a tabela de verdade e indique, se possível, o seu valor lógico.

7.2. Veriílque se a l>J'oposição dada

é

equivalente à proposição -

a

.

Justifique a sua resposta.

Considere duas proposições p e q. Sabe-se que:

• a proposição contrarrecfproca de p ==} q

é

a proposição - q ==} - fJ; • a pro1>osição recf11roca de fJ ==} q

é

a proposição q ==} p;

, a pro1>osição contrária ou Inversa de

p

==}

q é a

proposição -

p

==}

-q

.

Detennine e sin1plifique:

8.1. a contrarrecfproca da contrarrecfproca de fJ ==}

q;

8.2. a contrarrecfproca da recíproca de p ==} q; 8.3. a contrarrecfproca da inversa de fJ ==}

q;

8.4. a contrarrecfproca de fJ ==}

-q;

8.5. a contrarrecfproca de - fJ ==}

q;

8.6. a recíproca da contrarrecíproca de p ==} q; 8.7. a contrária da contrarrecfproca de

-p

~

-q.

(7)

Ili

Lógica e teoria dos conjuntos

Ficha de teste 1

li

Das seguintes proposições, apenas uma delas

é

falsa. Identifique-a. (A) Se a Lua não

é

um satélite da Terra, então a Terra não

é

um planeta.

{B)

<>

núrnero

n

é un1 nl11nero

racional se e son1ente se -

2 é urn

nlunero natural.

(e)

O cubo não

é

um poliedro regular ou os ângulos agudos de um Lriângulo retângulo são

co1nple1nentar

es.

(o)

O quadrado de qualquer número real

é

um número positivo e A

l'

ortuguesa é o

hino de l'onugal.

EJ

A seguir apresentam-se quatro equivalências e apenas uma delas

é

falsa. ldenLifique-a.

(A)

(p

=>

q)

~

(-q

=>

-p)

(e)

(p

=>

q) ~ (-fJ

=>

-q)

EI

Considere a proposição seguinte:

(B)

(fJ

=>

q) ~ -(p /\ -q)

(o)

(q

=> p)

~ (p v-q)

Se amanhã estiver sol enLão vou

à

praia. A negação da proposição dada é:

(A) Se amanhã não estiver sol, então não vou

à

praia.

(B) Amanhã não vai esLar sol ou vou

à

praia.

(e)

Amanhã vai estar sol e não vou à praia.

(D)

Se amanhã estiver sol, então não vou

à

praia.

a

Considere as proposições fJ e

q.

Quando se afirma que fJ

=>

q, é verdade

que:

(A) q

é

condição suficienle para p. (B) fJ

é

condição necessária para

q.

(e)

q

não é condição necessária 1>ara 11.

(o)

fJ

é

condição suficiente para

q.

EI

Das quatro proposições seguintes, apenas uma não

é

equivalente

à

proposição

a.

Identifique-a.

(A

){

a

/\-/J)

V

(a/\ b)

(B

){

b

=>

a)

V

b

(e)

(a

v

/J) /\(a

v

-

b)

(o

)(

-

a

=>

11) /\ (/J

=>

a)

-

10 10

.!

l

.

W lntroduçao à lógica bivalente

Ficha de teste 1

IJ

Considere as proposições p e q seguintes: fJ:

o

português

é

rico. q:

o

português é íeli1_

Tradu1,a para linguagem simbólica cada uma das proposições.

6.1. O português não

é

rico ou não

é

felit.

6.2. O português

é

rico se e somente se não

é

felit.

6.3. Se o português não

é

rico ou

é

íeliz, então é rico.

li

C ;onstrua a tabela de verdade da proposição:

li'=>

(-qv r)J /\[qv(p ~ -r)J

IJ

Considere as proposições

p, q, r

e t tais que fJ e

q

são verdadeirns e

r e 1 são

íalsas. Determine o valor lógico de cada uma das proposições.

8.1. (p/\-q)Vr

8.2.

11

=>

-(r /\

1)

8.3.

-((r =>

/1) V (1

=>

q))

8.4.

(q

=>

1)

=>

rV p

IJI

Considere as proposições t e s; /: 0,3'=0,9 s: n<3,14

Determine o valor lógico de cada uma das pro1>osições.

9.1.

(-

1/\s

)v(

1/\-s

)

9.2.

IIiJ

Considere a proposição [a/\ ( -

a V b)j

=> a

.

Prove, sem recorrer a tabelas de verdade, que a prnposição

é

verdadeira.

Ili

Considere as proposições b, p e s: /J: O Sport Lisboa e Benfica ganha a

1

:

Liga.

fJ: O Futebol Clube do !'orlo ganha a 1.• Liga. s: O Sporting Clube de Portugal ganha a I.' Liga.

Admitindo que

-(-b

v(-

p

=>

s))

é

uma proposição verdadeira, determine,

ju

sli

íl

cando, q

u

al

das

eq

uip

as ganha a

prim

ei

r

a l

i

ga,

-

"

(l 1)

"

li (4 1) lG (1 1~

(8)

m

Lógica

e

teoria do

s

conjuntos

ara praticar

4

Hesolva, em Z e em O, cada uma das equações.

1.1.

-

3i'+2x=

-

I

1.3. 2-i'=O

Escreva em linguagem simbólica e indique o seu valor lógico. 2.1. Exisle pelo 1ne11os urn nlunero natural 1ne11orque

·

v2.

2.2. ·1bdo o nún1ero racional

é

un1 nú111ero i11teiro.

2.3. Existe pelo menos um número real diíerenle dele próprio.

2.4. ·1bdos os números ímpares são primos.

2.5. l lá pelo menos um número racional maior que

\/3.

2.6. Existe pelo menos um n(unero real não negativo cujo dobro é não positivo.

2.7. Qualquer n(unero real positivo

é

menor que o seu cubo.

2.8. ·1bdos

os

núrneros naturais são não negativos.

Considere as proposições:

a: 'V 11 E IN, 211 + 1 é um número par /;: 'VxEIR, i"+3>0

e:

'VxEIR,

x+

1

=x

d: 3xEO: X'-3=0 e: 3xEZ: (x+3)(2x- l)=O

3.1. Tradu1,a em linguagem natural cada uma das proposições dadas.

3.2. Indique o valor lógico de cada uma das proposições.

12

'

~

l

.

~ ;; UI Condiç:oes e conjuntos

Considere, em IR, as condições:

x'=i',

x"'x, xEIN, xEIR, x~IR, xE0, x~0 e x~Z

4.1. Indique as que são universais, as que são possíveis e as que são impossíveis.

4.2. Indique se é possível, impossível ou universal cada uma das condições.

a)

i'=.r

/\x~F!

e)

xEIR/\x~Z

e)

x"'xVxEIR

b)

xE0V

i'=i'

d)

x~0V xEIN

1)

X"'X/\xEIN

Escreva aíirmações equivalentes

à

negação de cada urna das proposições, ulilitando as segundas leis de De Morgan.

5.1. Existe pelo menos um português que não trabalha.

5.2. Todos os portugueses do Norte de Portugal gostam de trabalhar. 5.3. Nem Lodos os portugueses são ricos.

5.4. Qualquer português gosta de gotar férias.

Considere as condições • ..=' + 1 >O,

i'

>O,

i'

(O e

.t'

<O.

6.1. Indique se é universal, impossível ou possível, em

F!,

cada uma das condições anteriores.

6.2. Indique se é universal, impossível ou possível, em

F!,

cada uma das condições seguimes.

a)

i'+

1 >O

/\.t'.;;;o

e)

i'>

O

/\i'+

1 >O

Considere, em IR, as condições:

aÇt):

i'

-

1

=O

b)

.

.-'<OV . .-'>O

d) .r<o/\.r+ 1 >o

/;~~):x-l>O

c(x):

x

-

1 <O

Indique se, em

F!, é

universal, possível não universal ou impossível cada uma das condições.

7.1. a(x) /\ ú(x) 7.2. a(x) /\ c(x)

7.3. a (x) V ú(x) V c(x) 7.4 . ú(x) v c(x)

(9)

L

ó

gi

ca e

t

e

or

ia

do

s co

n

ju

nt

os

Considere o conjumo A

= {

2, 3, 4 , 5, 7 , 9, 11 , 12} e sejam as condições:

/J(

.

t):

x

é

um número primo. q(~):

x

é

um número divisor de 12.

1.1. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições.

a)

V'xE A, q(x)

b)

3xE A: p(x)

1.2. Escreva em linguagem natural cada uma das proposições e indique, justificando, o seu valor lógico.

a)

3xE A: q(x)

b)

V' xE A, p(x)

C:onsidereoconjumo IJ={-1, 1, 3, 9, 16, 19, 25} e

as

condições:

/J(

.

t):

x

não

é um

número quadrado perfeito.

q(.\'):

x

n

ão

é un'I

nl

1111

ero

prüno.

rÇt):

x

é

um número real menor que 30 .

2.1. Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições.

a)

V'xE IJ, r(x)

b)

3xE IJ: p(x)

e)

V'xE IJ, q(x)

2.2. Relativamente a cada uma das condições, indique se

é p

ossível não universal, impossível ou

universal em IJ.

p(x), q(x), r(x), -p(x), -q(x)

e

-r(x)

Escreva a negação de cada uma das proposições sem utilitar o símbolo - .

3.1. V'xEIR',-2x<O

=> x>O

3.2. V'xEZ

'X;tXl\x>O

3.3. V'xEIR, x- 1 ;tOV.t"(O ~

'

l

.

~ ;; lfl Condiç:oes e conjuntos

Justifique que as afirmações seguintes são falsas.

4.1. Todos os números pl'imos são ím1>ares.

4.2. Todos os triângulos são isósceles.

4.3. Nem todos os números quadrados perfeitos formados por dois algarismos têm os algarismos

distintos.

4.4. Qualquer quadrilátero que tenha os quatro lados iguais também tem

os

quatro ângulos iguais.

4.5. Todo o número natural que

é

divisor de 24

é

divisor de 8 .

Considere as proposições:

a:

V'xEIR, X(2

=> X(4

b: V'xEFl,

x'>4 =>

x>2

5.1. ldemifique o valor lógico de cada uma das pro1>osições.

5.2. Escreva a negação de cada uma das proposições sem utilizar o símbolo - .

Considere as proposições:

e

: V'xEIN, lxl>4

=>

x<2

d: V'xEZ,

x

'+

1

=O=>

.r- IO(O

6.1. Escreva a negação de cada uma das proposições sem utilizar o símbolo - .

6.2. Indique o valor lógico da negação de cada uma das pro1>osições obtidas em 6.1 ..

Considere as proposições:

p: 311

E

IN: 11

é

múltiplo de 15 /\ 11 não

é

múltiplo de 5 .

q: V'

x

E

IR,

x

é

uma dílirna infinita não periódica

=> x

é

um número racional.

7.1. Escreva a negação de cada urna das proposições anteriores.

(10)

L

ógica e teoria

d

os conjuntos

16

P.r.aticar 6

C:on;idere

o;

to111u1110-=

J\;{.tEZ: 2(A<51 11-{xElll: 2.1- 13<01 C:;{l, 2, 3, 1. G, 8, 12, 211

0;{

-3. -

2.

-

1

,

o.

1, 2,

31

1.1.

Hcpre>elllc

º'

conjumo'

e

e /) em compreensão.

1.2.

Heprc>entc

e.ida

um do' conjumo-; em ei.1ensão.

•)

,

,

e)

A f'l /J

e)

C\

IJ

C:o

n

,idcre o; co

nj

umo"

1/-{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, IR, 20f J\;{AEll: 42 3.1>0) /J;{.tEI/:

x

épriinot

C:-lxEI/: ·'

édivl\ordc

201 /J;lxEI/: (A 1)(2., 10)(., 12)-0I

b)

/J

d)

"u /)

1)

An/Jnc:no

2.1. H.eprc!-ic11tc c1n C.\ten...tio O'-! conjunto°' J\, IJ, e e D.

2.2.

H.cprc~1ue c1n CÃtcn~o

l"ada un1 do, conjuntos.

•) Ã

b)

une:

e)

li /)

d)

/1

(

Ãuê)

C:on;idere o

conjumo

1;

{

I

,

2, 3

Oe1ennine, ju;LiOcJndo,

o

,ator lógico de cada uma das J>l'OJX>Sições.

3.1. 3xEA: A .. A 6;0 3.2. 'lfAEA,

x'

1 (0 3.4. 3xEA: x+2)5

.

r

f

t

1

i

&ta Cond1coes e conjuntos

Considere as cond

i

ções definidas em IN:

a(11): 11

é

um

número primo.

c(11): 11

é um número múlúplo de

6.

b(11): 11

éu

mnúmerudhl\Ordc

21.

d(t1): 11

é

um nunwro inferior a

15

.

Represente em ei.tensão cada um d0> conjumo;.

4.1.

,\;

{11: a(11l /\ d(11ll

4.2. IJ; { 11: a(t1) /\ b(11)}

4.3. (

;(11:

b(t1)A-d(11JI

4.4. IJ; { 11 : - a(11) /\ d(11)}

Considere os seguintes conjuntos:

/J:{AEIR: J- 2;A

)2x}

Defi

n

o, sob a forma de i

nt

ervalo ou

de

reunião de illlervalos dl\jumos,

~cguln1cs

s

u

bco

njun

ms

de

IR.

5.1

.

/J

5

.

2.

e:

5.3.

ii

5.4. ;\ \ /J

5

.

5

.

f:u

IJ

lle

1

>rese111e em ex

t

ensão cada um dos conjunto;.

A-{AEIR: A;(-1)', 11EINI

ll~{.,EIN,: ;:'; 13.\-22} c~(.,e{o, 1, 2. 31:

x'-x:o}

Escre\ a o comrarrecíproco de cada uma da; propo;içôt.':>.

7.1.

Se

nes1e ª'ião existe algum pas.ageiro dOt'nte, cnt<io

1odos os passageiros ficarão doentes.

7.2.

Qualquer pessoa presente nesta >ala que tenha um

livro sabe ler.

Demons1re

1>or

comrarreclproco que:

5.6.

ii

\"

Se

/1

e

111

são

números

naturais para o; quai;

11

+

111

ê

1>ar,

cn1:10

11

e

111 t~m

a mesma paridade.

(11)

Lógica e teoria dos conjuntos

Ficha de teste 2

li

Qual das proposições seguintes não é verdadeira'!

(A)

3xE Z:

~=

-

4

(B)

3xE Z: i"(O

X ~

(e)

'o'xEIR, 2>-~ (D)'o'11EIN, (- 1Y'(1

IJ

Considere os conjuntos:

P={11EIN: 211-3< 14 /\11

é

ímpar} Q={xEZ: x=(- 1)"+11/\11EIN/\11<5} Qual das opções seguimes corresponde ao conjunto P \

CJ

'!

(A)

{3,

5}

(c)lo, 2}

(B){I, 3, 5, 7}

(D){l,7}

EI

Considere o conjunto M={xEIR: - 1 <x-2(3}.

Em qual das opções seguintes está represemado o conjunto

M

'!

(A)

)1, 5)

(e)

[

1 , 5(

(B) )-oo, l)U)5, +oo(

(o)

J-oo, l[U[5, +oo[

a

A negação da proposição 3x E Z:

x

>- 2 /\

x'

< 4 é:

(A) 'o'xE

z.

X(- 2 /\i")4 (B) 'o'xE

z'

X(-2

=>

x

'

<4

(e)

'o'xEZ, X)- 2Vi"(4 (D)'o'xEZ, x>-2

=>

x') 4

EI

Considere os conjuntos:

E={I, 3, 4, 5} F={3, 4, 6, 8} (;={O, 4, 6, 10}

Qual das seguintes afirmações é ''erdadeira'I

(A) E\G={O, 6, IO}

(c)(i;uf')nc;={4, 6} (B) (Pnc;)UE={4}

(o)

c;\F={o, 3, 8, 10}

-

10 10 10 10 10 W Condiç:oes e conjuntos

Ficha de teste 2

a

lltili1.e um contraexemplo para mostrar que é falsa cada uma das proposições.

6.1. 'o'11EIN,

.!.

< 1 li

6.2. 'o'xEIR\{O}.-(x 1 X

6.3. 3aEIN:

-

a'

é

um número real 1>ositivo.

li

Sejam A e IJ dois subconjuntos do universo C/ = { 1 , 2, 3 , 4 , 5,

6}

tais que:

AU/J={l,2,3,4} f\()/J={3} A\IJ={l,2}

Defina em extensão cada um dos conjuntos:

7.1. A 7.2. /J 7.3. IJ \A

IJ

Considere os conjuntos A e IJ tais que

• O número de elementos do conjumo A é 7 . • O número de elementos do conjumo /J é 5 . • O número de elementos do conjumo A U /J é 1 O.

Indique, justificando, qual o númern de elementos do conjunto (A \ ll) U(/J \A).

IJ

Demonstre, por contrarrecfproco, que se 711+9 é um número natural par, então 11 é um número natural ímpar.

lliJ

Escreva em linguagem natural a negação de cada uma das proposições.

10.1. Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem escrever.

10.2. Qualquer que seja a pessoa,

é

necessário ser pobre para ser felit.

m

Sendo A= { 1 , 2, 3}. determine, justiíicando, o valorlógico de cada uma das proposições.

11.1. -(3xEA: x'+3x+ 1 =O) 11.2. -('o'xEA, x'+x=G)

-

3G (1 1~ 3G (1 1~ 11 11 3G (1 1~

(12)

Álg

_

e

_

IN'll

_ _ _ _ _ _ _ _

~

---~---

W

Radic•i•

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

F_

P.JLaticar

7

lltili1A111do um do. ohnbolo'

<

ou

>

,

com1>le1e de modo a obter proposições' erdadeira;.

1.1.

-3<

'\

3 =

(

3)'

!

\'3

1

1.2.

-

11<

-

2 =

(-

l

i

)' ... (-

2

)'

1.3.

'\lo<I =I\

iõ)

•• 11 1.4.

-2<-:;=-2

1 1

( r (

1

···-:;

1

r

1.5.

-

11<víi =

(-

11

1"

'

".

\8

u

.

(

i

)

J

<

(

~

)'

=

[(

i

) '] '. ...

J

~

)

'J.

Calcule o

1

alor de

cadJ

uma da' expre-;-;úes.

Apre.ente o 1alor

1><'tlldo

na

foi

ma mal, <;lmpliílcada

possf\el.

2.1. 2.2.

7

2.3.

\':i

-

~·w

\

õ

' \164+c;'+H,t<1+b10 '\ ..

2.4,

\Y\7243

+

\~

/

~

-

V27

-

\'Í-27

6 2

Si

m1

>l

iíl

q

u

c cad:i um

do'

rad

i

cais.

3.1.

vm

3.2.

V25õõ

3.3. \

-

- &l 3.4.

\!3

'+

3'

+

3'

3.5.

\'32

3.6. \. 11''

li.

11>0

e b>O

-

A"

3.8.

\•&la'.

11>0 3.7. \ , , p<O

y

3.9. \:'2.i3tl1 b11,

">o

e

/»O 3.10.

\,

-

128a

1'

b

..

e

'-

; 11 >O, b>O e c>O

KC<lut.a ao nwomo (ndicc cada um d°'

1>are-

de radicais.

4.1. '\7c\ 1 4.2.

\Y2

e

V3

4.3.

\!lii

e

\''Í

4.4.

Va

e

\Jãi,

a>O

4.5.

~e

\Y2i;.

ti> o

4.6.

~

e \

ffr

;j!'

a>O

20

~

.

r

f

t

1

i

lleduLa ao mesmo índice e escreva por ordem cre;ccntc o; radicai' ob1ido,

,

5.1.

~

,

5, "\!

'

2

e

\.3

Calcule e simplifique. Apresente o resultado na forma

t1'\

'

b

(11EN\l11 e 11,

11 E

O

).

6.1.

XZx\J

6.2 •

\

'J

'\

'J

6.3.

'\ 9-

2"\

õi

+

~

\1

r

Ji

6.4. ~

:f

\"Õ:~

q

6.5.

\'3:\'.'2

6.6.

(

,

fi

)

: ( '\:'ÍÍ) •

~8

VI

Efe1ue as seg

u

in

t

es

operações,

s

implifi

cando o reoultado o

m

al'

Pº''''cl.

Simplifique.

8.1.

\

'

3\':Í

8.3.

\t

1 11' \,;; .11>0 2 8.5.

~.a>O

7.2.

v2o

w.

+

2v?i

.!. v'iiõ

2 7.4. 7.6. 8.4. ( \

~

\!•

2

)

'

8.6.

(Vt1'

~

';:"

)',

n

>o

21

(13)

ara praticar

8

11.acionaliLc

°"

clcnominaclnre' ele cada uma das frações.

1.1.

3

1.3. 2

~'J

1.5.

v'7

.-

\

1

3

v7

\

1

1.2.

2=,

,

x>O

...; X' 1.4. li 5-\

3

1.6.

\J

2\

2

-

\5

Heso

l

\a, em

FI

, cada uma dn' equnçfles. Apresen1e as soluções com denominador raciona

l

.

2.1. vG.1 2=0 2.2. VJx=l+2x

2.3. ãVz.1+x=3 2.4. VJx=Vz(l - x)

Hocionallze

o;

dcnomlnndo

1

es

de

cadn

umn

elas frações.

3.1. 1

-.:'3

-.:12

3.3. 3.5. 2

\'.2

+

1

G

\'.J

-

1

Ju;tifique

a>

""'fluintc, igualdade ...

4.1. \ 29 12\ 5=2\

3

-

3

3.2. 3.4. 3.6.

\'17

ª

\YV;

11>0

e y>O

+

'

y

2

_

_;a, b, e,

tl')O a\ b+c\"tl 2 4.2. \ 52- 16\ 3=4VJ- 2

-~

.

r

f

t

1

i

Determine o' a

l

or e>.ato da área de um tri1lngulo equilátero cujo

1icrí111etro

é

:

6.1. \ 180

unidades

6.2.

\'.IB

unidades

Mo<;tre que:

----7.1. \ l:i-20\ 5- \ 84- 32\ 5=-3

7.2. \ 3i- 20\ 3-\ 61- 28\íJ=- 2

7.3. \ 72- 32\ 2- V114- 80V2=3Vz

Na ílgura está representado

um

quadrado

[AIJC:D]

de

l

ado igua

l

a

-.:Í2

uni

dades.

Mostre

q

u

e o vo

lum

e

do

sólido

gerado pe

l

o

tra1i6do

[

J

HJO/

i

]

quando dá

7\'IÍiJt

um

vo

lt

a com

pl

eta em

torno da

r

eta

AIJ

é

2 4

unld•tdcs

de vol

um

e.

Na figura esi.1

representada

uma esíera

i1&rita mun

cubo e um<l l..,íera

circunscrita a

e~

mesmo cubo.

Admita que a aresta do cubo mede a w1idades

.

Mo<;tre que o ,aJor exato do quociente entre o \Olume da c;íera

circunscrita ao cubo e O\olwne

da

esfera il&riw no cubo é 3\'3

Um octaedro regular está inscrito num cubo

tal

como a figum ao lado

'ugere

.

Cada um dos

1

értices do octaedro é o cenlJ'O de uma da; face\ do cubo.

Sabe

-

se que a área de uma face do cubo mede

b

cm

'

.

(14)

24

Álgebra

Ficha de teste 3

li

Apenas uma das seguintes proposições é falsa. ldemifique-a.

(A)

1

_!

\'14.;:M

x\'14-"M

2

!x(~)'

(B)

_3

----=--

\/3

v3

- 3

IJ

Considere o n(unero A representado por

~~

\jf,

com

x

>O e

y

>O.

Qual das seguintes opções corresponde ao inverso de A

·r

(A)

~

y

(e)

wy

X

(B)

Wy

X

(o)

·

efX;!

y

EI

ração

--ª-,

a>

O e 11 E IN, com denominador racional

é

igual a:

~

(A)

'\Íii

(a)

W

(e)

'\Y'iTi

(o)

a

a

A expressão 1 -

\l2+ã

1

'\l'i=ã'

aEIN, é iguala:

Vi+ã

-

V'i"=ã

2+a+ 2-a

(A)

\l2+ã

(B)

'\l'2=ã

(e)

'\l'2=ã

a

(o)

v'2+ã

a

EI

Considere as quatro afirmações seguintes, onde

a

e /J são nlimeros reais.

1

W=a

li

w+Vil=V(a+bl'

Ili

WxW=V(axl1f

IV

W: Vil=Vi.ã7Jl,

/J;tO

Helalivameme a estas afirmações, podemos di1,er que:

(A)

Só lll é verdadeira.

(B)

Apenas li é falsa.

(e) Apenas

Ili e IV são verdadeiras.

(o)

São todas ''erdadeiras.

-

10

10

10

tll Radicais

Ficha de teste 3

IJ

Hacionalize o denominador da fração ·\12

\15.

5vJ

-

2 5

li

Verifique que os n(uneros

x, =

~

e

x,

=

-

·'{:12

são soluções da equação 2X' -

'

\fzx

' -

6

=O.

IJ

Na figura está represemado um prisma hexagonal regular e a pirâmide [A

JJ<:rJli]

cuja base é um trapézio.

Sabe-se que:

, o perímetro da base do prisma é 6\12;

• a altura da pirâmide é igual ao lado da base do prisma.

Mostre que o volume da pirâmide é igual a

·

v;:.

IJl

um cuboctaedro é um poliedro com oito faces triangulares e seis faces quadradas e obtém-se a partir do cubo truncando-o por planos definidos por pontos médios das suas arestas.

Considere o cuboctaedro obtido a partir de um cubo de aresta 1 •

Mostre que o quociente entre a área da superfície do cubo e a área da superfície do cuboctaedro é igual a 3 -

v3.

m

Num trapézio isósceles

[AJJ<.D)

a base menor é igual aos lados não paralelos e tem

v3

cm de comprimento. Um dos lados não paralelos forma com a base maior um ângulo de 60' de amplitude.

Prove que o perímetro do trapélio

é

igual a 5\13 cm e a área igual a 9

;{3

cm'.

-

111

(15)

Ficha para praticar 9

bcre'a >0b a forma de r.idital.

1.1.

:;

1.2.

1.3.

(~)=

1.4.

1.5.

V3

- 2 1.ô.

bcreva >0b a rorm.1 de uma

1

Xl

t

êncla d

e

base natural.

"

2 1

. .

\

'1~ 1 2 2

..

2.3. 2.4.

c

:a

l

c

ul

c o va

l

o

r

de

ca

d

a

u

1

n

a

d

o• rx

p

l'

cs;ôes.

2 •

\_

5

T

'

J1

....

\'.'Í25

'

'

3.1. 16;

+

(...!...)

1

(.:!...)"

19 25 3.2. 6~ 1+0,0li-16"·"

'

'

3.3. 243"' + IG' 3.4.

'21x3

1

(

2

)

3 'x(-2)1 :

3

bcreva na ronna de

pot~ncla

de ba..e 3 cada uma das expressões.

4.1.

\~

4.3. 4.5.

\

\'.•êi

4.7. 1

~

4.2. 4.4. 4.ô. 4.8.

~

\\3

\ 108 2

-~

.

r

f

t

1

i

UI Potinci•s de expoente racional

Calcule a

p

resemando o resu

lt

ado o

m

ai; i,

i

mp

l

i

ficado

Pº'""

c

l

e com de

n

o

m

inador rac

i

o

n

al.

5.1. 5.2.

3x[~:·

0,1'":

(

~

)]

5.3. z

\ i).25

..

4xo,:;' -s -

-h

3

--

.

(

')

\ \'3 X 2 '; 2 i 5.5. 5.ô.

j

\

IGx

(~)'

21: 'i:' 1

Seja

m

a

e

b

dois nú

m

eros

r

eais pos

i

tivo;.

M

o;tre que:

ô.1. ô.3. 1 ' '

a!xrrxa

'

:a

J=efa

. r-i-

a

1

.x

a

1

a

1 ..

"r

vvax

,,j'-, : - - = v t1 ( 1 ' ) ( ') •

\i'cr

a

'

ô.2. li 0 1 >< 11"º 1 X /f =(a X /1)' ô.4.

'1\liix

\)f,í

i

}

X

"'~

V

1

t h

°

f/IJ 1 = 2"r.:-2 V UI 1 ,,

Co

n

s

i

dere 3

'

=

2

.

D

eterm

in

e o valor n

um

érico de

cada

u

111

.1 da' C>

l

ll'C>'<"lc,,

7.1. 3""'+31 • 7.2.

3

x

9

+

\'.

:r;

(

_!_

)"'

7.3. \ 27

J\a figura está represemado um quadrado

(,

IBCO

)

e um triângulo /)/ /.

.

Sabe seque:

os JlOntos

E

e F penencem a

[,w)

e

(BC),

re>1x.'li•amcnw;

- - 1 -• Ali~<T=-AD; 3 1 - t • A/J=3x2 .

M

os

t

re q

u

e a área do triâng

ul

o [

/JBF)

é igua

l

a 4 \

'2

unidJdc'

qu

admdas.

(16)

28

F.iclia P-ara praticar 10

Simplifique cada uma das expressões.

1

.1.

o

,

5

'-(

0

.

2

'-

0,1

'x(

o.25

"'-(

~

)'))

1.2.

1.3.

5

x(:!.

);

"

5

x

o,

1

·

1

~75

x

10

·

: (.~

)

2

x

(

-

O,I

)"

Escreva na rorma de potência de base 2 cada urna das expressões.

2.1.

\IV2

2.2.

2.3. 1

w

Considere 4'

=

5 . Determine o valor numérico de cada urna das expressões.

3.1. 4

"x ~

( r·

3.2. 16 '

'V'4'

3.3.

8'

1

1

l

.

~ ;;

tia Potências de expoente racional

Na figura está represemado um cubo [AIJC.D/iF(;//] e nele está

inscrito o tetraedro [ii/JG/1.

4.

1.

Justifique que o tetraedro [é/JC;fj não é regular.

4.2. Admitindo que a diagonal facial do cubo mede

\Y4

unidades,

determine o valor exalo da razão emre o volume do cubo e o do

LelJ'aedro.

Na figura está represemado um cilindro de raio da base igual a (3 x

2

~}

cm e altura

igual ao quádruplo do raio da base.

Sabe-se que:

• os pomos A e /J são os cemros das bases do cilindro;

• um ponto P desloca-se ao longo do segrnemo

[

AIJ).

nunca coincidindo com o

ponto A, nem com o ponto /J.

Cada 1>osição do pomo P determina dois cones cujos vértices coincidem com o

ponto P e as bases com as bases do cilindro.

5.1. Determine o valor exalo do volume e da área lotai do cilindro.

5.2. Admita que o pomo P dista

\132

cm do ponto A.

li

Determine o volume de cada um dos cones de vénice P e bases de centms A e IJ,

r

espelivarne

n

le.

5.3. Mostre que a soma dos volumes dos dois cones é constante, isto é, não depende do pomo P.

lJma íábrica de produtos alimentares criou uma nova embalagem para

empacotar bolachas. Essa caixa tem a forma de um paralelepípedo em que: , cada caixa transporta nove pacotes de bolachas devidamente

acondicionados con10 n1ostra a figura;

• os pacotes de bolachas têm a forma de um cilindro cujo raio da base é igual

a

r

e a sua altura

é

quádrupla do diâmetro da base.

6.1. Mostre que o volume da caixa que transporta as bolachas é, em runção

de

r,

igual a 80

(

2

+

\/3

)

r'.

6.2. Determine o valor exalo do volume da caixa que transporta as bolachas

quando

r

=

\Y9.

Caixa vi~la de frente

J

C:aixa \'ista de cima

e;

(17)

Álgebra

Ficha de teste 4

li

O inverso do número

a= x

' -

y

'

é:

i'I

(A)

- - ,

(y

-

x)

()

j'+i'

e

i'I

()

B

T""7

i'

1

Y +x

(o)

i' I

(y

-

x)(y+x)

@

vw-n

A expressão \, : - -5- escriLa na rorma de uma 1>0Lência de base 5 é igual a:

. .

..

o,t

(A)

5

T

(e) 5

(o)

s

'

EJ

Considere a igualdade

(\/8+

v'2+ 1

)

=a+úv'i,

com

a

e /J n(unerosnaLurais. Os valores de

a

e /J são:

(A)

a=6eú=19

(e) a=

19 e

ú=6

(B)

a=

17

e

IJ=3

(o)

a=3

e

IJ=

17

11'.11

a

~

X

(\'.ia) ' (

I )'

. , . A expressão : -

ã ,

com

a

;t O, é equivalente a:

-~

(A)

~

(B)

'o/ã"

(e)

~

(o)

·'\l'ij'

-

10

10

B

Na figura está represemado o retângulo [AJJC

:

o]

.

v

r.

10

.---~

Sabe-se que:

M=6x41 e

ÃÕ=3x"{fa;

[AC:] é uma diagonal do reLângulo.

A

Qual das seguintes afirmações é ''erdadeira'I

(A)

A área do retângulo é igual a 1

a\/2.

(B)

O perímetro do retângulo é igual a IBVz.

(e)

A diagonal do retângulo mede

·

efiõ.

(o)

O comprimenlo do retângulo é igual ao triplo da largura.

H

j

l

.

W Potências de expoente racional

Ficha de teste 4

a

()número de ouro{ou número áureo)

é

um número irracional que designamos pela 1 elra grega

fl .

1, 1slo ,

é

~, e CUJ

.

O va o1 r

é

- -1

+·\15

2- .

6.1. PrO\'e que o número de ouro é solução da equação

i' =

x+ 1 •

6.2. MosLre que:

a)

~·=~+2

li

Na figura está represenLado um sólido que pode ser decomposlo no cubo

[STllVOPQR] e na 1>irâmide quadrangular regular [AIJC:Dli].

Sabe-se que:

• os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [ OPQR];

• o cubo tem volume igual a duas unidades cúbicas; e

• a pirâmide Lem volume igual a ~ unidades cúbicas.

'

Moslre que a altura da pirâmide é igual a 5

x

2 ' unidades.

r

"

a'x(-a

'

r.'11 . . . • . .. a7

X~

lliJll Se1am

a

e /J dois numeros reais posmvos. Mostre que , : -

a' /J.

(

vi.i

)

j

Y/i}

(/

IJI

Na figura está representado um Lrapézio isósceles

[ABC.D].

/)

- - - . :

L

r.

\

Sabe-se que

A/J=4'\f72,

OC:=2;

x3;

e AO= 2

x

5

; x·ef:i.

Moslre que a área do trapélio é igual a 1

a\Y!i.

A

lG

H

,

...

(18)

~

-

Ã

-

~

-

·

-

~

---

~

---~---

w

~~-~~~~

32

ara praticar

11

Con;,idereo;,polmómio' Jl(x)"A

+

2.\ 3, /J(.tl"2.' ·' e C(x)=4:(-x'+ 1.

1.1. Ol'ICrmlnc, na forma redu1lcla, o polinómio A(xl .. B(xJ + C:(xl, indique o respeti\O grau e

'crifiquc ;,e"' traia ele um polinómio completo.

1.2.

1.3.

Ociernunc, na fonna redu1lcla, o polinómio ,\(x) x c:(x) e indique o respetil o grau.

Qualéograudopolinómio R(x)x.\C..). se R(x)"x"+2.t'-3 e S(x)=<V'-x'+ I, onde 11, mEN e 11>2 e 111>2?

Qual

é a rclaçilo emrc o grau de

R(.,). o de S(x) e o ele R(x)

x

S(x)?

C:on;,ide..c o;, polinómio' A(.•)" •

+

r,,

+

R e /l(x)~

U

-

7x+3. Determine o 1>olinómlo C(.•) mi que:

2.1. A (x) X /J(x)" C(.\)

2.2. A(x)+C(x)=2.1- I

2.3. IJ(x)" C:(x) x (

.•

-

3)

lJLilitando o algmiuno da dlvl,.10 Inteira de polinómios, deLermine o quocieme e o reMo ela clivi>ão de:

3.1. At\)"x'+3.1' 2.\

+

l 11or 11(,1)" ·' 2; 3.2. A(x)=x' -U +& por H(x),.x+ 1;

3.3. A (x)

"x'

+

:i.,

• -

2.\

+

1 11or /l(x)"

.

t'

+

3; 3,,, A(x)=-x'-4x'+ 1 e B(x)=.l'-6;

3.5. Atr),.2.t°+A' -x ilOr

ll

t

'

l"

-"

+

-'

;

3.6. 1\~r)=:r'-x-> l e B(xl=:U- 1;

3.7. 11i11,.2.t'+.l'-2 por H(x)"3x+2; 3.8. 1\(x'= -

x'

-x'+-1 por B(x\=x'+x-3.

3 2

1Jtili1.anclo a n.'gm de Ruffini detennine o quociente e o resto da dhisão de A(x)=

2x'

-3.t'

+ 1 jlOr lJ(.•)

definido 1JOr: ,,1. lJ(x);A 4.2. B(A)=H 3 ,,3. lJ(x)=x 4.4. B(x)"4x-8 4.5. /J(A) = 2.1

+

i 4.6. B(x)=x- I

~

.

r

f

t

1

i

llllli,rnnclo a regra ele Ruífini determine o quociente e o rc>to ela eli'l'3tl de:

5.1. J\(x)"x'

-

.

i+

2x+ 6 por B(xl" 2.\ + 4; 5.3. ,\(x)"-x'+B:r'-ICU por B(x'=3x+9; 5,,, 5.5. 5.6. A(A)"x' +x'- 2Vu- 2\/Í.\ + 2x+ 2 1JOr lJ(A)"A

-

v2.

Considere /'(x+ l)=x'- 7x+6. l'roveque /1(x)"x'-!lx+ 11.

1Jm 1JOlinómio l'(x) foi dividido porum binómio (J(x). i.cndo CJ(x)" x fl. lhlli1.ou se a regra de

Huffinl, obtendo o seguinte esquema.

3 -4

"

a ab - IOt1 '" 2-lll

b

-

10

e

2~

40

Determine

/'tx

).

Para cada wn do, casos, determine os número;, reai;, k e p de modo queº' 1l01inómio~ ,\(x) e H(x)

sejam iguais.

8.1. Afa)"!i•' -U +&- 4

e

Hú)"5x'-2(2x- il'-(L+2)A' -11- J

C:onsidereospolinómios A(A)=- x'+v2ax'- 2\'Í1ó 3v211'. 11EIR\lOf e /l(x)">+a .

lJtil ILando a regra de Ruffini, mostre que o r~to da dh i\jo de A (x) por ll(x)

é

Igual a

n'

.

(19)

Ficha para praticar 12

Determine, ulili1.ando

o

teorema do fl'\10. o re<;to da di\ isão de: 1.1. il~t)"'.t' 2x +x1 x + 3 por /J(.\

=A 2;

1.3. ,\(x)=-2.t'+x1-x

.!.

por /J(x)

=2.>+ I;

1

1.5. A(x)=-2.>"+1.\' '·u" '+2 (11EN e11>l) por H(A)=x- 1;

Determine o polinómio 11(.1) do quui-10 grau que admi1e os zeros simples - 3, - 2,

.!.

e 1

e

cujo rc.10

da divi>iio 1>or

x'

1

ê

Jgunl

o

10. Apre,en1e o na forma reduzida e ordenada. 4

Sabe;,cque /1(.\)"'Gx' 7i R.1+5 êdivisfvelpor 3A ri.

Determineª'

rnf,c;,

de

/l

(

x) e

c'creva o na forma l'(x)=a(x- b)(x-c)(x-d).

Determine o valor real de

l

1).1m o qual o poli nó mio l'{x) = x' - k? - 2.>

+

4

é

di\ isfvel por x +

~

.

C:On,idereo1>0ilnómio /1(A)= \ 13.l 2\i.

(J-l:x', onde k e f' sãonúmerosreai!>. Sabendo que o 1>0linómio /1(.\)

é

di\i,l\el por H(x)"'x - \

3

,

mosire que k= - 1

+

e.

.

3

lJelermine 1>ara que' alore' de 11 e li o 1>0linómlo i'(x) =

3x'

+ ax" - úx + 1

é

dh isí•el 1>0r x - 1 e o re;,10 dJ dh 1>ào 1>0r

x

2

é

igual a G.

C:on;,iderc o 1>olinómlo /1(.1)=/' (n

+

l)x"

+

32, onde

a

é

um número real. Admitindo que "

é

rnlalc /1(.,), dete1 mine o resto da divisão de P(x) 1>or

x

-

1 .

~

.

r

f

t

1

i

W Oporaçoes com polinómios

1Je1ermineos \alores reais de

a

e de ú e o maior n(uncro n•llural /1 de modo que o 1mllnómio i'(x) = x ax' + úx' -ú.i' + 2x - 1 seja di\ bfvel 1>0r (x- 1

Í

.

C:on~ldere o 1mlinómio P\.t) =

x1" ' -

:?" ' -

x

+ 1 , onde 11

>

2 e /1 E N •

9.1. l'm1equepara1odo

a>O

selem f'\fll+l'(-al=-2

(

1-

1?

º)

7

.

9.2. Considere 11=3. Determine o \alOr exato de - -1- .

1'(\

2

)

Apreseme o valor pedido com denominador racional.

C:onsldel'e um ;>olinómio l'(x) tal que o reMo da divl;..io de 11(x) por .1

+

1

6

Jgunl n 7 e ;>or x 2

é

igualo 3.

Delel'mine o l'esto da divisão de l'(x) por

(x

+

l){x-2).

< :on~Jdere o ;mlinómio l'(x) =

:t

+

x

'.,.

A'+ a.1 .,.

ú

.

O

resm

da divisão de />(x)

por

~

+

1

é

igual a 3. Calcule o valor de a+ ú.

Considere o polinómio />(x) = x" ...

x

.,.

1 , onde 11 EN e 11

>

2.

12.1. l'm\equepara1odo

a>O

selem:

o /'(a)+f'(-a)=2a"+2, 'lf11ENA11 é1>ar;

• />(a)+f'(-a)=2, 'lf11ENA11 éím11ar.

12.2. Considel'e 11 = 6 .

(20)

36

Álgebra

Ficha de teste 5

li

Orestodadivisãodopolinómio P(x)=&t"-2x'+2x'-x+ 1 por LJ(x)=x-2 éum 11l1111ero:

(A) primo;

(B)

par;

(e)

múlti1>lo de 3;

(o)

múltiplo de 6.

EJ

Considere o polinómio P(x)=ax' - 2x+ 36.

Ovalorde

a

paraoqualopolinómio l'{x) édivisívelpor x+2 é:

(A)

-

2

(e)

- 5

(B)

-

~

2

(o)

o

EJ

Considere o polinómio P(x)=(a-

l

)x'

+(a+

l

)i'-a.~+a.

Qual das aílrmações seguintes é verdadeira'!

(A) O polinómio P(x) tem grau 3, qualquer que seja o valor de

a.

(B)

O polinómio P(x) tem grau 2, qualquer que seja o valor de

a.

(e)

o

polinómio P(x) tem grau 3, para

a*

1 .

(o)

o

polinómio P{x) tem grau 2, para a= - 1 .

a

Considere os polinómios P(x) = x

'

, Q(x) = .\"

+ :(' e ll(x) = 5X' + 3.1" .

Quais são os valores reais de a e de /J tais que ll(x)

=

al'(x)

+

/JQ(x) ·1

(A)

a=2

e

IJ=5

(B)

a=- 2

e

IJ=-5

(e)

a=2

e

IJ=- 5

(o)

a=- 2

e

IJ=5

D

Considere um polinómio I' tal que:

P(x)+xP(2-x)=x'+3, V'xEIR

Ovalorde l'{I) é iguala:

(A)

4

(e)

3

a

Considere o polinómio P(x)=(Cil"-4x+

t)'.

Determine a soma dos coeílcienles do polinómio.

(B)

2

(o)

1

(D

-

10 10 10 11

t!.I Operaçoes com polinómios

Ficha de teste 5

li

utilizando o algoritmo da divisão inteira de polinómios, determine o quociente e o resto da

divisão de l'(x)

=

-

2x'

+

x'

-

i'

+

x por JJ(x)

=

4.t' - 2x.

IJ

lltili1.ando a regra de Rufílni, determine o quociente e o resto da divisão de: A(x)=X'+Gx'+ 13.1"+24x+36 por Q(x)=(x+3)'

EI

c;onsidere o polinómio l'(x)=.\" + ax' + úx' + Bx+ 4, onde a e /J são números reais.

Prove que se o polinómio l'(x) é um quadrado perfeito, emão a= /J- 4 .

II!J

C ;onsidere o polinómio l'(x) = x' + ax' + /Jx +e, onde a, /J e e são números reais.

Sabe-seque P(l)=O e P(-x)+P(x)=O, V'xEIR.

10.1. Determineosvaloresreais

a,

/J e e.

10.2. Determine o valor exato de 1 . Apresente o valor pedido com denominador rncional.

P

(

\Y2J-

2

m

Considere o polinómio />(x)=(2a + l)x'

+(~

-

a

).t"-

1, onde

a

E IR. Sabe-se que o polinómio l'{x)

é

divisível por

x

+ 1 .

11.1. Determineovalorde

a.

11.2. Considere o polinómio T(x)=2(x+

•t(x-~).

Mostre que o polinómio '/'(x) é igual ao polinómio P(x).

-

111

.,

(2 li)

"'

(l~tlll)

37

(21)

-~

-

·

-

~

---

~

---~---

w

~~~~~~~~~·~nei~~

-

'

_______________

FD

Ficha para praticar 13

fatoriLe cad.i um dO'> 1JOlinómio'

1.1.

4

x'

25 1.2. 18-2x'

1.3. X" 10 .. + 25 1.4.

i'-x

'

1.5.

i'

2

-

ii

..

u.

2x'+x- I

1.7. -3i'+5.t+2 1.8. lfu +6-6x'

1.9. - 2x'

-

a..-..

10.1 1.10.

2x'

+ 5x' +

4x'

Determine o 1>olln6111lo l'(x} do 1.cgundo grau que admite os ·1.eros simples -

~

e 3 e tal que

/'(~)"

2

4 5

. A1ircsc111c /'(x} no íonna 1eduzldo e ordenada.

Uetenninc o 11olinómio l'(x} do quarto grau que admite -3 e - l como Leros sim1iles e l como tcro de multiplicidade dob. Sabe se ainda que o re"o da divisão de f'(.<} por x+ 2 é igual a -9. Apreseme o 1JOlinórnlo /1(.1) fatori1ado.

IJ

FatoriLe:

4.1.

x

'-

2-'

1

- _. + 2, '>.lbcndo que admite a rali 1 ;

4.2. -x'+3x'+3x' -lh+G, \.1hendoque 1éunllerodamultiplicidade2;

4.3. .t'+3x'+ li'+ tt'+3x+ 1, "l>endoque -1 éum.rerodemulliplicidade 3;

4.4. - 2.1'+z...- .. 20.1 +Ui, ,abcndoqueédlvlsf,el JlOr

x

-

4;

4.5. -

x

'

+

i

' •

5.1

+

3, 'ohcndo que é dlvl~hel llor.1 3.

!

'

.

.

r

f

t

1

i

Sabe seque l'(x}"2x'-x'- 2ãx- l2 édivishel por 2.\+ 1.

Determine as ra!Les de J>(x) e escreva-o na forma J>(xl" 11(.1 - b)(.. -r}( .. - ti}, onde

a,

/J,

e

e d são

nlunems reais.

Considere o polinómio l'(x}"

x'

-

2\

Z...

-

2A +

~\

'Í.

6.1. \"erifique que -

\'Í

é Uma das rafLes de i'\.t).

6.2. Detennine as outras rafJ.es de J>(x) e fatori/,e este polinómio.

6.3. Determine . o valor da expressao • a+/J+rl+3 onde 11, /1 e r

"'°

.

ª'

raí1e<, do flOlinómlo /'(x).

11+ú+c- 3

Ap1ese111e o valor 1>edido com denominador racional.

Considere o polinómio P(x}:(x-2}'(-x' +x+ 2).

7.1. Indique o valodógico da afirmação: Dois é um ;cro de muhiplicldndc trl!Hlo ilolinómlo l'(x),

7.2. l'morize o polinómio T(x): l'(x)x~I"-l).

7.3. Determine o valor e>.ato de

1'

(

v2),

Determh1e o 1JOlinómio J>(x) do quarto grau que .idmilc 3 e - 1 corno

1cro'

duplo' e cujo resto da

divi~o por x - 2 é igual a 18. Apresente f'(xl fotoriLado.

Considere o polinómio f'(x):

x'

+ b.1 +e. onde b e e sao núrncro\fcal ... Sabe-se que l'(x) é dhishel por x -2 e -3 é um 1.ero sirn1Jll"> de l'h)

9.1. Detem1ineos,aloresreaisde b ede

e

.

9.2. l'atorite o JlOlinómio J>(x),

Imagem

Referências